自动控制原理第4章

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信阳师范学院物理电子工程学院教案自动控制原理

第页 73 第四章根轨迹法

教学时数：10学时

教学目的与要求：

1. 正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。

2. 正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。

3. 正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。

4. 正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。

5. 了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。

教学重点：根轨迹与根轨迹方程、绘制根轨迹的基本法则、广义根轨迹、系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系、系统阶跃响应的根轨迹分析。

教学难点：根轨迹基本法则及其应用。

闭环控制系统的稳定性和性能指标主要有闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。

根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。

§4－1 根轨迹与根轨迹方程

一、根轨迹

定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。

当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为180根轨迹。

例子如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：

()(0.51)KGsss

图4-1 二阶系统结构图信阳师范学院物理电子工程学院教案自动控制原理

第页 74 开环传递函数有两个极点120,2pp。没有零点，开环增益为K。

闭环传递函数为：

2()2()()22CsKsRsssK

闭环特征方程为： 2()220DsssK

闭环特征根为： 12112,112sKsK

从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化

而变化。例如，设

121212121200,20.51,111,12.512,121,1KssKssKsjsjKsjsjKsjsj

如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹：

图4-2 二阶系统的根轨迹

二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系

图4－3 控制系统

如图所示系统闭环传递函数为：信阳师范学院物理电子工程学院教案自动控制原理

第页 75 ()()1()()GssGsHs （4－4）

将前向通道传递函数G(s)表示为:

