【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修二强化练习：2.4.2 空间两点的距离公式]

第四章 4.2 4.2.3一、选择题1．(2013～2014·宁波高二检测)过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在直线的方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0[答案] B2．若直线l 1：2x －5y ＋20＝0和直线l 2：mx ＋2y －10＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数m 的值为( )A ．5B ．－5C ．±5D ．以上都不对 [答案] A3．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2h [答案] B[解析] 建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为20千米，故处于危险区内的时间为2020＝1(h)．4．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．4 [答案] C[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．5．(山东高考题)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6 [答案] B[解析] 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×10×46＝20 6. 6．(2014·全国高考江西卷)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A ．45πB ．34πC ．(6－25)πD ．54π[答案] A[解析] 原点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离为d ，则d ＝45，点C 到直线2x ＋y －4＝0的距离是圆的半径r ，由题知C 是AB 的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB 中，圆C 过原点O ，即|OC |＝r ，所以2r ≥d ，所以r 最小为25，面积最小为4π5，故选A.二、填空题7．(2014·上海嘉定上学期期末)设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[答案] [0，43][解析] 首先集合A ，B 实际上是圆上的点的集合，即A ，B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43.8．已知直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9相交于E ，F 两点，圆心为点C ，则△CEF 的面积等于________．[答案] 2 5[解析] ∵圆心C (2，－3)到直线的距离为d ＝|2＋6－3|1＋(－2)2＝5，又R ＝3，∴|EF |＝2R 2－d 2＝4.∴S △CEF ＝12|EF |·d ＝2 5.9．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16相切于点M ，则|PM |的最小值________．[答案] 4[解析] 曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16是圆心为C (5,0)，半径为4的圆，连接CP ，CM ，则在△MPC 中，CM ⊥PM ，则|PM |＝|CP |2－|CM |2＝|CP |2－16，当|PM |取最小值时，|CP |取最小值，又点P 在直线l 1上，则|CP |的最小值是点C 到直线l 1的距离，即|CP |的最小值为d ＝|5＋3|1＋1＝42，则|PM |的最小值为(42)2－16＝4. 三、解答题10．(2013～2014·福州高一检测)如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) [解析] 如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)，圆O 方程x 2＋y 2＝252.直线AB 方程：x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ，则d ＝|－120|5＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ，则t ＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.11．有一种大型商品，A 、B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B 地的两倍，若A 、B 两地相距10 km ，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？[解析] 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如右图所示．设A (－5,0)，则B (5,0)．在坐标平面内任取一点P (x ，y )，设从A 地运货到P 地的运费为2a 元/km ，则从B 地运货到P 地的运费为a 元/km.若P 地居民选择在A 地购买此商品， 则2a (x ＋5)2＋y 2<a (x －5)2＋y 2， 整理得(x ＋253)2＋y 2<(203)2.即点P 在圆C ：(x ＋253)2＋y 2＝(203)2的内部．也就是说，圆C 内的居民应在A 地购物． 同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物． 圆C 上的居民可随意选择A 、B 两地之一购物．12．如图，直角△ABC的斜边长为定值4，以斜边的中点O为圆心作半径为3的圆，直线BC交圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．[证明]如右图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－2,0)，C(2,0)，P(－3,0)，Q(3,0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝4上．|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＋4×32＝2x2＋2y2＋6×32＝62(定值)．。

第一章 1.3 1.3.2一、选择题1．半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是( ) A ．22R 3 B ．43πR 3C ．893R 3D ．39R 3 [答案] C2．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( ) A ．6π6 B ．π2 C ．2π2D ．3π2π[答案] A [解析] 由6a 2＝4πR 2得a R＝2π3，∴V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝⎛⎭⎫2π33＝6π6.3．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )A ．65B ．5 4C ．4 3D ．32[答案] D[解析] 设球的半径为R ，则圆柱的高h ＝2R ，底面的半径也为R ，∴S 柱S 球＝2πR 2＋4πR 24πR 2＝32. 4．(2013～2014·山东临清中学高一第三次月考试题)已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．20 2B ．25 2C ．50πD ．200π[答案] C[解析] 长方体的体对角线即为球的直径，∴2R ＝32＋42＋52，∴R ＝522，S 球＝4πR 2＝50π.5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π[答案] D[解析] 本题是三视图还原为几何体的正投影问题．．．．．，考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.6．64个直径都为a4的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则( )A ．V 甲>V 乙且S 甲>S 乙B ．V 甲<V 乙且S 甲<S 乙C ．V 甲＝V 乙且S 甲>S 乙D ．V 甲＝V 乙且S 甲＝S 乙[答案] C[解析] 计算得V 甲＝16πa 3，S 甲＝4πa 2，V 乙＝16πa 3，S 乙＝πa 2，∴V 甲＝V 乙，且S 甲>S 乙．二、填空题7．(2013·陕西)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．[答案] 3π[分析] 由三视图可知该几何体为半个球，利用球的表面积公式求解即可．[解析] 由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S ＝π×12＋12×4×π×12＝3π.8．已知棱长为2的正方体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为________． [答案]36π[解析] 设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝36π9．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________．[答案] 31 2[解析] V 柱＝πR 2×2R ＝2πR 3， V 锥＝13πR 2×2R ＝2π3R 3，V 球＝43πR 3.V 柱V 锥V 球＝31 2.三、解答题10．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S 1、S 2、S 3，试比较它们的大小．[解析] 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ，∴R ＝334πa ，r ＝312πa ，∴S 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝ ⎛⎭⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2， ∴S 2<S 3.