Logistic人口阻滞增长模型
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Logistic 人口阻滞增长模型一、模型的准备阻滞增长模型的原理:阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用,对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上,使得r 随着人口数量x 的增加而下降。
若将r 表示为x 的函数)(x r 。
则它应是减函数。
于是有:0)0(,)(x x x x r dtdx== (1)对)(x r 的一个最简单的假定是,设)(x r 为x 的线性函数,即 )0,0()(>>-=s r sxr x r (2)设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ,当m x x =时人口不再增长,即增长率0)(=m x r ,代入(2)式得mx rs =,于是(2)式为)1()(mx x r x r -= (3)将(3)代入方程(1)得:⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm (4)解方程(4)可得:rtm me x xx t x --+=)1(1)(0(5)二、模型的建立我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1总人口 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 总人口 114.333 115.823 117.171 118.517 119.850 121.121 122.389 123.626 124.761 年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 总人口 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.7561、将1954年看成初始时刻即0=t ,则1955为1=t ,以次类推,以2005年为51=t 作为终时刻。
Logistic 人口发展模型一、题目描述建立Logistic 人口阻滞增长模型 ,利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型,进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。
分析那个时间段数据预测的效果好?并结合中国实情分析原因。
表1 各年份全国总人口数(单位:千万)二、建立模型阻滞增长模型(Logistic 模型)阻滞增长模型的原理:阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用,对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上,使得r 随着人口数量x 的增加而下降。
若将r 表示为x 的函数)(x r 。
则它应是减函数。
于是有:0)0(,)(x x x x r dt dx== (1)对)(x r 的一个最简单的假定是,设)(x r 为x 的线性函数,即 )0,0()(>>-=s r sxr x r (2) 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量mx ,当mx x =时人口不再增长,即增长率)(=m x r ,代入(2)式得m x rs =,于是(2)式为)1()(mx x r x r -= (3)将(3)代入方程(1)得:⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm (4)解得:rt mme x x x t x --+=)1(1)(0(5)三、模型求解用Matlab 求解,程序如下: t=1954:1:2005;x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988];x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1);r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和rx0=61.5;f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b');title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0)解得:x(m)= 180.9516(千万),r= 0.0327/(年),x(0)=61.5得到1954-2005实际人口与理论值的结果:根据《国家人口发展战略研究报告》我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。
- 当前位置:代数与分析专题研究>>专题五>>学习内容>>logistic 模型(阻滞增长模型)§5 logistic 模型(阻滞增长模型)前面我们主要讨论的是一阶线性差分方程模型,本章将通过几个具体的实际问题,例如人口问题、传染病问题等,介绍一阶非线性差分方程模型。
进一步体会数学建模的思想。
这些模型是解决日常生活和生产实践中最基本的模型。
由于有了计算机技术,使得非线性方程理论和应用得到了飞跃的发展。
1人口模型1.1马尔萨斯人口模型情景描述人口问题是人类一个很重要的研究课题。
对人口数量的估计和发展趋势的预测是各国制定一系列相关政策的基础。
建立模型 1模型假设英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料,做了一个基本假设:人口的相对增长率是常数。
在这个基本假设下,于1798年提出了著名的人口指数增长模型。
2模型建立 设xn 表示第n 年的人口数量,因为人口的相对增长率是常数,记此常数为,则有:=,即:xn+1 =(1+)xn 。
设k=1+,我们通常把:xn+1 =kxn 称作人口指数增长模型。
模型分析用上述人口模型计算出来的结果,与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据相吻合。
但是由于指数增长很快,当人们用19世纪以后许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较时,发现存在相当大的差异。
1.2 模型修正―logistic模型情景描述用上述模型计算出来的人口数据和实际人口数据有差异,其主要原因是,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著。
如果当人口较少时(相对于资源而言),人口的相对增长率还可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量时,相对增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少了。
