当前位置：文档之家 › 《统计学》贾俊平

《统计学》贾俊平

  • 格式：doc
  • 大小：682.50 KB
  • 文档页数：14

希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX 概率论与数量统计

一、连续型随机变量分布函数及其概率密度

1．概率密度与它的基本性质 设对于随机变量的分布函数F(x)，如果存在非负可积函数f(x)， 使得对任意的实数x，都有

xdttfxPxF)(}{)(

成立,则称为连续型随机变量，f(x)便是的概率密度（或分布密度）。

概率密度具有如下基本性质：(1)0)(xf (非负性)；(2)1)(dxxf (规范性)；

(3)对任何实数c，有0}{cP；对任意的实数a，b(a

2．连续型随机变量的数学期望和方差P47

3．随机变量的矩与切比雪夫不等式

4．常用的连续型分布

常用的连续型分布有均匀分布、指数分布、正态分布等。

（1）均匀分布

若随机变量取值在有限区间(a, b)上，其概率密度为

.其它,0,,1)(bxaabxf

其中b>a为常数。则称服从区间(a, b)上的均匀分布，简记为],[~..baUvr。

均匀分布是等可能概型在连续情形下的推广。

（4）正态分布

设随机变量有概率密度 xexfx,21)(222)(

其中，0为常数。则称服从参数为，的正态分布，简记为 ),(..2Nvr～。

特别，当=0，=1时，有

xexx,21)（22。 此时称服从标准正态分布。简记为..vr～N(0，1)。

5．概率密度与分布函数的互求

当概率密度给定时，运用逐段积分可求得分布函数。即xdttfxPxF)(){)(，

如此得到的分布函数是定义在整个实数轴上的连续函数。

反之，当分布函数已知时，在f(x)的连续点上运用逐段微分可求得概率密度。即xdttfdxddxxdFxf))(()()(。

可见，连续型随机变量的概率密度和分布函数亦可以相互唯一确定。

6．给定分布时的概率计算小结

(1)分布律已知时的概率计算公式是bixaipbaP}{

(2)概率密度已知时的概率计算公式是badxxfbaP)(}{

(3)分布函数已知时的概率计算公式是)()(}{aFbFbaP

(4)正态分布下的概率计算公式是)()(}(abbaP

其中r．v．~),(2N；(x)为标准正态分布函数。当x>0时其数值可查标准正态分布函数数值表(以下简称正态分布表)直接得到；对于负实数x，在公式(x)=1(x)转化下，仍可查表求值。 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX 二．随机变量函数的分布 随机变量的函数)(g在一定条件下仍是随机变量。的分布可由的已知分布确定。但在求的分布具体处理方法上，离散型和连续型是有区别的。

1．离散型随机变量的函数)(g分布希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX 设为一离散型随机变量，其分布律为

x1 x2 … xn …

pi p1 p2 … pn …

则当诸),3,2,1)((ixgi的值互异时，的分布律为

 )(1xg )(2xg … )(nxg …

pi p1 p2 … pn …

如果),3,2,1)((ixgi中有某些值相同时，则将相应概率相加之后予以合并处理，必要时重新排序后写出的分布律。可见，在离散型场合下，的分布律完全由的分布律确定。

2．连续型随机变量的函数)(g分布

设为连续型随机变量，其概率密度为)(xf，则)(g仍为连续型随机变量，其概率密度的计算步骤为：

(1)

根据的概率密度)(xf，求出的分布函数

yDxdxxfygPyPyF)(})({}{)( 其中，})({yxgxDy

(2) 对)(yF求导得的概率密度 在函数)(xg可导且严格单调时，的概率密度为

)())(()(yhyhfyf，

其中)(yhx是严格单调可微函数)(xgy(与)(g对应的普通函数)的反函数。至于y的取值范围，原则上将由)(xf中x的取值范围及)(yf中的y的允许范围讨论确定。

可见，连续型场合下，的概率密度完全由的概率密度确定。

3．连续型随机向量的函数的分布 P97 如卷积公式

卷积公式：设)，(YX的联合密度函数为)，(yxf，求YX的密度函数。dxxzxfzfz),()（

如果YX与是相互独立的随机变量，则有dyyfyzfdxxzfXfzfYXYXz)()()()()（（卷积公式）

4．随机向量的数字特征 P104 协方差 协方差矩阵 相关系数

设)，(YX为二维随机变量，EXEYEXYEYYEXXEYX)])([()，cov(DYDXYXYX),cov(,

第四章 数理统计的基础知识

4.1 总体与样本

一、总体与总体分布

定义4.1 在统计学中称随机变量（或向量）X为总体，并把随机变量（或向量）X的分布称为总体的分布。

二、样本与样本分布

4.2 称)...,,(21nXXX为总体X的简单随机样本，若nXXX...,,21是独立同分布的随机变量，且与总体X同分布。样本中所含分量的个数n称为该样本的容量。

