高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解同步练习 新人教A版必修1

4.5.2用二分法求方程的近似解一、单选题1．用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.42．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1等于（ ） A ．1B ．－1C ．0.25D ．0.753．设函数3()48f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()10f <，()30f >，则方程的近似解落在区间（ ） A ．()1,1.5 B ．()1.5,2 C ．()2,2.5D ．()2.5,34．已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.55．一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h ） A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时二、多选题6．用二分法求函数()232xf x x =+-在区间[]0,2上的零点近似值取区间中点1，则（ ） A ．下一个存在零点的区间为()0,1B ．下一个存在零点的区间为()1,2C ．要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭D ．要达到精确度1的要求，应该接着计算32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.25B ．1.4375C ．1.40625D ．1.42199．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是（ ）A ．y =2x+1B ．y =1010x x x x -+≥⎧⎨+<⎩，，，C ．y =12x 2+4x +8D ．y =|x |10．若函数()f x 的图像在R 上连续不断，且满足(0)0f <，(1)0f >，(2)0f >，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B ．()f x 在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D ．()f x 在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点三、填空题11．为了求函数()237x f x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如下表所示：12．已知函数()322f x x x =--，()()120f f ⋅<，用二分法逐次计算时，若0x 是[]1,2的中点，则()0f x =________.四、解答题13．用二分法求24x x +=在[1]2，内的近似解(精确度为0.2).参考数据：14．判断函数()321f x x =-的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1)15．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m （m 为正整数）．将这2m 个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m -个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者． 例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x ”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n 次检测后，才能确定标记为“x ”的人是唯一感染者．（1）写出n 的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．参考答案1．B 【分析】利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得. 【详解】依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.70.68,()0.72∈，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7. 故选：B 2．C 【分析】根据二分法的原理，直接求解即可. 【详解】第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，可知零点在()0,0.5之间， 所以第二次计算f (x 1)，则x 1＝00.52+＝0.25. 故选：C 3．A 【分析】根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得()20f >，再求32f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，只须找到满足()()0f a f b <即可【详解】取12x =，因为()24828260f =⨯+-=>，所以方程近似解()01,2x ∈， 取232x =，因为3273f 4870282⎛⎫=⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以方程近似解031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：A. 4．C 【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD 都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数，2yx 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数，当()1,2x ∈时，2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立； 当()2,2.5x ∈时，22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立，又22(2.5) 2.5log 2.560f =--<，2(3)9log 360f =-->，根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果. 5．A 【分析】药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解． 【详解】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ． 6．