初中数学：梯形的五种常用辅助线添加方法，17道例题详解培优几何

初中数学辅助线添加技巧：梯形方法总结1．解决梯形问题的基本思路−−−−→转化分割、拼接梯形三角形或平行四边形问题． 2．梯形的很多问题都是需要添加简单辅助线，下表给出了梯形常见的辅助线方法．典例精析例1．如图，在梯形ABCD 中，ADBC ，BD CD =，90BDC ∠=︒，3AD =，8BC =．求AB 的长．OCDBA解：在梯形ABCE 中作AE BC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．FEOCDBA∴AE DF ． ∵ADBC ，∴四边形AEFD 是矩形． ∴3,EF AD AE DF ===． ∴,BD CD DF BC =⊥．∴DF 是BDC △的BC 边上的中线． ∵90BDC ∠=︒， ∴142DF BC BF ===． ∴4,431AE BE BF EF ==-=-=． ∴在Rt ABE △中，222AB AE BE =+． ∴在Rt ABE △中，AB点拨：遇到梯形中求线段长，通常考虑过梯形一底的两个顶点向另一底作垂线（也称作梯形的双高），把梯形转化成矩形和两个直角三角形从而求解，这是解决梯形问题的常用方法．例2．如图，四边形ABCD 中，AB CD ，且2B D ∠=∠，3AB =，5BC =，求CD的长．CDBA解：如图，过点B 作BEAD ，交CD 于点E ．321ECDB A∴四边形ABED 是平行四边形． ∴3,3DE AB D ==∠=∠． ∵223ABC D ∠=∠=∠， ∴231∠=∠=∠． ∴BEC △为等腰三角形． ∴5CE BC ==．∴358CD DE EC =+=+=． 例3．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ，90C D ∠+∠=︒，E 、F 为AB 、CD 的中点．求证：2CD AB EF -=．FECDBA证明：过E 点分别作AD 、BC 的平行线，交DC 于点G 、H ．GHFECDB A∴四边形ADGE 、BCHE 都是平行四边形． ∴,DG AE HC EB ==．∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴,AE EB DF FC ==． ∴DF DG CF CH -=-． 即()12GF FH CD AB ==-． ∵,EGAD EH BC ，∴,D EGF C EHF ∠=∠∠=∠． ∵90C D ∠+∠=︒， ∴90EGF EHF ∠+∠=︒． ∴90GEH ∠=︒． ∵GF HF =，∴()1122EF GH DC AB ==-．即2CD AB EF -=．点拨：遇到同一底边上的两个底角和为90°，上下底之差或者对角存在2倍关系时通常考虑作腰的平行线，构造平行四边形和三角形，将分散的条件集中平行四边形和三角形中．例3还可以得到结论AD BC CD AB +>-．例4．如图，梯形ABCD 中，AD BC ，45DCB ∠=︒，CD =2，BD CD ⊥，过点C 作CE AB ⊥于点E ，交对角线BD 于点F ，点G 为BC 中点，连接EG 、AF ．（1）求EG 的长； （2）求证：CF =AF +AF ．GFE CD BA解：（1）∵BD CD ⊥，45DCB ∠=︒， ∴45DBC DCB ∠=∠=︒． ∴2CD BD ==．在Rt BDC △中，CB = ∵CE AB ⊥于点E ，点G 是BC 的中点，∴12EG BC == （2）证明，延长BA 、CD 交于点H ．GH F E CD BA∵BD CD ⊥，∴90CDF BDH ∠=∠=︒． ∴90DBH H ∠+∠=︒． ∵CE AB ⊥于点E ， ∴90DCF H ∠+∠=︒． ∴DBH DCF ∠=∠．又,CD BD CDF BDH =∠=∠， ∴CDF BDH △≌△．∴,DF DH CF BH BA AH ===+． ∵ADBC ，∴45DBC ADF ∠=∠=︒．∴45HDA DCB ∠=∠=︒． ∴ADF HDA ∠=∠． 又∵,DF DH DA DA ==， ∴ADF ADH △≌△． ∴AF AH =． ∴CF AB AF =+．点拨：本题涵盖了直角三角形、梯形和全等三角形的有关知识，主要考查了构造全等三角形解决问题的能力．为了构造全等三角形，可延长两腰，把梯形转化成三角形求解．例5．