【人教版】八年级数学下册：专题4《利用平行四边形证明线段之间的关系》ppt课件

2.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______． 3.如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD 外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．
三、菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 注意：菱形的定义的两个要素：
二、矩形
3.矩形的判定 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形.
例题：矩形的判定 1.已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE. （1）求证：△BEC≌△DFA； （2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结 论.
一、平行四边形
3.如图所示，在 平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝ 60°，BE＝2 ，DF＝3 ，求AB，BC的长及平行四边形 ABCD的面积．
一、平行四边形
4.三角形的中位线 （1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. （2）定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小 三角形的周长为原三角形周长的 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线，注意区分.
例题：矩形的性质
1、如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF． 求证△ABE≌△CDF．
二、矩形
2.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G， DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形， 并证明你的结论.

B
C
例题新授
❖ 例2-2 如图，在□ABCD中，P1、P2是对角线BD 的三等分点，试说明四边形AP1CP2是平行四边 形。
A
D
O P2
P1
B
C
方法归纳
❖ 平行四边形的判定必须根据题目的条件，合 理筛选判定的方法。如本题涉及对角线问题， 是较为典型的“用平行四边形证平行四边 形”，通常采用对角线的有关知识来解决问 题。
❖ 延长三角形过一边中点的线段至一倍，构成 平行四边形，可以将不相邻的三条边转化到 同一三角形中。这也是用动态的观念解决几 何问题的常用方法。
及例时1巩:如固图，四边形ABCD是 练习平1：行如四图，边四形边，形ABBDCDA是D平，行A四D边=8， 形,BADB⊥=A1D0,，AD求=8O,ABB的=10长,求。OB的长。
⑴等底（或同底）等高（或同高）的两个三角形（或平行四边形）面积相等； 延长三角形过一边中点的线段至一倍，构成平行四边形，可以将不相邻的三条边转化到同一三角形中。
力。 F在AB上，BF=2AF，如果ΔBEF的面积为2cm2，
求□ABCD 的面积。 求证：PQ2 =PB2 +QC2 。 F在AB上，BF=2AF，如果ΔBEF的面积为2cm2， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 延长三角形过一边中点的线段至一倍，构成平行四边形，可以将不相邻的三条边转化到同一三角形中。 如图，已知M是RtΔABC斜边BC的中点， ⑴等底（或同底）等高（或同高）的两个三角形（或平行四边形）面积相等； 平行四边形判定的简单应用 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ⑴等底（或同底）等高（或同高）的两个三角形（或平行四边形）面积相等； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的判定必须根据题目的条件，合理筛选判定的方法。

10 ●O
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6
∵OA=OC，∴OA=12AC=3
B
C
∴S ABCD= BC×AC=8×6=48．
随堂检测
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若 AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为 21 ．
2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5cm，AB⊥BD， 点O是两条对角线的交点，OD＝2cm，则AB＝ 3 cm．
叫做这两条平行线之间的距离．
如图，直线a∥b，A是直线a上的任意
A
a
一点，AB ⊥b ，B是垂足，线段AB的
b
长就是a、b之间的距离．
B
随堂检测
1．如图，在 ABCD中，
A
D
A：基础知识：
B
C
若∠A=130°，则∠B=_5_0_°___ 、∠C=_1_3_0_°__ 、∠D=__5_0_°__．
B：变式训练： （1）若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=__1_0_0_°_ 、∠B=__8_0_°__； （2）若∠A：∠B= 5：4，则∠C=__1_0_0_°_ 、∠D=___8_0_°_．
随堂检测
C:拓展延伸：
A
D
如图，在 ABCD中，
B
C
（1）∠A：∠B ： ∠C ： ∠D的度数可能是( B )
A． 1 ： 2 ： 3 ： 4
B．3 ： 2 ： 3 ： 2
C．2 ： 3 ： 3 ： 2
D．2 ： 2 ： 3 ： 3
（2）连接AC， 若∠D=60°， ∠DAC=40°，则 ∠B=_6_0_°_，
一条直线的距离相等．
已知：如图，EF∥MN，A，D是直线

4.平行四边形的一条边长a为6，一条 对角线为8，则另一边长b的范围 __2_<_b_<_1_4__ ．
已知：如图，E、F为 ABCD的对角线AC所在直
线上的两点，AE=CF，求证：BE=DF．（用两种
证法）
E
A
D
解题思路
方法一：
B
通过证明 △ABE≌△CDF 或 者△CBE≌△ADF
得到BE=DF.
➢两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
➢两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
➢一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
➢两条对角线互相平分的四边形是平行四边 形. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
1.请你识别下列四边形哪些是平行四边形?请说明
理由？ A
D
O
B
⑴
A
110°
C
D
70°
B

