2019高考文科数学第一轮复习 同步练习附答案 命题及其关系、充分条件与必要条件

第二课时命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求：1.命题的四种形式(A) 2.充分条件、必要条件、充分必要条件(B)知识梳理：1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2p⇒q且q pp q且q⇒pp⇔qp q且q p 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)“sin 45°＝1”是真命题．()(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则非q”．()(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(5)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(6)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(7)q不是p的必要条件时，成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√(7)√2．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”“充要”填空)提示：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．答案：充分充要3．写出命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性．解：(1)逆命题：若b2＝ac，则a，b，c成等比数列，假命题．(2)否命题：若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，假命题．(3)逆否命题：若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，真命题．4．在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．答案：(1)必要(2)充分(3)充要例题讲解：[典题1](1)命题“若a>b则a－1>b－1”的否命题是________．(2)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是________．(3)下列命题中为真命题的是________．(填序号)①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题．(4)已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________．(填序号)①否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题．解析：(1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.(3)对于①，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故④为假命题．(4)由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：(1)若a≤b，则a－1≤b－1(2)若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0(3)②(4)④小结：(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．[典题2](1)设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)(2)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)(3)“a ＝2” 是“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：(1)|x －2|<1⇔1<x <3.由于{x |1<x <2}是{x |1<x <3}的真子集，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件．(2)∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．(3)“a ＝2”⇒“函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立． 答案：(1)充分不必要 (2)充分不必要 (3)充分不必要小结：充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．①非q 是非p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件；②非q 是非p 的必要不充分条件⇔p 是q 的必要不充分条件；③非q 是非p 的充要条件⇔p 是q 的充要条件．练习1．设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：由2x ＞1，得x ＞0，所以p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要2．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：当数列{a n }的首项a 1＜0时，若q ＞1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1＜0时，要使数列{a n }为递增数列，则0＜q ＜1，所以“q ＞1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要[典题3](1)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．解析：(1)由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，即A ＝(－3,2)，由x －a >0，得x >a ，即B ＝(a ，＋∞)， 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ，即a ≤－3.(2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．答案：(1)(－∞，－3] (2)[0,3][探究1] 本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[探究2] 本例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．注意：由充分条件、必要条件求参数．解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解．但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值．练习：已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 解析：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，，因此a ≥1.答案：[1，＋∞)总结：1．判断四种命题间关系的方法写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p 则q ”，“若q 则p ”的真假即可．(2)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若AB ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q的充要条件．注意： 1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式．3．要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别． 课后作业：1．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________． 解析：根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤02．设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0ab ＞0；当a ＝ －2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要 3．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________． 解析：由|x －m |<1得m －1<x <1＋m ，又因为|x －m |<1的充分不必要条件是13<x <13，借助数轴，所以⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12，解得－12≤m ≤43. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，43 4．已知a ，b ，c ∈R ，命题“如果a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________． 解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故该命题的否命题是：如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.答案：如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<35．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立．答案：充分不必要6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是________．(填序号)解析：只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．答案：②④7．已知α，β的终边在第一象限，则“α>β ”是“sin α＞sin β ”的________条件．解析：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α＝π3＋2π，β＝π3时，满足α>β，但sin α＝ sin β，故sin α>sin β不成立，即充分性不成立；当α＝π3，β＝π6＋2π时，满足sin α>sin β，但α>β不成立，即必要性不成立，故“α>β ”是“sin α>sin β ”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要8．在斜三角形ABC 中，命题甲：A ＝π6，命题乙：cos B ≠12，则甲是乙的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：因为△ABC 为斜三角形，所以若A ＝π6，则B ≠π3且B ≠π2，所以cos B ≠12且 cos B ≠0；反之，若cos B ≠12，则B ≠π3，不妨取B ＝π6，A ＝π4，C ＝7π12，满足△ABC 为斜三角形．答案：充分不必要9．