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北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（文科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分。
考试时长120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题。
（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合{}22|<<-∈=x R x A ，{}034|2≥+-∈=x x R x B ，则=⋂B A （ ）A. ]1,2(-B. ()1,2-C. ()2,2-D. ()),3[2,∞+⋃∞-2. 已知复数i a z 21+=，i z 212-=，若21z z 是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A. 2-B. 1C. 2D. 43. “3π=x ”是“21cos =x ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为55=s ，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（ ）A. 11≤kB. 10≤kC. 9≤kD. 8≤k5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个棱锥的侧面积是（ ）A. 24cmB. 212cmC. 2248cm +D. 232244cm ++6. 已知()a x x f x ++=2||2有唯一的零点，则实数a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D. 07. 如图，直线2-=x y 与圆03422=+-+x y x 及抛物线x y 82=依次交于A 、B 、C 、D 四点，则=+||||CD AB （ ）A. 13B. 14C. 15D. 168. 已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=,0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-∞-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()0,2-第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题。
2012年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b +(a −2)i =1+i ，则a +b 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 42. 若集合A ={0, m 2}，B ={1, 2}，则“m =1”是“A ∪B ={0, 1, 2}”的( )A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件 3. 设实数x ，y 满足不等式组{y +x ≤1y −x ≤2y ≥0，则z =x −2y 的最小值是（ ）A −72B −2C 1D 524. 如图给出的是计算12+14+16+18+⋯+1100的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A i <50B i >50C i <25D i >255. 某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ） A 16 B 18 C 24 D 326. 已知x ，y ，z ∈R ，若−1，x ，y ，z ，−3成等比数列，则xyz 的值为（ ）A −3B ±3C −3√3D ±3√37. 在直角梯形ABCD 中，已知BC // AD ，AB ⊥AD ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝4，若P 为CD 的中点，则PA →⋅PB →的值为（ ） A −5 B −4 C 4 D 58. 已知函数f(x)={2−x −1(x ≤0)f(x −1)(x >0) ，若方程f(x)＝x +a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A (−∞, 1]B (0, 1)C [0, +∞)D (−∞, 1)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 命题“∃x ∈(0, π2)，tanx >sinx”的否定是________．10. 在极坐标系中，圆ρ=2的圆心到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离为________．11. 在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是________；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是________组．12. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙O 于点D ，且与AB 延长线交于点C ，若CD =√3，CB =1，则∠ADE =________．13. 抛物线y 2=x 的准线方程为________；经过此抛物线的焦点和点M(1, 1)，且与准线相切的圆共有________个．14. 如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点M 在AD 上，正方形ABCD 以AD 为轴逆时针旋转θ角(0≤θ≤π3)到AB 1C 1D 的位置，同时点M 沿着AD 从点A 运动到点D ，MN 1→=DC 1→，点Q 在MN 1上，在运动过程中点Q 始终满足|QM →|=1cosθ，记点Q 在面ABCD 上的射影为Q 0，则在运动过程中向量BQ 0→与BM →夹角α的正切的最大值为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 已知函数f(x)=(sin2x +cos2x)2−2sin 22x ． （1）求f(x)的最小正周期；（2）若函数y =g(x)的图象是由y =f(x)的图象向右平移π8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈[0, π4]时，求y =g(x)的最大值和最小值．16. 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．17. 在正△ABC 中，E ，F ，P 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，满足AEEB =CFFA =CPPB =12，将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角A 1−EF −B 成直二面角，连接A 1B ，A 1P ．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．18. 已知函数f(x)=12x2+2ex−3e2lnx−b在(x0, 0)处的切线斜率为零．（1）求x0和b的值；（2）求证：在定义域内f(x)≥0恒成立；（3）若函数F(x)=f′(x)+ax有最小值m，且m>2e，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是12，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的端点，△A1BA2的面积为2√3．（1）求椭圆C的方程；（2）F2为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=4分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线PF2相切于点F2．20. 若对于正整数k，g(k)表示k的最大奇数因数，例如g(3)=3，g(10)=5．设S n=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+⋯+g(2n)．（1）求g(6)，g(20)的值；（2）求S1，S2，S3的值；（3）求数列{S n}的通项公式．2012年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. B3. A4. B5. C6. C7. D8. D9. ∀x∈(0,π2)，tanx≤sinx10. √211. 84,乙12. 60∘13. x=−14,214. √61215. 解：（1）因为f(x)=(sin2x +cos2x)2−2sin 22x =sin4x +cos4x =√2sin(4x +π4)，… 所以函数f(x)的最小正周期为π2．…（2）依题意，y =g(x)=√2sin[4(x −π8)+π4]+1=√2sin(4x −π4)+1．…因为0≤x ≤π4，所以−π4≤4x −π4≤3π4．…当4x −π4=π2，即x =3π16时，g(x)取最大值√2+1；当4x −π4=−π4，即x =0时，g(x)取最小值0．…16. 生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．17. 解：不妨设正三角形的边长为3．（1）在图1中，取BE 的中点D ，连接DF ． ∵ AEEB =CFFA =CPPB =12，AF =AD =2，又∠A =60∘，△ADF 为正三角形．又∵ AE =ED =1， ∴ EF ⊥AD ，∴ 在图2中有A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ．∴ ∠A 1EB 为二面角A 1−EF −B 的平面角． ∵ 二面角A 1−EF −B 为直二面角， ∴ A 1E ⊥BE又∵ BE ∩EF =E ，∴ 即A 1E ⊥平面BEF ，即A 1E ⊥平面BEP（2）由（1）可知，A 1E ⊥平面BEP ，BE ⊥EF ，建立坐标系则E(0, 0, 0)，A 1(0, 0, 1)，B(2, 0, 0)，F(0, √3, 0)，D(1, 0, 0)，不难得出EF // DP 且EF =DP ，DE // EP 且DE =FP ． 