模型修正为了使人口预报特别是长期预报更符合实际情况,我们需要修正一下指数增长模型。
建立模型1 模型假设在实际环境中,人口数{xn}会有一个最大值,假设最大值为M。
根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据(如下表),确定人口指数增长模型和Logistic 模型中的待定参数,估计出美国2010年的人口,同时画出拟合效果的图形。
表1 美国人口统计数据指数增长模型:rt e x t x 0)(=Logistic 模型:()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭解:模型一:指数增长模型。
Malthus 模型的基本假设下,人口的增长率为常数,记为r ,记时刻t 的人口为 )(t x ,(即)(t x 为模型的状态变量)且初始时刻的人口为0x ,因为⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到:}2120010120()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x ey x t a r a x =+=⇒=+⇒=====程序:t=1790:10:1980;x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ];y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t); plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果:a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214 x0= 1.2480e-016所以得到人口关于时间的函数为:0.02140()t x t x e =,其中x0 = 1.2480e-016, 输入:t=2010;x0 = 1.2480e-016; x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 598.3529。
即在此模型下到2010年人口大约为598.3529 610⨯。
我国人口数的逻辑斯蒂增长模型
逻辑斯蒂增长模型是一种常用的人口增长模型,它可以描述人口数量随时间变化的曲线。
在我国,人口数量的增长受到多种因素的影响,包括出生率、死亡率、迁移率等。
下
面是一份描述我国人口数的逻辑斯蒂增长模型:
假设当前时间为t,人口数量为P(t)。
根据逻辑斯蒂增长模型的表达式,人口增长速率可以表示为:
dP(t)/dt = r * P(t) * (1 - P(t)/K)
r表示人口的增长率,K为人口数量的饱和值。
根据我国的具体情况,人口增长率r可能随时间发生变化。
在我国近几十年的数据中,人口增长率呈现出微弱下降的趋势。
这可能是由于人口政策的调整以及社会经济发展的影响。
而人口数量的饱和值K取决于我国的资源状况、经济水平、人口政策等因素。
在实际
应用中,我们可以结合历史数据进行估计并进行调整。
通过利用逻辑斯蒂增长模型,我们可以对未来的人口变化进行预测。
通过设定不同的
参数值、观察历史数据的趋势,我们可以对我国人口未来的增长进行合理的预测和估计。
需要注意的是,以上仅为一份模型描述,实际的人口增长模型需要根据大量的数据和
严格的实证分析进行构建和验证。
根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据(如下表),确定人口指数增长模型和Logistic 模型中的待定参数,估计出美国2010年的人口,同时画出拟合效果的图形。
表1 美国人口统计数据1860 1870 1880 1890 1900 1910 指数增长模型:rt e x t x 0)(=Logistic 模型:()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭解:模型一:指数增长模型。
Malthus 模型的基本假设下,人口的增长率为常数,记为r ,记时刻t 的人口为 )(t x ,(即)(t x 为模型的状态变量)且初始时刻的人口为0x ,因为⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到:}2120010120()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x e y x t a r a x =+=⇒=+⇒=====程序:t=1790:10:1980;x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ];y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t); plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果:a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214 x0= 1.2480e-016所以得到人口关于时间的函数为:0.02140()t x t x e =,其中x0 = 1.2480e-016, 输入:t=2010;x0 = 1.2480e-016; x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 598.3529。
阻滞增长模型(Logistic Growth Model)是一个常见的数学模型,用于描述在有限资源情况下一个种群的增长模式。
在 MATLAB 中,阻滞增长模型可以用如下代码实现:
matlab复制代码
% 定义参数
r = 1; % 增长率
K = 100; % 环境容量
y0 = 10; % 初始种群数量
% 定义时间跨度
tspan = [050];
% 定义阻滞增长模型
logistic = @(t, y) r*y*(1 - y/K);
% 使用 MATLAB 的 ODE45 解决常微分方程
[t, y] = ode45(logistic, tspan, y0);
% 画图
plot(t, y, '-');
xlabel('Time');
ylabel('Population');
title('Logistic Growth Model');
这段代码首先定义了阻滞增长模型的参数:增长率 r、环境容量 K 和初始种群数量 y0。
然后,它定义了时间跨度 tspan 和阻滞增长模型函数 logistic。
最后,它使用 MATLAB 的 ode45 函数来解决常微分方程,并使用 plot 函数画出了结果。
Logistic 人口阻滞增长模型
一、模型的准备
阻滞增长模型的原理:阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增