又6a 2>332πa 2＝354πa 2，即S 1>S 3. ∴S 1、S 2、S 3的大小关系是S 2<S 3<S 1.11．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm ，圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm 3(结果精确到0.1)?(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？[解析] (1)因为半球的直径是6 cm ，可得半径R ＝3 cm ， 所以两个半球的体积之和为 V 球＝43πR 3＝43π·27＝36π(cm 3)．又圆柱筒的体积为V 圆柱＝πR 2·h ＝π×9×2＝18π(cm 3)． 所以这种“浮球”的体积是：V ＝V 球＋V 圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm 3)． (2)根据题意，上下两个半球的表面积是 S 球表＝4πR 2＝4×π×9＝36π(cm 2)， 又“浮球”的圆柱筒的侧面积为： S 圆柱侧＝2πRh ＝2×π×3×2＝12π(cm 2)，所以1个“浮球”的表面积为 S ＝36π＋12π104＝48104π(m 2)．因此，2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S ＝2500×48104π＝12π(m 2)．因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为：100×12π＝1200π(克)． 12．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：m)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)． (2)求这个几何体的表面积及体积． [解析] (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42) cm 2，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．。

本册综合测试(B)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知空间两点P(－1,2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P、Q两点间的距离是() A．6B．2 2C．36D．2 5[答案] A[解析]由空间两点间距离公式，得|PQ|＝(3＋1)2＋(－2－2)2＋(－1＋3)2＝6.2．在数轴上从点A(－2)引一线段到B(3)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为() A．13 B．0C．8 D．－2[答案] C[解析]设点C的坐标为x，由题意，得d(A，B)＝3－(－2)＝5；d(B，C)＝x－3＝5，∴x＝8.3．空间中到A、B两点距离相等的点构成的集合是()A．线段AB的中垂线B．线段AB的中垂面C．过AB中点的一条直线D．一个圆[答案] B[解析]空间中线段AB的中垂面上的任意一点到A、B两点距离相等．4．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线；④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．其中正确的命题有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④[答案] D[解析] 垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选D.5．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )[答案] D[解析] 如图所示，由图可知选D.6．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my ＝0上任意一点M 关于直线x ＋y ＝0的对称点N 也在圆上，则m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] D[解析] 由题可知，直线x ＋y ＝0过圆心(1，－m2)，∴1－m2＝0，∴m ＝2.7．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5[答案] D[解析] 设圆心C (a,0)，由题意r ＝5＝|a |5，∴|a |＝5，∵a <0，∴a ＝－5，∴圆C 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.8．对于直线m 、n 和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是 ( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α D ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β[答案] C[解析] 对于选项C ，∵m ∥n ，n ⊥β，∴m ⊥β， 又∵m ⊂α，∴α⊥β.9．油槽储油20m 3，若油从一管道等速流出，则50min 流完．关于油槽剩余量Q (m 3)和流出时间t (min)之间的关系可表示为( )[答案] B[解析] 由题意知，油流出的速度为2050＝0.4m 3/min ，故油槽剩余油量Q 和流出时间t (min)之间的关系式为Q ＝20－0.4t ，故选B.10．若两圆分别为C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，则两圆的公切线的交点有且只有( )A ．1个B ．3个C ．4个D ．6个[答案] B[解析] ∵C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16， ∴圆C 1的圆心坐标为(－2,2)，半径r 1＝1， 圆C 2的圆心坐标为(2,5)，半径r 2＝4， 两圆心的距离d ＝|C 1C 2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，∵r 1＋r 2＝5，∴d ＝r 1＋r 2，两圆外切， ∴有3个交点．11．点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－∞，113 C.⎝⎛⎭⎫－113，113 D.⎝⎛⎭⎫－15，15 [答案] C[解析] ∵点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，∴(5a ＋1－1)2＋(12a 2)<1， 即25a 2＋144a 2<1，∴a 2<1169，∴－113<a <113.12．若直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0切于点P (－1,2)，则ab 的为( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由题意，得点P (－1,2)在直线ax ＋by －3＝0上，∴－a ＋2b －3＝0，即a ＝2b －3.圆x 2＋y 2＋4x －1＝0的圆心为(－2,0)，半径r ＝5，∴|－2a －3|a 2＋b2＝5，∴a 2－12a ＋5b 2－9＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b －3a 2－12a ＋5b 2－9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2.故ab ＝2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知两条直线l 1：ax ＋8y ＋b ＝0和l 2：2x ＋ay －1＝0(b <0)，若l 1⊥l 2且直线l 1的纵截距为1时，a ＝________，b ＝________.[答案] 0 －8[解析] ∵l 1⊥l 2，∴2a ＋8a ＝0， ∴a ＝0.又直线l 1：ax ＋8y ＋b ＝0，即8y ＋b ＝0的纵截距为1，∴b ＝－8.14．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －3＝0(m <0)的半径为2，则其圆心坐标为________． [答案] (－1,0)[解析] 方程x 2＋y 2－2mx －3＝0可化为(x －m )2＋y 2＝3＋m 2， ∴3＋m 2＝4，∴m 2＝1，∵m <0，∴m ＝－1.故圆心坐标为(－1,0)．15．正三棱锥的侧面积是27cm 2，底面边长是6cm ，则它的高是________． [答案]6cm[解析] 如图所示，正三棱锥P －ABC 的底边长为6，过点P 作PO ⊥平面ABC ，O 为垂足， 取AB 的中点D ，连接PD 、OD ， 由题意，得3×12×AB ×PD ＝27，∴PD ＝3.又OD ＝36×6＝3， ∴PO ＝PD 2－OD 2＝9－3＝6(cm)．16．一个半球的表面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的表面积是________．[答案]109Q [解析] 设半球的半径为R ，则圆柱的底面半径也为R ，设圆柱的高为h . 由题意得2πR 2＋πR 2＝Q ，∴R 2＝Q3π.又23πR 3＝πR 2h ，∴h ＝23R . ∴圆柱的表面积S ＝2πRh ＋2πR 2＝43πR 2＋2πR 2＝103πR 2＝103π·Q 3π＝109Q .三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)直线l 过点P (43，2)，且与x 轴，y 轴的正方向分别交于A ，B 两点，当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解析] 当斜率k 不存在时，不合题意．设所求直线的斜率为k ，则k ≠0，l 的方程为y －2＝k (x －43)．令x ＝0，得y ＝2－43k >0，令y ＝0，得x ＝43－2k >0，∴k <32.由S ＝12(2－43k )(43－2k )＝6，解得k ＝－3或k ＝－34.故所求直线方程为y －2＝－3(x －43)或y －2＝－34(x －43)，即3x ＋y －6＝0或3x ＋4y －12＝0.18．(本题满分12分)一个圆切直线l 1：x －6y －10＝0于点P (4，－1)，且圆心在直线l 2：5x －3y ＝0上，求该圆的方程．