2015-2016学年河北省石家庄市复兴中学高三(上)期中数学试卷和答案(理科)

2025届河北省石家庄市复兴中学高三第三次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，1|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭则()U A B =（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞2．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设不等式组030x y x y +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ） A ．524B ．724C ．1124D ．17244．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ）A ．160B ．240C ．280D ．3205．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14 B ．13 C ．23D ．166．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 7．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．28．正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，侧棱长为23，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π9．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)10．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．11．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB BAC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心12．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）A ．55B ．306C ．66D ．255二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

俯视图侧视图正视图33224高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作石家庄市复兴中学2015-2016学年度第一学期期中考试高三（文）数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x ∈R |x +1＞0 }，集合B=={x ∈R |（x -1）（x +2）＜0 }，则A ∩B=A ．（-1,1）B ．（-2，-1）C ．（-∞，-2）D ．（1，+∞）,2．函数y =sin x sin()2x π+的最小正周期是A ．π2B ．2πC ．πD ．4π3．若a ＋i 1－i （a ∈R ）是纯虚数，则|a ＋i 1－i |=A ．iB ．1C ． 2D ．24．已知平面向量→a , →b 满足|→a |=1，|→b |=2，且（→a +→b ）⊥→a ，则→a ，→b 的夹角为 A ．2π3 B ．π2C ．π3D ．π65．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，m +n=5的概率是A ．112B ．19C ．16D ．136．设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若l ∥α，l ∥β,则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β,则α∥β C. 若l ⊥α，l ∥β,则α∥β D. 若α⊥β，l ∥α,则l ⊥β7．设变量,x y 满足不等式组⎩⎨⎧0≤x ＋y ≤201≤y ≤10，则2x +3y 的最大值等于A ．1B ．10 C. 41D ．508．已知数列{}n a 中，1125,447()n n a a a n N *+==-∈，若其前n 项和为S n ，则S n 的最大值为A ．15B ．750C ．7654D ．70529．给出以下命题：①∀x ∈R, sin x +cos x ＞1；②∃ x ∈R, 2x -x +1＜0；③“x ＞1”是“|x |＞1 ”的充分不必要条件；④若→a ·→b =0, 则|→a |=|→b |=0.其中假命题的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．310．已知四棱锥P-ABCD 是三视图如图所示，则围成四棱锥P-ABCD 的五个面中的最大面积是A ．3B ．C ．8D ．1011．直线l 与圆222410x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为抛物线24x y =的焦点，则直线l 的方程为：A ．2330x y +-=B ．10x y --=C ．10x y +-=D ．10x y -+=12.设函数()ln lg 1f x a x b x =++，11(1)(2)(2014)()()23f f f f f ++++++1()2014f += A ．4028 B ．4027 C ．2014 D ．2013 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．执行右边的程序框图，若输入n=6，m=3,那么输出的p 等于 . 14．函数()f x =2ln x +2x 在x=1处的切线方程是 .15．已知平面向量→a ,→b 都是单位向量，且→a ·→b =-12，则|2→a -→b |的值为 .16．等比数列{}n a 的公比0＜q ＜1，21724a a =,则使12n a a a +++ ＞12111na a a +++成立的正整数n 的最大值为 .高三年级（文）数学试卷答题卡一、选择题二填空题13.___________ 14.__________________ 15___________ 16._____________ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在∆ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,且cosA=255，cosB=31010.（I ）求角C 的大小；（Ⅱ）若∆ABC 的面积为1，求abc ．18．（本小题满分12分）由于受大气污染的影响，某工程机械的使用年限x （年）与所支出的维修费用y (万元)之间，有如下统计资料：x (年)2 3 4 5 6 y (万元)2.23.85.56.57.0假设y 与x 之间呈线性相关关系.（Ⅰ）求维修费用y (万元)与设备使用年限x (年)之间的线性回归方程；（精确到0.01） （Ⅱ）使用年限为8年时，维修费用大概是多少？参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑.ADBCA 1E19．（本题满分12分）已知∆ABC 是边长为3的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB =CE EA =12.将∆ADE 沿DE折起到∆1ADE 的位置，并使得平面A 1DE ⊥平面BCED. （Ⅰ）求证：A 1D ⊥EC ；（Ⅱ）求三棱锥E-A 1CD 的高．20．（本小题满分12分） 已知函数4()3ln 1f x x x x=+++（自然对数的底数e=2.71828…）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求函数()f x 在[1e，e]上的最大值与最小值.。

石家庄市第一中学2015—2016学年第一学期高一年级期中考试数学试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}|13A x x =-≤≤，182B yy ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B = A ．{|1x x ≤-或}8x ≥ B ．{}1|32x x ≤≤ C ．{}|18x x -≤≤ D ．∅ 2．已知函数(1)y f x =+的图象过点（3，2），则函数()y f x =的图象关于x 轴的对称图形一定过点A. （2，-2）B. （2，2）C. （-4，2）D. （4，-2）3．若方程ln 40x x +-=在区间(,)(,,a b a b Z ∈且1)b a -=上有一根，则a 的值为A ． 1B ．2C ．3D ．4 4．已知α是第三象限角，则2α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第二或第四象限角D ．第一或第四象限角5．设函数()f x ＝⎩⎨⎧(x ＋1)2x <14－x －1 x ≥1，则使得()f x ≥1的自变量x 的取值范围为A ．(－∞，－2]∪[0,10]B ．(－∞，－2]∪[0,1]C ．(－∞，－2]∪[1,10]D ．[－2,0]∪[1,10] 6．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是A ．12()x =- B ．331x x-=-C ．)0,()()(4343≠=-y x xy y x D 13y =7. 当01a b <<<时，下列不等式中正确的是A.b ba a )1()1(1->- B.(1)(1)a ba b +>+ C.2)1()1(bba a ->- D.(1)(1)aba b ->- 8.函数()32log 241++-=x x y 的单调增区间是A ．(]1,1-B ．[)3,1C ．()1,∞-D ． ()+∞,1 9. 函数22xy x =-的图像大致是A .B .C .D .10. 已知函数2()1,()43,xf x eg x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为A．[22 B．(22-+ C ．[1,3] D ．(1,3)11 ．已知函数)3log 2(.4),1(,4,)21()(2+⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=f x x f x x f x则的值为A ．31 B ．61C ．121 D ．24112. 对于函数()f x ，若在其定义域内存在两个实数(),a b a b <，当[],x a b ∈时，()f x 的值域也是[],a b ，则称函数()f x 为“科比函数”.若函数2)(++=x k x f 是“科比函数”，则实数k 的取值范围A ．]2,49(--B ．]0,49(- C ．]0,2[- D ．),2[+∞- 第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数是 .14. 若221()21x x a a f x ⋅+-=+为R 上的奇函数，则实数a 的值为 ．15. 设集合12log (3)2A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，若AB ≠∅，则实数a 的取值范围是________． 16.给出下列四个命题：①函数xy a =（0a >且1a ≠）与函数log x a y a =（0a >且1a ≠）的定义域相同；②函数3y x =与3xy =的值域相同；③函数11221x y =+-与2(12)2x x y x +=⋅都是奇函数；④函数2(1)y x =-与12x y -=在区间[0,)+∞上都是增函数，其中正确命题的序号是____________（把你认为正确的命题序号都填上）． 三、解答题：本题共6小题，共70分．17．(本小题满分10分) 设集合φ=⋂∈=+++=+R A R x x p x x A 若},,01)2(|{2， 求实数p 的取值范围．（其中R +为区间()0,+∞）18．（本小题满分12分） 已知48a =，2936m n ==，且112b m n+=，试比较1.5a 与0.8b 的大小．19．（本小题满分12分）已知函数()|1|||f x x x a =-+-． （Ⅰ）若2a =，解不等式()2f x ≥；（Ⅱ）若1a >，任意,()+11x R f x x ∈-≥，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（I ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ （II ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数的表达式； （III ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）21．（本小题满分12分）已知函数xx x f 212)(-=. （Ⅰ）若x x f 222)(+=，求x 的值； （Ⅱ）若2(2)()0tf t mf t +≥对于任意实数]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知定义域为[]1,0的函数()x f 同时满足以下三个条件：①对任意的[]1,0∈x ，总有()0f x ≥；②()11=f ；③若0,021≥≥x x 且121≤+x x ，则有()()()2121x f x f x x f +≥+成立，则称()x f 为“友谊函数”.（Ⅰ）若已知()x f 为“友谊函数”，求()0f 的值；（Ⅱ）函数()12-=xx g 在区间[]1,0上是否为“友谊函数”？并给出理由；（Ⅲ）已知()x f 为“友谊函数”，且 1021≤<≤x x ，求证:())(21x f x f ≤.石家庄市第一中学2015-2016学年高一第一学期期中数学试题（答案）一、选择题：1.B 2．D 3． B 4．C 5．A 6．C 7．D 8．B 9．A 10．B 11．D 12．A 二、填空题：13. ____14.3． 15. ______(-1,0)∪(0,3)_．16. _①_③_________ 三、解答题：本题共6小题，共70分。

