《不等式》基础过关测试卷

x 2 y 2 0
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x y 5
13．1【解析】画出约束条件 2x y 1 0 的可行域，如图所示，由图可知，当目标函数过点 C 0,1 时，
x 2 y 2 0
zmin 1
14．若
x
0
，
y
0 ，且
xy
3
，则
1 x
3 y
的最小值为_____.
14．2【解析】 x
0 ，y 0 ，且 xy 3 ，则 1 3 2 xy
1 x
3 y
1 2 ，当且仅当
x
3 y
且 xy
3 ，即 x
1，
y
3
时取等号，因此，
1 x
3 y
的最小值为
2
．
15．若实数 a，b∈（0，1）且 ab 1 ，则 1 2 的最小值为______． 4 1a 1b
15． 4
42 3
【解析】解：因为
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16． 4 3
【解析】函数
f
(x)
loga (x
3)
1（
a
0
且
a
1）的图象恒过定点 2, 1
，所以
A2, 1
,
将 A2, 1 代入到直线 mx ny 4 0 中，得到 2m n 4 ，即 2m 1 n 6 ，
所以 1 m 1
2 n
1 m 1
2 n
1 6
2
得
x y
m 2 m
，即
A
m 2
,
m
，此时
zmax
3m 2
m
5 ，解得 m
2 故选
A
项.
9．若 x ， y 满足叫 y 2 x ，且 x 1，则 2x y 的最小值为（ ）
A． 7
B． 5
C．1
D． 4
9．B【解析】作出 x ， y 满足 y 2 x ，且 x 1，对应的平面区域如图：由 z 2x y 得 y 2x z
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．m≤n
4．A【解析】因为 a＞0，∴m＝ a2 a 1 ＝a+ 1 ﹣1≥2 a 1 ﹣1＝1 当且仅当 a＝1 时去等号，
a
a
a
∵x＜0，∴n＝x+1＜1；∴m＞n；故选 A．
5．已知 x 1，则当 x 4 取得最小值时， x 的值为( )
x
A．1
B．2
C．3
2
2
a 1 b
＝
a
1
1
2 b
(
a
1 2
2b
)
＝
1 2
5
2b a 1
2(a b
1)
≥
1 2
5
2
2b a 1
2(a 1) b
＝
9 2
，
当且仅当 a+1＝b，即 a 1 ， b 2 时取等号，∴ 1 2 的最小值为 9 ．
3
3
a 1 b
2
三、解答题
18．解下列关于 x 的不等式：
《不等式》基础过关测试卷
一、选择题 1．一元二次不等式 2x2+x﹣6≥0 的解集为（ ）
A．
(,
2]
3 2
,
B．
,
3 2
[2,
)
C．
2,
3 2
D．
3 2
,
2
1．A【解析】一元二次不等式 2x2+x﹣6≥0 可化为 x 22x 3 ≥0，解得 x≤﹣2 或 x≥ 3 ，所以原不等式
2 的解集为（﹣∞，﹣2]∪[ 3 ，+∞）．故选：A．
x2 y2 4
{ x,
y
|
x2
y
12
1或
x2
y
12
1}
，设点（x，y）∈
，则
z＝2x+y
的取值范围是
x0
（）
A．[1 5, 2 5] B．[2 5, 2 5] C．[2 5,1 5] D．[4,1 5]
12．C【解析】由题意可知：z＝2x+y 与 x2+（y﹣1）2＝1 相切时，切点在上方时取得最大值，如图：可得：
mn
2
2
1 m
9 n
8 3
，因为
y
1 m
9 n
1 m
6
9 m
，在
0,
3 2
上单调递减，在
(
3 2
,
)
上单调递增，所以当
m 2 ， n 4 时， 1 9 取得最小值为 11 ．故选 B.
mn
4
11．已知正数 a、b 满足 1 + 1 ＝1，则 9 + 4 的最小值是（ ）
ab
a 1 b 1
A．6
2b 4b2
1
55
ab 2b
ab 2b 5
2 a2 b2 2 4b2 1
5
5
2 ab 2b
5
2，
当且仅当 a 1 , 2
b
5 2
时取等号，此时
a+b≠1．故
ab 2b ＜ a2 b2 1
5． 2
20．已知函数 g x loga x ( a >0 且 a ≠1)的图像过点(9，2)
|1 z |
≤1，解得 1﹣
5 ≤z≤1+
5 ，z＝2x+y 的最大值为：1+
5 ．当下移与圆 x2+y2＝4 相切时，2x+ y
5
| z |
取最小值，同理
≤2，即 z 的最小值为：﹣2
5
5 ，所以 z∈[﹣2
5 ，1+
5 ]．故选：C．
二、填空题
x y 5 13．已知实数 x ， y 满足 2x y 1 0 ，则 z 3x y 的最小值为______.
