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拓扑优化算法在结构优化中的应用一、引言随着数字化和自动化技术的快速发展，结构优化的需求越来越强烈。
拓扑优化算法作为一种新兴的结构优化方法，有着广泛的应用前景。
本篇文章将会探讨拓扑优化算法在结构优化中的应用，从算法原理、优化对象、优化过程以及应用案例等方面进行详细探讨。
二、拓扑优化算法原理拓扑优化算法源于拓扑学，其核心思想是通过设计结构的空间形态，来提高结构的性能。
其主要包括以下两种方法：1. 基于布尔运算的方法该方法是将设计空间进行分割，将空间分为有限个区域，并进行布尔运算，以得到规划区域的空间形态。
常用的布尔运算有并、交、差、孔洞等。
2. 基于材料密度分布的方法该方法是将设计空间分割成无数个微观单元，通过控制每个单元的材料密度，来实现结构的优化。
常用的方法有密度过滤、SIMP法等。
三、拓扑优化算法在结构优化中的应用1. 优化对象拓扑优化算法可以用于优化各种结构，包括机械结构、航空航天结构、建筑结构等。
例如，在航空航天结构中，优化的对象可以是飞机机翼的结构；在建筑结构中，优化的对象可以是建筑的整体结构等。
2. 优化目标通过控制拓扑优化算法中的设计变量，可以实现多种目标的优化。
常见的优化目标包括结构的重量、结构的刚度、结构的强度、结构的稳定性等。
3. 优化过程拓扑优化算法的优化过程大都采用自适应元件重分布和单元删除，以得到优化后的结构形态。
其优化过程包括以下几个步骤：（1）定义设计区域。
将结构需要进行优化的区域定义为设计区域。
（2）设置约束条件。
为了实现更加合理的优化，需要在优化过程中加入一些约束条件，如材料性质、设计变量等。
（3）设定初始条件。
在开始优化前需要对初始条件进行设定。
（4）进行优化。
通过不断调整设计变量，实现优化目标。
（5）优化结果分析。
对优化结果进行分析，以验证优化效果。
4. 应用案例1. 飞机机翼的优化在航空航天结构中，机翼是最核心的结构之一。
通过拓扑优化算法对机翼进行优化，可以实现机翼质量的降低、性能的提高。
拓扑优化方法在结构设计中的应用研究随着科技的不断进步，结构设计已经从过去的传统经验主义逐渐走向了科学化与智能化的发展方向。
在这一趋势下，拓扑优化方法成为了一种非常有效的结构设计手段，被广泛应用于航空航天、建筑工程、交通工程等领域。
本文将对拓扑优化方法的基本概念和应用进行详细阐述，并探讨未来在该领域的发展前景。
一、拓扑优化方法的基本概念拓扑优化（Topology Optimization）是一种运用数学优化方法，通过优化材料在结构中的分布以达到最优力学性能的设计方法。
其核心思想是基于有限元分析（FEA）的原理，利用数值计算的方法模拟材料受力、变形过程，从而得到最佳的材料形态和布局。
该方法所涉及的数学理论主要包括：变分法、有限元法、优化理论等。
在结构设计中，变分法、有限元法用于求解状态量，如材料内应力、形变、位移等，而优化理论则被用于求解设计空间中最优的材料分布情况。
在具体应用中，拓扑优化可以分为两种类型：密集型优化和拉伸型优化。
密集型优化是指将设计空间划分成小单元后分别考虑其内部的材料分布情况，根据经验规则或优化理论求解最佳的材料分布；而拉伸型优化则是在边界受到应力或变形限制的情况下，通过优化理论求解最佳网络形状和拓扑结构。
二、拓扑优化方法在结构设计中的应用拓扑优化方法在结构设计中的应用涵盖广泛，尤其在工程领域中有着广泛的应用。
下面将从航空航天、建筑工程和交通工程三个方面介绍其应用。
1. 航空航天在航空航天领域中，拓扑优化技术能够帮助设计轻量化、高强度、高刚度的结构件，从而降低整机的重量和燃料消耗。
例如，利用拓扑优化方法，可将飞机机翼中的钢材部分替换为轻量化材料，如碳纤维。
同时，利用拓扑优化技术，可以设计出更佳的涡轮增压器，以提高发动机的效率，同时减少重量和体积。
2. 建筑工程在建筑工程领域中，拓扑优化技术被应用于建筑结构设计中，可有效降低建筑结构的重量，同时提高结构的强度和刚度。
例如，在大型建筑中，利用拓扑优化可以减少结构材料的使用，同时保持结构的坚固。
提要本文首先介绍了国内外拓扑优化技术的研究发展现状，讨论了拓扑优化的原理、方法以及各种拓扑优化算法。
