与三角形有关的线段(基础)知识讲解——初中数学【名校学案+详细解答】

一、学习与应用“凡事预则立，不预则废”．科学地学习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．知识回顾---复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）如图,点A，B，C,D，E在同一条直线上，则图中有条线段。

（二）如图，已知线段AB=8cm,点C为AB的中点，则AC= =（三）一个三角形底是5cm，高是7cm，面积是．（四)一个三角形的面积是4.8m2,与它等底等高的平行四边形的面积是．（五)直角三角形底3，高4，斜边5，求面积,斜边上的高（六）有长度分别为3cm，4cm,5cm和6cm的四根木棒，从中任取三根，可以组成个不同的三角形。

知识要点——复习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己学习过程中的疑惑认真听课学习，请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容．课堂笔记或者其它补充填在右栏．知识点一：三角形（一）三角形有关概念(1）三角形的定义：由不在同一条上的三条线段顺次相接组成的图形叫做三角形．（2）三角形的基本元素：①三角形的三条边：即组成三角形的；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的．③三角形的顶点:即相邻两边的公共．（3）三角形的特征：①有线段；②三个顶点同一直线上；③三角形是一个的图形,顺次相接．(4）三角形的符号:①三角形用符号“”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“”，读作“三角形ABC"；注意：△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。

②三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示,BC 可用a 表示．例1：如图,以下图形中三角形的个数是（ )【变式】如图,以下图形中三角形的个数是（ ）（二)三角形的分类(1）按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形__________　______________ 要点诠释:①不等边三角形：三边都不__________的三角形②等腰三角形：有两条边 的三角形叫做等腰三角形,相等的两边都叫做 ，另外一边叫做 ,两腰的夹角叫 ，腰与底边夹角叫做 ．③等边三角形：三边都__________的三角形 （2）按角分类:⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　_______三角形_________　钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形:三个内角都是 的三角形 ②钝角三角形：有一个内角为 的三角形例2：已知△ABC 的三边长为a,b,c 满足)(2=-+-c a c b ，则△ABC 是（ ）A.直角三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.无法确定 【变式】下列说法正确的是（ ）A.三角形可分为等边三角形和不等边三角形B.三角形可分为等腰直角三角形、锐角三角形和钝角三角形C.三角形可分为等边三角形、不等边三角形以及腰与底不相等的等腰三角形D.有一个角为75°的三角形是锐角三角形知识点二:三角形三边间的关系定理：三角形任意两边之和第三边．推论：三角形任意两边之差第三边．定理的数学语言：如图1，| b－c |〈a<b+ca b cb c aa c b⎧⎪⇔⎨⎪⎩＋＞＋＞＋＞要点诠释：(1）理论依据:两点之间最短．（2)给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形．判断方法常用的有两种（设a、b、c为三边的长）：①a+b〉c，，c+a>b都能成立,则以a、b、c为三边的长可以构成一个三角形（此法一般不用）；②|b－c｜〈a< ⇔长为a，b，c的三条线段可组成三角形；或若c是最长的线段,且，则以a、b、c为三边的长可构成一个三角形．（3)已知三角形两边的长,可以确定第三边的取值范围：设三角形的两边的长为a、b，则第三边的长c的取值范围是．（4）证明线段之间的不等关系．例3：有一个三角形的两边长分别为2和11，第三边为整数，则符合条件的三角形有( ) A。

11.1小节复习及习题11.1练习指导备课人：备课日期：年月日较大的三角形，然后把三个小三角形合成的三角形，即按从小到大依次找出，做到不重复不遗漏。

2.长为10,7,5,3的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？【提示】先选两根较短的木条作为三角形的两边并计算它们的和，再根据“三角形任意两边的和大于第三边”考虑选第三根木条。