AC 【分析】根据二分法求零点的步骤，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】因为()0020210f =+-=-<，()222620f =+->，()112320f =+->，所以()()010f f <，所以下一个存在零点的区间为()0,1，故A 正确，B 错误； 要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确，D 错误.故选：AC ． 7．ABC 【分析】根据利用二分法无法求不变号的零点问题确定选项. 【详解】D 选项虽然有零点，但是在零点左右两侧函数值符号都相同， 因此不能用二分法求零点，而A ，B ，C 选项符合利用二分法求函数零点的条件． 故选：ABC ． 【点睛】本题考查了零点判定定理的应用和二分法求解函数的零点．属于容易题. 8．BCD 【分析】由根的存在性定理判断根的较小区间，从而求近似解． 【详解】解：由表格可得，函数32()22f x x x x =+--的两点在(1.375,1.4375)之间， 符合条件的有BCD. 故选：BCD ． 9．CD 【分析】根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值． 【详解】对于选项C ，y =12x 2+4x +8=12(x +4)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 对于选项D ，y =|x |≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 易知选项A ，B 有零点，且可用二分法求零点的近似值. 故选：CD ． 10．ABD 【分析】根据()f x 的图像在R 上连续不断，()00f <，()10f >，()20f >，结合零点存在定理，判断出在区间()0,1和()1,2上零点存在的情况，得到答案． 【详解】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点， 又()()120f f ⋅>，无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点． 故选：ABD ． 11．1.4 【分析】根据函数零点存在定理、用二分法求方程的近似解的相关知识，代值求解即可. 【详解】由题表知()()1.375 1.43750f f ⋅<，且1.4375 1.3750.06250.1-=<， 所以方程的一个近似解可取为1.4， 故答案为：1.4. 12． 1.625-. 【分析】先求出0x 的值，再代入解析式即可求解. 【详解】因为0x 是[]1,2的中点，所以0 1.5x =，所以()()30 1.5 1.52 1.52 1.625f x f ==-⨯-=-，故答案为： 1.625-. 13．1.375 【分析】本题直接用二分法求方程的近似解即可. 【详解】解：令()24xf x x =+-，则()12140f =+-<，()222240f =+->，∵24x x +=在[1]2，内的近似解可取为1.375. 14．0.75 【分析】首先由()()010f f ⋅<结合()f x 的单调性可知()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，再利用取区间中点的方法利用零点存在性定理将零点所在区间逐渐减半，直到满足精确度即可. 【详解】因为()321f x x =-，所以()010f =-<，()12110f =-=>因为()()010f f ⋅<，所以()f x 在区间()0,1内有零点，因为()321f x x =-在R 上为增函数，所以()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，取区间()0,1的中点10.5x =，()30.520.510.750f =⨯-=-<，所以()()0.510f f ⋅<，可得()00.5,1x ∈，取区间()0.5,1的中点20.75x =，()30.7520.7510.156250f =⨯-=-<，所以()()0.7510f f ⋅<，可得()00.75,1x ∈，取区间()0.75,1的中点30.875x =，()30.87520.87510.33980f =⨯-=>，所以()()0.750.8750f f ⋅<，可得()00.75,0.875x ∈，取区间()0.75,0.875的中点40.8125x =，()30.812520.812510.07280f =⨯-=>，所以()()0.750.81250f f ⋅<，可得()00.75,0.8125x ∈， 因为0.81250.750.06250.1-=<，所以()321f x x =-零点的近似值可取为0.75.15．（1）7n =；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39． 【分析】（1）由图可计算得到n的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227∴=+++=；n（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；+⨯=次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中；+⨯=次检测；∴此时两组共此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919⨯=次检测；需21938∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测.综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．用二分法求如图所示的函数f (x )的零点时，不可能求出的零点是( )A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 4解析： 由二分法的思想可知，零点x 1，x 2，x 4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间[a ，b ]，使得f (a )·f (b )<0，故x 1，x 2，x 4可以用二分法求解，但x 3∈[a ，b ]时均有f (a )·f (b )≥0，故不可以用二分法求该零点．答案： C2．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0.1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)解析： ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，故f (x )的一个零点x 0∈(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．答案： A3．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，若α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两个根，则实数a ，b ，α，β之间的大小关系是 ( )A ．