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2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用（共 1 课时）一、知识与技能1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2.探索并掌握等比数列前n项和公式；3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动三、情感态度与价值观1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导2.等比数列前n项和公式的应用教学难点等比数列前n项和公式的推导导入新课师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求师假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生各持己见.动笔，列式，计算生能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+…+263师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+…+2 63=?师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+22+23+…+2 632S=2+22+23+…+263+264②-①得 2S-S=2 64-264-1这个数很大，超过了 1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g ，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识推进新课 ［合作探究］师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q 2+…+q n=？师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察生 观察、独立思考、合作交流、自主探究师 若将上式左边的每一项乘以公比q ，就出现了什么样的结果呢？ 生 q+q 2+…+q n +qn +1生 每一项就成了它后面相邻的一项师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？ 师 生共同探索： 如果记S n =1+q+q 2+…+q n那么qS n =q+q 2+…+q n +qn +1要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值生 如果q≠1，则有qq S n--=11师 当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果生 如果q ＝1，那么S n =n师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？ 课件展示：a 1+a 2+a 3+…+a n =？［教师精讲］师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n师 再次提醒学生注意q 的取值 如果q≠1，则有qq a a S n n --=11师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1qn -1那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1qn要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n如果q≠1，则有qq a S n n --=1)1(1师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？ 生 独立思考、合作交流生 如果q ＝1，S n =na 1 师 完全正确如果q ＝1，那么S n =na n .正确吗？怎么解释？生 正确.q ＝1时，等比数列的各项相等，它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍师 对了，这就是认清了问题的本质师 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下： ［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1342312...再由合比定理，则得qa a a a a a a a n n=++++++++-1321432......即qa S a S nn n =--1从而就有(1-q)S n =a 1-a n(以下从略思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n ), 从而得(1-q)S n =a 1-a n(以下从略师 探究中我们们应该发现，S n -S n -=a n 是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n 的取值应该满足什么条件？ 生 n ＞师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：S n -S n -1=a n ，n ＞师 综合上面的探究过程，我们得出：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(,1,11q q q a q na S n n 或者1,1,1,11≠⎪⎩⎪⎨⎧--=q q q a a q na n［例题剖析］【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：(1)21,41,81,…； (2)a 1=27,a 9=2431,q ＜0.［合作探究］ 师生共同分析： 由(1)所给条件，可得211=a ，21=q ,求n ＝8时的和，直接用公式即可由(2)所给条件，需要从24319=a 中获取求和的条件，才能进一步求n ＝8时的和.而a 9=a 1q 8，所以由条件可得q 8=19a a =272431⨯，再由q ＜0，可得31-=q ，将所得的值代入公式就可以了生 写出解答： (1)因为211=a ,21=q ，所以当n ＝8时，256255211)21(1[2188=--=S(2)由a 1=27,24319=a ，可得272431198⨯==a a q ， 又由q ＜0，可得31-=q 于是当n ＝8时，811640)31(1)2724311(2718=--⨯-=S【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S n =30 000求n 的问题生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5 000,q=1+10%=1.1,S n于是得到300001.11)1.11(5000=--n整理得1.1n两边取对数，得n用计算器算得1.1lg 6.1lg =n ≈041.02.0≈5(年 答：大约5年可以使总销售量达到30 000台练习：教材第66页，练习第1、2、3题课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列前n 项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式课本第69页习题2.5 A 组第1、2、3题中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
§2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和公式的推导及简单应用学习目标 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.知识点一 等比数列的前n 项和公式思考 对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?答案 比较两式易知，两式相减能消去相同项，解出S 64，即S 64＝1－2641－2＝264－1.梳理 等比数列的前n 项和公式特别提醒：在应用公式求和时，应注意到S n ＝a 1(1－q n )1－q 的使用条件为q ≠1，而当q ＝1时应按常数列求和，即S n ＝na 1.知识点二 等比数列的前n 项和公式的应用 思考 要求等比数列前8项的和：(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？ (2)若已知a 1，a 9，q 的值.用哪个公式比较合适？ 答案 (1)用S n ＝a 1(1－q n )1－q .(2)用S n ＝a 1－a n q1－q .梳理 一般地，使用等比数列求和公式时需注意 (1) 一定不要忽略q ＝1的情况；(2) 知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用a 1(1－q n )1－q ；知道首尾两项a 1，a n 和q ，可以用a 1－a n q1－q ；(3) 在通项公式和前n 项和公式中共出现了五个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余两个.1.