本题只有5+3＞7一种符合，故只有一种选法。

3.对于下面每个三角形，过顶点A画出中线、角平分线和高。

【提示】图(1)为等腰三角形，所画中线、角平分线和高重合；图(2)是直角三角形，高就是直角边AB；图(3)是钝角三角形，所画的高在CB的延长线上。

4.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。

填空：(1)BE= =21；(2)∠BAD= =21；(3)∠AFB= =90°；(4)S△ABC= .【提示】(1)(2)(3)小题根据三角形的中线、角平分线、高的定义解答，(4)小题根据三角形的面积公式解答。

AB CE D F5.选择题。

下列图形中有稳定性的是（ ）A.正方形B.长方形C.直角三角形D.平行四边形【解析】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。

故选C. 综合运用6.一个等腰三角形的一边长为6cm ，周长为20cm ，求其它两边的长.【提示】分两种情况解答：①6cm 的边为底边；②6cm 的边为腰.7.(1)已知等腰三角形的一边长等于5，一边长等于6，求它的周长.(2)已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，求它的周长.【提示】分两种情况解答：①第一条边为底，第二条边为腰；②第一条边为腰，第二条边为底。

注意判断是否能围成三角形。

8.如图，在△ABC 中，AB=2，BC=4，△ABC 的高AD 与CE 的比是多少？【提示】：利用三角形的面积公式9.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE//AC ，DE 交AB 于点E ，DF//AB ，DF 交AC 于点F.图中∠1与∠2有什么关系?为什么?【提示】利用“两直线平行，内错角相等”，得出∠1=∠DAC ，∠2=∠DAE ，再利用角平分线的性质得出∠1=∠2。

底边底角底角7·1与三角形有关的线段7·1·1 三角形的边1.三角形及有关概念不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC 用符号表示为△ABC 。

三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 3．三角形的分类 （1）按角分类:三角形 直角三角形斜三角形 锐角三角形钝角三角形 （2）按边分类:三角形 不等边三角形等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形等边三角形例1．用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？分析：（1）等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为x ㎝，则腰长是多少？（2）“边长为4㎝”是什么意思？abc(1)CBA⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩解：（1）设底边长为x㎝，则腰长2 x㎝。

x+2x+2x=18解得x=3.6所以，三边长分别为3.6㎝，7.2㎝，7.2㎝.（2）如果长为4㎝的边为底边，设腰长为x㎝，则4+2x=18解得x=7如果长为4㎝的边为腰，设底边长为x㎝，则2×4+x=18解得x=10因为4+4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4㎝的等腰三角形。

