高中数学3-1-2不等式的性质同步检测新人教B版必修5
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3.1.2 不等式的性质5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.设a 、b 、c 是任意实数,且a >b,则下列结论一定成立的是( ) A.ac >bc B.ac >bc C.ac 2>bc 2 D.ac 2≥bc 2解析:不知道c 是正是负,所以相乘后两种结果都可能,而c 2≥0,所以只能选择D. 答案:D2.已知b <a,d <c,那么下列结论一定成立的是( )A.b-d <a-cB. b-d >a-cC.b+d <a+cD.bd <ac解析:取值逐个进行检验,易知C 是正确的,而选项D 在a 、b 、c 、d 同时为正时成立. 答案:C3.已知0<α≤2,23ππ-≤β≤2π,则α-β的取值范围是_______________. 解析:因为2π-≤β≤2π,所以2π-≤-β≤2π,又0<α≤23π,所以2π-<α-β≤2π,即α-β的取值范围是(2π-,2π].答案:(2π-,2π]4.已知三个不等式:①ab >0;②bda c -<-;③bc >ad.以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成_____________个正确命题.解析:(1)⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<->b d ac ab 0bc >ad.∵b d a c -<-,∴bd a c >. 又ab >0,∴ab·a c >ab·bd,即bc >ad.(2)b d a c adbc ab -<-⇒⎩⎨⎧>>0.∵ab >0,∴ab 1>0.又bc >ad, ∴ab 1·bc >ab 1·ad,即b d a c >. ∴bd a c -<-.(3)⇒⎪⎭⎪⎬⎫-<->b d a c ad bc ab >0.∵b d a c -<-,∴b d a c ->0,即abad bc ->0. 又bc >ad,∴bc-ad >0.∴ab >0. 答案:310分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.已知a <b <0,则下列不等式成立的是( )A.33b a <B.22b a <C.33b a -<-D.b a -<-解析:本题可利用不等式的乘方开方法则,特别注意成立的条件. 答案:A2.设不等式x-y >x ,x+y <y,则下列各式一定成立的是( )A.x >yB.x <yC.x >0且y >0D.x <0且y <0解析:由条件x-y >x ,x+y <y 可得y <0且x <0,所以,无法比较x 和y 的大小,只有选项D 正确. 答案:D3.若a 、b 、c ∈R ,a >b ,则下列不等式成立的是( ) A.b a 11< B.a 2>b 2 C.1122+>+c bc a D.a|c|>b|c|解析:取a=1,b=0,排除A.取a=0,b=-1,排除B;取c=0,排除D .故应该选C .显然112+c >0,对不等式a >b 的两边同时乘以112+c ,得1122+>+c bc a 成立. 答案:C4.如果a >b >0,则下列各不等式中: ①ba 11<;②a 3>b 3;③lg(a 2+1)>lg(b 2+1);④2a >2b ;⑤sina >sinb. 一定成立的是____________(请把正确的答案序号全部填写在横线上)解析:根据作差的方法可判断①是正确的,根据函数的单调性可以判断②③④正确,只有y=sinx 在(0,+∞)不具有单调性,所以⑤不正确. 答案:①②③④ 5.若a >b 且ba 11>,求证:a >0且b <0. 证明:⇒⎩⎨⎧<<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>-⇒>>-=-⇒>b a ab a b b a b a ab a b b a b a 00001111a >0且b <0. 6.若c >a >b >0,求证:bc ba c a ->-. 证明:))(())(())(()()(b c a c bcac b c a c ab bc ab ac b c a c a c b b c a b c b a c a ---=--+--=-----=---))(()(b c a c b a c ---=.因为c >a >b >0,所以a-b >0,c-a >0,c-b >0. 所以.00))(()(>--->---bc ba c abc a c b a c .所以b c b a c a ->-. 30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.已知a+b >0且b <0,那么a 、b 、-a 、-b 的大小关系是( ) A.a >b >-b >-a B.a >-b >-a >b C.a >-b >b >-a D.a >b >-a >-b 解析:根据条件可知a >0,b <0且a >|b|,为此可以取值a=2,b=-1代入逐个验证,即可得到答案. 答案:C2.如果a 、b 、c 满足c <b <a 且ac <0,那么下列选项中不一定成立的是( )A.ab >acB.c (b-a )>0C.cb 2<ab 2D.ac (a-c )<0解析:∵c <b <a 且ac <0,∴a >0,c <0.∴b 可能为0,也可能不为0.∴cb 2<ab 2不一定成立.答案:C3.设a=sin15°+cos15°,b=sin16°+cos16°,则下列各式正确的是( )A.a <222b a +<bB.a <b <222b a +C.b <a <222b a +D.b <222b a +<a解析:a=sin15°+cos15°=2sin60°,b=sin16°+cos16°=2sin61°,所以a <b,排除C 、D 又a≠b,因为222b a +>ab=2sin60°2sin61°=3sin61°>b,故B 正确.答案:B4.已知函数f (x )(0≤x≤1)的图象为一段圆弧(如右图),若0<x 1<x 2<1,则( )A.2211)()(x x f x x f < B.2211)()(x x f x x f =C.2211)()(x x f x x f > D.2211)()(x x f x x f ≤解析:直线的斜率是解题的开窍点.显然,构造点A (x 1,f (x 1))、B (x 2,f (x 2)),则线段OA 、OB 的斜率是k OA =2211)(,)(x x f k x x f OB =.由图形可以看出k OA >k OB ,即2211)()(x x f x x f >. 答案:C5若a >0,b >0,则不等式-b <x1<a 等价于( ) A.b 1-<x <0或0<x <a 1 B.a 1-<x <b 1C.x <a 1-或x >b 1D.x <b 1-或x >a1解析:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>-<>⇔⎩⎨⎧<->+⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->+⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->+⇔<<-01100)1(0)1(010101011x a x bx x ax x bx x x ax x bx a x b x a x b 或或⇒x <b 1-或x >a1. 