(江苏专用)2018年高考数学总复习 专题1.2 常用逻辑用语试题(含解析)

专题1.2 常用逻辑用语1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】若命题:p x R ∃∈，使210x ax ++<则：:p ⌝____________．【答案】x R ∀∈，使210x ax ++≥【解析】命题:p x R ∃∈，使210x ax ++<的否定为：x R ∀∈，使210x ax ++≥．【答案】2,10x x x ∀∈-+>R【解析】命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是2,10x x x ∀∈-+R >【答案】1>∀x ，使得22<x题．（填 “真”或“假”） 【答案】假6. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知命题:||4p x a -<，命题:(1)(2)0q x x -->，若p【答案】【解析】:44p a x a -<<+，:12q x <<，因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的真子集，即41,2425a a a -≤≤+⇒-≤≤7. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】“三个数a ， b ，c 成等比数列”是“2b ac =”【答案】充分不必要a ，b ，c 不成等比数列，必要性不成立，所以“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的充分不必要条件．8. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象要”，“既不充分也不必要”） 【答案】必要而不充分9. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】设实数1a >，1b >，则“a b <”是之一填空） 【答案】充要()()ln ln a b f a f b a a b b <⇔>⇔->-⇔ln ln a b a b ->-，即“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的充要条件．10. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[]13-，【解析】因为命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是假命题,所以命题01)1(,2≥+-+∈∀x a x R x 是真命题, 故04)1(2≤--a ,即212≤-≤-a ,也即31≤≤-a ,故应填答案[]13-，.11. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知命题2:,20p x R x x a ∃∈++≤是真命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】1a ≤【解析】由题设方程022=++a x x 有解,故044≥-a ,即1≤a ,故应填答案1a ≤.12. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】命题“若ln ln a b >，则a b >”是____________命题（填“真”或“假”）． 【答案】真【解析】因为函数x y ln =是单调递增函数,故由ln ln a b >可得a b >,故应填答案真.13. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的_________条件. （填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件” ） 【答案】必要不充分条件14. αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥【答案】充要 【解析】充分性：∵m αβ=，∴m α⊂，m β⊂，∵//l m ，l α⊄，l β⊄，∴//l α，//l β；。

专题1.2 常用逻辑用语1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】若命题:p x R ∃∈，使210x ax ++<则：:p ⌝____________．【答案】x R ∀∈，使210x ax ++≥【解析】命题:p x R ∃∈，使210x ax ++<的否定为：x R ∀∈，使210x ax ++≥．【答案】2,10x x x ∀∈-+>R【解析】命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是2,10x x x ∀∈-+R >【答案】1>∀x ，使得22<x2命题．（填 “真”或“假”） 【答案】假6. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知命题:||4p x a -<，命题:(1)(2)0q x x -->，若p【答案】【解析】:44p a x a -<<+，:12q x <<，因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的真子集，即41,2425a a a -≤≤+⇒-≤≤7. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】“三个数a ， b ，c 成等比数列”是“2b ac =”【答案】充分不必要但a ，b ，c 不成等比数列，必要性不成立，所以“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的充分不必要条件．8. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图要”，“既不充分也不必要”） 【答案】必要而不充分9. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】设实数1a >，1b >，则“a b <”是中之一填空） 【答案】充要()()ln ln a b f a f b a a b b <⇔>⇔->-⇔ln ln a b a b ->-，即“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的充要条件．10. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[]13-，【解析】因为命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是假命题,所以命题01)1(,2≥+-+∈∀x a x R x 是真命题, 故04)1(2≤--a ,即212≤-≤-a ,也即31≤≤-a ,故应填答案[]13-，.11. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知命题2:,20p x R x x a ∃∈++≤是真命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】1a ≤【解析】由题设方程022=++a x x 有解,故044≥-a ,即1≤a ,故应填答案1a ≤.12. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】命题“若ln ln a b >，则a b >”是____________命题（填“真”或“假”）． 【答案】真【解析】因为函数x y ln =是单调递增函数,故由ln ln a b >可得a b >,故应填答案真.13. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的_________条件. （填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件” ） 【答案】必要不充分条件14. αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l【答案】充要 【解析】充分性：∵m αβ=，∴m α⊂，m β⊂，∵//l m ，l α⊄，l β⊄，∴//l α，//l β；。

1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.(×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(×)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题.(√)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(√)(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.(√)(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.(√)1.下列命题中为真命题的是________.(填序号)①命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；②命题“若x>1，则x2>1”的否命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题.答案①解析对于①，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.2.(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________________________.答案若x≤y，则x2≤y2解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.3.(教材改编)给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④命题“若m>1，则不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.