【精华推荐】2009年全国高考(2)数学学科试卷分析与评价

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4） C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．257．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F 为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种 B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选A2．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4） C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选B．3．（5分）（2009•黑龙江）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA 的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选D．4．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选B．5．（5分）（2009•黑龙江）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题采用几何法较为简单：连接A1B，则有A1B∥CD1，则∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，由余弦定理可知cos ∠A1BE的大小．【解答】解：如图连接A1B，则有A1B∥CD1，∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=．由余弦定理可知：cos∠A1BE=．故选C．6．（5分）（2009•黑龙江）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．25【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．7．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A8．（5分）（2009•黑龙江）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan （ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选D．9．（5分）（2009•黑龙江）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN ⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选D10．（5分）（2009•黑龙江）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种 B．12种C．24种D．30种【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故只恰好有1门相同的选法有36﹣6﹣6=24种．11．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD ⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选A．12．（5分）（2009•黑龙江）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009•黑龙江）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y 的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．14．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为915．（5分）（2009•黑龙江）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于8π．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，16．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009•黑龙江）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．18．（12分）（2009•黑龙江）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E 分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．19．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．=4a n+2，①由S n+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），①﹣②得a n+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）20．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，23ξ01P故Eξ==．21．（12分）（2009•黑龙江）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当22．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I）令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）（1）当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增；（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴故．。

09年全国高考（Ⅱ）卷评析及部分试题解答甘肃正宁一中 李永卿（一）试题分析：09全国二卷数学试题的总体特点是:题目稳中求变，以稳为主，以变为辅。

以常规题为主，思路直观，无偏题、怪题，课本以外的题目几乎没有。

难度较去年大体持平，稍有降低。

保持了试卷结构、试题类型的相对稳定。

整体感觉上手比较快，题比较亲切，有利于考生的发挥。

但计算量大，注重对数学方法的考查，因方法不当造成大量的时间浪费。

小题起步较低，难度缓缓上升，除两个解几题有难度外，其他都较平和。

解答题中两道“中等题”的难度较08年有较大的降低，其中数列仍是递推数列，第(1)问证明，是一个“导向”，容易入手。

概率题的背景、题意更贴近考生。

两道压轴题较去年更有利于分步得分。

虽然个别题目在设置的方式上，在情景的设置上有一定的新意，但解决问题的知识和方法，仍然是大家所熟悉的。

今年数学要得高分，需要扎扎实实的数学功底。

一是数学概念要清晰。

二是要有较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力。

总之，不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本技能基本方法)”，是以不变应万变的硬道理。

下面就部分选择、填空题和解答题不同于标准答案的解法进行探究。

（二）部分试题解答 （理）2：正解：直接解不等式即可。

故选B.妙解：排除验证. 因求A B I ∴x ＞3 排除A 、 C . 只需代入一个值验证（如5、6等）即可。

（理）3：正解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈. 2212cos 1351tan 1()12A A =-=-=-++- 故选D. 妙解：由条件知,作角A 的对边为5，邻边12，斜边为13的直角三角形，即知选D 。

另解：因为在直角坐标系中角A 终边在第二象限，利用三角函数定义可设x =-12，y =5后即可求出。

（理）4：正解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B. 另解1：因21x y x =-的图像是双曲线。