22*121212212221()(1)(21)()(1)(21)()fiGiGqiiszKsssGsKsTsTsTssp…… （4－5）

GK为前向通道增益， *GK为前向通道根轨迹增益

2*1222GGKKTT1…… （4－6）

1*1()()()ljjHhjjszHsKsp （4－7）

其中*HK为反馈通道的根轨迹增益。

1111***1111()()()()()()()()()()fjllijijijijGHqqlhijijiiijszszszszGsHsKKKspspspsp

闭环传递函数：

*11()()()fhkkGnkkszsKsp （4－10）

式中,kkzp分别为闭环零、极点。

比较式（4－8）和（4－10）可得出以下结论

① 闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；

② 闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；

③ 闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益*K有关。

根轨迹法的任务就在于已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。

三、根轨迹方程信阳师范学院物理电子工程学院教案自动控制原理

第页 76 闭环特征方程：

D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11）

闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。

根轨迹方程：

G(s)H(s)=-1 （4-12）

式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。

设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定n≥m，这时式（4－12）又可以写成：

*11()()()1()miiniiszGsHsKsp （4－13）

不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，把它分解成模值方程和相角方程。

模值方程： *11||1||miiniiKszsp （4－14）

相角方程

11()()(21)0,1,2,mniiiiszspkk

注意：

模值方程不但与开环零、极点有关，与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。

相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。

在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的*K值。

例4－1 已知系统的开环传递函数：2()()2/(2)GsHsKs试证明复平面上点1224,24sjsj是该系统的闭环极点。

证明：该系统的开环极点： 12122,2,ppss

它们应满足相角方程（4－15）信阳师范学院物理电子工程学院教案自动控制原理

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图4－4 例4－1开环零、极点分布图

以1s为试验点，观察图4－4，

可得： 001112()()9090(21)22spspk

以2s为试验点，可得：

001112()()9090(21)22spspk

可见：1s、2s都满足相角方程，所以1s、2s点是闭环极点。

例4－2 已知系统开环传递函数4()()/(1)GsHsKs当0K变化时其根轨迹如图4-5，求根轨迹上点10.50.5sj所对应的K值。

解根据模值方程求解*K值， 41|0.50.51|Kj

图4－5 例4－2根轨迹信阳师范学院物理电子工程学院教案自动控制原理

第页 78 根据图4－5可得： 2|0.50.51|2j，所以14K。

上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的*K值方法。

根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。

§4－2 绘制根轨迹的基本法则

一、根轨迹的分支数

分支数＝开环极点数

＝闭环特征方程的阶数

二、根轨迹对称于实轴

闭环极点为：实数→在实轴上

复数→共轭→对称于实轴

三、根轨迹的起点与终点

起于开环极点，终于开环零点。由根轨迹方程有：

1*1()1()miiniiszKsp

起点： *0K 0isp isp

终点： *K 0isz isz

若开环零点数m < 开环极点数n有(n-m)个开环零点在无穷远处，则有(n-m)条根轨迹终于无穷远点。

四、实轴上的根轨迹

实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。

证明：设一系统开环零、极点分布如图。信阳师范学院物理电子工程学院教案自动控制原理

第页 79

图4－6 实轴上的根轨迹

在实轴上任取一试验点 s 代入相角方程则：

3412111()()()()()(21)iiiiszspszszspk

所以相角方程成立，即s是根轨迹上的点。

一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点，则有关系式：

11()()()lhiiiiszsplh

如满足相角条件必有： ()(21)lhk

所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。

例4－3 设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求时的闭环根轨迹。

解：将开环传递函数写成零、极点形式： 2(1)()(2)KsGsss

按绘制根规迹法则逐步进行：

① 法则一，有两条根轨迹

② 法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，一条终于有限零点－1，另一条趋于无穷远处。

③ 法则四，在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间是根轨迹。

最后绘制出根轨迹如图4－7所示。信阳师范学院物理电子工程学院教案自动控制原理

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图4－7 根轨迹

法则五：根轨迹的渐近线

渐近线与实轴正方向的夹角为：(21)aknm

渐近线与实轴相交点的坐标为：11nmijijapznm

例4-4 已知系统的开环传递函数*2(1)()()(4)(22)KsGsHssssS，试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。

解：零点： 1,1zm

极点： 12340,4,11,11,4pppjpjn

按照公式得：

12300011(21)(21)(21)41360(0)180(1)300(2)53nmiiiikkknmkkkpznm

以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线：

自动控制原理第四章根轨迹法

第4章根轨迹法

根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广

泛应用。本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基

础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。

4.1 根轨迹的基本概念

4.1.1 根轨迹概念

所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s平

面上变化的轨迹。

例如某控制系统的结构图如图4.1所示。

图4.1 控制系统

其开环传递函数为

()

(0.51)K

ss=

其闭环传递函数为

()

22K

ssKΦ

式中：K为系统开环增益。

于是闭环特征方程可写为

220ssk++=

对上式求解得闭环特征根为

1,2112sK=−±−

令开环增益K从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注

在s平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。箭头表

示随K值增加根轨迹的变化趋势。这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解

析法。

画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。通过第3章的学习知道，系统第4章根轨迹法

·101·

特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复

平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。又因为

根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通

过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切

的联系。

图4.2 控制系统根轨迹

4.1.2 根轨迹方程

对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简

单的低阶系统。而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方

法来实现的。

下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。

设控制系统如图4.3所示，其闭环传递函数为

自动控制原理总复习资料(完美)

总复习

第一章的概念

1、典型的反馈控制系统基本组成框图：

2、自动控制系统基本控制方式：(1)、反馈控制方式；(2)、开环控制方式；(3)、复合控制方式。

3、基本要求的提法：可以归结为稳定性（长期稳定性）、准确性（精度）和快速性（相对稳定性）。

第二章要求:

1、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法；

2、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质；

3、明确传递函数与微分方程之间的关系；

4、能熟练地进行结构图等效变换；

5、明确结构图与信号流图之间的关系；

6、熟练运用梅逊公式求系统的传递函数；

例1 某一个控制系统动态结构图如下，试分别求系统的传递函数:)()(,)()(1211sRsCsRsC ，)()(,)()(2122SRSCsRsC。

串连补偿元件放大元件执行元件被控对象反馈补偿元件测量元件输出量主反馈局部反馈输入量－－43213211243211111)()(,1)()()(GGGGGGGsRsCGGGGsGsRsC

