认识方程课件

请问：你的年龄乘2加3等于多少？
你们知道我是怎么做的吗？
知识讲解
问题1.小彬和小华在进行猜年龄游戏，我们来看一看.
找出这道题中有哪些相等的关系，列出方程。
解：设小彬今年x岁，
根据题意“你的年龄乘2再减去5”就是 2x-5 ,
因此得到等式 2x-5 =21。
知识讲解
问题2.甲、乙两地相距 22 km,张叔叔从甲地出发到乙地，
值是方程的解．若左边≠右边，则此数值不是方程的解。
随堂训练
例4.根据下列条件列出方程：
（1）某数比它的4倍小3；

（2）某数的 与15的差的3倍等于2；

（3）比某数的5倍大2 的数是17；


（4）某数的 与它的 的和为5。


解：设某数为，则:
（１）４ − ３＝；

（２） − × ＝２；
第五章 一元一次方程
第五章
一元一次方程
1 认识方程
学习目标
1.能根据实际问题列方程。（难点）
2.归纳并理解一元一次方程的概念。（重点）
3.理解方程的解的概念。
新课导入
我能很快地猜出你们的年龄，相信吗？不管是哪
一个同学，只要回答我一个问题，我就能马上猜到他
的年龄是多少，怎么样？下面让我们来试试吧？
解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60－x）支.
等量关系：x支铅笔的售价+（60－x）支圆珠笔的售价=87，
列方程：1.2 × 0.8 + 2 × 0.9 60 − = 87。
.
课堂小结
方程
认识
方程
含有未知数的表示量相等的等式叫作方程
一元一次方程
在一个方程中,只含有一个未知数,且方程中

生物学中通过建立方程模 型来研究生物的生长、繁 殖和进化等问题。
跨学科领域中方程应用探讨
经济学
在经济学中，方程被用来描述市 场供需关系、价格变动等经济现
象。
社会学
社会学研究中，通过建立方程模型 来分析社会现象和社会问题。
环境科学
环境科学中利用方程来模拟和预测 环境变化，如气候变化模型等。
THANKS
加减消元法
当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时 ，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而 将二元一次方程组转化为一元一次方程来解。
实际问题中二元一次方程组应用
行程问题
利用二元一次方程组可 以解决相遇问题、追及
问题等行程问题。
工程问题
利用二元一次方程组可 以解决工作效率、工作 时间、工作总量之间的
认识方程PPT免费
目录
• 方程基本概念 • 一元一次方程 • 二元一次方程组 • 一元二次方程 • 分式方程和无理方程 • 方程在生活和科学中的应用
01
方程基本概念
方程定义与分类
方程定义
含有未知数的等式，表示两个数 学表达式之间的相等关系。
方程分类
根据未知数的个数、次数和系数 等特点，方程可分为一元一次方 程、一元二次方程、二元一次方 程组等。
去分母
通过两边乘以最小公倍数消去分母， 化为整式方程。
解整式方程
利用整式方程的解法，求出未知数的 值。
检验
将求得的解代入原方程，检验是否满 足原方程，并排除增根。
无理方程定义及解法
无理方程定义
转化
根号内含有未知数或绝对值符号内含有未 知数的方程称为无理方程。
通过换元法或平方法将无理方程转化为有 理方程。

