专题 二次函数中的角度问题(学生版)

1专题31二次函数中的角度问题

坐标系中角度问题的处理

在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手：

思路1：构造三垂直相似（或全等）；

思路2：通过三角函数值化“角度条件”为“直线k”．

思路3：通过圆周角定理构造辅助圆

题型一特殊角问题

1．如图，抛物线2yaxbxc的图象，经过点(1,0)A，(3,0)B，(0,3)C三点，过点C，(3,0)D的直线与抛物

线的另一交点为E．

（1）请你直接写出：

①抛物线的解析式；

②直线CD的解析式；

③点E的坐标(，)；

（2）如图，若点P是x轴上一动点，连接PC，PE，则当点P位于何处时，可使得45CPE，请你求出此

时点P的坐标；2．如图，抛物线22yaxbx经过点(1,0)A，(4,0)B，交y轴于点C；

（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；

（2）将直线BC绕点B顺时针旋转45，与抛物线交于另一点E，求BE的长．

3．如图，直线3yx与坐标轴交于A、B两点，抛物线21

4yxbxc经过点B，与直线3yx交于点(8,5)E，

且与x轴交于C，D两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上有一点M，当75MBE时，求点M的横坐标；4．已知，如图，抛物线2(0)yaxbxca的顶点为(1,9)M，经过抛物线上的两点(3,7)A和(3,)Bm的直线

交抛物线的对称轴于点C．

（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．

（2）上下平移直线AB，设平移后的直线与抛物线交于A，B两点(A在左边，B在右边），且与y轴交于点(0,)Pn，

若90AMB，求n的值．5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线()(4)(0)yxaxa与x轴交于A、B两点（点A在点B的左

侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）若D点坐标为325

(,)

24，求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）直线2yxb与（1）中的抛物线交于点D、E（如图2)，将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，

平移后抛物线的顶点为D，与直线的另一个交点为E，与x轴的交点为B，在平移的过程中，求DE的长度；

当90EDB时，求点B的坐标．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数21

2yxbxc的图象经过点(4,0)A，(0,2)C．

（1）求抛物线的表达式；

（2如图，在抛物线上是否存在一点P，使45CAP？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图，抛物线21

2yxbxc过点(3,2)A，且与直线7

2yx交于B、C两点，点B的坐标为(4,)m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使45AQM？若存在，求点Q的坐标；若不存在，

请说明理由．8．如图，抛物线2yxbxc与x轴交于(1,0)A，(3,0)B两点，与y轴交于点C．

（1）直接写出抛物线的解析式：；

（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DEx轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线

的对称轴和y轴交于点G、H，设点D的横坐标为m．连接EG，若45GEH时，求m的值．9．如图1，抛物线2yaxbxc交x轴于点(1,0)A，(3,0)B，交y轴正半轴于点C，直线l经过点B．

（1）若C点坐标为(0,3)，求抛物线的解析式；

（2）如图1，直线:3lykxa交y轴负半轴于点D，与抛物线另一交点为E，过点A作y轴的平行线交直线l

于点F，点P为x轴上一动点，求PEF

PBCS

S

的值；

（3）在（1）的条件下，如图2，点M、点N分别是线段AB和直线l上的动点，连接MN，45CNM，当ABC

与CMN相似，且CMNS

最小时，在直线l上是否存在一动点G，使得45MGN，若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

8题型二角相等的问题

10．如图，直线3yx与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线2yxbxc经过点B、C，与x轴另

一交点为A，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得APBOCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

11．已知抛物线21

()2

2yax，顶点为A，且经过点3

(,2)

2B，点5

(,2)

2C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，

若OPMMAF，求POE的面积；12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21

2yxbxc的图象与x轴交于点(2,0)A、(4,0)B，与y轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上有一点M，过点M、A的直线MA交y轴于点C，连接BC，若MBOBCO，请直接写出

点M的坐标．

13．如图，一次函数1

2

2yx的图象与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为(1,0)，二次函数2yaxbxc

的图象经过A、B、C三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，已知点(1,)Dn在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q作QMy轴于点M，作

QNBD于点N，过Q作//QPy轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足APEABO，求点E的坐标．14．如图所示，抛物线24yaxbx的顶点坐标为25

(3,)

4，与y轴交于点A．过点A作//ABx轴，交抛物线于

点B，点C是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点E在y轴的负半轴上，且AEAD，直线CE交抛物线24yaxbx于点F．

①求点F的坐标；

②过点D作DGCE于点G，连接OD、ED，当ODECDG时，求直线DG的函数表达式．

11题型三角成倍数或其他数量关系问题

15．如图，二次函数22(0)yaxbxa的图象经过点(1,0)A，且与直线1

2yxc相交于坐标轴上的B、C

两点．

（1）求a、b、c的值；

（2）求证：90ACB；

（3）抛物线上是否存在点P，使得2ABPABC？若存在，则求出直线BP的解析式及P点坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，二次函数2(0)yaxbxca的图象经过点(1,0)A，并且与直线1

2

2yx相交于坐标轴上的B、

C两点，动点P在直线BC下方的二次函数图象上．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）如图，过点P作PMBC于点M，是否存在点P，使得CPM中的某个角恰好等于ABC的2倍？若存

在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，抛物线2yaxbxc经过点A、B、C，已知(1,0)A，(6,0)B，(0,6)C．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）在x轴上是否存在点M，使45OCMACO，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

18．已知抛物线23yaxbx经过点(1,0)A和点(3,0)B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动

点．

（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；

（2）如图，点E的坐标为(0,1)，点G为x轴负半轴上的一点，15OGE，连接PE，若2PEGOGE，

请求出点P的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，直线1

2

2yx与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线21

2yxbxc经

过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得

CDF中的某个角恰好等于BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线223yaxaxa与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，

点A的坐标为3

(0,)

2，点D为抛物线的顶点．

（1）如图1，求抛物线的顶点D的坐标；

（2）如图2，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，连接PB，过点D作DQBP于点H，交x轴于点Q，

设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作//CEy轴交BP的延长线于点E，点F为CE的中点，连接FQ，若

135DQCCQF，求点P的坐标．