α<a <b <βB ．a <α<β<bC ．a <α<b <βD ．α<a <β<b解析： 若令g (x )＝(x －a )(x －b )，显然函数g (x )的两个零点是a ，b ，函数f (x )的两个零点是α，β，而函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象向上平移两个单位长度得到的，结合图象可知a<α<β<b，故应选B.答案： B4．为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表所示：A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)解析：∵f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.25)<0，∴零点在区间(1.8,2.2)上，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.答案：a2＝4b6．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：解析：由图表知f(1.562 5)＝0.003>0，f(1.556 2)＝－0.029<0，∴函数f(x)＝3x－x－4的一个零点在区间(1.556 2,1.562 5)上，由于|1.556 2－1.562 5|＝0.006 3<0.01，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解约为1.56.答案： 1.567．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．答案： 1.5,1.75,1.875,1.812 5三、解答题(每小题10分，共20分)8．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．如何迅速查出故障所在呢？解析：如图所示，首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC；再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD 段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100 m之内，查7次就可以了．9．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．解析：设f(x)＝x2－2x－1，∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x0<2.5；如此继续下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x0∈(2,375,2.437 5)．∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.。

3.1.2用二分法求方程的近似解1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间…()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定3．已知f(x)＝ax2＋bx，ab≠0，且f(x1)＝f(x2)＝2 009，则f(x1＋x2)＝__________.4．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为__________．(只填序号)①(－∞，1]②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6，＋∞)课堂巩固1．下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]3．下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是()A ．[－2.1，－1]B ．[4.1,5]C ．[1.9,2.3]D ．[5,6.1]4．下列是关于函数y ＝f(x)，x ∈[a ，b]的几个命题：①若x 0∈[a ，b]且满足f(x 0)＝0，则(x 0,0)是f(x)的一个零点；②若x 0是f(x)在[a ，b]上的零点，则可用二分法求x 0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点； ④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．那么以上叙述中，正确的个数为( )A ．0B ．1C ．3D ．45．已知x 0是函数f(x)＝2x －log 13x 的零点，若0<x 1<x 0，则f(x 1)的值满足( ) A ．f(x 1)>0B ．f(x 1)<0C ．f(x 1)＝0D ．f(x 1)>0与f(x 1)<0均有可能6．若方程(12)x ＝x 的解为x 0，则x 0所在的区间为 ( )A ．(0.1,0.2)B ．(0.3,0.4)C ．(0.5,0.7)D ．(0.9,1)7．奇函数f(x)的定义域为R ，在(0，＋∞)上，f(x)为增函数．若－3是f(x)的一个零点，则f(x)另外的零点是__________．8．证明方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)1．若一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，则有( )A ．a<0B ．a>0C ．a<－1D ．a>12．方程0.9x －x ＝0的实数根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．已知函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋2(a<b)，并且α，β(α<β)是函数y ＝f(x)的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系是( )A ．a<α<β<bB ．α<a<b<βC ．α<a<β<bD ．a<α<b<β4．函数y ＝lnx ＋2x －6的零点一定位于如下哪个区间上．( )A ．(0,1)B ．(1，74) C ．(74，52) D ．(52，4) 5.利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：那么方程2x ＝x 2的一个根位于下列哪个区间内( )A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0)6．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为__________．7．