答案:D6.某新区新建有5个住宅小区(A 、B 、C 、D 、E ),现要铺设连通各小区的自来水管道,如果它们两两之间的线路长如下表:请问最短的管线长为( )A.13 kmB.14 kmC.15 kmD.17 km解析:因为A B :5,B E :2,B C :3,E D :4,所以最短的管线总长为5+2+3+4=14. 答案:B7.4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元,而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元,则2枝牡丹花和3枝月季花的价格比较结果是( ) A.2枝牡丹花贵 B.3枝月季花贵 C.相同 D.不确定解析:设牡丹花和月季花的价格分别为x 、y,则4x+5y <22,6x+3y >24,而2枝牡丹花和3枝月季花的价格之差为2x-3y ,设2x-3y=m(4x+5y)+n(6x+3y)=(4m+6n)x+(5m+3n)y ,则4m+6n=2,5m+3n=-3,所以,m=34-,n=911,即2x-3y=34-(4x+5y)+911(6x+3y)>34-×22+911×24=0,所以2x-3y >0.即2x >3y,2枝牡丹花贵.答案:B8.下列四个不等式:①a <0<b;②b <a <0;③b <0<a;④0<b <a;⑤b <a 且ab >0;⑥a <b 且ab<0,其中能使b a 11<成立的是______________. 解析:因为abab b a -⇔<11<0⇔b-a 与ab 异号,然后再逐个进行验证,可知①②④⑤⑥都满足条件.答案:①②④⑤⑥ 9.设m ∈R ,a >b >1,f(x)=1-x mx,试比较f(a)与f(b)的大小. 解:f(a)-f(b)=)1)(1()(11---=---b a a b m b mb a ma . ∵a >b >1,∴b-a <0,a-1>0,b-1>0, ∴)1)(1(---b a ab <0.当m >0时,)1)(1()(---b a a b m <0,f(a)<f(b);当m <0时,)1)(1()(---b a a b m >0,f(a)>f(b);当m=0时,)1)(1()(---b a a b m =0,f(a)=f(b).10.比较a 21+与33)21(2a--的大小. 解:∵(1+a 2)3-(33)21(2a--)3=(1+a 2)3+(1-a 2)3-2 =(1+a 2+1-a 2)[(1+a 2)2-(1+a 2)(1-a 2)+(1-a2)2]-2=2(1+26a )-2=212a >0, ∴(1+a 2)3>(33)21(2a--)3.∴1+a 2>33)21(2a--.。
3.1.2不等式的性质明目标、知重点 1.把握不等式的性质.2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较,解不等式(组)和不等式证明.不等式的性质(1)对称性:假如a>b,那么b<a;假如b<a,那么a>b.(2)传递性:假如a>b,且b>c,则a>c.(3)加法法则:假如a>b,则a+c>b+c.推论1:(移项法则)不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边.推论2:假如a>b,c>d,则a+c>b+d.即:几个同向不等式的两边分别相加,所得到的不等式与原不等式同向.(4)乘法法则:假如a>b,c>0,则ac>bc;假如a>b,c<0,则ac<bc;推论1:假如a>b>0,c>d>0,则ac>bd.更一般的结论:几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得到的不等式与原不等式同向.推论2:假如a>b>0,则a n>b n(n∈N+,n>1).推论3:假如a>b>0,则na>nb(n∈N+,n>1).[情境导学]在学校我们学习了不等式的三条性质,事实上,不等式还具有其他一些性质,本节我们一起争辩.探究点一不等式的性质思考1学校已经学习过不等式的一些性质,请同学们回忆学校不等式的基本性质有哪些?答(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不转变,即若a>b⇒a±c>b±c.(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不转变,即若a>b,c>0⇒ac>bc.(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向转变,即若a>b,c<0⇒ac<bc.思考2从实数的基本性质动身,如何证明下列常用的不等式的基本性质?(1)a>b,b>c⇒a>c;(2)a>b⇒a+c>b+c;(3)a>b,c>0⇒ac>bc.答(1)a>b,b>c⇒a-b>0,b-c>0⇒a-b+b-c>0⇒a-c>0⇒a>c;(2)(a+c)-(b+c)=a-b>0⇒a+c>b+c;(3)a>b,c>0⇒a-b>0,c>0⇒(a-b)c=ac-bc>0⇒ac>bc.思考3我们把“假如a>b,那么b<a;假如b<a,那么a>b”称为不等式的对称性,如何证明?答由于a>b,所以a-b>0,不等式两边同乘以-1,得-a+b<0,即b-a<0,所以b<a;同理可证假如b<a,那么a>b.思考4我们把“假如a>b,且b>c,则a>c”称为不等式的传递性,想一想如何证明?答a>b,b>c⇒a-b>0,b-c>0⇒(a-b)+(b-c)>0⇒a-c>0⇒a>c.思考5我们把“不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边”称为不等式的移项法则,如何用不等式表示出移项法则并证明?答移项法则为a+b>c⇒a>c-b.证明:a+b>c⇒a+b+(-b)>c+(-b)⇒a>c-b.思考6如何用不等式表示“两个同向不等式的两边分别相加,所得的不等式与原不等式同向”?想一想如何证明表示出的不等式?答假如a>b,c>d,则a+c>b+d.证明:由于a>b,所以a+c>b+c,又由于c>d,所以b+c>b+d,依据不等式的传递性得a+c>b+d.探究点二不等式性质的应用例1应用不等式的性质,证明下列不等式:(1)已知a>b,ab>0,求证:1a<1b;(2)已知a>b,c<d,求证:a-c>b-d;(3)已知a>b>0,0<c<d,求证:ac>bd.证明(1)由于ab>0,所以1ab>0.又由于a>b,所以a·1ab>b·1ab,即1b>1a,因此1a<1b.(2)由于a>b,c<d,所以a>b,-c>-d.依据性质3的推论2,得a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.(3)由于0<c<d,依据(1)的结论,得1c>1d>0.又由于a>b>0,所以a·1c>b·1d.因此ac>bd.反思与感悟 利用不等式性质证明简洁的不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形,要留意不等式性质成立的条件,假如不能直接由不等式性质得到,可先分析需要证明的不等式的结构,利用不等式性质进行转化.跟踪训练1 已知a >b >0,c <d <0,e <0,求证:e a -c >eb -d .证明 ∵c <d <0,∴-c >-d >0, ∵a >b >0,∴a -c >b -d >0, ∴0<1a -c <1b -d ,又∵e <0,∴e a -c >e b -d. 