“a ≥3”是“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的________条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择填空)．解析：若“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题，等价于∀x ∈[1,2]，x 2≤a 为真命题，则a ≥4.则“a ≥3”是“a ≥4”的必要不充分条件．答案：必要不充分10．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．解析：易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误． 答案：①②11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题．答案：②③13．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若函数f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数，则φ＝k π，k ∈Z ，所以由“φ＝0”，可以得到“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，但由“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，可以得到φ＝k π，k ∈Z ，因此“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要14．使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x >1在(－∞，＋∞)上是减函数的一个充分不必要条件是________．(填序号)①17≤a <13；②0<a <13；③17<a <13；④0<a <17. 解析：由f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数可得3a －1<0,0<a <1,7a －1≥0，即17≤a <13，所求应该是⎣⎡⎭⎫17，13的真子集，故③正确．答案：③ 15．在四边形ABCD 中，“存在λ∈R ，使得，”是“四边形ABCD 为平行四边形”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)解析：若存在λ∈R ，使得，，则AB ∥CD ，AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则存在λ＝1满足题意．答案：充要16．已知函数f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析：若f (x )＝13x －1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x 1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x －11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，代入得，f (－x )＝－f (x )，f (x )是奇函数．∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．答案：充要17．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________． 解析：方程x 2－mx ＋2m ＝0对应二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，则f (3)<0，解得m >9，即方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9.答案：m >918．已知p ：|x －a |<4；q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．解析：∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．对于p ，|x －a |<4，∴a －4<x <a ＋4，对于q,2<x <3，∴(2,3)(a －4，a ＋4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3(等号不能同时取到)， ∴－1≤a ≤6.答案：[－1,6]。

第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件题组1四种命题及其关系1.[2013陕西,6,5分][文]设z是复数,则下列命题中的假命题是()A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<02.[2017北京,13,5分][文]能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.3.[2016四川,15,5分][文]在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P'(yx+y ,-xx+y);当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A;②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;③若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称;④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是(写出所有真命题的序号).题组2充分条件与必要条件4.[2017北京,7,5分][文]设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.[2017天津,2,5分][文]设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.[2016天津,5,5分]设{a n}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件7.[2016浙江,6,5分][文]已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.[2016山东,6,5分][文]已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.[2016四川,7,5分]设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足y≥x-1,y≥1−x,y≤1,则p是q的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.[2015福建,12,5分][文]“对任意x∈(0,π2),k sin x cos x<x”是“k<1”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.[2015湖北,5,5分][文]l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线;q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件12.[2014新课标全国Ⅱ,3,5分][文]函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件13.[2014福建,6,5分]直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面”的()积为12A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件14.[2014浙江,2,5分]已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+b i)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A组基础题1.[2018山西省45校第一次联考,2]已知a,b∈R,命题“若ab=2,则a2+b2≥4”的否命题是()A.若ab≠2,则a2+b2≤4B.若ab=2,则a2+b2≤4C.若ab≠2,则a2+b2<4D.若ab=2,则a2+b2<42.[2018湖北省部分重点中学高三考试,6]在△ABC中,“A<B<C”是“cos 2A>cos 2B>cos 2C”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.[2018河南省中原名校高三第二次质量考评,3]命题p:x,y∈R,x2+y2<2,命题q:x,y∈R,|x|+|y|<2,则p是q的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.必要充分条件D.既不充分也不必要条件4.[2018广东省珠海一中联考,6]下列选项中,说法正确的是()A.若a>b>0,则ln a<ln bB.向量a=(1,m),b=(m,2m-1)(m∈R)垂直的充要条件是m=1C.命题“∀n∈N*,3n>(n+2)·2n-1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n+2)·2n-1”D.已知函数f(x)在区间(a,b)上的图象是连续不断的,则命题“若f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题5.[2017石家庄市二模,3]已知向量a=(1,m),b=(m,1),则“m=1”是“a∥b”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.[2017广东中山模拟,8]已知条件p:k=3;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则⌝p是⌝q的()A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件7.[2017山西五校4月联考,13]已知“命题p:(x-m)2>3(x-m)”是“命题q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.B组提升题8.[2018湘东五校联考,3]“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()B.0<m<1C.m>0D.m>1A.m>149.[2018成都市高三摸底测试,10]下列判断正确的是()A.若事件A与事件B互斥,则事件A与事件B对立(x∈R)的最小值为2B.函数y=2+9+x2+9C.若直线(m+1)x+my-2=0与直线mx-2y+5=0互相垂直,则m=1D.“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件10.[2017广东省惠州市高三三调,2]设函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|是偶函数”是“y=f(x)的图象关于原点对称”的() A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件11.