其中真命题的序号为________.答案①②③解析①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题.②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC为等边三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等边三角形的定义可知其为真命题.③原命题“若a >b >0，则3a >3b >0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题.④原命题的逆命题为：“若不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1”，不妨取m ＝2验证，当m ＝2时，有2x 2－6x －1>0，Δ＝(－6)2－4×2×(－1)>0，其解集不为R ，故为假命题.4.(2016·北京改编)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的______________条件. 答案 既不充分又不必要解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分又不必要条件. 5.在下列三个结论中，正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件. 答案 ①②解析 易知①②正确.对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误.题型一 命题及其关系例1 (2016·扬州模拟)下列命题： ①“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题； ②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a >1，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题； ④“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”的逆否命题. 其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ③④解析 对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是__________.(2)(2016·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是______________________________.答案(1)若x≤0，则x2≤0(2)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3解析(2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.题型二充分必要条件的判定例2(1)(2016·江苏南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)(2)(2016·泰州模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为________.答案(1)必要不充分(2)③解析(1)根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l⊥m”推不出“l⊥α”，但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”，故填必要不充分. (2)因为函数y＝3x在R上为增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错；当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③正确.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.(1)函数f(x)＝13x－1＋a(x≠0)，则“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写) (2)(2017·镇江质检)已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，q ：a >0或a <－1，则p 是q 的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写) 答案 (1)充要 (2)必要不充分解析 (1)f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝0，所以a ＝12，此时f (1)＝13－1＋12＝1，反之也成立，因此填“充要”.(2)关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，则4a 2＋4a ≥0⇒a ≤－1或a ≥0，从而q ⇒p ，反之不成立，故p 是q 的必要不充分条件. 题型三 充分必要条件的应用例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]. 引申探究1.若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.2.本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇏P .∴[－2，10][1－m ，1＋m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞).思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.(2016·盐城期中)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3<0}，集合B ＝{x ||x ＋a |<1}.(1)若a ＝3，求A ∪B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)解不等式x 2＋2x －3<0， 得－3<x <1，故A ＝(－3，1). 当a ＝3时，由|x ＋3|<1，得－4<x <－2，故B ＝(－4，－2)， 所以A ∪B ＝(－4，1).(2)因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. 又集合A ＝(－3，1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1≥－3，－a ＋1<1或⎩⎪⎨⎪⎧－a －1>－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.1.等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ，q 是两个命题，那么“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的__________条件.(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________.思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.解析 (1)因为“p ∧q 是真命题”等价于“p ，q 都为真命题”，且“綈p 是假命题”等价于“p 是真命题”，所以“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的充分不必要条件.(2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件. 所以{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1. 答案 (1)充分不必要 (2)[1，＋∞)1.下列命题中的真命题为________.(填序号) ①若1x ＝1y ，则x ＝y ；②若x 2＝1，则x ＝1； ③若x ＝y ，则x ＝y ； ④若x <y ，则x 2<y 2. 答案 ①2.(教材改编)命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________________. 答案 若a ≤b ，则2a ≤2b －1解析 ∵“a >b ”的否定是“a ≤b ”，“2a >2b －1”的否定是“2a ≤2b －1”，∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”.3.(2016·南京模拟)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________. 答案 1解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个. 4.(2015·重庆改编)“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的____________条件.答案 充分不必要解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的充分不必要条件.5.(2016·山东改编)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的______________条件. 答案 充分不必要解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交.6.已知集合A ＝{x ∈R |12<2x <8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是__________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x ∈R |12<2x <8}＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.7.