[解析] 解法一：过点P (4，－1)且与直线l 1：x －6y －10＝0垂直的直线的方程设为6x ＋y ＋c ＝0.把点P 的坐标代入上式，得c ＝－23， 即6x ＋y －23＝0.设所求圆的圆心为M (a ，b )， 则满足6a ＋b －23＝0.①又由题设知圆心M 在直线l 2：5x －3y ＝0上， 则5a －3b ＝0.②联立式①②，解得a ＝3，b ＝5， 即圆心M (3,5)， 因此半径r ＝|PM |＝(4－3)2＋(－1－5)2＝37，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.解法二(待定系数法)：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎨⎧|a－6b－10|37＝r(4－a)2＋(－1－b)2＝r25a－3b＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a＝3b＝5r2＝37.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.19．(本题满分12分)已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且经过点A(6,1)，求圆C的方程．[解析]∵圆心在直线x－3y＝0上，∴设圆心坐标为(3a，a)，又圆C与y轴相切，∴半径r＝3|a|，圆的标准方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝9a2，又∵过点A(6,1)，∴(6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，即a2－38a＋37＝0，∴a＝1或a＝37，∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝12 321.20．(本题满分12分)如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，Q为底面圆周上一点．(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝23，求此圆锥的体积．[解析](1)连接OC，∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，∴QB⊥SC，QB⊥OC，∴QB⊥平面SOC.∵OH⊂平面SOC，∴QB⊥OH，又∵OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB.(2)连接AQ.∵Q为底面圆周上的一点，AB为直径，∴AQ⊥QB.在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝23，∴AB＝23cos60°＝4.∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝12AB＝2，∴V圆锥＝13π·OA2·SO＝83π.21．(本题满分12分)如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB ＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．(1)求证：直线MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.[解析](1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又∵M是线段AC1的中点，∴MF∥AN.又∵MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)连接BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD .又∵AC ∩A 1A ＝A ，AC 、A 1A ⊂平面ACC 1A 1，∴BD ⊥平面ACC 1A 1.在四边形DANB 中，DA ∥BN ，且DA ＝BN ， ∴四边形DANB 为平行四边形， ∴NA ∥BD ， ∴NA ⊥平面ACC 1A 1. 又∵NA ⊂平面AFC 1， ∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.22．(本题满分14分)如图所示，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若BM MA ＝BNNC，求证：无论点P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊥MN ； (2)棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．[解析] (1)如图所示，连接B 1M 、B 1N 、AC 、BD ，则BD ⊥AC . ∵BM MA ＝BNNC ，∴MN ∥AC . ∴BD ⊥MN .∵DD 1⊥平面ABCD ，MN ⊂面ABCD ，∴DD 1⊥MN . ∴MN ⊥平面BDD 1.∵无论P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊂平面BDD 1，故总有MN ⊥BP .(2)存在点P，且P为DD1的中点，使得平面APC1⊥平面ACC1.∵BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面ACC1.取BD1的中点E，连接PE，则PE∥BD.∴PE⊥面ACC1.又∵PE⊂面APC1，∴面APC1⊥面ACC1.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第二、三章 平面向量 三角恒等变换综合测试题 新人教B 版必修4本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．有下列四个命题：①存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；②存在x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ； ③x ∈[0，π]，1－cos2x2＝sin x ； ④若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2. 其中不正确的是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③[答案] A[解析] ∵对任意x ∈R ，均有sin 2x2＋cos 2x2＝1，故①不正确，排除B 、D ；又x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin 2x ＝sin x ，故③正确，排除C ，故选A.2．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)若向量a ＝(2cos α，－1)，b ＝(2，tan α)，且a ∥b ，则sin α＝( )A ．22 B ．－22C ．±22D ．－12[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴2cos α·tan α＝－2，即sin α＝－22. 3．(2014·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)函数y ＝2cos 2x －1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数[答案] C[解析] y ＝2cos 2x －1＝cos2x ，故函数y ＝2cos2x 是最小正周期为π的偶函数． 4．在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( ) A ．－12B ．32C ．12或32D ．12[答案] D[解析] 由条件，得(4sin A ＋2cos B )2＝1，(2sin B ＋4cos A )2＝27， ∴20＋16sin A cos B ＋16sin B cos A ＝28. ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝12.即sin(A ＋B )＝12.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12.5．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π[答案] B[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2＋1 ＝1＋2sin x cos x ＋1＝2＋sin2x . ∴最小正周期T ＝π.6．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于( )A ．－1＋a2 B ．－1－a2 C ．－1＋a2D ．－1－a2[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2， ∴sin θ4<0，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.7．(2014·山东济宁梁山一中高一月考)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10[答案] B[解析] ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x －4＝0，∴x ＝2. 又∵b ∥c ，∴－4＝2y ，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)， ∴|a ＋b |＝32＋－2＝10.8．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A ． 3 B ．2 3 C ．4 D ．12[答案] B[解析] ∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2，|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2，∵a·b ＝|a|·|b |cos60°＝1， ∴|a ＋2b |＝4＋4＋4＝2 3.9．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值为( ) A ．62B ．32C ．54D ．