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y 2
, ,
y n
)
d2
y 2
,
d n
y n
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
10
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得 C AC B , 则称矩阵 A 与矩阵 B 合同，记为A B.
性质：①反身性
②对称性
等价
③传递性
因此，化二次型为标准型的问题就转化为如何使实对称 矩阵合同于一个对角阵的问题。
z
0
0 1 2 t Qt
0 1 6 0
则得
f 2z12 2z22 6z32 t12 t22 t32
24
而此标准形对应的可逆变换矩阵为
1 1 3 1 2 0
C2 C1Q 1
1
1
0
0
0 0 1 0 1 6
1 2 1 2
0
36 1 6 16
1 2 1 2
0
例：求二次型 f 的矩阵，并求二次型 f 的秩。
f ( x1, x2 , x3 ) x12 3 x32 4 x1 x2 x2 x3
解：
1 2 0
A 2 0
1
2
0
1
3
2
f 的秩=R(A)=3.
例：求二次型 f 的矩阵A：f ( x1, x2 , x3 ) x12 4x1x2 3x22.
1 1
16
1 2
P
1
2
0
1 1
6
3
1
1 6 2
1
,
3
1
P 1 AP
P AP
1
2
6 3
f y12 y22 2 y32
17
用配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形，其特点是保
持几何形状不变． 问题 有没有其它方法，也可以把二次型化
xi xj
yi yi
yj yj
xk yk
k 1,2,,n且k i, j
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方19 法配方.
例 把二次型
f
x12
2
x
2 2
5
x
2 3
2 x1
x2
2
x1 x3
6 x2
x3
化为标准形，并求合同变换矩阵。
解：注意到 f 中含有 x1 的平方项，先把含 x1 的项合并配方，
1 2
1
1
单位化
1
1 2
1 0
,2
1 6
1 2
15
当 = 2 时，解方程 ( A 2 E ) x 0
2 1 1 1 0 1
A 2E
1
1
2 1
1
0
2 0
1 0
1
0
x1 x2
x3 x3
0 0
1
得基础解系
p3
1
1
1
单位化
3
1 3
0 1 2
0
说明 化标准形时，可逆变换不同，则对应的标
准形不同；但不同标准形中却具有相同的正（负）
系数个数.
25
小结 将二次型化为标准形，可以用正交变换法，
也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取 决于问题的要求．
需要注意的是，使用不同的方法，所得到 的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数 必定相同，项数等于所给二次型的秩．
2a1n x1xn 2a2n x2 xn 2a3n x3 xn ann xn2
a11 a12
令
A
a21
a22
an1
an2
a1n
a2n
(aij
a ji ),
ann
x1
x
x2
xn
则二次型 f xT Ax（其中 A 为对称矩阵） A称为二次型 f 的矩阵, A的秩称为二次型 f 的秩. 4
设
x2
c21 y1
c22
y2
xn cn1 y1 cn2 y2
c1n yn , c2n yn ,
cnn yn
记 C cij , 则变换可以简记为x Cy
将其代入二次型 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y. 9
定理: 任给可逆矩阵C, 令B CT AC, 如果A为对称矩阵,
11
重要结论 由于对任意的实对称矩阵 A，总存在正交矩阵P，
使 P1AP PT，AP因 此 把这个结论应用于二次型， 即有
定理： 任给二次型 f xT Ax ( A AT )，总有正交变换
x Py，使 f 化为标准形 f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中 1 , 2 , , n 是 f 的矩阵 A 的特征值。
f
1 y12
n
y
2 n
.
例： 求一个正交变换 x Py, 把二次型
f 2x1 x2 2x1 x3 2x2 x3
化为标准形。
解：二次型的矩阵
0 1 1
A
1
0
1
1 1 0
1 1 1
1
| A E | 1 1 1 1
1 1 0 1 1
2 0 ( 1) 1 1 0 ( 1)2 ( 2)
f
( x1
x2
x3 )2
x
2 2
x
2 3
2 x2 x3
2
x
2 2
5
x
2 3
6 x2 x3
( x1
x2
x3 )2
x
2 2
4 x2 x3
4
x
2 3
再把含 x2 的项合并配方，
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2
20
y1 x1 x2 x3
令
y2
x2
2 x3
y3
26
第4章 欧几里得空间与二次型
第四节 正定二次型
一、惯性定理
二次型的标准形显然不是唯一的,只是标准形 中所含项数是确定的(即是二次型的秩). 不仅如此, 在限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是 不变的(从而负系数的个数也不变), 也就是有以下 定理.
27
定理（惯性定理）：
设二次型 f xT Ax, 秩为 r ，可逆变换 x Cy, x Pz
f
2( y1
y3 )2
2
y
2 3
2
y 22
8
y2
y3
2( y1 y3 )2 2( y2 2 y3 )2 6 y32
22
再令
z1 y1 y3
z2
y2
2 y3
z3
y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
y
1
1
即
y
2
y 3
0 0
0 1 0
1 2 1
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特
征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
分别把二次型变为标准形
f k1 y12 k2 y22
kr
y
2 r
(ki 0)
f
1 z12
2
z
2 2
r
z
2 r
(i 0)
则 k1 , k2 , , kr与1 , 2 , , r中值为正的个数相等。
其中值为正的个数称为二次型的正惯性指数， 其中值为负的个数称为二次型的负惯性指数。
比较常用的二次型是系数全为正或全负的情形。 28
0 11
特征值为 = -1, 2
14
当 = 1 时，解方程 ( A E ) x 0
1 1 1 1 1 1
A
E
1 1
1 1
1 1
0 0
0 0
0 0
x1 x2 - x3 0
1
1
得基础解系
p1
1
，p2
0
0
1
1
正交化
1 p1 ,
2
p2
[[11,,p12]]1
1 2
f (x, y) x2 y2 5 f (x, y) 2x2 y2 2x
不是二次型。
2
定义：只含有平方项的二次型
f ( x1, x2
,
xn )
a11 x12
a
22
x
2 2
ann
x
2 n
称为二次型的标准形（或法式）。
定义：特别地，称
f ( x1, x2 , , xn ) x12
x
2 p
第4章 欧几里得空间与二次型
第三节 二次型及其标准型 一、n 元二次型
定义：含有 n 个变量 x1 , x2 , , xn 的二次齐次多项式
f ( x1, x2 ,
, xn ) a11x12 2a12 x1x2 a22 x22 2a23 x2 x3 a33 x32
2a1n x1xn 2a2n x2 xn 2a3n x3 xn
x
2 p1
称为二次型的规范形。
x
2 pq
(
p
q
n)
例如： f
x1, x2 , x3
2 x12
4