例2 某一个控制系统动态结构图如下，试分别求系统的传递函数：)()(,)()(,)()(,)()(sNSEsRsEsNsCsRsC。

例3：

将上图汇总得到：

1()it2()it1()ut()ct()rt1R2R1C2C+_+_+_Ka11Cs21Cs21R1R()Rs()Cs1()Us1()Us1()Us1()Is1()Is2()Is2()Is2()Is()Cs(b)(t)iR(t)ur(t)111(t)]dti(t)[iC1(t)u2111(t)iRc(t)(t)u221(t)dtiC1c(t)22+_+_+-11Cs21R21Cs11R()Rs()Cs(s)H(s)(s)GG1(s)(s)GGR(s)C(s)2121(s)H(s)(s)GG1(s)G-N(s)C(s)212

自动控制原理复习资料

iiissQsH)()(1)(第一章：1 闭环系统（或反馈系统）的特征：采用负反馈，系统的被控变量对控制作用有直接影响，即被控变量对自己有控制作用。2 典型闭环系统的功能框图。

自动控制在没有人直接参与的情况下，通过控制器使被控对象或过程按照预定的规律运行。

自动控制系统由控制器和被控对象组成，能够实现自动控制任务的系统。

被控制量在控制系统中．按规定的任务需要加以控制的物理量。

控制量作为被控制量的控制指令而加给系统的输入星．也称控制输入。

扰动量干扰或破坏系统按预定规律运行的输入量，也称扰动输入或干扰掐入。

反馈通过测量变换装置将系统或元件的输出量反送到输入端，与输入信号相比较。反送到输入端的信号称为反馈信号。

负反馈反馈信号与输人信号相减，其差为偏差信号。

负反馈控制原理检测偏差用以消除偏差。将系统的输出信号引回插入端，与输入信号相减，形成偏差信号。然后根据偏差信号产生相应的控制作用，力图消除或减少偏差的过程。

开环控制系统系统的输入和输出之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制作用没有影响，这样的系统称为开环控制系统。开环控制又分为无扰动补偿和有扰动补偿两种。

闭环控制系统凡是系统输出端与输入端存在反馈回路，即输出量对控制作用有直接影响的系统，叫作闭环控制系统。

自动控制原理课程中所讨论的主要是闭环负反馈控制系统。

复合控制系统复合控制系统是一种将开环控制和闭环控制结合在一起的控制系统。它在闭环控制的基础上，用开环方式提供一个控制输入信号或扰动输入信号的顺馈通道，用以提高系统的精度。

自动控制系统组成闭环负反馈控制系统的典型结构如图1．2所示。组成一个自动控制系统通常包括以下基本元件

1．给定元件给出与被控制量希望位相对应的控制输入信号(给定信号)，这个控制输入信号的量纲要与主反馈信号的量纲相同。给定元件通常不在闭环回路中。2．测量元件测量元件也叫传感器，用于测量被控制量，产生与被控制量有一定函数关系的信号。被控制量成比例或与其导数成比例的信号。测量元件的精度直接影响控制系统的精度应使测量元件的精度高于系统的精度，还要有足够宽的频带。3．比较无件用于比较控制量和反馈量并产生偏差信号。电桥、运算放大器可作为电信号的比较元件。有些比较元件与测量元件是结合在一起的，如测角位移的旋转变压器和自整角机等。4．放大元件对信号进行幅值或功率的放大，以及信号形式的变换．如交流变直流的相敏整流或直流变交流的相敏调制。5．执行元件用于操纵被控对象，如机械位移系统中的电动机、液压伺服马达、温度控制系统中的加热装置。执行元件的选择应具有足够大的功率和足够宽的频带。6．校正元件用于改善系统的动态和稳态性能。根据被控对象特点和性能指标的要求而设计。校正元件串联在由偏差信号到被控制信号间的前向通道中的称为串联校正；校正元件在反馈回路中的称为反馈校正。7．被控对象控制系统所要控制的对象，例如水箱水位控制系统中的水箱、房间温度控制系统中的房间、火炮随动系统中的火炮、电动机转速控制系统中电机所带的负载等。设计控制系统时，认为被控对象是不可改变的，它的输出即为控制系统的被控制量。8．能源元件为控制系统提供能源的元件，在方框图中通常不画出。