如图，梯形ABCD ，,,,AD BC AD BC AC BD BE DC =⊥⊥，若3AB =，5CD =，求这个梯形的面积．ECDBA解：作BFAC 交DC 的延长线于点F ．FECDBA∵ABCD ，∴四边形ABFC 是平行四边形． ∴,BF AC CF AB ==． ∵,AD BC ABCD =，∴梯形ABCD 为等腰梯形． ∴BD AC =． ∴BD BF =． ∵BD AC ⊥，∴BD BF ⊥．∴BDF △为等腰直角三角形． ∵BE DF ⊥， ∴E 为DF 中点． ∵12BE DF =， ∴()()()111354222BE DC CF DC AB =+=+=+=． ∴()()114351622ABCD S BE DC AB =+=⨯⨯+=梯形． 点拨：遇到梯形对角线夹角为特殊角，通常考虑平移对角线，构造平行四边形和三角形，本例将求梯形面积的问题转化成求直角三角形面积，使问题得以解决．举一反三1．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ，对角线AC BD ⊥，若AD =3，BC =7，则梯形ABCD 面积的最大值为 ．CDBA2．如图，在等腰梯形ABCD 中，,AB CD AD BC =，且AC BD ⊥，CH 是梯形的高，MN 是中位线，求证：MN CH =．N M HC D BA例6．如图，在梯形ABCD 中，ABCD ，E 是AD 的中点，90BEC ∠=︒．求证：BC AB CD =+．E CDBA证明：延长BE 交CD 的延长线于点F ．FE CDBA在ABE △和DFE △中，,,A FDE AE DE AEB DEF ∠=∠=∠=∠， ∴ABE DFE △≌△． ∴,BE EF AB DF ==． ∴CF CD DF AF CD =+=+． ∵,CE BF BE EF ⊥=， ∴BC CF AB CD ==+．点拨：此题还可以拓展为在梯形ABCD 中，AB CD ，①E 是AD 的中点；②90BEC ∠=︒；③BC AB CD =+；④BE 平分ABC ∠；以上四个条件，除由②③不能推出①④外，由其它任意两个条件，均可推出另两个结论．例7．如图，在梯形ABCE 中，AD BC ，90B ∠=︒，2AD =，5BC =，E 为DC 的中点，tan 3C 4=．求AE 的长度． ECDB A解：过点E 作BC 的垂线，交BC 于点F ，交AD 的延长线于点M ．M FECDBA在梯形ABCD 中，ADCD ，E 是DC 的中点，∴,M FMC DE CE ∠=∠=．∵,,M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠∠=∠=， ∴MDE FCE △≌△． ∴,FE ME DM CF ==． ∵2,5AD BD ==， ∴()()113252222DM CF AM AD AD BC AD ==-=+-=+-=． 在Rt FCE △中，4tan 3EF C CF ==， ∴2EF ME ==．在Rt AME △中，AE ==．点拨：由例6、例7解法可知，已知一腰中点，通常可以考虑过梯形一顶和此腰中点作直线，利用中以对，构造全等三角形，把梯形问题转化成三角形问题求解．例8．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB =75º，以CD 为一边的等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上．（1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB =BC ；（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC =30º．求DFFC的值． 图2图1ABD CE FE CDBA解：(1)∵∠BCD=75º，AD∥BC∴∠ADC=105º由等边△DCE可知：∠CDE =60º，故∠ADE =45º由AB⊥BC，AD∥BC可得：∠DAB=90º，∴∠AED=45º(2)方法一：连接AC，A B DCEF由(1)知：∠AED=45º，∴AD=AE，故点A在线段DE的垂直平分线上．由△DCE是等边三角形得：CD=CE，故点C也在线段DE的垂直平分线上．∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE．∵∠AED =45º，∴∠BAC=45º，又AB⊥BC，∴BA=BC．