[2017吉林省部分学校高考仿真考试,5]已知命题“已知a,b,c为实数,若abc=0,则a,b,c中至少有一个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为() A.0 B.1 C.2 D.312.[2017吉林省部分学校高考仿真考试,5]已知命题“已知a,b,c为实数,若abc=0,则a,b,c中至少有一个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3答案1.C实数可以比较大小,而虚数不能比较大小,设z=a+b i(a,b∈R),则z2=a2-b2+2ab i,由z2≥0,得ab=0,a2-b2≥0,则b=0,故选项A为真,同理,选项B为真;选项C为假,选项D为真.故选C.2.-1,-2,-3(答案不唯一)解法一取a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但a+b=-3=c,不满足a+b>c,故“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为-1,-2,-3.解法二命题“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”的逆否命题是“设a,b,c是任意实数.若a+b≤c,则a≤b≤c”,其逆否命题也是假命题,令a=-1,b=-2,c=-3,满足a+b≤c,但不满足a≤b≤c,所以可以取a=-1,b=-2,c=-3.3.②③对于①,设A(0,3),则A的“伴随点”为A'(13,0),但是A'(13,0)的“伴随点”为(0,-3),与A不同,所以①错误;对于②,设单位圆C:x2+y2=1上的点P(x,y),点P的“伴随点”为P'(x',y'),则有x'=yx2+y2,y'=-xx2+y2,所以x'2+y'2=y2(x2+y2)2+(-x)2(x2+y2)2=1x2+y2=1,所以②正确;对于③,设P(x,y)的“伴随点”为P'(yx+y ,-xx+y),P1(x,-y)的“伴随点”为P'1(-yx+y,-xx+y),易知P'(yx+y,-xx+y)与P'1(-yx+y,-xx+y)关于y轴对称,所以③正确;对于④,设原直线的解析式为Ax+By+C=0,其中A,B不同时为0,且P(x0,y0)为该直线上一点,P(x0,y0)的“伴随点”为P'(x',y'),其中P,P'都不是原点,且x'=y0x02+y02,y'=-x0x02+y02,则x0=-(x02+y02)y',y0=(x02+y02)x',将P(x0,y0)代入原直线方程,得-A(x02+y02)y'+B(x02+y02)x'+C=0,则-Ay'+Bx'+Cx02+y02=0,由于x02+y02的值不确定,所以“伴随点”不一定共线,所以④错误.4.A对于非零向量m,n,若存在负数λ,使得m=λn,则m,n互为相反向量,则m·n<0,满足充分性;而m·n<0包含向量m,n互为相反向量或者其夹角为钝角两种情况,故由m·n<0推不出m,n 互为相反向量,所以不满足必要性.所以“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件,故选A.5.B由|x-1|≤1,得0≤x≤2,∵0≤x≤2⇒x≤2,x≤20≤x≤2,∴“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件,故选B.6.C由题意得a n=a1q n-1(a1>0),a2n-1+a2n=a1q2n-2+a1q2n-1=a1q2n-2(1+q).若q<0,因为1+q的符号不确定,所以无法判断a2n-1+a2n的符号;反之,若a2n-1+a2n<0,即a1q2n-2(1+q)<0,可得q<-1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的必要而不充分条件.故选C.7.A当b<0时,f(x)在[-b2,+∞)上单调递增,在(-∞,-b2]上单调递减,∴f(x)min=f(-b2)=-b24,即f(x)∈[-b24,+∞),又-b2∈[-b24,+∞),∴当f(x)=-b2时,f(f(x))min=f(-b2)=-b24,故f(x)与f(f(x))有相等的最小值-b 24;另一方面,取b=0,f(x)=x2与f(f(x))=x4有相等的最小值0,故选A.8.A若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又a⊂α,b⊂β,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能异面或平行.故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.故选A.9.A取x=y=0满足条件p,但不满足条件q,反之,对于任意的x,y满足条件q,显然必满足条件p,所以p是q的必要不充分条件,故选A.10.B因为x∈(0,π2),所以sin 2x>0.“任意x∈(0,π2),k sin x cos x<x”等价于“任意x∈(0,π2),k<2xsin2x”.当x∈(0,π2)时,0<2x<π,设t=2x,则0<t<π.设f(t)=t-sin t,则f'(t)=1-cos t>0,所以f(t)=t-sin t在(0,π)上单调递增,所以f(t)>0,所以t>sin t>0,即tsin t >1,所以k≤1.所以“任意x∈(0,π2),k<2xsin2x”等价于“k≤1”.因为k≤1⇒/k<1,但k<1⇒k≤1,所以“对任意x∈(0,π2),k sin x cos x<x”是“k<1”的必要而不充分条件,故选B.11.A两直线异面,则两直线一定无交点,即两直线一定不相交;而两直线不相交,有可能是平行,不一定异面,故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件,故选A.12.C设f(x)=x3,f'(0)=0,但是f(x)是单调增函数,在x=0处不存在极值,故“若p则q”是一个假命题,由极值的定义可得“若q则p”是一个真命题.故选C.13.A若k=1,则直线l:y=x+1与圆相交于(0,1),(-1,0)两点,所以△OAB的面积S△OAB=12×1×1=12,所以“k=1” ⇒ “△OAB的面积为12”;若△OAB的面积为12,则k=±1,所以“△OAB的面积为12”“k=1”,所以“k=1” 是“△OAB的面积为12”的充分而不必要条件,故选A.14.A当a=b=1时,(a+b i)2=(1+i)2=2i,反之,若(a+b i)2=2i,则有a=b=-1或a=b=1,故选A.A组基础题1.C因为将原命题的条件和结论同时否定之后,可得到原命题的否命题,所以命题“若ab=2 ,则a2+b2≥4”的否命题是“若ab≠2,则a2+b2<4”,故选C.2.C在△ABC中,A<B<C⇔a<b<c⇔2R sin A<2R sin B<2R sin C(R为△ABC的外接圆半径)⇔sin A<sin B<sin C⇔1-2sin2A>1-2sin2B>1-2sin2C⇔cos 2A>cos 2B>cos 2C.所以“A<B<C”是“cos 2A>cos 2B>cos 2C”的充分必要条件,故选C.3.A命题p:x,y∈R,x2+y2<2在坐标系中表示以(0,0)为圆心,2为半径的圆的内部,命题q:x,y ∈R,|x|+|y|<2表示以(0,2),(0,-2),(2,0),(-2,0)为顶点的菱形的内部,画出图象(图略)知菱形包含了圆,故命题p表示的范围比命题q表示的范围小,根据小范围推大范围,得p是q的充分非必要条件.故选A.4.D对于A,因为y=ln x是增函数,a>b>0,所以ln a>ln b,故A不对;对于B,两个向量垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0,所以m+m(2m-1)=0,解得m=0,故B不对;对于C,该命题的否定是“∃n∈N*,3n≤(n+2)·2n-1”,C不对;对于D,原命题的逆命题为“若f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,则f(a)·f(b)<0”,是假命题,例如正弦函数在(0,2π)上有一个零点,但是f(0)·f(2π)=0.选D.5.A向量a=(1,m),b=(m,1),若a∥b,则m2=1,即m=±1,故“m=1”是“a∥b”的充分不必要条件,选A.6.D若直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则圆心(0,0)到直线kx-y+2=0的距离d==1,即k2+1k2+1=4,∴k2=3,即k=±3,∴q是p的必要不充分条件,即⌝p是⌝q的必要不充分条件.故选D.7.m≥1或m≤-7由命题p中的不等式(x-m)2>3(x-m),得(x-m)(x-m-3)>0,解得x>m+3或x<m.由命题q中的不等式x2+3x-4<0,得(x-1)(x+4)<0,解得-4<x<1.因为命题p是命题q的必要不充分条件,所以q⇒p,即m+3≤-4或m≥1,解得m≤-7或m≥1.所以m的取值范围为m≥1或m≤-7.B组提升题,因此当不等式x2-x+m>0 8. C若不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则Δ=(-1)2-4m<0,解得m>14在R上恒成立时,必有m>0,但当m>0时,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m>0.9.D对于A选项,若事件A与事件B互斥,则事件A与事件B不一定对立,反之,若事件A与≥2,事件B对立,则事件A与事件B一定互斥,所以A选项错误;对于B选项,y=2+9+x2+9,即x2+9=1时等号成立,但x2+9=1无实数解,所以等号不成立,于是函当且仅当2+9=x2+9数y= x2+9+(x∈R)的最小值不是2,所以B选项错误;对于C选项,由两直线垂直,得2(m+1)m+m×(-2)=0,解得m=0或m=1,所以C选项错误;对于D选项,若p∧q为真命题,则p,q都是真命题,于是p∨q为真命题,反之,若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真命题,此时p ∧q不一定为真命题,所以“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件,所以D选项正确.选D.10.C设f(x)=x2,y=|f(x)|是偶函数,但是不能推出y=f(x)的图象关于原点对称.反之,若y=f(x)的图象关于原点对称,则y=f(x)是奇函数,这时y=|f(x)|是偶函数,故选C.11.D原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.12.D原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.。