其次，着重研究了SIMP 材料插值方法，建立了基于SIMP 理论的连续体结构拓扑优化模型，选取准则优化法对其密度迭代格式进行了推导；并且利用MATLAB软件编程实现，有效地进行了平面结构的分析和拓扑优化设计。
然后，分析了拓扑优化中的数值计算不稳定性现象，研究了能够有效消除拓扑优化中的数值计算不稳定性现象的各种解决方法，并对其进行了比较。
最后，利用连续体结构拓扑优化求解理论和算法，使用结构有限元分析软件Hyperworks 对具体工程结构部件进行了拓扑优化设计研究，成功地应用到了实际工程问题中，算例结果表明了该优化方法的有效性和正确性。
关键词：有限元拓扑优化材料插值模型数值计算不稳定性优化求解算法Key words: FEA Topology optimization Material InterpolationModel Numerical Calculation Instabilities Optimization Solution Algorithm-i-目录第一章绪论 (1)1.1 前言 (1)1.2 国内外拓扑优化研究概况 (3)1.3 本文研究内容及意义 (9)第二章现代结构拓扑优化理论 (11)2.1 拓扑的概念 (11)2.1.1 拓扑学的由来 (11)2.1.2 拓扑学及拓扑性质 (13)2.2 结构拓扑优化原理和方法 (16)2.2.1 拓扑优化的基本原理 (17)2.2.2 结构拓扑优化设计方法 (17)2.2.3 拓扑优化设计方法比较 (21)2.3 拓扑优化设计的优化算法概述 (22)2.3.1 优化算法分类 (22)2.3.2 拓扑优化常用算法 (24)第三章连续体结构拓扑优化的模型建立与求解算法 (27)3.1 连续体结构拓扑优化设计的模型描述 (29)3.2 数学模型的有限元离散 (34)3.2.1 单元应变和应力.........................................34吉林大学硕士研究生学位论文-ii-3.2.2 单元平衡方程 (35)3.2.3 连续体结构拓扑优化的数学模型的有限元离散形式 (38)3.3 基于SIMP 理论的优化准则法 (39)第四章结构拓扑优化程序实现 (45)4.1 基于SIMP 理论的优化准则法迭代分析流程 (45)4.2 优化过程的MA TLAB 编程实现 (47)4.3 计算实例 (48)4.3.1 单一工况简支梁算例 (48)4.3.2 单一工况悬臂梁算例 (49)4.3.3 多工况简支梁算例 (50)第五章连续体结构拓扑优化中数值不稳定问题的研究 (51)5.1 多孔材料问题 (52)5.2 棋盘格式问题 (52)5.2.1 棋盘格现象 (52)5.2.2 棋盘格式产生的原因 (53)5.2.3 棋盘格解决方法 (53)5.3 网格依赖性问题 (56)5.3.1 网格依赖性现象 (56)5.3.2 网格依赖性问题产生的原因 (57)5.3.3 网格依赖性解决方法 (57)5.4 局部极值问题 (59)5.5 克服数值不稳定现象几种主要方法的比较.......................60目录-iii-第六章拓扑优化技术的应用 (61)6.1 拓扑优化分析软件介绍 (61)6.2 拓扑优化技术的应用举例 (65)6.3 拓扑优化技术应用算例 (67)6.3.1 算例一某型轿车车门内板的拓扑优化 (67)6.3.2 算例二某型轿车控制臂的拓扑优化 (71)第七章全文总结与展望 (75)7.1 全文总结 (75)7.2 研究展望 (76)参考文献 (77)摘要 (I)Abstract (I)致谢.......................................................... I-1-第一章绪论1.1 前言近年来，随着计算机技术和数值方法的快速发展，工程中许多大型复杂结构问题都可以采用离散化的数值计算方法并借助计算机得到解决。
拓扑优化在机械结构设计中的应用研究随着科技的不断进步，越来越多的领域开始使用数字和计算机技术进行设计和优化，例如机械结构设计。
传统的机械结构设计主要依靠经验和试错，效率低下且难以达到最优解。
而拓扑优化作为一种数字化的设计方法，可以通过优化器算法确定最优设计方案，大大提高了设计效率和优化结果。
本文将探讨拓扑优化在机械结构设计中的应用研究。
一、拓扑优化的概念和基本思路拓扑优化是一种以形式化的数学方法为基础，利用算法来寻找材料结构中最合适的变量分布，以达到结构最优化的目标。