故P 点的坐标为(1, √3, 0)，∴ A 1B →=(2,0,−1)，BP →=(−1,√3,0)，EA 1→=(0,0,1) 设平面A 1BP 的法向量n 1→=(x, y, z)， 则{BP →⋅n 1→=√3y −x =0˙∴ n 1→=(3,√3,6)． ∴ sin <n 1→，EA 1→>=|n 1→|⋅|EA 1→|˙=√32． ∴ A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小为π3．18. （1）解：求导函数可得f′(x)=x +2e −3e 2x．…由题意有f ′(x 0)=0，即x 0+2e −3e 2x 0=0，解得x 0=e 或x 0=−3e （舍去）．…∴ f(e)=0即12e 2+2e 2−3e 2lne −b =0，解得b =−12e 2． … （2）证明：由（1）知f(x)=12x 2+2ex −3e 2lnx +e 22(x >0)，f ′(x)=x +2e −3e 2x=(x−e)(x+3e)x(x >0)．在区间(0, e)上，有f ′(x)<0；在区间(e, +∞)上，有f ′(x)>0．故f(x)在(0, e)单调递减，在(e, +∞)单调递增，于是函数f(x)在(0, +∞)上的最小值是f(e)=0． … 故当x >0时，有f(x)≥0恒成立． … （3）解：F(x)=f′(x)+ax =x +a−3e 2x+2e(x >0)．当a >3e 2时，则F(x)=x +a−3e 2x +2e ≥2√a −3e 2+2e ，当且仅当x =√a −3e 2时等号成立，故F(x)的最小值m =2√a −3e 2+2e >2e ，符合题意； …当a =3e 2时，函数F(x)=x +2e 在区间(0, +∞)上是增函数，不存在最小值，不合题意； 当a <3e 2时，函数F(x)=x +a−3e 2x+2e 在区间(0, +∞)上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数a 的取值范围是(3e 2, +∞)． …19. （1）解：由已知，可得{c a=12ab =2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =√3． …故所求椭圆方程为x 24+y 23=1． …（2）证明：由（1）知A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，F 2(1, 0)．设P(x 0，y 0)(x 0≠±2)，则3x 02+4y 02=12．于是直线A 1P 方程为 y =y 0x 0+2(x +2)，令x =4，得y M =6y 0x0+2；所以M(4, 6y 0x 0+2)，同理N(4, 2y 0x 0−2)． …所以F 2M →=(3, 6y 0x+2)，F 2N →=(3, 2y 0x 0−2)．所以F 2M →⋅F 2N →=(3, 6y 0x+2)•(3, 2y 0x−2)=9+6y 0x 0+2×2y 0x 0−2=9+12y 02x 02−4=9+3(12−3x 02)x 02−4=9−9(x 02−4)x 02−4=9−9=0．所以F 2M ⊥F 2N ，点F 2在以MN 为直径的圆上． … 设MN 的中点为E ，则E(4, 4y 0(x 0−1)x 02−4)． …又F 2E →=(3, 4y 0(x 0−1)x 02−4)，F 2P →=(x 0−1,y 0)，所以F 2E →⋅F 2P →=(3, 4y 0(x 0−1)x 02−4)⋅(x 0−1，y 0)=3(x 0−1)+4y 02(x 0−1)x 02−4=3(x 0−1)+(12−3x 02)(x 0−1)x 02−4=3(x 0−1)−3(x 0−1)=0．所以F 2E ⊥F 2P ． …因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，F 2E ⊥F 2P ， 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点． … 20. 解：（1）∵ g(k)表示k 的最大奇数因数，∴ g(6)=3，g(20)=5． …（2）S 1=g(1)+g(2)=1+1=2；S 2=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=1+1+3+1=6； S 3=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)=1+1+3+1+5+3+7+1=22．…（3）由(1)(II)不难发现对m ∈N ∗，有g(2m)=g(m)． …所以当n ≥2时，S n =g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+⋯+g(2n −1)+g(2n ) =[g(1)+g(3)+g(5)+...+g(2n −1)]+[g(2)+g(4)+...+g(2n )] =[1+3+5+...+(2n −1)]+[g(2×1)+g(2×2)+...+g(2×2n−1)] =(1+2n −1)×2n−12+[g(1)+g(2)+⋯+g(2n−1)]=4n−1+S n−1…于是S n −S n−1=4n−1，n ≥2，n ∈N ∗．所以S n =(S n −S n−1)+(S n−1−S n−2)+...+(S 2−S 1)+S 1=4n−1+4n−2+...+42+4+2 =4(1−4n−1)1−4+2=4n 3+23，n ≥2，n ∈N ∗． …又S 1=2，满足上式，所以对n ∈N ∗，S n =13(4n +2)． …。
山东省高考数学一模试卷及答案山东省高考数学一模试卷选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则( )A.M⊆NB.N⊆MC.M∩N={0，1}D.M∪N=N2.如果复数z= (b∈R)的实部和虚部相等，则|z|等于( )A.3B.2C.3D.23.“log2(2x﹣3)<1”是“4x>8”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.函数y=x2+ln|x|的图象大致为( )A. B.C. D.5.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，﹣π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)=Asinωx的图象，只需将函数y=f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度6.甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是( )A.210B.84C.343D.3367.已知变量x，y满足：：，则z=( )2x+y的最大值为( )A. B.2 C.2 D.48. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为( )(参考数据： ≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A.12B.24C.36D.489.已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x 轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线 BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则 Γ的离心率为( )A.3B.2C.D.10.曲线的一条切线l与y=x，y轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△OAB外接圆面积的最小值为( )A. B. C. D.山东省高考数学一模试卷非选择题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.设的值为.12.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c+1)=P(ξ13.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为.14.有下列各式：，，，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：.15.在，点M是△ABC外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.(12分)已知函数f(x)= sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最小值;(Ⅱ)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c= ，f(C)=0，sinB=2sinA，求a，b的值.17.(12分)一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球，3个黄球，2个蓝球，从中任取3个小球.(I)求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率;(II)设X表示取到的蓝色小球的个数，求X的分布列和数学期望.18.(12分)如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD= .(I)求证：EF∥平面ABCD;(Ⅱ)若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值.19.(12分)已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*.(Ⅰ)设bn= ，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an;(Ⅱ)设Cn= ，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn< 对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由.20.(13分)已知左、右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)的椭圆过点，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.(I)求椭圆C的离心率和标准方程.(II)圆与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F1R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆P1的直径，且直线F1R的斜率大于1，求|PF1||QF1|的取值范围.21.(14分)设f(x)=xex(e为自然对数的底数)，g(x)=(x+1)2.(I)记，讨论函F(x)单调性;(II)令G(x)=af(x)+g(x)(a∈R)，若函数G(x)有两个零点.(i)求参数a的取值范围;(ii)设x1，x2是G(x)的两个零点，证明x1+x2+2<0.。
