第四章 弯曲时空中的物理定律

∂xα ∂ξα
∂ ∂xβ
∂ξα ∂xν
Tν
=
T,αβ
+
∂xα ∂ξα
∂2ξα ∂ xβ ∂ xν
Tν.
1
2
第四章 弯曲时空中的物理定律
注意在LGS中所有的克氏符号全为零，从(3.23)式立即得到
T;αβ = T,αβ + Γαβν T ν .
(4.1)
显然，当克氏符号全为零，协变偏导数退化为普通偏导数，或者说分号退化为逗号. 可以引入张量的协变微分 DT α，它与普通微分 dT α 的差别是
eθ(r);θ = 1/r, er(θ);θ = −r, eθ(θ);r = 1/r,
其余为零. 通过这个例子可以看到，尽管一个向量的坐标分量在所有的点上都取常数值，它的协变偏导 数甚至在时空平直的情况下也不一定为零. 这些协变导数正确地显示了这两个基底向量场不是常数向量 场.
重写测地线方程 用4速度 uα = dxα/dλ 表示的测地线方程为
1阶逆变张量的协变导数 既然张量的普通偏导数 T,αβ 不再是一个张量，我们来构造一种构成张量 的新的偏导数，称为协变偏导数并记为 T;αβ. 当然它必须有明确的几何和物理意义. 一种自然的构思是在 局部测地线坐标系LGS中，这两种偏导数相等. 张量是一个几何量，当它在某一个坐标系中的坐标分量
已经确定，这个张量就已经完全确定了.
在弯曲空间里有可能用数学方法定义各种各样的平行移动. 广义相对论自然要求所定义的平行移动 有物理意义. 设想一个像自由粒子一样在引力场中自由下落的宇航员. 他随身携带一个标准钟和三个方向 相互正交的陀螺. 陀螺的质心和宇航员一起自由下落，陀螺也不受任何力矩的作用. 我们把这种陀螺称之 为自由陀螺. 标准钟所指示的原时增加的方向是他的4速度的指向. 4速度和陀螺指向一起构成了宇航员处 的局部惯性架. 处于封闭飞船中的宇航员感觉不到任何力的作用，船舱中狭义相对论的物理定律成立. 宇 航员有理由认为自己在平直时空中不受任何力的作用，他同样有理由认为自己在时空中的轨迹的指向和 携带的陀螺的指向都是不变的. 换句话说，他会认为他的4速度和陀螺的指向都在作平行移动. 在弯曲时 空中定义的向量的平行移动应当与等效原理给出的这种物理直觉相吻合.
ei(θ)/∂θ 显然都是零，似乎说明这个张量场是一个常数张量场， = r，沿径向随 r 增加而增加，沿横向则其方向随 θ在变化. 这
说明张量的普通偏导数并不能正确地表示张量场的性质. 径向基底场 e(r) 虽然长度保持不变，方向却随 θ
变化，情况类似.
上面指出这两组基底在极坐标系中的坐标分量对坐标的偏导数都是零. 如果这种偏导数是张量, 那么
度规的协变导数 在给定时空点的LGS中，度规为闵可夫斯基度规而且所有的克氏符号均为零. 从 克氏符号的定义(3.11)式可见，克氏符号是度规1阶偏导数的线性齐次函数，可以解出度规的一阶偏导数
为克氏符号的线性齐次函数,
gαβ,ν = gαρΓρβν + gβρΓραν .
(4.8)
所以，在LGS中度规的1阶偏导数为零.
现在来看平直空间和弯曲空间中向量的加减法有什么不同. 首先，在平直空间里不同点的切空间彼 此重合，而在弯曲空间里则不重合. 其次，在平直空间做不同点之间的向量的减法时，要把其中之一平 行移动到另一点去，然后在同一点对两个向量进行相减. 在弯曲空间里，我们不知道如何进行向量的平 行移动. 因此完全有必要来定义弯曲空间中的平行移动.
dT α = {T α(Q) − T α(P)}LP.
(4.10)
其中下标LP表示取花括号内的增量的线性部分. 注意 T α(Q) 和 T α(P) 分别是不同时空点P和Q处的张 量，它们属于不同的切空间. 在§1.1已经强调指出，只有在两个张量属于同一点的切空间时它们之间的运 算才是有意义的，所以上式右边的减法不符合张量之间的减法运算规则. 这从另一个角度说明普通微分 的结果不是1个张量.
物理定律涉及的并不是一个局部的时空点，而是一个时空范围. 第一章中强调过每一个张量都属于 一个时空点的切空间，不同切空间中的张量不能进行加减等运算. 为了要建立不同切空间的张量之间的 联系，必须首先学习黎曼几何中的一个重要概念：协变导数和向量的平移.
4.1 协变导数
为什么要引入协变导数 选取极坐标，其度规为
逆变向量的平移 向量的协变微分是一个张量, 与(4.10)式类比, 逆变向量的协变微分可写为
DT α = {T α(Q) − T α(P → Q)}LP.