110°
C
⑶
A 120°
5㎝
60° D
5㎝
B A
4.8㎝
⑵ 7.6㎝
C
D
4.8㎝
B
7.6㎝ C
⑷
2、下列说法正确的是（ B ） A．有一组对角相等的四边形是平行四边形 B. 有两组对角相等的四边形是平行四边形 C．有两组邻角相等的四边形是平行四边形 D. 有两组邻边相等的四边形是平行四边形
3.若 ABCD的周长为28cm，△ABC的 周长为17cm，则AC的长为 （D） A.11cm B. 5.5cm C.4cm D.3cm
A
D
E
F
B
C
(2014·聊城)如图，四边形ABCD是平行四边形，
作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F

论的个数是
()
• A．2
• B．3
• C．4
• D．5
7．如图，在△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥
AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为
(D )
A．54
B．45
C．53
D．65
8．如图，ABCD 是正方形，E、F 分别是 DC 和 CB 的延长
∠CBF，∴BF平分∠ABC．
• (3)解：△BEF是等腰三角形．理由如下：过 点F作FG⊥BE于点G.∵AD∥BC，FG⊥BE，
BE⊥AD，∴FG∥AD∥BC．∵F为CD的中点，
∴EG＝BG，∴EF＝BF，∴△BEF是等腰三
• ★集训2 特殊平行四边形的性质与判定的相 关计算与证明
• 7．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相A 交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是 ()
D．4 个
(B )
• 二、填空题(每小题5分，共20分)
• 9．已知一个菱形的两条对角线的长分别为 5210和24，则这个菱形的周长为______.
• 10．【湖北武汉中考】以正方形ABCD的边 A30D°或作15等0°边△ADE，则∠BEC的度数是 _______________.
• 11．如图，矩形ABCD的对角2线0 BD的中点为 O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，已知 AB＝5，BC＝12，则四边形ABEO的周长为 ______.
• 4．如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、
DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE 相41交于点Q.若S△APD＝16 cm2，S△BQC＝25 cm2，则图中阴影部分的面积为______cm2.

解：证四边形EDFB和四边形DHBG是平行四边形，EH＝FG
三、证明两线段互相平分
5．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，连BE，DF∥BE交BC于点F，
AF与BE交于点M，CE与DF交于点N.求证：EF与MN互相平分． 解：证四边形MFNE为平行四边形即可
6．如图，在▱ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA
四边形，∴BE∥DF
二、证明线段相等
3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线分
别交CB，AD的延长线于点E，F，BE与DF相等吗？为什么？ 解：BE＝DF，证△BOE≌△DOF
4 ．已知▱ ABCD中，点 E ，F 分别是AD ，CB延长线上的点 ，且∠1
＝∠2，DF交AB于点G，BE交CD于点H，求证：EH＝FG.
上的点，且满足AE＝CG，BF＝DH，求证：EG，FH互相平分．
解：连EH，EF，FG，GH，证△AEH≌△CGF，EH＝GF，同理 EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴EG与HF互相平分
一、证明线段平行
1．如图，▱ABCD中，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC.
求证：BE∥DF ， ▱ ABCD 中 ， DE⊥AC ， BF⊥AC ， 垂足分别为点 E ， F ，
求证：BE∥DF.
解 ： ∵ AD 綊 BC ， ∴ ∠ DAE ＝ ∠ BCF ， ∵ ∠ DEA ＝ ∠ BFC ， ∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∵ DE∥BF，∴四边形 BEDF为平行

OB=OD
A
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：在△AOD和△COB中
OA=OC（已知） ∠AOD=∠COB （对顶角相等） B
1
O
2
D C
OD=OB （已知） ∴△AOD≌△COB（SAS）
∴ AD=CB（全等三角形的对应边相等）
同理可得： AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
平行四边形的判定定理3:
同理可证AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形。
平行四边形的判定定理2:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
符号语言：
A
D
B
C
∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）
D
A
O
B
C
对角线互相平分的四边形是平行四边形？
已知：四边形ABCD, 对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，
∴△ABC≌△CDA（SSS）
∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的对应角相等）
∴ AB∥CD，AD∥BC （内错角相等，两直线平行） ∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理1:
ห้องสมุดไป่ตู้
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
符号语言：
A
D
∵AB=CD,AD=BC B
C
∴四边形ABCD是平行四边形
∴△AOD≌△COB（SAS）
Ｄ
理 形是平行四边形。
0
Ｃ ∵OA=OC,OB=OD ∴…是平行四边形
3
Ａ
Ｂ
A
D
(A)AB∥CD,AD∥BC
（两组对边分别平行）

