高中数学名校试卷分类精选04 三角函数及解三角形(原卷版)

2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。

（新课标II 版01期） 2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题04 三角函数与三角形（含解析）理一．基础题组1.【吉林市普通高中2012—2013学年度高中毕业班下学期期末复习检测 数学（理科）】为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A.向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度2.【昆明第一中学2014届高三开学考试理科数学】已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为（ ） (A)725-(B)725 (C)925 (D)16253.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】()tan sin 1f x x x =++，若2)(=b f ，则=-)(b f（ ）A. 0B. 3C. -1D. -2【答案】A 【解析】 试题分析：()tan sin 12f b b b =++=，即tan sin 1b b +=，()tan()sin()1(tan sin )10f b b b b b ∴-=-+-+=-++=.考点：三角函数的性质.4.【昆明第一中学2014届高三开学考试理科数学】 已知a 是实数，则函数()cos f x a ax =的图象可能是（ ）5.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试理科数学】 已知0ω>，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．15[,]24B ．17[,]24C ．39[,]44D ．37[,]246.【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学】 已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，若bc c b a -+=222，132c b =，则B tan 的值等于 ．7.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】已知函数()sin()3)(0,||)2f x x x πωφωφωφ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递减函数8.【吉林市普通高中2012—2013学年度高中毕业班下学期期末复习检测 数学（理科）】 在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足bc a c b =-+222，0>⋅BC AB ,23=a ,则cb +的取值范围是 . 9.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b = .10.【云南省玉溪一中2014届高三上学期第一次月考数学（理科）】 若2tan =α，则α2sin 1的值等于 （ ） （A ）45-（B ）45 （C ）54-（D ）5411.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 已知32cos sin =+θθ,则)252cos(πθ+的值为( ) A.97 B. 97- C. 924- D. 92412.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，若22241c b a +=，则cBa cos 的值为（ ）A.41 B. 45 C. 85 D.8313. 【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，R x ∈（其中πϕπω<<->>,0,0A ），其部分图象如图所示，则（ ）A.4,4πϕπω==B. 43,4πϕπω-==C. 4,2πϕπω==D. 43,2πϕπω-==14.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，若c a B C A 2,cos 1)cos(=-=-，则C 2cos 的值为 ( )A.21 B.23 C. 23- D.21-15.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，若2tan ,4,5==∠=A B b π，则a 等于____.16．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】若20,20πβπα<<<<，53)3sin(=-απ，552)32cos(=-πβ，则)2cos(αβ-的值为____.17.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 函数1-=x xy 的图像与函数x y 4cos 22π=)53(≤≤-x 的图像所有交点的纵坐标之和等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8考点：半角公式，三角函数的图象和性质，函数的图象. 二．能力题组1.【昆明第一中学2014届高三开学考试理科数学】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若223coscos 222C A a c b +=． （Ⅰ）求证：a 、b 、c 成等差数列；（Ⅱ）若︒=∠60B ，4b =，求ABC ∆的面积．证法二： ∵221cos 1cos 3coscos 22222C A C A a c a c b +++=⋅+⋅= ∴(cos cos )3a c a C c A b +++=∴222222()322a b c b c a a c a c b ab bc+-+-++⋅+⋅= 整理得：2a c b +=2.【齐齐哈尔市2013届高三第二次模拟考试理科数学】 已知向量()sin ,3sin m x x =，()sin ,cos n x x =，设函数()n m x f ⋅=.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最小值； （Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为32，求a .考点：向量的坐标运算及数乘,三角函数图象,三角恒等变形,及解三角形.3.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】 下列说法：① “R x ∈∃，使x 2>3”的否定是“R x ∈∀，使≤x23”； ② 函数sin(2)3y x π=+的最小正周期是π；③ “在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题；④ “1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线320x my ++=垂直”的充要条件； 其中正确的说法是 （只填序号）.4.【云南省玉溪一中2014届高三上学期第一次月考数学（理科）】 在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、sin 3cos cCA=， （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若6=a ，求b c +的取值范围. 【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）(6,12].【解析】试题分析：(Ⅰ) 利用正弦定理、结合角的范围来求；(Ⅱ)利用余弦定理、边角互换，然后利用基本不等式来求解.试题解析：sin sin 3cos c aC AA==从而sin 3A A =，tan 3A =∵0A π<<，∴3A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）法一：由已知：0,0b c >>，6b c a +>= 由余弦定理得：222362cos()33b c bc b c bc π=+-=+-22231()()()44b c b c b c ≥+-+=+（当且仅当b c =时等号成立） ∴（2()436b c +≤⨯，又6b c +>， ∴612b c <+≤，从而b c +的取值范围是(6,12].．．．．．．．．．．12分5.【云南师大附中2014届高考适应性月考试卷（一）理科数学】已知函数2()3sin cos f x x x x =+．（Ⅰ）求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点；（Ⅱ）设2()()3g x f x x =-，求函数()g x 的图象的对称轴方程 【答案】（Ⅰ）πx =或5π6x =.；（Ⅱ）ππ()24k x k =+∈Z 【解析】试题分析：（Ⅰ）先化简()f x ，再求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点；（Ⅱ）先化简2()()3g x f x x =-，再求函数()g x 的图象的对称轴方程．试题解析：解：（Ⅰ）令()0f x =，得sin (3cos )0x x x +=， …………………………（2分）考点：三角函数的图像性质.6.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，a c C b B c +=+2cos sin 3（1）求B ； （2）若32,62==+b c a ，求ABC ∆的面积.