超几何分布

超几何分布知识点一、超几何分布的定义。

1. 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品。

从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X =k)=frac{C_M^kC_N - M^n - k}{C_N^n}，k = 0,1,2,·s,m，其中m=min{M,n}，且n≤slant N，M≤slant N，n，M，N∈ N^*，这样的分布列称为超几何分布。

二、超几何分布的特征。

1. 不放回抽样。

- 超几何分布是不放回抽样问题中的一种概率分布模型。

与有放回抽样（二项分布模型的抽样方式）不同，超几何分布每次抽取后，总体中的样本数量会减少，这就导致每次抽取到次品（或符合某种特征的样本）的概率会发生变化。

2. 总体可分为两类。

- 总体中的个体可以明确地分成两类，例如正品和次品、男生和女生等。

我们关心的是从这两类总体中抽取一定数量的样本，其中某一类样本的数量的分布情况。

三、超几何分布的期望与方差。

1. 期望。

- 若X服从超几何分布H(n,M,N)，则E(X)=n(M)/(N)。

- 推导：E(X)=∑_k = 0^m kP(X = k)=∑_k = 0^m kfrac{C_M^kC_N - M^n -k}{C_N^n}，通过组合数的性质和计算可以得到E(X)=n(M)/(N)。

2. 方差。

- 若X服从超几何分布H(n,M,N)，则D(X)=n(M)/(N)(1 - (M)/(N))(N - n)/(N - 1)。

四、超几何分布的应用实例。

1. 产品检验问题。

- 例如，一个工厂生产了N = 100件产品，其中有M = 10件次品。

从这100件产品中随机抽取n = 5件进行检验，设X表示抽取的5件产品中的次品数。

- 则X服从超几何分布H(5,10,100)，P(X = k)=frac{C_10^kC_90^5 -k}{C_100^5}，k = 0,1,2,3,4,5。

超几何分布的名词解释超几何分布是概率论中的一种离散概率分布，用于描述具有有限总体的二项实验。

在现实生活中，超几何分布常常应用于统计和质量控制领域，用于分析抽样中的随机变量。

超几何分布的定义很简单，它由三个参数决定：总体大小N，总体中具有某种特征的个体数量M，以及抽样的大小n。

超几何分布描述的是在不放回抽样的情况下，随机变量X取得某个特征值k的概率。

超几何分布的概率质量函数如下所示：P(X=k) = (M choose k) * ((N - M) choose (n - k)) / (N choose n)其中，(a choose b) 表示从集合a中选择b个元素的组合数。

这个公式可以理解为，首先从总体中选择M个具有特征的个体，再从剩下的(N-M)个非特征个体中选择n-k个，然后计算这两个选择的组合数。

超几何分布的期望值和方差可以通过简单的公式计算得到。

期望值E(X)等于(n * M) / N，而方差Var(X)等于 (n * M * (N - M) * (N - n)) / (N^2 * (N - 1))。

超几何分布的特点是，它的概率分布是非对称的，呈现出两头高中间低的形状。

当总体数量较小时，这种分布会更加明显。

此外，超几何分布还与二项分布有所不同，超几何分布考虑了不放回抽样的情况，而二项分布假设是放回抽样。

超几何分布在实际问题中的应用广泛。

例如，假设某个工厂生产了N个产品，其中有M个次品。

现在我们希望从这些产品中抽取一个样本，进行质量检验，判断其中有k个次品的概率是多少。

这个问题可以使用超几何分布来解决。

又如，在病毒流行期间，我们想要了解某地区感染病毒的人数分布情况，同样可以使用超几何分布进行建模和分析。

超几何分布的应用不仅限于统计学和质量控制。

在生物学中，它可以用来研究遗传学领域的问题，如基因分布和染色体连锁。

在金融学中，超几何分布可以用于建模股市中的买卖决策，根据一定的策略来预测未来的收益率。

通俗理解超几何分布
超几何分布是一种离散型概率分布，经常用于描述从有限个对象中抽取出固定数量对象的概率问题。

这种分布最初是由意大利数学家加布里埃莱·布洛卡在18世纪末提出的。

超几何分布的应用场景十分广泛，比如抽样调查中，如果总体数量较小，样本容量也较小，那么超几何分布就是一个很好的模型；在生物统计中，超几何分布可以用来描述一个群体中某种特性的出现概率。