2015—2016学年河北省石家庄市复兴中学高一（上)第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．设全集U=｛x∈N|x＜6}，集合A={1，3｝，B={3，5｝，则∁U（A∪B)=（）+A．｛1，4｝B．｛1,5}C．{2，4}D．｛2，5｝2．集合M={x|﹣2≤x≤2}，N=｛y|0≤y≤2｝，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是()A．B．C．D．3．设全集U=｛1,2，3，4，5｝,集合A={1，2，3｝，集合B={3，4，5}，则(∁U A）∪（∁U B）=（）A．｛1,2,3，4，5} B．{3｝ C．{1，2，4,5｝D．｛1，5｝4．已知方程x2﹣px+15=0与x2﹣5x+q=0的解集分别为A与B，A∩B=｛3}，则p+q的值是（）A．14 B．11 C．7 D．25．客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时,然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发,经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间C之间关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．6．f（x）=，则f｛f[f(﹣3)］}等于（)A．0 B．πC．π2D．97．电讯资费调整后，市内通话费的收费标准为：通话时间不超过3分钟收费0。

2元；超过3分钟以后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．按此标准,通话收费S（元)与通话时间t（分钟)的函数的大致图象可表示为（）A．B．C．D．8．函数y=的单调减区间为(）A．（﹣∞，0）∪（0，+∞) B．R C．[0，+∞）D．（﹣∞，0），(0,+∞）9．集合{(x,y）｜y=2x﹣1｝表示（)A．方程y=2x﹣1B．点(x，y）C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合10．已知集合A=｛x∈N|﹣≤x≤}，则有（）A．﹣1∈A B．0∈A C．∈A D．2∈A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．A=｛x|x2﹣5x+6=0｝，B={x|mx=1｝,若B⊆A，则实数m=．12．集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素,则集合A∪B 有个元素．13．函数y=的定义域为．14．将下列集合用区间表示出来．(1）{x|x≥1}=．（2）｛x|2≤x≤8}=．(3）｛y｜y=｝=．三、解答题：本大题共5小题，每题10分，共50分．15．已知集合A={x｜2x﹣4＜0｝,B=｛x｜0＜x＜5｝，全集U=R，求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）（∁U A）∩B．16．用适当的方法表示下列集合①方程x（x2+2x+1）=0的解集；②在自然数集内,小于1 000的奇数构成的集合；③不等式x﹣2＞6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．17．讨论下列函数的奇偶性．（1）y=﹣3x3+x；（2）y=﹣x2+3．18．证明：函数在区间(0，+∞）上是增函数．19．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图,请你回答下列问题：（1）最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）何时开始第一次休息？休息多长时间？（3）第一次休息时，离家多远？（4)11：00到12：00他骑了多少千米?（5）他在9：00﹣10:00和10：00﹣10：30的平均速度分别是多少？（6）他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？。

石家庄市复兴中学2016—2017学年度第一学期九月份月考高三数学（文理）试题(考试时间120分钟；分值：150分)一．选择题：每小题5分，共20分.1．的值为 ( )A．－ B. C．－ D．2．已知集合，那么（）A． B． C． D．3．幂函数的图象经过点（2，4），则（）A． 1 B．3 C．9 D．814．已知函数，若，则（）A． 3 B．4 C．5 D．255．已知，且，则的值是（）A．20 B． C． D．4006．如图①，②，③，④，根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为（）A． a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜cC． 1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c7．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）8．已知，则的值是（）A． B． C． D．9．已知函数，则的值为 （ ）A ．B ．C ．D ． 10．若函数f (x )＝x ＋2，x ≤1a 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞) B．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)11．已知集合A ={2，3}，B ={x |mx ﹣6=0}，若B ⊆A ，则实数m = （ ）A ． 3B ．2C ．2或3D ．0或2或312．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为 ( )A ．{x |－1<x <0或x >1}B ．{x |x <－1或0<x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |－1<x <0或0<x <1}二、填空题：每小题5分，共20分13．函数y =f （x ）是幂函数，而且f （x ）的图象过点（4，2），则a =_______．14．设函数 ,则满足的的取值范围是______. 15．集合，集合，则＝____.16.下列各式：（1）; （2）已知，则； （3）函数的图象与函数的图象关于y 轴对称； （4）函数的定义域是R ，则m 的取值范围是;（5）函数的递增区间为.正确的．．．有 .（把你认为正确的序号全部写上）高三数学（文理）试卷答题卡一．选择题二、填空题：每小题5分，共20分13．a =_______． 14．x 的取值范围是______. 15．N M C R )(＝____.16.正确的．．．有 .（把你认为正确的序号全部写上）三、解答题17．（本小题满分10分）已知全集U ＝R.集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |x －k ≤0}．(1)若k ＝1，求A ∩(∁U B )；(2)若A ∩B ≠φ，求k 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知：()()()x x x f --+=1ln 1ln .（1）求)0(f ；（2）判断此函数的奇偶性；（3）若()2ln =a f ，求a 的值.19．（本小题满分12分）已知函数()x f =|x-1|（I ） 解不等式()x f +()4-x f ≥8；20．（本小题满分12分）已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且x <0时，f (x )＝1＋2x .(1)求函数f (x )的解析式．(2)画出函数f (x )的图象．(3)写出函数f (x )单调区间及值域．21．（本小题满分12分）已知x 满足不等式0log )(log 2222≤-x x ，求函数1224221++⋅-=-a a y xx (R a ∈)的最小值)(a f .22．（本小题满分12分）已知函数f （x ）满足f （x +y ）=f （x ）+f （y ），当x ＞0时，有0)(<x f ，且f （1）=﹣2（1）求f （0）及f （﹣1）的值；（2）判断函数f （x ）的单调性，并利用定义加以证明；（3）求解不等式f （2x ）﹣f （x 2+3x ）＜4．。

2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合P={y|y2﹣y﹣2＞0}，Q={x|x2+ax+b≤0}，若P∪Q=R，则P ∩Q=（2，3]，则a+b=（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．13．（5分）命题“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是（）A．∀n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x B．∀n∈N*，∀x∈R，使n2≥xC．∃n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x D．∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x4．（5分）已知函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{a n}的前25项之和为（）A．0 B．C．25 D．505．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为6．（5分）若函数f（x）=1++sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0 B．1 C．2 D．47．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a8．（5分）等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[，]9．（5分）函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．πC．πD．12π11．（5分）如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，，为边AC上的一列点，满足，其中实数列{a n}中，a n ＞0，a1=1，则a5=（）A．46 B．30 C．242 D．16112．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；③单位圆的“伴随曲线”是它自身；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．14．（5分）如图，在正方形OABC内，阴影部分是由两曲线y=，y=x2（0≤x ≤1）围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a，则函数f（x）=的值域为．15．（5分）已知函数f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y=x3上一点P（a，b）的切线方程为．16．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，设直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则当最小时，双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sin2C=sin2B ﹣sinAsinC．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求sin∠BAC的值．18．（12分）某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t ≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．22．（12分）设f（x）=cosx+﹣1．（Ⅰ）求证：当x≥0时，f（x）≥0；（Ⅱ）若不等式e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1=3+i，z2=1﹣i∴复数z===（3+3i+i+i2）=1+2i因此z的共轭复数=1﹣2i，对应复平面内的点P（1，﹣2），为第四象限内的点故选：D．2．