2015年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|−1≤x ≤2}，B ＝{x|x <−3, 或x >4}，那么A ∩(∁U B)＝（ ）A {x|−1≤x ≤4}B {x|−3≤x ≤2}C {x|−1≤x ≤2}D {x|−3≤x ≤4} 2. 复数a+i2−i 为纯虚数，则实数a ＝（ ） A −2 B −12 C 2 D 123. 在区间[0, 2]上随机取一个实数x ，若事件“3x −m <0”发生的概率为16，则实数m ＝（ ）A 1B 12C 13D 164. 已知点M 的极坐标为(5,2π3)，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为( )A (−5√32,−52) B (−5√32,52) C (52,5√32) D (−52,5√32) 5. “x <1”是“log 12x >0”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件6. 某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ）A A 62×A 54种B A 62×54种C C 62×A 54种D C 62×54种7. 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为（ ）A 16 B √26 C √36 D 128. 已知函数f(x)＝2mx 2−2(4−m)x +1，g(x)＝mx ，若对于任一实数x ，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A (0, 2) B (0, 8) C (2, 8) D (−∞, 0)二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝8，S 4＝12，则{a n }的公差d ＝________． 10. 曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为________．11. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60∘，AB ＝2AC ＝8，过C 作△ABC 外接圆的切线CD ，BD ⊥CD 于D ，BD 与外接圆交于点E ，则DE ＝________．12. 已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为________．13. 已知函数f(x)是R 上的减函数，且y ＝f(x −2)的图象关于点(2, 0)成中心对称．若u ，v 满足不等式组{f(u)+f(v −1)≤0f(u −v −1)≥0，则u 2+v 2的最小值为________12 ．14. 已知x ∈R ，定义：A(x)表示不小于x 的最小整数．如A(√3)=2，A(−1.2)＝−1．若A(2x +1)＝3，则x 的取值范围是________；若x >0且A （2x ⋅A(x)）＝5，则x 的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15. 在△ABC 中，b ＝2，cosC =34，△ABC 的面积为√74．(Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求sin2A 值．16. 某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是：[75, 80),[80, 85),[85, 90),[90, 95),[95, 100]．规定90分及其以上为合格． (Ⅰ)求图中a 的值(Ⅱ)根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；(Ⅲ)若三个人参加交通法规考试，用X 表示这三人中考试合格的人数，求X 的分布列与数学期望．17. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝PA ＝BC ＝2．D ，E 分别为AB ，AC 的中点，过DE 的平面与PB ，PC 相交于点M ，N （M 与P ，B 不重合，N 与P ，C 不重合）．(Ⅰ)求证：MN // BC；(Ⅱ)求直线AC与平面PBC所成角的大小；(Ⅲ)若直线EM与直线AP所成角的余弦值3√14时，求MC的长．14+lnx，a∈R．18. 已知函数f(x)＝x+ax(Ⅰ)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(Ⅱ)若f(x)在区间(1, 2)上单调递增，求a的取值范围；(Ⅲ)讨论函数g(x)＝f′(x)−x的零点个数．19. 在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点(1, 0)的距离与它到直线x＝−1的距离相等．(Ⅰ)求动点E的轨迹C的方程；(Ⅱ)设动直线l:y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝−1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．20. 在无穷数列{a n}中，a1＝1，对于任意n∈N∗，都有a n∈N∗，且a n<a n+1．设集合A m ＝{n|a n≤m, m∈N∗}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．(Ⅰ)设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；(Ⅱ)设a n＝3n−1(n∈N∗)，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和；(Ⅲ)设a n＝3n−2(n∈N∗)，求数列{a n}的伴随数列{b n}前n项和S n．2015年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. D3. A4. D5. B6. D7. A8. B9. −110. 211. 212. √5−1213. 1214. (12, 1],(1, 54]15. （1）△ABC中，∵ b＝2，cosC=34，∴ sinC=√74，∴ △ABC的面积为√74=12ab⋅sinC=12a⋅2⋅√74．a＝（1）（2）由余弦定理可得c2＝a2+b2−2ab⋅cosC＝1+4−3＝2，∴ c=√2．再由正弦定理可得asinA =csinC，即1sinA=√2√74，∴ sinA=√148．由于a不是最大边，故A为锐角，故cosA=5√28，∴ sin2A＝2sinAcosA＝2×√148⋅5√28=5√716．16. （I）由直方图知．(0.01+0.02+0.06+0.07+a)×5＝（1）解得a＝0.(04)（2）设事件A为“某名学员交通考试合格”．由直方图知，P(A)＝(0.06+0.02)×5＝0.(4)(III)以题意得出X的取值为0，1，2，（3）P(X＝0)＝(1−0.4)3＝0.2(16)P(X＝1)=C31×0.4×(0.6)2＝0.4(32)P(X＝2)=C32×(0.4)2×(0.6)＝0.2(88)P(X＝3)=C33×(0.4)3＝0.06(4)所以X的分布列为E(X)＝0×0.216+1×0.432×2×0.288+3×0.064＝1.(2) 17. （1）证明：∵ D，E分别为AB，AC的中点；∴ DE // BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC；∴ DE // 平面PBC，平面DENM∩平面PBC＝MN；∴ DE // MN；∴ MN // BC；（2）如图，在平面PAB内作BZ // PA，则根据：PA ⊥底面ABC ，及AB ⊥BC 即知，BC ，BA ，BZ 两两垂直；∴ 以B 为坐标原点，BC ，BA ，BZ 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则： B(0, 0, 0)，C(2, 0, 0)，A(0, 2, 0)，P(0, 2, 2)； ∴ BC →=(2,0,0),BP →=(0,2,2)，AC →=(2,−2,0)； 设平面PBC 的法向量为n →=(x 1,y 1,z 1)； 则由{n →⋅BC →=0n →⋅BP →=0得： {2x 1=02y 1+2z 1=0 ，令z 1＝1，得x 1＝0，y 1＝−1； ∴ n →=(0,−1,1)；设直线AC 和平面PBC 所成角为α，则： sinα=|cos <AC →,n →>|=|AC →⋅n→|AC →||n →||=22√2⋅√2=12； 又α∈[0,π2]； ∴ α=π6；即直线AC 和平面PBC 所成角为π6；(Ⅲ)设M(0, y, z)，M 在棱PB 上，则：BM →=λBP →,(0<λ<1)； ∴ (0, y, z)＝λ(0, 2, 2)；∴ M(0, 2λ, 2λ)，E(1, 1, 0)；∴ EM →=(−1,2λ−1,2λ),AP →=(0,0,2)； 因为直线EM 与直线AP 所成角的余弦值3√1414； 设直线EM 和直线AP 所成角为θ； 所以cosθ=|EM →⋅AP →|EM →||AP →||=4λ√8λ2−4λ+2⋅2=3√1414； ∴ 8λ2−18λ+9＝0； 解得λ=34，或λ=32（舍去）；∴ M(0, 32,32 )；∴ MC=√4+94+94=√342．18. （1）函数f(x)＝x+ax+lnx(x>0)，f′(x)＝1−ax2+1x=x2+x−ax2，f(x)在x＝1处取得极小值，即有f′(1)＝0，解得a＝2，经检验，a＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值．