4. 已知方程 (m 2)x m 1 3 m 5 是关于 x 的一元一 次方程，求 m 的值，并写出原方程．
解：因为方程 (m 2)x m 1 3 m 5 是关于 x 的一元 一次方程， 所以 |m|－1 = 1，且 m－2 ≠ 0，得 m = －2. 所以原方程为－4x + 3 = －7.
A. 3x－2＝2x
B. 4x－1＝2x＋3
C. 3x＋1＝2x－1 D. 5x－3＝6x－2
2. 若 x＝4 是关于 x 的方程 ax＝8 的解，则 a 的值 为___2___.
当堂小结
认识方程
方程的定义 一元一次方程
方程的解
课堂练习 1. x = 1 是下列哪个方程的解
A. 1 x 2 C. x 1 x 2
甲种支数 乙种支数 20支
解：设甲种铅笔买了 x 支，乙种铅笔买了 (20 - x) 支. 0.3x + 0.6(20－x) = 9，是一元一次方程.
（3）一个梯形的下底比上底多 2 cm，高是 5 cm，面 积是 40 cm2，求上底．
1 2 (上底+下底)×高 = 梯形面积
解：设上底为 x cm，则下底为 (x + 2) cm. 1 (x x 2)5 40，是一元一次方程. 2
x
415 424 433 442 451 460 379 388 …
10x + 15(45 - x) 46570 64655 6460 465 470 475 480 485 …
总结 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方 程的解。求方程的解的过程称为解方程。
练一练
1. 下列方程中，解为 x＝－2 的是( C )
典例精析
例1 判断下列各式哪些是方程：

标准形式
x+a=b或x-a=b
注意事项
方程中只有一个未知数，且未知数的最高次数为1。
解一元一次方程方法
等式性质法
利用等式的基本性质，通过移项、合 并同类项等步骤，将方程化为 x = a 的形式。
配方法
公式法
对于形如 ax^2 + bx + c = 0 的一元 二次方程，当 b^2 - 4ac ≥ 0 时，可 使用求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 4ac)] / (2a) 进行求解。
求解。
代入消元法
将一个方程中的一个未知数用另 一个未知数表示出来，代入另一 个方程中，得到一个关于另一个 未知数的一元一次方程，进而求
解。
矩阵消元法
通过矩阵的初等行变换，将系数 矩阵化为行阶梯形矩阵或行最简 形矩阵，从而得到方程组的解。
实际问题建模与求解
1 2
实际问题转化为数学模型 根据实际问题中的条件，建立相应的二元一次方 程组模型。
认识方程优质教学课件
目录
• 方程基本概念与性质 • 一元一次方程解法与应用 • 二元一次方程组解法与应用 • 一元二次方程解法与应用 • 分式方程和无理方程解法与应用 • 方程组在几何图形中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
方程基本概念与性质
方程定义及分类
方程定义
方程是含有未知数的等式，表示两 个数学表达式之间的相等关系。
06
方程组在几何图形中应用
平面直角坐标系中直线表示方法
一般式
斜截式
$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$不同时 为0，表示一条直线。
$y = kx + b$，其中$k$为斜率，$b$为截距， 表示一条斜率为$k$、在y轴上截距为$b$的 直线。

《九章算术》第七章"盈不足"中有这样一个问题:"今有共买物,人出入,
盈三;人出七,不足四。问:人数、物价各几何?"你知道我国古人是如何解
决这个问题的吗?
5.1
认识方程
情景导入
本章你将经历从具体问题情境中发现等量关系、抽象出方程模型的过程,
利用等式的基本性质求解一元一次方程,并运用一元一次方程解决实际问题,
新课标 北师大版（2024) 七年级上册
第五章 一元一次方程
5.1认识方程
认识方程
学习目标
01
我能根据实际问题中的等量关系列出方程,感受方程作为刻画现实世界的有
效模型的意义.
02
我能通过观察方程的特点，归纳出一元一次方程的概念.
03
我能学会判断一元一次方程和验证一元一次方程的解.
5.1
认识方程
情景导入


－
+



=
问题三：这三个式子有什么共同特点？
（1）都含有未知数x
（2）都含有等号，表示量相等的式子
含有未知数的表示量相等的等式称为方程
5.1
认识方程
知识.归纳
在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，
未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
如：10x + 15(45 - x)=475，2x+3=7x+4都是一元一次方程
感受方程的模型思想和方程求解的转化思想,发展抽象能力和运算能力。
在本章学习过程中,你可以持续思考以下问题:
为什么要学习方程?方程的本质是什么?
如何得到一个方程?求解方程的基本思路是什么?
5.1