设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的________条件. 答案 充要解析 由Venn 图易知充分性成立.反之，A ∩B ＝∅时，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件.*8.(2015·湖北改编)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则下列说法正确的是________.(填序号)①p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件； ②p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件； ③p 是q 的充分必要条件；④p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件. 答案 ②解析 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q 2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件.取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件.9.(2016·无锡模拟)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的__________条件. 答案 充要解析 设f (x )＝x |x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以f (x )是R 上的增函数，所以“a >b ”是“a |a |>b |b |”的充要条件. 10.有三个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题. 其中真命题的序号为____________. 答案 ①解析 命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.11.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充要解析 ∵x ∈[0，1]时，f (x )是增函数， 又∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数. 当x ∈[3，4]时，x －4∈[－1，0]， ∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4).故x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，充分性成立. 反之，若x ∈[3，4]时，f (x )是减函数， 此时x －4∈[－1，0]， ∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)， 则当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数. ∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，必要性也成立.故“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的充要条件.12.若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________. 答案 [0，2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 13.若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是___________. 答案 [32，＋∞)解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是可得3>2λ，即λ<32.故所求λ的取值范围是[32，＋∞).*14.下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件.正确的是________.答案①④解析由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，所以③不正确，④正确.15.已知数列{a n}的前n项和为S n＝p n＋q(p≠0，且p≠1).求证：数列{a n}为等比数列的充要条件为q＝－1.证明充分性：当q＝－1时，a1＝p－1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝p n－1(p－1)，当n＝1时也成立.∴a n＝p n－1(p－1)，n∈N*.又a n＋1a n＝p n(p－1)p n－1(p－1)＝p，∴数列{a n}为等比数列.必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝p n－1(p－1). ∵p≠0，且p≠1，{a n}为等比数列，∴a2a1＝a n＋1a n＝p.∴p(p－1)p＋q＝p，即p－1＝p＋q，∴q＝－1.综上所述，q＝－1是数列{a n}为等比数列的充要条件.。

专题1.2 常用逻辑用语【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 已知a ≠0，命题“若a >0，则ax －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >2a ”的否命题是____________________．【答案】若a ≤0，则ax －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≤2a 或∅ 【解析】 根据原命题与否命题的关系写出否命题．2． 若{x |y ＝2x }∩{x |y ＝ax －1}＝∅是真命题，则a 的值是________. 【答案】2【解析】依题意，直线y ＝2x 与y ＝ax －1平行，所以a ＝2.3． 已知集合A ＝{1，2，a }，B ＝{－1，0，1，2}，则“a ＝－1”是“A ⊆B ”的________条件． 【答案】充分不必要题组二 常错题4．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是________________________________．【答案】若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0【解析】 “若p ，则q ”的逆否命题为“若非q ，则非p ”，又a ＝b ＝0的实质为a ＝0且b ＝0，故其否定为a ≠0或b ≠0.5．已知命题“对任意a ，b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是__________________________．【答案】对任意a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0【解析】 因为ab >0，a >0的否定分别为ab ≤0，a ≤0，所以原命题的否命题为“对任意a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0”．6．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________________． 【答案】【解析】 由题意可知，ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0.故－3≤a ≤0. 7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的______________条件． 【答案】充分不必要【解析】 依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于r ⇒/ p ，∴q ⇒/ p . 题组三 常考题8．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的否命题是________________________________________________________________________． 【答案】若m ≤0，则方程x 2＋x －m ＝0没有实根9．命题“若函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题是________________________________________________________________________． 【答案】若log a 2≥0(a ＞0，a ≠1)，则函数f (x )＝log a x 在其定义域内不是减函数 【解析】 “若函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在定义域内是减函数，则log a 2＜0”的条件的否定是“在定义域内不是减函数”，结论的否定是“log a 2≥0”． 10．设A ，B 是两个集合，则“A ∪B ＝B ”是“A ⊆B ”的________条件． 【答案】充要【解析】 由题意，A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，反之，A ⊆B 可得A ∪B ＝B ，故“A ∪B ＝B ”是“A ⊆B ”的充要条件．【知识清单】1．四种命题2．四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．3. 充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．5．简单的逻辑联接词⌝的真假判断：1. 命题p∧q，p∨q，pp∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．2．