1＋34[答案] C[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15° ＝1＋12sin30°＝54.10．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] C[解析] ∵m·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝1，∴3sin C ＋cos C ＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3.11．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由已知，得1－cos2A 2＋1－cos2B 2＋sin 2C ＝2，∴1－12(cos2A ＋cos2B )＋sin 2C ＝2，∴cos2A ＋cos2B ＋2cos 2C ＝0， ∴cos(A ＋B )·cos(A －B )＋cos 2C ＝0， ∴cos C [－cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝0， ∴cos A ·cos B ·cos C ＝0， ∴cos A ＝0或cos B ＝0或cos C ＝0. ∴△ABC 为直角三角形．12．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x[答案] C[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ， ∴f (x )＝2＋2x 2 ∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13.2tan150°1－tan 2150°的值为________． [答案] － 3[解析] 原式＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－331－⎝⎛⎭⎪⎫－332＝－233·32＝－ 3.14．已知向量a 、b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. [答案] 3 2[解析] ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝45°，|2a －b |＝10，∴4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝10，∴4－4×1×|b |cos45°＋|b |2＝10，∴|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝3 2.15．若1＋tan α1－tan α＝2 014，则1cos2α＋tan2α＝________.[答案] 2 014[解析] 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 014.16．在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513，则cos2A 的值为________．[答案]120169[解析] 在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513>0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1213.∴cos2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2A ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2×1213×513＝120169.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求值(tan5°－cot5°)·cos70°1＋sin70°.[解析] 解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan5°－1tan5°·cos70°1＋sin70° ＝tan 25°－1tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2·1－tan 25°2tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2cot10°·tan10°＝－2. 解法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin5°cos5°－cos5°sin5°·sin20°1＋cos20°＝sin 25°－cos 25°sin5°·cos5°·sin20°1＋cos20° ＝－cos10°12sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos10°sin10°－1sin10°1＋cos10°·sin20°1＋cos20°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos10°sin10°－1＋cos10°sin10°·sin20°1＋cos20°＝－2cos10°sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 18．(本小题满分12分)(2014·山东烟台高一期末测试)已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为2π3，求：(1)a 在b 方向上的投影； (2)(a －2b )·b .[解析] (1)a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝2×cos 2π3＝2×(－12)＝－1.(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝2×1×cos 2π3－2×1＝－1－2＝－3.19．(本小题满分12分)(2014·山东济宁梁山一中高一月考)已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2.(1)求tan α的值；(2)求2α＋π4α－sin αcos2α的值．[解析] (1)tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α＝2，∴tan α＝13.(2)∵α为锐角，tan α＝13，∴sin α＝1010，cos α＝31010. ∴sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝35， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×110＝45.∴2α＋π4α－sin αcos2α＝n2α＋cos2αα－sin αcos2α＝35＋4531010－101045＝2105. 20．(本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求tan α＋β2的值．[解析] ∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459. 又∵π4<α2<π2，∴－π4<α2－β<π2.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53.故sin α＋β2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝459×53－⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×23＝2227， cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴tan α＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝22277527＝22535.21．(本小题满分12分)设平面内两向量a⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，k 、t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－ka ＋tb 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )； (2)求函数k ＝f (x )的最小值． [解析] (1)∵x⊥y ，∴x·y ＝0， 即[a ＋(t －3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，∴－ka 2＋t (t －3)b 2－k (t －3)a·b ＋ta·b ＝0.由|a |＝2，|b |＝1，a·b ＝0，可得－4k ＋t (t －3)＝0.∵k 、t 不同时为0，则t ≠0，∴k ＝t t －4，即f (t )＝t t －4(t ≠0)．(2)f (t )＝t 2－3t 4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫t －322－94.故当t ＝32时，f (t )min ＝－916.22．(本小题满分14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ， ∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，得sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，∴1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. ∴－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又∵0<θ<π，∴π4<2θ＋π4<9π4，∴2θ＋π4＝5π4或7π4.∴θ＝π2或θ＝3π4.。