若奇函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的三个零点x1、x2、x3满足x1x2＋x2x3＋x1x3＝－2，则b ＋c＝__________.8．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a的取值范围．9．在一个风雨交加的夜晚，从水库闸房A到防洪指挥部B的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，如果沿着线路一小段一小段的查找，困难很多，因为每查一个点就要爬一次线杆，而10 km长的线路约有200根线杆！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最为合理？10．试找出一个长度为1的区间，在这个区间上函数y＝x－13x＋2至少有一个零点．11．已知函数f(x)＝a x＋x－2x＋1(a>1)．(1)求证：f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)若a＝3，求方程f(x)＝0的正根(精确度为0.1)．答案与解析3．1.2 用二分法求方程的近似解课前预习1．B 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．2．B 根据根的存在性原理进行判断．3．0 由题意x 1、x 2是方程ax 2＋bx －2 009＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝－b a，从而f(x 1＋x 2) ＝f(－b a )＝a(－b a )2＋b(－b a)＝0. 4．③④⑤课堂巩固1．B 因B 不是变号零点，故应选B.2．A 由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．3．B 用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，其值则不能使用二分法．4．A ∵①中x 0∈[a ，b]且f(x 0)＝0，∴x 0是f(x)的一个零点，而不是(x 0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．5．B 在同一坐标系中作出函数y 1＝2x ，y 2＝log 13x 的图象，易知0<x 0<1，f(x 1)<0. 6．C 令f(x)＝(12)x －x ，f(1)＝12－1＝－12<0，f(0.5)＝(12)0.5－0.5＝12－14>0，f(0.7)＝(12)0.7－0.7<0， ∴f(x)的零点在区间(0.5,0.7)内．7．0,3 ∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，f(3)＝－f(－3)＝0.又∵f(x)在x ∈(0，＋∞)上是增函数，∴x ＝3是x ∈(0，＋∞)上的唯一零点．8.解：证明：设函数f(x)＝2x ＋3x －6，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，所以f(1)·f(2)<0.又因为f(x)在R 上连续且是增函数，所以函数f(x)在区间[1,2]内有唯一的零点．所以方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设此解为x 0，则x 0∈[1,2]．取x 1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0.所以x 0∈(1,1.5)．取x 2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，所以x 0∈(1,1.25)．取x 3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，所以x 0∈(1.125,1.25)．取x 4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，所以x 0∈(1.187 5,1.25)．因为|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，所以可取x 0＝1.187 5，即方程6－3x ＝2x 的实数解的近似值可取为1.187 5.点评：用二分法求函数零点的近似值x 0，要精确度为ε，即零点的近似值x 0与零点的真值α的误差不超过ε，零点近似值x 0的选取有以下方法：(1)若区间(a ，b)使|a －b|<ε，则因零点值α∈(a ，b)，所以a(或b)与真值α满足|a －α|<ε或|b －α|<ε.所以只需取零点近似值x 0＝a(或b)．(2)在区间[a n ，b n ]使|a n －b n |<2ε，取零点近似值x 0＝a n ＋b n 2，则|x 0－α|<12|a n －b n |<ε. 课后检测1．A 由题意得两根x 1x 2<0，即1a<0，即a<0. 2．B 设f(x)＝0.9x －x ，则它在x ∈(－∞，＋∞)上是减函数．∵f(0)＝0.90－0＝1>0，f(1)＝0.9－1＝－0.1<0，∴它在(0,1)上存在零点，同时，也是唯一的零点．3．A 函数g(x)＝(x －a)(x －b)的两个零点是a 、b.由于y ＝f(x)的图象可看作是由y ＝g(x)的图象向上平移2个单位而得到的，所以a<α<β<b.4．D 令f(x)＝lnx ＋2x －6，则f(2.5)＝ln2.5＋2×2.5－6＝ln2.5－1＝ln 2.5e<ln1＝0. 又f(4)＝ln4＋2×4－6＝ln4＋2>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以方程lnx ＋2x －6＝0的根必定在区间(2.5,4)内．5．C 设f(x)＝2x －x 2，根据列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8，2.2)内．6．0 不妨设它的两个正零点分别为x 1，x 2.由f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x 1，－x 2，于是x 1＋x 2－x 1－x 2＝0.7．－2 ∵f(x)是奇函数，∴b ＝0.∴f(x)＝x 3＋cx.令f(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝－－c ，x 3＝－c(c<0)．由x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝－2得c ＝－2，∴b ＋c ＝－2.8．解：设f(x)＝3x 2－5x ＋a ，则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)．∵f(x)＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f(－2)>0，f(0)<0，f(1)<0，f(3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3×(－2)2－5×(－2)＋a>0，a<0，3－5＋a<0，3×9－5×3＋a>0.