一阶线性常系数差分方程及其应用

第４卷第１期　２　００８年１月　沈阳工程学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈｅｎｙａｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　ＶｏＩ．４　ＮＯ．１　Ｊａｎ．２００８　

一阶常系数差分方程的特解公式　

赵士银　

（江苏宿迁学院教育系，江苏宿迁２２３８００）　

摘　要：利用比较系数法，推导出一阶常系数线性差分方程Ｙｔ＋２＋ＰＹｔ＋１＋ｑＹｔ＝（ａ１ｔ＋ａｏ）ｄ　和ｙｔ＋２＋ＰＹ，＋ｌ＋ｑＹｔ　（ａ１ｔ＋ａｏ）ｓｉｎｗｔ特解的一般公式，利用该公式可以直接得到此类差分方程的特解．　关键词：特解；特征方程；特征根　

中图分类号：Ｏ１７５．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—１６０３（２００８）０１—００９１—０３　

一阶常系数线性非齐次差分方程Ｙ川＋ａｙ　＝　ｆ（ｔ）（其中，ａ为常数，厂（ｔ）为已知函数）的通解等于　

其对应的一阶常系数线性齐次差分方程Ｙ川＋ａｙ　＝０　

的通解再加上自身的一个特解，由于Ｙ川＋ａｙ　＝０的　

通解较为容易求出，所以关键在于求Ｙ川＋ａｙ　：　

ｆ（ｔ）的特解．当自由项ｆ（ｔ）为函数（ａ０＋ａ１　ｔ）ｄ　，（ａ０　

＋ａ１ｔ）ｓｉｎｒｏｔ，（ａｏ＋ａ１ｔ）ｃｏｓｏａｔ，文献［１—４］上介绍的　

常用方法都是待定系数法，即先设出含有待定系数的　特解，然后把其带入原差分方程，通过比较所得等式两　

边的系数求出待定系数．这样的方法一般解题计算量　都较大．这里提供了一个可直接定出此类方程特解的　

公式，从而省去了繁琐的计算．　

１　ｆ（ｔ）＝（ａｌｔ＋ａｏ）ｄ　

定理１设有一阶常系数线性非齐次差分方程　

Ｙｆ＋１＋ａｙｆ＝（ａ１ｔ＋ａ０）ｄ　（１）　

其中　ａ、ａ０、ａ　、ｄ均为实常数，且式（１）对应的齐次　

方程的特征方程记为　

ｒ＋ａ＝０　（２）　

若令ｆ（ｄ）＝ｄ＋ａ，则方程（１）的特解形式可写为　

ｆ　（ｂ１ｔ＋ｂ０）ｄ　

其中６　＝　，６（）＝　，　

ｄ不是特征根　

1

第

二七

讲 2 微积分教学设计 教学札记

教学对象：财经类，管理类等专业

教学内容：二阶常系数齐次线性差分方程、二阶常系数齐次（非齐次）线性差分方程的通解

教学目的：理解二阶常系数齐次（非齐次）线性差分方程的通解求法

教学方法：利用多媒体进行启发式教学

教学重点：二阶常系数线性差分方程的通解

教学难点：待定系数法求非齐次线性方程的特解

教学过程

1．二阶常系数齐次线性差分方程的通解

求二阶常系数齐次线性差分方程的通解的程序为：

第1步：写出方程的特征方程；

第2步：求出特征方程的两个根21,；

第3步：根据两个特征根21,的不同情形，写出方程的通解。

例 1 已知按递推关系

110FF

21nnnFFF（,3,2n）

产生的数，称为Fibonacci数。求Fibonacci数的通项。

例2 求差分方程02212tttyyy的通解。

2．二阶常系数非齐次线性差分方程的通解

例 3 求差分方程6212tttyyy的通解。

例4 求差分方程5146512tyyyttt的通解。

例5 求差分方程tyyyttt412cos22的通解。

教学心得 3 3．作业

⼀阶常系数线性差分⽅程通解求法

最近遇到要求解此类差分⽅程的问题，查阅了相关资料，进⾏了完善并记录下来

求⼀阶常系数齐次线性差分⽅程的通解

⼀阶常系数齐次线性差分⽅程的⼀般形式为 y

n+1−ay

n=0,(a≠0)

迭代法

给定初始值为 y

0 ，则 y

1=ay

0,y

2=ay

1=a2y

0,y

3=ay

2=a(a2y

0)=a3y

0,…,y

n=any

0

其中初始值 y

0 为常数，令 y

0=C ， 则通解可表⽰为 Y

n=Can

当存在某⼀个 y

x 已知时，将其代⼊通解，可以求得 C

特征根法

将原⽅程变形 y

n+1−ay

n=0,(a≠0)⟺y

n+1−y

n+(1−a)y

n=0⟺Δy

n+(1−a)y

n=0,(a≠0)

