勾股定理详解

勾股定理详解

勾股定理定义及公式

勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组程a² + b² = c²的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a²+b²=c² 。

勾股定理逆定理

勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。如果a²+b²

勾股定理的证明

据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。

【证法1】赵爽“勾股圆方图”

第一种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的直

角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。

第二种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的

角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞”。

因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

【证法2】课本的证明

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

a²+b²+4×1/2ab=c²+4×1/2ab， 整理得a²+b²=c²

【证法3】1876年美国总统Garfield证明

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2/1ab.

把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于1/2c².

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

∴ AD∥BC.

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)².

∴ 1/2(a+b)²=2×1/2ab+1/2c².

∴ a²+b²=c².

【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。

【证法4】欧几里得证明

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.

∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于1/2a²，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =a².同理可证，矩形MLEB的面积 =b².

∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ c²=a²+b² ，即 a²+b²=c².

【证法5】利用相似三角形性质证明

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC，

∴ ΔADC ∽ ΔACB.

∴AD∶AC = AC ∶AB，即 AC²=AD·AB.

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，

从而有 勾股定理的历史2_html_51f314b4. ∴ AC²+BC²=(AD+DB)·AB=AB²，即 a²+b²=c²

【证法6】邹元治证明

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1/2ab . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2 .

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)².

∴ (a+b)²=4×1/2ab+c².

∴ a²+b²=c².

【证法7】利用切割线定理证明

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c.

如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

AC²=AE·AD

=(AB+BE)(AB-BD)

=(c+a)(c-a)

=c²-a²

即 b²=c²-a,

∴ a²+b²=c².

【证法8】作直角三角形的内切圆证明

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

∴ AC+BC-AB=(AE+CE)(BD+CD)-(AF+BF)

= CE+CD = r + r = 2r,

【证法9】利用多列米定理证明

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

【证法10】辛卜松证明

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的

面积为

∴

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经典例题

如图，你能用它验证勾股定理吗？(提示：以斜边为边长的正方形的面积+四个三角形的面积=外正方形的面积)

答案: 解：根据题意，中间小正方形的面积；

化简得a2+b2=c2，

即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．

解析: 根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．

小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在△ABC中，若∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如下图，根据勾股定理，则a2+b2=c2．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．(下图备用)

答案: 解：①当三角形是锐角三角形时，

证明：作AD⊥BC垂足是D，设CD的长为x，

根据勾股定理得：b2-x2=AD2=c2-（a-x）2

整理得：a2+b2=c2+2ax

∵2ax＞0

∴a2+b2＞c2

②当三角形为钝角三角形时

证明：过B点作AC的垂线交AC于D点，设CD的长为y

在直角三角形ABD中，AD2=c2-（a+y）2

在直角三角形ADC中，AD2=b2-y2，

∴b2-y2=c2-（a+y）2

整理得：a2+b2=c2-2ay

∵2ay＞0，∴a2+b2＜c2．