解得－12<a<0.故所求a 的取值范围是{a|－12<a<0}．9．解：可以利用二分法的原理进行查找．首先从AB 的中点C 处开始，用随身带的话机通过向两端喊话进行测试，若AC 段正常，则断定故障在BC 段．再到BC 段中点D ，这次若发现BD 段正常，则断定故障在CD 段．再到CD 的中点E 去查，….这样每查一次，就可以把待查的线路的长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100米之间，即一两根电线杆附近．10．解：函数f(x)＝x －13x ＋2的定义域为(－∞，－23)∪(－23，＋∞)．取区间[12，32]． ∵f(12)＝－17<0，f(32)＝113>0， ∴在区间[12，32]内函数f(x)至少有一个零点．∴[12，32]就是符合条件的一个区间． 11．解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0. ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0. 于是f(x 2)－f(x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0.故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知，当a ＝3时，f(x)＝3x ＋x －2x ＋1也在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增．因此f(x)＝0的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根．由于f(0)＝－1<0，f(1)＝52>0，∴取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：由于|0.312 5－0.25|＝0.062 5<0.1，∴原方程的近似解可取为0.312 5.点评：求函数零点的近似值时，由于所选的初始区间不同，最后得到的结果可以不同，只要它们符合所给定的精确度，就是正确的．用二分法求方程的近似解可按下面的口诀进行记忆：函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方程成立很显然．要求方程近似解，先看零点的区间，每次区间分为二，先后两端近零点．。

3.1.2用二分法求方程的近似解班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．函数的零点落在内，则的取值范围为A. B. C. D.2．若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.04)为( )A.1.5B.1.25C.1.375D.1.437 53．设f(x)=3x+3x-8,若用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间为A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定4．以下函数图象中,不能用二分法求函数零点的是5．用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数根时,取区间中点x=2.5,那么下一个有根区间是.6．在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称次就可以发现这枚假币.7．利用二分法求的一个近似值(精确度0.01).8．已知函数在上为增函数，求方程的正根.(精确度为0.01)【能力提升】利用计算器,求方程lg x=3-x的近似解(精确度0.1).答案【基础过关】1．B【解析】∵f(x)＝2x＋m，∴2x＋m＝0，即，∴，解得0＜m＜2.2．D【解析】由参考数据知f(1.406 25)·f(1.437 5)<0,且1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.04,所以方程的一个近似解可取为1.437 5,故选D.3．B【解析】∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴f(1.5)·f(1.25)<0,因此方程的根所在的区间为(1.25,1.5).4．D【解析】本题考查二分法的定义.根据定义利用二分法无法求不变号的零点,故选D.5．(2,2.5)【解析】∵f(2)<0, f(2.5)>0,∴下一个有根区间是(2,2.5).6．4【解析】将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币,若不平衡,则质量小的那一枚是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.,即为, 7．令f(x)=x2-3,因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,所以函数在区间(1,2)内存在零点x取区间(1,2)为二分法计算的初始区间,列表如下:因为1.734 375-1.726 562 5=0.007 812 5<0.01,所以可取1.734 375为的一个近似值. 8．由于函数在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，因此f(x)＝0的正根最多有一个.因为f(0)＝－1＜0，，所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表：因为｜0.2734375－0.28125｜＝0.0078125＜0.01，所以方程的根的近似值可取为0.2734375，即f(x)＝0的正根约为0.2734375.【能力提升】分别画出函数y=lg x和y=3-x的图象,如图在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标就是方程lg x=3-x的解.由函数y=lg x与y=3-x的图象可以发现,方程lg x=3-x有唯一解,且这个解在区间(2,3)内.,利用计算器计算设f(x)=lg x+x-3,则函数f(x)的零点即为方程lg x=3-x的解,记为x1得:∈(2,3);f(2)<0,f(3)>0⇒x1f(2.5)<0,f(3)>0⇒x∈(2.5,3);1∈(2.5,2.75);f(2.5)<0,f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.625);f(2.5)<0,f(2.625)>0⇒x1f(2.562 5)<0,f(2.625)>0⇒x∈(2.562 5,2.625);1因为2.625-2.562 5=0.062 5<0.1,所以方程lg x=3-x的近似解可取为2.625.。

