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群与代数表示引论
群理论是数学中一门非常重要的领域，它主要研究群结构、群元素、群运算等问题。
群作为一个抽象的数学实体，具有极强的延伸性，可以对许多问题进行表达。
本文的主要内容是通过代数表示，研究群的一些具体特性和有趣的重要性质。
在数学中，群是一个具有某种运算的集合，包括加法群、乘法群、置换群等，其中乘法群最为重要，因为它可以表示不同类型的结构，具有极强的概括性。
群结构也可以通过代数表示来表示，这种表示可以使群的性质更为清晰明显，它由群中的权重组成，权重可以是一个数字，也可以是一个多项式。
群成员之间的关系可以用矩阵的形式来表示，例如可以将一个群的乘法表用矩阵来表示，它可以清楚地表达出群中成员之间的关联性。
用代数表示来描述群具有许多有趣的性质，这些性质在计算机科学中有着广泛的应用。
例如，在线性代数中，可以利用矩阵来表示一个群，通过识别矩阵的特性，可以求解出群的元素的幂次分布，甚至可以利用这种方式来解决一些数学问题。
此外，在密码学中，可以利用群的代数表示，来构建一些重要的标准，如Elliptic-curve cryptography（ECC）协议。
此外，群的代数表示还可以应用到概率论和数论中，用来研究一些问题的概率分布，特别是在计算复杂性理论中，可以利用群理论来研究和分析算法的运行时间复杂度。
综上所述，群理论与代数表示的联系深刻，它可以将群的抽象结构映射到具体的模型上，可以解决许多数学问题，在计算机科学、概率论、数论和复杂性理论中也有着广泛的应用。
未来，群理论在其他科学领域中将会有更多值得我们期待的应用。
附件1：教学大纲的基本格式和内容（教学大纲封面）中山大学本科课程教学大纲学院（系）物理学院课程名称群论简介二〇一七年群论简介（Introductory Group Theory）教学大纲（编写日期：2018年7月）一、课程基本说明二、课程基本内容（一）教学进度表（含学时分配，学时分配要落实到“章”或“节”，并对各章节的重点、难点内容加以必要的说明）（二）教学环节安排（对各种教学环节的安排如：实验、实习、习题课、作业等以及本课程与其他相关课程的联系、分工等作必要说明）本课程是我校物理学专业理论物理方向的专业基础课之一，由于知识点多而且有一定难度，学生在学习的过程中应以消化吸收课程知识内容为主，不宜做过多的题海练习。
平时作业以补充完善课堂中未来得及讲授的证明或计算过程、应用课堂讲授的方法去解决前沿文献中的问题为主。
由于学时有限以及可能遇到节假日的放假影响，部分课程内容还可留给学生自学。
（三）教学方法（包括课堂讲授、提问研讨，课后习题和答疑等情况）课堂讲授采用启发式教学方法，在讲课中注意问题的提出、问题处理的设想和问题的处理方法，引导学生去思考、讨论和研究，激发学生的学习热情；对重点内容要讲透，难点要讲清，例题要选好，分析方法要一般化，能起到举一反三的作用；引导和鼓励学生应用在课堂上所学到的知识和方法，去解决前沿文献中遇到的物理问题。
（四）课程教材1、主讲教材张宏浩，《群论讲义》2、辅助教材韩其智，孙洪洲，《群论》，北京大学出版社，1987（五）主要参考书目（要求推荐若干参考书，并注明书名、作者、出版社、版本、出版日期等）马中骐，《物理学中的群论》，科学出版社，第二版，2006徐婉裳，喀兴林《群论及其在固体物理中的应用》，高等教育出版社，1995（六）成绩评定方式总评成绩=平时成绩+课堂表现成绩+选做大作业成绩+期末考试成绩一般“平时成绩+课堂表现成绩+选做大作业成绩”约占50%，“期末考试成绩”约占50%，授课老师还可根据实际情况调整其中的比例。
研究生课程《代数图论》教学大纲课程编号：Math 2086课程名称：代数图论英文名称：Algebraic Graph Theory开课单位：数学科学学院开课学期：第三学期课内学时：36教学方式：讲授适用专业及层次：数学科学学院专业硕士考核方式：考查预修课程：图论，组合数学，矩阵分析一、教学目标与要求本课程主要研究如何用代数方法（群，表示论，矩阵等）研究图论问题，是现代图论的重要分支．代数图论的诸多问题仍是当今图论的研究热点．本课程较全面、系统地介绍代数图论的基本概念，基本理论和基本方法。
主要内容分为两个方面。
一方面，介绍图的各种矩阵表示及其谱性质，内容包括图的邻接矩阵、Laplace矩阵，无符号Laplace矩阵，同谱图，谱半径及其界，代数连通度与连通性，商图方法，谱的多项式方法，谱的特征向量组合方法等。
另一方面，介绍群与图，主要介绍图的群表示、图的自同构、非对称图、本原性与连通性、Cayley 图及其性质、点可迁图、边可迁图、弧可迁图、距离可迁图、Moore 图等。
通过本课程的学习，要求学生会从代数的观念看一个图，了解代数图论的基本研究问题在，掌握代数图论的常用方法，培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和分析解决实际问题的能力，为开展相关科学研究打好基础。