（5分）已知集合P={y|y2﹣y﹣2＞0}，Q={x|x2+ax+b≤0}，若P∪Q=R，则P ∩Q=（2，3]，则a+b=（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【解答】解：集合P={y|y2﹣y﹣2＞0}={y|y＜﹣1或y＞2}，Q={x|x2+ax+b≤0}，P∪Q=R，P∩Q=（2，3]，∴Q={x|﹣1≤x≤3}，∴﹣1，3是方程x2+ax+b=0的两根，由根与系数关系得﹣a=﹣1+3，b=﹣3，解得a+b=﹣5．故选：A．3．（5分）命题“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是（）A．∀n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x B．∀n∈N*，∀x∈R，使n2≥xC．∃n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x D．∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x【解答】解：“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是：∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x，故选：D．4．（5分）已知函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{a n}的前25项之和为（）A．0 B．C．25 D．50【解答】解：函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，可得y=f（x）的图象关于x=1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），可得a6+a20=2，又{a n}是等差数列，所以a1+a25=a6+a20=2，可得数列的前25项和，所以数列的前25项和为25．故选：C．5．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（﹣s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（﹣2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．6．（5分）若函数f（x）=1++sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：f（x）=1++sinx=3﹣+sinx，f（﹣x）=3﹣+sin（﹣x）=3﹣﹣sinx∴f（x）+f（﹣x）=4，所以f（x）是以点（0，2）为对称中心，所以其最大值与最小值的和m+n=4．故选：D．7．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，故选：B．8．（5分）等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[，]【解答】解：以C为坐标原点，CA边所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（1，0），B（0，1），设P（x，y），则且=（﹣1，），=（x﹣，y﹣），则•=﹣x+y+，令t=﹣x+y+，结合线性规划知识，则y=2x+2t﹣当直线t=﹣x+y+经过点A（1，0）时，•有最小值，将（1，0）代入得t=﹣，当直线t=﹣x+y+经过点B时，•有最大值，将（0，1）代入得t=，则•的取值范围是[﹣，]，故选：A．9．（5分）函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解由已知得=cos2x﹣log2|x|，令f（x）=0，即cos2x=log2|x|，在同一坐标系中画出函数y=cos2x和y=log2|x|的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数f（x）的零点个数为2，故选：B．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．πC．πD．12π【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故选：C．11．（5分）如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，，为边AC上的一列点，满足，其中实数列{a n}中，a n ＞0，a1=1，则a5=（）A．46 B．30 C．242 D．161【解答】解：因为=3⇒=，=，设m=，则因为，所以m=a n，m=﹣（3a n+2），+1所以a n=﹣（3a n+2），+1+1=3（a n+1），所以a n+1因为a1+1=2，所以{a n+1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以a n+1=2•3n﹣1，所以a n=2•3n﹣1﹣1．a5=161．故选：D．12．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；③单位圆的“伴随曲线”是它自身；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，若令P（1，1），则其“伴随点”为，而的“伴随点”为（﹣1，﹣1），而不是P，故①错误；对于②，设曲线f（x，y）=0关于x轴对称，则f（x，﹣y）=0与方程f（x，y）=0表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于y轴对称，所以②正确；对于③，设单位圆上任一点的坐标为P（cosx，sinx），其“伴随点”为P'（sinx，﹣cosx）仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线y=kx+b上任一点P（x，y）的“伴随点”为，∴P′的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是﹣．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，f（）=f（）=|﹣|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案为：﹣14．（5分）如图，在正方形OABC内，阴影部分是由两曲线y=，y=x2（0≤x ≤1）围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a，则函数f（x）=的值域为[﹣1，+∞）．【解答】解：由题意和定积分可得阴影部分面积：S=（﹣x2）dx=（﹣x3）=，∴由几何概型可得此点取自阴影部分的概率P=，即a=．x≥，log3x≥﹣1，x＜，，∴函数f（x）=的值域为[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．15．（5分）已知函数f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y=x3上一点P（a，b）的切线方程为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．【解答】解：由f（x）=3x+cos2x+sin2x，得到：f′（x）=3﹣2sin2x+2cos2x，且由y=x3，得到y′=3x2，则a==3﹣2sin+2cos=1，把x=1代入y′=3x2中，解得切线斜率k=3，且把x=1代入y=x3中，解得y=1，所以点P的坐标为（1，1），若P为切点则由点斜式得，曲线上过P的切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．若P不为切点，则设切点为（m，n），切线斜率为3m2，则3m2=，n=m3，解得m=﹣，则切线方程为：3x﹣4y+1=0．故答案为：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．16．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，设直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则当最小时，双曲线的离心率为．【解答】解：设C（x，y），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），显然x≠x1，x≠x2．∵点A，C在双曲线上，∴，两式相减得，∴．由，设t=k1k2，则，∴求导得，由得t=2．∴在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴t=2时即k1k2=2时取最小值，∴，∴．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sin2C=sin2B ﹣sinAsinC．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求sin∠BAC的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）在△ABC中，∵sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC，∴a2+c2=b2﹣ac，…（2分）∴cosB==﹣=﹣，…（4分）∵B∈（0，π），…（5分）∴B=．…（6分）（2）在△ABD中，由正弦定理：，∴sin∠BAD===，…（8分）∴cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD=1﹣2×=，…（10分）∴sin∠BAC===．…（12分）18．（12分）某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．【解答】解：（1）由题意，，m＞n∴m=，n=；（2）学分X的取值分别为0，1，2，3，4，5，6，则P（X=0）=，P（X=1）=×=，P（X=2）=×=，P（X=3）=+×=，P（X=4）=×=，P（X=5）==，P（X=6）=．X的分布列期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t ≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（1）证明：由S n=t（S n﹣a n+1），当n=1时，S1=t（S1﹣a1+1），得a1=t，当n≥2时，S n=t（S n﹣a n+1），即（1﹣t）S n=﹣ta n+t，（1﹣t）S n﹣1=﹣ta n﹣1+t，∴a n=ta n﹣1，故{a n}成等比数列；（2）由（1）知{a n}成等比数列且公比是t，∴，故，即，若数列{b n}是等比数列，则有，而故[t3（2t+1）]2=（2t2）•t4（2t2+t+1），解得，再将代入b n得：．由知{b n}为等比数列，∴；（3）由，知，，∴，由不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，得，令，由，当n≤4时，d n+1＞d n，当n≥4时，d n+1＜d n，而，∴d4＜d5，则，得．21．（12分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．【解答】解：（1）由+=，得，即，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA≤∠MAO，∴x0≥1，再设H（0，y H），联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根与系数的关系得，∴，，MH所在直线方程为，令x=0，得，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1y H=，整理得：，即8k2≥3．∴或．22．（12分）设f（x）=cosx+﹣1．（Ⅰ）求证：当x≥0时，f（x）≥0；（Ⅱ）若不等式e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：（x≥0），则f'（x）=x﹣sinx，设φ（x）=x﹣sinx，则φ'（x）=1﹣cosx，…（2分）当x≥0时，φ'（x）=1﹣cosx≥0，即f'（x）=x﹣sinx为增函数，所以f'（x）≥f'（0）=0，即f（x）在x≥0时为增函数，所以f（x）≥f（0）=0．…（4分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知x≥0时，sinx≤x，，所以，…（6分）设，则G'（x）=e x﹣x﹣1，设g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1，当x≥0时g'（x）=e x﹣1≥0，所以g（x）=e x﹣x﹣1为增函数，所以g（x）≥g（0）=0，所以G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，所以e x≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．…（8分）又x≥0，a≥1时，e ax≥e x，所以a≥1时e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．…（9分）当a＜1时，设h（x）=e ax﹣sinx+cosx﹣2，则h'（x）=ae ax﹣cosx﹣sinx，h'（0）=a﹣1＜0，所以存在实数x0＞0，使得任意x∈（0，x0），均有h'（x）＜0，所以h（x）在（0，x0）为减函数，所以在x∈（0，x0）时h（x）＜h（0）=0，所以a＜1时不符合题意．综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．…（12分）（Ⅱ）解法二：因为e ax≥sinx﹣cosx+2等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2）…（6分）设g（x）=ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），则可求，…（8分）所以当a≥1时，g'（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）是增函数，所以g（x）≥g（0）=0，即ax≥ln（sinx﹣cosx+2），即e ax≥sinx﹣cosx+2所以a≥1时，e ax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．…（9分）当a＜1时，一定存在x0＞0，满足在（0，x0）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）是减函数，此时一定有g（x）＜g（0）=0，即ax＜ln（sinx﹣cosx+2），即e ax＜sinx﹣cosx+2，不符合题意，故a＜1不能满足题意，综上所述，a≥1时，e ax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．…（12分）。