（2）因为，32,62==+b c a ，所以，应用余弦定理可得12ac =，ABC ∆的面积为33.考点：正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式. 三．拔高题组1.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】 在锐角ABC ∆中，)cos ,(sin A A m =，)1,3(-=n ，1.=⋅n m .（I ） 求角A 的大小；（II ）求B A B sin cos 42cos +的取值范围.∴23sin 22cos 1<+<B B ……………………………（10分） 考点：1、向量的坐标运算；2、三角函数的性质.2.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试理科数学】 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos 222B C A +-=.(1)求角A 的大小， (2)若33,cos 5a B ==，求△ABC 的面积．3. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学】 已知21cos cos sin 3)(2+-=x x x x f . （Ⅰ）写出)(x f 的最小正周期T ； （Ⅱ） 求由)(x f y =)650(π≤≤x ，)650(0π≤≤=x y ，)01(65≤≤-=y x π，以及)021(0≤≤-=y x 围成的平面图形的面积．∴123012sin(2)3sin (2)66S x dx x dx πππππ=--+-⎰⎰.∵)62sin(2)62cos(ππ-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--x x ， ∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯--⨯+-⨯--⨯=2)632cos()6122cos(32)602(cos )6122(cos πππππππS432-=. ∴由)(x f y =)650(π≤≤x ，)650(0π≤≤=x y ，)01(65≤≤-=y x π以及 )021(0≤≤-=y x 围成的平面图形的面积为432-.考点：考查三角函数的化简计算、定积分的应用.4.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 已知函数a x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2，且当]6,0[π∈x 时，)(x f 的最小值为2. （1）求a 的值，并求)(x f 的单调增区间；（2）将函数)(x f y =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的21倍，再把所得图象向右平移12π个单位，得到函数)(x g y =，求方程2)(=x g 在区间]2,0[π上的所有根之和.【答案】（1）0，[,],36x k k k z ππππ∈-+∈；（2）121243x x πππ+=+=.。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》复习试卷及答案解析一、选择题1．sin215°－cos215°等于()A.－12B.12C．－32D.32答案C解析sin215°－cos215°＝－(cos215°－sin215°)＝－cos30°＝－32.故选C.2．若sinα＝45，则－22cosα等于()A.225B．－225C.425D．－425答案A解析－22 cosα＝sinαcos π4＋cosαsinπ4－22cosα＝45×22＝225.3．已知sinα＝－45α是第四象限角，则sin()A.52 10B.325C.7210D.425答案C解析由同角三角函数基本关系可得cosα＝1－sin2α＝＝35，结合两角差的正弦公式可得sin π4cosα－cosπ4sinα＝7210.故选C. 4．函数f(x)＝sin x的最大值为()A.3B．2C．23D．4答案A解析函数f(x)＝sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x ＝32sin x ＋32cos xx ＋12cos＝3sin ≤3.故f (x )的最大值为3.故选A.5．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－＞0，|φ|y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )＞0对x －π8，φ的取值范围是()A.－π12，0－π8，－π24C.－π12，D.0，π12答案B解析由已知得函数f (x )的最小正周期为4π3，则ω＝32，当x －π8，时，32x ＋φ－3π16＋φ，3π8＋因为f (x )＞0，即＋＞12，φ≥－π3＋2k π，≤π3＋2k π(k ∈Z )，解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π8，所以－π8＜φ≤－π24，故选B.6．(2019·山师大附中模拟)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)在x ＝π6时取得最大值，则函数g (x )＝cos(2x ＋φ)的图象()AB C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称答案A解析因为当x ＝π6时，f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)取得最大值，所以φ＝π6，即g (x )＝x＋π6，k ∈Z ，对称轴x ＝k π2－π12，k ∈Z ，故选A.7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)如图平面直角坐标系中，角α－π2<β边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为－513，且满足S △AOB ＝34，则sinα2·α2－sin ＋12的值为()A ．－513 B.1213C ．－1213D.513答案B解析由图易知∠xOA ＝α，∠xOB ＝－β.由题可知，sin β＝－513.由S △AOB ＝34知∠AOB ＝π3，即α－β＝π3，即α＝π3＋β.则sinα2－sin ＋12＝3sin α2cos α2－sin 2α2＋12＝32sin α－12(1－cos α)＋12＝32sin α＋12cos α＝β＝cos β＝1－sin 2β＝1213.故选B.8．(2019·重庆铜梁一中月考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，x ∈－π12，2π3的图象如图，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)的值为()A.3B.2C ．1D ．0答案C解析由图象得3T 4＝2π3－－π12∴T ＝π，ω＝2πT＝2，由2sin π6×2＋φ＝2sin π3＋φ＝2，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，由x 1＋x 2＝π6×2＝π3，得f (x 1＋x 2)＝f π3＝2sin 2×π3＋π6＋2k π1，故选C.9．(2019·重庆巴蜀中学期中)已知f (x )＝sin(ωx ＋θ)其中ω>0，θ∈0，π2f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，|x 1－x 2|的最小值为π2，f (x )＝f π3－x 将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )，则g (x )的单调递减区间是()A.k π，k π＋π2(k ∈Z )B.k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )C.k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )D.k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )答案A解析∵f (x )＝sin(ωx ＋θ)其中ω>0，θ∈0，π2，由f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0可得x 1，x 2是函数的极值点，∵|x 1－x 2|的最小值为π2，∴12T ＝πω＝π2，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋θ)，又f (x )＝f π3－x ∴f (x )的图象的对称轴为x ＝π6，∴2×π6＋θ＝k π＋π2，k ∈Z ，又θ∈0，π2∴θ＝π6，∴f (x )＝x 将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )＝sin 2＋π6＝cos 2x 的图象，令2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，∴k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z ，则g (x )＝cos 2x 的单调递减区间是k π，k π＋π2(k ∈Z )，故选A.10．