所以当 a＝0 时，x＝0；当 a＞0 时，0≤x≤a；当 a＜0 时，a≤x≤0，
所以当 a＝0 时，不等式的解集为{0}；
当 a＞0 时，不等式的解集为{x|0≤x≤a}；当 a＜0 时，不等式的解集为{x|a≤x≤0}．
19．已知 a＞0，b＞0，且 a+b＝1．
（1）求 1 2 的最小值； ab
an 2n ． aman 64 ，即 2m 2n 64 ，得 m n 6 ，所以
1 m
9 n
1 6
m
n
1 m
9 n
1 6
10
n m
9m n
1 6
10
2
n m
9m n
1 6
16
8 3
，当且仅当
n 9m 时取等号，即为 m 3 ， n 9 ．因为 m ， n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则
D． 1 10
8．A【解析】先由
2 2
x x
y y
0 0
画可行域，发现
y
≥
0
，所以
y
y
m
0
可得到
y
m
，且
m
为正数.
画出可行域为 AOB （含边界）区域. z 3x y ，转化为 y 3x z ，是斜率为 3 的一簇平行线，
z
表示在
y
轴的截距，由图可知在
A
点时截距最大，解
y y
2x m
B．12
C．24
D．36
11．B【解析】∵a，b 为正数，且 1 1 1；∴a+b＝ab； ab
9 4 9(b 1) 4(a 1) 9b 4a 13 9b 4a 13．∵9b+4a＝（9b+4a）×1＝ a 1 b 1 (a 1)(b 1) ab (a b) 1
（9b+4a）×（ 1 1 ） 9b 4a 13 2 9b 4a 13 25 当且仅当 9b 4a 时取等
平移直线 y 2x z ，由图象可知当直线 y 2x z 经过点 A 时，直线的截距最小，此时 z 最小，
由
x
y
2 1
x
，解得
A
1,
3
，此时
z
2
1
3
5
，则
2x
y
的最小值为：
5
.故选
B.
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10．已知数列an 的前 n
项和为
Sn
， Sn
2an
2 ，若存在两项 am
， an
mn
，∴
m 2
n
mn ，∴ a
又 b 1 em en em en a ，∴b＞a＞c．故选 A． 2
emn
mn
e 2
e
mn
c，
2x y 4 0
7．已知点
M
的坐标
x,
y 满足不等式组
x
y
2
0
，N 为直线 y 2x 2 上任一点，则 MN 的最
y 3 0
小值是（ ）
A． 5 5
D．4
5．B【解析】x 4 2 x
x
4 x
4（当且仅当 x
4 x
，即 x
2 时取等号）当
x
4 x
取得最小值时，x
2，
故选 B
6．若 m＞n＞0，a＝ em en , b 1 em en , c e mn ，则（ ） 2
A．b＞a＞c
B．a＞c＞b
C．c＞b＞a
D．b＞c＞a
6．A【解析】∵m＞n＞0，∴ m n 2
(1)求函数 g x 的解析式；
(2)解不等式 g 3x 1 g x 5 ．
20．【解析】 (1)因为 loga 9 2 ，所以 a 3，即 g x log3 x
2
y 1
2．若
x，y
满足
x
y
1 ，则 2x+y 的最大值为（
）
y x 1
A．2
B．5
C．6
D．7
y 1
2．B【解析】作出
x，y
满足
x
y
1 对应的平面区域如图：（阴影部分）．由 z＝2x+y 得 y＝﹣2x+z，平
y
x
1
移直线 y＝﹣2x+z，由图象可知当直线 y＝﹣2x+z 经过点 A 时，直线 y＝﹣2x+z 的截距最大，此时 z 最
ab＝
1 4
，所以
b＝
1 4a
，因此 1 1 a
2 1b
Baidu Nhomakorabea
1 ＝1 a
2 1
1
4a
＝
1
1
a
8a 4a 1
＝
1 1
a
2(4a 1) 4a 1
2
＝
1 1 a
2 4a 1
2
＝
2
1 4a 1
4
2 4a
2
＝
2 3
1 4a 1
4
2 4a
4a
1
4
4a
2
＝
2 3
1
2
4 4a
4a 1
2(4a 1) 4 4a
y 2x 2 与 2x y 4 0 之间的距离，为 2 4 2 5 .故选：B. 22 12 5
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2x y 0
8．实数 x ， y 满足不等式组 2x y 0 ，若 z 3x y 的最大值为 5，则正数 m 的值为（ ）