由以上讨论可知，可以围成底边长是4㎝的等腰三角形。

例2. 有三根木棒长分别为3cm、6cm和2cm,用这木棒能否围成一个三角形?分析:(1)三条线段能否构成一个三角形, 关键在捡判定它们是否符合三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三角形.(2)两条木棒长为3cm和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm和8cm之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,所以不可能用这三条木棒构成一个三角形.错导:∵3cm+6cm>2cm∴用3cm、6cm、2cm的木棒可以构成一个三角形.错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,这里3+6>2,没错,可6-3不小于2,所以回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成.例3.两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将他们定成一个三角形框架，那么第三根木棒长x(cm)的范围是 .分析：应用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.解：3<x<17例4. 已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．分析：在第（1）和第（2）问中，没有说明所给边长是腰长还是底边长，因此我们要进行分类讨论．在第（3）问中，只给出了三边长都是整数，而此三角形又是等腰三角形，所以其最长边小于8cm，我们可以用列表法一一列出各组边长．解：（1）如果腰长为4cm，则底边长为16-4-4＝8cm．三边长为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系定理．所以应该是底边长为4cm．所以腰长为（16-4）÷2＝6cm．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为6cm．（2）如果腰长为6cm，则底边长为16-6-6＝4cm．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理．所以另外两边长分别为6cm和4cm．如果底边长为6cm，则腰长为（16-6）÷2＝5cm．三边长为6cm，5cm，5cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为5cm．（3）因为周长为16cm，且三边都是整数，所以三角形的最长边不会超过8cm且是等腰三角形，我们可用列表法，求出其各边长如下：7cm，7cm，2cm；6cm，5cm，5cm；6cm，6cm，4cm，共有这三种情况．例5. 下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题．“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说: “其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°．” 还有一些同学也提出了自己的看法…（1）假如你也在课堂中, 你的意见如何? 为什么？（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受？（用一句话表示）解析：本题首先要求考生在阅读数学课堂的一个学习片断后，对两名学生的说法提出自己的看法，这时考生应抓住题中条件“等腰三角形ABC的角A等于30°”这个不确定条件进行分析研究．当∠A是顶角时，设底角是α，∴30°+α+α=180°，α=75°，∴其余两底角是75°和75°．当∠A是底角时，设顶角是β，∴30°+30°+β=180°，β=120°，∴其余两角是30°和120°．由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题的错误．例6 若三线段a，b，c,满足a+b＞c，则以此三线段为边是否一定构成三角形？为什么？分析考查三线段是否构成三角形，要考查三条线段中，任意两线段之和是否大于第三条线段，不能光凭其中有两条线段和大于第三线段就判定能构成三角形.除非此时c边最a 是否小于c.长，否则还要看b解若c为三线段中最大线段，则三线段为边一定构成三角形.∵a+b＞c,b+c＞a显然成立.否则，不一定构成三角形.例如三线段长a=5,b=3,c=2此时虽然a+b＞c,但三线段不构成三角形.例7 等腰三角形周长为8，三边长为整数，求三边的长.分析可设腰长为a，底边长为b,得方程2a+b=8，这一个二元一次不定方程，要充分注意到条件三边为整数，即此时求正整数解.可利用不等式求出a的范围，求出后，一定要注意检验所求的三条线段是否能构成三角形.解设腰长为a，底边长为b,依题意.2a+b=8又∵b＞0 ∴2a＜8 a＜4.∵a为正整数∴a=1,2,3.解方程解为⎩⎨⎧==61b a⎩⎨⎧==42b a ⎩⎨⎧==23b a 又 2a ＞b 检验得 只有⎩⎨⎧==23b a 符号条件，∴三边长为3，3，2.例8 等腰三角形一边长为5cm ，它比另一边短6cm,求三角形周长.分析 5cm 的边不知是腰还是底，故此题可能有两解，即5为底和5为腰，但此时依然要注意求出的解是否满足构成三角形的条件.