则有a＝2；（2）f′(x)＝1−ax2+1x=x2+x−ax2，x>0，f(x)在区间(1, 2)上单调递增，即为f′(x)≥0在区间(1, 2)上恒成立，即a≤x2+x在区间(1, 2)上恒成立，由x2+x∈(2, 6)，则a≤2；(Ⅲ)g(x)＝f′(x)−x＝1−ax2+1x−x，x>0，令g(x)＝0，则a＝−x3+x2+x，令ℎ(x)＝−x3+x2+x，x>0，则ℎ′(x)＝−3x2+2x+1＝−(3x+1)(x−1)，当x∈(0, 1)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, 1)递增；当x∈(1, +∞)，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1, +∞)递减．即有ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝1，则当a>1时，函数g(x)无零点；当a＝1或a≤0时，函数g(x)有一个零点；当0<a<1时，函数g(x)有两个零点．19. （1）设动点E的坐标为(x, y)，由抛物线定义知，动点E的轨迹是以(1, 0)为焦点，x＝−1为准线的抛物线，∴ 动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；（2）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b(k≠0)，由{y2=4xy=kx+b，消去x得：ky2−4y+4b＝（0）∵ 直线l与抛物线相切，∴ △＝16−16kb＝0，即b=1k．∴ 直线l的方程为y＝kx+1k．令x＝−1，得y=−k+1k，∴ Q(−1, −k+1k)，设切点坐标P(x 0, y 0)，则ky 02−4y 0+4k=0，解得：P(1k2,2k)，设M(m, 0)，则MQ →⋅MP →=(1k 2−m)(−1−m)+2k (−k +1k ) =−1k 2+m −m k 2+m 2+2k 2−2 =(m −1)(1k 2−m −2)． 当m ＝1时，MQ →⋅MP →=0．∴ 以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点M(1, 0)．20. （I ）由{a n }伴随数列{b n }的定义可得前5项为1，1，1，2，（3） (II)由a n ＝3n−1≤m ，可得n ≤1+log 3m ，m ∈N ∗， ∴ 当1≤m ≤2时，m ∈N ∗，b 1＝b 2＝1；当3≤m ≤8时，m ∈N ∗，b 3＝b 4＝...＝b 8＝2； 当9≤m ≤20时，m ∈N ∗，b 9＝b 10＝ (3)∴ 数列{a n }的伴随数列{b n }的前20项和＝1×2+2×6+3×12＝50； (III)由a n ＝3n −2≤m ，解得n ≤m+23，∵ 不等式a n ≤m 成立的最大值为b m ，∴ b 1＝b 2＝b 3＝1，b 4＝b 5＝b 6＝2，…，b 3n−2+b 3n−1+b 3n ＝t(t ∈N ∗)， ∴ 当n ＝3t −2时，(t ∈N ∗)，S n =3×1+(t−1)2(t −1)+t =3t 2−t 2=16(n +1)(n +2)；当n ＝3t −1时，(t ∈N ∗)，S n =3×1+(t−1)2(t −1)+2t =3t 2+t 2=16(n +1)(n +2)；当n ＝3t 时，(t ∈N ∗)，S n =3×1+t 2×t =3(t 2+t)2=16n(n +3)．∴ S n ={(n+1)(n+2)6,(n =3t −23t −1)n(n+3)6,(n =3t)(t ∈N ∗)．。
北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷 2015.5学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界 平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资．将8 000 000 000 000用科学记数法表示应为A ．0.8×1013B ．8×1012C ．8×1013D ．80×10112. 如图，下列关于数m 、n 的说法正确的是A ．m ＞nB ．m =nC ．m ＞－nD ．m =－n3．如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于 A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°4．下列计算正确的是A ．2a +3a =6a B. a 2+a 3=a 5 C. a 8÷a 2=a 6 D. (a 3)4= a 75．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是 A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差7为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的机会均相等，则该抽奖活动抽中一等奖的概率为 A.16 B. 51C. 310D. 12 8. 若正方形的周长为40，则其对角线长为A ．100B ．C ．D ．10 9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河 垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．如果QS =60 m ， ST =120 m ，QR =80 m ，则河的宽度PQ 为A ．40 mB ．60 mC ．120 mD ．180 m10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的 时间t （秒）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是 A. 乙的速度是4米/秒B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C. 甲从起点到终点共用时83秒D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若分式21-x 有意义，则x 的取值范围是 ．12．分解因式：2236+3m mn n -= ．13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，则∠CDB 的度数为 ．14．请写出一个图象从左向右上升且经过点（－，2）的函数，所写的函数表达式是 ．15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 （填“一类、二类、三类”中的一个）．16．一组按规律排列的式子：a 2，25a -，310a，417a -，526a ，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．求证：AC =ED ．18．计算：1012sin 45(2015)3-⎛⎫+--︒+- ⎪⎝⎭π．19．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，20．已知250x x +-=，求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．21．已知关于x 的一元二次方程2630x x k -++=有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围；(2)若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．22．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020年冬奥会，全长174千米的京张高铁 于2014年底开工. 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的2920倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2014年全市燃煤数量比2012年压减450万吨，到2015年、2017年要比2012年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：（1）据报道，2012年全市燃煤由四部分组成，其中电厂用煤920万吨，则2012年全市燃煤数量为万吨；（2）请根据以上信息补全2012-2017年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据；（3）某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行”，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息（如下表），发现利用公共自行车出行人数与公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.2012-2015年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表年份公共自行车投放数量（万辆）利用公共自行车出行人数（万人）2012 1.4 约9.92013 2.5 约17.62014 4 约27.62015 5 约根据小颖的发现，请估计，该地区2015年利用公共自行车出行人数（直接写出结果，精确到0.1）25.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，点D 在⊙O 上，过点D 作⊙O 切线与AC 的延长线交于点E ，ED ∥BC ，连接AD 交BC 于点F . （1）求证：∠BAD =∠DAE ；（2）若AB =6，AD =5，求DF 的长.26．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°， BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求APPD的值． 小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和 计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：APPD的值为 ．