拓扑优化的本质是在要求完整和稳定的前提下，使结构中材料的分布最少、空间最大化，以便降低结构的质量和成本，同时提高结构强度和刚度。
拓扑优化的基本思路是从特定的材料和约束条件出发，通过遗传算法、进化算法等优化器算法寻找最优解。
在求解过程中会多次分割，删除和合并某些材料，以使得结构最终呈现出最优的布局和形状。
在设计过程中，需要确定一些基本的参数和约束条件，例如结构的最大尺寸限制、最小壁厚度、顶点角度限制等等。
二、机械结构设计中的拓扑优化应用实例机械结构设计中应用拓扑优化，最主要的考量是结构的强度、刚度等工程性能指标。
下面通过几个实例来说明拓扑优化在机械结构设计中的应用。
1. 工程机械结构设计中的拓扑优化以铲斗为例，铲斗负责挖土和输送土的过程，其材质通常为钢铁，这会导致铲斗重量很大，且需要消耗大量的燃料来实现挖掘作业。
在这种情况下，可以利用拓扑优化对铲斗进行优化设计，使其在强度和刚度满足要求的同时，材料使用尽可能少。
如图1所示，通过拓扑优化可以使铲斗轻量化并具有更好的耐久性。
2. 汽车底盘结构拓扑优化汽车底盘作为整个汽车结构的基础，其耐久性和强度是十分重要的考量指标。
然而，传统汽车底盘结构的材料分布并非最优，这导致底盘整体较重、材料浪费严重。
采用拓扑优化后，可以削减底盘内多余材料，优化后的底盘结构减少70%的材料浪费率，且轻量化程度明显，同时保障强度和稳定性。
结构优化与拓扑优化在机械设计中的应用近年来，结构优化与拓扑优化在机械设计中的应用逐渐受到广泛关注。
随着科技的不断发展，人们对机械产品的要求越来越高，传统的设计方法和思路已经无法满足需求。
因此，结构优化和拓扑优化成为了提高机械产品性能和质量的重要手段。
结构优化是通过调整和优化设计参数，使得结构在给定约束下的性能指标最优化。
通常，结构优化旨在优化结构的强度、刚度、稳定性等性能指标。
在过去，设计师需要根据经验和试错进行多轮优化，耗费大量时间和资源。
而结构优化的出现，使得设计过程更加快速、高效。
在结构优化中，常用的方法包括有限元法、响应面法、遗传算法等。
这些方法能够充分利用计算机的计算能力，进行大规模的参数空间搜索，从而找到最优设计。
同时，结构优化也能够提高机械产品的设计自由度，使得设计师能够尝试更多的可能性，从而创造出更优秀的产品。
除了结构优化，拓扑优化也成为了机械设计中的重要工具。
拓扑优化是指通过删除或添加材料，调整材料的形状和分布，使得结构在给定约束条件下的优化性能最佳。
与传统的结构优化不同，拓扑优化主要关注结构的形态和材料分布，以求实现更轻量化和高强度的设计。
拓扑优化的核心是拓扑变量的选取和优化算法的设计。
通过选择合适的拓扑变量，可以灵活地调整结构的形状和分布。
而优化算法则能够以高效的方式搜索拓扑空间，找到最优设计。
被广泛使用的拓扑优化算法包括启发式算法、优化理论和拓扑重组等。
这些算法从不同的角度出发，提供了多种多样的拓扑优化方案。
结构优化与拓扑优化的应用范围非常广泛。
例如，在航空航天领域，结构优化可以应用于发动机、机翼等部件的设计，以提高飞行器的性能和安全性。
在汽车工业中，通过结构优化和拓扑优化，能够降低车身重量，提高燃油效率。
此外，在机械加工、建筑工程等领域，结构优化和拓扑优化也发挥着重要作用。
然而，结构优化与拓扑优化也面临一些挑战。
首先，由于优化结果具有高度非线性和多模态特性，设计师难以直接理解和接受。
拓扑优化设计在结构系统中的应用研究随着科技的不断进步，工程结构的设计优化也呈现出越来越高的要求。
拓扑优化设计技术应运而生，它通过对结构体系的材料分布和构造优化，使结构在保证强度和稳定性的基础上，最大限度地减少结构材料的使用，实现了材料轻量化和节能减排的目标。
本文将对拓扑优化设计技术在工程结构系统中的应用进行研究和探讨。
一、拓扑优化设计技术简介拓扑优化设计技术是一种新型的优化设计方法。
它是以特定的外部载荷和边界条件为前提，通过在设计空间内控制材料的分布和拓扑形状，寻找最优结构节点的排列方式，达到最小化材料使用和最优化结构性能的目的。
其基本流程为：根据设计要求和限制条件，建立初始的结构模型；通过数值计算和优化算法，将结构材料的承受能力和形式的连通性相结合，得到最佳结构拓扑形态。
与传统的优化设计方法相比，拓扑优化设计技术更加关注结构体系的整体形态，从根本上提高结构体系的力学性能。
