(最新)北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》精品课件(共23张PPT)

第二章 一元二次方程
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
课前预习
(一)知识探究 那么1x.1＋如x果2＝方－程－baax2＋,bxx1＋x2＝c＝0(aca≠0．)有两个实数根 x1，x2，
2. 利用根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积， 通常是将方程化为 一一般般 形式，计算 b2－4ac 的值并确定方 程有两个实根，再利用根与系数的关系加以计算．
两根之和或积
问题
方法
求方程中字母 根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于
系数的值 字母的方程或不等式
求方程
逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2 ＝1，
x1x2＝－53. x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12＋2×53＝133.
例2 已知 x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，不解 方程，求下列代数式的值：
(2)x11＋x12.
【思路点拨】根据异分母分式的加法法则进行变形处理， 代入求值．
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2＝1， x1x2＝－53. x11＋x12＝xx1＋1xx2 2＝－153＝－35.
【归纳总结】 用根与系数的关系解题时常用的一些变形式： ①x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； ② 1 ＋1 ＝x1＋x2；
x1 x2 x1x2 ③(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ④xx21＋xx12＝xx21＋1x2x22＝（x1＋xx2）1x22－2x1x1.

∴符合条件的m的值为 3 ．
2
6.已知在关于x的分式方程 k 1 =2①和一元二次方程
x 1
（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数， 方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且 k=m+2，n=1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k） +x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试 判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
练习
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和 x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝( C )
(二)合作探究
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，视察表中 x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数 之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
1
－4
－3
－4
x2－2x－5＝0 1＋ 6 1－ 6
2
－5
2x2－3x＋1＝0 1
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,

解：由题意，可得 x1+x2 = 17，
即两边长之和为 17，17小于 20，
所以这个三角形的第三边的长不可能是 20.
课堂总结
一
元
二
次
方
程
的
根
与
系
数
的
关
系
根与系数的关系：
c
b
x1+x2 =，x1x2 =
a
a
注意事项：
①方程必须是一元二次方程的一般形式；
②判断b2-4ac≥0；
③使用x1+x2 时， 注意“－ ”不要漏写.

k
5
∵其中一个根为2，因此可以设 x1= 2，

+ = −

∴൞

= −
解这个方程组，得൝



所以另一个根为− ，k的值为-7.
=

−

= −
课堂练习
6.如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2-17x+66=0的两
个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？为什么？
你知道它的求根公式是什么吗？
− ± −
=

当Δ＞0，Δ=0，Δ＜0 根的情况如何？
Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
Δ< 0 时，方程没有实数根.
适用的条件：
Δ=b2-4ac≥0
新知讲解
解下列方程，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积.
板书设计
课题：2.5 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 –

������1 ������2
= =
3, 2.
②当 m 2=-1 时,x1+x2=������2-1=-1,x1-x2=1,
组 成 方程组
������1 + ������2 = -1,解这个方程组,得 ������1-������2 = 1,
������1 ������2
= 0, = -1.
关闭
答答案案
1
2
3
4
5
6
6.已知关于 x 的方程 2x2-(m-1)x+m+1=0 的两根满足关系式 x1-x2=1, 求 m 的值及方程的两个根.
解 :∵x1,x2 是方程的两个根,
∴x1+x2=������2-1,x1·x2=������2+1. ∵x1-x2=1,∴(x1-x2)2=1.
2
∴(x1+x2)2-4x1·x2=1,∴
关闭
解:∵x1,x2 是方程 2x2-3x-1=0 的两个根,
∴x1+x2=32,x1·x2=-12. ∴������13 x2+x1������23 =x1x2(������12 + ������22 )=x1x2[(x1+x2)2-2x1x2]=-12 ×
3 2
2
+2×源自1 2=-183.
答案
轻松尝试应用
*5.一元二次方程的根与系数的关系
快乐预习感知
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
x1+x2= -������������
,x1x2=
������ ������
.
x1,x2,那么
轻松尝试应用