跟踪训练2 下列命题中正确的个数是( ) (1)若a >b ,b ≠0,则ab >1;(2)若a >b ,且a +c >b +d ,则c >d ; (3)若a >b ,且ac >bd ,则c >d . A .0 B .1 C .2 D .3 答案 A解析 (1)若a =2,b =-1,则不符合;(2)取a =10,b =2,c =1,d =3,虽然满足a >b 且a +c >b +d ,但不满足c >d ,故错.(3)当a =-2,b =-3,取c =-1,d =2,则不成立.1.已知a +b >0,b <0,那么a ,b ,-a ,-b 的大小关系是( ) A .a >b >-b >-a B .a >-b >-a >b C .a >-b >b >-a D .a >b >-a >-b答案 C解析 由a +b >0知a >-b ,∴-a <b <0. 又b <0,∴-b >0,∴a >-b >b >-a .2.已知a >b ,不等式:①a 2>b 2;②1a <1b ;③1a -b >1a 成立的个数是( )A .0B .1C .2D .3 答案 A解析 由题意可令a =1,b =-1,此时①不对,②不对,③a -b =2,此时有1a -b <1a ,故③不对.故选A.3.已知a ,b ,c ,d ∈R 且ab >0,-c a >-db ,则( )A .bc <adB .bc >ad C.a c >bd D.a c <bd答案 A解析 ∵ab >0,∴在-c a >-db 两侧乘ab 不变号,即-bc >-ad ,即bc <ad .4.若α∈(0,π2),β∈(0,π2),那么2α-β3的范围是________________.答案 (-π6,π)解析 α∈(0,π2),∴2α∈(0,π),β∈(0,π2),∴-β3∈(-π6,0),∴-π6<2α-β3<π.[呈重点、现规律] 1.不等式的性质(1)不等式的性质有很多是不行逆的,特殊对同向不等式,只有同向不等式才可以相加,但不能相减,而且性质不行逆.只有同向且是正项的不等式才能相乘,且性质不行逆.(2)不等式的性质是解(证)不等式的基础,要依据不等式的性质进行推导,不能自己“制造”性质运算.2.在利用不等式的性质进行证明、推断或者推理过程中,要留意性质成立的条件,不能毁灭同向不等式相减、相除的状况,要特殊留意同向不等式相乘的条件为同为正.一、基础过关1.设x <a <0,则下列不等式确定成立的是( ) A .x 2<ax <a 2 B .x 2>ax >a 2 C .x 2<a 2<ax D .x 2>a 2>ax答案 B解析 ∵x <a <0,∴x 2>a 2. ∵x 2-ax =x (x -a )>0,∴x 2>ax .又ax -a 2=a (x -a )>0,∴ax >a 2.∴x 2>ax >a 2. 2.已知a <0,b <-1,则下列不等式成立的是( ) A .a >a b >a b 2B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 答案 D解析 取a =-2,b =-2, 则a b =1,a b 2=-12,∴a b >a b2>a . 3.若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB .a 2>b 2 C.a c 2+1>bc 2+1 D .a |c |>b |c | 答案 C解析 对A ,若a >0>b ,则1a >0,1b <0,此时1a >1b ,∴A 不成立;对B ,若a =1,b =-2,则a 2<b 2,∴B不成立;对C ,∵c 2+1≥1,且a >b , ∴a c 2+1>bc 2+1恒成立,∴C 成立; 对D ,当c =0时,a |c |=b |c |,∴D 不成立.4.若a >b >c 且a +b +c =0,则下列不等式中正确的是( ) A .ab >ac B .ac >bc C .a |b |>c |b | D .a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a +b +c =0知a >0,c <0,⎩⎨⎧a >0b >c⇒ab >ac .5.已知a 、b 为非零实数,且a <b ,则下列命题成立的是______.(1)a 2b <ab 2;(2)1ab 2<1a 2b ;(3)b a <ab .答案 (2)解析 对于(1),当a <0,b >0时,a 2b >0,ab 2<0,a 2b <ab 2不成立; 对于(2),∵a <b ,1a 2b 2>0,∴1ab 2<1a 2b ,故成立;对于(3),当a =-1,b =1时,b a =ab=-1,故不成立.6.假如a 、b 、c 满足c <b <a ,且ac <0,那么下列不等式不愿定成立的是________. (1)ab >ac (2)c (b -a )>0 (3)cb 2<ab 2 (4)ac (a -c )<0答案 (3)解析 c <b <a 且ac <0,知a >0,c <0,而b 的取值不确定,当b =0时,(3)不成立. 7.已知a >b ,e >f ,c >0,求证:f -ac <e -bc ; 证明 由于a >b ,c >0,所以ac >bc ,即-ac <-bc . 又e >f ,即f <e ,所以f -ac <e -bc . 二、力气提升8.若a <0,-1<b <0,则( ) A .a <ab <ab 2 B .ab 2>a >ab C .ab >b >ab 2 D .ab >ab 2>a 答案 D解析 ∵-1<b <0,∴b <b 2<1,又a <0,∴ab >ab 2>a . 9.假如-1<a <b <0,则有( ) A.1b <1a <b 2<a 2 B.1b <1a <a 2<b 2 C.1a <1b <b 2<a 2 D.1a <1b <a 2<b 2 答案 A解析 ∵-1<a <b <0,∴ab >0,∴a ab <b ab 即1b <1a <0,∴1>a 2>b 2>0,∴1b <1a<0<b 2<a 2<1.10.若-1≤a ≤3,1≤b ≤2,则a -b 的范围为________. 答案 [-3,2]解析 ∵-1≤a ≤3,-2≤-b ≤-1,∴-3≤a -b ≤2.11.推断下列各命题是否正确,并说明理由: (1)若c a <cb 且c >0,则a >b ;(2)若a >b >0且c >d >0,则 ad> b c; (3)若a >b ,ab ≠0,则1a <1b ;(4)若a >b ,c >d ,则ac >bd .解 (1)⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ,但推不出a >b ,故(1)错. (2)⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒a d >bc>0⇒ a d > bc成立,故(2)对. (3)错.例如,当a =1,b =-1时,不成立. (4)错.例如,当a =c =1,b =d =-2时,不成立. 12.已知a >b >0,c >d >0, (1)求证:ac >bd . (2)试比较a d与bc的大小. (1)证明 由于a >b >0,c >d >0,所以ac >bc ,bc >bd ,所以ac >bd , (2)解 由于a >b >0,c >d >0, 所以a d >b d >0,b d >bc >0,所以a d >bc >0,所示a d>b c. 三、探究与拓展13.已知函数f (x )=ax 2-c ,-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围. 解 ∵f (x )=ax 2-c ,∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)=a -c ,f (2)=4a -c ,∴⎩⎨⎧a =13[f (2)-f (1)],c =13f (2)-43f (1).∴f (3)=9a -c =83f (2)-53f (1),又∵-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,∴53≤-53f (1)≤203,① -83≤83f (2)≤403.② 把①②的两边分别相加,得-1≤83f (2)-53f (1)≤20,即-1≤f (3)≤20.。