解 若腰长为5，则底边长为5+6=11cm. ∵5+5=10＜11 ∴不能构成三角形.∴只能底边长为5，此时腰长5+6=11cm. 三角形周长为5+11+11=27(cm)例9 如图3.2-2，O 为四边形ABCD 内任一点.图3.2-2求证 OA+OB+OC+OD ＞21(AB+BC+CD+DA) 分析 分别考查以O 为顶点的四个小三角形，每个里面利用两边之和大于第三边.再利用不等式性质，即可得结论.证 在△AOB 中，OA+OB ＞AB ① 在△BOC 中OB+OC ＞BC ② 在△COD 中,OC+OD ＞CD ③ 在△DOA 中，OD+OA ＞AD ④①+②+③+④ 得2（OA+OB+OC+OD ）＞AB+BC+CD+DA∴OA+OB+OC+OD ＞21(AB+BC+CD+DA)例10 如图3.2-3 P 为△ABC 内任一点.图3.2-3求证 PA+PB ＜CA+CB.分析 此时若考虑△PAB 和△CAB 是不可能证出结论的.而通过辅助线构造新的三角形，进而在新三角形中利用三边关系得出结论是解决本题的根本之所在.证 延长AP 交BC 于D 在△ACD 中AC+CD ＞AD 即AC+CD ＞AP+PD ① 在△BPD 中，BD+PD ＞BP ∴BD ＞BP-PD ② ①+② AC+CD+BD ＞AP+BP+PD-PD 即 PA+PB ＜CA+CB例11 已知三角形的周长为P ，且一边长是另一边长的2倍，求最短边的范围.分析 本题解决之关键在于，弄清谁是最短边？弄清以后，也不可轻率地由最短边的三倍不大于周长，得最短边不超过周长31（即最短边31≤l p ）这样将会把最短边的范围扩大. 要充分利用题中有两边比为2∶1,这一条件，以及三边不等关系解题.解 由已知可设三边为x,2x,y.∵ 3x+y=P ① ∴x ＜y ＜3x ② 2x-x ＜y ＜2x+x可知，最短边的长为x.由①得y=P-3x ③ ③代入②得 x ＜P-3x ＜3x..解得61P ＜x ＜41P 即最短边范围在61P~41P 之间.例12 三角形周长是偶数，两边长为4和1997.满足上述条件的三角形共多少个？分析 本题可从第三边范围在1993~2001之间来着手解决，再结合周长为偶数这一条件逐一检验，得出结论，也可先由奇偶性入手，以达迅速解题之目的.解 ∵周长为偶数，两边为4,1997，则第三边为奇数，设第三边为2n+1（n 为整数）得1997-4＜2n+1＜1997+4 996＜n ＜1000∴n-997,998,999，故合条件的三角形有三个.注意，本题只问合条件的三角形有多少个，并未涉及求边长及周周长问题，故不必算出第三边及周长.例13 不等边三角形周长为30，边长均为整数.求合条件的所有三角形的三边之长.分析 可设不等边三角形三边a,b,c ，且a ＜b ＜c.由三边关系及周长确定最长边c 的范围，进而得出结论，是本题基本思路，而确定最长边c 是解决本题之关键.解 设三边a,b,c.∵三角形为不等边三角形，不失一般性，可设a ＜b ＜c.∴⎩⎨⎧+=++ ②＞ ①c b a c b a 30∵c ＞a c ＞b ∴3c ＞a+b+c ③ 由① a+b=30-c ④④代入② 解得 c ＜15 由③得c ＞10 ∴10＜c ＜15 ∴整数c 为11，12，13，14c=11时 a+b=19 c ＞b ＞a ∴9.5＜b ＜11 ∴b=10c=11 b=10 a=9c=12时 a+b=18 9＜b ＜12 ∴b=10,11 c=12 b=10 a=8 c=12 b=11 a=7c=13时 a+b=17 8.5＜b ＜13 ∴b=9,10,11,12 c=14时 a+b=16 8＜b ＜14 ∴b=9,10,11,12,13 ∴合条件的三角形共12个它们是⎪⎩⎪⎨⎧===11109c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===12117c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===12108c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===13125c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===13116c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===13107c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===1398c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===14133c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===14124c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===14115c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===14106c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===1497c b a7.1.2 三角形的高、中线与角平分线2. 三角形的三条高相交于一点；三角的三条中线相交于一点；三角形三个角的平分线相交于一点。