超几何分布的参数包括总体大小N、成功的数量M以及抽样数量n。

其中成功的数量M可以看作是超几何分布的随机变量，表示从总体中成功的数量；抽样数量n表示从总体中随机抽取出的样本数量。

在超几何分布中，当成功的数量M和抽样数量n固定时，总体大小N越大，成功的概率也就越小；反之，当总体大小N固定时，成功的数量M越大，成功的概率也就越大。

超几何分布的概率质量函数可以用来计算在给定的总体大小、成功的数量和抽样数量下，成功的概率。

这个公式看起来比较复杂，但是我们可以通过实例来理解。

举个例子，假设有一个班级共有50个学生，其中男生有30个，女生有20个。

现在我们要从这个班级里随机抽出10个学生，求抽出
的学生中有5个男生的概率。

根据超几何分布的公式，可以计算出概率为0.198。

也就是说，从这个班级中随机抽出10个学生，其中有5个男生的概率为0.198。

超几何分布是一个十分有用的概率分布，可以用来描述从有限个对象中抽取出固定数量对象的概率问题。

无论是在抽样调查中、生物统计中，还是其他领域中，超几何分布都有着广泛的应用。

超几何分布
在不进行替换的情况下，可用于从相对较小的总体中提取的样本的离散分布。

从总体中选择项后，就不能再次选择该项了。

因此，选择特定项的几率会随着每一次试验不断增大（如果尚未选择此特定项）。

总体中的每一项都是事件或非事件。

样本中的事件数服从超几何分布。

这种分布用在 Fisher 精确检验中以检验两个比率之间的差异，并在从有限大小的孤立批次抽样时按属性抽样验收。

超几何分布由 3 个参数描述：总体大小、总体中的事件计数以及样本数量。

例如，您收到了 500 个标签的特殊订单供货。

假设有 2% 的标签是有缺陷的。

总体中的事件计数为 10 (.02 * 500)。

您抽取了 40 个标签作为样本，并且想要确定该样本中有 3 个或更多缺陷标签的概率。

该样本中有 3 个或更多缺陷标签的概率为 0.03841。

超几何分布和二项分布都描述了在固定试验数中事件发生的次数。

在二项分布中，试验是独立的。

对于超几何分布，每次试验都会改变每次后续试验的概率，因为不存在替换。

4．2 超几何分布【必备知识·自主学习】1.超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P(X ＝k)＝，max{0，n －(N －M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n ，M ，N∈N＋.若一个随机变量X 的分布列由上式确定，则称随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．如何正确理解超几何分布？提示：在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等．(1)在应用超几何分布解题时，应首先明确随机变量的取值是否满足超几何分布的使用范围．(2)在产品抽样中，一般采用不放回抽样．2．超几何分布的均值一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．( )(2)某贫困县辖15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，则P(X＝4)的概率为.( )(3)有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品件数的数学期望值是.( )提示：(1)√.X的可能取值为0，1，2，3，可求得P(X＝k)＝(k ＝0，1，2，3)，是超几何分布．(2)√.X服从超几何分布，因为有6个小镇交通不太方便，所以从6个不方便小镇中取4个，P(X＝4)＝.(3)×.设抽到的次品件数为随机变量ξ，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，则ξ服从超几何分布，所以Eξ＝n·.2．有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P(X≤1)＝( )A．B．C．D．【解析】选B.根据题意P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝.3．(教材例题改编)在含有3件次品的20件产品中，任取2件，则取到的次品数恰有1件的概率是________．【解析】由题意得：20件产品中，有3件次品，17件正品，故任取2件，恰有1件是次品的概率P＝＝＝.答案：【关键能力·合作学习】类型一超几何分布(数学运算)【典例】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．【思路导引】(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～N(0，1).(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1，2)服从超几何分布．【解析】(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.因此X的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝＝＝.②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，P(Y＝60)＝＝＝.因此随机变量Y的分布列为解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列；(2)他能及格的概率．【解析】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝r)＝(r＝0，1，2，3).所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的概率分布列为(2)他能及格的概率P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.类型二超几何分布的均值(数学运算)【典例】甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选．(1)求甲恰有2个题目答对的概率；(2)求乙答对的题目数X的分布列；(3)试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．【思路导引】(1)根据二项分布概率计算公式，计算出所求概率．(2)利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列．(3)由(2)计算出乙平均答对题目数的期望值．利用二项分布期望计算公式，计算出甲平均答对题目数的期望值．由此得到两人平均答对的题目数的大小相等．【解析】(1)因为甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，所以选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率P＝C＝.(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝，X的分布列为：(3)因为乙平均答对的题目数EX＝2×＋3×＋4×＝，甲答对题目Y～B，甲平均答对的题目数EY＝4×＝.因为EX＝EY所以甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数．超几何分布均值的求法(1)利用超几何分布的均值公式求解；(2)列出相应的概率分布列，根据均值公式求解．【补偿训练】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则EX为( )A．0 B．1 C．2 D．3【解析】选B.由题意，X的可能取值为0，1，2，由题中数据可得P(X＝0)＝＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＝1.备选类型概率统计的综合应用(逻辑推理)【典例】(2021·北京高二检测)为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试．下表是高二年级的5名学生的测试数据(单位：个/分钟)：(1)求高一、高二两个年级各有多少人？(2)设某学生跳绳m个/分钟，踢毽n个/分钟．当m≥175，且n≥75时，称该学生为“运动达人”．①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望．【思路导引】(1)按照比例求解即可；(2)①根据题意找出高二学生中“运动达人”的人数，根据概率公式即可求解；②找出ξ可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到ξ的期望．【解析】(1)设高一年级有a人，高二年级有b人．采用分层抽样，有＝，＝.所以高一年级有196人，高二年级有140人．(2)①由表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”．故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为.②ξ的所有可能取值为1，2，3.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为故ξ的期望Eξ＝1×＋2×＋3×＝.超几何分布应用范围超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N－M个)，任取n个，其中恰有X个A 的概率分布问题．【课堂检测·素养达标】1．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为( )A．1－B．C．D．【解析】选D.由超几何分布概率公式可知，所求概率为.2．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出产品中无次品的概率为( )A． B． C． D．【解析】选A.依题意可知，产品总数为13＋2＝15件，由超几何分布概率计算公式得取出产品中无次品的概率为＝＝＝. 3．袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于( )A．4 B．4.5 C．4.75 D．