绝密★启用前【百强校】2015-2016学年河北省石家庄一中高一上学期期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：167分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、对于函数，若在其定义域内存在两个实数，当时，的值域也是，则称函数为“科比函数”．若函数是“科比函数”，则实数的取值范围A ．B ．C ．D ．2、已知函数的值为A ．B ．C ．D ．3、已知函数若有则的取值范围为A ．B ．C ．D ．4、函数的图像大致是5、函数的单调增区间是A ．B ．C ．D ．6、当时，下列不等式中正确的是A ．B ．C ．D ．7、下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是 A ．B ．C ．D ．8、设函数＝，则使得≥1的自变量x 的取值范围为A ．(－∞，－2]∪[0,10]B ．(－∞，－2]∪[0,1]C ．(－∞，－2]∪[1,10]D ．[－2,0]∪[1,10]9、已知是第三象限角，则是A．第一象限角 B．第二象限角C．第二或第四象限角 D．第一或第四象限角10、若方程在区间且上有一根，则的值为A．1 B．2 C．3 D．411、已知函数的图象过点（3，2），则函数的图象关于轴的对称图形一定过点A．（2，-2） B．（2，2） C．（-4，2） D．（4，-2）12、已知集合，，则A．或B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、给出下列四个命题：①函数（且）与函数（且）的定义域相同；②函数与的值域相同；③函数与都是奇函数；④函数与在区间上都是增函数，其中正确命题的序号是____________（把你认为正确的命题序号都填上）．14、设集合，，若，则实数的取值范围是________．15、若为上的奇函数，则实数的值为．16、圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数是．三、解答题（题型注释）17、（本小题满分12分）已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：①对任意的，总有；②；③若且，则有成立，则称为“友谊函数”．（Ⅰ）若已知为“友谊函数”，求的值；（Ⅱ）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由；（Ⅲ）已知为“友谊函数”，且，求证:．18、（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若对于任意实数恒成立，求实数的取值范围．19、（本小题满分12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0．02元，但实际出厂单价不能低于51元． （Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ （Ⅱ）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；（Ⅲ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）20、（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若，任意，求实数的取值范围．21、（本小题满分12分）已知，，且，试比较与的大小．22、(本小题满分10分) 设集合，求实数的取值范围．（其中为区间）参考答案1、A2、D3、B4、A5、B6、D7、C8、A9、C10、B11、D12、B13、①③14、15、16、17、（Ⅰ）；（Ⅱ）是“友谊函数”；（Ⅲ）见解析．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．19、（Ⅰ）550个；（Ⅱ）；（Ⅲ）一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）．21、22、【解析】1、试题分析：因为函数是增函数且为“科比函数”，所以有，，所以是方程的两个根，即是方程的两个根，所以函数与函数有两个公共点，在同一坐标系内作出两函数的图象，当经过点时，，又两边平方整理得，由得，数形结合可知实数的取值范围，故选A．考点：１．新定义问题；２．函数与方程．【方法点睛】本题主要考查学生接受新知识的能力以及函数与方程、数形结合思想等问题，属中档题．解决问题的主要方法通常是通过等价转化，先将新定义的问题通过“翻译”转化为函数、方程或不等式的解的问题，进一步转化为两个函数的图象有两个公共点，通过数形结合或分类讨论求解．2、试题分析：,所以，因为，所以，故选D．考点：1．函数的表示；2．对数的运算性质．3、试题分析：因为，所以，即，，解之得，故选B．考点：1．指数函数的值域；2．一元二次不等式的解法．4、试题分析：当，时，，排除B、C，当时，，排除D，故选A．考点：函数的图象．5、试题分析：函数的定义域为，令，由二次函数性质可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，而在定义域内是减函数，由复合的性质可知的递增区间为，故选B．考点：复合函数的单调性．【易错点睛】本题主要考查复合函数的单调性，属中档题．本题在解题过得中，容易忽略定义域的限制条件，直接由复合函数的单调性，得到单调递增区间为．6、试题分析：因为，所以，所以指数函数是减函数，又，所以A、C均错；函数是增函数，，所以B错；又，幂函数是在区间上是增函数，，所以，所以，故选D．考点：1．指数函数的性质；2．幂函数的性质；3．不等式的性质．7、试题分析：,故A错；，故B错；当时，，故C正确；，所以D错，故选C．考点：分数指数幂与根式的互化．8、试题分析：当时，由得：或；当时，由得：，所以不等式的为．考点：函数与不等式．9、试题分析：因数是第三象限角，所以，所以有，当为偶数时，是第二象限角，当为奇数时，是第四象限角，故选C．考点：解的有关概念．10、试题分析：令，则，，且函数在定义域内为增函数，所以由零点存在定理可知函数的零点在区间上，所以，故选B．考点：1．函数与方程；2．零点存在定理．11、试题分析：因为函数的图象过点,所以函数的图象一定过，所以函数的图象关于轴的对称图形一定过点，故选D．考点：1．函数的表示方法；2．轴对称图形的性质．12、试题分析：由交集的定义可知，，故选B．考点：集合的运算及表示．【易错点睛】本题主要考查集合的运算与集合的表示方法，属容易题．集合A中的代表元素用的字母为，集合B中的代表元素用的字母为，学生会误认为是两个不同类型的集合，选D，即对两个集合均为数集的含义不清楚导致错误．13、试题分析：函数（且）的定义域为，函数（且）的定义域为，故①正确；函数的值域为，函数的值域为，故②错误；因为的定义域为，且，，所以是奇函数，的定义域为，，所以是奇函数，故③正确；函数在区间单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递增，故④错误．所以正确的序号为①③．考点：1．指数函数、对数函数的定义域与值域；2．指数函数与幂函数的单调性；3．函数的奇偶性与单调性．14、试题分析：, ,由得，当时，，由得；当时，，不符合题意；当时，，由得；综上所述，实数的取值范围是．考点：1．不等式的解法；2．集合的运算．【易错点睛】本题主要考查集合的运算、不等式的解法、对数的性质等知识，属中档题．易错1：求集合时，容易忽略对数的真数大于的限制，将集合求错；易错2：求集合时，不对进行分类讨论，直接得到导致错误．15、试题分析：因为为上的奇函数，所以，所以．考点：奇函数的定义与性质．16、试题分析：设圆的半径为，其外切正三角形的边长为，则，又弧长为，所以圆心角为．考点：1．弧度制的定义及应用；2．三角形内切圆性质．17、试题分析：（Ⅰ）在条件中令即可求得，又由已知即可求得；（Ⅱ）容易验证前两个条件成立，对于第三个条件，用作差比较法比较与的大小可得函数是“友谊函数”；（Ⅲ）由，且及友谊函数的定义可得成立．试题解析：（Ⅰ）取得,所以，又由，得（Ⅱ）显然在上满足①②，若，且，则有故满足条件①﹑②﹑③所以为友谊函数．（Ⅲ）因为，则0＜＜１，所以．考点：1．新定义问题；2．指数的运算性质；3．函数与不等．18、试题分析：（Ⅰ）将函数解析式直接代入可得，解方程即可；（Ⅱ）因为，且当时，，所以不等式对于任意实数恒成立等价于即对于任意实数恒成立，又在区间上的最大值为，可得．试题解析：（Ⅰ）由条件可知所以（Ⅱ）当时，，．．， (12)考点：1．函数与方程；2．函数与不等式．【方法点睛】本题主要考查函数与方程、函数不等式等知识，同时考查数学的化归与转化思想，属中档题．求解不等式恒成立问题，主要是通过等价转化、分离参数等方法转化为函数的最值问题进行讨论求解．本题主通过分离参数的方法，再转化从求函数最值问题求解的．19、试题分析：（Ⅰ）因为每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0．02元，所以当出厂单价恰为51元时订购量为；（II）分，，分别写出零件的实际出厂单价与的关系式，再用分段函数表示即可；（III）先列出利润关于订购量的关系式，将与分别代入解析式即可．试题解析：（Ⅰ）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．（Ⅱ）当时，当时，当时，所以（Ⅲ）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则当时，；当时，因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．考点：1．函数建模；2．分段函数的表示及应用．【方法点睛】本题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力，属中档题．把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好三关：（1）整理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口；（2）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系；（3）数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建受益人数学模型．20、试题分析：（Ⅰ）当，，由两个数将轴分为三个区间，去绝对值，将函数表示成分段函数形式，分别解不等式即可；（Ⅱ）等价于，分，，三种情况去绝对值，研究恒成立时的实数的范围，再求并集即可．试题解析：（Ⅰ）若，由解得或；所以原不等式的解集为．（Ⅱ）由可得当时，只要恒成立即可，此时只要当时，只要恒成立即可，此时只要当时，只要恒成立即可，此时只要综上．考点：1．绝对值的意义；2．分段函数的表示；3．函数与解不等式．【方法点睛】本题主要考查绝对值的意义、分段函数的表示的方法、函数与解不等式的知识，属中档题．在解决含有绝对值不等式有关问题时，通常是利用绝对值的意义去掉绝对值符号变为分段函数，利用分段函数的性质求解，在去绝对值符号量一定要注意自变量的取值范围．21、试题分析：将变形得可求，由写成对数式，得，，代入求得，由函数与函数的单调性，通过中间桥梁比较大小即可．试题解析：∵∴，又∵为单调递增的函数∵，∵，∴，又∵，∴∵在上单调递增，在上单调递减，∴，即考点：1．指数函数的性质；2．指数式与对数式的互化；3．对数的运算性质．22、试题分析：等价于方程无解或有两个非负解，当方程无解时，由可求的范围；当方程有两个非负解时，因为方程无零根，所以只要即可，最后求并集．试题解析：①当当,满足条件；②当△≥0时，∵方程无零根,故方程两根必均为负根,∵两根之积为1(大于0) ∴综上有．考点：1．二次方程根的分布；2．集合的运算．。