长的阻滞作用,对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上,使得r 随着人口数量x 的增加而下降。
若将r 表示为x 的函数)(x r 。
则它应是减函数。
于是有:
0)0(,)(x x x x r dt
dx
== (1)
对)(x r 的一个最简单的假定是,设)(x r 为x 的线性函数,即 )
0,0()(>>-=s r sx
r x r (2)
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ,当m x x =时人口不再增长,即
增长率0)(=m x r ,代入(2)式得m
x r
s =,于是(2)式为
)1()(m
x x r x r -
= (3)
将(3)代入方程(1)得:
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=0
)0()1(x x x x rx dt
dx
m (4)
解方程(4)可得:
rt
m m
e x x
x t x --+=
)1(1)(0
(5)
二、模型的建立
我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1
总人口 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704
年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
总人口 114.333 115.823 117.171 118.517 119.850 121.121 122.389 123.626 124.761 年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 总人口 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756
1、将1954年看成初始时刻即0=t ,则1955为1=t ,以次类推,以2005年为51=t 作为终时刻。
用函数(5)对表1中的数据进行非线性拟合,运用Matlab 编程得到相关的参数-0.0336,180.9871 ==r x m ,可以算出可决系数(可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标):
9959.0)y y ()y
ˆy
(1R 51
i 2
i
5
1
i 2i i
2=---
=∑∑==
由可决系数来看拟合的效果比较理想。
所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲
线:
t
e t x 0336.0.0)12
.609871.180(19871
.180)(--+=
(6)
根据曲线(6)我们可以对2010年(56=t )、2020年(66=t )、及2033年(79=t ) 进行预测得(单位:千万):
6028.158)79(,5400.148)66(,6161.138)56(===x x x
结果分析:从所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰,形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础;因此这段时期人口波动较大,可能影响模型结果的准确性。
1959、1960、1961年为三年自然灾害时期,这段时期人口的增长受到很大影响,1962年处于这种影响的滞后期,人口的增长也受到很大影响。
总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布,
程序:
结果:
2、 将1963年看成初始时刻即0=t ,以2005年为32=t 作为终时刻。
运用Matlab 编程得到相关的参数0.0484 ,151.4513 ==r x m ,可以算出可决系数9994.02=R 得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线:
t
e t x 0484.0)11
.694513.151(14513
.151)(--+=
(7)
根据曲线(7)我们可以对2010年(47=t )、2020年(57=t )、及2033年(70=t ) 进行预测得(单位:千万):
145.5908 )70(,140.8168)57(,134.9190 )47(===x x x
结果分析:1963年-1979年其间,人口的增长基本上是按照自然的规律增长,特别是在农村是这样,城市受到收入的影响,生育率较低,但都有规律可寻。
总的来说,人口增长的外界大的干扰因素基本上没有,可以认为这一阶段随机误差服从正态分布;1980-2005年这一时间段,虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制,但计划生育的政策是基本稳定的,这一阶段随机误差也应服从正态分布,因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。
程序:
结果:
3、从1980-2005年,国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实,这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制,人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。
因此我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。
运用Matlab 编程得到相关的参数0.0477 ,153.5351 ==r x m ,可以算出可决系数9987.02=R 得到中国各年份人口变化趋势的第三条拟合曲线:
t
e
t
x
0477
.0
)1
705
.
98
5351
.
153
(
1
5351
.
153
)(
-
-
+
=(8)根据曲线(7)我们可以对2010年(30
=
t)、2020年(40
=
t)、及2033年(53
=
t)进行预测得(单位:千万):147.0172
)
53
(
,
141.8440
)
40
(
,
135.5357
)
30
(=
=
=x
x
x
结果分析:这一时期,国家虽然对人口大增长进行了干预,但国家的计划生育的政策是基本稳定的,在此其间没有其他大的干扰,所以人口增长的随机误差应服从正态分布。
所以结果应是比较可信的。
程序:
结果:
分别根据拟合曲线⑹⑺⑻对各年份中国总人口进行预测得到结果如表2:
由上表可以看出:用拟合曲线(6)预测得到的数据比较大,在2024年总人口就已经超过了151.9662千万,而且一直以比较快的速度增长到2048年达到了166.7683千万。
用拟合曲线(7)预测得到的数据偏小,到2048年人口只有148.558千万。
相比较而言用拟合曲线(8)预测的数据比较接近《国家人口发展战略研究报告》中的预测。