二、拓扑优化设计技术在结构系统中的应用1.建筑物结构设计建筑物的安全性、可靠性和经济性是每个建筑师都需要考虑到的因素。
拓扑优化设计技术可以帮助建筑师在满足强度和稳定性要求的前提下，实现结构体积的最小化和质量的降低。
例如，拓扑优化设计技术可以用于高层建筑的结构设计中，通过充分考虑室内外的载荷和变形，优化梁、柱、板和墙的分布和形状，提高建筑物的力学性能。
2.桥梁结构设计桥梁结构是公路及铁路运输体系中重要的组成部分，它在保证安全性和维护成本的情况下，需要尽可能减少结构体积和材料使用。
拓扑优化设计技术可以帮助工程师优化桥梁的拱形状、立柱和跨度的跨距等关键参数，达到最小化桥梁材料使用和最优化桥梁结构的目的。
例如，桥梁主梁的减重设计中，通过拓扑优化设计技术可以得到最优的纤维方向和材料分布，达到材料轻量化的目标。
3.飞机设计随着航空运输产业的迅猛发展，飞机的研发和设计也越来越重要。
拓扑优化设计技术可以帮助工程师优化飞机的结构形状、机翼和机身等关键参数，实现更优化的飞行性能。
高等数学中的拓扑优化方法及应用拓扑学是一门和几何密切相关的数学分支，它研究的是空间形状和空间变化的本质特征。
在现代科学和工程领域中，拓扑学已经成为了一种重要的分析和优化工具。
在高等数学中，拓扑优化方法被广泛应用于各种实际问题的求解中，本文将介绍拓扑优化方法及其在实际问题中的应用。
一、拓扑优化方法的基本原理拓扑优化方法是建立在数学拓扑学基础上的。
其核心思想是通过对结构与形状的分析和优化，使得结构在满足约束条件的前提下达到最优。
通过调整物体内部的材料结构物理性质，从而改变物体的外形和性能，这种方法称为拓扑优化方法。
基本步骤：1、表示优化部件的有限元网格，将优化部件离散化为有限元网格。
2、将网格中的单元分为设计区域和非设计区域，其中设计区域用于优化。
3、引入设计变量，对设计区域进行编码以表示设计变量，每一个编码均对应了一种设计组合。
4、使用拓扑优化算法对每个设计组合进行优化，找到最优解。
5、生成CAD，最终生成优化后的效果。
二、拓扑优化方法在实际问题中的应用1、高速火车的运动稳定性高速火车行驶时，其稳定性非常重要。
工程师需要考虑高速火车的动力性能和空气动力学力学条件，以确保火车在高速行驶时保持稳定。
在实际工程中，拓扑优化方法被广泛应用于高速火车的稳定性问题的研究中。
通过优化车体的形状和密度分布，可以优化火车的运动稳定性。
2、结构优化在机械、航空航天、建筑等领域中，优化结构是必不可少的一步。
通过拓扑优化方法可以优化各种结构的形状和材料分布，从而使结构在满足约束条件的前提下达到最优。
例如在航空航天中，通过对飞机的翼型进行优化，可以使得飞机的升力系数达到最大。
3、光学元件设计光学元件在各个领域中都有广泛的应用。
光学元件的设计优化是一个需要进行的重要性问题，其中拓扑优化方法可以被用于优化光学元件的形状和材料分布，从而提高光学元件的性能。
例如在太阳能电池板中，通过对太阳能电池板的形状和材料分布进行优化，可以优化太阳能的捕获效率。
连续体结构拓扑优化理论与应用研究前言近年来，随着三维打印、计算机辅助设计等技术的发展，连续体结构拓扑优化逐渐被广泛应用于工程设计中。
连续体结构拓扑优化指的是基于一定的约束条件下，通过优化连续体结构的材料分布和形状来实现结构尽可能轻量化、刚度尽可能大的目的。
本文将从理论、方法和应用三个方面，对连续体结构拓扑优化进行全面阐述。
第一章连续体结构拓扑优化理论1.1 拓扑优化的概念拓扑优化是指利用数学方法优化结构的材料分布和形状以达到某种性能目标的一种方法。
与传统的结构优化相比，拓扑优化不仅考虑结构的大小和形状，还考虑结构的材料分布。
这就要求将结构的材料分布看作设计变量，并且采用合适的材料性质描述模型来描述材料在不同条件下的特性。
1.2 拓扑优化的方法拓扑优化的方法主要可分为两类：自适应法和演化法。
自适应法主要是一种灵活的算法，通过规定合适的自适应方法进行优化；演化法则主要依靠基因或者其它进化原理来进行结构的筛选。
1.3 拓扑优化的应用拓扑优化的应用非常广泛，例如在航空航天、汽车制造、建筑设计等领域都有广泛的应用。
在航空航天领域，拓扑优化可以减轻飞机自重，提高飞机的飞行性能和使用寿命。
在汽车制造领域，拓扑优化可以降低车辆的重量，提高车辆的燃油效率和安全性能。
在建筑设计领域，拓扑优化可以使建筑结构尽可能的轻量化，增加建筑设计的美感和实用性。