(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的最小正周期为π，函数g (x )＝＋3f (x )，若对∀x ∈R ，都有g (x )≤|，则φ的最小正值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π3答案B解析由函数f (x )的最小正周期为π，可求得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，g (x )＝＋3f (x )＝sin 2φ＋3sin(2x ＋φ)＝cos(2x ＋φ)＋3sin(2x ＋φ)＝x ＋φ∴g (x )＝x ＋φ又g (x )≤|，∴x ＝π3是g (x )的一条对称轴，代入2x ＋φ＋π6中，有2×π3＋φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝－π3＋k π(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝2π3，故选B.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，则c 等于()A ．27B ．4C ．23D ．33答案C 解析∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0<C <π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6＝2，＝4＝4，＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C.12．(2019·河北衡水中学调研)若函数f (x )＝(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是()，112∪14，23，16∪13，23C.14，23 D.13，23答案B解析易知函数y ＝sin x 的单调区间为k π＋π2，k π＋3π2，k ∈Z .由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z .因为函数f(x )＝ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，所以f (x )在区间(π，2π)内单调，所以(π，2π)⊆k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ，所以π，2π，k ∈Z ，解得k ＋13ω≤k 2＋23，k ∈Z .由k ＋13≤k 2＋23，k ∈Z ，得k ≤23，k ∈Z .当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω，16∪13，23.故选B.二、填空题13．(2019·陕西四校联考)已知sin α＝2cos α，则cos 2α＝________.答案－35解析由已知得tan α＝2，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝1－44＋1＝－35.14．(2019·山师大附中模拟)已知＝14，则x ________.答案78解析根据三角函数诱导公式，得＝14，x x 2cos 1＝78.15．(2019·武汉示范高中联考)函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x 的最大值为________．答案2＋1解析令t ＝sin x ＋cos x ，则t ＝sin x ＋cos x＝2sin t ∈[－2，2]，则t 2＝1＋2sinx cos x ，所以sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝t 2＋t －1－54，对称轴为t ＝－12，因为t ∈[－2，2]，所以当t ＝2时取得最大值，为2＋1.16．(2019·银川一中月考)已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，则下列四个命题中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间－π4，π4上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．答案③④解析f (x 1)＝－f (x 2)，即12sin 2x 1＝－12sin 2x 2，由f (x )图象(图略)可知，①错误；由周期公式可得T ＝2π2＝π，②错误；由f (x )的图象可知，③正确；＝12sin 3π2＝－12④正确．故填③④.三、解答题17．(2019·抚州七校联考)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ>0，|φ的距离为π2，且f (x )的图象与y ＝sin x 的图象有一个横坐标为π4的交点.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈0，7π8时，求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的值．解(1)由题可知，T ＝π＝2πω，ω＝2，又×π4＋sin π4，|φ|<π2，得φ＝－π4.所以f (x )＝x (2)因为x ∈0，7π8，所以2x －π4∈－π4，3π2，当2x －π4＝π，即x ＝5π8时，f (x )取得最小值．f (x )min ＝ 1.18．(2019·福建闽侯五校期中联考)已知向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x a ·b ＝－54，求cos 2x 的值．解(1)f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －cos 2x＝32sin 2x －cos 2x ＋12＝x －12，∴f (x )的最小正周期是π.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)∵a ·b ＝x －12＝－54，∴x ＝－34.∵x∴2x －π6∈，∴x ＝－74，∴cos 2x ＝x ＋π6＝x cos π6－x sinπ6＝－74×32－×12＝3－218.。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知()23tantan 1,sin 3sin 222ααβαβ+==+，则()tan αβ+=2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y 相距最近的两个交点间距离为6π，则x y ωsin 2=的最小正周期为 ． 3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知θ是第三象限角，且52cos 2sin -=-θθ，则=+θθcos sin4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知312sin =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 2πα=_____▲____．5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ．7. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若将函数)4sin(πω+=x y 的图象向左平移6π个单位长度后，与函数)4cos(πω+=x y 的图象重合，则正数ω的最小值为_____________.8. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)()22ππθ-<<的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为 ▲ ．9. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αcos 的值为 ． 12. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】如图，在平面四边形ABCD 中，若090,2,2,1=∠===ACD DC AD BC AB ，则对角线BD 的最大值为 ．13. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】将函数3cos sin y x x x的图像向左平移0m m个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知sin 2cos αα+=，那么tan2α的值为_______.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知]4,4[ππθ-∈，且314cos -=θ，则=--+)4(sin )4(sin 44πθπθ ．16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知1sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）在ABC △中，角CB A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=， （Ⅰ）若 60=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若2cos 3C=，求sin()A B -的值． 2. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）如图，290,,3OC km AOB OCD πθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r 随时间t 变化函数为3r =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开始沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且4πθ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若()f C =a =1c =，求b的值.4. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且(cos ,sin ),(cos ,sin ),cos2,sin sin 3sin sin A A B B C A B A B =-=⋅=+=m n m n ，（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若3c =，求ABC ∆的面积．5. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，等边三角形OAB 的边O C DEAB长为4km.现在线段OB 上取一点D （不含线段OB 端点）建发电站向,A B 两点供电．如果线段DB 上每公里建设费用为a 万元（a 为正常数），线段AD 上每公里建设费用为3a 万元，设ADO θ∠=，建设总费用为S 万元.(Ⅰ) 写出S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； （Ⅱ）AD 等于多少时，可使建设总费用S 最少？6. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）已知角α终边逆时针旋转6π与单位圆交于点 且2tan()5αβ+=. （1）求sin(2)6πα+的值，（2）求tan(2)3πβ-的值.7. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积是30，内角C B A ,,所对边长分别是c b a ,,，且144-=⋅AC AB ． （1）求A cos 的值；（2）若4=-b c ，求a 的值．9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分） 已知函数2()sin(2)cos 6f x x x π=+-．(1)求()f x 的最小正周期及2[,]123x ππ∈时()f x 的值域；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为c b a ,,，其中角C 满足423)4(-=+πC f ，若ABC S ∆，2=c ，，求)(,b a b a >的值．10. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】（本小题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.11. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值.12. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分14分）在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值． 13. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】(本小题满分14分)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+． ⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状．14. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）若A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、．若向量2(cos ,cos 1)22A A m =-，向量(1,cos 1)2An =+，且21m n ⋅=-．（1）求A 的值；（2）若a =S =b c +的值．15. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分14分)已知函数2()2sin cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足()26A f π-=sin sin B C +=，求bc 的值． 16. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，已知A C B cos 1)cos(-=-，且c a b ,,成等比数列.（1）求C B sin sin ⋅之值； （2）求角A 的大小； （3）求C B tan tan +的值。

专题04 高中数学三角函数与解三角形真题1．对任意闭区间I，用表示函数y=sinx在I上的最大值.若正数a满足，则a的值为.【答案】或【解析】由图像分析得或.2．已知x、y满足.则的取值范围是___________。

【答案】【解析】由于.由,知因此,当时, 有最小值-1,此吋,y可以取;当时, 有最大值此时，y可以取由的值域为,知的取值范围是。

故答案为：3．设函数.若对任意实数a，均有，则k的最小值为________.【答案】16【解析】由条件知，当且仅当时，取到最大值.根据条件，知任意一个长为1的开区间至少包含一个最大值点.从而，.反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时，.综上，k 的最小值为，其中，表示不超过实数x 的最大整数.4．若tan cos αα=，则41cos sin αα+=__________． 【答案】2【解析】由tan cos αα=有2sin cos ,sin cos cos ααααα==，而22sin cos 1αα+=，求出15cos 2α-+=(负值舍去)，所以244211215cos cos 2sin cos 215αααα⎛⎫-++=+=+= ⎪ ⎪-+⎝⎭。

5．【2015】设为正实数.若存在，使得，则的取值范围是______.【答案】【解析】 由.而，故已知条件等价于：存在整数，使得. ①当时，区间的长度不小于，故必存在满足式①.当时，注意到，.故只要考虑如下几种情形：(1)，此时，，且，无解；(2)，此时，；(3)，此时，.综上，并注意到也满足条件，知.故答案为：6．在中，已知，则______.【答案】11【解析】由.7．设的内角的对边分别为，且满足.则______. 【答案】4【解析】解法1 有题设及余弦定理得.故.解法2 如图4，过点，垂足为.则.由题设得.又，联立解得.故.解法3 由射影定理得.又，与上式联立解得.故.8．满足的所有正整数的和是______.【答案】33.【解析】由正弦函数的凸性，知当时，.故，.因此，满足的正整数的所有值分别为10、11、12，其和为33. 9．若，则的取值范围为______. 【答案】【解析】题设不等式等价于.设，所以，所以上的增函数，所以，.故.由，知的取值范围是.故答案为：10．已知函数的最小值为.则实数的取值范围是________.【答案】【解析】令.于是，原函数化为.由内的最小值为，即.故. ①当，时，式①总成立；当时，；当时，.从而，.11．在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c.若b是a与c的等比中项，且sinA是sin(B-A)与sinC的等差中项，求cosB的值.【答案】【解析】由题意ac=b2，，整理即sin B=tan A.对ac=b2利用正弦定理并结合三项的等差数列得. 即.于是.即..令，则，解得.12．已知函数，其中，，且.(1)若对任意，都有，求的取值范围.(2)若，且存在，使，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1).令.则.由题设知解得的取值范围为.(2)因为，所以，.故.从而，.由题设知.解得.故的取值范围是.1．已知，得，所以_____ 【答案】【解析】.2．在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A的最小值为________.【答案】【解析】由,又时取等号.3．设满足，则x的取值范围为________.【答案】【解析】由.令，，所以.4．计算的值为________.【答案】【解析】记，则，所以，. 5．函数的值域是________.【答案】【解析】，因为，所以. 故答案为：6．如图，在△ABD中，点C在AD上，，AB=CD=1．则AC=____．【答案】【解析】在△ABD中，(其中AD=x) ①在△BCD中，②由①②得，因为x+2>0，∴x3=2．即．故答案为：7．若边长为6的正△ABC的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，则△ABC的重心G到平面α的距离为_______．【答案】【解析】(1)当△ABC的三个顶点在平面α的同侧时，由公式求得重心G到平面α的距离为2．(2)当△ABC的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面α的异侧时，求得重心G到平面α的距离分别为0，．故答案为：8．函数的所有零点之和等于________．【答案】60【解析】函数的零点即为方程2(5－x)sinπx在区间[0，10]上的解函数y=2sinπx 的图像与函数的图像在区间[0，10]上的交点的横坐标．因为函数y=2sinπx的图像与函数的图像均关于点(5，0)对称，且在区间[0，10]上共有12个交点(6组对称点)．每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60．所以函数y=2(5－x)sinπ－1(0≤x≤10)的所有零点之和等于60．故答案为：609．在△ABC中，，则________．【答案】【解析】因为所以注意到：故．故答案为：10．设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则________. 【答案】【解析】分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C表示∠A与∠B；根据成等差，得到，利用正弦定理实现边角转化。

