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§8.4.2圆的一般方程

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圆的一般方程ppt课件

圆的一般方程ppt课件

x2 + 3y2 − 2x + 4y + 5 = 0不是圆的一般方程；
对于D，因为方程x2 + y2 − 3xy − 12 = 0中存在xy项，所以方程
x2 + y2 − 3xy − 12 = 0不是圆的一般方程.故选BCD.
课中探究
探究点二 求圆的一般方程
例2（1） 已知△ ABC的三个顶点为A 4,3 ，B 5,2 ，C 1,0 ，求△ ABC外接
又圆心在第二象限，所以D
= 2，E =
−4，
故圆C的一般方程为x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0.
课中探究 （2）圆C关于直线x − y = 0对称的圆的一般方程. 解： 由（1）知圆C的圆心为C −1,2 ，设它关于直线x − y = 0对称的点为
C′ m, n ，则
m−1 − n+2 = 0,
半径的圆，我们把方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 D2 + E2 − 4F > 0 叫作圆的
一般方程.
课前预习
（1）圆的一般方程的特点是:①x2和y2的系数都是__1_;②没有__x_y_这样的二次
项;③D2 + E2 − 4F__>_0.
（2）方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0并不一定表示圆,当其系数满足
解得m < 1.故选B.
课中探究
（2）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有( BCD )
A.x2 + y2 − 2x + 4y + 3 = 0
B.x2 + y2 − 2x + 2y + 7 = 0

圆的一般方程式公式

圆的一般方程式公式

圆的一般方程式公式圆在我们的数学世界里，那可是个相当重要的角色！说起圆，就不得不提到圆的一般方程式公式。

咱们先来说说圆的一般方程式公式到底是啥。

它是 x² + y² + Dx +Ey + F = 0 。

这里面的 D、E、F 都是常数。

可别小看这几个字母，它们能告诉我们圆的好多信息呢！比如说，通过计算D²+ E²- 4F 的值，我们就能知道这个圆的情况。

要是它大于 0 ，那这个圆就是实实在在存在的；要是等于 0 ，圆就变成了一个点；要是小于 0 呢，不好意思，这个圆就不存在啦。

记得有一次，我在课堂上讲这个公式的时候，有个同学一脸迷茫地问我：“老师，这几个字母怎么就能决定圆存不存在呢？”我笑着跟他说：“你就把这几个字母想象成圆的密码，不同的组合就决定了圆能不能现身。

”在解题的时候，这个公式可好用啦。

给你几个条件，让你判断是不是圆，或者让你求圆的圆心和半径，只要把这个公式用对了，那都不是事儿。

咱们来举个例子哈。

比如说有个方程 x² + y² - 6x + 8y + 16 = 0 ，咱们来看看它到底是不是个圆。

先把它配方一下，变成 (x - 3)² + (y + 4)²= 9 ，这一看，D² + E² - 4F = 36 + 64 - 64 = 36 ，大于 0 ，妥妥的一个圆，圆心是 (3, -4) ，半径是 3 。

在实际生活中，圆也是无处不在的。

像汽车的轮子，那就是标准的圆，如果不是圆的，那车跑起来还不得颠得要命。

还有我们吃的披萨，也是圆圆的。

学习圆的一般方程式公式，就像是掌握了一把神奇的钥匙，可以打开圆这个神秘世界的大门。

同学们在学习的时候，可别觉得它枯燥，多做做练习题，多想想生活中的圆，就能更好地理解和运用啦。

总之，圆的一般方程式公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，就能发现其中的乐趣和奥秘。

圆的一般方程表达式

圆的一般方程表达式

圆的表达式是：（x-a）²+（y-b）²=R²。

圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。

圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。

1、已知：圆半径长R；中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定了。

根据图形的几何尺寸与坐标的可以得出圆的标准方程。

结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²当圆的中心A 与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R²
2、圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

3、圆的相关信息：由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程。

圆一般方程

圆一般方程

圆一般方程
圆一般方程在几何学中是十分重要的，它可以对任意的圆形和椭圆形作出准确的描述。

圆一般方程描述了圆心在坐标系上的位置，以及一个度量为直径的常数，可以为各种圆形几何图形定义一组方程，大大简化了数学运算。

圆一般方程可以表示为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2（a，b为指定的坐标点，r为指定的半径），满足此方程的点与圆心的距离均等于半径，即构成圆。