最新高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=3，a2=4，S n为{a n}的前n项和，则S5=（）A．30 B．35 C．45 D．503．已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x 6 5 10 12y 6 5 3 2则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.74．已知双曲线的离心率为2，则其一条渐近线方程为（）A．x﹣3y=0 B．x﹣y=0 C．x﹣y=0 D．3x﹣y=05．在△ABC中M是BC的中点，BC=8，AM=3，AM⊥BC，则•=（）A．﹣7 B．﹣C．0 D．76．已知函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=log2（x+l）+m，则f（1﹣）的值为（）A．﹣B．﹣log2（2﹣）C．D．log2（2﹣）7．在如图程序框图中，输入n=l，按程序运行后输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知x，y满足约束条件，（其中a＞0），若z=x+y的最大值为1，则a=（）A．l.. B．3 C．4 D．59．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象经过点（，0），则函数f（x）在区间[0，]上的最大值与最小值的和为（）A．1﹣B．0 C．D．1+10．已知直线l1的方程为x﹣y﹣3=0，l1为抛物线x2=ay（a＞0）的准线，抛物线上一动点P到l1，l2距离之和的最小值为2，则实数a的值为（）A．l B．2 C．4 D．2811．如图，网格纸上的小正方形的边长为l，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．12πB．24 πC．36πD．48π12．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a不存在最值，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，] C．[1，+∞）D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若复数z满足（1+2i）z=5，则复数z的共轭复数z=________．14．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B l C1中，点D是AB的中点，平面A1DC分此棱柱成两部分，多面体A1ADC与多面体A1B1C1DBC体积的比值为________．15．已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是________．16．已知数列{a n}满足a1=a2=2，且a n+2=（1+cosnπ）（a n﹣1）+2（n∈N*），S n是数列{a n}的前n 项和，则S2n=________．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=5且b（2sinB+sinA）+（2a+b）sinA=2csinC．（1）求C的值；（2）若cosA=，求b的值．18．作为市政府为民办实事之一的公共自行车建设工作已经基本完成了，相关部门准备对该项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，该部门为了了解市民对该项目的满意程度，在公共自行车自助点随机访问了前来使用的100名市民，并根据这100名市民对该项目满意程度的评分（满分100分），绘制了如图频率分布直方图：（1）为了了解部分市民对公共自行车建设项目评分较低的原因，该部门从评分低于60分的市民中随机抽取2人进行座谈，求这2人评分恰好都在[50，60）的概率；（2）根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．（注：满意指数=）19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=，△ADP为等边三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）若AB=2，BP=，求点D到平面PBC的距离．20．在椭圆E：上任取一点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，点M满足，点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点B1（0，1）作直线交椭圆E于A1，B1，交曲线C于A2，B2，当|A1B1|最大时，求|A2B2|．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点x l，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，点A在⊙O上，过点O的割线PBC交⊙O于点B，C，且PA=4，PB=2，OB=3，∠APC的平分线分别交AB，AC于D，E．（1）证明：∠ADE=∠AED；（2）证明：AD•AE=BD•CE．[选修4-4：坐标系与参数选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣4sinθ=0．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|MA|+|MB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式f（x）+f（x+1）≥5；（2）若|a|＞1且，证明：|b|＞2．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B2．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=3，a2=4，S n为{a n}的前n项和，则S5=（）A．30 B．35 C．45 D．50【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知等式可得由数列为公差是3的等差数列，再求出首项，代入等差数列的前n 项和得答案．【解答】解：在数列{a n}中，由a n+1﹣a n=3，可得数列{a n}是公差为3的等差数列，由a2=4，得a1=a2﹣d=4﹣3=1，∴．故选：B．3．已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x 6 5 10 12y 6 5 3 2则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7【考点】线性回归方程．【分析】根据表中数据，计算、，再根据变量y随变量x的增大而减小，是负相关，验证回归直线方程是否过过样本中心点（，）即可．【解答】解：根据表中数据，得；=（6+5+10+12）=，=（6+5+3+2）=4，且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，即回归直线=﹣0.7x+10.3过样本中心点（，）．故选：B．4．已知双曲线的离心率为2，则其一条渐近线方程为（）A．x﹣3y=0 B．x﹣y=0 C．x﹣y=0 D．3x﹣y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a=1，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得e===2，解得a=1，由b=，可得双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：B．5．在△ABC中M是BC的中点，BC=8，AM=3，AM⊥BC，则•=（）A．﹣7 B．﹣C．0 D．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据勾股定理求出AB，AC，利用余弦定理解出cosA，代入数量积的定义式计算．【解答】解：∵M是BC中点，∴BM=CM==4，∵AM⊥BC，AM=3，∴AB=AC=5．在△ABC中，cos∠BAC==﹣．∴•=AB×AC×cos∠BAC=﹣7．故选：A．6．已知函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=log2（x+l）+m，则f（1﹣）的值为（）A．﹣B．﹣log2（2﹣）C．D．log2（2﹣）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质，利用f （0）=0，先求出m ，然后代入即可． 【解答】解：函数f （x ）为奇函数，当x ≥0时，f （x ）=log 2（x+l ）+m ， ∴f （0）=log 2l+m=0，则m=0，则f （1﹣）=﹣f （﹣1）=﹣log 2（﹣1+l ）=﹣log 2=﹣，故选：A ．7．在如图程序框图中，输入n=l ，按程序运行后输出的结果为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出程序输出的数值是什么． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下； i=0，n=1，1是奇数，n=3×1+1=4； i=0+1=1，4≠1，4不是奇数，n=2； i=1+1=2，2≠1，2不是奇数，n=1； i=2+1=3，1=1，输出i 的值为3． 故选：C ．8．已知x ，y 满足约束条件，（其中a ＞0），若z=x+y 的最大值为1，则a=（ ）A ．l..B ．3C ．4D ．5 【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点A 的坐标，通过图象得出=1，解出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（，），由z=x+y得：y=﹣x+z，显然直线过A时，z最大，此时，z==1，解得：a=5，故选：D．9．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象经过点（，0），则函数f（x）在区间[0，]上的最大值与最小值的和为（）A．1﹣B．0 C．D．1+【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值，可得函数f（x）在区间[0，]上的最大值与最小值的和．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，可得=π，求得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）．再根据其图象经过点（，0），可得sin（+φ）=0，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．则函数f（x）在区间[0，]上，2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣时，函数f（x）的最小值为﹣；当2x﹣=时，函数f（x）的最大值为1，的最大值与最小值的和为﹣+1=，故选：C．10．已知直线l1的方程为x﹣y﹣3=0，l1为抛物线x2=ay（a＞0）的准线，抛物线上一动点P到l1，l2距离之和的最小值为2，则实数a的值为（）A．l B．2 C．4 D．28【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线定义，距离和的最小值为抛物线焦点F（0，）到直线l1：x﹣y﹣3=0的距离．【解答】解：由题意，利用抛物线定义，距离和的最小值为抛物线焦点F（0，）到直线l1：x﹣y﹣3=0的距离，∴距离之和的最小值d==2，∴a=4．故选：C．11．如图，网格纸上的小正方形的边长为l，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．12πB．24 πC．36πD．48π【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．