第一章综合测试(A)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2014·广西南宁高一期末测试)用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”正确的是()A．A∈l，l⊄αB．A∈l，l∉αC．A⊂l，l∉αD．A⊂l，l⊄α[答案] A[解析]点在直线上用“∈”表示，直线在平面外用“⊄”表示，故选A.2．(2014·河北邢台一中高一月考)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．平面α内所有直线与l异面B．平面α内存在惟一的直线与l平行C．平面α内不存在与l平行的直线D．平面α内的直线都与l相交[答案] C[解析]∵直线l不平行于平面α，且l⊄α，∴l与平面α相交，故平面α内不存在与l 平行的直线．3．一长方体木料，沿图①所示平面EFGH截长方体，若AB⊥CD那么图②四个图形中是截面的是()[答案] A[解析]因为AB、MN两条交线所在平面(侧面)互相平行，故AB、MN无公共点，又AB、MN在平面EFGH内，故AB∥MN，同理易知AN∥BM.又AB⊥CD，∴截面必为矩形．4．(2014·湖南永州市东安天成实验中学高一月考)正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线AC1的长为3cm，则它的体积为()A．4cm3B．8cm3C.11272cm 3 D ．33cm 3[答案] D[解析] 设正方体的棱长为a cm ，则3a 2＝9，∴a ＝ 3.则正方体的体积V ＝(3)3＝33(cm 3)．5．(2014·山东菏泽高一期末测试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．2πB ．4πC ．πD ．8π[答案] C[解析] 由三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为2的圆柱的一半，其体积V ＝12×π×12×2＝π.6．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.π6 B.2π3 C.3π2D.4π3[答案] A[解析] 将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，球的直径应等于正方体的棱长，故球的半径为R ＝12，∴球的体积为V ＝43πR 3＝43π×(12)3＝π6.7．设α表示平面，a 、b 、l 表示直线，给出下列命题，①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥l b ⊥la ⊂αb ⊂α⇒l ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄αb ⊂αa ⊥b ⇒a ⊥α； ④直线l 与平面α内无数条直线垂直，则l ⊥α.其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] ①错，缺a 与b 相交的条件；②错，在a ∥α，a ⊥b 条件下，b ⊂α，b ∥α，b 与 α斜交，b ⊥α都有可能；③错，只有当b 是平面α内任意一条直线时，才能得出a ⊥α，对于特定直线b ⊂α，错误；④错，l 只要与α内一条直线m 垂直，则平面内与m 平行的所有直线就都与l 垂直，又l 垂直于平面内的一条直线是得不出l ⊥α的．8．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )[答案] B[解析] (可用排除法)由正视图可把A ，C 排除， 而由左视图把D 排除，故选B.9．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是，这截面把圆锥母线分为两段的比是( )A ．B ．(3－1)C ．D.3[答案] B[解析] 如图由题意可知，⊙O 1与⊙O 2面积之比为，∴半径O 1A 1与OA 之比为3，∴P A 1P A ＝13，∴P A 1AA 1＝13－1. 10．在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E 、交CC ′于F ，则以下结论中错误的是( )A ．四边形BFD ′E 一定是平行四边形B ．四边形BFD ′E 有可能是正方形C ．四边形BFD ′E 有可能是菱形D ．四边形BFD ′E 在底面投影一定是正方形 [答案] B[解析] 平面BFD ′E 与相互平行的平面BCC ′B ′及ADD ′A ′的交线BF ∥D ′E ，同理BE ∥D ′F ，故A 正确．特别当E 、F 分别为棱AA ′、CC ′中点时，BE ＝ED ′＝BF ＝FD ′，则四边形为菱形，其在底面ABCD 内的投影为正方形ABCD ，∴选B.11．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在()A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．△ABC 内部[答案] B[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AC ⊥ABAC ⊥BC 1AB ∩BC 1＝B ⇒AC ⊥平面ABC 1 AC ⊂平面ABC⇒平面ABC 1⊥平面ABC ，⎭⎪⎬⎪⎫ 平面ABC 1∩平面ABC ＝AB C 1H ⊥平面ABC ⇒H 在AB 上． 12．如图1，在透明密封的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1容器内已灌进一些水，固定容器底面一边BC 于水平的地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的变化，有下列四个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；②水面四边形EFGH 的面积不会改变； ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④当点E 、F 分别在棱BA 、BB 1上移动时(如图2)，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．③④ D ．①②[答案] B[解析] 由于BC 固定于水平地面上， ∴由左右两个侧面BEF ∥CGH ，可知①正确； 又∵A 1D 1∥BC ∥FG ∥EH ，∴③正确； 水的总量保持不变，总体积V ＝12BE ·BF ·BC ，∵BC 一定，∴BE ·BF 为定值，故④正确；水面四边形随着倾斜程度不同，面积随时发生变化， ∴②错．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．用斜二测画法，画得正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________． [答案] 72 [解析] 由S 直＝24S 原，得S 原＝22S 直＝22×182＝72. 14．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．[答案][解析] 设球半径为a ，则圆柱、圆锥、球的体积分别为：πa 2·2a ，13πa 2·2a ，43πa 3.所以体积之比2πa 323πa 343πa 3＝2343＝15．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件其构成真命题(其中l 、m 为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥mm ∥α ⇒l ∥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β ⇒l ∥α. [答案] l ⊄α[解析] ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”．它同样适合②③，故填l ⊄α.16．一块正方形薄铁片的边长为4cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm 3.[答案]153π [解析] 据已知可得圆锥的母线长为4，设底面半径为r ， 则2πr ＝π2·4⇒r ＝1(cm)，故圆锥的高为h ＝42－1＝15(cm)， 故其体积V ＝13π·1215＝15π3(cm 3)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．[解析] 圆台轴截面如图，设上、下底半径分别为x 和3x ，截得圆台的圆锥顶点为S ，在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，∴SO ＝AO ＝3x ，∴OO 1＝2x ，又轴截面积为S ＝12(2x ＋6x )·2x ＝392，∴x ＝7，∴高OO 1＝14，母线长l ＝2OO 1＝142，∴圆台高为14cm ，母线长为142cm ，两底半径分别为7cm 和21cm.18．(本题满分12分)(2014·陕西汉中市南联中学高一期末测试)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，E 为棱CC 1的中点．(1)求四棱锥E －ABCD 的体积； (2)求证：B 1D 1⊥AE ； (3)求证：AC ∥平面B 1DE .[解析] (1)V E －ABCD ＝13×1×2×2＝43.(2)∵BD ⊥AC ，BD ⊥CE ，CE ∩AC ＝C ， ∴BD ⊥平面ACE ， ∴BD ⊥AE 1，又∵BD ∥B 1D 1，∴B 1D 1⊥AE .(3)如图，取BB 1的中点F ，连接AF 、CF 、EF .则EF 綊AD ，∴四边形ADEF 为平行四边形， ∴AF ∥DE .又CF ∥B 1E ，AF ∩CF ＝F ，DE ∩B 1E ＝E ， ∴平面AFC ∥平面B 1DE ， ∴AC ∥平面B 1DE .19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F.(1)证明P A∥平面EDB；(2)证明PB⊥平面EFD.[解析](1)如图，设AC交BD于O，连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．△P AC中，EO是中位线．∴P A∥EO，而EO⊂平面EDB，且P A⊄平面EDB.∴P A∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC.由PD＝DC知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC①又由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC，而DE⊂面PDC，∴BC⊥DE②由①和②推得DE⊥平面PBC，而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF＝F，所以PB⊥平面EFD.20．(本题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、AC的中点．