在等比数列{a n }中，a 1＝b ，公比为q ，则前3项和为b (1－q 3)1－q .(×)2.等比数列{a n }的公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 1(1－q n －1)1－q.(×)3.首项为a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n 项和为S n ＝na .(√)类型一 等比数列前n 项和公式的应用 命题角度1 前n 项和公式的直接应用 例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.考点 等比数列前n 项和 题点 求等比数列的前n 项和 解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1281－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13，所以S 8＝a 1－a 8q 1－q ＝a 1－a 91－q ＝27－12431－⎝⎛⎭⎫－13＝1 64081.反思与感悟 求等比数列前n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q ＝1是否成立. 跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.考点 等比数列前n 项和 题点 求等比数列的前n 项和 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ， ∵a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40， ∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20， 解得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.命题角度2 通项公式、前n 项和公式的综合应用 例2 在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 考点 等比数列前n 项和题点 等比数列的前n 项和有关的基本量计算问题 解 由题意，得若q ＝1， 则S 3＝3a 1＝6，符合题意. 此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式， 得S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)1－q ＝6，解得q ＝－2.此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.反思与感悟 (1)应用等比数列的前n 项和公式时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.(2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式.当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1(1－q n )1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q1－q 比较方便.跟踪训练2 在等比数列{a n }中，S 2＝30，S 3＝155，求S n . 考点 等比数列前n 项和 题点 求等比数列的前n 项和解 方法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝5(1－5n )1－5＝54(5n－1)或S n ＝180⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－56n 1－⎝⎛⎭⎫－56＝1 080⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－56n 11，n ∈N *.方法二 若q ＝1，则S 3∶S 2＝3∶2， 而事实上，S 3∶S 2＝31∶6，故q ≠1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 2)1－q＝30， ①a 1(1－q 3)1－q ＝155，②两式作比，得1＋q1＋q ＋q 2＝631，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝5(1－5n )1－5＝54(5n－1)或S n ＝180⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－56n 1－⎝⎛⎭⎫－56＝1 080⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－56n 11，n ∈N *.类型二 等比数列前n 项和的实际应用例3 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.考点 等比数列前n 项和应用题 题点 等比数列前n 项和的应用题解 方法一 设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为A k 元，则 A 2＝5 000×(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0082－x ， A 4＝A 2(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0084－1.0082x －x ， …A 12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x ＝0， 解得x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5 000×1.008121－(1.0082)61－1.0082≈880.8. 故小华每期付款金额约为880.8元.方法二 设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为A k 元，则 A 2＝x ；A 4＝A 2(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082)； A 6＝A 4(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082＋1.0084)； …A 12＝x (1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810). ∵年底付清欠款， ∴A 12＝5 000×1.00812， 即5 000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， ∴x ＝5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元.反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P (1＋r )n ，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和.跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ 考点 等比数列前n 项和应用题 题点 等比数列前n 项和的应用题解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列.热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.1.等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于( ) A.1－x n1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1，n ，x ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ，x ＝1考点 等比数列前n 项和 题点 求等比数列的前n 项和 答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2.设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A.2B.4C.152D.172考点 等比数列前n 项和题点 等比数列的前n 项和有关的基本量计算问题答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152.方法二 ∵S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152.3.等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A.179 B.211 C.243 D.275 考点 等比数列前n 项和题点 等比数列的前n 项和有关的基本量计算问题 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝⎝⎛⎭⎫234，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4.