根据 Δλn=(λ−1)n 可以看出 y

n 的形式⼀定为某⼀指数函数

设 y

n=λn(λ≠0) ，代⼊原⽅程得 λn+1−aλn=0 ，即 λ−a=0⟺λ=a

于是 y

n=an 是原⽅程的⼀个解，从⽽ y

n=Can 是原⽅程的通解

举例

【例1】求 y

n+1−y

n=0 的通解

【解】特征⽅程为 λ−1=0 ，解得特征根为 λ=1 ，所以原⽅程的通解为 Y

n=C

【例2】求 y

n+1−2y

n=0 的通解

【解】特征⽅程为 λ−2=0 ，解得特征根为 λ=2 ，所以原⽅程的通解为 Y

n=C⋅2n

【例3】已知 y

0=1 ，求 y

n+1+y

n=0 的通解

【解】特征⽅程为 λ+1=0 ，解得特征根为 λ=−1 ，所以原⽅程的通解为 Y

n=C(−1)n

将 y

0=1 代⼊，得到 1=C(−1)0⟺C=1 ，所以原⽅程的通解为 Y

n=(−1)n

求⼀阶常系数⾮齐次线性差分⽅程的通解

⼀阶常系数⾮齐次线性差分⽅程的⼀般形式为 y

n+1−ay

n=f(n),(a≠0)

当 f(n)=0 时，⽅程为 y

n+1−ay

n=0 ，称它为原⽅程对应的齐次⽅程

⼀阶常系数⾮齐次线性差分⽅程的通解为对应的齐次⽅程通解 Y

n 与原⽅程的特解 y∗

n 之和，即 y

n=Y

n+y∗

第２６卷第３期　２０１０年６月　大　学　数　学　Ｃ０Ｉ　Ｉ　ＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．２６，№．３　Ｊｕｎ．２０１０　

阶不等距常系数线性差分方程的解　

张　侠　，　周之虎　（１．淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北２３５０００；　２．蚌埠学院，安徽蚌埠２３３０４ｉ）　［摘　要］利用Ｍｉｋｕｓｉｎｓｋｉ的算符演算理论和移动算符的幂级数表示，给出了”阶不等距常系数线性差　分方程的解法．　［关键词］算符；差分方程；不等距；移动算符幂级数　［中图分类号］Ｏ１７５．７　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１０）０３—００２８—０４　１　引　言　

众所周知，Ｍｉｋｕｓｉｎｓｋｉ的算符演算理论可求解所有的　阶常系数线性差分方程．主要是利用解析函　数与某类移动算符级数一一对应的思想方法和解析函数的性质来解决一般的常系数线性差分方程的求　解问题Ⅲ．在此基础上，同样利用移动算符级数的性质来求解不等距的常系数线性差分方程．　

２预备知识　

设Ｃ是定义在一。。＜￡＜＋ｃｘ３上且在某点的左方几乎处处为零的复值连续函数厂（￡）一｛，（￡）｝的全　体，以通常的加法和数乘及其卷积　厂・ｇ一　）ｇ（一　｝　作为乘法为一无零因子整环，从而可扩充为商域，即Ｍｉｋｕｓｉｎｓｋｉ算符域Ｑ　］．Ｌ为一ｃ×３＜ｆ＜＋ｏ。上且在　某点的左方几乎处处为零的局部可积函数的全体．可以看出在自然嵌入下了Ｌ　ｃ　Ｑ．特别地，　ｈ　一ｓ｛Ｈ　（ｔ）｝（Ａ＞ｏ）称为移动算符　引，这里　ｆｏ，　＜Ａ，　ｉ１，　＞　．　并且对每个Ａ＞Ｏ，，（ｆ）一｛厂（　）｝∈　，有如下结论：　（ｉ）ｈ　｛厂（￡）｝一｛ｆ（ｔ—Ａ）｝，　（ｉｉ）　｛－厂（￡）｝＝｛　（￡＋Ａ））　对于数值系数的移动算符级数　∑ａ　ｈ以一∑ａ　（＾　）　，　其中　＞ｏ　为复数，ｉ＝０，１，２，…，恒为算符收敛．特别地，级数∑　…ｈ　恒为算符收敛（　为复数），且　（１－－ｐｈ　）一（１＋ｐｈ　＋　ｈ　＋…）一１，因此有　［收稿日期］２００８—１０—２０　［基金日期］安徽省高校自然科学重点项目（２０¨。５ＫＪ０３ＯｚＤ）