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知识点解读:三角形的边知识点１:三角形三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．:（1)三角形的表示方法中“∆”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安排，即CBA CAB BCA BAC ACB ABC ∆∆∆∆∆∆,,,,,为同一个三角形．(2）角的两边为射线，三角形的三条边为线段.(3)由于在三角形内一个角对着一条边，那么这条边就叫这个角的对边，同理，这个角也叫做这个边的对角.如图１中,A ∠的对边是BC (经常也用a 表示),B ∠的对边是AC （经常也用b 表示),C ∠的对边为AB (经常也用c 表示）;AB 的对角为C ∠，AC 的对角为B ∠，BC 的对角为A ∠． 知识点2：三角形的分类:三角形分类有两种方法:(１)按角分类;（2）按边分类（1）按角分类(2）按边分类【典例】判断:等边三角形是等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形. 三角形 斜三角形直角三角形 钝角三角形 锐角三角形 三角形三边都不相等的三角 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角等边三角形 图1 A B C分析:此题应从等边三角形与等腰三角形的概念来解答即可．解:等边三角形是三条边都相等的三角形，而等腰三角形是只要有两条边相等就行．所以等边三角形是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形,只有三条边相等的等腰三角形才是等边三角形．故答案为:√.知识3:三角形的三边关系(重点):三角形的三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边． 符号表示:a b c +>，b c a +>，c a b +>理论根据:两点之间线段最短.(１）由于a b c +>，根据不等式的性质，得c b a -<，即三角形两边之差小于第三边．（2)三角形两边之和大于第三边指的是三角形任意两边之和大于第三边，即a b c +>,b c a +>，c a b +>三个不等式同时成立.（３）利用三角形三边关系,可以确定在已知两边的三角形中,第三边的取值范围，以及判断任意三条线段能否构成三角形．【典例】１. 如果线段a,ｂ,c 能组成三角形，那么,它们的长度比可能是( ）A 、1∶2∶４B 、1∶3∶4C 、3∶4∶７ Ｄ、2∶3∶4分析:如果线段a ，b ，c 能组成三角形,那么必须满足三角形的三边关系,三角形两边的和大于第三边及三角形两边的差小于第三边．因此通过分析选项的设置,可以得出答案选Ｄ．2. 如果三角形的两边分别为7和2,且它的周长为偶数那么第三边的长为( ）Ａ、5 B 、6 Ｃ、7 D 、8分析：利用三角形的三边关系，三角形两边的和大于第三边及三角形两边的差小于第三边.设第三边为c ，故其满足5＜c<9,又因为周长为偶数,故可以得出答案选Ｃ.a A B Cb c 图2以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

