拉压与弯曲的组合
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8组合变形2
max M y max 6 M z max 6 M y max max 2 Wz Wy bh bh2
3)危险点位置 最大拉应力位于固定端截面上 边缘和后边缘的交点d，即梁的危 险截面是固定端截面，危险点为 截面的d角点。
6 1.5 106 6 1.2 106 MPa MPa 8.8 MPa 2 2 100 150 150 100
max max
2
△
最大切应力和最大正应力为
max T
Wp
max
M max Wz
A
3、强度准则 d A截面上、下边缘点有最大正应力和 B 切应力，是危险点。其应力状态如图。 D 塑性材料在弯、扭组合变形的二向应 l F 力状态下，应用第三、第四强度理论的强 M'=FD/2度准则进行强度计算。其强度准则为：
2.斜弯曲强度准则：
max
本课节小结
三、拉 (压)与弯曲组合变形 1.拉弯组合 外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用线 仍在纵向对称平面内，梁将发生拉 (压)与弯曲组合变形。
2.拉弯组合强度设计准则为：
max
M z max M y max [ ] Wz Wy
FN M max [ ] A Wz
F‘=F
xd 3 2 4 2 [ ]
xd 4 2 3 2 [ ]
T
M
M'
Fl
x
x
将弯曲正应力 max = Ｍ max/ Ｗ z 和扭转 切应力 max =T/ＷP代入上式，用圆截面 Wz 代替 WP ， WP=2Wz ，即得到圆轴的弯 、扭组合时的强度准则为
Mz y M y z k z y Iz Iy 2.斜弯曲的强度计算
3)危险点位置 最大拉应力位于固定端截面上 边缘和后边缘的交点d，即梁的危 险截面是固定端截面，危险点为 截面的d角点。
6 1.5 106 6 1.2 106 MPa MPa 8.8 MPa 2 2 100 150 150 100
max max
2
△
最大切应力和最大正应力为
max T
Wp
max
M max Wz
A
3、强度准则 d A截面上、下边缘点有最大正应力和 B 切应力，是危险点。其应力状态如图。 D 塑性材料在弯、扭组合变形的二向应 l F 力状态下，应用第三、第四强度理论的强 M'=FD/2度准则进行强度计算。其强度准则为：
2.斜弯曲强度准则：
max
本课节小结
三、拉 (压)与弯曲组合变形 1.拉弯组合 外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用线 仍在纵向对称平面内，梁将发生拉 (压)与弯曲组合变形。
2.拉弯组合强度设计准则为：
max
M z max M y max [ ] Wz Wy
FN M max [ ] A Wz
F‘=F
xd 3 2 4 2 [ ]
xd 4 2 3 2 [ ]
T
M
M'
Fl
x
x
将弯曲正应力 max = Ｍ max/ Ｗ z 和扭转 切应力 max =T/ＷP代入上式，用圆截面 Wz 代替 WP ， WP=2Wz ，即得到圆轴的弯 、扭组合时的强度准则为
Mz y M y z k z y Iz Iy 2.斜弯曲的强度计算
12-2 工程力学-组合变形的强度计算
故，安全。
3 2 4 2
6.37 2 435.7 2 71.7 MPa
[例7] 方形截面杆的横截面面积在 mn 处减少一半，试求由 轴向载荷 P 引起的 mn 截面上的最大拉应力。
解：
N M m ax A W
a2 a a a2 P P/ P / 8 2 2 4 4 6 a
§12–3
拉(压)弯组合 偏心拉（压）
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产
生的变形。
P P R
x z
P
x y z Mz
P
My
y My
二、应力分析： x z Mz P
P
MZ
My
y My
P xP A
Mzy xM z Iz
xM
y
Myz Iy
P Mz y Myz x A Iz Iy
max
F1 M max A Wz F1 F e A Wz
m
m
4）强度计算 因危险点的应力是单向应力 状态，所以其强度条件为：
F1 F e max 135MPa [ ] A Wz
例11-11 如图所示为一起重支架。已知a =3.0m， b=1.0m，F=36.0kN，AB梁材料的许用应力[ ]=140 MPa。试确定AB梁槽钢的型号。