2009年高考数学全国卷Ⅱ（理）试卷分析
孙原
【期刊名称】《中国高考》
【年(卷),期】2009(000)010
【摘要】试卷基本评价2009年高考数学全国卷Ⅱ（理）试卷的总体设计符合考
纲要求，注重了知识的综合，对运算能力要求较高，突出对数学能力和数学思想方法的考查．与2008年高考数学全国卷Ⅱ（理）试卷比较，题目在稳中求新，稳步推进，题型以常规题型为主，不但没有偏题、怪题，并且有叙述简洁的特点．纵观试题，小题起步较低，难度缓步上升，除两道解析几何的小题有较大难度之外，其他题目难度都比较平和．解答题中第19、20题的难度较2008年有较大降低，【总页数】2页(P21-22)
【作者】孙原
【作者单位】甘肃白银市寄宿高中,730900
【正文语种】中文
【中图分类】G633
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2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析一选择题： 1. 解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2. 解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=I .选B. 3.解：已知ABC ∆中,12cot 5A =-,(,)2A ππ∴∈. 12cos 13A ===-故选D. 4. 解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B. 5.解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D Q ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角.在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos A BE ∠=.故选C 6.解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++r r r r r r r Q g ||5b ∴=r.故选C7.解：322log 2log 2log 3b c <<∴>Q2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A. 8.解：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x πππππωωω⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−→=-=+ ⎝+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位164()662k k k Z ππωπωπ+=∴=+∈∴-, 又min 102ωω>∴=Q .故选D 9.解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , 由||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则1||||2OB AF =, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为22022(1,22)1(2)3k -∴==--, 故选D 10.解：用间接法即可.22244430C C C ⋅-=种. 故选C 11.解：设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N ,BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为3,知直线AB 的倾斜角为16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=, 由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-u u u r u u u r 11||(||||)22AB AF FB ==+u u ur u u u r .又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴=u u u r u u u r Q 故选A12.解：展、折问题.易判断选B第II 卷（非选择题,共90分）二、13.解：()4224()x y y x x y x y -=-,只需求4()x y -展开式中的含xy 项的系数：246C = 14. 解：{}n a Q 为等差数列,9553995S a S a ∴== 15.解：设球半径为R ,圆C 的半径为r ,2277.444r r ππ==,得由 因为22224R OC R ==.由2222217()484R R r R =+=+得22R =.故球O 的表面积等于8π. 16.解：设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+. 四边形ABCD 的面积222212121||||2(4)8()52S AB CD d d d d =⋅=-≤-+=)(4- 三、解答题17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,3cos()cos 2A CB -+=,2b ac =,求B . 分析：由3cos()cos 2A CB -+=,易想到先将()B AC π=-+代入3cos()cos 2A C B -+=得3cos()cos()2A C A C --+=.然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4A C =；又由2b ac =,利用正弦定理进行边角互化,得2sin sin sin B A C =,进而得sin B =.故233B ππ=或.大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当23B π=时,由1cos cos()2B AC =-+=-,进而得3cos()cos()212A C A C -=++=>,矛盾,应舍去. 也可利用若2b ac =则b a b c ≤≤或从而舍去23B π=.不过这种方法学生不易想到.评析：本小题考生得分易,但得满分难. 18（I ）分析一：连结BE,111ABC A B C -Q 为直三棱柱, 190,B BC ∴∠=︒E Q 为1B C 的中点,BE EC ∴=.又DE ⊥平面1BCC ,BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC , AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）.分析二：取BC 的中点F ,证四边形AFED 为平行四边形,进而证AF∥DE ,AF BC ⊥,得AB AC =也可.分析三：利用空间向量的方法.具体解法略.（II ）分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角,只需求点1B 到面BDC 的距离即可.作AG BD ⊥于G ,连GC ,则GC BD ⊥,AGC ∠为二面角A BD C --的平面角,60AGC ∠=︒.不妨设23AC =,则2,4AG GC ==.在RT ABD ∆中,由AD AB BD AG ⋅=⋅,易得6AD =.设点1B 到面BDC 的距离为h ,1B C 与平面BCD 所成的角为α.利用11133B BC BCD S DE S h ∆∆⋅=⋅,可求得h =23,又可求得143B C =11sin 30.2h B C αα==∴=︒ 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.︒分析二：作出1B C 与平面BCD 所成的角再行求解.