3.1.2 不等式的性质 课时目标 1.掌握不等式的性质,明确各性质中结论成立的前提条件.2.利用不等式的性质判断不等式是否成立,以及对不等式进行等价变形.不等式的性质(1)性质1:a>b ⇔b____a.(2)性质2:a>b ,b>c ⇒a____c.(3)性质3:a>b ⇔a +c____b +c.推论1:a +b>c ⇒a>____;推论2:a>b ,c>d ⇒a +c____b +d.(4)性质4:a>b ,c>0⇒ac____bc ;a>b ,c<0⇒ac____bc.推论1:a>b>0,c>d>0⇒ac____bd ;推论2:a>b>0⇒a n ____b n (n ∈N +,n>1);推论3:a>b>0⇒n a____n b(n ∈N +,n>1).一、选择题1.若a ,b ,c ∈R ,a>b ,则下列不等式成立的是( )A.1a <1b B .a 2>b 2C.ac 2+1>bc 2+1 D .a|c|>b|c|2.已知a<0,b<-1,则下列不等式成立的是( )A .a>a b >ab 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a>ab 2 D.a b >ab 2>a3.已知a 、b 为非零实数,且a<b ,则下列命题成立的是() A .a 2<b 2 B .a 2b<ab 2C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b4.设a =log 54,b =(log 53)2,c =log 45,则( )A .a<c<bB .b<c<aC .a<b<cD .b<a<c5.若a>b>c 且a +b +c =0,则下列不等式中正确的是( )A .ab>acB .ac>bcC .a|b|>c|b|D .a 2>b 2>c 26.设a ,b ∈R ,若a -|b|>0,则下列不等式中正确的是( )A .b -a>0B .a 3+b 3<0C .a 2-b 2<0D .b +a>0二、填空题7.若角α、β满足-π2<α<β<π2,则α-β的取值范围为________. 8.已知a>b>0,c<d<0,则b a -c 与a b -d的大小关系是________. 9.设a =log 3π,b =log 23,c =log 32,则a ,b ,c 按从大到小的顺序排列为________.10.已知三个不等式:①ab>0;②c a >d b;③bc>ad.以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成______个正确命题.三、解答题11.若a>b(ab≠0),试比较1a 与1b的大小.12.已知f(x)=ax 2+bx ,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.能力提升13.如图所示为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段 AB, BC, CA的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则()A.x1>x2>x3B.x1>x3>x2C.x2>x3>x1D.x3>x2>x114.实数a,b,c,d满足下列条件:①d>c;②a+b=c+d;③a+d<b+c.则将a,b,c,d按从小到大的顺序排列为____________.1.不等式的性质是不等式的基础,也是解不等式和证明不等式的主要依据,只有正确的理解每条性质的条件和结论,注意条件的变化,才能正确的加以运用.2.不等式性质定理,有同向不等式相加,得同向不等式,并无相减;有均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除.3.1.2 不等式的性质答案知识梳理(1)< (2)> (3)> c -b > (4)> < > > >作业设计1.C [对A ,若a>0>b ,则1a >0,1b <0,此时1a >1b,∴A 不成立; 对B ,若a =1,b =-2,则a 2<b 2,∴B 不成立;对C ,∵c 2+1≥1,且a>b ,∴a c 2+1>b c 2+1恒成立, ∴C 正确;对D ,当c =0时,a|c|=b|c|,∴D 不成立.]2.D [取a =-2,b =-2,则a b =1,a b 2=-12,∴a b >a b 2>a.] 3.C [对于A ,当a<0,b<0时,a 2<b 2不成立;对于B ,当a<0,b>0时,a 2b>0,ab 2<0,a 2b<ab 2不成立;对于C ,∵a<b ,1a 2b 2>0,∴1ab 2<1a 2b; 对于D ,当a =-1,b =1时,b a =a b=-1.] 4.D [因为a =log 54<1,log 53<log 54<1,b =(log 53)2<log 53,c =log 45>1,所以b<a<c.]5.A [由a>b>c 及a +b +c =0知a>0,c<0,又∵a>0,b>c ,∴ab>ac.]6.D [由a>|b|得-a<b<a ,∴a +b>0,且a -b>0.∴b -a<0,A 错,D 对.a 3+b 3=(a +b)(a 2-ab +b 2)=(a +b)[(a -b 2)2+34b 2]∴a 3+b 3>0,B 错.而a 2-b 2=(a -b)(a +b)>0,∴C 错.]7.(-π,0)解析 ∵-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2. ∵-π2<α<π2,∴-π<α-β<π. ∵α<β,∴α-β<0,故-π<α-β<0.8.b a -c <a b -d解析 ∵c<d<0,∴-c>-d>0.∵a>b>0,∴a -c>b -d>0.∴1b -d >1a -c >0,∵a>b>0. ∴a b -d >b a -c . 即b a -c <a b -d. 9.a>b>c解析 ∵a =log 3π>log 33=1,∴a>1,∵b =log 23=12log 23<12log 24=1,∴b<1. c =log 32=12log 32<1,∴a>b ,a>c. 又b =log 23=12log 23>12, c =log 32=12log 32<12, ∴b>c ,∴a>b>c.10.3解析 对②作等价变形:c a >d b bc -ad ab>0. 于是①② ③,①③ ②,②③ ①都成立, ∴可组成3个正确命题.11.解 方法一 当ab>0时,1ab>0, ∴a·1ab >b·1ab ,∴1b >1a; 当ab<0时,1ab<0, ∴a·1ab <b·1ab ,∴1b <1a. 