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第六节几何概型【知识重温】一、必记2个知识点1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的①________（②________或③________）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为④________。
2．在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下：P（A）＝⑤______________________________________________________________________ __。
二、必明2个易误点1．计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等）转化为相应类型的几何概型问题．2．几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确（请在括号中打“√”或“×”)．(1）几何概型中,每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等．()（2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．（）（3）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(）（4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．（)二、教材改编2．某路公共汽车每5分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是()A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!3．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误!三、易错易混4．[2021·福建莆田质检]从区间（0,1）中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是（）A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!5．在区间［－1，2］上随机取一个数x,则x∈［0,1］的概率为________．四、走进高考6．[2017·全国卷Ⅰ］如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(）A。
几何计算公式
三角形的面积＝底×高÷2；公式：S=a×h÷2
正方形的面积＝边长×边长；公式：S=a×a
长方形的面积＝长×宽；公式：S=a×b
平行四边形的面积＝底×高；公式：S=a×h
梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2；公式：S=(a+b)h÷2
内角和：三角形的内角和＝180度。
长方体的体积＝长×宽×高；公式：V=abh
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高；公式：V=abh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；公式：V=aaa
圆的周长＝直径×π；公式：L＝πd＝2πr
圆的面积＝半径×半径×π；公式：S＝πr2
圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高；公式：S=ch=πdh＝2πrh
圆柱的表面积：圆柱的表面积=底面的周长×高+两头的圆的面积；公式：S=ch+2s=ch+2πr2
圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高；公式：V=Sh
圆锥的体积＝1/3底面×积高；公式：V=1/3Sh。
第十章 曲线积分与曲面积分(第六部分)曲面积分习题解答一、对面积的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑++dS y x z )342(，其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分． 分析 因为∑：1432=++z y x ，可恒等变形为∑：y x z 3424--=，又因被积函数y x z 342++与∑形式相同，故可利用曲面方程来简化被积函数，即将4342=++y x z 代入，从而简化计算。
解 平面∑方程的为)321(4yx z --=（如图）， ∑在xoy 面上的投影区域xy D ：0,0,132≥≥≤+y x yx ；34,2-=∂∂-=∂∂y z x z ，面积元素 dxdy dxdy y z x z dS 361122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 从而⎰⎰⎰⎰⋅=++∑xyD dxdy dS y x z 3614)342( 61432213614=⋅⋅⋅=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x |)|(，其中∑为1||||||=++z y x .解 由对称性可知，0=⎰⎰∑xd S ，由轮换对称性和代入技巧知，⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑=++=dS dS z y x dS y 31|)||||(|31||，再由曲面积分的几何意义知，34238=⋅=⎰⎰∑dS ，所以，334|)|(=+⎰⎰∑dS y x .y二、对坐标的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑dydz x 2．其中∑为球面2222R z y x =++在第一卦限部分的上侧。