方法二：过D点作DF⊥BC，交BC于点F．可证得：△DFC≌△CBE，则DF=BC．从而：AB=CB．（3）连接AF，BF、AD的延长线相交于点G，A B DCE FG∵∠FBC=30º，∴∠ABF=60º∵∠FBC=30º，∠DCB=75º，∴∠BFC =75º，故BC =BF 由(2)知：BA =BC ，故BA =BF ， ∵∠ABF =60º， ∴AB =BF =FA ，又∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ， ∴∠FAG =∠G =30º ∴FG =FA = FB ．∵∠G =∠FBC =30º，∠DFG =∠CFB ，FB =FG ∴△BCF ≌△GDF∴DF =CF ，即点F 是线段CD 的中点． ∴1DFFC=， 跟踪训练1．如图，梯形ABCD 中，ABCD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点．已知两底之差是6，两腰和是12，则EFG △的周长是（ ）GFE DCB AA ．8B ．9C ．10D ．122．已知一个梯形的四条边长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ ） A ．4 B ．6 C． D3．如图，梯形ABCD 中，ADBC ，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥，若 2.7,4,6AD AF AB ===，则CE 的长为（ ）FED CBAA． B．1 C ．2.5 D ．2.3 4．如图，在等腰梯形ABCD 中，ADBC ，对角线AC BC ⊥于点O ，AE BC ⊥，CF BC ⊥，垂足分别为E 、F ，设,AD a BC b ==，则四边形AEFD 的周长是（ ）ODCBAA ．3a b +B ．()2a b +C ．2b a + C ．4a b + 5．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ，45,105B BAC ∠=︒∠=︒，4AD CD ==，求BC 的长．DCBA6．如图，梯形ABCD 中，ABDC ，90,2ADC BCD DC AB ∠+∠=︒=，另DA 、AB 、BC 为边向梯形外正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 之关的关系是 ．S 3S 2S 1DCBA7．已知：如图，梯形ABCE 中，AD BC ，2,4AB CD AD BC ====．求B ∠的度数及AC 的长．DCBA8．如图，在梯形ABCD 中，ADBC ，90B ∠=︒，14cm AB =，18cm AD =，21cm BC =，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以每秒1cm 的速度移动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以每秒2cm 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发，设移动时间为t 称，求t 为何值时，梯形PQCD 是等腰梯形．QPDCBA9．已知：如图，梯形ABCE 中，AD BC ，90B ∠=︒，,.AB a BC b DC a b ===+，且b a >，点M 是AB 边中点．（1）求证：CM DM ⊥；（2）求点M 到CD 边的距离（用a ，b 的式子表示）．M DCBA10．已知：在梯形ABCD 中，ADBC ，AB DC =，E 、F 分别是AB 和BC 边上的点．（1）如图1，以EF 为对称轴翻折梯形ABCD ，使点B 与点D 重合，且DF BC ⊥．若4AD =，8BC =，求梯形ABCD 的面积ABCD S 梯形的值；（2）如图2，连接EF 并延长与DC 的延长线交于点G ，如果FG k EF =（k 为正数），试猜想BE 与Cg 有何数量关系？写出你的结论并证明．G图2图1ABC DEF FED CBA中考前瞻如图，在等腰梯形ABCD中，AD BC，445BC AD B==∠=︒，直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若ABE△为等腰三角形，求CF的长．B。