【分析】判断几何体的特征，长方体中的三棱锥，利用长方体的体对角线得出外接球的半径求解即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD，底面为；直角三角形，镶嵌在长方体中，DC=4，AB=2，BD=2，三棱锥与长方体的外接球是同一球，半径为R==，∴该球的表面积为4π×6=24π，故选：B．12．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a不存在最值，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，] C．[1，+∞）D．[，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象最多1个交点，当y=lnx和y=2ax﹣1相切时，设切点是（x0，lnx0），求出a的临界值即可．【解答】解：由题意，f′（x）=lnx+1﹣2ax令f′（x）=0，得lnx=2ax﹣1，函数f（x）不存在最值，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1最多1个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象最多1个交点，当y=lnx和y=2ax﹣1相切时，设切点是（x0，lnx0），∴，解得：a=，故当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，故a≥时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象最多1个交点．则实数a的取值范围是[，+∞）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若复数z满足（1+2i）z=5，则复数z的共轭复数z=1+2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+2i）z=5，得，∴．故答案为：1+2i．14．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B l C1中，点D是AB的中点，平面A1DC分此棱柱成两部分，多面体A1ADC与多面体A1B1C1DBC体积的比值为1：5．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设出棱柱的底面积和高，由D为AB的中点求出三角形ADC的面积，由棱锥体积公式求得多面体A1ADC的体积，作差得到多面体A1B1C1DBC体积，作比得答案．【解答】解：如图，设三棱柱ABC﹣A1B l C1的底面ABC的面积为S，高为h，则三棱柱的体积V=Sh，∵D为AB的中点，∴，三棱锥A1﹣ADC的高为h，∴，则多面体A1B1C1DBC的体积，则多面体A1ADC与多面体A1B1C1DBC体积的比值为．故答案为：1：5．15．已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是[0，）．【考点】函数的值域；分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．【解答】解：当x≥1时，f（x）=2x﹣1≥1，当x＜1时，f（x）=（1﹣2a）x+3a，∵函数f（x）=的值域为R，∴（1﹣2a）x+3a必须到﹣∞，即满足：，解得0≤a＜，故答案为：[0，）．16．已知数列{a n}满足a1=a2=2，且a n+2=（1+cosnπ）（a n﹣1）+2（n∈N*），S n是数列{a n}的前n 项和，则S2n=2n+1+2n﹣2．【考点】数列的求和．【分析】根据条件讨论n的奇偶性，分别化简递推公式并判断出数列的特征，由等比数列的通项公式求通项公式a n，根据等差数列和等比数列的前n项和公式，可求数列的前2n项的和S2n．【解答】解：（1）当n是奇数时，cosnπ=﹣1，由a n+2=（1+cosnπ）（a n﹣1）+2（n∈N*）得，a n+2=2，所以a1，a3，a5，…，a2n﹣1，…是各项为2的常数列，当n为偶数时，cosnπ=1，同理可得a n+2=2a n，所以a2，a4，a6，…，a2n，…是首项为a2=2，公比为2的等比数列，则，所以S2n=（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…a2n）=2n+=2n+1+2n﹣2，故答案为：2n+1+2n﹣2．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=5且b（2sinB+sinA）+（2a+b）sinA=2csinC．（1）求C的值；（2）若cosA=，求b的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得（2b+a）b+（2a+b）a=2c2，化简可得：a2+b2﹣c2=﹣ab，利用余弦定理可求cosC=﹣，结合范围C∈（0，π），即可求得C的值．（2）由已知，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用两角和的正弦函数公式即可求得sinB=sin（A+C）的值，由正弦定理即可计算求得b=的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵b（2sinB+sinA）+（2a+b）sinA=2csinC．∴（2b+a）b+（2a+b）a=2c2，…2分化简可得：a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC==﹣，…4分∵C∈（0，π），∴C=…6分（2）∵cosA=，A∈（0，π），∴sinA=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==，…10分∴由正弦定理可得：b===4．…12分18．作为市政府为民办实事之一的公共自行车建设工作已经基本完成了，相关部门准备对该项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，该部门为了了解市民对该项目的满意程度，在公共自行车自助点随机访问了前来使用的100名市民，并根据这100名市民对该项目满意程度的评分（满分100分），绘制了如图频率分布直方图：（1）为了了解部分市民对公共自行车建设项目评分较低的原因，该部门从评分低于60分的市民中随机抽取2人进行座谈，求这2人评分恰好都在[50，60）的概率；（2）根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．（注：满意指数=）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图得评分在[40，50），[50，60）的市民分别有2个和3个，由此能求出该部门从评分低于60分的市民中随机抽取2人进行座谈，这2人评分恰好都在[50，60）的概率．（2）求出样本满意程度的平均得分80.5，从而求出市民满意指数，由此能求出结果．【解答】解：（1）由频率分布直方图得评分在[40，50），[50，60）的频率分别为0.02和0.03，∴评分在[40，50），[50，60）的市民分别有2个和3个，∴该部门从评分低于60分的市民中随机抽取2人进行座谈，基本事件总数n==10，这2人评分恰好都在[50，60）包含的基本事件个数m==3，∴这2人评分恰好都在[50，60）的概率p=．（2）样本满意程度的平均得分为：45×0.02+55×0.03+65×0.15+75×0.24+85×0.3+95×0.26=80.5，估计市民满意程度的平均分为80.5，∴市民满意指数为：，∴该项目能通过验收．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=，△ADP为等边三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）若AB=2，BP=，求点D到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取AD中点O，连结PO，BO，由已知可得PO⊥AD，BO⊥AD，又PO∩BO=O，即可证AD⊥平面POB，从而可得PB⊥AD．（2）先证明PO⊥AD，可得PO⊥平面ABCD，利用等体积，求出点D到平面PBC的距离．【解答】（1）证明：取AD中点O，连结PO，BO．侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形且∠DAB=∴PO⊥AD，BO⊥AD，又PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB，∴PB⊥AD；（2）解：由题意，可得OB=OP=，∵PB=，∴PB2=OB2+OP2，∴OP⊥OB∵OB∩AD=O，∴PO⊥平面ABCD∴V D﹣PBC=V P﹣DBC==1，∵AD∥BC，∴PB⊥BC，∴S△PBC==，设点D到平面PBC的距离为h，则，∴h=．20．在椭圆E：上任取一点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，点M满足，点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点B1（0，1）作直线交椭圆E于A1，B1，交曲线C于A2，B2，当|A1B1|最大时，求|A2B2|．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设M（x，y），P（x0，y0），则D（x0，0），求得向量DM，DP的坐标，由向量共线的坐标表示，结合P在椭圆上，代入化简即可得到所求曲线的方程；（2）讨论当直线的斜率不存在时，可得|A1B1|=2；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得（1+4k2）x2+8kx=0，（k≠0），求得点A1，B1，运用两点的距离公式和基本不等式求得最大值，再由圆内的垂径定理，化简整理即可得到所求值．【解答】解：（1）设M（x，y），P（x0，y0），则D（x0，0），=（x﹣x0，y），=（0，y0），由，可得x﹣x0=0，且y=2y0，即为x0=x，y0=y，由P在椭圆上，可得+（）2=1，即有曲线C的方程为x2+y2=4；（2）当直线的斜率不存在时，可得|A1B1|=2；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得（1+4k2）x2+8kx=0，（k≠0），解得x1=﹣，x2=0，即有B1（0，1），A1（﹣，），|A1B1|==•≤•=，当且仅当3k2=1+k2，即k=±时，|A1B1|取得最大值；由＞2，可得k=±．当k=时，直线A2B2的方程为y=x+1，即x﹣2y+2=0，圆心O到直线A2B2的距离为d=，由垂径定理可得，（）2=r2﹣d2=4﹣=，即|A2B2|=．21．已知函数f （x ）=x ﹣﹣alnx （a ∈R ）． （1）求f （x ）的单调区间；（2）设g （x ）=f （x ）+2alnx ，且g （x ）有两个极值点x l ，x 2，其中x 1∈（0，e]，求g （x 1）﹣g （x 2）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求函数的定义域和导数，讨论a 的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）求出函数g （x ）的表达式，求出函数g （x ）的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解． 