第二章 一元二次方程
• 一元二次方程的一般形式？ • 一元二次方程有实数根的条件是什么？ • 当△＞0，△=0，△＜0根的情况如何？ • 一元二次方程的求根公式是什么？ • 配方法的关键把一元二次方程化为什么形式？
1. 用分解因式法解下列方程：
（1）x2+9x+18=0; （2）x2-7x+10=0; （3）x2-5x-6=0; （4）x2+3x-4=0.
n2
21
___4____.
6.关于x的一元二次方程x2 2x 2m 0有两个
不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)已知x1、x2是一元二次方程x2 2x 2m 0的
两个根，且x12
x2 2
8，求m的值.
7.已知、是一元二次方程x2 5x 2 0的 两个实数根，则 2 2 __2_7__.
韦达（1540－1603）论称韦为达“在韦欧达洲定被理尊”称）为。“代数学之
父”。
• 口答下列方程的两根之和与两根之积.
(1) x2 2x 15 0;
(2) x2 6x 4 0;
(3) 2x2 3x 5 0; (4) 3x2 7x 0;
(5) 2x2 5.
1.已知一元二次方程 3x2 9x m 0 的一个
x1 x2
2a
2aLeabharlann b2 b2 4ac 4a2
4ac 4a2
c a
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的两
个根分别是 x1、x2，那么：
b
x1
x2
; a
x1
x2
c. a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.

数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
讲授新课
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x2＋7x＋6＝0；
(2)2x2－3x－2＝0.
解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6.
Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0.
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
1
x2
2. x12 x22
x1
3.
x2
4.( x1
5. x1
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 ;
2
1
x2
x1
x
( x1 x2 )2 2 x1 x2
;
x1 x2
2
2
x
x1 x2
1)( x2
x2
1)
( x1 x2 )2
x1 x2 ( x1
( x1
x2 ) 1;
x2 ) 2
4 x1 x2 .
讲授新课
x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
讲授新课
思考2
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二
次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数
又有怎样的关系呢？
讲授新课
归 纳
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反
反应了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数
之间的联系还有其他表现方式吗？
讲授新课
思考1
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0
(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为

( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 .
随堂即练
1.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的
值.
2.已知m，n 是一元二次方程x2+x－2 023=0的两个实数根，则
代数式m2+2m+n 的值等于(
)
A. 2021
B. 2022
C. 2023
D. 2024

2a
b
.
a
2
2
b b 2 4ac b b 2 4ac
x1 x2

2a
2a

b2 b2 4ac
4ac
2
4a
c
.
a
4a 2
典例精析
例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x2 +7x +6 = 0 ;
（2）2x2 - 3x -2 = 0 .
解： （1）这里 a = 1，b = 7，c = 6.
△ =b2-4ac = 72+4×1×6 = 49-24 = 25 > 0
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=-7， x1x2 = 6.
（2）这里 a = 2，b = -3，c = -2.
△ =b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2) = 9+16 = 25 > 0
第二章 一元二次方程
第5节 一元二次方程的根与系数的关系
复习回顾
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系.（重点）
2.会利用根与系数的关系解决有关的问题.（难点）

THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/182020/12/182020/12/182020/12/18
谢谢观看
(1)方程（3）与方程（1）（2）在形式 上有何区别 ？
【小组讨论2】
(1)在求两根的和与积时，必须 将方程怎样处理 ？
【针对训练】
【答案】
●总结梳理 整合提高
●当堂检测 反馈矫正
【答案】
9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/182020/12/18Friday, December 18, 2020
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/182020/12/182020/12/1812/18/2020 11:33:27 PM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/182020/12/182020/12/18Dec-2018-Dec-20 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/182020/12/182020/12/18Friday, December 18, 2020 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/182020/12/182020/12/182020/12/二次方程的根与系数的关系 的推导 ➢ 活动一：阅读课本第40页至第41页内容，相互

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021

1.一元二次方程根与系数的关系是什么？
如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么 X1+X2= -p,X1X2= q . 2、熟练掌握根与系数的关系； 3、灵活运用根与系数关系解决问题.
课后作业：基础题
5、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：
（1）
;（2) ;(3)
1、已知方程 是 ,且
的两个实数根 ,求k的值.
2、方程
பைடு நூலகம்
有一个正根，
一个负根，求m的取值范围。
谢谢！
一元二次方程根与系数的关系是法国数 学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达 定理.
归类探究
类型之一 利用根与系数的关系求方程的两根的和与积
例1： A
类型之二 ：利用根与系数的关系求与方程 两根有关的代数式的值
例2：
另外几种常见的求值:
类型之三:利用根与系数的关系解决已知一根 求另一根的问题 例3:已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根 为2，求方程的另一个根．
一元二次方程的根与系数的关系
根据所填写的表格，你能发现x1 + x2， x1x2与方 程的系数有什么关系？
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1+X2= 时， 注意“－ ”不要漏写。
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
如果方程x2+px+q=0的两根是X1,X2，那么 X1+X2=-p, X1X2= q.
能力提升
3、方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满
足x1＋x2＝x1x2，则m的值是 (
)
A．－2或3