专题17 不等式选讲【2017年高考考纲解读】本讲内容在高考中主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法以及不等式证明问题，其中绝对值不等式的解法常与集合及不等式恒成立等结合在一起综合考查.求解时要注意去掉绝对值符号的方法，绝对值的几何意义以及转化与化归、数形结合思想的应用.高考对本内容的考查主要有：(1)含绝对值的不等式的解法；B 级要求．(2)不等式证明的基本方法；B 级要求．(3)利用不等式的性质求最值；B 级要求．(4)几个重要的不等式的应用．B 级要求.【重点、难点剖析】1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1n a 2i )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n b 2i≥(∑i ＝1n a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．5．绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.需要灵活地应用．6．不等式的性质，特别是基本不等式链11a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.【题型示例】题型一 含绝对值不等式的解法【例1】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲 已知函数()123f x x x =+--.（I ）在答题卡第（24）题图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式()1f x >的解集．【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【解析】⑴如图所示：⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >,当1x -≤,41x ->,解得5x >或3x <,1x -∴≤ 当312x -<<,321x ->,解得1x >或13x <113x -<<∴或312x << 当32x ≥,41x ->,解得5x >或3x <,332x <∴≤或5x >综上,13x <或13x <<或5x >,()1f x >∴,解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【变式探究】 (2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________.【变式探究】(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．【命题意图】本题主要考查绝对值三角不等式与基本不等式的应用，含绝对值的不等式的解法，意在考查考生的运算求解能力与分类讨论思想的应用．【解题思路】(1)利用“绝对值三角不等式”进行放缩，结合基本不等式即得证．(2)明确不等式后解关于a 的绝对值不等式，再分类讨论求解即可．【感悟提升】1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．3．求解绝对值不等式恒成立问题的解析(1)可利用绝对值不等式的性质求最值或去掉绝对值号转化为分段函数求最值．(2)结合“a ≥f (x )恒成立，则a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立，则a ≤f (x )min ”求字母参数的取值范围．【举一反三】(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t 1， 即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2.题型二 不等式的证明【例2】【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.【解析】（I）12,,211 ()1,,2212,.2x xf x xx x⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x≤-时，由()2f x<得22,x-<解得1x>-；当1122x-<<时，()2f x<；当12x≥时，由()2f x<得22,x<解得1x<.所以()2f x<的解集{|11}M x x=-<<.（II）由（I）知，当,a b M∈时，11,11a b-<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0 a b ab a b a b a b+-+=+--=--<，因此|||1|.a b ab +<+【举一反三】(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．【变式探究】(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ；(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .【举一反三】已知a ，b ，c 均为正数．(1)求证：a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2≥42； (2)若a ＋4b ＋9c ＝1，求证：9a ＋4b ＋1c ≥100.【命题意图】本题主要考查利用均值不等式证明不等式的成立问题．意在考查考生的逻辑推理与论证能力．解题过程中要注意标明等号成立的条件，以保证过程的完整性．【证明】(1)证法一：a ，b 均为正数，由均值不等式，得a 2＋b 2≥2ab ，⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫21a ·1b 2＝4ab， ∴a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2≥2ab ＋4ab ≥ 22ab ·4ab ＝4 2. 当且仅当a ＝b ＝42时，等号成立．证法二：a ，b 均为正数，由均值不等式，得a 2＋b 2≥2ab ，1a 2＋1b 2≥2ab ，∴a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2≥2ab ＋2ab .∴a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2≥2ab ＋4ab ≥ 22ab ·4ab ＝4 2.当且仅当a ＝b ＝42时，等号成立．(2)9a ＋4b ＋1c＝(a ＋4b ＋9c )⎝⎛⎭⎫9a ＋4b ＋1c ＝9＋4a b ＋a c ＋36b a ＋16＋4b c ＋81c a ＋36c b ＋9＝34＋⎝⎛⎭⎫4a b ＋36b a ＋⎝⎛⎭⎫a c ＋81c a ＋⎝⎛⎭⎫4b c ＋36c b ≥34＋24a b ·36ba ＋2a c ·81ca ＋24bc ·36cb＝34＋24＋18＋24＝100.当且仅当a ＝3b ＝9c ，且a ＋4b ＋9c ＝1时，等号成立，即当且仅当a ＝310，b ＝110，c ＝130时，原式取等号．【感悟提升】不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式或柯西不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的．【变式探究】已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.【证明】因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.【规律方法】不等式证明过程中要认真分析待证不等式的结构特征，充分利用几个重要不等式，灵活使用综合法、分析法、反证法和数学归纳法，来证明不等式．【变式探究】设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．【证明】由a ，b 是非负实数，作差得a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )(a )5－(b )5]．当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )(a )5－(b )5]≥0；当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5，得(a －b )(a )5－(b )5]>0.所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．题型三 不等式的综合应用例3、【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.【解析】（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩ 当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时， ()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<， 因此|||1|.a b ab +<+【举一反三】已知a ，b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)若f (x )>2，求实数x 的取值范围；学#(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a ，b 都成立，求实数x 的取值范围．【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法，及带绝对值符号的最值问题．【解析】(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2x ，x ≤1，1，1<x ≤2，2x －3，x >2.由f (x )>2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，3－2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3>2， 解得x <12或x >52.∴所求实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0，得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )． 又∵|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，∴f (x )≤2.∵f (x )>2的解为x <12或x >52.∴f (x )≤2的解为12≤x ≤52.∴所求实数x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，52. 【感悟提升】不等式f (a )≥g (x )恒成立时，要看是对哪一个变量恒成立．如果对于∀a ∈R 恒成立，则f (a )的最小值大于等于g (x )，再解关于x 的不等式求x 的取值范围；如果对于∀x ∈R 不等式恒成立，则g (x )的最大值小于等于f (a )，再解关于a 的不等式求a 的取值范围．【举一反三】已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －1|(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥2的解集；(2)若f (x )≤2x 的解集包含⎣⎡⎦⎤12，1，求a 的取值范围． 【解析】(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥2可化为|x ＋1|＋|2x －1|≥2，①当x ≥12时，不等式为3x ≥2，解得x ≥23，故x ≥23；②当－1≤x ＜12时，不等式为2－x ≥2，解得x ≤0，故－1≤x ≤0；③当x <－1时，不等式为－3x ≥2，解得x ≤－23，故x ＜－1.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤0或x ≥23.【变式探究】已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －2f⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 【解析】(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2， 则h (x )＝⎩⎨⎧ 1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1. 【规律方法】解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值．【变式探究】 已知非负实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＋x ＋2y ＋3z ＝134，求x ＋y ＋z 的最大值．。