（湖北版01期）2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题04 三角函数与三角形（含解析）理 新人教A 版一．基础题组1.【湖北省教学合作2014届高三10月联考数学试题理科数学】已知3sin()35x π-=，则cos()6x π+=（ ） A ．35 B ．45 C ．35- D ．45-2.【湖北省教学合作2014届高三10月联考数学试题理科数学】把函数sin ()y x x R =∈的图像上所有的点向左平移6π个单位长度，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像所表示的函数为（ ）A ．sin(2),3y x x R π=-∈ B ．1sin(),26y x x R π=+∈ C ．sin(2),3y x x R π=+∈ D ．1sin(),26y x x R π=-∈ 3.【2013年湖北七市（州）高三年级联合考试理科数学】函数f (x )=2x -sin x 的零点个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试数学理试题（B 卷）】已知函数2sin y x =的定义域为[a ,b ]，值域为[-2，1]，则b a -的值不可能是 （ ）A ．πB ．65πC ．π2D ．67π5.【湖北省荆门龙泉中学2014届高三年级8月月考数学（理科）试卷】定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A ．(sin )(cos )f f αβ>B ．(cos )(cos )f f αβ<C ．(cos )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ<∴0＜α＜βπ-2＜2π ， ∴0＜sinα＜sin(βπ-2)＝cosβ＜1∴(sin )(cos )f f αβ<,故选B ．考点：奇偶性与单调性的综合,函数的周期性.6.【湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学2014届高三10月联考理科数学】已知角x 的终边上一点坐标为55sin,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则角x 的最小正值为（ ） A.56π B.53π C.116π D.23π7.【湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学2014届高三10月联考理科数学】已知点(),a b 在圆221x y +=上，则函数()2cos sin cos 12a f x a xb x x =+--的最小正周期和 最小值分别为（ ）A.32,2π-B.3,2π-C.5,2π-D.52,2π- 【答案】B【解析】试题分析：由于点(),a b 在圆221x y +=上，所以221a b +=，可设cos a ϕ=，sin b ϕ=，()f x ∴=8.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试理科数学】已知函数()()()()cos 0260x x f x f x x ππ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩，则()2013f -等于 （ ）A.12B.12- C.3 D.32-9.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试理科数学】若函数()tan y x N ωω*=∈的一个对称中心是,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ω的最小值为 （ ） A.2 B.3 C.6D.910.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试理科数学】若()tan lg 10a α=，1tan lg a β=，且4παβ+=，则实数a 的值为 （ ） A.1 B.110 C.1或110D.1或1011.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试理科数学】,42ππα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()log cos sin x παα=，()log sin cos y παα=，则x 与y 的大小关系为 （ ） A.x y > B.x y < C.x y = D.不确定12.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试理科数学】在ABC ∆中，“()()sin cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是 “ABC ∆是直角三角形”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件13.【湖北稳派教育2014届高三10月联合调研考试数学理科试题】若41)3sin(=+πx ，则)26sin(x +π的值为（ ） A. 87 B. 87- C. 415 D.415-14.【湖北稳派教育2014届高三10月联合调研考试数学理科试题】函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图，将)(x f y =的图象向右平移6π个单位长得到函数)(x g y =的图象，则)(x g 的单调增区间为（ ） A. ）Z ](32,62[∈+-k k k ππππ B. ）Z ](652,32[∈++k k k ππππ C. ）Z ](3,6[∈+-k k k ππππ D. ）Z ](65,3[∈++k k k ππππ15．【湖北稳派教育2014届高三10月联合调研考试数学理科试题】已知三个向量)2cos ,(A a =，)2cos ,(B b =，)2cos ,(C c =平行，其中C B A c b a ,,,,,分别是ABC ∆的三条边和三个角，则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B.等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形16.【湖北稳派教育2014届高三10月联合调研考试数学理科试题】函数)(x f 是R 上的增函数且)(cos )sin ()cos ()(sin ωωωωf f f f +->-+，其中ω是锐角，并且使得函数)4sin()(πω+=x x g 在),2(ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. ]45,4(π B. )4,45[π C. )4,21[π D.]45,21[17.【2013届高中毕业生四月调研理科数学测试题】已知tan 2α=，则34sin 2cos 5cos 3sin αααα-=+（ ）A. 52B. 115C.53D. 11718.【2013年湖北七市（州）高三年级联合考试理科数学】若tan θ=21，θ∈(0，π41)，则sin(2θ+π41)= ．19.【湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学2014届高三10月联考理科数学】已知()tan 2θπ-=，则22sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+的值为 . 【答案】195. 【解析】试题分析：()tan tan 2θπθ-==，所以22sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+22222222sin sin cos 2cos tan tan 222219333sin cos tan 1215θθθθθθθθθ+-+-+-=+=+=+=+++. 考点：1.诱导公式；2.弦化切20.【湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学2014届高三10月联考理科数学】ABC ∆中，60A =，1b =，三角形ABC 面积3S =sin sin sin a b c A B C++=++ .21.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试理科数学】若53,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 21sin 2θθ--+可化简为 .考点：1.辅助角公式；2.同角三角函数的基本关系；3.二倍角22.【湖北稳派教育2014届高三10月联合调研考试数学理科试题】已知71cos =α，1411)cos(-=+βα且)2,0(πα∈，),2(ππβα∈+，则βcos 的值为 .23.【2013届高中毕业生四月调研理科数学测试题】巳知函数3()sin 2f x ax x =-()a R ∈ ,若对：]2,0[π∈x ,()f x 的最大值为23-π则 (1)a 的值为______； (2)函数()f x 在(0,)π内的零点个数为________考点：函数的单调性，最值，函数的零点.二．能力题组1.