分析 由于∑不是封闭曲面，且只是对坐标z y ,的曲面积分，故直接计算即可。
解 因∑：222z y R x --=取前侧，且∑在yoz 面上的投影区域为0 ,0 , :222≥≥≤+z y R z y D yz .于是得 ⎰⎰∑dydz x 2dydz z y R yzD ⎰⎰--=)(222⎰⎰⋅-θ=πRrdr r R d 02220 )(402228141212R r r R Rπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑++=ydzdx xdydz zdxdy I ．其中∑是柱面122=+y x 被平面0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧。
第十章几何的有关计算§10.1多边形的有关计算知识要点：◆ 正方形、长方形、平行四边形的周长与面积计算 ◆ 三角形的面积计算 ◆ 梯形的面积计算◆ 正多边形的面积计算。
能力要求：◆ 学会多边形的有关长度及面积的计算； ◆ 掌握复合图形面积的计算；◆ 掌握多边形面积的计算在板料用量和角料余量计算中的应用。
新知识：1正方形的周长与面积计算 如图10—1—1所示图10.1-12长方形的周长与面积计算 如图10.1-2所示图10.1-23 平行四边形的面积计算 如图10.1-3所示图10.1-34L a =2S a=2()L a b =+S ab=S ah=4三角形的面积计算 如图10.1-4所示图10.1- 4式中 表示三角形的边长， 表示三角形的 高 。
5梯形的面积计算 如图10.1-5所示图10.1-5表示梯形的上底边长，表示梯形的上底边长，表示梯形的高。
6正多边形的面积计算如图10.1-6所示表示正多边形的边长，表示正多边形的边数 ，表示正多边形的内切圆直径，表示正多边形的外接圆直径 。
12S ah=a h ()2a b h S +=a b h 4adS π=a n dD图10.1-6巩固及应用 ：例1 凸模固定板如图10.1-7所示，试求其阴影部分的面积。
图10.1-7(单位）凸模固定板解： 例2 角板如图10.1-8 所示，求其面积。
图10.1-8 (单位 ） 解：例3 将直径为的轴端洗成正六角形，试求板手开口宽度和六边形面积。
解：如图所示图10.1-9mm 212s s s -=)2010(25080⨯⨯-⨯=23600mm=mm 30002601001=⨯=s 240080240202=⨯+=s 54002400300021=+=+=s s s 2)(mm mm6464cos64)6l mm π===d l ==习题11试求如图10.1-10所示十字架柱横截面面积。
图10.1-102等腰梯形钢板，上底和下底的长度比是1：2且高等于下底，当其面积为6时，求两腰的长。
3型钢横截面如图10.1-11所示，求其面积。
如图10.1-11§10.2圆弧包围的平面知识要点：◆ 圆、椭圆的周长和面积的计算； ◆ 扇形的弧长和面积的计算； ◆ 复合平面的周长和面积的计算。
能力要求：◆ 学会由圆弧包围的平面的有关弧长，弦长，周长及面积的计算； ◆ 2掌握复合图形面积的计算； 新知识：1圆的周长和面积计算公式图10.2-164D mm =164322a mm=⨯=2mm 2l r d ππ==注意：表示半径；表示直径； 表示周长；表示面积。
2扇形的弧长，弦长和面积的计算公式（用弧度表示）图10.2-2注意：表示半径；表示直径；表示弧长；表示弦长；表示面积。
3椭圆的周长和面积的计算公式图10.2-3式中：表示椭圆的长半轴长；表示椭圆的长半轴长；表示椭圆的周长；表示椭圆的面积。
巩固及应用 ：例1 扇形钢板如图10.2-4所示（长度单位），求两个扇形围成的图形面积。
224d s r ππ==20.785s d ≈r d l s l r θ=θ2sin sin22AB r d θθ==224d s r ππ==R d l AB S ()l a b π=⨯+s ab π=a b l s dm图10.2-4解：答：两个扇形围成的图形面积是。
例2密封环如图10.2-5所示（长度单位），求其面积。
图10.2-5解：答：密封环的面积是。
例3连接件样板如图10.2-6所示（长度单位），求样板面积。
2221111150102233R s dm πθπ==⨯=22222211112236R s dm πθπ==⨯=21250116.536S R R dm πππ=-=-=216.5dm πmm 21114603604140044d D mm s πππ⨯⨯===22224003003000044d D mm s πππ⨯⨯===212414003000011400s s s mm πππ=-=-=211400mm πmm图10.2-6解：答：样板面积约等于习题10.21调整垫片如图10.2-7所示（长度单位），求圆和三角形之间围成的面积。
图10.2-7 2密封垫片如图10.2-8所示（长度单位），试求椭圆与圆之间围成的面积。
221128642mm s ππ=⨯⨯=223216512mm s =⨯=2233448mm s ππ=⨯=248972mm s =⨯=1234645126472s s s s s ππ=+--=+--16440π=+≈16440π=+≈4902mm 4902mmmm mm图10.2-83钢板制成的底板如图10.2-9所示（长度单位），其中圆为空心，试求其面积。
图10.2-9 底板 4标志钢牌如图10.2-10所示（长度单位），求标志钢牌的面积。