2015—2016学年度上学期期中考试高三数学（理科）试题命题人：才忠勇 校对人：陈丽君一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.） 1.设i 为虚数单位，则复数5i2iz =-的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）.A 1(0)2， .B (2)+∞，.C 1(0][2)2+∞U ，， .D 1(0)(2)2+∞U ，， 3.下列结论错误的是（ ）.A 命题“若0432=--x x ，则4=x ”的逆否命题是“若4≠x ，则0432≠--x x ” .B 命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实根”的逆命题为真命题 .C “4=x ”是“0432=--x x ”的充分条件.D 命题“若022=+n m ，则0=m 且0=n ”的否命题是“若022≠+n m ，则0≠m 或0≠n ”4.若实数x ，y 满足4024020+-⎧⎪--⎨⎪-+⎩x y x y x y „„…，则目标函数23=+z x y 的最大值为（ ）.A 11 .B 24 .C 36 .D 495.在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则7513a a -的值为（ ）.A 8 .B 12 .C 16 .D 726.已知1e ，2e 是夹角为60o的两个单位向量，若21e e a +=，2124e e b +-=，则a 与b 的夹角为（ ）.A 30o .B 60o .C 120o .D 150o7.对于直线m ，n 和平面α，β，αβ⊥的一个充分条件是（ ）.A m n ⊥，m αβ=I ，n α⊂ .B m n ⊥，//m α，//n β .C //m n ，n β⊥，m α⊂ .D //m n ，m α⊥，n β⊥8.若函数)2sin(3)sin()(x x x f ωπωπ++-=(0)x ω∈>R ，满足2)(-=αf ，0)(=βf ，且βα-的最小值为2π，则函数)(x f 的单调递增区间为（ ） .A 5[22]()66k k k ππππ-+∈Z ， .B 5[22]()1212k k k ππππ-+∈Z ，.C []()36k k k ππππ-+∈Z ， .D 5[]()1212k k k ππππ-+∈Z ，9.设M 是ABC ∆内一点，且23AB AC ⋅=u u u r u u u r ，30BAC ∠=o.定义()()f M m n p =，，，其中m n p 、、分别是MBC MCA MAB ∆∆∆、、的面积.若1()()2f P x y =，，，则14x y +的最小值是.A 8 .B 9 .C 16 .D 1810.已知函数()f x 的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式为（ ）.A 2ln()()x f x x x =- .B 2ln()()x f x x x=+.C 2ln()()x f x x x=-.D ln()()x f x x x=+11.已知四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD ，在PAD ∆中，2PA PD ==，120APD ∠=o，2AB =，则球O 的外接球的表面积等于.A 16π .B 20π .C 24π .D 36π12.已知函数)(x f y =的定义域为R ，当0<x 时，1)(>x f ，且对任意的实数x y ∈R ，，等式)()()(y x f y f x f +=⋅成立，若数列{}n a 满足)11(1)(1nn a f a f +=+，*()n ∈N ，且)0(1f a =，则下列结论成立的是（ ）.A 20132016()()f a f a > .B 20142015()()f a f a > .C 20162015()()f a f a < .D 20142016()()f a f a <二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）13.若lg 2, lg(21)x-，lg(23)x+成等差数列，则x 的值等于________.14.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)(133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 .15.某几何体的三视图如右图,则此几何体的体积为 . 16.已知()e xf x x =⋅，（其中e 为自然对数的底数），方程2()()10f x tf x ++=()t ∈R 有四个实数根，则实数t 的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）2 2 22 22 1222222yxO第10题已知向量(sin 1)a x =-r ，，1(3cos )2b x =-r ，，函数2)()(-⋅+=a b a x f ．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期T ；（Ⅱ）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐角，32=a ，4=c ,且1)(=A f ，求A ，b 和ABC ∆的面积S ． 18．（本小题满分12分）已知如图几何体，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在平面互相垂直， 222AF AB AD ===，M 为AF 的中点，CE BN ⊥，垂足为N . （Ⅰ）求证: //CF 平面BDM ； （Ⅱ）求二面角N BD M --的大小. 19．（本小题满分12分）已知首项都是1的数列{}n a ，{}n b *(0)n b n ≠∈N ，满足113n nn n na b b a b ++=+.（Ⅰ）令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 为各项均为正数的等比数列，且23264b b b =⋅，求数列{}n a 的前n 项和n S .20.（本小题满分12分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B 与小岛A 、小岛 C 相距都为5n mile ，与小岛D 相距为35n mile .小岛A 对小岛B 与D 的视角为钝角，且3sin 5A =. （Ⅰ）求小岛A 与小岛D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（Ⅱ）记小岛D 对小岛B 与C 的视角为α，小岛B 对小岛C 与D 的视角为β，求sin(2)αβ+的值. 21.（本小题满分12分）数列{}n a ，{}n b 的每一项都是正数，81=a ，161=b ，且n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，Λ321，，=n . （Ⅰ）求2a ，2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有7211111121<-++-+-n a a a Λ. 22. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x ax x =-+（其中a 是实数）. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若设12(e )5ea +<<，且()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求12()()f x f x -的取值范围.（其中e 为自然对数的底数，*n ∈N ）.20152016学年度上学期期中考试高三理科数学参考答案一、选择题1～6：CDBACC 7～12：CADABD 二、填空题13．5log 2 14.465 15.2 16.2e ()e+1-∞-，三、解答题17.解:（Ⅰ）2()()22f x a b a a a b =+⋅-=+⋅-r r r r r r21sin 13sin cos 22x x x =+++-，…………………………………………………2分1cos 23131sin 2sin 2cos 2sin(2)222226x x x x x π-=+-=-=-.………………4分因为2ω=，所以22T ππ==.…………………………………………………………5分（Ⅱ）()sin(2)16f A A π=-=，因为(0)2A π∈，，52()666A πππ-∈-，，所以262A ππ-=，3A π=. ……………7分则2222cos a b c bc A =+-，所以211216242b b =+-⨯⨯，即2440b b -+=，则2b =……9分从而11sin 24sin 602322S bc A ==⨯⨯⨯=o.………………………………………10分18．（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结OM .因为M 为AF 中点， O 为AC 中点，所以//FC MO ， 又因为MO ⊂平面MBD ，FC ⊄平面MBD ，所以//FC 平面MBD .……………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为正方形ABCD 和矩形ABEF 所在平面互相垂直，所以AF ⊥平面ABCD . 以A 为原点，以AD ，AB ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.(110)C ，，，(001)M ，，，(010)B ，，，(100)D ，，，42(1)55N ，，， 设平面BDM 的法向量为()p x y z =u r，，， 00p BD p BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u u r ，(111)p =u r ，，.…………………………6分 设平面BDN 的法向量为()q x y z =r ，，， 00q BD q BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，(112)q =-r ，，.…………………………………………8分 设p u r 与q r 的夹角为θ，cos 0p q p qθ⋅==⋅u r ru r r ……………………………………………………10分所以二面角M BD N --的大小为90o.………………………………………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由题意可得，1113n n n n n n a b a b b b +++⋅=⋅+⋅， 两边同除以1n n b b +⋅，得113n nn na ab b ++=+， 又nn na cb =，13n n c c +∴-=，…………………………………………………………………3分 z y x N M F E D C BA又1111a c b ==，∴数列{}n c 是首项为1，公差为3的等差数列. 13(1)32n c n n ∴=+-=-，*n ∈N .…………………………………………………………5分（Ⅱ）设数列{}n b 的公比为(0)q q >，23264b b b =⋅Q ，2426114b q b q ∴=⋅，整理得：214q =，12q ∴=，又11b =，11()2n n b -∴=，*n ∈N ，………………………7分 11(32)()2n n n n a c b n -=⋅=-⨯…………………………………………………………………8分1231n n n S a a a a a -∴=+++++L012111111()4()7()(32)()2222n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯L …………①123111111()4()7()(32)()22222n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++-⨯L …………② ……………9分 ①—②得：1211111113()3()3()(32)()22222n n n S n -=+⨯+⨯++⨯--⨯L 21111113[()()](32)()2222n n n -=+⨯+++--⨯L111[1()]12213(32)()1212n n n --=+⨯--⨯-………………………………………………10分11113[1()](32)()22n n n -=+⨯---⨯114(632)()4(34)()22n n n n =-+-⨯=-+⨯18(68)()2n n S n ∴=-+⨯………………………………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）3sin 5A =Q ，且角A 为钝角，234cos 1()55A ∴=--=-.在ABD ∆中，由余弦定理得，2222cos AD AB AD AB A BD +-⋅⋅=，2224525()(35)5AD AD ∴+-⋅⋅-=，28200AD AD ∴+-=，解得2AD =或10AD =-（舍）， ∴小岛A 与小岛D 之间的距离为2n mile .…………………………………………………………2分 Q A ，B ，C ，D 四点共圆，∴角A 与角C 互补.3sin 5C ∴=，4cos cos(180)cos 5C A A =-=-=o .