以大写的英文字母iX表示随机变量，而以相应的小写英文字母ix表示它的观察值，并称样本)...,,(21nXXX的一组具体的观察值)...,,(21nxxx为样本值。 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX 设总体X的分布函数为)(xF，则由定义4.2知，样本)...,,(21nXXX的分布函数为)(),...,,(121nininxFxxxF称之为样本分布。

若总体X为连续型随机变量，其密度函数为)(xf，则样本的密度函数为)(),...,,(121nininxfxxxf。

三、统计推断问题简述

即借助总体X的一个样本)...,,(21nXXX，对总体X的未知分布进行推断，我们把这类问题统称为统计推断问题。

4.2 统计量

一、统计量的定义希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX 定义4.3 设)...,,(21nXXX为总体X的一个样本，称此样本的任一不含总体分布未知参数的函数为该样本的统计量。如nnXXXS...21 nSXn/

二、常用的统计量

1.样本均值 称样本的算术平均值为样本均值，记为X，即)...(121nXXXnX

2.样本方差 2120)(1niiXXnS 更多时候用修正样本方差2120)(11niiXXnS

3.样本标准差 21)(11niiXXnS

4.样本原点矩 nikikXnA11，1k 并称kA为样本的k阶原点矩。

5.样本中心矩 kniikXXnB1)(1，1k，并称kB为样本的k阶中心矩。

三、枢轴量 仅含一个未知参数，但其分布却已知的样本函数称为枢轴量。

如总体),(~20NX，其中20已知，未知，)...,,(21nXXX为总体X的一个样本，令0)(XnU，上述函数U中虽然含有未知参数，但总有)1,0(NU，故U是一枢轴量，可以对作统计推断。

4.3 常用的统计分布

一、分位数

定义4.4 设随机变量X的分布函数为)(xF，对给定的实数），10（如果实数,F满足,FXP即,1F或,1FF则称,F为随机变量X的分布的水平的上侧分位数。或直接称为分布函数F(x)的水平的上侧分位数。

定义4.5 设X是对称分布的连续型随机变量，其分布函数为)(xF，对给定的实数），10（如果正实数T满足,TXP即 1)(）（TFTF 则称T为随机变量X的分布的水平的双侧分位数，也简称为分位数，或直接称为分布函数)(xF的水平的分位数。

二、2分布 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX 在第二例2.29：若)1,0(~NX，则2X的密度函数为.0,21)（221xeXxfx （4.17）

命题4.1 设nXXX...,,21是n个相互独立的随机变量，且)1,0(~NXi，i=1,2,…,n,则

)...22221nXXXX希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！

授课：XXX 的密度函数为.0,)2(21);（21222xeXnnxxnn（4.18）

其中)0()（10dxeXx是（伽马）函数。

定义4.6 一个随机变量X称为服从以n为自由度的2分布，如果其密度函数由（4.18）给出，记作)(~2nX。

（命题4.1证明）由（4.17）知，当n=1时，（4.18）成立，使用数学归纳法，设n=k时，（4.18）成立，令22221...kXXX，YXXk,21。由归纳假设及（4.17）知：

,的密度函数分别为.0,)2(21)（2122xexkxfxkk.0,)21(21)（22121yeyyfy

由于,皆为非负的随机变量且相互独立，由第3章的卷积公式可推知，当z>0时，y的密度函数可按下式计算：dyeyeyzkdyyfyzfzfyyzkzkz2121)(21120210)()21()2(21)()()（

=zydzyzykzedyyyzkekzkkzkzkz211202112121211202121)1()21()2(2)()21()2(2

kkzkkkkkzezkezkkBzytdtttkze1212121121212112102112121)21(21)21()2(2)21,2()令()1()21()2(2

其中倒数第二个等式中使用了贝塔函数的定义：)0,0()1()（1110qpdxxXBqp以及贝塔函数和伽马函数的关系：)()()(),（bababaB

命题4.2 （1）若)(~2mX，)(~2nY，且X与Y相互独立，则)(~2nmYX。

（2）若)(~2nX，则nDXnEX2,。

合集下载

统计学 贾俊平 考研 知识点总结材料

统计学 贾俊平 考研 知识点总结材料

统计学重点笔记

第一章导论

一、比较描述统计和推断统计：

数据分析是通过统计方法研究数据，其所用的方法可分为描述统计和推断统计。

（1）描述性统计：研究一组数据的组织、整理和描述的统计学分支，是社会科学实证研究中最常用的方法，也是统计分析中必不可少的一步。容包括取得研究所需要的数据、用图表形式对数据进行加工处理和显示，进而通过综合、概括与分析，得出反映所研究现象的一般性特征。