(1)求证：MN ∥平面BCD 1A 1； (2)求证：MN ⊥C 1D ； (3)求VD －MNC 1.[解析] (1)连接A 1C ，在△AA 1C 中，M 、N 分别是AA 1、AC 的中点，∴MN ∥A 1C .又∵MN ⊄平面BCA 1D 1且A 1C ⊂平面BCD 1A 1， ∴MN ∥平面BCD 1A 1.(2)∵BC ⊥平面CDD 1C 1，C 1D ⊂平面CDD 1C 1， ∴BC ⊥C 1D .又在平面CDD 1C 1中，C 1D ⊥CD 1，BC ∩CD 1＝C ， ∴C 1D ⊥平面BCD 1A 1，又∵A 1C ⊂平面BCD 1A 1，∴C 1D ⊥A 1C ， 又∵MN ∥A 1C ，∴MN ⊥C 1D . (3)∵A 1A ⊥平面ABCD ，∴A 1A ⊥DN ， 又∵DN ⊥AC ，∴DN ⊥平面ACC 1A 1， ∴DN ⊥平面MNC 1.∵DC ＝2，∴DN ＝CN ＝2，∴NC 21＝CC 21＋CN 2＝6， MN 2＝MA 2＋AN 2＝1＋2＝3，MC 21＝A 1C 21＋MA 21＝8＋1＝9， ∴MC 21＝MN 2＋NC 21，∴∠MNC 1＝90°， ∴S △MNC 1＝12MN ·NC 1＝12×3×6＝322，∴VD －MNC 1＝13·DN ·S △MNC 1＝13·2·322＝1.21．(本题满分12分)(2014·山东文，18)如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E 、F 分别为线段AD 、PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .[解析] (1)证明：如图所示，连接AC 交BE 于点O ，连接OF .∵E 为AD 中点，BC ＝12AD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCE 为平行四边形． ∴O 为AC 的中点，又F 为PC 中点， ∴OF ∥AP .又OF ⊂面BEF ，AP ⊄面BEF ， ∴AP ∥面BEF .(2)由(1)知四边形ABCE 为平行四边形． 又∵AB ＝BC ，∴四边形ABCE 为菱形． ∴BE ⊥AC .由题意知BC 綊12AD ＝ED ，∴四边形BCDE 为平行四边形． ∴BE ∥CD .又∵AP ⊥平面PCD ， ∴AP ⊥CD . ∴AP ⊥BE . 又∵AP ∩AC ＝A ， ∴BE ⊥面P AC .22．(本题满分14分)(2014·广东文，18)如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图2折叠，折痕EF ∥DC .其中点E 、F 分别在线段PD 、PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF.(1)证明：CF ⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M －CDE 的体积．[解析] (1)如图PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，MD ⊂平面ABCD ，MD ⊥CD ，∴MD ⊥平面PCD ， CF ⊂平面PCD ，∴CF ⊥MD ，又CF ⊥MF ，MD ，MF ⊂平面MDF ，MD ∩MF ＝M ， ∴CF ⊥平面MDF .(2)∵CF ⊥平面MDF ，∴CF ⊥DF ，又易知∠PCD ＝60°，∴∠CDF ＝30°，从而CF ＝12CD ＝12，∵EF ∥DC ，∴DE DP ＝CF CP ，即DE 3＝122，∴DE ＝34， ∴PE ＝334，S △CDE ＝12CD ·DE ＝38， MD ＝ME 2－DE 2＝PE 2－DE 2 ＝(334)2－(34)2＝62， ∴V M －CDE ＝13S △CDE ·MD ＝13×38×62＝216.。

第二章 2.2.4一、选择题1．已知两点A(－2，－4)、B(1,5)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为导学号 03310705( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．1或3[答案] C[解析] 由题意|－2a －4＋1|a 2＋1＝|a ＋5＋1|a 2＋1，解得a ＝－3或3．2．若点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP|的最小值是导学号 03310706( )A ．10B ．2 2C ． 6D ．2[答案] B[解析] |OP|的最小值即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离，由点到直线的距离公式，得d ＝|－4|12＋12＝22．3．已知点A(a,2)(a>0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝导学号 03310707( ) A ．2 B ．2－ 2C ．2－1D ．2＋1[答案] C[解析] 由点到直线距离公式，得：|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a>0，∴a ＝2－1．4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是导学号 03310708( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0 D ．3x ＋y －5＝0 [答案] A[解析] 所求直线与两点A(1,2)、O(0,0)连线垂直时与原点距离最大．5．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ|的最小值为导学号 03310709( )A ．95B ．185C ．2910D ．295[答案] C[解析] |PQ|的最小值即为两平行直线的距离d ＝|－12－52|32＋42＝2910． 6．已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l 1：x －2y ＋1＝0和l 2：3x －y －2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是导学号 03310710( )A ．2x －y ＋7＝0和x －3y －4＝0B ．x －2y ＋7＝0和3x －y －4＝0C ．x －2y ＋7＝0和x －3y －4＝0D ．2x －y ＋7＝0和3x －y －4＝0[答案] B[解析] 解法一：l 1关于P(2,3)的对称直线l 3，l 2关于P(2,3)的对称直线l 4，就是另两边所在直线．解法二：因为另两边分别与l 1、l 3平行且到P(2,3)距离分别相等， ∴设l 3：x －2y ＋c 1＝0，l 4：3x －y ＋c 2＝0，由点到直线距离公式得出．解法三：l 1的对边与l 1平行应为x －2y ＋c ＝0形式排除A 、D ；l 2对边也与l 2平行，应为3x －y ＋c 1＝0形式排除C ，∴选B ．二、填空题7．两平行直线x ＋3y －5＝0与x ＋3y －10＝0的距离是________.导学号 03310711 [答案]102[解析] 由两平行线间的距离公式，得d ＝|－5＋10|12＋32＝102．8．过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________. 导学号 03310712[答案] 3x －y ＋10＝0[解析] 设原点为O ，则所求直线过点A(－3,1)且与OA 垂直，又k OA ＝－13，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y －1＝3(x ＋3)．即3x －y ＋10＝0．三、解答题9．已知正方形中心G(－1,0)，一边所在直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线方程.导学号 03310713[解析] 正方形中心G(－1,0)到四边距离相等，均为|－1－5|12＋32＝610． 设与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋c 1＝0， 由|－1＋c 1|10＝610，∴c 1＝－5(舍去)或c 1＝7．故与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0． 设另两边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0． 由－＋c 2|10＝610，得c 2＝9或c 2＝－3．∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0．综上可知另三边所在直线方程分别为：x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0． 10．如图，在△ABC 中，顶点A 、B 和内心I 的坐标分别为A(9,1)、B(3,4)、I(4,1)，求顶点C 的坐标.导学号 03310714[解析] AB 边所在直线方程为y －14－1＝x －93－9，即x ＋2y －11＝0． 内心I 到直线AB 的距离， d ＝|4＋2×1－11|5＝5．可设AC 边所在直线的方程为y －1＝k(x －9)， 即kx －y ＋1－9k ＝0．又I 到直线AC 的距离也是5， ∴|4k －1＋1－9k|k 2＋1＝5，解得k ＝±12． ∵k AB ＝－12，∴k ＝12．故AC 所在直线的方程为y －1＝12(x －9)，即x －2y －7＝0．同理，可求BC 边所在直线方程为2x －y －2＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0x －2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－4． 故C 点坐标为(－1，－4).一、选择题1．与直线l ：3x －4y －1＝0平行且到直线l 的距离为2的直线方程是导学号 03310715( )A ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0B ．3x －4y －11＝0C ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0D ．3x －4y ＋9＝0 [答案] A[解析] 设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由题意得|m －－32＋－2＝2，解得m ＝9或－11．2．