【解答】解：（1）函数f （x ）的定义域是（0，+∞），f ′（x ）=1+﹣=，①当a ≤0时，f ′（x ）≥0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ②当a ＞0时，由f ′（x ）=0，得x 2﹣ax+1=0，1）当判别式△=a 2﹣4≤0时，即0＜a ≤2时，f ′（x ）≥0恒成立，此时函数在（0，+∞）上是增函数，2）当△=a 2﹣4＞0时，即a ＞0时，方程x 2﹣ax+1=0的两个根x 1=，x 2=，当x ∈（0，）时，f ′（x ）＞0，此时函数f （x ）为增函数，当x ∈（，）时，f ′（x ）＜0，此时函数f （x ）为减函数，当x ∈（，+∞）时，f ′（x ）＞0，此时函数f （x ）为增函数，综上当a ≤2时，f （x ）的递增区间为（0，+∞），无递减区间．当a ＞2时，函数的递增区间为（0，），∈（，+∞），单调递减区间为（，）．（2）由于g （x ）=f （x ）+2alnx=x ﹣+alnx ，其定义域为（0，+∞），求导得，g ′（x ）=1++=，若g′（x）=0两根分别为x1，x2，则有x1•x2=1，x1+x2=﹣a，∴x2=，从而有a=﹣x1﹣，则g（x1）﹣g（x2）=g（x1）﹣g（）=x1﹣+alnx1﹣（﹣x1+aln）=2（x1﹣）+2alnx1=2（x1﹣）﹣2（x1+）lnx1，令h（x）=2（x﹣）﹣2（x+）lnx，x∈（0，e]，则[g（x1）﹣g（x2）]min=h（x）min，h′（x）=2（1+）﹣2[（1﹣）lnx+（x+）]=，当x∈（0，1]时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1]上单调递减，x∈（1，e]时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，e]上单调递减，则h（x）min=h（e）=﹣，∴g（x1）﹣g（x2）的最小值为﹣．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，点A在⊙O上，过点O的割线PBC交⊙O于点B，C，且PA=4，PB=2，OB=3，∠APC的平分线分别交AB，AC于D，E．（1）证明：∠ADE=∠AED；（2）证明：AD•AE=BD•CE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由弦切角定理得∠BAP=∠C，从而∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，由此能证明∠ADE=∠AED．（2）利用角平分线的性质得到比值相等，即可证明结论．【解答】证明：（1）连接OA，∵AP2+OA2=16+9=25=（OB+BP）2，∴OA⊥AP，∴PA为⊙O的切线，∴∠PAB=∠C，∵∠AEP=∠C+∠BPE，∠ADE=∠PAB+∠APE，∵PE平分∠APC，∴∠BPE=∠APE∴∠ADE=∠AED；（2）∵PE是∠APC的平分线，∴==，=，∴=，∴AD•AE=BD•CE．[选修4-4：坐标系与参数选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣4sinθ=0．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|MA|+|MB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据极坐标和参数方程的定义进行求解即可．（2）设A，B对应的参数分别为t1，t2，联立方程求出结合|MA|+|MB|=|t1|+|t2|进行计算即可．【解答】解：（1）由ρ﹣4sinθ=0得ρ=4sinθ⇒ρ2=4ρsinθ⇒x2+y2﹣4y=0⇒x2+（y﹣2）2=4，即曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4，∵直线l过点M（1，0），倾斜角为．∴直线l的参数方程为，（t是参数），（2）设A，B对应的参数分别为t1，t2，把直线的参数方程代入曲线方程得（1﹣t）2+（t ﹣2）2=4，整理得t2﹣3t+1=0，则t1+t2=3，t1t2=1，∴t1＞0，t2＞0，则|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1|+|t2|=3．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式f（x）+f（x+1）≥5；（2）若|a|＞1且，证明：|b|＞2．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，解不等式即可；（2）求出f（ab）和f（），代入不等式，问题转化为|ab﹣2|＞|b﹣2a|，平方证明即可．【解答】（1）解：原不等式等价于|x﹣2|+|x﹣1|≥5，当x＞2时，不等式可化为：（x﹣2）+（x﹣1）≥5，解得：x≥4，当1≤x≤2时，不等式可化为（2﹣x）+（x﹣1）≥5，1≥5，无解，x＜1时，不等式可化为：（2﹣x）+（1﹣x）≥5，解得：x≤﹣1，综上，不等式的解集是{x|x≥4或x≤﹣1}；（2）证明：⇔|ab﹣2|＞|a||﹣2|⇔|ab﹣2|＞|b﹣2a|⇔（ab﹣2）2＞（b﹣2a）2⇔a2b2+4﹣b2﹣4a2＞0⇔（a2﹣1）（b2﹣4）＞0，∵|a|＞1，∴a2﹣1＞0，∴b2﹣4＞0，∴|b|＞2，证毕．若要功夫深，铁杵磨成针！2016年9月7日。

第一节集合A组2019高考针对性练习之基础题型1. (2014 课标1,1,5 分)已知集合M二{x|・1vxv3},N二{x|・2vxC},则MnN=( )A. (-2,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-2,3)2. (2016 天津,1,5 分)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,XGA},则AnB=( )A.{1,3}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}3. 已知集合A={y|y=|x|-1 ,XG R},B={X|X>2},则下列结论正确的是()A.-3wAB.3^BC.AnB=BD.AuB=B4. (2016 陕西西安模拟)设集合M={x|x2=x},N={x|lg xSO},则MuN=( )A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-,1]5. 已知集合A={X|XG Z,且三弍},则集合A中的元素个数为()A.2B.3C.4D.56. (2016 山东,1,5 分)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则Cu(AuB)=(A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}7. (2017 山东临沂期中)设集合M二{・1,0,1,2},N=glg(x+1)>0},则MnN=( )A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{-1,0,1}8. (2016 辽宁沈阳模拟)设集合A={5^,a-b},B={b,a+b,-1},若AnB二{2,邛},则AuB=(B. {-2,2,5} C・{2,3,5} D.{-1,2,3,5}A・{2,3}9. ___________________________________________ 已知A={0,m,2},B={x|x3-4x=0},若A二B,则m= _________________________________________ .10. ________________________________________________ 已知集合A={x|-1 <x<1 },B={x|x2-2x<0},则A U(C R B)= __________________________________ ."•已知集合A={x| 1 <x<5},C={x|-a<x<a+3},若CnA二C,则a的取值范围为________ ・B组2019高考针对性练习之提高题型12. (2017 山西大同模拟)已知全集为R,集合M={-1,0,1,5},N={x|x2-x-2>0},则M"C R N)=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,5}D.{-1,1}13. 若集合A二{xwR|ax2+ax+仁0}中只有一个元素，贝U a=( )A.4B.2C.OD.0 或414. 设集合M二{x|■仁xv2},N 二{y|yva},若MnNH0,则实数a的取值范围是( )A.[-1,2)B.(-oo,2]C.[-1,+oc)D.(・1,+©15. (2016 广西南宁模拟)已知全集U={XG Z|0<X<8},集合M={2,3,5},N={x|x2-8x+12=0},则集合{1,4,7}为()A.Mn(CuN)B.Cu(MnN)C. Cu(MuN)D.(CuM)nN16. (2016辽宁沈阳模拟)已知集合A={xeN|x2-2x-3<0},B={1>3},定义集合A,B之间的运算M*,,:A*B={X|X=X I+X2,X IG A,X2G B},则A*B 中的所有元素之和为( )A.15B.16C.20D.2117. 设集合A={x|y=lg(-x2+x+2)},B={x|x-a>0},若AGB,则实数a 的取值范围是( )A.(-oo r1)B.(-00,-1]C.(・8,・2)D.(-OO,-2]18. (2016辽宁沈阳二中月考)设[x]表示不大于x的最大整数，集合A={x|x2-2[x]=3},B={x| i < 2X < 8},则AnB=答案全解全析A 组 基础A 组2019高考针对性练习之基础题型MnN={x|-1<x<3}n{x|-2<x<1}={x|-1<x<1}.2. A 由题意可得 B={1,3,5},.\AnB={1,3},故选 A.3. C 化简 A={y|y>-1},因此 AnB={x|x>2}=B.4. A 由题意知 M 二{0,1},N 二{x|0vxG},所以 MuN 二[0,1].故选 A.5. C •.子wZ,.2x 的取值有-3,-1,1,3,又.*Z,.・.x 的值分别为故集合A 中的元素个数为4.2-X6. A 由题意知 AuB={1,3,4,5},又 U={1,2,3,4,5,6},.\Cu(AuB)={2,6},故选 A.7. C vM={-1,0,1,2},N={x|lg(x+1)>0}=(0,+oo),AMnN41,2}.9.家答案-2玄解析 由题意知B 二{0,・2,2},若A 二B,则m=-2.曲答案(-co,1]U[2+oo)童解析 由题意知 B={X |X 2-2X <0}={X |0<X <2},.-.C R B=(-OO ,0]U [2,+OO ),X A=[-1,1],/.A U (C R B)=K1]U [2,+OO ).答案a<-1 代解析因为CnA 二C,所以CcA.①当C 二0R 寸,满足CGA,此时-a>a+3,解得a< ②当O0时,要使CCA,a < a + 3,_a > 1,解得-|<a ^1-a + 3 V 5,由①②，得a<-1. 8.D 2, ；'此时 B={2,3,-1},所以 AuB={-1,2,3,5}; 匕=2 由AnB 二{2円},可得* 'a-b = -1rb 当a-b = -1时 当7=' ,a-b = 2 1;此时不符合题意,舍去. •1/B组提升B组2019高考针对性练习之提高题型19高考针对性练习之提高题型全集为R,N={x|x2-x-2>0}={x|x<-1 或x>2},.•，C R N={X|-1<X<2},又集合M={-1,0,1,5},.\M A(C R N)={0,1}.故选 A.13. A •.•集合A={xeR|ax2+ax+1 =0}中只有一个元素，即ax2+ax+1=0只有一个解，..当a*0时,A=a2-4a=0,解之得a=0(舍)或a=4・当a=0时,A=0,不合题意.:.a=4.14. D借助数轴可知a>-1,故选D.15. C 由已知得U二{1,2,3,4,5,6,7},N二{2,6},又M={2,3,5},所以CuN={1,3,4,5,7},3皿二{1,4,6,7},皿山二{2,3,5,6},1\/1论二{2},所以Mn(CuN)={3,5},Cu(MnN)={1,3,4,5,6,7},(CuM)nN={6},Cu(MuN)={1,4,7},故选C.16. D 由x2-2x-3<0,得(x+1)(x・3)s0,则•仁XS3,又xwN,故集合A二{0,1,2,3}.由题意知A*B中的元素有0+1=1,0+3=3,1+1 =2,1 +3=4,2+1 =3(舍去),2+3=5,3+1 =4(舍去),3+3=6,/.A*B={1,2,3,4,5,6},/.A*B 中的所有元素之和为1+2+3+4+5+6=21.17. B A={x|y=lg(-x2+x+2)}={x|-1<x<2},B={x|x>a}.因为AGB,所以a<-1.18«答案{-1,77}家解析vx2-2[x]=3,.-.[x]=^,又[x]^x<[x]+1,.忙・2x・3 < 或1+匹VXS3,tx2-2x-l > 0,.-.[x]=-1 或[x]二2 或[x]=3.结合x2=2[x]+3, R J得x=-1 或x=V7或x=3. /.A={-1,V7,3}.由i<2^<8 得・3vxv3,「.B二{x|・3vxv3}.,-.AnB={-1,V7}.。