【湖北省教学合作2014届高三10月联考数学试题理科数学】在直角坐标系中，定义两点1122(,),(,)P x y Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)||||d P Q x x y y =-+-，现给出四个命题：①已知22(1,3),(sin ,cos ),()P Q x x x R ∈，则(,)d P Q 为定值；②用||PQ表示,P Q两点间的“直线距离”，那么2||(,)PQ d P Q≥；③已知P为直线2y x=+上任一点，O为坐标原点，则(,)d P Q的最小值为2；④已知,,P Q R三点不共线，则必有(,)(,)(,)d P Q d Q R d P Q+>.A．②③ B．①④ C．①② D．①②④2.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试数学理试题（B卷）】如图，在扇形OAB中，︒=∠60AOB，C为弧．AB上且与BA,不重合．．．的一个动点，且OByOAxOC+=，若(0)u x yλλ=+>存在最大值，则λ的取值范围为（）A．)3,1( B．)3,31( C．)1,21( D．)2,21(CA（第10题图）3.【湖北稳派教育2014届高三10月联合调研考试数学理科试题】已知函数|2cos |)()(1x x f x f π==，]1,0[∈x ，当2≥n 时，))(()(1x f f x f n n -=，则方程2013)(2013xx f =的实数解的个数为（ ） A. 20132B. 20134C. 2013D. 4026【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，x x f x f π2cos )()(1==，[]1,0∈x ；x x f x f π2cos )()(2==，[]2,1∈x ；……=)(x f n x π2cos ，[]n n x ,1-∈，在同一坐标系中作函数)(2013x f y =与2013x y =的图像，易得交点个数为42013，故选B. 考点：函数与三角函数的图像与性质和函数的零点. 4.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试理科数学】在锐角ABC ∆中，1BC =，2B A =，则cos ACA的值等于 ；AC 的取值范围为 .5.【湖北稳派教育2014届高三10月联合调研考试数学理科试题】运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为0)sin(sin =++απα，三等分单位圆时，有相应正确关系为0)34sin()32sin(sin =++++απαπα，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 . 【答案】0)23cos()sin()2cos(cos =++++++παπαπαα 【解析】试题分析：用两点等分单位圆时，关系为0)sin(sin =++απα，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为：πααπ=-+)(，用三点等分单位圆时，关系为6.【湖北稳派教育2014届高三10月联合调研考试数学理科试题】已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，4π=∠A ，cos cos 2sin sin B CAB AC m AO C B⋅+⋅=⋅，则=m .7.【湖北省教学合作2014届高三10月联考数学试题理科数学】已知角A B C 、、是ABC ∆的内角，,,a b c 分别是其对边长，且3A π=.（1）若32,cos a B ==，求b 的长； （2）设A ∠的对边1a =，求ABC ∆面积的最大值.8.【湖北省教学合作2014届高三10月联考数学试题理科数学】函数()sin()(,0)22f x x ππωϕϕω=+-<<>的最小正周期为π，其图像经过点(,1)12π （1）求()f x 的解析式； （2）若24()()325f a f a π+-=且a 为锐角，求sin cos αα+的值.9.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试数学理试题（B 卷）】已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求)2(θf 的值．【答案】(1) )321cos(2)(π-=x x f 126+10.【湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学2014届高三10月联考理科数学】已知函数()23sin cos cos f x x x x ωωω=-，其中ω为使()f x 能在23x π=时取得最大值的最小正整数．（1）求ω的值；（2）设ABC ∆的三边长a 、b 、c 满足2b ac =，且边b 所对的角θ的取值集合为A ，当x A ∈时，求()f x 的值域．（2）2b ac = 又 2222cos b a c ac B =+-222cos a c ac B ac ∴+-= 即22212cos 2a c acB ac ac++=≥= 12cos 2B ∴+≥ 1cos 2B ∴≥ 03B π∴<≤即0,3A π⎛⎤= ⎥⎝⎦……………………………………8分()1sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 03x π<≤74666x πππ∴-<-≤1sin 4,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (10)分()11,2f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦故函数()f x 的值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…………………………12分考点：1.三角函数的周期；2.三角函数的最值；3.余弦定理；4.基本不等式；5.二倍角公式 11.【湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学2014届高三10月联考理科数学】ABC ∆中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，角A 的平分线AD 交BC 边于D ，60A =．（1）求证：3bcAD =； （2）若2BD DC =，43AD =，求其三边a 、b 、c 的值．（2）2BD DC = 2c BD b DC∴== 2c b ∴= ① ……………………7分又()3434bcbc b c b c=∴=++ ②…………………………9分由①②解得6,12b c ==…………………………………………10分又在ABC ∆中 2222212cos 61226122a b c bc B =+-=+-⨯⨯⨯63a ∴= ……………………………………………………12分考点：1.面积公式；2.角平分线的性质；3.余弦定理12.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试理科数学】已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图3所示.（1）试确定函数()f x 的解析式；（2）若123f απ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.并将sin 62πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为cos 32πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，最后利用二倍角公式求出2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.13.【湖北稳派教育2014届高三10月联合调研考试数学理科试题】已知O 为坐标原点，向量)1,(sin α=，)0,(cos α=，)2,sin (α-=，点P 满足=.（Ⅰ）记函数CA PB f •=)(α，)2,8(ππα-∈，讨论函数)(αf 的单调性，并求其值域； （Ⅱ）若C P O ,,三点共线，求||OB OA +的值.【答案】（Ⅰ）)1,2[-；（Ⅱ）574. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设点),(y x P ，利用向量的数量积及函数x y sin =的性质求解；（Ⅱ）由C P O ,,三点共线，转化为向量共线，根据三角函数公式、变换求出α2sin ，再求向量的模.. 试题解析：（Ⅰ）)1,sin (cos --=αα，设),(y x =，则),cos (y x α-=，14.【2013届高中毕业生四月调研理科数学测试题】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a B b B c -=. （1）若6B π=，求A ； （2）求sin sin A B +的取值范围.【答案】（1）23A π= （2）2) 【解析】（1） 利用正弦定理，把边转化为角，接着用三角形三内角和定理变为A 与B 的关系.（2）用辅助角公式.试题分析：（1）由已知条件，及正弦定理，得2sin cos sin sin A B B C -=，∵sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+，∴2sin cos sin sin()A B B A B -=+，即2sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B -=+，三．拔高题组1.