第二章连续体结构拓扑优化方法2.1 拓扑敏感度分析法拓扑敏感度分析法是一种基于有限元方法的拓扑优化方法。
该方法通过对应力场的敏感度进行迭代求解，实现了结构的材料优化分布和形状。
该方法的优点是计算速度快、收敛速度快，但其缺点是对初始设计要求较高。
2.2 拓扑优化基尔霍夫法拓扑优化基尔霍夫法也是一种基于有限元方法的拓扑优化方法。
该方法将结构划分为若干个有限元单元，在设计变量的控制下分别分配材料，使得结构满足一定的约束条件。
该方法的优点是便于求解、可以同时考虑结构的刚度和稳定性等多个目标。
拓扑优化在结构工程中的应用摘要：拓扑优化技术经过多年的发展已成为结构设计的有力工具。
在过去的十年中，拓扑优化在结构工程领域内涌现出一批具有创新性的应用。
从结构理论到构件设计，再到整体结构找形，这些应用涉及工程结构的各个层面。
拓扑优化在这些应用中被视为一种突破传统设计的重要方法。
本文对拓扑优化在结构工程中的应用进行了分析与研究，希望该领域的工作人员提供参考与借鉴。
关键词：拓扑优化，结构找形，结构工程，工程应用1我国结构工程面临的严峻挑战改革开放以来，我国大规模基础设施建设对结构工程产生巨大需求。
随着一大批标志性重大工程在我国建成、结构规模以及复杂程度不断刷新，我国结构工程在材料、结构体系、结构设计与分析、以及施工等各个方面的科技水平取得了突飞猛进的发展，达到了前所未有的高度。
我国工程建设虽然取得了巨大的成就，但在资源能源消耗、环境保护、使用寿命、安全可靠、抗灾能力等方面仍存在很多亟待解决的迫切问题，已成为我国结构工程领域当前面临的重大挑战。
我国存在大量建筑、桥梁等基础设施远未达到设计使用年限就严重劣化，耐久性堪忧。
我国工程事故频发，桥梁垮塌、脚手架坍塌等时有发生，表明安全可靠这一最基本的结构性能要求仍未完全解决。
作为世界上自然灾害多发的国家之一，我国面临的灾害风险日趋严重，其中工程作为灾害的主要载体，负有难以推卸的责任。
2高性能结构工程的优势2.1环保节能当下，利用钢结构技术进行工程建设，是一种较为节能环保的方式。
主要是因为，第一方面，采用钢结构技术，不仅可以使工作量大大降低，并且在一定程度上减少了噪音以及污染。
第二方面，在工程中采用钢结构技术，有利于拆迁时的回收。
近年来，我国对环境保护越来越重视，人们较为关注人与自然和谐相处。
因此，建筑过程中使用钢结构技术受到人们的广泛欢迎。
第三方面，伴随着科学技术的不断发展，不管是在钢结构的材料质量还是保存上，均得到了很大的提升，并且有着较低的成本。
第四方面，钢结构所占据的空间较小，并且在一定程度上降低了工程对环境的污染。
拓扑优化设计与应用拓扑优化设计是一种重要的工程设计方法，利用计算机建模和仿真技术，通过对工程结构的拓扑形态进行优化，以满足设计要求，提高结构的性能和效率。
它在多个领域具有广泛的应用，包括机械、航空航天、汽车、电子等工程领域。
首先，拓扑优化设计通过优化原始结构的拓扑形态，实现了结构材料的最优利用。
传统设计方法通常采用一种规则的结构形态，而拓扑优化设计则不受限于特定形态，可以搜索并生成最优的结构拓扑形态。
例如，通过在结构中添加或去除一些单元或连接，优化设计可以将材料的浪费降到最低，减少结构的自重。
其次，拓扑优化设计可以提高结构的性能和效率。
通过优化结构拓扑形态，可以使结构在承受负荷时具有更好的刚度和强度，提高结构的载荷能力。
同时，优化设计还可以减小结构的振动和变形，提高结构的稳定性和可靠性。
这些性能的提升可以使结构在实际工作中更加安全、稳定和高效。
另外，拓扑优化设计还可以实现结构的轻量化。
结构的自重是影响其性能和效率的重要因素之一。
通过优化拓扑形态，可以减少结构的材料使用量，从而降低结构的自重，实现结构的轻量化。
轻量化设计可以大大减少结构在运行中的能耗，并提高系统的整体性能和效率。
拓扑优化设计在不同领域都有广泛的应用。
在机械领域，拓扑优化设计可以应用于机械零部件的设计，如飞机机身、汽车车架等。
通过优化设计，可以减少零部件的重量和材料使用量，提高零部件的强度和刚度，实现优化的设计效果。
在航空航天领域，拓扑优化设计可以应用于火箭发动机、卫星结构等重要部件的设计，提高其工作效率和可靠性。
在电子领域，拓扑优化设计可以应用于电路板和芯片的设计，优化电路板和芯片的布局和连接，提高电路的性能和稳定性。