直线型面积梯形的各种添加辅助线的方法梯形是小学培优竞赛常考题目之一，下面就有关梯形的各种辅助线整理如下： 梯形的各种添加辅助线的方法及分别起到的作用: ⑴与梯形的腰有关的辅助线① 在梯形内平移一条腰。

如图，过A 点做DC 的平行线，交BC 于E 。

将一个梯形分成一个平行四边形和一个三角形。

在△ABE 中，包含梯形的两腰AB 和AE ，还有梯形两底角的度数和两底边之差，即BE=BC-AD 。

A BCD② 在梯形外平移一条腰。

过C 点做AB 的平行线，交AD 的延长线于E 。

将一个梯形补成了一个平行四边形。

在三角形DEC 中，包含梯形的两腰及两底边之差。

在平行四边形ABCE 中包含梯形的两个底角和下底如图。

AB CDE③ 延长两腰并相交。

如图，分别延长BA 、CD 交于点E 。

三角形BEC 中包含梯形的两个底角和下底，三角形AED 中包含梯形的两个底角和上底。

A BC D E⑵与梯形的高有关的辅助线如图，过A 点做BC 的垂线，交BC 于E ，过D 点做BC 的垂线，交BC 于F 。

把一个梯形分成了两个直角三角形和一个长方形，BE+FC=BC-AD 。

A BCDEF⑶与对角线有关的辅助线如图，连接AC 、BD 将于O 。

则S △ABC =S △DBC ，S △BAD =S △CAD ，S △AO B=S △COD 。

AB C DO⑷平移对角线如图，过D 点做AC 的平行线，交BC 的延长线于点E ，则△DBE 中包含梯形的两条对角线BD 、DE ，梯形的上、下底之和（BE=BC+CE ）。