利润问题
其他问题
利用二元一次方程组表示进价、售价和利润 之间的关系，求解最大利润等问题。
如浓度问题、配套问题等，都可以通过设立 二元一次方程组进行求解。
04
一元二次方程
一元二次方程形式
一般形式
01
$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a neq 0$
标准形式
02
$(x-p)^2 = q$
含有绝对值的情况
需要根据绝对值的性质，分别讨论绝对值内部表达式的正负情况， 从而转化为常规的无理方程进行求解。
含有参数的情况
需要根据参数的不同取值范围，分别讨论方程的解的情况，从而 得到参数对方程解的影响。
06
方程在实际问题中应用
行程问题建模与求解
路程、速度和时间关系建模
通过方程表达路程、速度和时间之间的数学关系，如s=vt（s为路 程，v为速度，t为时间）。
标准形式
$x + a = b$，通过移项可将一般 形式转化为标准形式。
解一元一次方程方法
等式性质法
利用等式性质（等式两边 同时加上或减去同一个数， 等式仍成立）来解方程。
移项法
将方程中的未知数项移到 等式的一边，常数项移到 等式的另一边，从而解出 未知数。
合并同类项法
将方程中的同类项合并， 简化方程后求解。
不等式
用不等号连接的式子称为不等式，表示左右两边不 相等。
不等式性质
不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式性质 不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不 等式性质不变；不等式两边同时乘以或除以同一个 负数，不等式反向。
02
一元一次方程
一元一次方程形式
一般形式

一元一次方程， 则k的值是( )
A. 1
B. 2
C. －1
D. 3
解题秘方：由一元一次方程的定义可知未知数的 次数为1，系数不为0，据此求出k的值.
感悟新知
解：根据题意，得k－1 ≠ 0且|k－2|＝1 . 由|k－2|＝1，得k－2＝±1 ，所以k＝3或k＝1. 由k－1 ≠ 0，得k ≠ 1 . 所以 k＝3． 答案：D
感悟新知
特别解读
知2－讲
①②③是判断一元一次方程的三个标准，其中“元”
指“未知数”，“次”指“未知数的次数”，“整式”指
分母不含未知数.
任何一个一元一次方程经过化简与整理后都可以写成
标准形式ax＋b＝0(a ≠ 0)，a ≠ 0是重要条件，也是判断是
否为一元一次方程的根本条件.
感悟新知
知2－讲
2. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形 式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0 . 我们把 ax＋b＝0叫作一元一次方程的标准形式.
2－1. 在方程3x－y＝2，x＋1x－2＝0，12x＝12，x2－2x－3＝ 0 中，一元一次方程有( A )
A. 1 个
B. 2个
C. 3 个
D. 4个
感悟新知
知2－练
特别提醒 判断一元一次方程不仅要看原方程，还要看化
成标准形式后未知数的系数是否为0.
感悟新知
知2－练
例 3 [期末·枣庄峄城区] 若方程(k－1)x|k－2|＝3是关于x的
C. 4个
D. 5个
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣方程的“两个条件”进行判断.
解：①不是方程，因为它不含未知数；③ 不是方程，因为 它不是等式；⑥不是方程，因为它不是等式；②④⑤均满 足方程的“两个条件”，是方程. 答案：B

方程的种类
总结词
列举方程的不同类型
详细描述
一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、二元二次方程等。每种类型的方 程都有其特定的形式和特点。
方程的解法概述
总结词
概括方程的解法流程
详细描述
解方程的基本步骤包括去分母、去括号、移项、合并同类项和化简等。根据不同类型的方程，解法会有所不同。
02 一元一次方程
数学建模与方程的关系
01
方程是数学建模的重要工具之一，用于描述实际问题中 变量之间的关系。
02
通过方程，可以建立实际问题的数学模型，进而求解和 分析。
03
不同类型的实际问题可能需要建立不同类型的方程，如 代数方程、微分方程、积分方程等。
1.谢谢聆 听
基于泰勒级数展开，通过迭代逐 步逼近非线性方程组的解。
拟牛顿法
改进牛顿法，使用拟牛顿矩阵代 替海森矩阵，提高迭代效率。
梯度下降法
基于函数梯度的负方向搜索最优 解，适用于大规模非线性优化问
题。
06 数学建模与方程的应用
数学建模的基本概念
数学建模
运用数学语言和方法，通过抽象、简 化建立能近似刻画并解决实际问题的 一种强有力的数学工具。
一元一次方程的定义
总结词
一元一次方程的基本定义
详细描述
一元一次方程是只含有一个未知数，且该未知数的次数为1的方程。它的一般形式是 ax + b = 0，其 中 a 和 b 是常数，x 是未知数。
一元一次方程的解法
总结词
一元一次方程的解法
详细描述
一元一次方程的解法包括移项、 合并同类项和系数化为1等步骤。 解一元一次方程的目的是求出未 知数的值。
多元一次方程组