11.1与三角形有关的线段（第二课时）一、内容和内容解析1.内容三角形的高、中线与角平分线，三角形的稳定性2.内容解析三角形的高、中线与角平分线是三角形内部的三条重要线段，也是“图形与几何”必备的知识基础。

既是对前面学过的线段的中点、垂线及角平分线等知识的内化，又为后面学习全等三角形及相似三角形等知识奠定了基础。

理解三角形的高、中线与角平分线的概念到用几何语言精确表述，这是学生在几何学习上的一个深入.基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线。

二、目标和目标解析1.目标（1）理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解三角形的稳定性。

（2）会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生通过画图操作理解三角形的高、中线与角平分线的概念，并能用几何语言表述；通过教具展示感受三角形的稳定性。

达成目标（2）的标志是：能在具体的图形中利用工具作出三角形的高线、中线、角平分线。

三、教学问题诊断分析画钝角三角形的高时，有两个垂足落在边的延长线上，对于图形的这种特点学生不太适应，教学时可结合过线段外一点画已知线段的垂线（垂足在线段的延长线上）的知识帮助学生理解。

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：画钝角三角形的高。

四、教学过程设计1.质疑展示，操作验证问题1.通过画三角形的中线，你有什么发现？师生活动：学生回答，三角形有三条中线。

追问1.教材中以三角形一条边上的中线为例介绍了三角形的中线，结合作图你能用语言描述三角形中线的定义吗？师生活动：学生通过讨论概括三角形中线的定义，教师加以完善。

设计意图：让学生通过亲自作图，先从形象上认识三角形中线的定义，然后用语言归纳出中线定义，这样做，不仅容易理解定义，同时也培养了他们的语言表达能力。

追问2.除此之外你还有什么发现？师生活动：学生回答，三角形三条中线交于一点追问3.在作图过程中三角形的三条中线都交于一点吗？师生活动：学生交流，提出质疑，教师提供技术帮助，学生亲自操作验证。

初二数学上册与三角形的线段知识点整理熟练掌握数学公式、定理对做对数学题目很重要，所以在备考过程中，初中生千万不能忽视数学各章节的知识点。

下面是店铺给大家带来的初二数学上册与三角形有关的线段知识点整理，希望能帮到大家！一、三角形的有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

三角形的特征：①不在同一直线上；②三条线段；③首尾顺次相接；④三角形具有稳定性。

2、三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高（1）角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

（3）高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

说明：①三角形的.角平分线、中线、高都是线段；②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点；三角形的高可能在三角形的内部（锐角三角形）、外部（钝角三角形），也可能在边上（直角三角形），它们（或延长线）相交于一点。