二、课程内容与学时分配第一章图的谱（6学时）1．1 图的矩阵表示1．2 特殊图类的谱1．3 连通性1．4 自同构性1．5 代数连通度1．6 同谱图1．7 图的同态1．8 线图与平面图第二章谱理论的线性代数方法（6学时）2．1 Perron-Frobenius定理2．2 等部划分与商图方法2．3 交错定理2．4 Schur不等式2．5 Courant-weyl不等式第三章图的谱性质（6学时）3．1 最大的特征值3．2 最大特征值至多为2的图3．3 正则图的谱3．4 二部图的谱3．5 Laplace特征值与度序列第四章代数图论中的群方法（6学时） 4．1 置换群4．2 计数理论4．3 不对称图4．4 对上的轨道4．5 本原性与连通性第五章可迁图 (6学时）5．1 点可迁图5．2 边可迁图5．3 点连通性与边连通性5．4 匹配5．5 Cayley图第六章弧可迁图（3学时）6．1 弧可迁图6．2 弧图6．3 三正则弧可迁图6．4 Petersen图6．5 距离可迁图第七章 Moore图（3学时）、7．1 射影平面7．2 广义多边形7．3 Moore图三、教材1. C. Godsil, G.Royle, Algebraic Graph Theory，Springer, 2001.2. A. E. Brouwer, W. H. Haemers, Spectra of graphs, Springer, 2011.四、主要参考书1．D. Cvetkovic, P. Rowlison, S. Simic, An Introduction to the theory of graph Spectra, London Mathematical society, 19972．R. B. Bapat, Graph and matrix, Springer, 2010.3．N. Biggs, Algebraic graph theory, Cambridge University Press, 1974.。
研究生课程《Artin代数表示论》教学大纲课程编号：Math2117课程名称：Artin代数表示论英文名称：Representation Theoy of Artin Algebras开课单位：数学科学学院开课学期：秋课内学时：36教学方式：讲授适用专业及层次：代数方向硕士考核方式：考试预修课程：高等代数、近世代数一、教学目标与要求本课程较全面、系统地介绍Artin代数与有限维代数的表示理论，重点是箭图与路代数，箭图上的表示，Auslander-Reiten理论，倾斜理论等，难点是理解Gabriel定理、箭图上的表示、几乎可列序列，Auslander-Reiten箭图，倾斜模等。
通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力，提高研究生的数学素养。
在重视数学论证的同时，强调Artin代数表示理论研究的研究方法。
通过本课程的学习，要求研究生掌握Artin代数表示论的基本理论和方法，为学习后开展科学研究打好基础。
二、课程内容与学时分配Chapter 1. Quivers and Algebras （8学时）Quivers and path algebrasAdmissible ideals and quotients of path algebrasThe quiver of a finite dimensional algebraChapter 2. Representations and Modules （10学时）2.1 Representations of bound quivers2.2 The simple, projective and injective modules2.3 The dimension vector of a module and the Euler characteristicChapter 3. Auslander-Reiten Theory （10学时）3.1 Irreducible morphisms and almost split sequences3.2 Auslander-Reiten translations3.3 Existence of almost split sequences3.4 Auslander-Reiten quiver of an algebraChapter 4. Titling Theory （8学时）4.1 Torsion pairs4.2 Partial tilting modules and tilting modules4.3 Tilting theorem of Brenner and Butler4.4 Torison pairs induced by tilting modules三、教材I. Assem, D. Simon and A. Skowroński, Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, 1: Techniques of Representation theory, London Math. Soc. Stud. Texts 65, Cambridge, New York, 2006.主要参考书M. Auslander, I. Reiten and S. SmalØ, Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36, Cambridge University Press, Cambridge, New York, 1995.。
《高等代数》课程教学大纲一、大纲说明课程名称: 高等代数课程名称（英文）：Advanced Algebra适用专业：数学与应用数学课程性质：学科教育必修课程总学时： 192其中理论课学时: 192 实践（实验）课学时:0学分：12先修课程：二、本课程的地位、性质和任务《高等代数》是数学与应用数学专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考硕士研究生的必考课程之一。
通过本课程的学习，使学生掌握多项式和线性代数的系统知识和理论，提高学生抽象思维、逻辑推理和运算能力，培养学生运用抽象的、严格的代数思想方法分析问题、解决问题的能力，为常微分方程、近世代数、计算方法、泛函分析等后续课程的学习打下坚实的基础。
三、教学内容、教学要求第一章基本概念教学内容本章主要介绍了集合、映射、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。