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ． （1）求APPD的值； （2）若CD=2，则BP = ．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的 取值范围（直接写出结果）.图1图2图328．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上（不与点B 、C 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE . （1）如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，若AC =8，DF =3，求BE 的长；（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系（直接写出结论）.29．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ；②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．图1 图2北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2015.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. 2≠x12. 2)(3n m -13. 20°14. 3+=x y （答案不惟一）15. 二类16. 750a ，n n an 1)1-(21+⋅+（第一个空1分，第二个空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分 在△ABC 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=分分3-----------------------------------------------2-----------------------------------------------CD BC DCEB EC AB ∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分18. 解：原式 ＝122232+⨯--………………………………………………………4分 ＝2-.…………………………………………………………………………5分19. ⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，解：解不等式①，得2->x . ………………………………………………………………2分解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是x <-2＜1. …………………………………………………5分20. 解：)2)(2()3()1(2-++---x x x x x＝4312222-++-+-x x x x x …………………………………………………3分 ＝32-+x x . ……………………………………………………………………4分 ∵052=-+x x ， ∴52=+x x .∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分 21. 解：（1）)3(4)6(2+--=∆k ………………………………………………………1分① ②12436--=k 244+-=k∵原方程有两个不相等的实数根， ∴0244>+-k .解得 6<k . ………………………………………………………………2分（2）∵6<k 且k 为大于3的整数，∴=k 4或5. ………………………………………………………………………3分① 当=k 4时，方程0762=+-x x 的根不是整数.∴=k 4不符合题意. ………………………………………………………… 4分② 当=k 5时，方程0862=+-x x 根为21=x ，42=x 均为整数.∴=k 5符合题意. ……………………………………………………………5分 综上所述，k 的值是5.22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分由题意，得60182029174-174=x x . ……………………………………………2分 解得 180=x . ……………………………………………3分 经检验，180=x 是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时. ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. （1）证明：在菱形ABCD 中，OC=12AC . ∴DE=OC ． ∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形． …………………………………………2分 ∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分（2）在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED 中，CE =………………4分 在Rt △ACE 中，=………………………………………………………5分24.（1）2300. ………………1分 （2）如图. …………… 3分（3）35.0±0.5. ……………5分25.解：（1）连接OD ，∵ED 为⊙O 的切线，∴OD ⊥ED ．……………………………………………………………………………1分 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. ………………………………………………………………………… 2分 ∵BC ∥ED ,∴∠ACB =∠E =∠EDO . ∴AE ∥OD . ∴∠DAE =∠ADO . ∵OA =OD , ∴∠BAD =∠ADO .∴∠BAD =∠DAE . ………………………………3分 （2）连接BD ， ∴∠ADB =90°. ∵AB =6，AD =5，∴BD =……………………………………………………………4分 ∵∠BAD =∠DAE =∠CBD ，∴tan ∠CBD = tan ∠BAD . 在Rt △BDF 中， ∴DF =BD ·tan ∠CBD =115. ……………………………………………………………5分 26. 解：PD AP 的值为23. …………………………………………………………………1分 解决问题：（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2， ∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k . ∵E 是AC 中点， ∴AE ＝CE . ∵AF ∥DB ， ∴∠F ＝∠1. 又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分 ∴AF ＝BC ＝2k . ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP . ∴DBAFPD AP =. ∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分（2） 6. ……………………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分 ∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) . ∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ， ∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分28.解：（1）①补全图形，如图1所示. ………………………1分②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°.∵DF ⊥BC ， ∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB . ……………………………………2分 ∵∠C =90°，AC =BC ， ∴∠ABC =∠DFB =90°. ∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB . ……………………………………3分 ∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中， ∵AC =8，DF =3，∴AC=，DF=. ………………………………………………………………4分 AF =AB －BF=即BE=. …………………………………………………………………………5分 （2=BE +AB. ……………………………………………………………………7分29. 解:（1）A 、B ……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P ′Q 的长. ………………………3分图1∵P (1，2)， ∴ P ′ (1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=， 根据题意，有⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k .∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y . ……………4分 当0=y 时，解得25=x . 即25=t . ………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴5''22=+=PQ PP Q P .∴“等高距离”最小值为5. …………………………………………………6分（3）Q （554，552）或Q （554-，552）. ………………………………8分东城区2014—2015学年中考数学一模试题 数学试题 2015.5学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．与2-的和为0的数是 A ．2- B ．12-C ．12D ．22．2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。