在BDC ∆中，由余弦定理得，2222cos CD CB CD CB C BD +-⋅⋅=，2224525(35)5CD CD ∴+-⋅⋅=，28200CD CD ∴--=，解得2CD =-（舍）或10CD =.……………………………………………………………………4分11sin sin 1822ABC BCD ABCD S S S AB AD A CB CD C ∆∆∴=+=⋅⋅+⋅⋅=四边形，∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile .………………………………………………6分（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，sin sinC BC BD α=，即5353sin 5α=，解得5sin 5α=.222DC DB BC +>Q ，α∴为锐角，25cos 5α∴=.……………………………………………8分 又3sin()sin(180)sin 5C C αβ+=-==oQ ， 4cos()cos(180)cos 5C C αβ+=-=-=-o .………………………………………………………10分25sin(2)sin[()]sin cos()cos sin()25αβααβααβααβ∴+=++=+++=.……………12分21.解：(Ⅰ)由题意得2112a a b +=，可得242112=-=a b a .由2122b b a =，可得361222==b a b .……………………………………………………………………2分(Ⅱ)因为n a ，n b ，1+n a 成等差数列，所以12++=n n n a a b ，————————①因为n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，所以121+=+n n b b a n ， 因为{}n a ，{}n b 的每一项都是正数，所以11++=n n n b b a ，————————② 于是，当2n …时，1n n n a b b -=，————————③ 将②③代入①式，可得112+-+=n n n b b b ， 因此数列}{n b 是首项为4，公差为2的等差数列，所以22)1(1+=-+=n d n b b n ，于是2)1(4+=n b n ，………………………………………6分由③式，可得当2n …时，)1(4+=n n a n 当1=n 时，81=a ，满足上式，所以对一切正整数n ，都有)1(4+=n n a n .……………………8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知，所证明的不等式为721441471231712<-+++++n n Λ. 【方法1】首先证明)111(7214412+-<-+n n n n即证nn n n 772144122+<-+，即证022>-+n n ，即证0)2)(1(>+-n n ， 所以当2n …时，72217271)]111()3121[(72711441471231712=⨯+<+-++-+<-+++++n n n n ΛΛ. 当1n =时，7271<.综上所述：对一切正整数n ，有7211111121<-++-+-n a a a Λ.……………………………………12分 【方法2】)321121(41)32)(12(134********+--=+-=-+<-+n n n n n n n n . 当3n …时，)]321121()121321()11171()9151[(41231711441471231712+--++--++-+-++<-+++++n n n n n n ΛΛ )7151(4123171+++< 27< 当1n =时，7271<；当2n =时，72717123171=+<+.综上所述：对一切正整数n ，有7211111121<-++-+-n a a a Λ.…………………………………12分 【方法3】)121121(21)12)(12(1141144122+--=+-=-<-+n n n n n n n 当4n ?时，)]121121()121321()11191()9171[(21471231711441231712+--+---++-+-+++<-++++n n n n n n ΛΛ 7214147123171<+++<. 当1n =时，7271<；当2n =时，72717123171=+<+；当3n =时，721411417147123171=++<++.综上所述：对一切正整数n ，有7211111121<-++-+-n a a a Λ.……………………………………12分 22.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0)+∞，，2222()2x ax f x x a x x-+'=-+=， 令2()22g x x ax =-+，216a ∆=-，对称轴4a x =，(0)2g =，（1）当0∆?，即44a -剟时，()0f x '…， 于是，函数()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无单调递减区间. （2）当0∆>0，即4a <-或4a >时，①当4a <-时，()0f x '>恒成立，于是，()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无减区间.②当4a >时，令()0f x '=，得21164a a x --=，22164a a x +-=，当12(0)()x x x ∈+∞U ，，时，()0f x '>，当12()x x x ∈，时，()0f x '<. 于是，()f x 的单调递增区间为1(0)x ，和2()x +∞，，单调递减区间为12()x x ，. 综上所述：当4a „时，()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无单调递减区间.当4a >时， ()f x 的单调递增区间为1(0)x ，和2()x +∞，，单调递减区间为12()x x ，.………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，若()f x 有两个极值点，则4a >，且1202ax x +=>，121x x =，1201x x ∴<<<………………………………………………………6分又211220x ax -+=Q ，1112()a x x =+，12(e )5ea +<<， 11111e 22e x x ∴+<+<+，又101x <<，解得1112ex <<，…………………………………8分于是，22121211222()()()ln ()ln 2f x f x x x a x x ax x -=--+-+22121212)(2(ln l (n ))x x x x x x a =----+112122)2()(ln 2x x x x aa x x -⋅-=+- 11111))4l 11(n (x x x x x -⋅+=-+2112114ln x x x =+-………………………………………………………………10分令22()l 14n h x x x x =-+11()2ex <<，则2232(1)()0x h x x --'=<恒成立， ()h x ∴在11()2e ，上单调递减，11()()()2eh h x h ∴<<，即12115e 2()()4ln 2e 4f x f x --<-<-， 故12()()f x f x -的取值范围为115(e 24ln 2)e 4---，.………………………………………………12分20152016学年度上学期期中考试高三理科数学参考答案一、选择题1～6：CDBACC 7～12：CADABD 二、填空题13．5log 2 14.465 15.2 16.2e ()e+1-∞-，三、解答题17.解:（Ⅰ）2()()22f x a b a a a b =+⋅-=+⋅-r r r r r r21sin 13sin cos 22x x x =+++-，…………………………………………………2分1cos 23131sin 2sin 2cos 2sin(2)222226x x x x x π-=+-=-=-.………………4分因为2ω=，所以22T ππ==.…………………………………………………………5分（Ⅱ）()sin(2)16f A A π=-=，因为(0)2A π∈，，52()666A πππ-∈-，，所以262A ππ-=，3A π=. ……………7分则2222cos a b c bc A =+-，所以211216242b b =+-⨯⨯，即2440b b -+=，则2b =……9分从而11sin 24sin 602322S bc A ==⨯⨯⨯=o.………………………………………10分18．（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结OM .因为M 为AF 中点， O 为AC 中点，所以//FC MO ， 又因为MO ⊂平面MBD ，FC ⊄平面MBD ，所以//FC 平面MBD .……………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为正方形ABCD 和矩形ABEF 所在平面互相垂直，所以AF ⊥平面ABCD . 以A 为原点，以AD ，AB ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.(110)C ，，，(001)M ，，，(010)B ，，，(100)D ，，，42(1)55N ，，， 设平面BDM 的法向量为()p x y z =u r，，， 00p BD p BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u u r ，(111)p =u r ，，.…………………………6分 设平面BDN 的法向量为()q x y z =r ，，， 00q BD q BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，(112)q =-r ，，.…………………………………………8分 设p u r 与q r 的夹角为θ，cos 0p q p qθ⋅==⋅u r ru r r ……………………………………………………10分所以二面角M BD N --的大小为90o.………………………………………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由题意可得，1113n n n n n n a b a b b b +++⋅=⋅+⋅， 两边同除以1n n b b +⋅，得113n nn na ab b ++=+， 又nn na cb =，13n n c c +∴-=，…………………………………………………………………3分 z y x N M F E D C BA又1111a c b ==，∴数列{}n c 是首项为1，公差为3的等差数列. 13(1)32n c n n ∴=+-=-，*n ∈N .…………………………………………………………5分（Ⅱ）设数列{}n b 的公比为(0)q q >，23264b b b =⋅Q ，2426114b q b q ∴=⋅，整理得：214q =，12q ∴=，又11b =，11()2n n b -∴=，*n ∈N ，………………………7分 11(32)()2n n n n a c b n -=⋅=-⨯…………………………………………………………………8分1231n n n S a a a a a -∴=+++++L012111111()4()7()(32)()2222n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯L …………①123111111()4()7()(32)()22222n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++-⨯L …………② ……………9分 ①—②得：1211111113()3()3()(32)()22222n n n S n -=+⨯+⨯++⨯--⨯L 21111113[()()](32)()2222n n n -=+⨯+++--⨯L111[1()]12213(32)()1212n n n --=+⨯--⨯-………………………………………………10分11113[1()](32)()22n n n -=+⨯---⨯114(632)()4(34)()22n n n n =-+-⨯=-+⨯18(68)()2n n S n ∴=-+⨯………………………………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）3sin 5A =Q ，且角A 为钝角，234cos 1()55A ∴=--=-.在ABD ∆中，由余弦定理得，2222cos AD AB AD AB A BD +-⋅⋅=，2224525()(35)5AD AD ∴+-⋅⋅-=，28200AD AD ∴+-=，解得2AD =或10AD =-（舍）， ∴小岛A 与小岛D 之间的距离为2n mile .…………………………………………………………2分 Q A ，B ，C ，D 四点共圆，∴角A 与角C 互补.3sin 5C ∴=，4cos cos(180)cos 5C A A =-=-=o .在BDC ∆中，由余弦定理得，2222cos CD CB CD CB C BD +-⋅⋅=，2224525(35)5CD CD ∴+-⋅⋅=，28200CD CD ∴--=，解得2CD =-（舍）或10CD =.