拓扑优化设计的实现依赖于计算机建模和仿真技术的发展。
计算机建模技术可以将结构的物理特性转化为数学模型，通过计算机仿真技术对模型进行分析和优化。
利用计算机建模和仿真技术，可以对结构进行合理的拓扑优化设计，并得到最优解。
结构拓扑优化的组合准则及应用丁繁繁* 郭兴文(河海大学工程力学系,江苏,南京,210098)摘要：本文研究了拓扑相关荷载作用下连续体结构拓扑优化设计问题，探讨了ESO 方法中单独应用最大拉应变准则或主应力准则来删除单元的问题,提出了基于主压应力删除准则与最大拉应变删除准则的组合优化删除准则,给出了组合准则的迭代步骤.依据所提准则与迭代步骤, 应用Ansys 分析软件对一受拓扑相关径向均布荷载作用的连续体进行了拓扑优化设计,获得了相应的最优拓扑结构,算例表明,本文提出的组合优化法可以消除单一应力删除准则在优化过程中出现的迭代波动问题,能加快拓扑优化的收敛速度.关键词:拓扑优化, 拓扑相关荷载, 主应力准则, 最大拉应变准则，组合准则1.前言结构拓扑优化设计是目前结构优化设计领域最赋有挑战性的研究课题,近十几年来，随着科学技术的进步, 结构拓扑优化设计得到了迅速的发展. 有关结构拓扑优化设计的最新发展,文献以综述的形式作了详细的叙述.连续体结构拓扑优化方法主要有均匀化法、两相法、内力法、变厚度法、变密度法、人工材料、渐进结构优化法及线性规划法等。
其中渐进结构优化法(简称ESO)是通过一定的删除准则，将无效或低效的材料逐步去掉,结构将逐渐趋于优化。
该方法可采用已有的有限元分析软件,通过迭代过程在计算机上实现,该法的通用性很好。
ESO 法最早是由澳大利亚华裔学者谢忆民于1993年提出来的。
随后得到了荣见华等人的发展，成功应用于包含应力、位移（刚度）、临界应力和动力学约束的众多结构拓扑优化领域。
基于主应力的ESO 法考虑了实际材料在拉、压应力方面的特性差异，特别适用于一些拉压性质明显的建筑类型，例如桥梁工程，从而改进了ESO 法的工程适用性。
]4~1[]5[目前,连续体结构拓扑优化研究主要集中在荷载作用位置及作用方向不变情况下的结构拓扑优化问题，而对于荷载作用位置变动情况下的连续体结构拓扑优化研究刚刚起步.]6[本文研究了荷载位置随拓扑变化而变化作用下的连续体结构拓扑优化问题，该连续体结构是一混凝土受压结构。
优化过程中在进行尝试使用不同删除准则的基础上,提出了基于主压应力删除准则与最大拉应变删除准则的组合优化删除准则.依据提出的组合优化删除准则, 应用Ansys 分析软件对一受径向均布荷载作用简支的矩形初始构型进行了拓扑优化设计, 获得了相应的最优拓扑结构,算例表明,本文提出的组合优化法可以消除单一应力删除准则在优化过程中出现的迭代波动问题,能加快拓扑优化的收敛速度.2.拓扑优化设计双准则对于各向同性材料,传统的ESO 方法分别采用基于等效应力或基于主应力的删除准则。
基于等效应力删除准则的ESO 法的思路是,从满尺寸结构中系统地删除等效应力较低的材料来优化结构。
许多实例也证明了该方法解决实际问题的有效性。
许多工程实例常常采用VonMises 应力(vm σ)作为等效应力，在优化过程中删除vm σ较低的材料。
工程实际中，许多工程材料具有不同的拉、压强度。
例如混凝土材料的拉压强度远远大于其抗拉强度。
因此。
在实际设计中需要考虑上述问题。
荣见华等在进行桥梁的拓扑优化设计问题时，提出了一种基于主应力的优化方法。
其基本思想是:如果设计一个拉力占优的结构,就删除压力定向的单元；相反,如果希望设计一个压力占优的结构,就删除拉力定向的单元。
]5[ 2.1 最大拉应变删除准则本文基于材料力学中的第二强度理论，提出将b σ作为等效应力，那么这种基于第二强度理论的最大拉应变删除准则如下：e b i e b RR max ,σσ×≤ (1)（2）)(e 3e 2e 1e b σσμσσ+−=式中是由式（2）决定的单元等效应力，是其最大值。
、 、 是单元的 主应力，e b σe max ,b σe 1σe 2σe3σμ为材料的泊松比。
在迭代过程中，为单元删除率,单元删除率满足i RR ER RR RR i i +=+1 i=0，1，2，…… （3） 式中ER 为附加进化率，和0RR ER 取值一般为0.01%~1%，这里先取为1%，并通过试算来确定。
2.2 主应力准则设计拉力占优结构时,删除同时满足条件（4）（5）的单元。