拉压与弯曲组合变形的分析步骤
(1)、外力分析：
y
x
y P1
y
y P
x
=
P1
x
+
x P2
P2
P
P1 P cos
P2 P sin
(2)、内力分析：
拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
拉伸（压缩）与弯曲 的组合变形
受力特点：
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
变形特点：
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形
示例1 F1 产生弯曲变形
F2
F1
F2
F2 产生拉伸变形
示例2
Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
以上图悬臂梁为例，说明拉（压）与弯曲组合时的 正应力及其强度计算。
160.96 MPa [] 170 MPa
练习：校核横梁AB的强度
25a号工字钢
1、外力分析（求支座反力）
FBC
B
30
F
A FAx
FAy
30
M A (F ) 0 24 2 FBC sin 30 4 0 FBC 24kN
Fy 0 Fx 0
FBC sin 30 F FAy 0 FAy 12kN
+
=
N
M
FN A
M Iz
y
4、强度条件
（1）危险截面： 根据内力图确定 综合可知，固定端最危险。
（2）危险点：根据截面的应力分布确定 在截面的最上边缘。
固定端横截面最上边缘的应力
max
FN A
M max Wz
≤[ ]
强度条件
4、强度条件
max
FN A
M max Wz
≤[ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时， 应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.
FBC cos 30 FAx 0
FAx 12 3kN
2、内力分析
24
B
30
24
A 12 3 12
B
A
FBCy
受力特点：
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
变形特点：
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形
示例1 F1 产生弯曲变形
F2
F1
F2
F2 产生拉伸变形
示例2
Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
以上图悬臂梁为例，说明拉（压）与弯曲组合时的 正应力及其强度计算。
160.96 MPa [] 170 MPa
练习：校核横梁AB的强度
25a号工字钢
1、外力分析（求支座反力）
FBC
B
30
F
A FAx
FAy
30
M A (F ) 0 24 2 FBC sin 30 4 0 FBC 24kN
Fy 0 Fx 0
FBC sin 30 F FAy 0 FAy 12kN
+
=
N
M
FN A
M Iz
y
4、强度条件
（1）危险截面： 根据内力图确定 综合可知，固定端最危险。
（2）危险点：根据截面的应力分布确定 在截面的最上边缘。
固定端横截面最上边缘的应力
max
FN A
M max Wz
≤[ ]
强度条件
4、强度条件
max
FN A
M max Wz
≤[ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时， 应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.
FBC cos 30 FAx 0
FAx 12 3kN
2、内力分析
24
B
30
24
A 12 3 12
B
A
FBCy
偏向受压属于轴向拉压和平面弯曲的组合变形其应力的最大计算公式
偏向受压属于轴向拉压和平面弯曲的组合变形其应力的最大计算公式1. 引言1.1 概述在工程结构分析中，了解材料受力过程及其应力分布对于设计稳定和安全的结构至关重要。
其中一种常见的受力情况是轴向拉压和平面弯曲结合导致的变形。
理解该组合变形对应力的影响，可以帮助工程师更好地评估结构的可靠性和承载能力。
1.2 文章结构本文将首先介绍轴向拉压和平面弯曲组合变形的背景和意义。