……………………………………………………………………4分11sin sin 1822ABC BCD ABCD S S S AB AD A CB CD C ∆∆∴=+=⋅⋅+⋅⋅=四边形，∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile .………………………………………………6分（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，sin sinC BC BD α=，即5353sin 5α=，解得5sin 5α=.222DC DB BC +>Q ，α∴为锐角，25cos 5α∴=.……………………………………………8分 又3sin()sin(180)sin 5C C αβ+=-==o Q ， 4cos()cos(180)cos 5C C αβ+=-=-=-o .………………………………………………………10分 25sin(2)sin[()]sin cos()cos sin()25αβααβααβααβ∴+=++=+++=.……………12分 21.解：(Ⅰ)由题意得2112a a b +=，可得242112=-=a b a .由2122b b a =，可得361222==b a b .……………………………………………………………………2分 (Ⅱ)因为n a ，n b ，1+n a 成等差数列，所以12++=n n n a a b ，————————① 因为n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，所以121+=+n n b b a n ， 因为{}n a ，{}n b 的每一项都是正数，所以11++=n n n b b a ，————————②于是，当2n …时，1n n n a b b -=，————————③ 将②③代入①式，可得112+-+=n n n b b b ， 因此数列}{n b 是首项为4，公差为2的等差数列， 所以22)1(1+=-+=n d n b b n ，于是2)1(4+=n b n ，………………………………………6分由③式，可得当2n …时，)1(4+=n n a n 当1=n 时，81=a ，满足上式，所以对一切正整数n ，都有)1(4+=n n a n .……………………8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知，所证明的不等式为721441471231712<-+++++n n Λ. 【方法1】首先证明)111(7214412+-<-+n n n n 即证nn n n 772144122+<-+，即证022>-+n n ，即证0)2)(1(>+-n n ， 所以当2n …时，72217271)]111()3121[(72711441471231712=⨯+<+-++-+<-+++++n n n n ΛΛ. 当1n =时，7271<. 综上所述：对一切正整数n ，有7211111121<-++-+-n a a a Λ.……………………………………12分 【方法2】)321121(41)32)(12(134********+--=+-=-+<-+n n n n n n n n . 当3n …时，)]321121()121321()11171()9151[(41231711441471231712+--++--++-+-++<-+++++n n n n n n ΛΛ )7151(4123171+++< 27< 当1n =时，7271<；当2n =时，72717123171=+<+.综上所述：对一切正整数n ，有7211111121<-++-+-n a a a Λ.…………………………………12分 【方法3】)121121(21)12)(12(1141144122+--=+-=-<-+n n n n n n n 当4n ?时，)]121121()121321()11191()9171[(21471231711441231712+--+---++-+-+++<-++++n n n n n n ΛΛ 7214147123171<+++<. 当1n =时，7271<；当2n =时，72717123171=+<+；当3n =时，721411417147123171=++<++. 综上所述：对一切正整数n ，有7211111121<-++-+-n a a a Λ.……………………………………12分 22.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0)+∞，，2222()2x ax f x x a x x-+'=-+=， 令2()22g x x ax =-+，216a ∆=-，对称轴4a x =，(0)2g =， （1）当0∆?，即44a -剟时，()0f x '…，于是，函数()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无单调递减区间.（2）当0∆>0，即4a <-或4a >时，①当4a <-时，()0f x '>恒成立，于是，()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无减区间.②当4a >时，令()0f x '=，得21164a a x --=，22164a a x +-=， 当12(0)()x x x ∈+∞U ，，时，()0f x '>，当12()x x x ∈，时，()0f x '<. 于是，()f x 的单调递增区间为1(0)x ，和2()x +∞，，单调递减区间为12()x x ，. 综上所述：当4a „时，()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无单调递减区间.当4a >时， ()f x 的单调递增区间为1(0)x ，和2()x +∞，，单调递减区间为12()x x ，.………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，若()f x 有两个极值点，则4a >， 且1202a x x +=>，121x x =，1201x x ∴<<<………………………………………………………6分 又211220x ax -+=Q ，1112()a x x =+，12(e )5ea +<<， 11111e 22e x x ∴+<+<+，又101x <<，解得1112ex <<，…………………………………8分 于是，22121211222()()()ln ()ln 2f x f x x x a x x ax x -=--+-+22121212)(2(ln l (n ))x x x x x x a =----+ 112122)2()(ln 2x x x x a a x x -⋅-=+- 11111))4l 11(n (x x x x x -⋅+=-+ 2112114ln x x x =+-………………………………………………………………10分 令22()l 14n h x x x x =-+11()2ex <<，则2232(1)()0x h x x --'=<恒成立， ()h x ∴在11()2e ，上单调递减，11()()()2eh h x h ∴<<，即12115e 2()()4ln 2e 4f x f x --<-<-， 故12()()f x f x -的取值范围为115(e 24ln 2)e 4---，.………………………………………………12分。

2015-2016学年河北省石家庄市复兴中学高二（上）期中物理试卷一．选择题（本题共12个小题，其中1、2、8、9、12五个小题为多选题，其它均为单选题）1．关于自感现象，下列说法正确的是（）A．感应电流一定和原电流方向相反B．线圈中产生的自感电动势较大时，其自感系数一定较大C．对于同一线圈，当电流变化较快时，线圈中的自感系数较大D．对于同一线圈，当电流变化较快时，线圈中的自感电动势较大2．下面关于交变电流的说法中正确的是（）A．交流电器设备上所标的电压值和电流值是交流电的峰值B．用交流电流表和电压表测定的数值是交流电的瞬时值C．给定的交变电流数值，在没有特别说明的情况下都是指有效值D．和交变电流有相同热效应的直流电的数值是交变电流的有效值3．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，当线圈通过中性面时，下列说法中正确的是（）A．穿过线圈的磁通量最大，线圈中的感应电动势最大B．穿过线圈的磁通量为零，线圈中的感应电动势最大C．穿过线圈的磁通量最大，线圈中的感应电动势为零D．穿过线圈的磁通量为零，线圈中的感应电动势等于零4．如图所示，当导线棒MN在外力作用下沿导轨向右运动时，流过R的电流方向是（）A．由A→B B．由B→A C．无感应电流D．无法确定5．理想变压器正常工作时，原、副线圈中的电流为I1、I2，电压为U1、U2，功率为P1、P2，关于它们之间的关系，下列说法中正确的是（）A．I1由I2决定B．U2与负载有关C．P1由P2决定D．以上说法都不正确6．矩形闭合线圈平面跟磁感线方向平行，如图所示，下列情况线圈中有感应电流的是（）A．线圈绕ab轴转动B．线圈垂直纸面向外平动C．线圈沿ab轴下移D．线圈绕cd轴转动7．如图所示，一有限范围的匀强磁场，宽为d．一个边长为l正方形导线框以速度v匀速地通过磁场区．若d＞l，则在线框中不产生感应电流的时间就等于（）A．B．C．D．8．均匀带负电的塑料圆环绕垂直于圆环平面过圆心的轴旋转，在环的圆心处有一闭合小线圈，小线圈和圆环在同一平面，则（）A．只要圆环在转动，小线圈内就一定有感应电流B．不管环怎样转动，小线圈内都没有感应电流C．圆环在作变速转动时，小线圈内一定有感应电流D．圆环作匀速转动时，小线圈内没有感应电流9．按如图所示装置进行操作时，发现放在光滑金属导轨上的ab导体棒发生移动，其可能的原因是（）A．闭合S的瞬间 B．断开S的瞬间C．闭合S后，减少电阻R时D．闭合S后，增大电阻时10．金属圆环的圆心为o，金属棒oa、ob可绕o在环上转动，如图所示．当外力使oa逆时针方向转动时，ob将（）A．顺时针转动B．不动 C．逆时针转动D．无法确定11．理想变压器原、副线圈的匝数比为4：1，原线圈接在u=311sin100πt（V）的交流电源上，副线圈所接的负载电阻是11Ω，则副线圈中电流强度是（）A．5A B．11A C．20A D．55A12．如图所示，理想变压器副线圈通过输电线接两个相同的灯泡L1和L2．输电线的等效电阻为R．开始时，电键S断开，当S闭合时，下列说法中正确的是（）A．副线圈两端的输出电压减小 B．通过灯泡L1的电流减小C．原线圈中的电流增大D．变压器的输入功率增大二．非选择题（本题每空2分，共20分）13．如图所示，某变压器有两个线圈，如果把它当作降压变压器，则线圈接电源，原副线圈两端电压之比是；把它当作升压变压器，则线圈接电源，原、副线圈两端电压之比是．14．理想变压器在正常使用过程中，如果副线圈处于开路状态，则原线圈的输入功率等于；如果副线圈上负载电阻减小，则原线圈从电源获取的功率将（选填“增加”、“减小”或“不变”）15．在“研究电磁感应现象”的实验中，首先按如图1接线，以查明电流表指针的偏转方向与电流方向之间的关系；当闭合S时，观察到电流表指针向左偏，不通电时电流表指针停在正中央．然后按图2所示将电流表与副线圈B连成一个闭合回路，将原线圈A、电池、滑动变阻器和电键S串联成另一个闭合电路．（1）S闭合后，将螺线管A（原线圈）插入螺线管B（副线圈）的过程中，电流表的指针将如何偏转？（2）线圈A放在B中不动时，指针如何偏转？（3）线圈A放在B中不动，将滑动变阻器的滑片P向左滑动时，电流表指针将如何偏转？（4）线圈A放在B中不动，突然断开S．电流表指针将如何偏转？三．计算题（要求有必要的步骤和文字说明）16．一交流电压U=311sin314t（V），加在一个“220V、40W”的白炽灯泡上，请问：（1）这个灯泡能正常发光吗？（2）如果用多用电表交流档去测量通过这个灯泡的电流，读数应该是多大？（3）写出电流瞬时值的表达式．17．如图所示，水平面上有两根相距0.5m的足够长的平行金属导轨MN和PQ．它们的电阻可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体棒ab长l=0.5m，其电阻为r，与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.4T．现使ab 以v=10m/s的速度向右做匀速运动．（1）ab中产生感应电动势的大小；（2）ab中电流的方向如何？（3）若定值电阻R=3.0Ω，导体棒的电阻r=1.0Ω，则电路中的电流多大？2015-2016学年河北省石家庄市复兴中学高二（上）期中物理试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题共12个小题，其中1、2、8、9、12五个小题为多选题，其它均为单选题）1．关于自感现象，下列说法正确的是（）A．感应电流一定和原电流方向相反B．线圈中产生的自感电动势较大时，其自感系数一定较大C．对于同一线圈，当电流变化较快时，线圈中的自感系数较大D．对于同一线圈，当电流变化较快时，线圈中的自感电动势较大【考点】感应电流的产生条件．【分析】根据自感现象与自感电动势的公式，结合楞次定律和法拉第电磁感应定律来分析判断．【解答】解：A、根据楞次定律，当原电流增大时，感应电流与原电流方向相反；当原电流减小时，感应电流与原电流方向相同．故A错误．B、自感系数是由线圈本身的特性决定的，与自感电动势的大小无关．故B错误．C、根据法拉第定律，当电流变化越快时，磁通量变化越快，自感电动势越大．故C错误，D正确．故选：D2．下面关于交变电流的说法中正确的是（）A．交流电器设备上所标的电压值和电流值是交流电的峰值B．用交流电流表和电压表测定的数值是交流电的瞬时值C．给定的交变电流数值，在没有特别说明的情况下都是指有效值D．和交变电流有相同热效应的直流电的数值是交变电流的有效值【考点】正弦式电流的最大值和有效值、周期和频率．