北京市东城区普通校2015届高三11月联考数学（理）试题 命题校：北京市第五十中学分校 2014年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =A.}5,4,3{B.}6,5,4{C.}63/{≤<x xD. }63/{<≤x x2. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是 A ． ），（11 B ．），（11- C ．）（1,1-- D ．）（1,1- 3. 已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于A. 1B.53C. 2D. 3 4.”1“>x 是”1“2>x 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知角α的终边经过点53cos 且)4,(-=-αm P ，则m 的值为 A. 3 B. -3 C. 3± D. 5第Ⅱ卷二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11. 已知命题022,:0200≤++∈∃x x R x P ，那么该命题的否定是_____________.12. 已知53),sin ,2(=∈αππα，则)4tan(πα+=_____________． 13. 若等比数列}{n a 满足40,205342=+=+a a a a ，，则公比=q _________； 前n 项和=n S _______________________.14．函数)22,0)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的 部分图象如图所示，则ω=______________；ϕ=____________________.15. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=232121022x x x x x f ，，，）（，则)3(f =_______________,函数的的值域是 .16. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数)(x f 的图像恰好通过)(*∈N n n 个整点，则称函数)(x f 为n 阶整点函数，有下列函数：① xx f 2sin )(= ② 3)(x x g = ③ x x h )31()(= ④x x ln )(=ϕ其中，是一阶整点函数的是_____________________.东城区普通校2014-2015学年第一学期联考试卷答案高三数学（理科）命题校：北京市第五十中学分校 2014年11月第Ⅰ卷三、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5答案 B D C A A第Ⅱ卷四、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．。
2015年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．在复平面内，复数z=1﹣2i对应的点的坐标为（）A．（1，2） B．（2，1） C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）2．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±2x D．y=±4x3．记函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，则（）A．f′（x0）=2 B．f′（x0）=1 C．f′（x0）=0 D．f′（x0）=﹣14．已知命题p：直线a，b不相交，命题q：直线a，b为异面直线，则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．在区间[0，2]上随机取一个实数x，则事件“3x﹣1＜0”发生的概率为（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为4，则图中判断框内①处应填（）A．2 B．3 C．4 D．57．设集合，则下列命题中正确的是（）A．∀（x，y）∈D，x﹣2y≤0B．∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2C．∀（x，y）∈D，x≥2D．∃（x，y）∈D，y≤﹣18．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用a n，b n分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，若a1=300，则a n+1与a n的关系可以表示为（）A．a n+1=+150 B．a n+1=+200C．a n+1=+300 D．a n+1=+180二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合A={1}，B={﹣1，2m﹣1}，若A⊊B，则实数m的值为．10．把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为．11．在矩形ABCD中， =（1，﹣3），，则实数k= ．12．已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），则a4= ，a2015= ．x 1 2 3f（x） 3 2 113．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．14．C是曲线y=（﹣1≤x≤0）上一点，CD垂直于y轴，D是垂足，点A的坐标是（﹣1，0）．设∠CAO=θ（其中O表示原点），将AC+CD表示成关于θ的函数f（θ），则f（θ）= ，f（θ）的最大值为．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．下面的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+cosA=2．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）．17．如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）求证：CB⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BOD的体积；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．18．已知x=1是的一个极值点（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=4有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．20．已知等差数列{a n}中，a1=5，7a2=4a4，数列{b n}前n项和为S n，且S n=2（b n﹣1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）把数列{a n}和{b n}的公共项从小到大排成新数列{d n}，试写出d1，d2，并证明{d n}为等比数列．2015年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．在复平面内，复数z=1﹣2i对应的点的坐标为（）A．（1，2） B．（2，1） C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出；【解答】解：复数z=1﹣2i对应的点的坐标为（1，﹣2），故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．2．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±2x D．y=±4x【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把双曲线，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线，其渐近线方程，整理得y=±．故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．3．记函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，则（）A．f′（x0）=2 B．f′（x0）=1 C．f′（x0）=0 D．f′（x0）=﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；直线与圆．【分析】由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f （x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线斜率为f′（x0），再由切线方程，即可求得切线的斜率．【解答】解：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线斜率为f′（x0），曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，即有f′（x0）=﹣1．故选D．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查直线的斜率的求法，属于基础题．4．已知命题p：直线a，b不相交，命题q：直线a，b为异面直线，则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若直线a，b不相交，则直线a，b为异面直线或者为平行直线，故p是q的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键．5．在区间[0，2]上随机取一个实数x，则事件“3x﹣1＜0”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】利用几何概型求概率．先解不等式，再利用解得的区间长度与区间[0，2]的长度求比值即得．【解答】解：由几何概型可知，事件“3x﹣1＜0”可得x，∴在区间[0，2]上随机取一个实数x，则事件“3x﹣1＜0”发生的概率为：P（3x﹣1＜0）=．故选：D．