5【解析】选B.因为袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，所以ξ的可能取值为3，4，5，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，所以Eξ＝3×＋4×＋5×＝4.5.4．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是________；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望EX＝________．【解析】一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，基本事件总数n＝C＝10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m＝CC＝3，所以其中恰有2个小球颜色相同的概率是p＝＝；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.答案：4．2 超几何分布【必备知识·自主学习】1.超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布．如何正确理解超几何分布？提示：在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等．(1)在应用超几何分布解题时，应首先明确随机变量的取值是否满足超几何分布的使用范围．(2)在产品抽样中，一般采用不放回抽样．2．超几何分布的均值一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．( )(2)某贫困县辖15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，则P(X＝4)的概率为.( )(3)有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品件数的数学期望值是.( )提示：(1)√.X的可能取值为0，1，2，3，可求得P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)，是超几何分布．(2)√.X服从超几何分布，因为有6个小镇交通不太方便，所以从6个不方便小镇中取4个，P(X＝4)＝.(3)×.设抽到的次品件数为随机变量ξ，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n 件产品，则ξ服从超几何分布，所以Eξ＝n·.2．有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P(X≤1)＝( )A．B．C．D．【解析】选B.根据题意P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝.3．(教材例题改编)在含有3件次品的20件产品中，任取2件，则取到的次品数恰有1件的概率是________．【解析】由题意得：20件产品中，有3件次品，17件正品，故任取2件，恰有1件是次品的概率P＝＝＝.答案：【关键能力·合作学习】类型一超几何分布(数学运算)【典例】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．【思路导引】(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～N(0，1).(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1，2)服从超几何分布．【解析】(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.因此X的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝＝＝.②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，P(Y＝60)＝＝＝.因此随机变量Y的分布列为解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列；(2)他能及格的概率．【解析】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝r)＝(r＝0，1，2，3).所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的概率分布列为(2)他能及格的概率P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.类型二超几何分布的均值(数学运算)【典例】甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选．(1)求甲恰有2个题目答对的概率；(2)求乙答对的题目数X的分布列；(3)试比较甲，乙两人平均答对的题目数的大小，并说明理由．【思路导引】(1)根据二项分布概率计算公式，计算出所求概率．(2)利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列．(3)由(2)计算出乙平均答对题目数的期望值．利用二项分布期望计算公式，计算出甲平均答对题目数的期望值．由此得到两人平均答对的题目数的大小相等．【解析】(1)因为甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，所以选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率P＝C＝.(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2，3，4，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝，X的分布列为：(3)因为乙平均答对的题目数EX＝2×＋3×＋4×＝，甲答对题目Y～B，甲平均答对的题目数EY＝4×＝.因为EX＝EY所以甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数．超几何分布均值的求法(1)利用超几何分布的均值公式求解；(2)列出相应的概率分布列，根据均值公式求解．【补偿训练】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X表示所选3人中女生的人数，则EX 为( )A．0 B．1 C．2 D．3【解析】选B.由题意，X的可能取值为0，1，2，由题中数据可得P(X＝0)＝＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＝1.备选类型概率统计的综合应用(逻辑推理)【典例】(2021·北京高二检测)为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试．下表是高二年级的5名学生的测试数据(单位：个/分钟)：(1)求高一、高二两个年级各有多少人？(2)设某学生跳绳m个/分钟，踢毽n个/分钟．当m≥175，且n≥75时，称该学生为“运动达人”．①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望．【思路导引】(1)按照比例求解即可；(2)①根据题意找出高二学生中“运动达人”的人数，根据概率公式即可求解；②找出ξ可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到ξ的期望．【解析】(1)设高一年级有a人，高二年级有b人．采用分层抽样，有＝，＝.所以高一年级有196人，高二年级有140人．(2)①由表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”．故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为.②ξ的所有可能取值为1，2，3.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为故ξ的期望Eξ＝1×＋2×＋3×＝.超几何分布应用范围超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N－M 个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．【课堂检测·素养达标】1．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为( )A．1－B．C．D．【解析】选D.由超几何分布概率公式可知，所求概率为.2．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出产品中无次品的概率为( )A． B． C． D．【解析】选A.依题意可知，产品总数为13＋2＝15件，由超几何分布概率计算公式得取出产品中无次品的概率为＝＝＝.3．袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于( )A．4 B．4.5 C．4.75 D．5【解析】选B.因为袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，所以ξ的可能取值为3，4，5，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，所以Eξ＝3×＋4×＋5×＝4.5.4．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是________；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望EX＝________．【解析】一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，基本事件总数n＝C＝10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m＝CC＝3，所以其中恰有2个小球颜色相同的概率是p＝＝；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.答案：。