图10.2-10 标志钢牌§10.3立体图形的有关计算知识要点：◆ 棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台的表面积及体积计算； ◆ 球的表面积及体积计算； 能力要求：◆ 掌握棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台的表面积及体积计算； ◆ 掌握球的表面积及体积计算◆ 掌握复合立体图形的表面积及体积计算。
新知识：1棱柱的表面积及体积计算（1）棱柱的侧面积与全面积公式mmmm图10.3-1—侧棱长；—与侧棱垂直的棱柱截面周长；—底面面积。
(2)棱柱的体积公式式中 —高；—底面面积。
2圆柱的表面积及体积计算（1）圆柱的侧面积与全面积公式式中 —底面圆半径；—高。
图10.3-2(2)圆柱的体积公式式中 —底面圆半径；—高。
3棱锥的表面积及体积计算（1）棱锥的侧面积与全面积公式式中 —底面正多边形的周长； —斜高；—底面面积。
S Pl =侧2S S S =+侧全底l P S 底V S h =底h S 底2S Rh π=侧2222S S S Rh R ππ=+=+侧全底Rh 2V S h R h π==底R h 12S Pl =侧S S S =+侧全底P l S 底图10.3-3(2)棱锥的体积公式 式中 —高；—底面面积。
4圆锥的表面积及体积计算（1）圆锥的侧面积与全面积公式式中 —底面圆半径；—母线。
图10.3-4（2）圆锥的体积公式式中 —底面圆半径；—高。
5棱台的表面积及体积计算（1） 棱台的侧面积与全面积公式式中—上底面周长； —下底面周长； —斜高；—上底面面积； —下底面面积。
13V S h =底h S 底S Rl π=侧S S S =+侧全底2Rl R ππ=+Rl 211=33V S h R h π=底R h 121()2S P P l =+侧S S S S =++下侧全上2P 1P l S 上S 下图10.3-5(2)棱台的体积公式 式中—高；—上底面面积； —下底面面积。
6圆台的表面积及体积计算（1）圆台的侧面积与全面积公式式中 —上底面半径；—上底面半径；—母线；—上底面面积； —下底面面积。
图10.3-6(2)圆台的体积公式式中 —上底面半径；—上底面半径； —圆台的高；—上底面面积； —下底面面积。
7球的表面积及体积计算 （1）球的表面积公式1(S 3V h S =+下上h S 上S 下12()S R R l π=+侧S S S S =++下侧全上221212()R R l R R πππ=+++1R 2R l S 上S下1(S 3V h S =+下上2212121()3h R R R R π=++1R 2R h S 上S 下2V=4R π式中 —球的半径。
（2）球的体积公式式中 —球的半径。
图10.3-7 巩固及应用 ：例1 如图10.3-8所示为一正六棱柱，所有棱长都为，求它的表面积及体积。
图10.3-8解：答：正六棱柱表面积大约为，体积大约。
例2 如图10.3—9 所示为正三棱锥S —ABC,它的斜高SD=6.5cm,OD=2.5cm,OB=5cm 求其侧面积。
图10.3-9R 34V=3R πR3cm 263354()s cm =⨯⨯=侧2163)2s cm =⨯⨯=底22542100.8()s s s cm =+=+≈侧全底3370.1()v s h cm ==≈底2100.8cm 370.1cm解：如图10.3—9所示，据正三棱锥的性质可知，三角形SDO 与 三角形 SBO 都是直角三角形。
因此又在直角三角形 SBD 中 则答：正三棱锥S —ABC 的侧面积约为。
例3 生产100个圆台形铁桶，其尺寸为：高33cm, 下底圆直径20cm,上底圆直径30cm,一共需用多少薄铁板？ 解：设是母线长，则则每个铁桶的表面积为答：生产100个圆台形铁桶，一共需用约薄铁板。
例4一个球被一个平面所截，截得的圆面半径为6cm,球心到截面的距离为8cm ，求这个球的面积。
解：设球心的半径为 则答：这球的面积约为。
例5求 如图10.3-10（单位）所示组合体的体积。
()6SO cm ===)SB cm ===)BD cm ==)2BC cm ==()21133 6.584.4322S BC SD cm =⨯⨯⨯=⨯⨯≈侧284.43cm l ()33.4l cm =≈()()()223020202223.1433.4 3.142936cm ⨯+⨯+⨯≈22100293629360030cm m ⨯=≈2cm Rcm ()10R cm ==()22244 3.14101256S R cm π=≈⨯⨯=21256cm mm图10.3-10解：四棱柱的体积为 ，四棱柱的体积为。
例6 如图10.3-11（单位）所示铝制套管，不记烧损量，用直径20mm 的锻铝模锻制成，求所用材料的料长。
图10.3—11 解：答：所用材料的料长为 习题10.31一个棱台的体积为，两个底面面积分别为与，求棱台的高。
2 如要制成一个正六棱锥的烟囱铁帽，使其底面积边长为40cm,侧棱长为60cm ，需用多少铁板？3用铁板制造一个圆柱形的无盖铁桶，它的高为18m ，底面直径为0.65m ，如果焊接处的损耗占全面积百分之三，制造这样的铁桶共需多少铁板？4一个空心铁球的内径为6cm ，外径为8cm ，求这个空心铁球的重量（铁的密度为).5如图10.3-12所示，电镀螺杆用锌是 ，镀这样的螺杆100个，需要多少锌。
1V 2V 1212V V V S h S h =+=+16030183040182=⨯⨯+⨯⨯⨯()3324001080043200mm =+=mm 225024()100()9022V ππ=⨯-⨯22251001290ππ=⨯⨯-⨯⨯6250012960ππ=-349540()mm π=220()495402V h ππ==495.4()h mm =495.4mm 31720cm 250cm 2128cm 37g 20.11kg m图10.3-12第十章内容小结在实际生产过程中，我们经常遇到机械零件面积、体积等计算问题，它对考虑工程材料的消耗以及校验材料的强度（力除以面积）等直接相关。