两平行直线l 1、l 2分别过点P(－1,3)、Q(2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是导学号 03310716( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17][答案] C[解析] 当这两条直线l 1、l 2与直线PQ 垂直时，d 达到最大值，此时d ＝＋2＋－1－2＝5．∴0<d≤5． 二、填空题3．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为________.导学号 03310717[答案] (1,2)或(2，－1)[解析] 设点P 的坐标为(a,5－3a)，由题意得|a －－－1|12＋－2＝2，解得a ＝1或2．∴点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．4．与三条直线l 1：x －y ＋2＝0，l 2：x －y －3＝0，l 3：x ＋y －5＝0，可围成正方形的直线方程为__________.导学号 03310718[答案] x ＋y －10＝0或x ＋y ＝0 [解析] ∵l 1∥l 2其距离d ＝|2－－2＝522．所求直线l 4∥l 3，设l 4：x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋5|2＝522，∴c ＝0或－10，∴所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0． 三、解答题5．△ABC 的三个顶点是A(－1,4)、B(－2，－1)、C(2,3).导学号 03310719 (1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S ．[解析] (1)设BC 边的高所在直线为l ， 由题意知k BC ＝3－－2－－＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A(－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0． (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A(－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋－2＝22，又|BC|＝－2－2＋－1－2＝42，则S △ABC ＝12·|BC|·d ＝12×42×22＝8．6．已知直线l 经过点A(2,4)，且被平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y －1＝0所截得的线段的中点M 在直线x ＋y －3＝0上．求直线l 的方程.导学号 03310720[解析] 解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上， ∴设点M 坐标为(t,3－t)，则点M 到l 1、l 2的距离相等， 即|t －－＋1|2＝|t －－－1|2，解得t ＝32，∴M ⎝⎛⎭⎫32，32． 又l 过点A(2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0．解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝32y ＝32．∴M ⎝⎛⎭⎫32，32.又l 过点A(2,4)，故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0． 解法三：由题意知直线l 的斜率必存在， 设l ：y －4＝k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝－x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k －5k －1y ＝k －4k －1．∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1． ∵M 为中点，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1．又点M 在直线x ＋y －3＝0上， ∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5． 故所求直线l 的方程为y －4＝5(x －2)， 即5x －y －6＝0．7．已知直线l 过点P(3,1)，且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0 截得的线段的长为5，求直线l 的方程.导学号 03310721[解析] 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得线段A′B′的长为|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k(x －3)＋1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－＋1x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－＋1x ＋y ＋6＝0，得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1．∵|AB|＝5， ∴⎝⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＋1k ＋1＋9k －1k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1． 综上可知，所求直线的方程为x ＝3或y ＝1．。

第一章 1.3 1.3.1 第2课时一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( ) A ．63 B ．36 C ．11 D ．12[答案] A[解析] 设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [答案] A[解析] 由题意，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，∴h ＝3.3．(2013～2014学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )A ．1B ．12C ．13D ．16[答案] D[解析] 由三视图知，该几何体是三棱锥． 体积V ＝13×12×1×1×1＝16.4．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π[答案] D[解析] 如图过A 作AD 垂直BC 于点D ，此几何体为一个大圆锥挖去一个小圆锥V ＝13π×(3)2×4－13π×(3)2×1＝3π.故选D.5．(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4B ．143C ．163D ．6[答案] B[分析] 根据三视图可知此几何体为棱台，分别确定棱台的底面面积和高即可求得体积．[解析] 由四棱台的三视图可知，台体上底面积S 1＝1×1＝1，下底面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.6．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为( )A ．29 cmB ．30 cmC ．32 cmD ．48 cm [答案] A[解析] 图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h ，则有π×12(h －20)＝π×32(h －28)，解得h ＝29(cm)．二、填空题7．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________. [答案]3[解析] 设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3.8．(2013·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点．设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.[答案] 124[分析] 找到棱锥的底、高与棱柱的底、高之间的关系，从而可以得出它们的体积之比． [解析] 设三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ＝124V 2，即V 1V 2＝124. 9．(2014·全国高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的的侧面积相等且S 1S 2＝94，则V 1V 2＝________.[答案] 3 2[解析] 设甲圆柱底面半径r 1，高h 1，乙圆柱底面半径r 2，高h 2，S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32，又侧面积相等得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝23.因此V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32.三、解答题10．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．[解析] 如图所示，作轴截面A 1ABB 1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r ，R ，l ，高为h .作A 1D ⊥AB 于点D ， 则A 1D ＝3.又∵∠A 1AB ＝60°，∴AD ＝A 1D ·1tan60°，即R －r ＝3×33，∴R －r ＝ 3. 又∵∠BA 1A ＝90°，∴∠BA 1D ＝60°. ∴BD ＝A 1D ·tan60°，即R ＋r ＝3×3， ∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝3，而h ＝3， ∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2] ＝21π.所以圆台的体积为21π.11．已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．[分析] 应用锥体的侧面积和体积的计算公式求解． 