S △DCE =S △ADC =S △ADB ，三角形DBE 的面积就是梯形ABCD 的面积。

A BCDE⑸与梯形一条腰的中点有关的辅助线① 如图，过DC 的中点E 做AB 的平行线，分别交AD 的延长线与BC 于F 、G 。

梯形ABCD 的面积与平行四边形ABGF 的面积相等。

ABCD E FG② 如图，连接点A 与DC 的中点E ，并延长与BC 的延长线相交于F 点。

数学篇梯形作为一种比较特殊的四边形，其特点就是只有一组对边是平行的.因此，解答梯形问题的基本思路是通过添加辅助线来“搭桥”，对梯形进行割补、拼接，将其转化为熟悉的基本图形来解答.合理、巧妙地添加辅助线，不仅可以极大地降低解题难度，而且可以提高同学们思维的灵活性和创造性.一、平移一（两）腰平移腰即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形；或利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中，进而为解题创造条件.例1如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B +∠C =90°，AD =10，BC =30，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长.图1图2解：过E 作EG //AB 交BC 于G ，过E 作EH //CD 交BC 于点H ，如图2所示.∵AD //BC ，∴四边形ABGE 是平行四边形，∴AE =BG ，同理可得DE =CH ，∴BG +CH =AE +DE =AD =10，又∵BC =30，∴GH =BC -BG -CH =20，又∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴BF =CF ，且AE =DE ，又∵AE =BG ，DE =CH ，∴GF =FH ，即F 为GH 的中点，在Rt△EGH 中GH =20，F 是GH 的中点，由直角三角形中线与斜边关系可知，EF =12CH =10，即EF =10.评注：平移梯形的一腰或两腰，可把梯形转化成三角形和平行四边形，从而把相对分散的条件集中到一个图形中以方便解题.二、平移对角线平移对角线即过梯形上底的一个端点作梯形一条对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和几个三角形.当题目中有梯形的对角线相等或互相垂直时，可以平移对角线把两条对角线、上下底之和放在一个三角形中，就会出现等腰三角形、直角三角形等特殊三角形，然后利用特殊三角形的性质来解答此类问题.例2如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =3，BC =7，BD =52，求证：AC ⊥BD.图3图4证明：过点C 作CE //BD 交AD 延长线于学思导引27数学篇学思导引E，如图4所示.∵AD//BC，∴四边形BCED为平行四边形，∴DE=BC且BD=CE，又∵AD=3，BC=7，∴AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10，∵ABCD为等腰梯形，∴AC=BD，又∵BD=CE且BD=52，∴AC=CE=BD=52，在△ACE中，AC2+CE2=(52)2+(52)2=100，AE2=102=100，即AC2+CE2=AE2，所以，△ACE是以∠C为直角的直角三角形，即AC⊥BD.评注：过梯形的一个顶点平移对角线，把两条对角线转移到同一个三角形中，若对角线相等，则这个三角形是等腰三角形；若对角线垂直，则这个三角形是直角三角形；若对角线相等又垂直，则这个三角形是等腰直角三角形.这些结论可以为解题创造有利条件.三、延长两腰延长两腰即延长梯形的两腰使其交于一点，化梯形为两个（相似的）三角形.如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形.延长两腰可以将梯形转化为多个三角形，从而借助三角形的性质定理等知识要点，为解题铺平道路.例3如图5所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC=BD，AD=BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.图5图6解：四边形ABCD为等腰梯形，证明如下.延长AD、BC交于E，如图6所示.在△ABD和△BAC中，有ìíîïïBD=AC，AD=BC，AB=AB，∴△ABD≌△BAC，∴∠BAD=∠ABC，在△EAB中，∵∠BAD=∠ABC，∴△EAB为等腰三角形，即AE=BE，又∵AD=BC，∴DE=CE，∴DE AE=CE BE，即AB//CD，又∵AD=BC，∴四边形ABCD为等腰梯形.评注：预测四边形形状后根据需要寻找条件即可.此题要灵活运用三角形全等、对应线段成比例、平行线的判定等知识点.四、作对角线作对角线即连接对角线将梯形转化为三角形，再利用三角形的一些性质与规律去解答四边形的问题.尤其在特殊梯形中，将没有画出的对角线作出来，再利用特殊梯形对角线的性质(如等腰梯形对角线相等)，将题目中的条件进行转化，可以实现有效解题.例4如图7，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE.图7图8解：连接BD，如图8所示.∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∵BE⊥CD，∴∠BED=90°，∵AD//BC，∴∠1=∠3，∵BC=CD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，在△DBE和△DBA中，28数学篇学思导引有ìíîïï∠1=∠2,∠BAD =∠BED BD =BD ,,∴△DBE ≌△DBA ,∴AD =DE .评注：在直角梯形中连接对角线往往可以构造直角三角形，然后利用直角三角形与全等三角形的知识来证明.五、连接顶点和一腰中点并延长连接梯形上底一端点和一腰的中点，并延长与下底延长线相交，从而将梯形割补成几个三角形.这样作辅助线可以充分利用梯形中的平行和等量关系，将上下底之和统一到一段线段上来，再结合三角形全等和其他特殊三角形的性质使问题得到解答.例5如图9，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是DC 的中点，连接AE 和BE ，求证：∠AEB =2∠CBE.1234图9图10证明：延长AE 、BC 交于F ，如图10所示，∵四边形ABCD 为直角梯形，且AD //BC ，∴AB ⊥BC ，∴△ABF 为以∠ABF 为直角的直角三角形.∵AD //BC ，∴∠1=∠2，又∵E 是DC 的中点，∴DE =CE ，在△ADE 和△FCE 中，有ìíîïï∠1=∠2,∠3=∠4,DE =CE ,∴△ADE ≌△FCE ，∴AE =EF ，即E 是AF 的中点，又∵△ABF 是直角三角形，∴BE =12AF =EF ，∴△BEF 是等腰三角形，∴∠F =∠CBE ，∴∠AEB =∠F +∠CBE =2∠CBE ，即∠AEB =2∠CBE .评注：在梯形中，只要有腰上的中点，可过中点构造全等三角形，从而把上下底之和与另一条腰集中在一个三角形中，而这个三角形又是一个特殊三角形，问题就简单了.在解答有关梯形的证明题和计算题时，辅助线的作法并不是单一的，有时可同时作两种或两种以上的辅助线，但目的是一致的，就是在梯形中构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识来解题.同学们要结合已知条件添加合适的辅助线，以探求简捷的解题方法.《〈圆〉拓展精练》参考答案1.D ；2.A ；3.C ；4.A ；5.23-π；6.6cm ；7.相离；8.30°或150°；9.100或700;10.（1）证明略；（2）S 阴影部分＝S △OAC -S 扇形AOE ＝12×3×33-60π×32360=32π．11.（1）证明略；（2）解：由题意知方程x 2+（m -2）x +m +1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（m -2）2-4（m +1）＝0，∴m ＝0或8，当m ＝0时，方程为x 2-2x +1＝0，解得x 1＝x 2＝1，∴CE ＝1．当m ＝8时，方程为x 2+6x +9＝0，解得x 1＝x 2＝-3（不符合题意舍去）．∴CE ＝1．综上所述，CE ＝1．29。