综上,当ab>0时,1a <1b; 当ab<0时,1a >1b. 方法二 ∵1a -1b =b -a ab,a>b ,∴b -a<0. 当ab>0时,b -a ab <0,1a <1b; 当ab<0时,b -a ab >0,1a >1b.综上,当ab>0时,1a <1b; 当ab<0时,1a >1b. 12.解 ∵f(-1)=a -b ,f(1)=a +b , f(-2)=4a -2b.∴f(-2)=3(a -b)+(a +b)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤f(-2)≤10.故f(-2)的取值范围为(5,10).13.C [∵x 1=50+(x 3-55)=x 3-5 x 3>x 1, x 2=30+(x 1-20)=x 1+10 x 2>x 1, x 3=30+(x 2-35)=x 2-5 x 2>x 3, ∴x 2>x 3>x 1.]14.a<c<d<b解析 ∵a +d<b +c ,∴d -b<c -a , ∵a +b =c +d ,∴b -d =c -a , ∴d -b<b -d 且a -c<c -a.∴d<b ,a<c.又d>c ,∴a<c<d<b.。
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2 不等式的性质自我小测1.如果a,b,c满足c<b〈a,且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( )A.ab>ac B.c(b-a)>0 C.cb2〈ab2D.ac(a-c)<0 2.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是()A.\f(1,a)〈1bB.a2>b2C.\f(a,c2+1)>错误!D.a|c|>b|c|3.已知a<b<0,则下列不等式成立的是( )A B.错误!<错误! D.错误!〈错误!4.已知函数f(x)(0≤x≤1)的图象为一段圆弧(如图),若0<x1<x2<1,则( )A.错误!<错误! B.错误!=错误!C.错误!〉错误!D.错误!≤错误!5.若a>0,b>0,则不等式-b<错误!<a等价于( )A.-1b<x<0或0<x<错误! B.-错误!<x<错误!C.x<-错误!或x>错误! D.x<-错误!或x>错误! 6.给出下列命题:①若x〈y,则a2x〈a2y;②若x〈y,则x2n+1<y2n+1(n∈N+);③若x〉y>1,则1log yx >1logyx.其中正确命题的序号是________.7.已知不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a;⑤b<a且ab>0;⑥a<b且ab<0.其中能使\f(1,a)〈错误!成立的是________.(填序号)8.若a>b,且\f(1,a)〉错误!,求证:a>0且b<0.9.设m∈R,a>b>1,f(x)=\f(mx,x-1),试比较f(a)与f(b)的大小.10.甲、乙两人同时从寝室出发到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步.如果两人步行速度、跑步速度均相同,问甲、乙两人谁先到达教室?参考答案1.解析:∵c〈b〈a且ac<0,∴a〉0,c〈0.∴b可能为0,也可能不为0.∴cb2<ab2不一定成立.答案:C2.解析:取a=1,b=0,排除选项A;取a=0,b=-1,排除选项B;取c=0,排除选项D;显然1c2+1>0,对不等式a>b的两边同时乘以\f(1,c2+1),得\f(a,c2+1)〉错误!.故选C.答案:C3.答案:A4.解析:可在函数的图象上取点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),则线段OA,OB的斜率是kOA=错误!,k OB=错误!.由图象可以看出k OA>kOB,即错误!>错误!.故选C.答案:C5.解析:-b〈\f(1,x)<a⇔11bxax⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩⇔11bxxaxx+⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩⇔(1)0(1)0x bxx ax+>⎧⎨-<⎩⇔11x xbx xa⎧><⎪⎪⎨⎪><⎪⎩或或⇒x<-错误!或x>错误!.答案:D6.解析:对于①,当a=0时,a2x=a2y,故命题①错误.对于②,由幂函数y=x2n+1(n∈N+)是增函数这一性质可知:当x<y时,有x2n+1<y2n+1,故命题②正确.对于③,由x>y>1,得0<1x<错误!<1,而函数y=log ax当0〈a<1时,在(0,+∞)上单调递减,所以1log yx >1logxx=-1=1log yy>1logyx,故命题③也正确.答案:②③7.解析:因为错误!<错误!⇔错误!<0⇔b-a与ab异号,然后再逐个进行验证,可知①②④⑤⑥都能使1a<错误!.答案:①②④⑤⑥8.证明:错误!⇒错误!⇒a>0且b<0.9.解:f(a)-f(b)=\f(ma,a-1)-\f(mb,b-1)=错误!.∵a>b>1,∴b-a<0,a-1>0,b-1>0.∴错误!<0.∴当m>0时,错误!<0,∴f(a)<f(b);当m<0时,错误!>0,∴f(a)>f(b);当m=0时,错误!=0,∴f(a)=f(b).10.分析:先根据条件,表示出甲、乙两人到达教室的时间表达式,然后作差比较他们所用时间的多少,所用时间少的先到达教室.解:设总路程为s,步行速度为v1,跑步速度为v2,显然v1<v2,甲到教室所用的时间为t 1,乙到教室所用时间为t2,则t1=错误!+错误!=错误!,错误!(v1+v2)=s.∴t2=2s v1+v2.∴t1-t2=错误!=错误!.∵v1<v2,∴v1-v2≠0.∴(v1-v2)2>0.∴错误!>0.∴t1>t2.∴乙先到教室.以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
教学分析本节将在初中学习的不等式的三条基本性质的基础上,系统归纳整理不等式的其他性质,这是进一步学习不等式的基础.要求学生掌握不等式的基本性质与推论,并能用这些基本性质证明简单不等式,进而更深层地从理性角度建立不等观念.对不等式的基本性质,教师应指导学生用数学的观点与等式的基本性质作类比、归纳逻辑分析,并鼓励学生从理性角度去分析量与量之间的比较过程.基本性质2、3、4在初中是由实例验证,在高中里要进行逻辑证明.教学中教师一定要认识到对学生进行逻辑训练的必要性,注意启发学生要求证明的欲望.在中学数学中,不等式的地位不仅特殊,而且重要,它与中学数学几乎所有章节都有联系,因此,不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点,有时也是难点.为此,在进行本节教学时,教材中基本性质的推论可由学生自己证明,课后的练习A、B要求学生全做.三维目标1.通过对初中三条基本性质的回忆,以及上节学习的知识,证明不等式的基本性质和推论.2.在了解不等式的基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单的不等式.3.通过本节的学习,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度.体会数学的结构美和系统美,激发学生学习数学更大的热情.