正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．6. 全称量词与存在性量词1．含有一个量词的命题的否定2.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：【考点深度剖析】简易逻辑近年均没有单独考查，多为以其他知识为载体考查思想方法.如在立体几何证明过程中考查充要关系【重点难点突破】考点1 命题及其关系【1-1】 命题“若0a <，则一元二次方程20x x a ++=有实根”的原命题与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是 .【答案】2【1-2】 命题中①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题；④“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题，正确的是 .【答案】①③④【解析】 ①中否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m ，当m >0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确． 【思想方法】1．由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．2. 对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．【温馨提醒】“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论. 考点2 充分条件与必要条件【2-1】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知命题:||4p x a -<，命题:(1)(2)0q x x -->，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】【解析】:44p a x a -<<+，:12q x <<，因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的真子集，即41,2425a a a -≤≤+⇒-≤≤【2-2】【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的 条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【思想方法】1．判断“p 是q 的什么条件”的实质是对命题“若p ，则q”与“若q ，则p”的真假的确定．2. 判断充分条件，必要条件，充要条件的方法： (1)利用定义判断①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； ②若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； ③若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； ④若p ⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； ⑤若p /⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； ⑥若p /⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件 (2) 利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A B Ø，则p 是q 的充分不必要条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； 若A B Ù，则p 是q 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A /⊆B ，且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．【温馨提醒】注意区分“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q ”两者的不同，前者是“p ⇒q ”而后者是“q ⇒p ”．. 考点3 简单的逻辑联接词【3-1】已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则在命题p q ∨，p q ∧，()p q ∧⌝，()p q ∨⌝中真命题是 .【答案】()p q ∧⌝和()p q ∨⌝【3-2】如果命题()p q ⌝∨为假命题，则命题p 、q 的真假为 . 【答案】p 、q 中至少有一个为真.【解析】因为命题()p q ⌝∨为假命题，则p q ∨为真命题，所以p 、q 中至少有一个为真. 【思想方法】1. “或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2. 一个复合命题，从字面上看不一定有“或”“且”“非”字样，这样需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“或”“且”“非”的关系，如“或者”“x＝±1”“≤”的含义为“或”；“并且”“1x ≠±”的含义为“且”；“不是”“/⊆”的含义为“非”． 【温馨提醒】⌝p 为对一个命题p 全盘否定，读作“非p ”或“p 的否定”． p 与p ⌝的并集应是全集，考点4 全称量词与存在性量词【4-1】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是 ▲ ．【答案】2,10x x x ∀∈-+>R【解析】命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是2,10x x x ∀∈-+R >【4-2】【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ． 【答案】()0,2x π∃∈，sin 1≥【思想方法】1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p(x)成立；但要判断全称命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可．2．要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =使0()p x 成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． 4．要判断“p ⌝”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p ”的真假，p 与p ⌝的真假相反．【温馨提醒】全称命题(特称命题)的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．【易错试题常警惕】1.充分条件、必要条件的判断问题，一般是必须从正、反两个方面进行推理论证，缺一不可，再根据充分条件、必要条件的定义进行判断．如：设a ，R b ∈，且0a ≠，则“()20a b a -<”是“a b <”的________条件．【分析】因为0a ≠，所以20a >．由()20a b a -<得0a b -<，即a b <．所以“()20a b a -<”是“a b <”的充分条件．反之，因为a ，R b ∈，且0a ≠，所以20a >．因为a b <，即0a b -<，所以()20a b a -<．所以“()20a b a -<”是“a b <”的必要条件．【易错点】忽略题中“0a ≠”这一条件而致误．2.全称命题、特称命题的否定问题，一定要否定量词和结论． 如：已知命题:p 0x ∀>，总有()11xx e +>，则p ⌝为________．【分析】“0x ∀>”的否定为“00x ∃>”，“ ()11x x e +>”的否定为“()11x x e +≤”， 所以命题p 的否定为“00x ∃>，使得()0011xx e +≤”．【易错点】全称命题、特称命题的否定容易出现只否定结论，没有否定量词而致误．。

训练目标集合与常用逻辑用语概念的再深化．训练题型(1)集合的基本运算；(2)四种命题及真假判断；(3)充要条件的判断；(4)量词．解题策略(1)根据集合运算的定义进行，同时注意数形结合思想的应用；(2)了解相关概念，注意逻辑推理的严谨性.的集合为________________．2．(2016·石家庄模拟)定义A×B＝{z|z＝xy，x∈A且y∈B}，若A＝{x|－1＜x ＜2}，B＝{－1,2}，则A×B＝________________.3．(2016·常州模拟)“c＜0”是“实系数一元二次方程x2＋x＋c＝0有两个异号实根”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)4．(2016·徐州二模)给出以下命题：①∀x∈R，|x|＞x；②∃α∈R，sin3α＝3sinα；③∀x∈R，x＞sin x；④∃x ∈(0，＋∞)，(12)x＜(13)x.其中正确命题的序号是________．5．(2016·如皋中学阶段练习)已知集合A＝{1,2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{12}，则A∪B＝______________.6．(2016·郑州模拟)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x0∈R，x30＝1－x20，则下列命题中为真命题的是________________．(填序号)①p∧q；②(綈p)∧q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．7．(2017·广东七校联考)下列有关命题的说法正确的是________．①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题；④命题“∃x∈R使得x2＋x＋1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1＜0”．