然后，我们将推导并展示计算这种组合变形所产生应力的最大计算公式。
接下来，我们将对公式进行详细解释，并探讨其适用范围和局限性。
最后，在结果分析和讨论部分，我们将应用该公式来分析实际案例，并从中得出一些有关设计优化和改进的启示。
最后，我们将在结论与展望部分总结本文所述内容，并提出未来研究方向。
1.3 目的本文旨在提供一个详细而清晰的介绍，了解偏向受压属于轴向拉压和平面弯曲组合变形时所产生应力的最大计算公式。
通过对这种受力情况的研究，我们可以更好地理解结构在变形过程中所承受的应力，并为工程设计和结构优化提供可靠的依据。
同时，本文也希望通过具体案例分析和讨论，为读者提供实际应用时的指导和启示。
2. 正文在工程实践中，材料常常会受到多种力的作用而产生变形和应力。
特别是在轴向拉压和平面弯曲的情况下，材料往往会发生偏向受压的组合变形。
本文将重点讨论该组合变形情况下应力的最大计算公式。
轴向拉压是指材料在受到拉伸或压缩力时沿其纵轴方向发生的变形。
而平面弯曲则是指材料在沿一平面内受到弯曲力矩作用时引起的变形。
当这两种力同时作用在材料上时，会导致一种称为偏向受压的组合变形。
为了计算偏向受压组合变形下的应力，需要对其进行推导和解释。
首先考虑一个元素被施加一个轴向拉伸力和一个弯矩力矩时的情况。
根据胡克定律和欧拉梁理论，我们可以得出以下假设：1. 材料具有线性弹性行为；2. 只考虑小挠度条件下的线性应变关系；3. 假设杨氏模量、截面惯性矩等材料性质和几何参数均为常数。
14-1组合变形-材料力学
Fz F sin
五、自由端的变形
z
A
y
y
FL3 cos
3EI z
z
B y
x
B z
FL3 sin
3EI y
B
z
y
查表7-1（3）
在 Fz B点的位移 z ：
例题14.1 图所示屋架结构。已知屋面坡度为1：2， 两屋架之间的距离为4m，木檩条梁的间距为1.5m， 屋面重（包括檩条）为1.4kN/m2。若木檩条梁采
"
Iy
Iy
'
M z y M y z
Iz
Iy
cos sin
M ( y z)
Iz
Iy
四、斜弯曲时的强度条件
1、中性轴的位置
M (
Iz
yo
sin
Iy
zo )
0
tan yo Iz tan
zo
和扭矩图如图c、d
危险截面在杆的根部（固定端）
（3）应力分析
B
M W
T
T Wp
在杆的根部取一单元体分析
y 0, x B , xy T
计算主应力
1
3
B
2
( B
2
)2
2 T
2 0
（4）强度分析
选择第三、第四强度理论
r3
入偏心拉伸的强度条
4
32
件校核
32.4106 32.4MPa 35MPa
满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cm
4.7双向弯曲和弯曲和拉压的组合
令σ=0
zP yP 1+ 2 z + 2 y = 0 中性轴方程 iy iz
中性轴方程
1+
zP
2 iy
z +
yP
2 iz
y =0
●中性轴方程表现为一直线 ●中性轴能否过形心？ ●中性轴在哪里?如何确定中性轴？
zP yP 1+ 2 z + 2 y = 0 截距式直线方程 iy iz
z=0 y=0
ay = −i /y P
= 281cm
查型钢表： 22a 工字钢
3
Wz = 309cm3
A=42cm2
校核22a工字钢能否满足弯矩和 轴力同时存在时的强度条件。
3 3
M max FN 45×10 104×10 6 σ max = = 170×10 Pa + = + −6 −4 Wz A 309×10 42×10
= 170MPa > [σ ]
Iz y tan θ = = − ⋅ tan ϕ z Iy
2 、做平行线，找截面 与中性轴最远点
例1：Z字形截面悬臂梁，受竖直力P，截面尺寸如图示， 主形心惯矩Iz＝628×104mm4，Iy＝64×104mm4，α0＝ 27°28′44 ″。已知P＝2kN，l＝1m，试求梁的最大拉应 力？
斜弯曲·两向弯曲
强度不够，选大一号 22b Wz = 325cm3 A=46.4cm2
M max FN σ max = + Wz A
45×10 104×10 + = 160.8MPa = −6 −4 325×10 46.4 ×10
3 3
σ max − [σ ] 160.8 − 160 = = 0.5% < 5% [σ ] 160
材料力学 第11章 组合变形习题集
横截面m-m上任一点C(y，z)处由 弯矩Mz和My引起的正应力分别为