它包括两个未知量x和y，可以求出它们与圆心之间的距离，从而决定其是否属于该圆。

圆一般方程可以应用于几何学、微积分、机械设计、太阳能武器系统等科学领域。

在几何学中，例如判定点是否落在某个圆内时，可以通过比较输入点的坐标与圆心的坐标来判断，并用圆一般方程来求出它们的距离，从而判定该点是否落在该圆内。

圆一般方程在机械设计、太阳能武器系统等科学领域也有着广泛的应用。

例如在机械设计中，圆一般方程可以用来表示各种弧形，用户可以输入圆心及其半径，从而求出机械装置中弧形配件的尺寸及样式。

太阳能武器系统也可以利用圆一般方程来设计出符合特定要求的太阳菱形反射镜，从而提高太阳能武器系统的效率。

圆一般方程也在数学竞赛中被大量使用，它可以帮助数学爱好者更好地了解和掌握圆的性质，有助于推导更复杂的数学概念。

圆一般方程虽然只有一句简单的等式，但它对于几何学等科学领域的运用是不可估量的，它为数学的发展提供了可能性，并且可以给
予未来科学家更多的想象空间。

它曾经被称为“数学之美”，也被认为是研究几何学的最佳工具，可以帮助人们简化计算过程，更好地揭示数学美学。

圆的一般方程 课件

圆的一般方程 课件
①由圆的一般方程的定义令 D2＋E2－4F>0，成立则表示圆， 否则不表示圆；②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应 用这两种方法时，要注意所给方程是不是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
类型二 待定系数法求圆的方程 [例 2] 已知△ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)， 求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
又 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3，且 kAC·kBC＝－1，
所以x＋y 1·x－y 3＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠ －1)．
方法二：同法一得 x≠3 且 x≠－1. 由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2 ＝16，化简得 x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2 ＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠－1)． 方法三：设 AB 中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角
因此动点 M 的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3 且 x≠1)．
方法归纳
1．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等 量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的 轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．
2．求曲线的轨迹方程要注意的三点 (1)根据题目条件，选用适当的求轨迹方程的方法． (2)看准是求轨迹，还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表示的 曲线(图形)． (3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点．
【解析】 方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

圆的一般方程课件

圆的一般方程课件

(4) x2+y2=0
不是
第5页/共11页
探究：圆的一般方程与圆的标准方程 在应用上的比较 例1 求圆心为C（5，-1）,过点P(8，-3)
的圆的方程.
例2 求过三点A(5，1)、B(7，-3)、C(2，-8) 的圆的方程.
第6页/共11页
求圆的方程时，关于圆的方程形式的选择： 1.由已知条件容易求得圆心坐标、半径或 列有关圆心和半径的方程时，一般采用圆 的标准方程； 2.已知条件与圆心坐标、半径无直接关系 时，一般采用圆的一般方程。
探究：圆的一般方程
1、若把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开 后，会得出怎样的形式？
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
即 x2 y2 Dx Ey F 0 的形式
2、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定 是圆吗？
第2页/共11页
问：你能将下列展开式配方成平方 的形式吗？
3. D2＋E2－4F＞0
二元二次方程表 示圆的一般方程
第4页/共11页
练一练：判断以下方程是不是圆的方程，若是， 则求出圆心和半径。
(1) x2+y2-2x=0
是 圆心为(1,0) 半径为1
(2) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心为(3,-1) 半径为 10
(3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是
第7页/共11页
练习：
1.已知两点A(4,9)、B(6,3), 求以AB为直 径的圆的方程. 2.求经过两点A(－1，0)，B(3，2)，圆心在 直线x＋2y＝0上的圆的方程．
第8页/共11页
课堂小结:
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为

圆的一般方程 (简)

x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
练习： 判断下列方程能否表示圆的方程,
若能写出圆心与半径 （1）x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3
（2）2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径
10
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0
不是
（4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 可表示圆的方程
圆的一般方程：
x2 ＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 D + E - 4F
2 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
知识回顾：
圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2 a = D ,- 2 b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：

圆的一般式方程PPT课件


练习2 ：将下列各圆方程化为标准方程， 并求圆的半径和圆心坐标.
(1)x2 y2 6x 0, (2)x2 y2 2by 0, (3)x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0
（1）圆心（-3，0），半径3. （2）圆心（0，b），半径|b|.
(3)圆心(a, 3a), 半径 | a | .