8．(2016·苏州模拟)下列命题中正确的个数是________．①命题“若m＞－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x －m＝0有实根，则m＞－1”；②“x≠1”是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件；③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．9．(2016·镇江模拟)有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为________．(填写所有真命题的序号)10．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 11．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是__________________．12．已知命题“∃x∈{x|－1＜x＜1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题，则实数m的取值范围是________．13．(2016·成都一诊)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝log3(x ＋1)．若关于x的不等式fx2＋a(a＋2)]≤f(2ax＋2x)的解集为A，函数f(x)在－8,8]上的值域为B，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．14．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若满足∀x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，则m的取值范围是________________．答案精析1．{x |0≤x ≤1} 2.{x |－2＜x ＜4}3．充要 4.② 5.{－1,1，12} 6.②7．③解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，①不正确；由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或6，因此“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，②不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，其逆否命题为真命题，③正确；命题“∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，④不正确．综上可得只有③正确． 8．1解析 对于①，命题“若m ＞－1，则方程x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋2x －m ＝0有实根，则m ＞－1”，故①正确；对于②，由x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝1或x ＝2，∴“x ≠1”不是“x 2－3x ＋2≠0”的充分不必要条件，故②错误；对于③，若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故③错误．∴正确命题的个数为1. 9．①②③解析 ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x 2－2x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1，所以“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误． 10．充分不必要解析 由(a ＋b i)2＝2i ，得⎩⎨⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－1.故“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件． 11．{a |a ≤0或a ≥6}解析 |x －a |＜1⇔－1＜x －a ＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1，又B ＝{x |1＜x ＜5}，A ∩B ＝∅，故a ＋1≤1或a －1≥5，即a ≤0或a ≥6.12．－14，2)解析 由题意得，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，所以m 的取值集合就是函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域． 所以－14≤m ＜2.13．－2,0]解析 ∵x ≥0时，奇函数f (x )＝log 3(x ＋1)，∴函数f (x )在R 上为增函数， ∴f (x )在－8,8]上也为增函数， 且f (8)＝log 3(8＋1)＝2，f (－8)＝－f (8)＝－2，∴B ＝{x |－2≤x ≤2}．∵fx 2＋a (a ＋2)]≤f (2ax ＋2x )，∴x 2＋a (a ＋2)≤2ax ＋2x ，即x 2－(2a ＋2)x ＋a (a ＋2)≤0，a ≤x ≤a ＋2，A ＝{x |a ≤x ≤a ＋2}． ∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A B ，即⎩⎨⎧a ≥－2，a ＋2≤2(两等号不能同时取得)， ∴－2≤a ≤0. 14．(－4,0)解析 f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数． 若∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0， 则必须有抛物线开口向下，即m ＜0. 又∵当x ≥1时，g (x )≥0； 当x ＜1时，g (x )＜0. ∴当x ≥1时，f (x )＜0.f (x )＝0有两根x 1＝2m ，x 2＝－m －3. 当x 1＞x 2，即m ＞－1时， 则x 1＜1，即m ＜12，∴－1＜m ＜0；当x 1＜x 2，即m ＜－1时， 则x 2＜1，即m ＞－4， ∴－4＜m ＜－1；当x1＝x2，即m＝－1时，x＝x2＝－2＜1.1综上可知，m的取值范围为－4＜m＜0.。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固题组（建议用时:20分钟)1．已知命题p：所有指数函数都是单调函数,则綈p为________．解析命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它不是单调函数．答案存在一个指数函数，它不是单调函数2．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为错误!；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝错误!对称．则下列结论:①p为真；②綈p为假；③p∧q为假；④p∧q为真．其中结论正确的有________(填序号）．解析p为假命题，q为假命题,∴p∧q为假．答案③3．命题“∃x0∈错误!,tan x0>sin x0”的否定是________．答案∀x∈错误!，tan x≤sin x4．若命题“∃x0∈R，使得x错误!＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析∵“∃x0∈R，使得x2，0＋(a－1）x0＋1＜0"是真命题，∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即（a－1）2＞4，∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1.答案(－∞，－1）∪（3，＋∞)5．2016年巴西里约奥运会,在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加．设命题p是“甲落地站稳"，q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳"可表示为________．解析命题“至少有一位队员落地没有站稳"包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳,乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳"，故可表示为(綈p）∨（綈q)．或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳"等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p∧q"的否定．答案(綈p）∨（綈q）6．(2017·泰州调研)已知命题p：对任意x∈R，总有｜x｜≥0;q:x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题:①p∧（綈q)；②（綈p)∧q；③（綈p)∧（綈q）；④p∧q.其中真命题有________（填序号）．解析由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题,由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧（綈q)是真命题．答案①7．下列命题：①∃x0∈R，e x0≤0；②∀x∈R,2x>x2；③a＋b＝0的充要条件是错误!＝－1；④“a>1，b>1”是“ab>1"的充分条件．其中真命题有________(填序号）．解析因为y＝e x〉0，x∈R恒成立，所以①不正确．因为当x＝－5时，2－5〈(－5）2，所以②不正确．“ab＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件,③不正确．当a>1，b〉1时，显然ab>1，④正确．答案④8．