【分析】本题考查了有关交流电的基础知识，正确理解交流电瞬时值、最大值、平均值、有效值的含义．【解答】解：A、交流电器设备上所标的电压和电流值是交流电的有效值，故A错误；B、用电表测量的电流、电压均为交流电的有效值，故B错误；C、给定的交流数值，在没有特别说明的情况下都是指有效值，故C正确；D、有效值是在热效应基础上建立的，即跟交变电流有相同的热效应的直流电的数值是交流电的有效值，故D正确．故选：CD．3．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，当线圈通过中性面时，下列说法中正确的是（）A．穿过线圈的磁通量最大，线圈中的感应电动势最大B．穿过线圈的磁通量为零，线圈中的感应电动势最大C．穿过线圈的磁通量最大，线圈中的感应电动势为零D．穿过线圈的磁通量为零，线圈中的感应电动势等于零【考点】交流发电机及其产生正弦式电流的原理．【分析】矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动时，线圈中产生正弦式电流．在中性面时，线圈与磁场垂直，磁通量最大，感应电动势为零．线圈每通过中性面一次，电流方向改变一次．【解答】解：在中性面时，线圈与磁场垂直，磁通量最大；由于没有边切割磁感线，故线圈中的感应电动势为零；故选：C．4．如图所示，当导线棒MN在外力作用下沿导轨向右运动时，流过R的电流方向是（）A．由A→B B．由B→A C．无感应电流D．无法确定【考点】右手定则．【分析】右手定则的：右手平展，使大拇指与其余四指垂直，并且都跟手掌在一个平面内．磁感线垂直进入手心，大拇指指向导线运动方向，则四指所指方向为导线中感应电流的方向．【解答】解：导线棒MN在外力作用下沿导轨向右运动而切割磁感线产生感应电流，根据右手定则可以判定感应电流的方向为由A→B．故A正确．故选A．5．理想变压器正常工作时，原、副线圈中的电流为I1、I2，电压为U1、U2，功率为P1、P2，关于它们之间的关系，下列说法中正确的是（）A．I1由I2决定B．U2与负载有关C．P1由P2决定D．以上说法都不正确【考点】变压器的构造和原理．【分析】根据理想变压器原副线圈匝数比与电压、电流比之间的关系即可求解，理想变压器的输入功率与输出功率相等．【解答】解：A、电流与匝数成反比，输入功率等于输出功率，所以I1由I2决定，P1由P2决定，AC正确；B、U2与输入电压和匝数比决定，与负载无关，B错误；故选：AC6．矩形闭合线圈平面跟磁感线方向平行，如图所示，下列情况线圈中有感应电流的是（）A．线圈绕ab轴转动B．线圈垂直纸面向外平动C．线圈沿ab轴下移D．线圈绕cd轴转动【考点】感应电流的产生条件．【分析】根据感应电流产生的条件：只要穿过闭合导体回路的磁通量发生变化，闭合导体回路中就有感应电流．【解答】解：A、根据感应电流产生的条件，当线圈绕ab轴转动时，穿过线圈的磁通量发生变化，故A正确B、线圈垂直纸而向外平动，磁场与线圈平行，线圈有效面积为零，故△Φ=0，无电流产生，故B错误C、线圈沿ab轴下移，磁场与线圈平行，线圈有效面积为零，故△Φ=0，无电流产生，故C错误D、线圈绕cd轴转，磁场与线圈平行，线圈有效面积为零，故△Φ=0，无电流产生，故D错误故选A7．如图所示，一有限范围的匀强磁场，宽为d．一个边长为l正方形导线框以速度v匀速地通过磁场区．若d＞l，则在线框中不产生感应电流的时间就等于（）A．B．C．D．【考点】感应电流的产生条件．【分析】只要闭合回路中的磁通量发生变化，回路中就会产生感应电流；由导体框运动过程由速度公式可求得不产生感应电流的时间．【解答】解：如图所示，从线框完全进入直到右边开始离开磁场区域，线框中的磁通量就不再发生变化，故线圈中没有感应电流的距离为d﹣l；因导线框做匀速运动，故不产生感应电流的时间t=；故选C．8．均匀带负电的塑料圆环绕垂直于圆环平面过圆心的轴旋转，在环的圆心处有一闭合小线圈，小线圈和圆环在同一平面，则（）A．只要圆环在转动，小线圈内就一定有感应电流B．不管环怎样转动，小线圈内都没有感应电流C．圆环在作变速转动时，小线圈内一定有感应电流D．圆环作匀速转动时，小线圈内没有感应电流【考点】法拉第电磁感应定律．【分析】带负电的圆环绕圆心旋转，能形成环形电流，当电流产生的磁场是变化的时，穿过圆心处闭合线圈的磁通量变化时，线圈中就能产生感应电流．【解答】解：A、当圆环匀速转动时形成的电流是不变的，电流的磁场是不变的，穿过小线圈的磁通量不变，小线圈内没有感应电流，故A错误；B、当圆环做变速运动时，形成的电流是变化的，电流产生的磁场也是变化的，穿过圆心处闭合线圈的磁通量将发生变化，线圈中一定产生感应电流，故B错误，C正确；D、当圆环做匀速转动时，带负电的圆环形成恒定电流，产生的磁场是稳恒的，穿过圆心处闭合线圈的磁通量不变，线圈中没有感应电流产生，故D正确；故选：CD．9．按如图所示装置进行操作时，发现放在光滑金属导轨上的ab导体棒发生移动，其可能的原因是（）A．闭合S的瞬间 B．断开S的瞬间C．闭合S后，减少电阻R时D．闭合S后，增大电阻时【考点】导体切割磁感线时的感应电动势；法拉第电磁感应定律．【分析】ab导体棒发生移动则说明金属杆受到了作用力，这个力应该是安培力，也就是说有电流通过了ab导体棒．由楞次定律可知左侧线圈产生的磁通量发生了变化，则可知左侧线圈中电流发生变化．【解答】解：ab导体棒发生移动则说明金属杆受到了作用力，这个力应该是安培力，也就是说有电流通过了ab导体棒．由楞次定律可知左侧线圈产生的磁通量发生了变化，则可知左侧线圈中电流发生变化．A、闭合S的瞬间，左侧线圈电流从无到有，发生变化，故A正确．B、断开S的瞬间，左侧线圈电流从有到无，发生变化，故B正确．C、闭合S后，减少电阻R时，左侧线圈电流增大，发生变化，故C正确．D、闭合S后，增大电阻时，左侧线圈电流减小，发生变化，故D正确．故选ABCD．10．金属圆环的圆心为o，金属棒oa、ob可绕o在环上转动，如图所示．当外力使oa逆时针方向转动时，ob将（）A．顺时针转动B．不动 C．逆时针转动D．无法确定【考点】导体切割磁感线时的感应电动势；安培力；电磁感应中的能量转化．【分析】根据右手定则来确定oa棒的感应电流的方向；左手定则判定棒ob的安培力的方向．【解答】解：当外力使oa逆时针方向加速转动时，根据右手定则可以判断出导体棒中的电流的方向从a向o，该电流到环上后，又从o流向b，ob受到的安培力的方向根据左手定则可得：安培力的方向向右上，所以ob棒沿逆时针方向转动．故选：C．11．理想变压器原、副线圈的匝数比为4：1，原线圈接在u=311sin100πt（V）的交流电源上，副线圈所接的负载电阻是11Ω，则副线圈中电流强度是（）A．5A B．11A C．20A D．55A【考点】变压器的构造和原理；正弦式电流的图象和三角函数表达式．【分析】根据瞬时值的表达式可以求得输出电压的有效值，再根据电压与匝数成正比求得副线圈电压，根据欧姆定律求解副线圈电流．【解答】解：由瞬时值的表达式可知，原线圈的电压最大值为311V，所以原线圈电压的有效值为U1=220V根据电压与匝数成正比得：U2==55V则副线圈电流I2==5A故选：A．12．如图所示，理想变压器副线圈通过输电线接两个相同的灯泡L1和L2．输电线的等效电阻为R．开始时，电键S断开，当S闭合时，下列说法中正确的是（）A．副线圈两端的输出电压减小 B．通过灯泡L1的电流减小C．原线圈中的电流增大D．变压器的输入功率增大【考点】变压器的构造和原理；电功、电功率．【分析】本题类似于闭合电路中的动态分析问题，可以根据接通s后电路电路电阻的变化，确定出总电路的电阻的变化，进而可以确定总电路的电流的变化的情况，再根据电压不变，来分析其他的原件的电流和电压的变化的情况．【解答】解：A、理想变压器的输出电压是由输入电压和匝数比决定的，由于输入电压和匝数比不变，所以副线圈的输出的电压也不变，所以A错误；B、当S接通后，两个灯泡并联，电路的电阻减小，副线圈的电流变大，所以通过电阻R的电流变大，电压变大，那么并联部分的电压减小，所以通过灯泡L1的电流减小，所以B正确；CD、由于变压器的输入的功率和输出的功率相等，由于副线圈的电阻减小了，输出的功率变大了，所以原线圈的输入的功率也要变大，因为输入的电压不变，所以输入的电流要变大，所以C正确，D正确；故选：BCD．二．非选择题（本题每空2分，共20分）13．如图所示，某变压器有两个线圈，如果把它当作降压变压器，则线圈L1接电源，原副线圈两端电压之比是5：1；把它当作升压变压器，则线圈L2接电源，原、副线圈两端电压之比是1：5．【考点】变压器的构造和原理．【分析】根据理想变压器中原副线圈的电压与匝数成正比即可分析求解．【解答】解：如果把它当作降压器，则原线圈的匝数应比副线圈匝数多，所以L1接电源，原副线圈两端电压之比是5500：1100=5：1；把它当作升压变压器，则原线圈的匝数应比副线圈匝数少，所以L2接电源，原副线圈两端电压之比1100：5500=1：5故答案为：L1，5：1，L2，1：514．理想变压器在正常使用过程中，如果副线圈处于开路状态，则原线圈的输入功率等于0；如果副线圈上负载电阻减小，则原线圈从电源获取的功率将增加（选填“增加”、“减小”或“不变”）【考点】变压器的构造和原理．【分析】变压器的原线圈的输入电压决定副线圈的输出电压，副线圈的输出功率决定原线圈的输出功率，由于匝数比不变，故副线圈的输出电压保持不变，当负载电阻减小时，输出功率变大，故输入功率也变大【解答】解：理想变压器在正常使用过程中输入功率等于输出功率，如果副线圈处于开路状态，消耗功率为零，则原线圈的输入功率等于0；如果副线圈上负载电阻减小，由于电压不变，根据P=则原线圈从电源获取的功率将增加．故答案为：0，增加15．在“研究电磁感应现象”的实验中，首先按如图1接线，以查明电流表指针的偏转方向与电流方向之间的关系；当闭合S时，观察到电流表指针向左偏，不通电时电流表指针停在正中央．然后按图2所示将电流表与副线圈B连成一个闭合回路，将原线圈A、电池、滑动变阻器和电键S串联成另一个闭合电路．（1）S闭合后，将螺线管A（原线圈）插入螺线管B（副线圈）的过程中，电流表的指针将如何偏转？（2）线圈A放在B中不动时，指针如何偏转？（3）线圈A放在B中不动，将滑动变阻器的滑片P向左滑动时，电流表指针将如何偏转？（4）线圈A放在B中不动，突然断开S．电流表指针将如何偏转？【考点】研究电磁感应现象．【分析】（1）先判断线圈A中磁场方向，然后根据楞次定律判断线圈B中感应电流的磁场方向，最后得到线圈B中的感应电流方向；（2）线圈不动，磁通量不变，无感应电流；（3）滑片向左移动，电流变大，先判断线圈A中磁场方向，然后根据楞次定律判断线圈B 中感应电流的磁场方向，最后得到线圈B中的感应电流方向；（4）突然断开S，先判断线圈A中磁场方向，然后根据楞次定律判断线圈B中感应电流的磁场方向，最后得到线圈B中的感应电流方向．【解答】解：（1）线圈A中磁场方向向上，插入B线圈，故线圈B中磁通量变大，阻碍变大，故感应电流的磁场方向向下，故电流从右向左流过电流表，故电流表指针向右偏转；（2）线圈不动，磁通量不变，无感应电流，故指针不偏转；（3）线圈A中磁场方向向上，滑片向左移动，电流变大，故线圈B中磁通量变大，阻碍变大，故感应电流的磁场方向向下，故电流从右向左流过电流表，故电流表指针向右偏转；（4）线圈A中磁场方向向上，突然断开S，磁通量减小，阻碍减小，故感应电流的磁场方向向上，故电流从左向右流过电流表，故电流表指针向左偏转；故答案为：（1）向左偏转；（2）不偏转；（3）向右偏转；（4）向左偏转．三．计算题（要求有必要的步骤和文字说明）16．一交流电压U=311sin314t（V），加在一个“220V、40W”的白炽灯泡上，请问：（1）这个灯泡能正常发光吗？（2）如果用多用电表交流档去测量通过这个灯泡的电流，读数应该是多大？（3）写出电流瞬时值的表达式．【考点】正弦式电流的最大值和有效值、周期和频率；正弦式电流的图象和三角函数表达式．【分析】由交流电u=311sin314t（V）可知电压最大值U m=311V．由U=求出电压的有效值，判断“220V、40W”的灯泡能否正常发光．交流电压表测量的是有效值．先求出电流的最大值，根据i=i m sin314t，求出电流瞬时值的表达式．【解答】解：（1）由题电压的最大值U m=311V．有效值U==220V，可以使“220V、40W”的灯泡正常发光；（2）灯泡正常发光，所以电流的有效值I==0.18A，用交流电流表测量时，读数为有效值，即读数为0.18A；（3）电流的最大值为=0.26A，则电流瞬时值的表达式为i=0.26sin314t A．答：（1）这个灯泡能正常发光；（2）如果用多用电表交流档去测量通过这个灯泡的电流，读数应该是0.18A；（3）写出电流瞬时值的表达式为i=0.26sin314t A．．17．如图所示，水平面上有两根相距0.5m的足够长的平行金属导轨MN和PQ．它们的电阻可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体棒ab长l=0.5m，其电阻为r，与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.4T．现使ab 以v=10m/s的速度向右做匀速运动．（1）ab中产生感应电动势的大小；（2）ab中电流的方向如何？（3）若定值电阻R=3.0Ω，导体棒的电阻r=1.0Ω，则电路中的电流多大？【考点】导体切割磁感线时的感应电动势；楞次定律．【分析】（1）由法拉第电磁感应定律求解ab中的感应电动势．（2）由右手定则判断ab中电流的方向．（3）由闭合电路欧姆定律求解电路中的电流．【解答】解：（1）由法拉第电磁感应定律得：E=Blv=0.4×0.5×10V=2V；（2）由右手定则判断ab中电流的方向为从b向a（3）由闭合电路欧姆定律得：I===0.5A；答：（1）ab中的感应电动势2V；（2）ab中电流的方向从b向a；（3）电路中的电流为0.5A．2016年9月3日。