如图可证得BC AFED ⊥面,所以面AFED BDC ⊥面.由分析一易知：四边形AFED为正方形,连AE DF 、,并设交点为O ,则EO BDC ⊥面,OC ∴为EC 在面BDC 内的射影.ECO ∴∠即为所求.以下略.分析三：利用空间向量的方法求出面BDC 的法向量n r,则1B C 与平面BCD 所成的角即为1B C u u u r与法向量n r 的夹角的余角.具体解法详见高考试题参考答案.总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况.命题人在这里一定会兼顾双方的利益. 19解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+,有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+,．．．① 则当2n ≥时,有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-Q ,12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =,公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅,113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n n a是首项为12,公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n na n n =+-=-,2(31)2n n a n -=-⋅ 评析：第（I ）问思路明确,只需利用已知条件寻找1n n b b -与的关系即可． 第（II ）问中由（I ）易得11232n n n a a -+-=⋅,这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,n n n a pa q p q +=+为常数),主要的处理手段是两边除以1n q +．总体来说,09年高考理科数学全国I 、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I 还考查了利用错位相减法求前n 项和的方法）,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式.具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用.也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 20分析：（I ）这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样的原理即可.另外要注意此分层抽样与性别无关.（II ）在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难.从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率1146210815C C P C ⋅==（III ）ξ的可能取值为0,1,2,31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=,1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=, 21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=,31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-== 分布列及期望略.评析：本题较常规,比08年的概率统计题要容易.在计算(2)P ξ=时,采用分类的方法,用直接法也可,但较繁琐,考生应增强灵活变通的能力.（21）（本小题满分12分）解:(I ）设(,0)F c ,直线:0l x y c --=,由坐标原点O 到l 的距离为22则222=,解得 1c =.又3,3,2c e a b a ==∴==. （II ）由(I ）知椭圆的方程为22:132x y C +=.设11(,)A x y 、B 22(,)x y由题意知l 的斜率为一定不为0,故不妨设 :1l x my =+ 代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=,显然0∆>.由韦达定理有：1224,23m y y m +=-+1224,23y y m =-+．．．．．．．．① .假设存在点P,使OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立,则其充要条件为：点1212P (,)x x y y ++的坐标为,点P 在椭圆上,即221212()()132x x y y +++=. 整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m又A B 、在椭圆上,即22221122236,236x y x y +=+=.故12122330x x y y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得212m =1222y y ∴+=-,12x x +=22432232m m -+=+,即3(,22P ±.当3,(,:12222m P l x y =-=+;当3,(:12m P l x y ==+. 评析：处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够.所谓“算”,主要讲的是算理和算法.算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质.有时候算理和算法并不是截然区分的.例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几部分来算？在具体处理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点. 22.解: （I ）()2222(1)11a x x af x x x x x++'=+=>-++ 令2()22g x x x a =++,其对称轴为12x =-.由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根,其充要条件为480(1)0a g a ∆=->⎧⎨-=>⎩,得102a << ⑴当1(1,)x x ∈-时,()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵当12(,)x x x ∈时,()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数；⑶当2,()x x ∈+∞时,()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数； （II ）由（I ）21(0)0,02g a x =>∴-<<,222(2)a x x =-+2()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2设()()221(22)1()2h x x x x ln x x =-++>-,则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴当1(,0)2x ∈-时,()0,()h x h x '>∴在1[,0)2-单调递增； ⑵当(0,)x ∈+∞时,()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减.()1112ln 2(,0),()224x h x h -∴∈->-=当时 故()22122()4In f x h x -=>．。