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是________．解析因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0,所以命题綈p：∃x0∈R，ax20＋ax0＋1〈0,则a〈0或错误!解得a<0或a>4。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试要求 1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，A级要求；2.全称量词与存在量词的意义，A级要求；3.对含有一个量词的命题否定，A级要求．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)简单逻辑联结词有或(符号为∨)、且(符号为∧)、非(符号为綈)．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．(3)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)存在性命题：含有存在量词的命题．存在性命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题．( )(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．( )(3)“长方形的对角线相等”是存在性命题．( )(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( )解析(1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．(2)错误．p ∧q 是真命题，则p ，q 都是真命题． (3)错误．命题“长方形的对角线相等”是全称命题． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为________． 解析 p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题． 答案 23．(2015·全国Ⅰ卷改编)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，则綈p 为________． 解析 命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”，∴綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n. 答案 ∀n ∈N ，n 2≤2n4．命题“对于函数f (x )＝x 2＋ax(a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶函数”为________命题(填“真”或“假”)．解析 当a ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，所以命题“对于函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶函数”为真命题． 答案 真5．(2015·山东卷)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1. 答案 1考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 【例1】 设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∧(綈q )． 其中真命题是________(填序号)．解析 取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题． 又a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ， ∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，∴q 是真命题． 综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题． 又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题． ∴(綈p )∧(綈q )，p ∧(綈q )都是假命题．答案 ①规律方法 (1)“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：①明确其构成形式；②判断其中命题p ，q 的真假；③确定“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题的真假．(2)p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”．【训练1】 (2017·南通调研)命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0,1)．在命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④綈q 中，真命题有________(填序号)．解析 由于y ＝log 2(x －2)在(2，＋∞)上是增函数， ∴命题p 是假命题． 由3x>0，得3x＋1>1，所以0<13x＋1<1， 所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，故命题q 为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题． 答案 ②考点二 含有一个量词命题的否定及真假判定【例2】 (1)(2016·扬州中学质检)已知命题p ：∀x ∈R ，e x－x －1>0，则綈p 是________________．(2)(2014·全国Ⅰ卷改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，x 0＋2y 0≤－1.其中真命题是________．解析 (1)因为全称命题的否定是存在性命题，命题p ：∀x ∈R ，e x－x －1>0的否定为綈p ：∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0.(2)画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y ，经过可行域的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2，是真命题．答案 (1)∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0 (2)p 1，p 2规律方法 (1)全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．【训练2】 (2017·安徽皖江名校联考改编)命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为________．解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又存在性命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题．则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题．∴四个命题中正确的有2个命题． 答案 2考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例3】 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析 (1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，则－1<a <3.(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.答案 (1)(－1,3) (2)[2，＋∞)规律方法 (1)根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： ①根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； ②求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ③根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． (2)全称命题可转化为恒成立问题．【训练3】 (2017·衡水中学月考)设p ：实数x 满足x 2－5ax ＋4a 2<0(其中a >0)，q ：实数x 满足2<x ≤5.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈q 是綈p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，x 2－5ax ＋4a 2<0即为x 2－5x ＋4<0，解得1<x <4， 当p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <4. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是(2,4)．(2)綈q 是綈p 的必要不充分条件，即p 是q 的必要不充分条件． 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A . 由x 2－5ax ＋4a 2<0得(x －4a )(x －a )<0， ∵a >0，∴A ＝{x |a <x <4a }，又B ＝{x |2<x ≤5}，则a ≤2且4a >5，解得54<a ≤2.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤54，2.[思想方法]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p ∨q →见真即真，p ∧q →见假即假，p 与綈p →真假相反．