M z y M cos y M y z M sin z
Iz
Iz
Iy
Iy
38
C点的正应力
' ''
M
cos
Iz
y
sin
Iy
z
悬臂梁固定端截面A的弯矩Mz和My 均达到最大值，故该截
面是危险截面。设yo、zo为中性轴上任一点的坐标，并令σ
算 圆轴表面上与轴线成30°方位上的正应变。
32
解: (1)由内力图知，所有截面均为危险截面，危险点为靠近
轴表面的各点，应力状态如图。计算危险点的主应力。轴力
引起的正应力
FN 4F
A πd 2
扭矩引起的切应力
T M 8F
Wp Wp 5πd 2
危险点处的主应力为
1
2
(
)2
( )2
它在y、z两轴上的截距分别为
y* z* h / 2
该截面惯性半径的平方为
iy2
Iy A
h2 12
iz2
Iz A
b2 12
28
中性轴①对应的核心边界上点1的坐标为
ey1
iz2 y*
0
ez1
iy2 z*
h 6
按上述方法可求得与它们对应的截面核
心边界上的点2、3、4，其坐标依次为：
ey2
b 6
ez2 0
车臂的直径d。
18
解：两个缆车臂各承担缆车重量的一半，如 图。则缆车臂竖直段轴力为FN=W/2=3kN 弯矩为M=Wb/2=540N·m 危险截面发生在缆车臂竖直段左侧，由强度条件
材料力学组合变形的强度计算第2节 拉压与弯曲的组合变形
=
+
=
1
F1 A
+
2
M max Wz
4）强度计算
因危险点的应力是单向应力状态，所以其强度
条件为：
max
F1 A
M max Wz
[ ]
若为F1 压力，则危险截面上、下边缘处的正应
力分别为：
max
F1 A
M max Wz
，
m
in
F1 A
M max Wz
此时，危险截面的下边缘上的各点是危险点，
查附表，选两 根 18a 槽钢
注意 检验： max 144 MPa [ ] 140 MPa
虽然最大应力大于许用应力，但其值不超过许 用应力的5%，在工程上是允许的。
补充例 如图所示的钩头螺栓中，若已知螺纹内径 d =10mm，偏心距e =12mm，载荷F =1kN，许用应力
[ ]=140MPa 。试校核螺栓杆的强度。
为压应力。它的强度条件为：
max min
F1 A
Mmax Wz
[ ]
例9-1 夹具如图示，已知 F 2.0 kN ，l 60 mm ， b 10 mm，h 22 mm。材料许用正应力[ ] 160 MPa 。
试校核夹具竖杆的强度。
解：（1）外力分析
竖
夹具竖杆所受载荷是偏心载荷， 杆
F e Wz
135MPa
[ ]
b=1.0m，F=36.0kN，AB梁材料的许用应力[ ]=140
MPa。试确定AB梁槽钢的型号。
解： 1）外力分析
n
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
max
26103 N 26.1104 m2
22.5103 N m 141106 m3
9.96159.57 106 P a
169.53MPa 170MPa
选用16号工字钢能满足强度要求。
目录
组合变形\拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 【例9.4】 如图所示桥墩，其上承
受的荷载为：上部结构传递给桥墩的压 力F 1=1920 kN，桥墩墩帽及墩身自重 F2 =334 kN，基础自重F3=1450 kN，车 辆的水平制动力F4=300kN，试绘出基础 底部截面上的正应力分布图。
目录
组合变形\拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
1. 内力分析 拉伸（压缩）与弯曲 的组合变形杆件，其内力 一般有轴力FN、弯矩M和 剪力FS。通常情况下，剪 力对强度的影响较小，可 不予考虑。只需绘出杆件 的FN图和M图（如图）。
目录
组合变形\拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
2. 应力分析 轴力FN引起的正应力在横截面上均匀分布（如图），其值为
曲截面系数Wz=185×10-6 m3，代入上式得
max
26103 N 30.6 104 m2
22.5103 N m 185106 m3
8.50121.62 106 P a
130.12MPa 170MPa
所以该横梁强度足够。