[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届邯郸质检)“x>3”是“1x<13”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：“x>3”⇒“1x<13”；反之不成立，例如取x＝－1.因此“x>3”是“1x<13”的充分不必要条件．故选A.答案：A2．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，∴m＝±3，故“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．答案：A3．(2017届山东重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的() A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：命题p：“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．答案：B4．命题p：“若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为() A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假解析：q：若x<1，则x2<1.令x＝－2，∴x2＝4，∴q假．∵p：x2<1，则－1<x<1，∴p真，故选B.答案：B5．(2018届鹤壁模拟)已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：∀x∈R，x2>0，下面结论正确的是()A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧綈q”是假命题C．命题“綈p∧q”是真命题D．命题“綈p∧綈q”是假命题解析：因为tan45°＝1，所以p：∃x0∈R，使tan x0＝1是真命题，所以綈p 是假命题．因为x＝0，x2＝0，所以命题q：∀x∈R，x2>0是假命题，所以綈q 是真命题，所以p∧q是假命题，綈p∧q是假命题，綈p∧綈q是假命题，故选择D.答案：D6.(2017届江西新余调研)设p：∀x∈R，x2－4x＋m>0；q：函数f(x)＝－1 3x3＋2x2－mx－1在R上是减函数，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若p为真，则Δ＝16－4m<0，解得m>4；若q为真，则f′(x)＝－x2＋4x－m≤0在R上恒成立，则Δ＝16－4m≤0，解得m≥4，所以p是q的充分不必要条件．答案：A7．(2018届河北唐山二模)已知a，b为实数，则“a3<b3”是“2a<2b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：由于函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增，所以a3<b3⇔a<b⇔2a<2b，即“a3<b3”是“2a<2b”的充要条件．答案：C8．(2017届河南三市调研)若x，y∈R，则x>y的一个充分不必要条件是() A．|x|>|y| B．x2>y2C.x>y D．x3>y3解析：由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A、B；由x>y可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要条件，故选C.答案：C9．(2017届浙江宁波一模)若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4解析：若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．因为当x >1时，f (x )>3，所以a >3.答案：A10．(2018届河北唐山月考)已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．解析：p ：由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．又q ：x >a ，故a ≥1.答案：[1，＋∞)11．(2017届河南濮阳第二次检测)若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________．解析：由于f (0)＝m ＋23，因为函数y ＝f (x )的图象不过第三象限，所以m ＋23≥0，即m ≥－23.由于“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，因此a <－23，故实数a 能取的最大整数为－1.答案：－112．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 13．(2018届江西九江地区高三七校联考)命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0，命题q ：3a －1＋1<0. (1)若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若“綈q ”是“a ∈[m ，m ＋1]”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：(1)关于命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0，a >0时，显然不成立，a ＝0时成立，a <0时只需Δ＝a 2＋4a <0即可，解得－4<a <0，故p 为真时，a ∈(－4,0]；关于命题q ：3a －1＋1<0，解得－2<a <1， 命题“p 或q ”为假命题，即p ，q 均为假命题，则a ≤－4或a ≥1.(2)綈q ：a ≤－2或a ≥1，所以m ＋1≤－2或m ≥1，所以m ≤－3或m ≥1.14．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．求：(1)若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件；(3)若綈p 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：(1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ，则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．(2)若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S .∴⎩⎨⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9.即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，(3)P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P ，∴[－2,10][1－m,1＋m ]，∴⎩⎨⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． [能 力 提 升]1．(2017届济南模拟)若a ＝log 2x ，b ＝2x ，则“a >b ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：函数a ＝log 2x ，b ＝2x 的图象如图所示，由图象可知，若a >b ，则x >2，即x >1成立，反之，若x >1，当x ＝32时，a <b .答案：A2．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3,0]3．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]4．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a ，q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5.又由题意知p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎨⎧ －5≤2－a ，2＋a ≤－3，a >0，①或⎩⎨⎧ 3≤2－a ，2＋a ≤5，a >0，② 由①得a 无解；由②解得0<a ≤2－ 3.。