新知探究
于是我们又得到平行四边形的一个判断定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
数学表达式：如图，∵AB ＝∥ CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
例题精析
例1 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
人教版八年级数学下册
第十八章 平行四边形
平行四边形的判定
第1课时
新课导入
前面我们学习了平行四边形的定义和性质，它们的内容是什么？ 平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形； 平行四边形的性质：
对边相等，对角相等，对角线互相平分.
新课导入 一、复习反思，引出课题
学习完定义和性质后，由以前经验接下来我们应该研究什么？
定义
性质
判？定
平行四边形的判定
新课探究
根据以往学习一些图形判定定理的经验，如何寻找平行四边形 的判定方法？
性质定理 两直线平行，同位角相等
角平分线上的点到角两边的距离相等
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等
全等三角形的对应边相等 ……
判定定理 同位角相等，两直线平行
角的内部，到角两边距离相等的 点在这个角的角平分线上
∴ △AOD≌△COB．
∴ ∠OAD=∠OCB．
∴ AD∥BC． 同理 AB∥DC．
判定3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
新课探究
两组对边分别平行 两组对边分别相等 两组对角分别相等 对角线互相平分
的四边形是平行四边形
例题精析
例1 如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.求证：AB∥EF.

探究
画一个平行四边形，观察它的边之间还有什么关系？
A
D
平行四边形的对边平行.
∵四边形ABCD是平行四边形
B
C
∴AB ∥ CD，BC ∥ AD.
平行四边形的对边相等.
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，BC=AD.
探究
旋转平行四边形，探究角的关系
平行四边形是中心对称图形
C A
B D
平行绕四它的边中形心O的对角相等.
转化
三角形 问题
性质1：平行四边形的对边平行
E
H
且相等。
性质2：平行四边形的对角相等。
邻角互补。
平行四边形是中心对称图形
F
G
思考：平行四边形中相邻的两角有什么关系呢
例 题
教 在 ABCD中,已知∠A=52 ° ，求其余 学 三个角的度数。
解:
A
D
∵四边形ABCD是平行四边形
52°
且∠A=52°（已知)
旋转180°后
与自身重合
O
B
C
DA
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C，∠B=∠D.
验证
平行四边形的对边相等，对角相等。
已知：四边形ABCD是平行四边形。
求证：AC=BD,AB=CD
A
B
∠A= ∠D, ∠B= ∠D.
C
D
提示：可连接BC，试证⊿______≌ ⊿______
转化思想：
四边形 问题
A1
A
A2
B
C
A3
在 ABCD 中， 已知一个内角的 度数是60°，则其余三个内角的 度数分别为：120°、60°、120°
如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行 四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三 条边各长多少？

作业布置:
1、阅读本节内容。
2、书面作业：P60 习题3.11第2题； P63 习题3.2 第1题。
A B
4 1 2
D
3
C
∠1＝∠2，AC＝CA，∠3＝∠4 ABC≌ CDA ∴ ∴AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3 即∠BAD＝∠DCB
小试牛刀
1、如图:在 ABCD中,根据已知你能得到哪 些结论？为什么? 32cm D
A
30cm B
124°
在数学的天地里，重要的不是我 们知道什么，更重要的是我们应该 怎么知道什么。 ——毕达哥拉斯
第十九章 四边形 19.1.1 平行四边形的性质
三棚中学：吕海燕
图形引入
生活中的平行四边形四边形

一、四边形的概念 知识回顾 1.定义： 在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接 组成的图形，叫做四边形.
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. A B C D 记作： ABCD
读作：平行四边形ABCD ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD AD∥BC
∵
AB∥CD
AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
D
C
A
B
根据定义可知平行四边形 的对边互相平行。除此之外还 有什么性质呢？
探究新知 2
平行四边形的边有什么性质？
S
ABCD
=BC· AE =10×4 =40(cm2).
有一块形状如图 所示的玻璃，不小心把 EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm、 BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你 能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的 度数吗？