（2）推断统计学：是研究如何利用样本数据对总体的数量特征进行推断的统计学分支。研究者所关心的是总体的某些特征，但许多总体太大，无法对每个个体进行测量，有时我们得到的数据往往需要破坏性试验，这就需要抽取部分个体即样本进行测量，然后根据样本数据对所研究的总体特征进行推断，这就是推断统计所要解决的问题。其容包括抽样分布理论，参数估计，假设检验，方差分析，回归分析，时间序列分析等等。

（3）两者的关系：描述统计是基础，推断统计是主体

二、比较分类数据、顺序数据和数值型数据：

根据所采用的计量尺度不同，可以将统计数据分为分类数据、顺序数据和数值型数据。

（1）分类数据是只能归于某一类别的非数字型数据。它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，是用文字来表达的，它是由分类尺度计量形成的。

（2）顺序数量是只能归于某一有序类别的非数字型数据。也是对事物进行分类的结果，但这些类别是有顺序的，它是由顺序尺度计量形成的。

（3）数值型数据是按数字尺度测量的观察值。其结果表现为具体的数值，现实中我们所处理的大多数都是数值型数据。

总之，分类数据和顺序数据说明的是事物的本质特征，通常是用文字来表达的，其结果均表现为类别，因而也统称为定型数据或品质数据；数值型数据说明的是现象的数量特征，通常是用数值来表现的，因此可称为定量数据或数量数据。

三、比较总体、样本、参数、统计量和变量：

（1）总体是包含所研究的全部个体的集合。通常是我们所关心的一些个体组成，如由多个企业所构成的集合，多个居民户所构成的集合。总体根据其所包含的单位数目是否可数可以分为有限总体和无限总体。有限总体是指总体的围能够明确确定，而且元素的数目是有限可数的，需要注意的是，统计意义上的总体，通常不是一群人或一些物品的集合，而是一组观测数据。

【免费下载】统计学贾俊平

【免费下载】统计学贾俊平

概率论与数量统计

一、连续型随机变量分布函数及其概率密度

1．概率密度与它的基本性质

设对于随机变量

的分布函数F(x)，如果存在非负可积函数f(x)， 使得对任意的实数x，都有

x

dttfxPxF

)(}{)(

成立,则称

为连续型随机变量，f(x)便是

的概率密度（或分布密度）。

概率密度具有如下基本性质：(1) (非负性)；(2) (规范性)；0)(xf

1)(dxxf

(3)对任何实数c，有；对任意的实数a，b(a

b

adxxfbaP)(}{

且只要区间的端点不变，

取值于开区间或闭区间或半开半闭区间的概率都是相等的。

2．连续型随机变量的数学期望和方差P47

3．随机变量的矩与切比雪夫不等式

4．常用的连续型分布

常用的连续型分布有均匀分布、指数分布、正态分布等。

（1）均匀分布

若随机变量取值在有限区间(a, b)上，其概率密度为









.其它,0,,1

)(bxa

abxf

其中b>a为常数。则称服从区间(a, b)上的均匀分布，简记为。

],[~..baUvr

均匀分布是等可能概型在连续情形下的推广。

（4）正态分布

设随机变量有概率密度



xexfx

,

21

)(22

2)(





其中，为常数。则称服从参数为，的正态分布，简记为 。

0

),(..2



Nvr～

特别，当=0，=1时，有

。 此时称服从标准正态分布。简记为～N(0，1)

。

xexx

,

21

)（22



..vr

5．概率密度与分布函数的互求

当概率密度给定时，运用逐段积分可求得分布函数。即，

x

dttfxPxF)(){)(

如此得到的分布函数是定义在整个实数轴上的连续函数。

反之，当分布函数已知时，在f(x)的连续点上运用逐段微分可求得概率密度。即

。

x

dttf

dxd

dxxdF

xf))(()(

)(

可见，连续型随机变量的概率密度和分布函数亦可以相互唯一确定。

统计学第四版答案(贾俊平)

统计学第四版答案(贾俊平)

..