则大水杯的单价为 (x+5) 元 个 ，买 3个大水杯的钱的代数表达： 3(x +5)元
4 x＝3(x +5)
“表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系．
列算式:列出的算式表示解题的计算过程, 只能用已知数.对于较复杂的问题,列算式比较困难.
列方程:方程是根据题中的等量关系列出的等式. 既可用已知数,又可用未知数,解决问题比较方便.
___3_m___＋___7_n__＝___7_6______。
购买费用的代数表达：（ 3 m ＋ 7 n ） 元
当m＝2，n＝10时，左边＝3×2＋7×10＝76＝右边 我们把m＝2，n＝10这一对数 叫作方程3m＋7n＝76的一个解。
(4) 用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯， 大水杯的单价比小水杯的单价多5元，小水杯的单价是多少元？ 设小水杯的单价为 x 元 个 ， 买 4个小水杯的钱的代数表达： 4 x 元 ，
(2) 如图，一个面积为15的长方形分成一个正方形和 一个宽为2的长方形，问：分成的正方形的边长为a2 cm2.
大长方形面积的代数表达：
使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。
(3)小明到超市购买m瓶单价为3元的
和n支单价为7元的笔共花费76元，可得方程：
第五章 一元一次方程
认识方程
浙教版七年级上册
温故知新：
（1）用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，
正方形的边长是多少？ 列算式： 24÷4
设正方形的边长为x cm.
正方形周长的代数表达：4 x (cm)
x
4x 24
像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系， 列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程 。

2一瓶矿泉水的价格是25元一个面包的价格是x元买2个面包和一瓶矿泉水一共花了49元
认识方程
1
学习目的 • 1 了解方程的意义，弄清方程与等式的关系，会判别什么是方程，感受方程的思想。 • 2会看图列方程。
2
“这是什么？〞
天平
3
问题引导下再学习 20克 30克
用式子表示天平 两边数量的关系。
〔1〕20＋30＝50
x元
39元 x ＋11＝39
11元
x支
40
13
2. 先读一读，再列方程。 〔1〕一辆汽车的载重是5吨，用这辆 汽车运x次，可以运40吨货物。 〔2〕一瓶矿泉水的价钱是2.5元，一 个面包的价钱是x元，买2个面包 和一瓶矿泉水一共花了4.9元。
5x＝40 2x＋2.5＝4.9
① 35-χ =12 ( ) ⑥ 0.49÷χ =7 ( )
② Y+24
( ) ⑦ 35+65=1是00 ( )
③ 5 χ+32=47 ( ) ⑧ χ-14＞ 72 ( )
④ 28＜ 16+14 ( ) ⑤ 6(a+2)=42 ( )
9b-3=6不0是( ) χ +y=70 ( )
是
不是
9
是
10
是 不是
不是 是 是
11
判别题
〔1〕含有未知数的等式是方程( ) 〔2〕含有未知数的式子是方程( ) 〔3〕方程是等式，等式也是方程( ) 〔4〕3χ＝0是方程( ) 〔5〕4χ＋20含有未知数，所以它是方程( )
√
√ X X
X
〔6〕x=3不是方程〔 〕
×
;.
12
练一练
1. 看图列方程。