判定三角形相似的条件

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每年中考的“相似度”都是必修的，一篇文章就可以轻松搞定！

相似三角形在初中数学中占有很大比重，难度较大，一直被很多同学所讨厌！偏偏这个大老虎还是中考必修内容~~那么，“相似三角形”有哪些知识点呢？常见的解题技巧有哪些类型？

对应角相等、对应边成比例的三角形称为相似三角形。相似性用符号“”表示，读作“类似于”。相似三角形对应边的比值称为相似比(或相似系数)。

一条平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，形成的三角形与原三角形相似。

1、三角形相似的判定方法

定义方法：两个对应角相等、对应边成比例的三角形相似

平行法：一条平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边延长线)相交，形成的三角形与原三角形相似

判断定理1:如果一个三角形的两个角等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似，可以简单描述为两个角相等，两个三角形相似。

判断定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边相等且夹角相同，那么这两个三角形相似，可以简单描述为两条边成比例且夹角相等，两个三角形相似。

判断定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成正比，那么这两个三角形相似，可以简单描述为三条边成正比，两个三角形相似

2、直角三角形相似的判定方法

以上判断方法均适用

定理：如果一个直角三角形的斜边和一个直角边与另一个直角三角形的斜边和一个直角边成正比，那么这两个直角三角形是相似的

垂直法：两个直角三角形除以斜边上的高度，与原三角形相似。

1、A型或仿A型相似

2、8型或仿8型相似

3、K型相似

4、子母型相似 用DE//AB，DG/AF=GE/BF。

如果AD等于BAC，AB/AC=BD/CD。

Ae=effg如果四边形ABCD是平行四边形。

如果DAC=DBC，ADE~BCE，AEB~DEC可以推导出来，即上下相似可以导致左右相似。

同理，左右相似可以导致上下相似。

判定三角形相似的条件

三角形是几何学中的基本图形，而相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。判定三角形相似的条件有以下几种：

1. AAA相似定理

AAA相似定理是指若两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。也就是说，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

例如，如果一个三角形的三个内角分别为30度、50度和100度，而另一个三角形的三个内角分别为30度、50度和100度，那么这两个三角形是相似的。

2. AA相似定理

AA相似定理是指若两个三角形的两个内角分别相等，则这两个三角形相似。也就是说，如果两个三角形的两个角度分别相等，那么它们是相似的。

例如，如果一个三角形的两个内角分别为30度和50度，而另一个三角形的两个内角分别为30度和50度，那么这两个三角形是相似的。

3. SSS相似定理

SSS相似定理是指若两个三角形的三个边的比例相等，则这两个三角形相似。也就是说，如果两个三角形的三个边的比例相等，那么它们是相似的。

例如，如果一个三角形的三个边长分别为3cm、4cm和5cm，而另一个三角形的三个边长分别为6cm、8cm和10cm，那么这两个三角形是相似的。

4. SAS相似定理

SAS相似定理是指若两个三角形的一个角和两个边的比例相等，则这两个三角形相似。也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边的比例相等，那么它们是相似的。

例如，如果一个三角形的一个角为60度，而另一个三角形的一个角为60度，且两个三角形的两个边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。

需要注意的是，以上四个相似定理都是用于判定两个三角形是否相似的条件。在判定三角形相似时，需要满足其中一个定理即可。

相似三角形具有很多重要的性质和应用。例如，相似三角形的对应边长比等于对应角度的正弦比、余弦比或正切比。这些性质在解决实际问题时非常有用。

总结起来，判定三角形相似的条件包括AAA相似定理、AA相似定理、SSS相似定理和SAS相似定理。通过观察三角形的角度和边长的比例，我们可以判定两个三角形是否相似。相似三角形在数学和几何学中有广泛的应用，对于解决实际问题和推导其他几何性质有重要作用。

年

级 九年级 课题 27.2.1相似三角形的判定（第一课时） 课型 新授

教学媒体 多媒体

教

学

目

标 知识

技能 1． 了解相似三角形及相似比的概念；

2． 掌握平行线分线段成比例定理和推论；

3． 掌握相似三角形两种判定方法：平行线法，三边法.

过程

方法 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法.

情感

态度 发展学生的探究能力,渗透类比思想,体会特殊与一般的关系.

教学重点 掌握相似三角形的概念,能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似.

教学难点 能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似

教 学 过 程 设 计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图

一、复习引入

1.什么是相似多边形?

2.怎样判断两个多边形相似?

3.三角形也属于多边形吗？相似三角形属于相似多边形吗？

4.给相似三角形下定义.

5.怎么样判断两个三角形相似？

二、自主探究

（一）平行线分线段成比例定理及其推论

教材40页探究1

 平行线分线段成比例定理

分析:

1.线段AB,BC,DE,EF的长度随着直线5,43,lll的位置的变化而变化吗？

2.猜测BCAB与EFDE相等吗？

3.通过画图，测量，计算验证你的猜想.

4.用数学语言描述你的发现.

得到：平行线分线段成比例定理

教师点拨：其它成比例的线段还有哪些？实际上，线段左上、左下、左全，右上、右下、右全只要写在对应位置， 所得比就是相等的.

 平行线分线段成比例定理的推论

1.定理图形中的直线21,ll交点在直线43,ll上时，对应线段还成比例吗？

2.擦去四周的部分，只留下△ABC和△ADE，原来的对应线段还成比例吗？你可以得到什么结论？

得到：平行线分线段成比例定理构的推论

（二）相似三角形的判定方法

 平行线法

在上面的两幅图形中，△ABC和△ADE相似吗？你能用学过的知识说明吗？

相似三角形的判定

1.如图，锐角ABC的高CD和BE相交于点O，图中

与ODB相似的三角形有 （ ）

A 4个 B 3个 C 2个 D 1个

2.如图，在ABC中，CABC2，BD平分ABC，

试说明：AB·BC = AC·CD

3.已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900 延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350 求证：ΔEAC∽ΔCBF

4.已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.

求证:ΔABC∽ΔEAD.

5.、如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形.

(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB；

(2)当ΔPDB∽ΔACP时，试求∠APB的度数.

6.如图，4531BCDEABDB，，，

（1）ABC∽ADE吗？说明理由。

（2）求AD的长。 A

E D

C B O

7.已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.

求证:CE2=ED·EP.

8.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.

(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由.

(2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.

9.如图，D为ΔABC内一点，E为ΔABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4.

(1)ΔABD与ΔCBE相似吗？请说明理由.

(2)ΔABC与ΔDBE相似吗？请说明理由.

10.已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.

求证:CE2=ED·EP.