某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________. 考点 等比数列前n 项和应用题 题点 等比数列前n 项和的应用题 答案 11a (1.15－1)解析 去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a ，1.13a ，1.14a ，1.15a ， ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1).1.在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”.2.前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况.3.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和.一、选择题1.设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12考点 等比数列前n 项和 题点 求等比数列的前n 项和 答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2.在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A.33 B.72 C.84 D.189 考点 等比数列前n 项和题点 等比数列的前n 项和有关的基本量计算问题 答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0. ∵q >0，∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3＝22·21＝84.3.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A.11B.5C.－8D.－11 考点 等比数列前n 项和题点 等比数列的前n 项和有关的基本量计算问题 答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B.－13C.19D.－19考点 等比数列前n 项和题点 等比数列的前n 项和有关的基本量计算问题 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 3＝a 2＋10a 1，得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1， 即a 3＝9a 1，q 2＝9， 又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5.设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A.－2 B.－1 C.12 D.23答案 B解析 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.6.已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A.－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C.3(1－3－10) D.3(1＋3－10)考点 等比数列前n 项和 题点 求等比数列的前n 项和 答案 C解析 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列.又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10).7.一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A.300米 B.299米 C.199米D.166米考点 等比数列前n 项和应用题 题点 等比数列前n 项和的应用题 答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米). 二、填空题8.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 考点 等比数列前n 项和题点 等比数列的前n 项和有关的基本量计算问题 答案 3解析 ∵S 6＝4S 3，∴q ≠1，∴a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q，∴q 3＝3，∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.9.数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 考点 等比数列前n 项和题点 等比数列的前n 项和有关的基本量计算问题 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.10.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________. 考点 等比数列前n 项和题点 等比数列的前n 项和有关的基本量计算问题 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3). ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.11.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________. 考点 等比数列前n 项和题点 等比数列的前n 项和有关的基本量计算问题答案 －342解析 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)，∴q ＝－342. 三、解答题12.求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *. 考点 错位相减法求和题点 错位相减法求和解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.13.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和. 考点 等比数列前n 项和 题点 求等比数列的前n 项和解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1. (2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝32－12×3n －1.四、探究与拓展14.在等比数列{a n }中，对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A.(2n －1)2B.(2n －1)23C.4n－1D.4n －13考点 等比数列前n 项和 题点 求等比数列的前n 项和 答案 D解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，∴a 1＝21－1＝1. ∵a 1＋a 2＝1＋a 2＝22－1＝3，∴a 2＝2，∴{a n }的公比为2.∴{a 2n }的公比为4，首项为a 21＝1. ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 21(1－4n )1－4＝4n－13.15.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝6，S 4＝30，n ∈N *，数列{b n }满足b n ·b n ＋1＝a n ，b 1＝1. (1)求a n ，b n ；(2)求数列{b n }的前n 项和T n . 考点 等比数列前n 项和 题点 求等比数列的前n 项和解 (1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意可得a 1＋a 1q ＝6，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝30，解得a 1＝q ＝2(负值舍去)，可得a n ＝a 1q n －1＝2n ，由b n ·b n ＋1＝a n ＝2n ，b 1＝1，可得b 2＝2，即有b n ＋1·b n ＋2＝a n ＋1＝2n ＋1，可得b n ＋2b n＝2，可得数列{b n }中奇数项、偶数项分别为公比为2的等比数列，即有b n＝⎩⎨⎧212n -，n 为奇数，22n ，n 为偶数.(2)当n 为偶数时，前n 项和为T n ＝(1＋2＋…＋222n -)＋(2＋4＋…＋22n)＝1－22n 1－2＋2⎝⎛⎭⎫1－22n1－2＝3·(2)n －3；当n 为奇数时，前n 项和为T n ＝T n －1＋122n -＝3·(2)n －1－3＋122n -＝(2)n ＋3－3.综上可得，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(2)n ＋3－3，n 为奇数，3·(2)n－3，n 为偶数.。