2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）解析版参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，{1M =，3，5，7}，{5N =，6，7}，则()(U MN =ð )A ．{5，7}B ．{2，4}C ．{2，4，8}D ．{1，3，5，6，7}【考点】1H ：交、并、补集的混合运算 【专题】11：计算题 【分析】先求集合MN ，后求它的补集即可，注意全集的范围．【解答】解：{1M =，3，5，7}，{5N =，6，7}， {1MN ∴=，3，5，6，7}，{1U =，2，3，4，5，6，7，8}， (){2U MN ∴=ð，4，8}故选：C ．【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题．2．（5分）函数0)y x =…的反函数是( )A ．2(0)y x x =…B ．2(0)y x x =-…C ．2(0)y x x =…D ．2(0)y x x =-…【考点】4R ：反函数 【专题】11：计算题【分析】直接利用反函数的定义，求出函数的反函数，注意函数的定义域和函数的值域． 【解答】解：由原函数定义域0x …可知A 、C 错， 原函数的值域0y …可知D 错， 故选：B ．【点评】本题考查反函数的求法，反函数概念，考查逻辑推理能力，是基础题． 3．（5分）函数22log 2xy x-=+的图象( )A ．关于直线y x =-对称B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断；3M ：奇偶函数图象的对称性 【专题】31：数形结合【分析】先看函数的定义域，再看()f x -与()f x 的关系，判断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．【解答】解：由于定义域为(2,2)-关于原点对称， 又222222()loglog()x x x x f x f x +--+-==-=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选：B ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性． 4．（5分）已知ABC ∆中，12cot 5A =-，则cos (A = ) A ．1213B ．513C ．513-D ．1213-【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系 【专题】11：计算题【分析】利用同角三角函数的基本关系cos A 转化成正弦和余弦，求得sin A 和cos A 的关系式，进而与22sin cos 1A A +=联立方程求得cos A 的值． 【解答】解：12cot 5A =-A ∴为钝角，cos 0A <排除A 和B ，再由cos 12cot sin 5A A A ==-，和22sin cos 1A A +=求得12cos 13A =-， 故选：D ．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．5．（5分）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( )A B ．15C D ．35【考点】LM ：异面直线及其所成的角【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G ：空间角【分析】由11//BA CD ，知1AB E ∠是异面直线BE 与1CD 所形成角，由此能求出异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值．【解答】解：正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点， 11//BA CD ∴，1A BE ∴∠是异面直线BE 与1CD 所形成角，设122AA AB ==，则11A E =，BE =，1A B ==2221111cos 2A B BE A E A BE A B BE +-∴∠===．∴异面直线BE 与1CD ． 故选：C ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量(2,1)a =，10a b =，||52a b +=，则||(b = )AB C ．5D ．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O ：平面向量数量积的性质及其运算 【专题】5A ：平面向量及应用【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对||a b +=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可． 【解答】解：||52a b +=，||5a =222()250a b a b a b ∴+=++=， 得||5b = 故选：C ．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a lge =，2()b lge =，c =，则( ) A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【考点】4M ：对数值大小的比较；4O ：对数函数的单调性与特殊点【分析】因为101>，所以y lgx =单调递增，又因为110e <<，所以01lge <<，即可得到答案．【解答】解：13e <<< 01lge ∴<<，21()2lge lge lge ∴>>．a cb ∴>>．故选：C ．【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．8．（5分）双曲线22163x y -=的渐近线与圆222(3)(0)x y r r -+=>相切，则(r = )A B ．2C ．3D ．6【考点】IT ：点到直线的距离公式；KC ：双曲线的性质 【专题】11：计算题【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r ．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y =，即0x ±=，圆心(3,0)到直线的距离d ==r ∴=故选：A ．【点评】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式． 9．（5分）若将函数tan()(0)4y x πωω=+>的图象向右平移6π个单位长度后，与函数tan()6y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为( )A ．16B ．14 C ．13D ．12【考点】HJ ：函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 【专题】11：计算题【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数tan()6y x πω=+的图象重合，比较系数，求出16()2k k Z ω=+∈，然后求出ω的最小值．【解答】解：tan()4y x πω=+，向右平移6π个单位可得：tan[()]tan()646y x x πππωω=-+=+∴466k πππωπ-+=1()2k k Z ω∴=+∈，又0ω> 12min ω∴=． 故选：D ．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种【考点】5D ：组合及组合数公式 【专题】11：计算题【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数224436C C =， ②两人所选两门都相同的有为246C =种，都不同的种数为246C =， 故选：C ．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法． 11．（5分）已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则(k = )A ．13B C ．23D 【考点】8K ：抛物线的性质 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，根据||2||FA FB =，推断出||2||AM BN =，点B 为AP 的中点、连接OB ，进而可知1||||2OB AF =，进而推断出||||OB BF =，进而求得点B 的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率． 