E

8，
F 0.
所求圆的方程为： x2 y2 6x 8y 0
练 (1)已知圆x2 y2 Dx Ey F 0的圆心为 习 (2,3),半径为4,则D _4__ E _-_6_ F -_3__
(2)x2 y2 2ax y a 0是圆 的充要条件是_a_ _12 __
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系 数法求解.
作业
(1)已知圆x2 y2 Dx Ey F 0的圆心坐标为（1，3），
D 半径为5，则D，E，F分别等于
(A)2,6,15(B)2,6,15(C) 2,6,15(D) 2,6,15
∴x02＋y02＝16， 又∵P 为 MA 的中点，
∴xy＝ ＝80＋ ＋22 xy00
，解得xy00＝ ＝22xy－8 .
代入圆的方程得(2x－8)2＋(2y)2＝16，
化简得(x－4)2＋y2＝4 即为所求．
10. [课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
令 2a D,2b E, a2 b2 r2 F得
x2 y2 Dx Ey F 0

圆的方程一般方程

最小值为|PC|－r.
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2 ．研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程
思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量．多运
用数形结合，拓宽解题思路．
[点评与警示] 两圆位置关系判断的依据是圆心距与两半 径和、差关系，应结合图形加以理解，不要机械记忆．
(人教A版P140例3改编)已知：圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0.
圆C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0.试判断圆C1与圆C2的位置关系．
32 9 [解] 解法一：圆 C1 的方程配方得(x＋1) ＋(y＋ ) ＝ 2 4
[答案] A
(2010· 广东，6)若圆心在 x 轴上、半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x＋2y＝0 相切，则圆 O 的方程是( A．(x－ 5)2＋y2＝5 C．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋ 5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5 )
[解析] 依题意设圆 O 的方程为(x＋a)2＋y2＝5(a＞0)， |－a＋2×0| 因为圆 O 与直线 x＋2y＝0 相切，所以有 ＝ 5， 5 解得 a＝5，所以所求圆 O 的方程为(x＋5)2＋y2＝5，故选 D.
3＝0上的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为 x2＋y2－1＋λ(x－y)＝0(其中 λ 为待定系数)，即圆的方程为： λ2 λ2 λ2 λ λ (x＋ ) ＋(y－ ) ＝1＋ ，其圆心坐标是(－ ， ) 2 2 2 2 2 λ 2λ ∴ － ＋3＝0，∴λ＝6 2 2 ∴圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝19.
[答案] D