【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．6．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为4，则图中判断框内①处应填（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当a=1时，b=1不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b=2，a=2；当a=2时，b=2不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b=4，a=3；当a=3时，b=4满足输出条件，故应退出循环，故判断框内①处应填a≤2，故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．设集合，则下列命题中正确的是（）A．∀（x，y）∈D，x﹣2y≤0B．∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2C．∀（x，y）∈D，x≥2D．∃（x，y）∈D，y≤﹣1【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用二元一次不等式组表示平面区域的性质分别进行判断即可．【解答】解：集合对应的平面区域如图：由图象知对应的区域在x+2y=﹣2的上方，y=﹣1的上方，x﹣2y=0的上方和下方都有，x=2的左右都有，故满足条件的是x+2y≥﹣2，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．8．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用a n，b n分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，若a1=300，则a n+1与a n的关系可以表示为（）A．a n+1=+150 B．a n+1=+200C．a n+1=+300 D．a n+1=+180【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列递推式，结合a n+b n=500，两式联立消去b n得数列{a n}的递推公式．【解答】解：依题意得，消去b n得：a n+1=a n+150．故选：A．【点评】本题考查数列在实际问题中的应用，考查学生对数学知识的应用能力，关键是对题意的理解，是中档题二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合A={1}，B={﹣1，2m﹣1}，若A⊊B，则实数m的值为 1 ．【考点】子集与真子集．【专题】集合．【分析】根据题意，若A⊊B，必有1=2m﹣1，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：若A⊊B，必有1=2m﹣1，解可得m=1，验证可得符合集合元素的互异性，故答案为：1．【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性．10．把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为y=sin2x ．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数解析式即可．【解答】解：把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为： =sin2x故答案为：y=sin2x【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移x加与减，上下平移，y的另一侧加与减．11．在矩形ABCD中， =（1，﹣3），，则实数k= 4 ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，利用•=0，列出方程，求出k的值．【解答】解：如图所示，在矩形ABCD中， =（1，﹣3），，∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，解得k=4．故答案为：4．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．12．已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），则a4= 1 ，a2015= 3 ．x 1 2 3f（x） 3 2 1【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），由表格可得：a2=f（a1）=f（3）=1，a3=f（a2）=f（1）=3，…，可得a n+2=a n，即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），由表格可得：a2=f（a1）=f（3）=1，a3=f（a2）=f（1）=3，a4=f（a3）=f（3）=1…，∴a n+2=a n，∴a2015=a1007×2+1=a1=3．故答案分别为：1；3．【点评】本题考查了函数的性质、数列的周期性，考查了计算能力，属于基础题．13．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】问题等价于在区间[﹣2，3]上函数f（x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，由函数的性质可作出它们的图象，由斜率公式可得边界，进而可得答案．【解答】解：在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价于在区间[﹣2，3]上函数f（x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，由f（x+2）=f（x）可得函数的周期为2，且为偶函数，函数y=a（x+2）的图象为过定点（﹣2，0）且斜率为a的直线，作出它们的图象可得：由图图可知，当直线介于CB和CA之间符合题意，而由斜率公式可得k CB==，k CA==，故实数a的取值范围是：，故答案为：【点评】本题考查方程根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．14．C是曲线y=（﹣1≤x≤0）上一点，CD垂直于y轴，D是垂足，点A的坐标是（﹣1，0）．设∠CAO=θ（其中O表示原点），将AC+CD表示成关于θ的函数f（θ），则f（θ）= 2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，），f（θ）的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】由题意作出图形，再连结CO，从而可得点C的坐标为（﹣cos（180°﹣2θ），sin （180°﹣2θ））；从而化简可得f（θ）=2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，）；再由二倍角公式化简为二次函数的形式，从而求最大值．【解答】解：如右图，连结CO，由图可知，θ∈[，），∵∠CAO=θ，∴∠COA=180°﹣2θ，∴点C的坐标为（﹣cos（180°﹣2θ），sin（180°﹣2θ））；即点C的坐标为（cos2θ，sin2θ）；∴AC===2|cosθ|=2cosθ，CD=|cos2θ|=﹣cos2θ，故f（θ）=2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，）；f（θ）=2cosθ﹣cos2θ=﹣2cos2θ+2cosθ+1=﹣2（cosθ﹣）2+，故当cosθ=，即θ=时，f（θ）有最大值．故答案为：2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，）；．【点评】本题考查了三角函数的性质与应用及三角恒等变换的应用，同时考查了函数的最值的求法，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．下面的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据中位数平均数的定义求出即可；（Ⅱ）分别计算成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名的取法种数，和恰有2名学生在乙组取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案【解答】解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9，12，10+x，24，27．乙组五名学生的成绩为9，15，10+y，18，24．因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8所以10+x=13，9+15+10+y+18+24=16.8×5所以x=3，y=8；（Ⅱ）成绩不低于且不超过的学生中共有5名，其中甲组有2名，用A，B表示，乙组有3名，用a，b，c表示，从中任意抽取3名共有10种不同的抽法，分别为（A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（a，b，c）恰有2名学生在乙组共有6种不同抽法，分别为（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c）所以概率为P==．【点评】本题考查了古典概型概率计算公式，茎叶图，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+cosA=2．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）利用两角和公式对已知等式化简求得sin（A+）的值，进而求得A．（2）选择①②利用正弦定理先求得sinC的值，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积．【解答】解：（1）依题意得2sin（A+）=2，即sin（A+）=1，∵0＜A＜π，∴＜A+＜，∴A+=，∴A=．（2）选择①②由正弦定理=，得b=•sinB=2，∵A+B+C=π，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+，∴S=absinC=×2×2×=+1．