【解答】解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =- 直线(2)(0)y k x k =+>恒过定点(2,0)P -如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由||2||FA FB =，则||2||AM BN =， 点B 为AP 的中点、连接OB ， 则1||||2OB AF =， ||||OB BF ∴=，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为k ∴==故选：D ．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用． 12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位( )A ．南B ．北C ．西D ．下【考点】LC ：空间几何体的直观图 【专题】16：压轴题【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定． 【解答】解：如图所示．故选：B ．【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，634S S =，则4a = 3 ．【考点】87：等比数列的性质；89：等比数列的前n 项和 【专题】11：计算题【分析】根据634S S =可求得3q ，进而根据等比数列的通项公式，得到答案． 【解答】解：设等比数列的公比为q ，则由634S S =知1q ≠， 63614(1)11q q S q q--∴==--． 33q ∴=．313a q ∴=． 故答案为：3【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．14．（5分）4(-的展开式中33x y 的系数为 6 ． 【考点】DA ：二项式定理【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x ，y 的指数都为1求出33x y 的系数【解答】解：4224(x y =，只需求4展开式中的含xy 项的系数．4的展开式的通项为414(rr r r T C -+= 令422r r -=⎧⎨=⎩得2r =∴展开式中33x y 的系数为246C = 故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 15．（5分）已知圆22:5O x y +=和点(1,2)A ，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=254． 【考点】7J ：圆的切线方程 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】判断点A 在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：由题意知，点A 在圆上，切线斜率为111221OA K --==-， 用点斜式可直接求出切线方程为：12(1)2y x -=--，即250x y +-=，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52， 所以，所求面积为15255224⨯⨯=．【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积． 16．（5分）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45︒角的平面截球O 的表面得到圆C ．若圆C 的面积等于74π，则球O 的表面积等于 8π ． 【考点】LG ：球的体积和表面积 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案． 【解答】解：设球半径为R ，圆C 的半径为r ， 2277,44r r ππ==由得．因为22R OC R ==． 由222217)84R r R =+=+得22R = 故球O 的表面积等于8π 故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 前n 项和n s ． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n 项和 【专题】34：方程思想【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于1a ，d 的方程组，求出1a 、d ，进而代入等差数列的前n 项和公式求解即可．【解答】解：设{}n a 的公差为d ，则1111(2)(6)16350a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩，即22111812164a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩，解得118822a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或， 因此8(1)(9)n S n n n n n =-+-=-，或8(1)(9)n S n n n n n =--=--．【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解． 18．（12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =，求B ．【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；HP ：正弦定理 【专题】11：计算题【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sin B （负值舍掉），从而求出答案． 【解答】解：由3cos()cos 2A CB -+=及()B AC π=-+得 3cos()cos()2A C A C --+=， 3cos cos sin sin (cos cos sin sin )2A C A C A C A C ∴+--=， 3sin sin 4A C ∴=． 又由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =， 故23sin 4B =，∴sin B =sin B =， 于是3B π=或23B π=．又由2b ac = 知b a …或b c … 所以3B π=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．19．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC ．（Ⅰ）证明：AB AC =；（Ⅱ）设二面角A BD C --为60︒，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小．【考点】LQ ：平面与平面之间的位置关系 【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）连接BE ，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD DC =，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB AC =；（2）求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可，作AG BD ⊥于G ，连GC ，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，在三角形AGC 中求出GC 即可．【解答】解：如图 ()I 连接BE ，111ABC A B C -为直三棱柱，190B BC ∴∠=︒，E 为1B C 的中点，BE EC ∴=．又DE ⊥平面1BCC ，BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ，AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）． ()II 求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC 的距离即可．作AG BD ⊥于G ，连GC ， AB AC ⊥，GC BD ∴⊥，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，60AGC ∠=︒不妨设AC =2AG =，4GC =在RT ABD ∆中，由AD AB BD AG =，易得AD =设点1B 到面BDC 的距离为h ，1B C 与平面BCD 所成的角为α． 利用11133B BCBCD SDE Sh ∆=，可求得h =1112h B C B C α===，30α∴=︒． 即1B C 与平面BCD 所成的角为30︒．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．