且,0e 3≤σe 1e 3σσ>> （4） e i e RR max ,11σσ×≤ （5） 设计压力占优结构时,删除同时满足条件（6）、（7）的单元。
,且0e1≥σe 3e 1σσ>> （6） e i e RR max ,33σσ×≤ （7） 其中、分别为结构全部单元中第一主应力和第三主应力的最大值。
e max ,1σe max ,3σ2．3 组合准则优化法笔者在研究径向匀布水压力作用下的结构最优拓扑的过程中，分别应用上述两种准则做了尝试，发现存在如下问题：（1）如果只用主应力准则来删除单元,在“远远大于”这个条件的限制下,能够删除的单元个数非常有限, 容易造成迭代陷入僵局，即不管删除率怎样增大，仍然没有满足删除条件的单元，而这种稳态出现时被删除的单元体积往往还不到结构原始体积的15%，这时得不到优化结果；（2）如果只用最大拉应变准则来删除单元，则在结构单元数值分析过程会发现，单元的值比较接近，总态方差小。
有时无论怎样调整附加进化率，在同一次迭代过程中还是会有过多单元被删去。
在迭代步骤较少的情况下，结构便会出现断裂的情况。
这种优化结果不稳定，不宜采纳；（3）分别使用上述两种准则作为删除准则时，发现有些单元在两种删除准则中会出现相悖的情况，即在一种删除准则中为强度较高的区域，在另一种删除准则中却变成了强度很低的区域。
e b σ为了解决上述问题,本文通过交替使用两种准则的方法比较快速的得到拓扑优化结果。
这种组合准则的基本思路是，设只要是在任意一种该结构拓扑优化适用准则中强度很低的单元，即使该单元在该结构另一种拓扑优化适用准则中强度值较高，也要删去。
采用组合准则的方法，交替使用不同准则，就能删去在所有该结构拓扑优化适用准则中强度较低的单元。
组合准则优化法迭代格式与步骤如下:①建立有限元模型，用有限元网格离散该区域，对离散结构进行静力分析。
求出每个单元的应力值、、； e 1σe2σe 3σ②采用主应力删除准则，验证单元应力是否满足条件（6）（7），如满足，则删除该单元；具体到本文，认为单元如果满足条件,且0e1≥σe 3e 110σσ>就满足条件（6）中提及的“远远大于”这个条件。
其中单元删除率值按条件（3）来确定；用增加的删除率重复步骤①～②，直到在当前第 i 次迭代，无论值怎样增加，仍然没有单元可以删除； i RR i RR ③ 换用最大拉应变准则，对离散结构进行静力分析，求出每个单元的应力值、、，验证单元应力是否满足条件（1），如满足，则删除该单元，其中为单元删除率，其值按条件（3）来确定；e 1σe2σe 3σi RR ④用增加的删除率重复步骤③，直到在当前第 i 次迭代满足条件（1）的单元体积与初始体积之比大于5%时，此时停止删除，改用主应力删除准则作为删除准则；⑤重复步骤①～④,直到达到预先设定结构拓扑优化的目标体积,本文算例所设立的目标体积为初始体积的20%。
3.算例图1为一各向同性的弹性设计区域,矩形长度为16m,宽度为6m。
材料弹性模量E 为21GPa,泊松比 μ =0.2,初始条件为两端固结。
荷载为上面与左右受与拓扑相关的法向均布面荷载，荷载集度为98kPa.不考虑自重及温度影响。
容许目标最小体积比为20%，容许应力为材料一般允许应力。
图1 初始设计区域及边界条件图2 体积比v/v=85.25％时的结构拓扑图3体积比v/v=50.1％时的结构拓扑图4 结构断裂时状况图5 体积比v/v=60.5％时的结构拓扑=44.67％时的结构拓扑=38.25％时的结构拓扑图8 体积比v/v=35.08％时的结构拓扑图9 体积比v/v =20％时的结构拓扑 0对于本文中结构，如果只使用主应力准则，则只能优化得到图2所示的结果。
在“远远大于”这个条件的限制下体积比只有85.25%，迭代过程就停止了。
如果只使用最大拉应变准则，优化结果如图3、图4所现。
在优化的迭代步骤很少的情况下，结构很早出现断裂，不能得到稳定的优化结果。
本例改用组合准则法优化，则在进行了39步迭代后得到满足条件的最佳拓扑结构。
表1列出了迭代过程中两种准则交替使用时的情况。
表1 优化过程及使用准则交替表 结构主分析1－14 15－21 22－30 31－39 删除准则 主应力准则 最大拉应变准则主应力准则 最大拉应变准则在应用主应力删除准则进行14次迭代后，得到的拓扑如图2所示。