1、集合子集集合的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域教学要求了解：整数的一些整除性质理解：集合掌握：映射；数学归纳法；数环和数域重点与难点映射；可逆映射；数域。
第二章多项式本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。
多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。
教学内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根※9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数※10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理教学要求了解：多元多项式对称多项式理解: 一元多项式的定义和运算；多项式的整除性；多项式函数与多项式的根；复数域和实数域上多项式的因式分解掌握: 多项式的重因式；多项式的最大公因式；复数域和实数域上多项式的因式分解；有理数域上多项式的可约性及有理根重点与难点整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、因式分解定理的应用、k重因式与k 重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。
五年制 代数 课程教学大纲试用专业：五年制数学教育总学时：290一、课程性质与任务《代数》课程是五年制数学教育专业必修的基础课程，内容涉及到数论、微积分及概率统计等学科中的初步知识，它在理论上、方法上、思想上是最基本的，是学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生产、日常生活和进一步学习的必要基础。
该课程的任务是使学生在初中学习的基础上，进一步学习和掌握专业课所必须的数学基础知识和基本技能，具有熟练而准确的基本运算能力、一定的逻辑思维能力，逐步提高学生运用数学方法分析问题和解决问题的能力，为后续专业课程的学习打下良好的基础。
二、课程教学目标通过两个学期的学习，要求学生掌握中学阶段高中部分的代数知识，包括：集合与不等式、函数、任意角的三角函数、复数、等差数列与等比数列、排列与组合等内容。
在教学过程中注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力。
努力培养学生数学思维能力，包括：直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模型做出思考和判断。
激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值，从而进一步树立辩证唯物主义的世界观。
三、教学内容和目的要求第一章集合与对应教学目的和要求：1.了解集合的概念，能够表示集合与元素的关系.2.掌握表示集合的列举法、描述法和文氏图法.3.了解空集、子集、全集和补集的意义.4.理解交集与并集的概念，了解集合的相等与包含关系.5.掌握有关集合的符号：,\,,,,,,A C U Φ⊆∉∈.掌握表示数集的常用符号：自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R.6.初步了解对应是表示两个集合的元素与元素之间的关系；理解单值对应及象、原象的概念.7.初步了解一一对应、对等集合和可数集合的概念.教学内容：集合、集合的表示法、子集、交集、并集、差集和补集、 单值对应、一一对应、对等集合和可数集合 教学重点：有关集合的基本概念、表示方法和有关集合的术语和符号的含义.教学难点：有关集合的各个概念的意义以及它们之间的区别和联系.第二章幂函数，指数函数，对数函数教学目的和要求：1.在对应概念的基础上加深对函数概念的理解.2.理解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断某些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程.3.掌握反函数及互为反函数的函数图象之间的关系.4.理解分数指数冥、根式的概念，掌握分数指数冥的运算法则.5.掌握冥函数（指数为有理数）的概念，图象和性质.6.掌握指数函数的概念、图象和性质.7.掌握对数的概念和性质.8.掌握对数函数的概念、图象和性质.9.通过本章内容的教学，使学生领会用运动变化的观点去观察、分析事物的方法.教学内容：函数及其表示法、函数的单调性和奇偶性、反函数、分数指数冥与根式、冥函数的图象及其性质、指数函数的图象及其性质、对数、对数函数的图象及其性质教学重点：函数及反函数的概念；幂函数、指数函数、对数函数的概念、图象和性质.教学难点：利用集合、对应的思想刻画和认识函数的概念；反函数的概念以及函数与反函数图象之间的关系；关于函数单调性与奇偶性的证明.第三章三角函数教学目的和要求：1.理解弧度的意义，能够正确地进行弧度与角度的换算.2.掌握任意角三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式和诱导公式；能够利用上述公式由已知三角函数值求角；能够利用上述公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明三角恒等式.3.掌握两角和、两角差公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通过这些公式的推导，了解它们之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力。