重点难点教学重点:理解并证明不等式的基本性质与推论,并能用基本性质证明一些简单的不等式.教学难点:不等式基本性质的灵活应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆并叙述初中所学的不等式的三条基本性质,即不等式的两边都加上(或减去)同一个数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.让学生根据上一节的学习将上面的文字语言用不等式表示出来,并进一步探究,由此而展开新课.思路2.(类比导入)等式具有许多性质,其中有:在等式的两边都加上,或都减去,或都乘以,或都除以(除数不为零)同一个数,所得的仍是等式.我们自然会联想到,不等式是否也会有此同样的性质呢?学生会进一步探究验证这个联想,由此而展开新课.推进新课新知探究提出问题(1)怎样比较两个实数或代数式的大小?(2)初中都学过不等式的哪些基本性质?你能给出证明吗?(3)不等式有哪些基本性质和推论?这些性质有哪些作用?活动:教师引导学生一起回忆等式的性质:等式的两边都加上,或都减去,或都乘以,或都除以(除数不为零)同一个数,所得到的仍是等式.利用这些性质,我们可以对等式进行化简、变形或证明.那么不等式会不会也有类似的性质呢?也就是说,如果在不等式的两边都加上,或都减去,或都乘以,或都除以(除数不为零)同一个数,结果会不会不变呢?为此教师引导学生回忆上节课学过的实数的基本性质(或用多媒体展示),即a-b>>b;a-b<<b;a-b==b.根据实数的基本性质,要比较两个实数的大小,可以考察这两个实数的差.这是我们研究不等关系的一个出发点.从实数的基本性质,我们可以证明下列常用的不等式性质:性质1,如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b,即a><a.这种性质称为不等式的对称性.性质2,如果a>b,b>c,那么a>c,即a>b,b>>c.这种性质称为不等式的传递性.性质3,如果a>b,那么a+c>b+c,即不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向.由此得到推论1,不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边.这个推论称为不等式的移项法则.推论2,如果a>b,c>d,则a+c>b+d.这类不等号方向相同的不等式,叫做同向不等式,同向不等式可以相加,这个推论可以推广为更一般的结论.性质4,如果a>b,c>0,则ac>bc;如果a>b,c<0,则ac<bc.推论1,如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.推论2,如果a>b>0,那么a n>b n(n∈N+,n>1).推论3,如果a>b>0,那么na>nb(n∈N+,n>1).以上这些不等式的性质是解决不等式问题的基本依据.其中性质1是不等式的对称性;性质2是不等式的传递性;性质3表明不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向,由此可得不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边;性质4表明,不等式两边允许用非零数(或式)去乘,相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号,这点与等式的性质不同;性质4的推论1说明两边都是正数的同向不等式可以相乘;性质4的推论2说明两边都是正数的不等式可以乘方;性质4的推论3说明两边都是正数的不等式可以开方.对以上性质的逻辑证明,教师可与学生一起完成.5个推论可由学生自己完成,教师给予适当点拨.这是训练学生逻辑推理能力的极佳机会,不可错过.讨论结果:(1)(2)略.(3)4条性质,5个推论.应用示例例1(教材本节例题)活动:本节教材上共安排了这一个例题,含3个小题,都是不等式性质的简单应用,教师不可忽视本例的训练,过高估计了学生逻辑推理的书写能力.实践证明,学生往往推理不严密.教学时应指导学生根据不等式的性质的条件和结论,强调推理要有理有据,严谨细致,条理清晰.点评:应用不等式性质对已知不等式进行变形,从而得出要证的不等式,是证明不等式的常用方法之一.变式训练已知a>b>0,c<0,求证:ca>cb.证明:∵a >b >0,∴ab >0,1ab>0. 于是a·1ab >b·1ab ,即1b >1a. 由c <0,得c a >c b.例2已知-π2≤α<β≤π2,求α+β2,α-β2的取值范围. 活动:教师引导学生回忆本题的背景,这类问题是学习三角函数内容时经常遇到的,由于当时所学知识所限,往往容易出错.这里我们在已知的基础上,运用不等式的基本性质得出所要得到的结果.解:∵-π2≤α<β≤π2, ∴-π4≤α2<π4,-π4<β2≤π4. 上面两式相加,得-π2<α+β2<π2. ∵-π4<β2≤π4, ∴-π4≤-β2<π4. ∴-π2≤α-β2<π2. 又知α<β,∴α-β2<0. 故-π2≤α-β2<0. 点评:在三角函数化简求值中,角的范围的确定往往成为正确解题的关键.3已知a >b >0,c <d <0,e <0,求证:e a -c >e b -d. 活动:教师引导学生观察结论,由于e <0,因此即证1a -c <1b -d ,引导学生作差,利用本节所学的不等式基本性质.证明:c <d < ⎭⎪⎬⎪⎫-c>-d>0a>b>0⇒a -c >b -d >0 ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫1a -c <1b -d e<0⇒e a -c >e b -d . 点评:本例是灵活运用不等式的性质.证明时一定要推理有据,思路条理清晰.知能训练1.若a 、b 、c ∈R ,a >b ,则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB .a 2>b 2 C.a c 2+1>b c 2+1D .a|c|>b|c| 2.若a >b >0,则下列不等式中总成立的是( )A.b a >b +1a +1 B .a +1a >b +1bC .a +1b >b +1a D.2a +b a +2b >a b3.有以下四个条件:①b >0>a ;②0>a >b ;③a >0>b ;④a >b >0.其中能使1a <1b成立的有__________个条件. 答案:1.C 解法一:∵a >b ,c 2+1>0,∴a c 2+1>b c 2+1. 解法二:令a =1,b =-2,c =0,代入A 、B 、C 、D 中,可知A 、B 、D 均错.2.C 解法一:由a >b >0 ⇒0<1a <1b ⇒a +1b >b +1a. 解法二:令a =2,b =1,排除A 、D ,再令a =12,b =13,排除B. 3.3 解析:①∵b >0,∴1b >0.∵a <0,∴1a <0.∴1a <1b. ②∵b <a <0,∴1b >1a. ③∵a >0>b ,∴1a >0,1b <0.∴1a >1b. ④∵a >b >0,∴1a <1b. 课堂小结1.教师与学生共同完成本节的小结.从实数的基本性质与三条基本性质的回顾,到所有性质的推得,推论的证明,以及例题的探究、变式训练等.真正温故知新,将本节课所学内容纳入已有的知识体系.2.教师进一步强调代数逻辑推理的方法要领,指出利用不等式的性质时容易忽略的地方,以及证明不等式时需要注意的问题.作业习题3—1A 组4、5;习题3—1B 组4.设计感想1.