3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”． [易错防范]1．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p ”，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真． 2．几点注意：(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定； (3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．基础巩固题组(建议用时：20分钟)1．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为________．解析 命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为：存在一个指数函数，它不是单调函数．答案 存在一个指数函数，它不是单调函数2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列结论：①p 为真；②綈p 为假；③p ∧q 为假；④p ∧q 为真． 其中结论正确的有________(填序号)． 解析 p 为假命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假． 答案 ③3．命题“∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0>sin x 0”的否定是________．答案 ∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x 4．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题， ∴Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4， ∴a －1＞2或a －1＜－2，∴a ＞3或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)5．2016年巴西里约奥运会，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为________． 解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p )∨(綈q )．或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p ∧q ”的否定． 答案 (綈p )∨(綈q )6．(2017·泰州调研)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题：①p ∧(綈q )；②(綈p )∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∧q . 其中真命题有________(填序号)．解析 由题意知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故綈p 是假命题，綈q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧(綈q )是真命题． 答案 ① 7．下列命题： ①∃x 0∈R ，e x 0≤0； ②∀x ∈R,2x >x 2；③a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1； ④“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件． 其中真命题有________(填序号)．解析 因为y ＝e x>0，x ∈R 恒成立，所以①不正确． 因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以②不正确．“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，③不正确． 当a >1，b >1时，显然ab >1，④正确． 答案 ④8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4.答案 (－∞，0)∪(4，＋∞)9．(2017·衡阳模拟改编)已知命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1>0.则下面结论：①p ∧q 是真命题；②p ∧q 是假命题；③綈p 是真命题；④綈q 是真命题． 其中正确的结论是________(填序号)．解析 对于p ：取α＝π2，则cos(π－α)＝cos α，所以命题p 为真命题；对于命题q ：∵x 2≥0，∴x 2＋1>0，所以q 为真命题．由此可得p ∧q 是真命题． 答案 ①10．(2017·苏北四市联考)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________．解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，若命题p ，q 均为真命题，则此时－2<m ≤－1.因为p ∧q 为假命题，所以命题p ，q 中至少有一个为假命题，所以m ≤－2或m >－1.答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)11．(2017·南通、扬州、泰州调研)给出下列四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”； ②“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0； ④若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中为真命题的是________(填序号)． 解析 显然①③正确．②中，x 2－3x ＋2>0⇔x >2或x <1.∴“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，②正确． ④中，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，④错误． 答案 ①②③12．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x，得a ≥e；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，得a ≤4，因此e≤a ≤4. 答案 [e,4]能力提升题组 (建议用时：10分钟)13．(2016·浙江卷改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是____________________． 解析 改变量词，否定结论．∴綈p 应为：∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20. 答案 ∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 214．(2017·昆明一中质检)已知命题p ：∀x ∈R ，x ＋1x≥2；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 20＞x 30，则下列命题：①(綈p )∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧(綈q )；④p ∧q ， 其中真命题是________(填序号)．解析 对于p ：当x ＝－1时，x ＋1x＝－2，∴p 为假命题．取x 0∈(0,1)，此时x 20＞x 30，∴q为真命题．从而綈p 为真命题，(綈p )∧q 为真命题． 答案 ①15．(2016·苏、锡、常、镇四市调研)给出下列三个结论：①若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题；②命题“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 30－x 20－1>0”； ③“若a ∥c 且b ∥c ，则a ∥b ”是真命题． 其中正确的结论为________(填序号)． 解析 显然命题①，②是真命题． ③中，当向量c ＝0，命题是假命题． 答案 ①③16．已知命题p ：∃x ∈R ，e x－mx ＝0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真． 由e x－mx ＝0得m ＝e xx ，设f (x )＝exx，则f ′(x )＝e x ·x －exx2＝x －xx 2.当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增； 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减； 当x ＜0时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减．由f (x )的图象及单调性知当x ＝1时，f (x )＝e xx 取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝exx的值域为(－∞，0)∪[e ，＋∞)，所以若p 是假命题，则0≤m ＜e ； 命题q 为真命题时，有Δ＝4m 2－4≤0，则－1≤m ≤1. 所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是[0,1]． 答案 [0,1]。