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试理科数学】已知方程sin x k x=在()0,+∞上有两个不同的解α、()βαβ<，则下列结论正确的是（ ）A.2sin 22cos ααα=B.2cos 22sin ααα=C.2sin 22cos βββ=D.2cos 22sin βββ=【答案】C【解析】 试题分析：由于方程sin x k x=在()0,+∞上有两个不同的解α、()βαβ<，即方程sin kx x =在()0,+∞上有两个不同的解α、()βαβ<，也就是说，直线y kx =与函数()sin f x x =在y 轴右2.【湖北省教学合作2014届高三10月联考数学试题理科数学】某校内有一块以O 为圆心，R （R 为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCDB 区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，OBD ∆区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售.已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元.（1）设BOD θ∠=（单位：弧度），用θ表示弓形BCDB 的面积()S f θ=弓；（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计BOD ∠的大小才能使总利润最大？并求出该最大值.（参考公式：扇形面积公式21122S R Rl θ==，l 表示扇形的弧长）试题解析：（1）212S R θ=扇，21sin 2OBD S R θ∆=, 21()(sin )2S f R θθθ==-弓.3.【2013年湖北七市（州）高三年级联合考试理科数学】已知向量(3sin 22,cos )m x x =+，(1,2cos )n x =设函数()f x m n =⋅.()I 求()f x 的最小正周期与单调递增区间；()II 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若3a =()4f A =，求b c +的最大值.法一：又sin sin sin a b c A B c == ，2(sin sin )2[sin sin()]3b c B C B B π∴+=+=++ 23)236B π=+≤∴当3B π=时，b c +最大为23 ……………12分法二：A bc c b a cos 2222-+=即22222)2(3)(3)(3c b c b bc c b bc c b +-+≥-+=-+= 32,12)(2≤+≤+c b c b ；当且仅当c b =时等号成立. ……………12分考点：1.平面向量的坐标运算；2.三角恒等变换；3.解三角形.4.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试理科数学】如图4所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.（1）设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.()1sin cos sin cos 12PMN S x x x x ∆=+++，利用sin cos x x 与sin cos x x +之间的关系且()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，所以21sin cos 2t x x -=， 故()()222111112112244PMN t S t t t t ∆⎛⎫-=++=++=+ ⎪⎝⎭， 而函数()2114y t =+在区间2⎡⎣上单调递增， 故当2t =y 取最大值，即)2max 13222144y +==， 即剪下的铁皮三角形PMN 322+. 考点：1.三角形的面积；2.三角函数的最值；3.二次函数的最值5.【湖北稳派教育2014届高三10月联合调研考试数学理科试题】若图，在街道边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面垂直，且120=∠ABC ，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图阴影部分所示，已知60=∠ACD ，路宽24=AD （m ），设灯柱高h AB =（m ），)4530( ≤≤=∠θθACB .（Ⅰ）求路灯高h （用θ表示）；（Ⅱ）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记所用材料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值.- 31 -。

⼗年⾼考分类北京⾼考数学试卷精校版含详解4三⾓函数解三⾓形部分⼗年⾼考分类北京⾼考数学试卷精校版含详解4三⾓函数解三⾓形部分⼀、选择题（共23⼩题；共115分）1. 已知cosθtanθ<0，那么⾓θ是A. 第⼀或第⼆象限⾓B. 第⼆或第三象限⾓C. 第三或第四象限⾓D. 第⼀或第四象限⾓2. 在函数y=sin2x，y=sin x，y=cos x，y=cot x2中，最⼩正周期为π的函数是A. y=sin2xB. y=sin xC. y=cos xD. y=cot x23. 某班设计了⼀个⼋边形的班徽（如图），它由腰长为1、顶⾓为α的四个等腰三⾓形，及其底边构成的正⽅形所组成，该⼋边形的⾯积为A. 2sinα?2cosα+2B. sinα?3cosα+3C. 3sinα?3cosα+1D. 2sinα?cosα+14. 在△ABC中，a=3，b=5，sin A=13，则sin B=A. 15B. 59C. 535. " α=π6 "是" cos2α=12"的A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若A，B，C是△ABC的三个内⾓，且A 2，则下列结论中正确的是A. tan AB. cot AC. sin AD. cos A7. 设M和m分别表⽰函数y=13cos x?1的最⼤值和最⼩值，则M+m等于A. 23B. ?23C. ?43D. ?28. 已知cosθ?tanθ<0，那么⾓θ是A. 第⼀或第⼆象限⾓B. 第⼆或第三象限⾓C. 第三或第四象限⾓D. 第⼀或第四象限⾓9. “ cos2α=?32”是“ α=kπ+5π12,k∈Z”的A. 必要⾮充分条件B. 充分⾮必要条件C. 充分必要条件D. 既⾮充分⼜⾮必要条件10. " φ=π "是"曲线y=sin2x+φ过坐标原点"的A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. 已知△ABC中，a=2，b=3，B=60°，那么⾓A等于A. 135°B. 90°C. 45°D. 30°12. 函数f x=1?cos2xcos xA. 在0,π2,π2,π上递增，在π,3π2,3π2,2π上递减B. 在0,π2, π,3π2上递增，在π2,π ,3π2,2π上递减C. 在π2,π ,3π2,2π上递增，在0,π2, π,3π2上递减D. 在0,3π2,3π2,2π上递增，在0,π2,π2,2π上递减13. 函数f x=sin2x?cos2x的最⼩正周期是A. π2B. πC. 2πD. 4π14. 函数y=1+cos x的图象A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线x=π2对称15. " α=π6+2kπk∈Z "是" cos2α=12"的A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 将函数y=sin2x?π3图象上的点Pπ4,t 向左平移s s>0个单位长度得到点P?．若P?位于函数y=sin2x的图象上，则A. t=12，s的最⼩值为π6B. t=32，s的最⼩值为π6C. t=12，s的最⼩值为π3D. t=32，s的最⼩值为π317. 若A、B是锐⾓△ABC的两个内⾓，则点P cos B?sin A,sin B?cos A在A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限18. 函数y=12+sin x+cos x的最⼤值是A. 22?1 B. 22+1 C. 1?22D. ?1?2219. 已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为∣a∣，∣b∣，∣c∣的三⾓形A. 是锐⾓三⾓形B. 是直⾓三⾓形C. 是钝⾓三⾓形D. 不存在20. " cos2α=?32 "是" α=2kπ+5πA. 必要⾮充分条件B. 充分⾮必要条件C. 充分必要条件D. 既⾮充分⼜⾮必要条件21. 从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝⾓三⾓形的个数为m，则mn等于A. 110B. 15C. 310D. 2522. 设α，β是⼀个钝⾓三⾓形的两个锐⾓，下列四个不等式中不正确的是A. tanα tanβ<1B. sinα+sinβ<2C. cosα+cosβ>1D. 12tanα+β223. 已知sinθ+π<0，cosθ?π>0，则下列不等关系中必定成⽴的是A. tanθ22B. tanθ2>cotθ2C. sinθ22D. sinθ2⼆、填空题（共30⼩题；共150分）24. 函数f x=sin x cos x的最⼩正周期是．25. 在△ABC中，若tan A=13，C=150°，BC=1，则AB=．26. 函数y=cos2π3x+π4的最⼩正周期是．27. 函数y=sin2x+1的最⼩正周期为．28. 若sinθ=?45，tanθ>0，则cosθ=．29. 2002年在北京召开的国际数学家⼤会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直⾓三⾓形与⼀个⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形（如图）．如果⼩正⽅形的⾯积为1，⼤正⽅形的⾯积为25，直⾓三⾓形中较⼩的锐⾓为θ，那么cos2θ的值等于．