本节设计更加关注学生的发展.通过具体问题的解决,让学生去感受、体验,并从理性的角度去思考,鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象,培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯.2.本节设计注重学生的探究活动.学生在学习过程中,通过对问题的探究思考、体验认识、广泛参与,培养学生严谨的思维习惯和积极主动的学习品质,从而提高学习质量.3.本节设计注重了学生个性品质的发展.通过对富有挑战性问题的解决,激发学生顽强的探索精神和严肃认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美、数学推理的严谨美,从而激发学生强烈的探究兴趣.备课资料备用习题1.如果a 、b 、c 、d 是任意实数,则( )A .a >b ,c =d ⇒ac >bd B.a c >b c⇒a >b C .a 3>b 3,ab >0 ⇒1a <1b D .a 2>b 2,ab >0 ⇒1a <1b2.已知a +b >0,b <0,那么a ,b ,-a ,-b 的大小关系是( )A .a >b >-b >-aB .a >-b >-a >bC .a >-b >b >-aD .a >b >-a >-b3.已知-1<a <b <0,则下面不等式中正确的是( )A.1a <1b <b 2<a 2B.1a <1b<a 2<b 2 C.1b <1a <a 2<b 2 D.1b <1a<b 2<a 2 4.设a 、b ∈R ,若a -|b|>0,则下列不等式中正确的是( )A .b -a >0B .a 3+b 3<0C .a 2-b 2<0D .b +a >05.若α、β满足-π2<α<β<π2, 则α-β的取值范围是( ) A .-π<α-β<π B .-π<α-β<0C .-π2<α-β<π2D .-π2<α-β<0 6.已知60<x <84,28<y <33,则x -y 的取值范围为__________,x y的取值范围为__________. 7.已知a <b ,c >d ,求证:c -a >d -b.8.已知x >y >z >0,求证:y x -y >z x -z. 参考答案: 1.C A 项中,当c 、d 为负数时,ac <bd ,A 错;B 项中,当c 为负数时,a <b ,B 错;C 项中,a 3>b 3,得出a >b ,又由ab >0可得1a <1b,C 项正确;D 项中,若a 、b 均为负数时,由a 2>b 2得出a <b ,由ab >0得出1a >1b,D 错. 2.C 由a +b >0,b <0可知a >0,b <0,故a ,-b 为正,-a ,b 为负,又由a +b >0知a >-b ,b >-a ,所以a >-b >b >-a.3.D 由-1<a <b <0知ab >0,所以1b <1a <0,a 2>b 2>0,故1b <1a<b 2<a 2. 4.D 利用赋值法:不妨令a =1,b =0,则排除A ,B ,C.5.B 由α<β知α-β<0,又由α>-π2,β<π2,故α-β>(-π2)-π2=-π, 即-π<α-β<0.6.(27,56) (2011,3) ∵28<y <33,∴-33<-y <-28. 又60<x <84,∴27<x -y <56,y x ∈(2884,3360). ∴x y ∈(6033,8428), 即2011<x y<3. 7.证明:∵a <b ,∴-a >-b.又∵c >d ,∴c +(-a)>d +(-b),即c -a >d -b.8.证明:∵x >y ,∴x -y >0.∴1x -y>0. 又y >z >0,∴y x -y >z x -y.① ∵y >z ,∴-y <-z.∴x -y <x -z.∴0<x -y <x -z.∴1x -y >1x -z. 又z >0,∴z x -y >z x -z.② 由①②得y x -y >z x -z.。
3.1 第2课时 不等式的性质基础巩固一、选择题1.已知a ,b ,c ,d 均为实数,有下列命题:( ) ①若ab <0,bc -ad >0,则c a -d b>0; ②若ab >0,c a -d b>0,则bc -ad >0; ③若bc -ad >0,c a -d b>0,则ab >0. 其中正确命题的个数是 A .0 B .1 C .2 D .3 [答案] C[解析] ①∵ab <0,∴1ab<0又∵bc -ad >0∴1ab ·(bc -ad )<0即c a -db<0∴①错;②∵ab >0,c a -d b>0 ∴ab (c a -d b)>0 即:bc -ad >0 ∴②正确; ③∵c a -d b >0∴bc -adab>0, 又∵bc -ad >0∴ab >0∴③正确.2.如果a 、b 、c 满足c <b <a 且ac <0,那么下列选项中不一定成立的是________( ) A .ab >ac B .c (b -a )>0 C .cb 2<ab 2D .ac (a -c )<0[答案] C[解析] 由已知c <0,a >0,易判断A 、B 、D 正确. 3.下面的推理过程中错误之处的个数为( )⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒①ac >bc c >d ⇒②bc >bd ⇒③ac >bd ⇒④a d >bcA .0B .1C .2D .3 [答案] D[解析] ①②④三处错误.4.已知a <b <|a |,则以下不等式中恒成立的是( ) A .|b |<-aB .ab >0C .ab <0D .|a |<|b | [答案] A[解析] 特殊值法:令a =-1,b =0,满足a <b <|a |,ab =0,排除B 、C ,|a |>|b |,排除D ,故选A.5.已知A =a 5+b 5,B =a 2b 3+a 3b 2(其中a >0,b >0,a ≠b )则( ) A .A ≥B B .A ≤B C .A >B D .A <B[答案] C[解析] A -B =a 5+b 5-a 2b 3-a 3b 2=a 3(a 2-b 2)+b 3(b 2-a 2)=(a 2-b 2)(a 3-b 3)=(a -b )2(a +b )(a 2+ab +b 2), ∵a >0,b >0,a ≠b ,∴A -B >0,故选C.6.(2011·余姚高二检测)设P =2,Q =7-3,R =6-2,则P 、Q 、R 的大小顺序是( )A .P >Q >RB .P >R >QC .Q >P >RD .Q >R >P [答案] B[解析] ∵P 2=2,Q 2=10-221,R 2=8-43,P 2-Q 2=221-8>0,P 2-R 2=43-6>0,Q 2-R 2=2+43-221<0.又∵P >0,Q >0,R >0,∴∴P >R >Q . 二、填空题7.已知三个不等式:①ab >0;②c a >db;③bc >ad .以其中两个作条件,余下一个为结论,写出两个能成立的不等式命题________.[答案]⎭⎪⎬⎪⎫①②⇒③,⎭⎪⎬⎪⎫①③⇒②,⎭⎪⎬⎪⎫②③⇒①中任选两个即可. [解析]c a >db⇒bc -adab>0.若③成立,则①成立∴②③⇒①;若③成立即bc >ad ,若①成立,则bc ab >ad ab ,∴c a >db∴①③⇒②;若①与②成立显然有③成立.8.实数a 、b 、c 、d 满足下列两个条件:①d >c ;②a +d <b +c .则a 、b 的大小关系为________. [答案] a <b[解析] ∵d >c ,∴d -c >0, 又∵a +d <b +c , ∴b -a >c -d >0, ∴b >a . 