②p∨q；③p∧【綈q)；④【綈p)∨q中，真命题是________．【填序号)2．命题p的否定是“对所有正数x，x＞x＋1”，则命题p可写为________________________．3．【2016·肇庆统测)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，则a⊥b；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中假命题是________．【填序号)①p∧q；②p∨q；③【綈p)∨q；④【綈p)∨【綈q)．4．已知命题p：x2－2x－3＜0，q：1x－2＜0，若p∧q为真，则x的取值范围是________．5．下列四个命题：①“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定；②“若x2＋x－6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sin A＞12”的充分不必要条件；④“函数f【x)＝tan【x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ【k∈Z)”．其中真命题的序号是________．【填序号)6．【2016·镇江模拟)若命题“∃x∈【1,2)，满足不等式x2＋mx＋4≥0”是假命题，则m的取值范围是__________．7．【2016·泰州一模)已知函数f【x)＝x2，g【x)＝【12)x－m，若∀x1∈－1,3]，∃x2∈0,2]，使得f【x1)≥g【x2)，则实数m的取值范围是__________．8．【2016·南京模拟)由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是【a，＋∞)，则实数a的值是________．9．已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧【綈q)”是假命题；③命题“【綈p)∨q”是真命题；④命题“【綈p)∨【綈q)”是假命题．其中正确的命题是________．【填序号)10．【2016·临夏期中)下列结论正确的有________．【填序号)①命题“若p，则q”与命题“若綈q，则綈p”互为逆否命题；②命题p：∀x∈0,1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2＋x＋1＜0，则p∨q为真；③若p∨q为假命题，则p，q均为假命题；④“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题．11．【2016·淮安模拟)已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1＜3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“【綈p)∧【綈q)”为真命题；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．12．【2016·宿迁模拟)已知命题p：∀a∈R，方程ax＋4＝0有解；命题q：∃m＞0，直线x＋my－1＝0与直线2x＋y＋3＝0平行．给出下列结论，其中正确的有________个．①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧【綈q)”是真命题；③命题“【綈p)∨q”是真命题；④命题“【綈p)∨【綈q)”是真命题．13．【2016·石家庄二模)已知命题p：x2－3x－4≤0，命题q：x2－6x＋9－m2≤0，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________________．14．设命题p：函数f【x)＝lg【ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x ＞2＋ax在x∈【－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为__________．答案精析1．②③ 2.∃x∈【0，＋∞)，x≤x＋13．④ 4.【－1,2) 5.①② 6.【－∞，－5]7．14，＋∞) 解析 因为∀x 1∈－1,3]时，f 【x 1)∈0,9]，即f 【x )min ＝0，若∃x 2∈0,2]，使得f 【x 1)≥g 【x 2)，则只要满足g 【x )min ≤0.而函数g 【x )在区间0,2]上是单调减函数，故g 【x )min＝g 【2)＝【12)2－m ≤0，即m ≥14.8．1解析 ∵“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，∴“任意x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ＞0”是真命题，∴Δ＝4－4m ＜0，解得m ＞1，故a 的值是1.9．②③解析 ∵52＞1，∴命题p 是假命题，又∵x 2＋x ＋1＝【x ＋12)2＋34≥34＞0，∴命题q 是真命题，由命题真假的真值表可以判断②③正确．10．①②③解析 命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，所以命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题，故①正确；命题p ：∀x ∈0,1]，e x ≥1，为真命题，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0，为假命题，则p ∨q 为真，故②正确；若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，故③正确；“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”，而当m 2＝0时，由a ＜b ，得am 2＝bm 2，所以“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为假命题，故④不正确．11．②解析 命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则【綈p )∧【綈q )为真命题，故②正确；a ＞5⇒a ＞2，但a ＞2⇒/a ＞5，故“a ＞2”是“a ＞5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．12．2解析 因为当a ＝0时，方程ax ＋4＝0无解，所以命题p 为假命题；当1－2m ＝0，即m ＝12时两条直线平行，所以命题q 是真命题．所以綈p 为真命题，綈q 为假命题，所以①错误，②错误，③正确，④正确．13．{m |m ≤－4或m ≥4}解析 ∵綈q 是綈p 的充分不必要条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴{x |x 2－3x －4≤0}{x |x 2－6x ＋9－m 2≤0}，∴{x |－1≤x ≤4}{x |【x ＋m －3)【x －m －3)≤0}．当－m ＋3＝m ＋3，即m ＝0时，不合题意．当－m ＋3＞m ＋3，即m ＜0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |m ＋3≤x ≤－m ＋3}，此时⎩⎨⎧ m ＋3≤－1，－m ＋3≥4【两等号不能同时取得)，解得m ≤－4. 当－m ＋3＜m ＋3，即m ＞0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |－m ＋3≤x ≤m ＋3}，此时⎩⎨⎧－m ＋3≤－1，m ＋3≥4【两等号不能同时取得)，解得，m ≥4. 综上，实数m 的取值范围是{m |m ≤－4或m ≥4}．14．1,2]解析 对于命题p ：Δ＜0且a ＞0，故a ＞2；对于命题q ：a ＞2x －2x ＋1在x ∈【－∞，－1)上恒成立，又函数y ＝2x －2x ＋1为增函数，所以2x －2x ＋1＜1，故a ≥1，命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，等价于p ，q 一真一假．故1≤a ≤2.。

第2讲四种命题和充要条件基础巩固题组（建议用时：20分钟）1．(2015·山东卷改编）设m∈R，命题“若m〉0，则方程x2＋x －m＝0有实根”的逆否命题是______________．解析根据逆否命题的定义，命题“若m〉0，则方程x2＋x－m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案若方程x2＋x－m＝0没有实根,则m≤02．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个）．解析因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x ＝1”是“x2－2x＋1＝0"的充要条件．答案充要3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α,则“m∥β”是“α∥β"的________条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个）．解析m⊂α,m∥βα∥β，但m⊂α,α∥β⇒m∥β，∴“m∥β"是“α∥β”的必要不充分条件．答案必要不充分4．“若a≤b,则ac2≤bc2",则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．答案25．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分"“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个）．解析cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立．∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．答案充分不必要6．(2017·安徽江南十校联考改编)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－错误!＋a为奇函数”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要"或“既不充分也不必要”中选填一个)．解析显然a＝0时，f(x）＝sin x－错误!为奇函数；当f(x)为奇函数时，f (－x ）＋f （x ）＝0。