二、三角形的边和角三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边。

由三边关系可以推出：三角形任意两边之差小于第三边。

三、三角形内、外角的关系1、三角形的内角和等于180°。

2、直角三角形的两个锐角互余。

3、三角形的一外角等于和它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4、三角形的外角和为360°。

四、等腰三角形与直角三角形：1、等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，三条边都相等的三角形叫做等边三角形（或正三角形）。

说明：等边三角形是等腰三角形的特殊情况。

2、直角三角形：有一个角是直角的三角形是直角三角形，它的两个锐角互余。

【初二数学上册与三角形有关的线段知识点整理】。

11．1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边(第1课时)一、基本目标【知识与技能】理解三角形的表示法、分类法以及三边存在的关系,发展空间观念．【过程与方法】经历探索三角形中三边关系的过程,认识三角形这个最简单、最基本的几何图形,提高推理能力．【情感态度与价值观】培养学生的推理能力,运用几何语言有条理的表达能力,体会三角形知识的应用价值．二、重难点目标【教学重点】掌握三角形三边关系．【教学难点】三角形三边关系的应用．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P4的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2．如图,线段AB、BC、CA是三角形的边,点A、B、C是三角形的顶点,∠A、∠B、∠C 是相邻两边组成的角,叫做三角形的内角,简称三角形的角．3．三角形的表示：顶点是A、B、C的三角形,记作“△ABC”,读作“三角形ABC”．4．等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．5．等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中,相等的边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角．6．三角形按边的相等关系分类如下：三角形⎩⎨⎧三边都不相等的三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形5．三角形三边关系：三角形的两边的和大于第三边．推论：三角形两边的差小于第三边．环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ) A ．2,3,5 B ．5,6,10 C ．1,1,3D ．3,4,9【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边．A 中,2＋3＝5,不能组成三角形；B 中,5＋6＞10,能组成三角形；C 中,1＋1＜3,不能组成三角形；D 中,3＋4＜9,不能组成三角形．故选B.【答案】B【互动总结】(学生总结,老师点评)判定三条线段能否组成三角形,只需判定两条较短线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【例2】用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？【互动探索】(引发学生思考)(1)等腰三角形的周长是18厘米→列方程求解；(2)等腰三角形的周长为18厘米→分类讨论：已知边长是腰长还是底边长→得三角形另外两边长→三角形三边关系进行判断．【解答】(1)设底边长为x 厘米,则腰长为2x 厘米． 根据题意,得x ＋2x ＋2x ＝18,解得x ＝3.6. ∴三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米． (2)分情况讨论：当4厘米长为底边长时,设腰长为x 厘米,则 4＋2x ＝18,解得x ＝7.此时等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；当4厘米长为腰长时,设底边长为x 厘米,则4×2＋x ＝18,解得x ＝10. ∵4＋4<10,∴此时不能构成三角形,故可围成满足条件的等腰三角形,且三边长分别为7厘米、7厘米、4厘米．【互动总结】(学生总结,老师点评)当已知等腰三角形的周长和一边长时,需要分类讨论已知的一边长是腰长还是底边长,再解决问题．活动2巩固练习(学生独学)1．下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形任意两边的和大于第三边；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知a、b、c为三角形的三边,则︱a＋b―c︱－︱b－c－a︱的化简结果是(D) A．2a B．－2bC．2a＋2b D．2b－2c3．已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm,且它的周长大于14 cm,则第三边长为6 cm.4．三角形的三边长是三个连续的自然数,且三角形的周长小于20,求三边的长．解：2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7.环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习！11．1.2三角形的高、中线与角平分线(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．掌握三角形的高、中线和角平分线的定义．2．能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线．【过程与方法】会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线,通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)、三条中线、三条角平分线都分别交于一点．【情感态度与价值观】通过对问题的解决,分别培养学生的合作精神,树立学好数学的信心．二、重难点目标【教学重点】理解三角形的高、中线与角平分线．【教学难点】会利用三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点解决问题．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P4～P5的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.2．在三角形中,连结一个顶点与它对边中点的线段,叫做三角形的中线.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.3．在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)1．画三角形的高．如图,线段AD是△ABC中BC边上的高．注意：标明垂直符号和垂足的字母．教师点拨：回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”的画法．讨论1：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高,观察高与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条高线相交于一点；(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部；(4)直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点.2．画三角形的中线．如图,线段AD是△ABC中BC边上的中线．讨论2：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线,观察中线与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条中线相交于一点；(2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条中线相交于三角形的内部.3．画三角形的角平分线．如图,线段AD是△ABC的一条角平分线,则∠BAD＝∠CAD.讨论3：分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线,观察角平分线与三角形的位置关系．结论：由作图可得：(1)三角形的三条角平分线相交于一点；(2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部.活动2巩固练习(学生独学)1．如图,在△ABC中,EF∥AC,BD⊥AC于点D,交EF于点G,则下面说法中错误的是(C)A．BD是△ABC的高B．CD是△BCD的高C．EG是△ABD的高D．BG是△BEF的高2．如图,DE∥BC,CD是∠ACB的平分线,∠ACB＝60°,那么∠EDC＝30度．3．如图所示,CD为△ABC的AB边上的中线,△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm,BC ＝8 cm,求边AC的长．解：∵CD为△ABC的AB边上的中线,∴AD＝BD.∵△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm,∴(BC＋BD＋CD)－(AC＋AD＋CD)＝3 cm,∴BC－AC＝3 cm.又∵BC＝8 cm,∴AC＝5 cm.环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习！11.1.3三角形的稳定性(第3课时)一、基本目标【知识与技能】通过实践活动,使学生掌握三角形的稳定性．【过程与方法】培养学生从周围生活中发现数学问题,运用所学知识解决实际问题的能力,使学生体验到数学与日常生活的密切联系．【情感态度与价值观】在活动中培养学生知识迁移的能力和创造性思维．二、重难点目标【教学重点】三角形具有稳定性．【教学难点】三角形的稳定性在实际生活中的应用．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P6～P7的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性．2．如图,盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,这是为了防止窗框变形.3．2017年11月5日19时45分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星,是我国北斗三号第一、二颗组网卫星,开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．如图所示,在发射运载火箭时,运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形,这样做的原因是：三角形具有稳定性.4．下列设备,没有利用三角形的稳定性的是(A)A．活动的四边形衣架B．起重机C．屋顶三角形钢架D．索道支架环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】(1)动手操作探究三角形的稳定性．①如图1,将三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗？图1图2图3②如图2,将四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗？③在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连结起来,然后再扭动它,这时木架的形状还会改变吗？为什么？从上面的实验过程中你能得出什么结论？与同学交流．(2)了解四边形的不稳定性的应用．四边形的不稳定性是我们常常需要克服的,那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有,你能举出实例吗？【互动探索】(引发学生思考)三角形木架形状不会改变,四边形木架形状会改变．这就是说,三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性．【解答】(1)①不会改变．②会改变．③不会改变．原因：斜钉一根木条后,四边形变成两个三角形,由于三角形具有稳定性,所以斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．从上面的实验得出：三角形具有稳定性．(2)有应用价值,实例不唯一,如：活动2巩固练习(学生独学)1．下列图形中具有稳定性的是(B)A．平行四边形B．等腰三角形C．长方形D．梯形2．下列实际情景运用了三角形稳定性的是(C)A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒活动3拓展延伸(学生对学)【例2】要使下列木架稳定,可以在任意两个点之间钉上木棍,各至少需要钉上多少根木棍？【互动探索】三角形具有稳定性,怎样添加木棍才能使多边形具有稳定性呢？【解答】①四边形木架至少需要钉上1根木棍；②五边形木架至少需要钉上2根木棍；③六边形木架至少需要钉上3根木棍．如图所示：【互动总结】(学生总结,老师点评)n边形沿一个顶点的对角线添加(n－3)条木棍后就具有稳定性．环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习！。