y
y
m
0
A．2
B． 1 2
C．10
，使得 aman
64 ，则
1 m
9 n
的
最小值为（ ）
A． 14 5
B． 11 4
C． 8 3
D． 10 3
10．B【解析】Sn 2an 2 ，可得 a1 S1 2a1 2 ，即 a1 2 ，n 2 时，Sn1 2an1 2 ，又 Sn 2an 2 ，
相减可得 an Sn Sn﹣1 2an 2an﹣1 ，即 an 2an1 ， an 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列．所以
y
x
3 2
单调递减，所以1.4
3 2
1.7
3 2
，即
a
b
；根据指数函数的
性质，可得
y
1.7x
单调递增，所以
1.7
3 2
1.72
，即 b
c ，因此， c
b
a ．故选：B．
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4．已知 m＝ a2 a 1 （a＞0），n＝x+1（x＜0），则 m、n 之间的大小关系是（ ） a
大．由
y y
1 x
，解得
1
A（2，1），代入目标函数
z＝2x+y
得
z＝2×2+1＝5．即目标函数
z＝2x+y
的最
大值为 5．故选 B．
3．已知
a
1.4
3 2
，
b
1.7
3 2
，
c
1.72
，则（
）
A． a c b B． c b a
C． a b c
D． b c a
3．B【解析】根据幂函数的性质，可知
（1） x22x 80；
（2） x2 4x50 ；
（3） x2ax
18．【解析】（1）由 x2﹣2x﹣8≤0，得（x﹣4）（x+2）≤0，
所以﹣2≤x≤4，所以不等式的解集为{x|﹣2≤x≤4}；
（2）因为 x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，
所以不等式 x2+4x+5＞0 的解集为 R；
（3）由 x2≤ax，得 x2﹣ax＝x（x﹣a）≤0，
2
，
2 3+2 2 2 ＝4+ 4 2 ．当且仅当 a＝ 1 2 2 ，取“＝”，所以 1 2 的最小值为
3
3
42 2
1a 1b
4 4 2 ， 3
16．已知函数 f (x) loga (x 3) 1（ a 0 且 a 1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx ny 4 0 上，其中 mn 0 ，则 1 2 的最小值为_____． m1 n
（2）证明：
ab 2b a2 b2
1
＜
5． 2
19．【解析】（1）
1 a
2 b
(a
b)
1 a
2 b
3
2a b
b a
z3
2
2a b 3 2 ba
2，
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当且仅当“ b
2a
”时取等号，故
1 a
2 b
的最小值为
3
2
2；
（2）证明：
ab 2b a2 b2 1
a2
ab b2
m
1
n
1 6
2
n m 1
4m 1
n
2
≥
1 2 2 2 2 4 ，当且仅当 m 1 , n 3时，等号成立.
6
3
2
17．已知 a＞﹣1，b＞0，a+2b＝1，则 1 + 2 的最小值为______． a 1 b
17． 9 【解析】∵a＞﹣1，b＞0，a+2b＝1，∴ a 1 2b 1，∴ 1 2
ab a b
ab
ab
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号． 9 4 9b 4a 13 12 ，故选 B． a 1 b 1
12．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到 气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因 而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为
B． 2 5 5
C．1
D． 17 2
2x y 4 0
7．B【解析】作出不等式组
x
y
2
0
所对应的可行域，如下图，因为点 M 的坐标 x, y 满足不等
y 3 0
2x y 4 0
式组
x
y
2
0
， N 为直线 y 2x 2 上任一点，所以 MN 的最小值就是两条平行直线
y 3 0