30. 若⾓α的终边经过点P1,?2，则tan2α的值为．31. 在平⾯直⾓坐标系xOy中，⾓α与⾓β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则sinβ=．32. 在△ABC中，若b=1，c=3，∠C=2π3，则a=．33. 在△ABC中，若a=2，b+c=7，cos B=?14，则b=．34. 在△ABC中．若b=5，∠B=π4，sin A=13，则a=．35. 在△ABC中，若b=5，B=π，tan A=2，则sin A=；a=．36. 函数f(x)=cos2x?2x cos x的最⼩正周期是．37. 2002年在北京召开的国际数学家⼤会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直⾓三⾓形与⼀个⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形（如图）．如果⼩正⽅形的⾯积为1，⼤正⽅形的⾯积为25，直⾓三⾓形中较⼩的锐⾓为θ，那么cos2θ的值等于．38. sin(α+30°)?sin(α?30°)cosα的值为．39. 已知tanα2=2，则tanα的值为，tan α+π4的值为．40. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．若sin A:sin B:sin C=5:7:8，则a:b:c=，∠B的⼤⼩是．41. 在△ABC中，若sin A:sin B:sin C=5:7:8，则∠B的⼤⼩是．42. 在△ABC中，∠A=2π3，a=c，则bc=．43. 在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则sin2Asin C=．44. 已知函数f x=x2?cos x，对于 ?π2,π2上的任意x1、x2，有如下条件：①x1>x2；②x12>x22；③∣x1∣>x2．其中能使f x1>f x2恒成⽴的条件序号是．45. 设函数f x=A sinωx+φ（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）．若f x在区间π6,π2上具有单调性，且fπ2=f2π3=?fπ，则f x的最⼩正周期为．46. 在平⾯直⾓坐标系xOy中，⾓α与⾓β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则cosα?β=．47. 在△ABC中，∠A=2π3，a=3c，bc=．48. 在△ABC中，a=1，b=2，cos C=14，则c=；sin A=．49. 椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若∣PF1∣=4，则∣PF2∣=；∠F1PF2的⼤⼩为．50. 已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐⾓），那么cosαcosβcosγ的最⼤值等于．51. 在△ABC中，若b=5，∠B=π4，tan A=2，则sin A=；a=．52. 在函数f x=lg1+x2，g x=x+2,x0,∣x∣≤1,x+2,x>1,x=tan2x中，为偶函数的是．53. 曲线C是平⾯内与两个定点F1?1,0和F21,0的距离的积等于常数a2a>1的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的⾯积不⼤于12a2．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（共23⼩题；共299分）54. 已知函数f x=2sin x2cos x22sin2x2．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求f x在区间?π,0上的最⼩值．55. 已知函数f x=sin x?23sin2x2．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求f x在区间0,2π3上的最⼩值．56. 函数f x=3sin2x+π6的部分图象如图所⽰．（1）写出f x的最⼩正周期及图中x0，y0的值；（2）求f x在区间 ?π2,?π12上的最⼤值和最⼩值．57. 已知函数f x=2cos2x+sin2x．（1）求fπ3的值；（2）求f x的最⼤值和最⼩值．58. 已知函数f x=2sinωx cosωx+cos2ωxω>0的最⼩正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f x的单调递增区间．59. 在△ABC中，∠A=60°，c=37a．（1）求sin C的值；（2）若a=7，求△ABC的⾯积．60. 已知函数f x=3cos2x?π32sin x cos x．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求证：当x∈ ?π4,π4时，f x≥?12．61. 已知函数f x=4cos x sin x+π61．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求f x在区间 ?π6,π4上的最⼤值和最⼩值．62. 在△ABC中，a=3，b=26，∠B=2∠A．（1）求cos A的值；（2）求c的值．63. 已知函数f x=sin x?cos x sin2xsin x．（1）求f x的定义域及最⼩正周期；（2）求f x的单调递增区间．64. 已知函数f x=cos4x?2sin x cos x?sin4x．（1）求f x的最⼩正周期；（2）若x∈0,π2，求f x的最⼤值、最⼩值．65. 已知函数f x=1?2sin2x?π4cos x．（2）设α是第四象限的⾓，且tanα=?43，求fα的值．66. 已知函数f x=2cos2x?1sin2x+12cos4x．（1）求f x的最⼩正周期及最⼤值；（2）若α∈π2,π，且fα=22，求α的值．67. 已知函数f x=2sinπ?x cos x．（1）求f x的最⼩正周期；（2）求f x在区间 ?π6,π2上的最⼤值和最⼩值．68. 在△ABC中，sin A+cos A=22，AC=2，AB=3，求tan A的值和△ABC的⾯积．69. 如图，在△ABC中，∠B=π3，AB=8，点D在BC上，且CD=2，cos∠ADC=17．（1）求sin∠BAD；（2）求BD,AC的长．70. 在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π3，cos A=45，b=3．（1）求sin C的值；（2）求△ABC的⾯积．71. 已知函数f x=6cos4x?5cos2x+1cos2x，求f x的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．72. 已知函数f x=sin2ωx+3sinωx sin ωx+πω>0的最⼩正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f x在区间0,2π3上的取值范围．73. 已知函数f x=6cos4x+5sin2x?4cos2x，求f x的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．74. 已知函数f x=1?sin2xcos x．（1）求f x的定义域；（2）设α是第四象限的⾓，且tanα=?43，求fα的值．75. 在△ABC中，⾓A，B，C对边分别为a，b，c，证明：a2?b2c =sin A?Bsin C．76. 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知a，b，c成等⽐数列，且a2?c2=ac?bc，求∠A的⼤⼩及b sin Bc的值．答案第⼀部分1. C2. A3. A 【解析】四个等腰三⾓形的⾯积之和为412×1×1×sinα =2sinα．由余弦定理可得正⽅形的边长为12+12?2×1×1×cosα=2?2cosα，故正⽅形的⾯积为2? 2cosα．故所求⼋边形的⾯积为2sinα?2cosα+2．4. B 【解析】由正弦定理：asin A =bsin B及已知得31=5sin B所以sin B=59．5. A6. C7. D8. C9. A 10. A11. C 12. A 【解析】f x=1?cos2x cos x =1?1?2sin2xcos x=2∣sin x∣cos x．当x∈0,π2或x∈π2,π时，sin x≥0，f x=2tan x在0,π2,π2,π上为递增；当x∈π,3π2或x∈3π2,2π时，sin x≤0，f x=?2tan x在π,3π2,3π2,2π上为递减．13. B 14. B 15. A【解析】cos2α=12，所以2α=2kπ±π3k∈Z，故α=kπ±πk∈Z．16. A 【解析】因为点P在y=sin2x?π3的图象上，所以t=sin2×π4?π3=12．点Pπ4,12向左平移s s>0个单位长度得到P?π4s,12．因为P?π4?s,12在y=sin2x的图象上，所以12=sin2π4s =cos2s．所以2s=±π3+2kπk∈Z，所以s=±π6+kπk∈Z．⼜s>0，所以s min=π617. B 【解析】因为A、B是锐⾓三⾓形的两个内⾓，所以A+B>90°，所以90°>B>90°?A> 0°，所以cos Bcos A，故点P cos B? sin A,sin B?cos A在第⼆象限．18. B 【解析】y=12+sin x+cos x =2+2sin x+π4≤2?2=1+22．19. B 20. A21. B 【解析】提⽰：当取出的线段长为2、3、4或2、4、5时，可组成钝⾓三⾓形．22. D 【解析】因为对于钝⾓三⾓形，必定有α+β<90°，所以A．tanαtanβB．sinα+sinβcosα+cos90°?α=cosα+sinα=2sinα+45°>1，故C对．。