质量检测(一)测试内容：集合常用逻辑用语与函数导数及应用时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2018·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为( )A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．(2018·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆BD⇒/a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A3．(2018·山东烟台诊断)下列说法错误的是( )A．B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若p∧q为假D．解析：若p∧q为假答案：C4．(2018·西安长安区第一次质检)下列函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A．y＝m 1|x|B．y＝x3C．y＝2|x|D．y＝cos x解析：f(x)＝x3，f(－x)＝－x3＝－f(x)，∴f(x)＝x3为奇函数．且f(x)＝x3在R上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递增，故选B.答案：B5．若函数f(x)＝ax2＋(a2－1)x－3a为偶函数，其定义域为[4a＋2，a2＋1]，则f(x)的最小值为( ) A．3 B．0 C．2 D．－1解析：由f(x)为偶函数知a2－1＝0，即a＝±1，又其定义域需关于原点对称，即4a ＋2＋a 2＋1＝0必有a ＝－1. 这时f(x)＝－x 2＋3，其最小值为f(－2)＝f(2)＝－1. 故选D. 答案：D6．(2018·河北名校名师俱乐部二调)曲线y ＝12x 2＋x 在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1B ．2 C.43 D.23解析：y′＝x ＋1，所以切线在点(2,4)处的斜率为3，切线方程为y －4＝3(x －2)，令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝23，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×|－2|×23＝23.答案：D7．(2018·重庆卷)已知函数f(x)＝ax 3＋bsin x ＋4(a ，b ∈R)，f[lg(log 210)]＝5，则f[lg(lg 2)]＝( ) A ．－5 B ．－1 C ．3 D ．4解析：因为f[lg(log 210)]＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg2＝f[－lg(lg 2)]＝5，又f(x)＋f(－x)＝8，所以f[－lg(lg 2)]＋f[lg(lg 2)]＝8，所以f[lg(lg 2)]＝3，故选C.答案：C8．(2018·青岛市统一质检)已知函数f(x)对定义域R 内的任意x 都有f(x)＝f(4－x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2<a<4则( )A ．f(2a)<f(3)<f(log 2a) B ．f(3)<f(log 2a)<f(2a) C ．f(log 2a)<f(3)<f(2a ) D ．f(log 2a)<f(2a)<f(3)解析：由f(x)＝f(4－x)知函数f(x)关于x ＝2对称，x≠2时，有(x －2)f′(x)>0，∴x>2时f′(x)>0，x<2时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，2)上单调减，在(2，＋∞)上单调增，2<a<4时4<2a<16，klog 2a<2，∴log 2a<2<2a，知f(log 2a)<f(3)<f(2a)，选C.答案：C9．(2018·南平市质检)已知函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x ＋a e x ，(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2)∪[e 2，＋∞)解析：当a ＝1时，f(x)＝e x＋1exf′(x)＝e x－1e x ＝e x－1ex 在[0,1]上f′(x)≥0，所以f(x)在区间[0,1]上单调递增．a ＝－1时f(x)＝e x－1e很显然在区间[0,1]上单调递增，故选C.答案：C10．(2018·河北名校名师俱乐部二调)下图中，有一个是函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a≠0)的导函数f ′(x)的图象，则f(－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53 解析：∵f ′(x)＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)， ∴导函数f ′(x)的图象开口向上． 又∵a≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且－a>0，∴a ＝－1， ∴f(x)＝13x 3－x 2＋1，故f(－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2018·重庆市九校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x>02x，x≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－2，f(－2)＝14， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f(－2)＝14.答案：1412．f(x)＝xn 2－3n(n ∈Z)是偶函数，且y ＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2－3n<0，即0<n<3，又因为f(x)是偶函数，所以n 2－3n 是偶数，只有n ＝1或2满足条件．答案：1或213．(2018·山东菏泽模拟)设函数f(x)＝x m＋ax 的导函数f′(x)＝2x ＋1，则⎠⎛12f(－x)dx 的值等于________．解析：由于f(x)＝x m ＋ax 的导函数f′(x)＝2x ＋1，所以f(x)＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f(－x)dx ＝⎠⎛12(x 2－x)dx ＝(13x 3－12x 2)|21＝56.答案：5614．(2018·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．解析：如图，过A 作AH⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x.则S ＝x(40－x)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m)．答案：20三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a≤0，若解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0，∴x＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a＝0或a ＝2. ∴当 ∴ ∵即a 的取值范围为{a|a>2或a<－2}．16．(满分12分)(2018·丰台区期末练习)已知函数f(x)＝(ax 2＋bx ＋c)e x(a>0)的导函数y ＝f ′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－1，求f(x)的极大值．解：(1)f ′(x)＝(2ax ＋b)e x＋(ax 2＋bx ＋c)e x＝[ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c]e x. 令g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c ， ∵e x>0，∴y＝f′(x)的零点就是g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c 的零点，且f′(x)与g(x)符号相同． 又∵a>0，∴当x<－3，或x>0时，g(x)>0，即f ′(x)>0， 当－3<x<0时，g(x)<0，即f ′(x)<0，∴f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)． (2)由(1)知，x ＝0是f(x)的极小值点，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，b ＋c ＝0，9a －＋＋b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝1，c ＝－1.所以函数的解析式为f(x)＝(x 2＋x －1)e x.又由(1)知，f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)． 所以，函数f(x)的极大值为f(－3)＝(9－3－1)e －3＝5e3.17．(满分12分)2019年8月31日第十二届全运会在辽宁沈阳开幕，历时13天．某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 元．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大． 解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件， 则月平均利润为y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)． (2)由y′＝5a(4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，所以当0<x<12时，y′>0；当12<x<1时，y′<0.所以函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值．故改进工艺后，纪念品的销售价为20×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大． 18．(满分14分)(2018·山西省第三次四校联考)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a 的取值范围； (3)若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2，且f(x 1)＋2x 1< f(x 2)＋2x 2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f(x)＝2x －3＋1x .因为f′(1)＝0，f(1)＝－2. 所以切线方程是y ＝－2.(2)函数f(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)． 当a>0时，f′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x＝2ax 2－＋－1x(x>0)令f′(x)＝0，即f′(x)＝2ax 2－＋＋1x＝－－x＝0，所以x ＝12或x ＝1a.当0<1a ≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；当1<1a <e 时，f(x)在[1，e]上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(1)＝－2，不合题意； 当1a≥e 时，f(x)在(1，e)上单调递减， 所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(e)<f(1)＝－2，不合题意． ∴综上a≥1.(3)设g(x)＝f(x)＋2x ，则g(x)＝ax 2－ax ＋ln x ， 只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可． 而g′(x)＝2ax －a ＋1x ＝2ax 2－ax ＋1x当a ＝0时，g′(x)＝1x>0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x∈(0，＋∞)，只要2ax 2－ax ＋1≥0， 则需要a>0，对于函数y ＝2ax 2－ax ＋1，过定点(0,1)，对称轴x ＝14>0，只需Δ＝a 2－8a≤0，即0<a≤8.综上0≤a≤8.。