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题中重要的两个定理，应熟练掌握．17．如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）求证：CB⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BOD的体积；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用等边三角形的性质可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE⊥平面ABC，进而得出结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，利用转换底面的方法，即可求三棱锥的体积；（Ⅲ）存在，G为劣弧的中点．连接OG，OF，FG，通过证明平面OFG∥平面ACD，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：在△AOD中，∵，OA=OD，∴△AOD为正三角形，又∵E为OA的中点，∴DE⊥AO…∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，∴DE⊥平面ABC．…又CB⊂平面ABC，∴CB⊥DE．…5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，∴DE为三棱锥D﹣BOC的高．∵D为圆周上一点，且AB为直径，∴，在△ABD中，由AD⊥BD，，AB=2，得AD=1，．…∵，∴==．…（Ⅲ）解：存在满足题意的点G，G为劣弧的中点．…证明如下：连接OG，OF，FG，易知OG⊥BD，又AD⊥BD∴OG∥AD，∵OG⊄平面ACD，∴OG∥平面ACD．…在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，∴OF∥AC，OF⊄平面ACD，∴OF∥平面ACD，…∵OG∩OF=O，∴平面OFG∥平面ACD．又FG⊂平面OFG，∴FG∥平面ACD．…【点评】本题考查线线、线面、面面关系，考查线线垂直的判定、面面垂直的性质、线面平行的判定及几何体高与体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及分析探究问题和解决问题的能力．18．已知x=1是的一个极值点（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）先求出f′（x），再由x=1是的一个极值点，得f′（1）=0，由此能求出b．（II）由f′（x）=2﹣+＜0，得，再结合函数的定义域能求出函数的单调减区间．（III）g（x）=f（x）﹣=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），故2x0+lnx0﹣5=（2+）（x0﹣2），由此能够推导出过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．【解答】解：（Ⅰ）∵x=1是的一个极值点，f′（x）=2﹣+，∴f′（1）=0，即2﹣b+1=0，∴b=3，经检验，适合题意，∴b=3．（II）由f′（x）=2﹣+＜0，得，∴﹣，又∵x＞0（定义域），∴函数的单调减区间为（0，1]．（III）g（x）=f（x）﹣=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），∴，即2x0+lnx0﹣5=（2+）（x0﹣2），∴lnx0+﹣5=（2+）（x0﹣2），∴lnx0+﹣2=0，令h（x）=lnx+，，∴x=2．∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∵h（）=2﹣ln2＞0，h（2）=ln2﹣1＜0，h（e2）=＞0，∴h（x）与x轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．【点评】本题考查实数值的求法、求函数的减区间、判断过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=4有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据△MF1F2的周长等于6，再由离心率为可求出a的值，进而得到b的值，写出椭圆方程．（2）先设M的坐标为（x0，y0）根据题意满足椭圆方程，利用圆M与l有公共点可得到M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y02+10x0﹣15≥0，再由即可消去y0，求出x0的取值范围，再表示出△MF1F2面积即可求出最大值．【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．所以c=1，a=2．所以b2=3．所以椭圆C的方程为．（2）设点M的坐标为（x0，y0），则．由于直线l的方程为x=4，圆M与l有公共点，所以M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R．因为R2=MF12=（x0+1）2+y02，所以（4﹣x0）2≤（x0+1）2+y02，即y02+10x0﹣15≥0．又因为，所以3﹣+10x0﹣15≥0．解得．又﹣2＜x0＜2，则，所以0＜|y0|≤因为△MF1F2面积为|y0||F1F2|=|y0|，所以当|y0|=时，△MF1F2面积有最大值．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点，每年必考，经常以压轴题的形式出现，要想答对此题必须熟练掌握其基础知识，对各种题型多加练习．20．已知等差数列{a n}中，a1=5，7a2=4a4，数列{b n}前n项和为S n，且S n=2（b n﹣1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）把数列{a n}和{b n}的公共项从小到大排成新数列{d n}，试写出d1，d2，并证明{d n}为等比数列．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a1=5，7a2=4a4，利用等差数列的通项公式解出d，即可得出a n．由数列{b n}前n项和为S n，S n=2（b n﹣1）（n∈N）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出b n．（II）由数列，利用等差数列与等比数列的前n项和公式，先求出当n为偶数时，T n=（a1+a3+…+a n﹣1）+（b2+b4+…+b n）．当n（n≥3）为奇数时，T n=T n﹣1+a n，即可得出．（III）由a n=3n+2，b n=2n．可得d1=8=a2=b3，d2=d2=a10=b5=32．假设d n=a m=b k=2k（k∈N*）．可得3m+2=2k，分别探究b k+1，b k+2是否是数列{a n}中的项，即可证明．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=5，7a2=4a4，∴7（5+d）=4（5+3d），解得d=3．∴a n=5+3（n﹣1）=3n+2．∵数列{b n}前n项和为S n，S n=2（b n﹣1）（n∈N*）．∴当n=1时，b1=2（b1﹣1），解得b1=2．b n=S n﹣S n﹣1=2b n﹣2b n﹣1，化为b n=2b n﹣1，∴数列{b n}是等比数列，首项为2，公比为2，∴b n=2n．（II）∵数列，∴当n为偶数时，T n=（a1+a3+…+a n﹣1）+（b2+b4+…+b n）=+=．当n（n≥3）为奇数时，T n=T n﹣1+a n=+3n+2=++，经检验n=1时上式也成立．∴T n=．（III）由a n=3n+2，b n=2n．∴d1=8=a2=b3，d2=d2=a10=b5=32．假设d n=a m=b k=2k（k∈N*）．则3m+2=2k，∴b k+1=2k+1=2×2k=2（3m+2）=3（2m+1）+1不是数列{a n}中的项；b k+2=4×2k=4（3m+2）=3（4m+2）+2，是数列{a n}中的项．∴d n+1=a4m+2=b k+2=2k+2，∴==4．∴数列{d n}为等比数列，首项为8，公比为4．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
否 是开始输入n2kS S =+ 1k k =+ 1,0k S ==输出 SS结束?k n ≤东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{0,1}A =，2{|4}B x x =≤ ，则AB =（A ）{0,1} （B ） {0,1,2} （C ）{|02}x x ≤< （D ）{|02}x x ≤≤ （2）在复平面内，复数i1+i对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）设a ∈R ，则“2a a >”是“1>a ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若493=+a a ，则11S 等于（A ）12 （B ）18 （C ）22 （D ）44 （5）当4n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）30（6）已知函数13log,0,()2,0,xx xf xx>⎧⎪=⎨⎪≤⎩若1()2f a>，则实数a的取值范围是（A）(1,0)(3,)-+∞（B ）(1,3)-（C ）3(1,0)(,)3-+∞（D）3(1,)3-（7）在空间直角坐标系O xyz-中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(0,2,0)，(2,2,2)．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（A）（B）（C）（D）（8）已知圆22:2C x y+=，直线:240l x y+-=，点00(,)P x y在直线l 上．若存在圆C上的点Q，使得45OPQ∠=（O为坐标原点），则x的取值范围是（A）[0,1]（B）8[0,]5（C）1[,1]2-（D）18[,]25-第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