梯形中添加辅助线的六种常用技巧Prepared on 22 November 2020梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。

一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。

例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。

解：过点D作DE∥AB交BC于E，∵AD∥BC，DE∥AB∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm∴EC=BC－BE=7－2=5cm在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）∴1cm＜CD＜9cm。

二、延长两腰将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。

例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形。

证明：延长BA、CD，使它们交于E点，∵AD∥BC∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C（两直线平行，同位角相等）又∵B=∠C∴∠EAD=∠EDA∴EA=ED，EB=EC（等角对等边）∴AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。

三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。

例3、如图③，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，B C=3.5cm，对角线AC⊥BD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面积。

解：过点D作DE∥AC交BC延长线于E∵AD∥BC，DE∥AC∴四边形ACED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴CE=AD=1.5cm，DE=AC=4cm∵AC ⊥BD∴DE ⊥BD∴S 梯形ABCD =111()()222AD BC h CE BC h BE h +⨯=+⨯=⨯（h 为梯形的高） 211346cm 22BD DE =⨯=⨯⨯= 。

梯形的辅助线王老师评注：江苏课本奇葩地将梯形删掉，第一是数学教学的短视，更是对经典数学的亵渎；第二，梯形的几种辅助线的处理方法不失为经典而精彩的基本几何方法，需要掌握；第三，他考的时候可以不说梯形，说一组对边平行，从而变相考察梯形，所以需要重视。

1、梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。

它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。

辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。

（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。

（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。

（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。

通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

口诀：梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

常见的几种辅助线的作法如下：（一）、平移1、平移一腰：例1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC ＝17. 求CD 的长. 解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E. 又AB ∥CD ，所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17，CD ＝BE. 在R t △DAE 中，由勾股定理，得 AE 2＝DE 2－AD 2，即AE 2＝172－152＝64. 所以AE ＝8.所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8.例2如图，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。

梯形中常用添加辅助线的方法1.作高：过梯形的顶点作底边上的高线，把梯形问题转化为矩形或直角三角形来解决；例1、已知等腰梯形的上底长为5cm，腰长为7 cm，下底角为600，求这个梯形的周长和面积。

练习：在梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC。

求证：AC2=AB2+BC·AD。

2.平移腰：通过平移梯形的一腰或两腰，使梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决；例2、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=900，E、F分别是AD和BC边上的中点，求证：EF=（BC-AD）/2。

练习：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=800，∠C=500，求证：AB=BC-AD。

3.延长两腰：延长梯形的两腰相交于一点，使梯形问题转化为三角形来解决；例3、等腰梯形ABCD，AD∥BC，∠B=600，AD=15，AB=45，求BC的长。

练习：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C。

求证：AB=CD。

4.平移对角线：平移其中的一条对角线，使梯形问题转化为直角三角形来解决，此法适合于已知对角线互相垂直的问题；例4、等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，且AC⊥BD，CH是高，求证：AB+CD=2CH。