此时应用该准则如前所述已无法进一步优化结构，此时改用最大拉应变删除准则，在本例中是第15到21次迭代，如图所示5到图6。
在进行到第21次迭代时，若继续使用该删除准则，会出现单次删除率大于5%的情况。
此时改用主应力删除准则，继续迭代到30次时，用最大拉应变准则已无法继续删除单元，图6为此时的拓扑。
后改用最大拉应变准则迭代，到第39拓扑达到提前给定的体积比，得到满足条件的最佳拓扑。
4．结论 本例给出了使用组合准则进行结构拓扑优化的情况。
该过程实现了在径向匀布水压力作用下无铰拱的合理轴线形式的拓扑优化，符合已被结构力学所证明的理论[。
在优化过程中，在荷载是可变的情况下，采用了两种优化删除准则交替使用的方法，实践证明这是一种行之有效的方法。
]7参考文献：[1] 周克民,李俊峰,李霞. 结构拓扑优化方法研究方法综述[J]. 力学进展，2005，35（1）:69~76[2] Rozvany GIN. Aims, scope, method, history and unified terminology of computer-aidedtopology optimization in structural mechanics[J]. Structual Optimization, 2001,21(2):90~108[3] Eschenauer HA, Olhoff N. Topology optimization of continuum structures: a review[J].Applied Mechanics Reviews,2001,54（4）：331~389[4] 汪树玉, 刘国华, 包志仁.结构优化设计的现状与进展[J].基建优化,1999,20(4):3~12[5]荣见华,姜节胜,颜东煌,徐斌.多约束的桥梁结构拓扑优化[J].工程力学,2002,19（4）:160~165[6] Hammer V.B, Olhoff N. Topology optimization of continuum structures subjected topressure loading[J]. Struct Multidisc Optim ,2000,19: 85~92[7] 张宗尧，于德顺，王德信.结构力学[M].河海大学出版社,2003年7月第二版：55~56A Combination of Optimality Criteria on StructuresDing FanFan Guo XingWenHohai UniversityAbstract : Topology optimization of continuum structures subjected to pressure loading are briefly discussed on finite element approach. A new optimization criterion combined of the principalstress and maximum circumferential strain optimization criterion based on ESO (Evolutionary Structural Optimization) method is presented in this paper. One continuum structures is optimized based on this method and the iterative process is proposed.During this optimization, the combined optimization criterion can deal with the problem working under one single optimization criterion. Keywords: structural topology optimization, various pressure loading, principal stress optimization criterion, maximum circumferential strain optimization criterion, combined optimization criterion。