解题流程：△ABC 的特征――→AC ⊥BC 旋转体是两个同底圆锥――→底面半径为CD 求表面积――→高BD ，AD求体积[解析] 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D . 由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， 知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC . 所以BC ·AC ＝AB ·CD ， 所以CD ＝125，记为r ＝125，那么△ABC 以AB 为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π，V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB＝13π×(125)2×5＝485π. [特别提醒] 求旋转体的有关问题常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题来解决．对于与旋转体有关的组合体问题，要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积．12．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．[解析] 该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为13×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.。

第二章 2.3 2.3.1一、选择题1．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足( ) A ．是圆心 B ．在圆上 C ．在圆内 D ．在圆外[答案] C[解析] 因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4， 故点P (3,2)在圆内．2．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为( ) A ．(－1,2)，2 B ．(1，－2)，2 C ．(－1,2)，4 D ．(1，－2)，4 [答案] A[解析] 圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标为(－1,2)，半径r ＝2. 3．已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100 [答案] B[解析] 圆心为(－1,1)，半径r ＝(－1－3)2＋(1＋2)2＝5，故选B.4．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，1－t 21＋t 2与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．与t 有关[答案] C [解析] |PO |＝⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 21＋t 22＝1，故点P 在圆上．5．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5 [答案] A[解析] 圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即对称圆的圆心为(2,0)，对称圆的半径等于已知圆的半径，故选A.6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0[答案] A[解析] ∵点P (2，－1)为弦AB 的中点，又弦AB 的垂直平分线过圆心(1,0)， ∴弦AB 的垂直平分线的斜率k ＝0－(－1)1－2＝－1，∴直线AB 的斜率k ′＝1，故直线AB 的方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0. 二、填空题7．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________. [答案] ±2[解析] ∵点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴1＋3＝m 2，∴m ＝±2.8．圆心既在直线x －y ＝0上，又在直线x ＋y －4＝0上，且经过原点的圆的方程是__________________．[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝8[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2.∴圆心坐标为(2,2)，半径r ＝22＋22＝22， 故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8. 三、解答题9．求经过点P (5,1)，圆心为点C (8，－3)的圆的标准方程． [解析] 由题意知，圆的半径 r ＝|CP |＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5， 圆心为点C (8，－3)．∴圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.一、选择题1．过点A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x－1)2＋(y－3)2＝2C．(x－5)2＋(y－5)2＝25D．(x－1)2＋(y－1)2＝1[答案] A[解析]由题意可设圆心为(a，a)，则半径r＝a，圆方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，又点A(1,2)在圆上，∴(1－a)2＋(2－a)2＝a2，解得a＝1或a＝5.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25.2．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到原点的最大距离是()A．5－10 B．5＋10C.10 D．10[答案] B[解析]圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25的圆心为A(－3,1)，半径r＝5，O为坐标原点，|OA|＝(－3)2＋12＝10，如图所示，显然圆上的点到原点O的最大距离为|OA|＋r＝10＋5.3．方程y＝9－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆[答案] D[解析]由y＝9－x2，得y≥0，两边平方得x2＋y2＝9，∴曲线为半圆．4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] D[解析](－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限内点的坐标的性质得解．二、填空题5．经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是__________________． [答案] (x ＋2)2＋y 2＝2[解析] ∵圆过原点，圆心在x 轴的负半轴上，∴圆心的横坐标的相反数等于圆的半径，又半径等于2，故圆心坐标为(－2，0)，所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.6．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________． [答案] 5＋ 2[解析] 点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离2加上半径长5，即为5＋ 2.三、解答题7．求满足下列条件的各圆的标准方程：(1)圆心在直线5x －3y ＝8上，且与两坐标轴相切； (2)经过点A (－1,4)、B (3,2)且圆心在y 轴上． [解析] (1)设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. ∵圆与坐标轴相切，∴a －b ＝0或a ＋b ＝0， 又圆心在直线5x －3y ＝8上， ∴5a －3b ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧5a －3b ＝8a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧5a －3b ＝8a ＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1. ∴圆心为(4,4)时，半径r ＝4，圆心为(1，－1)时，半径r ＝1.故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16，或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.(2)∵圆心在y 轴上，∴设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. 又∵点A (－1,4)、B (3,2)在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)2＋(4－b )2＝r 232＋(2－b )2＝r 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1r 2＝10. 故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.8．已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m ，高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3.即在离中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，货车不能驶入这个隧道．9．过点A(1,1)、B(－1,3)且面积最小的圆的方程．[解析]过A、B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆，∴圆心坐标为(0,2)，半径r＝12|AB|＝12(－1＋1)2＋(1－3)2＝12×8＝2，∴所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝2.。