练习：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD互相垂直，GD⊥BC于G，EF是中位线。

求证：EF=DG。

5.连对角线：连结对角线，将梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决；例5、梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE，求证：AC=CE。

6.取腰的中点：有一腰的中点时，往往取另一腰的中点构成梯形的中位线；例6、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，M为CD的中点。

求证：AM、BM平∠分DAB、∠CBA。

7.连结上底与一腰中点并延长与下底的延长线相交，借助于得到的三角形解决梯形问题；例7、梯形ABCD中，AB∥CD，E是腰AD的中点，且AB+CD=BC。

难点突破：怎样做梯形中的辅助线梯形是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形知识的综合，通过适当地添加辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形的组合图形，再运用三角形、平行四边形的知识去解决梯形的有关问题。

下面列举数例，以说明梯形中常见辅助线的作法.一、平移一腰法例1如图1,梯形ABCD中，AB // CD，以AC、AD为边作ACED . DC 的延长线交BE于F.求证：EF=FB.简析：在梯形ABFD中，过C作CG// BF交AB于G,由GBFC得CG=FB，再证△EDF^A CAG，得EF=CG=FB.例 2 如图2,梯形ABCD中, AB//CD, •D =80 c =50。

求证：AD = CD - AB。

证明：过点A作AE//BC交DC于E,所以.AED = . C =50因为.匕D =80所以.DAE =50所以.AED 二.DAE所以AD =DE易证AB = EC ,所以AD 二CD「AB二、平移对角线法过梯形上底的一个端点作某一条对角线的平行线，构造平行四边形和三角形，从而引出证题思路。

如：例3.女口图2，梯形ABCD中,AB//CD,中位线EF=7cm,对角线AC _BD,. BDC =30，求梯形的高。

G C H D图2证明：过点B作BG//AC交DC的延长线于G 因为AC _BD，所以BG _BD , AB =CG因为.BDC =301 1所以BG GD （AB 亠CD ）2 2因为AB - CD =2EF，所以BG 二EF =7 因为/BDC 二.GBH =30 ，所以GH =—BG =3.5 ，2所以BH = 72 -3.52即梯形的高为2例4.如图2,等腰梯形ABC冲，AD// BC，AB=CD ACL BD于O点.若中位线简析：由T AG丄BD, AC=BD,因此，过D作DE“AC交EC延长线于E為可得△KDH为等腰直角三角形.又由6CED可得CE-AD, -\BE=BC +AI)=2m P于是帀沁DB瓦三、延长双腰法延长两腰相交于一点，可构造两个三角形，利用这两个三角形的有关条件和性质进行证明，也是常用的方法之一。

【最新整理，下载后即可编辑】梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．【例1】已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作,交AB于 E.∵AB平行于CD,且,∴四边形是菱形.∴又∴为等边三角形.∴又,∴∴.【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若.AD = 7 ,BC = 15 ,求EF ．分析：由条件,我们通过平移AB 、DC ；构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是△MEN 的中线．解：过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于M 、N ,∵,∴∴是直角三角形,∵,,∴.∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴.变式：如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

图1析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。

在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。

2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．【例3】.如图,在梯形中,,,梯形的面积与梯形的面积相等．求证：.分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．证明：延长、使它们相交于点,∵,∴∴.同理,∵故得∴变式1：如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

图5析解：延长BA 、CD 交于点E 。

例谈梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。

本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。

一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

［例1］如图1，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。

2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。

［例2］如图2，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。

3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。

［例3］如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。

【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD 的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________［例4］如图4，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。

二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

［例5］如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。

【变式2】如图所示，四边形ABCD 中，AD 不平行于BC ，AC ＝BD ，AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论.【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。

三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

［例6］如图6，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。