圆的一般方程 课件


思考题 1 判断下列方程各表示什么图形．
(1)x2＋y2－2x－2y＋4＝0； (2)x2＋y2－2x＋4y－4＝0； (3)x2＋y2＋2ax－b2＝0； (4)x2－y2＝0.
【答案】 (1)配方得(x－1)2＋(y－1)2＝－2，方程无解，因 此不表示任何图形．
(2)配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝9，表示以(1，－2)为圆心，3 为 半径的圆．
思考题 4 已知 A(2，0)，Q 为圆 x2＋y2＝1 上任意一点， 求线段 AQ 中点 M 的轨迹方程．
【解析】 设 M(x，y)，Q(x1，y1)， 则xy11＋＋22 02＝＝xy，，即xy11＝＝22xy.－2， ∵Q 在圆 x2＋y2＝1 上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝1， 即(x－1)2＋y2＝14.
方法二：(1)∵D2＋E2－4F＝(－1)2＋02－4×14＝0，
∴表示点，点的坐标为(12，0)．
(2)∵D2＋E2－4F＝4a2＋0－0＝4a2>0(a≠0)，
∴表示圆．又－D2 ＝－a，－E2＝0，
1 2
D2＋E2－4F＝12
4a2＝|a|，
∴圆心(－a，0)，半径 r＝|a|.
(3)∵D2＋E2－4F＝02＋(2a)2＋4＝4(1＋a2)>0，
(2)r＝
－7（m－37）2＋176≤4
7
7 .
所以
r
的取值范围为
0<r≤4
7 7.
(3)设圆心的坐标为(x，y)，则xy＝＝4mm＋2－3，1. 消掉 m，得 y＝4(x－3)2－1. ∵－17<m<1，∴270<x<4. 即圆心的轨迹方程为 y＝4(x－3)2－1(270<x<4)．
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§8.4.2圆的一般方程
教学题目：§8.4.2圆的一般方程1—2
教学目标：
1、讨论并掌握圆的一般方程的特点；
2、能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径；
3、能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题
4、通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度. 教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点.
教学难点：能根据圆的一般方程特点判断所给方程是否圆的方程并求出圆心坐标与半径. 教学方法：讲授法、练习法. 教学过程：
一、检查学生预习情况
问题1：请大家说出圆心在点(),a b ，且半径是r 的圆的方程？
学生回答：222)()(r b y a x =-+-
问题2：以前学习过的直线方程有哪几种？
学生回答：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式.
问题3：直线方程的一般式是0Ax By C ++=吗？
生A ：不是的．
生B ：缺少条件A 、B 不全为零22
0A B ⇔+≠．
问题4：圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？ 书写课题：“圆的一般方程”.
设计意图：检测学生前面几节课的学习效果，同时也为本节课的顺利开展做必要的准备.
圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？
将圆的标准方程()()222x a y b r -+-=展开并整理，可得 ()()()22222220x y a x b y a b r ++-+-++-=．
令2D a =-，2E b =-，222F a b r =+-，则
220x y Dx Ey F ++++=． （1）
这是一个二元二次方程．观察方程（1），可以发现它具有下列特点：
⑴ 含2x 项的系数与含2y 项的系数都是1；
⑵ 方程不含xy 项．
那么，具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程吗？
将方程（1）配方整理得
22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
（2）
当2240D E F +->时，方程（2）为是圆的标准方程，其圆心在(,)22
D E -
-，半径为
方程：
（3） 叫做圆的一般方程．其中D E F 、、均为常数．
2240D E F +->的条件？
1、当2240E F +-=时，（1）式只有实数解,,22
D E x y =-=-即（1）式表示一个点2
2D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（有时也叫点圆）； 2、当2240E F +-<时，(1)式没有实数解，因而它不表示任何图形．
师：圆的一般方程有什么特点？
生A ：是关于x 、y 的二元二次方程．
师：刚才生A 的说法对吗？
生B ：不全对．它是关于x 、y 的特殊的二元二次方程．
师：特殊在什么地方？ (通过争论与举反例后，由教师总结)
师：1．2x ，2y 系数相同，且不等于零；2．没有xy 这样的二次项；3. 2240D E F +->． 师：比较圆的标准方程()()222x a y b r -+-=与一般方程220x y Dx Ey F ++++=在应用上各有什么优点？
生：标准方程的几何特征明显——能清楚的看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．
师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径．
生：圆心在,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径为r =生B ：不用死记，配方即可．
师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择．
三、典型例题讲解
例1、判断方程224630x y x y ++--=是否为圆的方程，若是求出圆心的坐标和半
径.
解1: 由224630x y x y ++--=得22222242263330x x y y ++-+-+--=，
即： ()()22
223416x y ++-==.
∴方程表示圆心为()2,3-，半径为4的一个圆.
解2： 与圆的一般式方程相比较，可知4D =，6E =-，3F =-，
∴()224163643640D E F +-=+-⨯-=>，
∴方程为圆的一般式方程，由2,2D = 3,2E =- 42
=知圆心的坐标为()2,3-，半径为4.
【说明】
给出方程求圆心和半径时，经常通过配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程．解1是经常使用的方法．
四、课堂练习
判断以下方程是否是圆的方程，如果是，求出圆心的坐标及半径.
（1）222440x y x y +-+-=； （2）22221240x y x y +-+=；（3）222640x y x y +-+=；
（4）22126500x y x y +-++=； （5）22
3250x y xy x y +-++=；（6）221260x y x y F +-++=.
五、课堂小结
（一）、圆的一般式方程：220x y Dx E y F ++++=（其中2240D E F +->）.
（二）、圆一般式方程特点：
1、2x ，2y 系数相等且不为零（一般2x ，2y 系数相等且为1）；
2、方程不含xy 项；
3、2240D E F +->．
（三）、大家考虑：224D E F +-有点像什么？像判别式，它正是方程
220x y Dx E y F ++++=是否是圆的方程的判别式．如D 、E 确定了，则与F 的变化有关．
六、布置作业：
（一）、练习8.4.2第1题、第2题、第3题；
（二）、求下列各圆的圆心坐标和半径：
1、22250
x y ax
++--=；3、2220
++=；4、
x y x y
x y x
+--=；2、222440
222
+--=.
x y bx b
220
教学反思：本节课非常有利于展现知识的形成过程．因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识．我觉得本课的不足之处在于:教学内容上主要强调圆的一般方程的判别式,用其判断曲线是否是圆,应该同时指点学生将方程配方也可以.而这一点能很好的树立学生对立统一的辩证思维观点.。