(4.11)
这里 T α(P → Q) 表示将张量 T α(P) 平移到Q点. 这种平移还有待进一步说明. 另一方面, 从(4.2)式有
DT α = T;αβdxβ = T,αβdxβ + Γαβγ T γ dxβ = dT α + Γαβγ T γ dxβ
§4.1 协变导数
3
在每一个时空点都可以选到局部测地线坐标系LGS，这条狭义相对论的物理定律在其中成立. 下一步是 把它改造成广义相对论的物理定律. 方法是把普通偏导数“,”改成协变偏导数“;”, 把闵可夫斯基度规 ηαβ 改成度规 gαβ (例如把(4.4) 改写成(4.3)). 这种改写在LGS中是完全合理的，因为在其中所有的克氏符号 为零，协变导数变成普通导数，度规变成闵可夫斯基度规. 改写后的张量形式的定律应当在所有的坐标 系中都正确，称作是是广义协变的. “广义”表示对于所有的坐标系都成立，并不局限于惯性系. “协变”表 示物理定律由张量组成，其坐标分量在坐标变换下按照逆变或协变的规律变化.
DT α = T;αβdxβ,
dT α = T,αβdxβ.
(4.2)
前者是张量而后者不是.
T;αβ 是一个混变张量，可以用度规对指标进行升降. 例如，T α;β = gβν T;αν . 现在来计算2维欧氏空间 E2 在极坐标系中径向基底和横向基底场的协变偏导数. 显然有 er(r) = 1，eθ(r) = 0，er(θ) = 0 和 eθ(θ) = 1. 从度规可算得不为零的克氏符号为 Γrθθ = −r 和 Γθrθ = Γθθr = 1/r. 从协 变导数的定义(4.1)式算出不为零的2个基底坐标分量的协变偏导数为
现在用一个例子来说明张量对坐标的偏导数的缺陷. 在2维欧氏空间 E2 中 ds2 = dr2 + r2dθ2.
在空间的每一点都有一个横向的坐标基底 e(θ) = (0, 1)，构成了一个全空间的基底向量场. 它的2个坐标
分然量而对实坐际标上横r 或向基θ 的底偏e(导θ)数的∂长e度i(θ)为/∂r√和gθθ∂
从左边为零立即可得(4.8)式. 也可以将克氏符号的定义代入上式来验证(4.9)式.
4.2 向量的平移和陀螺的进动
为什么要讨论向量的平移 可以从数学和物理各种角度来看研究向量平移的必要性. 上一节已经指出张量的普通偏导数和普通微分不是张量. 设在时空点P计算张量 T α 的普通微分 dT α，而Q是P无穷小邻近的一点，按定义有
在任何坐标系中都应当是零. 改用直角坐标系，径向基底的坐标分量应当是 (cos θ, sin θ)，它对极坐标 θ
或直角坐标的偏导数都不是零. 这说明我们过去在微积分中学习的普通偏导数不是张量. 从第一章开始就
多次提到，物理定律应当写成张量之间的关系，所以要去寻求是张量的一种导数，就是本节引入的协变
S;α = S,α.
(4.5)
1阶协变张量的协变导数 可以像构造1阶逆变张量的协变偏导数的方式一样来得到1阶协变张量的 协变偏导数，但也可以用下面更为简便的方法.
设 Tα 和 Qα 是2个任意向量，它们间的缩并是1个标量，根据(4.5)式，有
(TαQα);β = (TαQα),β.
进一步规定协变导数和普通导数一样满足莱伯尼茨法则，即 (AB);β = A;βB + AB;β. 对上式两端都运用 莱伯尼茨法则，对 Qα;β 用(4.1)式，立即得到1阶协变张量的协变偏导数为
duµ dλ
+
Γµαβ uαuβ
=
uµ,α + Γµαβ uβ
uα = 0.
其中 λ 为仿射参数. 显然，用协变导数的语言，测地线方程可简洁地写成
Duµ dλ
=
uµ;αuα
=
0.
(4.3)
测地线方程的上述形式可以用等效原理直接了当地给出. 根据等效原理, 在LGS中不存在引力，狭义 相对论的定律成立，自由粒子的测地线方程为
用广义协变原理建立广义相对论物理定律的过程叙述如下. 首先写下1条狭义相对论的物理定律，把 它写成洛伦茨不变的形式，亦即在洛伦茨变换下它的形式不变. 例如自由粒子的测地线方程(4.4)就是洛 伦茨不变的，那里出现的物理量已经是张量，只是偏导数为普通偏导数. 洛伦茨变换把惯性系变换成惯 性系，将闵可夫斯基度规变换成闵可夫斯基度规，使得(4.4)的形式保持不变. 根据爱因斯坦等效原理，
在LGS中度规的1阶偏导数与1阶协变偏导数相同，由此推出在LGS中度规的协变导数为零. 因为度
规的协变导数是1个张量，立即得出在任意坐标系中都有
这是1个重要的结论.
gαβ;ν ≡ 0.
(4.9)
4
第四章 弯曲时空中的物理定律
从(4.7)式写出度规协变偏导数的表达式 gαβ;ν = gαβ,ν − gαρΓρβν − gβρΓραν .
设 {xα} 为任意坐标系，而 {ξα } 为LGS. 作为张量的偏导数 T;αβ 在坐标变换下的变换规律为
T;αβ
=
∂xα ∂ξα
∂ξβ ∂xβ
T,αβ
.
这里已经用了在LGS中协变导数与普通导数相同. 为了得到协变偏导数 T;αβ 在坐标系 {xα} 中的表达式, 将上式右端进一步变换成
T;αβ
=
duµ dλ
=
uµ,αuα
=