从此例看出，由弯曲引起的正应力远比由压缩引起的正应力大， 故在设计截面时，可先按弯曲正应力强度条件选择工字钢型号，然 后再同时考虑由弯曲和轴向压缩（或拉伸）引起的正应力，校核最 大正应力是否满足强度条件，若不能满足强度条件，再另行选择。
应力状态，所以拉伸（压缩）与弯曲组合变形杆件的强度条件可表
示为
max
FN A
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危险截面 —— 各截面 危 险 点 —— d点有最大的拉应力，b点有最大的压应力。
t max
F M z max ymax M y max zmax F M z max M y max A Iz Iy A Wz Wy
c max
F M z max ymax M y max zmax F M z max M y max A Iz Iy A Wz Wy
§4-10 拉压和弯曲的组合
（2）正应力
N k
F , A
k
My
M y zk Iy
,
MZ k
M z yk ; Iz
正应力的分布
（3）叠加
k
FN k
Mz k
My k
F M z yk M y z k A Iz Iy
§4-10 拉压和弯曲的组合
3、强度计算
max [ ]
强度条件
§4-10 拉压和弯曲的组合
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处。
max
N M z max M y max [ ] A Wz Wy
对于无棱角的截面如何进行强度计算？ 1）确定中性轴的位置； 令 z0、y0 代表中性轴上任意点的坐标
F M z y0 M y z0 0 A Iz Iy F F e y y0 F ez z0 0 A Iz Iy e y y0 e z z 0 1 2 2 0 中性轴方程（不经过截面形心的一条斜直线） iz iy 2 iy iz2 设中性轴在z,y 轴的截距为ay，az 则： a y e ; az e y z
FN F cos
M z max F sin l
危险点——ab 边各点有最大的拉应力， cd 边各点有最大的压应力。
M z max FN max Wz A
t
M z max FN max Wz A
c
强度条件
max [ ]
§4-10 拉压和弯曲的组合
§4-10 拉压和弯曲的组合
三、截面核心
轴向力不偏心时，横截面均匀受拉（压），无异号正应力。 在偏心拉（压）时，横截面可能出现异号正应力。 1、截面核心的概念 在横截面上存在一个包围形心的区域，当轴向力的作用点 在此区域内，横截面上不会出现异号正应力。 2、确定截面核心的步骤 1）在截面的边缘处做与截面相切的中性轴并确定截距； 2）由中性轴的截距，计算外力作用点的坐标； 3）连接力作用点得到一个在截面形心附近的区域。
§4-10 拉压和弯曲的组合
2）确定危险点的位置 3）强度计算 中性轴
将两切点的坐标代入应力 计算公式确定最大拉应力 和最大压应力进行强度计 算。
az
D2
ez F D1 ey
ay
Z
Y
2 iz ay ; ey
az
2 iy
ez
（1）中性轴不过截面形心，与外力大小无关，与偏心距及截面形状、尺寸有关； （2）中性轴的截距与偏心距符号相反，表明外力作用点与中性轴分别在截面形 心的相对两侧； （3）外力作用点越是向形心靠拢，中性轴离形心越远，甚至移到截面外面。当 中性轴移到与截面相切或截面以外时，截面上则只存在压应力或拉应力；
二、偏心拉压
1、偏心拉压的概念 作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合。
§4-10 拉压和弯曲的组合
2、偏心拉(压)的计算 1）荷载的简化
F ' F M y F ez M z F ey
2）任意横截面任意点的正应力 （1）内力
FN ( x) F M z ( x) F e y M y ( x) F ez
§4-10 拉压和弯曲的组合
§4-10 拉压与弯曲的组合
§4-10 拉压和弯曲的组合
一、轴向力与横向力共同作用
1、荷载的分解
Fx F cos
1）求内力
Fy F sin
2、任意横截面任意点的正应力
FN ( x) Fx F cos
M z ( x) Fy x F sin x
§4-10 拉压和弯曲的组合
2）求应力 在FN 作用下：
在Mz作用下：
kN
FN ( x) A
Mz k
M z ( x) yk Iz
3）叠加
k k F kM
N z
FN ( x) M z ( x) yk A Iz
§面——固定端