【考点】3B ：分层抽样方法；6C ：等可能事件和等可能事件的概率 【专题】11：计算题【分析】（1）根据分层抽样原理，要从甲、乙两组各10人中共抽取4名工人，则从每组各抽取2名工人．（2）从甲组抽取2人的结果有210C 种，恰有1名女工人的结果有1146C C 种，代入等可能事件的概率公式即可（3）从甲乙各10人虫各抽2人的结果有221010C C 种，而4名工人中恰有2名男工人的情况分①两名男工都来自甲，有2266C C ②甲乙各抽1名男工11116446C C C C ③两名男工都来自乙有2244C C 种结果【解答】解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．（2）记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则11462108()15C C P A C ==（3）i A 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，0i =，1，2 Bj 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，0j =，1，2B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．i A 与j B 独立，i ，0j =，1，2，且021120B A B A B A B =++故P （B ）021*********()()()()()()()P A B A B A B P A P B P A P B P A P B =++=++22111122666464442210103175C C C C C C C C c C ++== 【点评】本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率．21．（12分）设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >，（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若当0x …时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 【考点】3R ：函数恒成立问题；6B ：利用导数研究函数的单调性 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．（2）先将问题转化为求函数在0x …时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定()f x 在2x a =或0x =处取得最小值，求出最小值，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）2()2(1)4(2)(2)f x x a x a x x a '=-++=-- 由1a >知，当2x <时，()0f x '>， 故()f x 在区间(,2)-∞是增函数； 当22x a <<时，()0f x '<， 故()f x 在区间(2,2)a 是减函数； 当2x a >时，()0f x '>，故()f x 在区间(2,)a +∞是增函数．综上，当1a >时，()f x 在区间(,2)-∞和(2,)a +∞是增函数， 在区间(2,2)a 是减函数．（2）由（1）知，当0x …时，()f x 在2x a =或0x =处取得最小值． 323214(2)(2)(1)(2)422442433f a a a a a a a a a a =-+++=-++，(0)24f a =由假设知1(2)0(0)0a f a f >⎧⎪>⎨⎪>⎩即14(3)(6)03240.a a a a a >⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩解得16a << 故a 的取值范围是(1,6)【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l， （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由． 【考点】4K ：椭圆的性质 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】()I 设(,0)F c ，则直线l 的方程为0x y c --=，由坐标原点O 到l 的距离求得c ，进而根据离心率求得a 和b ．()II 由()I 可得椭圆的方程，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，:1l x my =+代入椭圆的方程中整理得方程△0>．由韦达定理可求得12y y +和12y y 的表达式，假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为：点P 的坐标为12(x x +，12)y y +，代入椭圆方程；把A ，B 两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c ，进而求得P 点坐标，求出m 的值得出直线l 的方程．【解答】解：()I 设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l=1c =又c e a ==∴a b = ()II 由()I 知椭圆的方程为22:132x y C += 设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设:1l x my =+代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=，显然△0>． 由韦达定理有：122423m y y m +=-+，122423y y m =-+，① 假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为： 点P 的坐标为12(x x +，12)y y +，点P 在椭圆上，即221212()()132x x y y +++=．整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=． 又A 、B 在椭圆上，即2211236x y +=，2222236x y +=、 故12122330x x y y ++=②将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得212m =∴12y y +=，2122432232m x x m +=-+=+，即3(,2P当3,,,:12m P l x y ⎛==+ ⎝⎭；当3,,:12m P l x y ⎛==+ ⎝⎭【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．。

2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析一选择题： 1. 10i2-i=A. -2+4iB. -2-4iC. 2+4iD. 2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2. 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B I =A. ∅B. ()3,4C.()2,1-D. ()4.+∞解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=I .故选B. 3. 已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A = A. 1213 B.513 C.513-D. 1213-解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.2212cos 1351tan 1()12A A=-=-=-++-故选D. 4.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A. 20x y --=B. 20x y +-=C.450x y +-=D. 450x y --=解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.10 B.15C.310D.35解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D Q ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。

在1A BE ∆中由余弦定理易得1310cos 10A BE ∠=。

故选C 6. 已知向量()2,1,10,||52a a b a b =⋅=+=，则||b =A.5B.10 C.5 D. 25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++r r r r r r r Q g||5b ∴=r。