第1章 统计和统计数据

1.1 指出下面的变量类型。 （1） 年龄。 （2） 性别。 （3） 汽车产量。

（4） 员工对企业某项改革措施的态度（赞成、中立、反对）。 （5） 购买商品时的支付方式（现金、信用卡、支票）。 详细答案： （1）数值变量。 （2）分类变量。 （3）数值变量。（4）顺序变量。 （5）分类变量。

1.2 一家研究机构从IT从业者中随机抽取1000人作为样本进行调查，其中60%回答他们的月收入在5000元以上，50%的人回答他 们的消费支付方式是用信用卡。

（1） 这一研究的总体是什么？样本是什么？样本量是多少？ （2） “月收入”是分类变量、顺序变量还是数值变量？ （3） “消费支付方式”是分类变量、顺序变量还是数值变量？ 详细答案：

（1）总体是“所有IT从业者”，样本是“所抽取的1000名IT从业者”，样本量是1000。 （2）数值变量。

（3）分类变量。

1.3 一项调查表明，消费者每月在网上购物的平均花费是200元，他们选择在网上购物的主要原因是“价格便宜”。

（1） 这一研究的总体是什么？

（2） “消费者在网上购物的原因”是分类变量、顺序变量还是数值变量？ 详细答案：

（1）总体是“所有的网上购物者”。 （2）分类变量。

1.4 某大学的商学院为了解毕业生的就业倾向，分别在会计专业抽取50人、市场营销专业抽取30、企业管理20人进行调查。

（1） 这种抽样方式是分层抽样、系统抽样还是整群抽样？ （2） 样本量是多少？ 详细答案： （1）分层抽样。 （2）100。

统计学公式 贾俊平 精华版

统计学公式 贾俊平 精华版

扁平尖峰分布；,3s*n组数*X-分组峰态系数正值，右偏分布越大偏斜越大，，该组的中值；s*n组数*X-SK分组s*2-n1-nX-nSK未分组偏态系数04.%99/%95/%68个标准差3/2/1经验法则：.03，越大，离散系数越大Xs小）离散系数（衡量差异大-离散程度标准差/数值型数据：方差顺序数据：四分位差总频数（众数频数）f-1V分类数据：异众比率离散程度02.x几何平均X 加权平均数.01443333smrniiiiiiiMKSKMMXVGWXW

PS：0.3Px=0.30.31919xPn

双侧：H0A

无显著差异，同/2比较

左单侧：希望数值越大越好H0  A

右单侧：希望数值越小越好 H0  A；同比较

P值检验方法，求出Z，若x＞μ,计算P（Z>Z值）值

双侧：P</2 拒绝原假设

单侧P< 拒绝原假设

运用置信区上下限比较

nZ2（边际误差）（单侧为）n总体标准差抽样标准误差

若0-x ，则拒绝H

若未知，用s代替，使用t分布

遇小数点向前进一）()1(定估计比例时样本量的确.22（边际误差）:定一个估计时样本量的确.211-n自由度s）1n（s）1n（总体方差.13)1(总量）的区间估计（样本样本比率.12)1(方差未知,小样本,总体正态)2(置信区间为。。即，该样本平均或:未知/大样本且方差已知)1(计一个总体均值的区间估.1122222222222/12222/2222EPPZnnZEEZnnPPZPPnSntXnSZX，则不拒绝1-n1-n1总体方差的检验：.33)1(:总体比例检验统计量321自由度,/:未知小样本，,/已知小样本，,/或:大样本一个参数的假设检验.3122/222/1222SnnPZnnSXtnXZnSXZ212/212/12/1222122212/2221222111221d2d222222121212222121222121221212122212121221212121222211221221221212221212212121n，n1n，ns/s/s/s两个总体方差比.13)1()1(:两个总体比例之差.12ns)1(d 小样本2nsd 大样本1的总平均数为每一组对应样本之差d 本）的估计，两个总体之差（匹配样).5(1s1sssv ss )v(，未知，正态，,小样本)4(ss )2(，未知，正态，,小样本)3(2s 1s 1s11s )2(，未知正态，,小样本)2(ss可以互换/未知/已知,),30,(大样本)1(:独立样本）的区间估计(两个总体均值之差.11FFFFnppnppZppntZnnnnnnnntXXnnnnnntXXnnnnnnnnnntXXnnZXXSnnpp21212/212/1222121221122211121021212121222121212121212122121212221212121222112221222212221则可判定，n，nn，n若总体方差的相似性：.33)1()1(d）0（多设为d、样本比例11)1(、:两个总体比率之差32）比较1n（t同，nsˆ匹配样本：计算)4(值自由度同左, ss X小样本，)3()2(自由度,11X小样本，)2(,XZ 大样本)1(两个参数的假设检验.31边际误差)1()1(p5.0;21定估计比例时样本量的确.22nn:量的确定两个估计均值差时样本21FFFSSFnnpnpnpnppnppppZBnnppppZAVnnXtnnnnSXtnnXEEpppZnppnnEZp连列分析