三、解答题9.证明下列不等式: (1)已知a <b <0,求证:b a <ab; (2)已知a >b >0,求证:a b >b a; (3)已知a >b ,1a <1b,求证:ab >0.[解析] (1)b a -a b =b 2-a 2ab∵a <b <0,∴-a >-b >0,∴a 2>b 2. 故b 2-a 2<0.又∵ab >0,∴b 2-a 2ab <0,∴b a <ab.(2)∵a >b >0,∴a >b >0, ① 又∵a >b >0,两边同乘正数1ab得:1b >1a>0, ②①、②两式相乘得:a b >b a. (3)1a -1b =b -aab,∵a >b ,∴b -a <0,又∵1a <1b ,∴1a -1b <0,∴b -a ab<0,∴ab >0.10.已知a >b >c ,求证:a 2b +b 2c +c 2a >ab 2+bc 2+ca 2.[解析] 左边-右边=ab (a -b )+bc (b -c )+ca (c -a ) =ab (a -b )+bc (b -c )+ca [(c -b )+(b -a )] =a (a -b )(b -c )+c (b -c )(b -a ) =(a -b )(b -c )(a -c )∵a >b >c ,∴(a -b )(b -c )(a -c )>0,命题得证.能力提升一、选择题1.已知a 2+a <0,那么a ,a 2,-a ,-a 2的大小关系是( ) A .a 2>a >-a 2>-a B .-a >a 2>-a 2>a C .-a >a 2>a >-a 2D .a 2>-a >a >-a 2[答案] B[解析] 特殊值法:∵a 2+a <0,∴-1<a <0. ∴令a =-12,a 2=14,-a =12,-a 2=-14,故选B.2.已知a ,b 为非零实数,且a <b ,则下列命题成立的是( ) A .a 2<b 2B .ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <ab[答案] C[解析] 对于A 可举反例,如-2<1,可得(-2)2>12故A 错,对于B 要使ab 2<a 2b 成立,即ab (b -a )<0成立,而此时ab 的符号不确定,故B 错.对于D 要使b a <a b 成立,即b 2-a 2ab<0成立,ab 的符号也不确定.故D 错.二、填空题3.若a >0,b >0则a +b ________a +b (填上适当的等号或不等号). [答案] >[解析] ∵a >0,b >0,∴(a +b )2=a +b +2ab ,(a +b )2=a +b ,∴(a +b )2>(a +b )2,即a +b >a +b . 4.设a >b >0,m >0,n >0,则p =ba ,q =ab ,r =b +m a +m ,s =a +nb +n的大小顺序是________________.[答案] p <r <s <q[解析] 取a =4,b =2,m =3,n =1,则p =12,q =2,r =37,s =53则p <r <s <q (特值探路).具体比较如下:p -r =b a -b +m a +m = b -a ma a +m<0,∴p <r .∵a >b >0,m >0,n >0∴a +m >b +m >0.a +n >b +n >0, ∴b +m a +m <1,a +nb +n>1,∴r <s . 或r -s =b +m a +m -a +n b +n = b -a b +a +m +na +mb +n<0. ∴r <s .s -q =a +nb +n -a b = b -a ·nb b +n<0, ∴s <q .∴p <r <s <q .三、解答题5.比较log 13 5与log 12 5的大小.[解析] ∵log 13 5<0,log 125<0,6.船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等,为什么?[分析] 要比较船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度的大小关系,首先要把这两个速度用两地距离和时间的关系表示出来,再作比较.[解析] 设甲地到乙地的距离为s ,船在静水中的速度为u ,水流速度为v (u >v >0),则船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的时间t =s u +v +s u -v =2us u 2-v2, 平均速度u -=2s t =u 2-v2u.∵u --u =u 2-v 2u -u =u 2-v 2-u 2u =-v 2u<0∴u -<u .因此,船在流水中来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度不相等,平均速度小于船在静水中的速度.7.若二次函数y =f (x )的图象过原点,且1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4.求f (-2)的范围. [解析] 解法一:设f (x )=ax 2+bx (a ≠0),∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1 =a +b f -1 =a -b,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =12[f 1 +f -1 ]b =12[f 1 -f -1 ].∵f (-2)=4a -2b =3f (-1)+f (1),1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4, ∴6≤f (-2)≤10.解法二:设f (x )=ax 2+bx (a ≠0),由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3≤f 1 =a +b ≤41≤f -1 =a -b ≤2,又f (-2)=4a -2b ,设存在实数x ,y ,使得4a -2b =x (a +b )+y (a -b ), 即4a -2b =(x +y )a +(x -y )b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧4=x +y-2=x -y ,即⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =3.∴3≤a +b ≤4,3≤3(a -b )≤6.∴6≤a +b +3(a -b )≤10即6≤4a -2b ≤10.8.已知0<a +b <π2,-π2<a -b <π3,求2a 和3a -b3的取值范围.[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧0<a +b <π2-π2<a -b <π3,两式相加得-π2<2a <5π6. 设3a -b3=m (a +b )+n (a -b )=a (m +n )+b (m -n ),则有⎩⎪⎨⎪⎧m +n =3m -n =-13,解得m =43,n =53.∴3a -b 3=43(a +b )+53(a -b ).∴⎩⎪⎨⎪⎧0<43 a +b <2π3-5π6<53 a -b <5π9,两式相加,得-5π6<3a -b 3<11π9.故2a ∈(-π2,5π6),3a -b 3∈(-5π6,11π9).。