2021年高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似值练习 新人教A 版必修1基础梳理1．对于在区间[a ，b ]上连续不断，且满足f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做________．例如：指出下列函数中哪些能用二分法求其近似零点，哪些不能． ①y ＝2x ＋3；②y ＝x 2＋2x ＋1；③y ＝－3＋lg x .2．图象在闭区间[a ，b ]上连续不断的单调函数f (x )，在(a ，b )上至多有________．例如：判断下列函数在(－2，2)上的零点个数． ①y ＝－2x ；②y ＝3x－10.3．函数零点的性质．(1)从“数”的角度看：即是使f (x )＝____的实数；(2)从“形”的角度看：即是函数f (x )的图象与____交点的横坐标；(3)若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与________，则零点x 0通常称为不变号零点； (4)若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与________，则零点x 0通常称为变号零点． 4．用二分法求函数的变号零点．二分法的条件f (a )·f (b )＜0表明用________求函数的近似零点都是指________． 5．给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤： (1)确定初始区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )____，给定精确度ε. (2)求区间(a ，b )的________(将a ＋b2称为区间[a ，b ]的中点)．(3)计算f (x 1)：①若f (x 1)＝0，则x 1是函数的零点；②若f (a )·f (x 1)<0，则令b ＝x 1[此时零点x 0∈(a ，x 1)]；③若f (x 1)·f (b )<0，则令a ＝x 1[此时零点x 0∈(x 1，b )]．(4)判断是否达到精确度ε，即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复(2)～(4)步骤．基础梳理1．一分为二 二分法 ①③可以，②不行 2．一个零点 ①一个 ②0个3．(1)0 (2)x 轴 (3)x 轴相切 (4)x 轴相交 4．二分法 变号零点 5．(1)＜0 (2)中点x 1思考应用1．用二分法求函数的零点近似值时应注意的问题有哪些？解析：首先要找到零点所在的一个区间[]a ，b ，即满足f (a )·f (b )＜0；其次是区间[]a ，b 的长度尽量小；再次是函数值f (a )、f (b )比较容易计算．2．根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的．若要求方程f (x )＝g (x )的实根，可研究哪个函数的零点？解析：可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，研究函数F (x )的零点， 函数F (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实根．3．如何理解“精确度ε”的含义？ 解析： 精确度ε是事先给定的任意一个正数．若函数零点的存在区间[]a ，b 满足：||b －a <ε，则区间[]a ，b 内的任意一个实数都是满足要求的零点近似值．自测自评1．设f ()x ＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在区间(1，2)内近似解的过程中得到f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根所在的区间是( )A ．(1.25，1.5) B. (1，1.25) C ．(1.5，2) D ．不能确定2．根据下表，能判断方程f (x )＝g (x )有实数解的区间是( )C．(1，2) D．(2，3)3．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)(b－a＝0.1)上有唯一零点．如果用“二分法”求这个零点(精确到0.000 1)的近似值，求至少将区间(a，b)等分的次数．自测自评1．A2．解析：f(x)与g(x)的函数值大小发生转换的区间(0，1)．答案：B3．解析：将区间(a，b)等分n次后，区间长度变为(b－a)·12n ＝0.1×12n，即可精确到0.1×12n .令0.1×12n≤0.000 1，即2n≥1 000，∴n＞9.将区间(a，b)等分的次数至少是10.►基础达标1．下列函数图象中，不能用二分法求函数零点近似值的是( )1．解析：B图中函数无零点，故不能用二分法求其零点近似值．答案：B2．求方程f(x)＝0在[0，1]内的近似根，用二分法计算到x10＝0.445达到精度要求．那么所取误差限ε是( )A．0.05 B．0.005C．0.000 5 D．0.000 052．C3．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．3．解析：记f(x)＝x3－2x－5，∵f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，f (2)＝8－4－5＝－1＜0，∴f (2.5)f (2)＜0，∴有根区间为(2，2.5)． 答案：(2，2.5)4．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0，0.5)，f (0.25)B ．(0，1)，f (0.25)C ．(0.5，1)，f (0.25)D ．(0.5，1)，f (0.125)4．解析：函数f (x )连续，且f (0)f (0.5)＜0，∴x 0∈(0，0.5)，第二次计算应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．故选A.答案：A5．利用计算器，方程x 2－2x －1＝0在(1，3)内的近似解(精确到0.1)是( )A ．2.2B ．2.4C ．2.6D ．2.85．B6．在用二分法求方程f (x )＝0在[1，1.5]上的近似解时，经计算，f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，f (1.375)＜0，f (1.437 5)＞0，f (1.406 25)＜0，那么方程f (x )＝0的一个近似解为( )A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.56．解析：∵f (1.406 25)f (1.437 5)＜0，∴方程f (x )＝0的根位于区间(1.406 25，1.437 5)内，精确到0.1的一个近似根是1.4.故选C.答案：C ►巩固提高7．方程x 3－2x 2＋3x －6＝0在区间[－2，4]上的根必属于区间( )A ．[－2，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，52 7．解析：令f (x )＝x 3－2x 2＋3x －6，则f (－2)＝－28＜0，f (4)＝38＞0，f (1)＝－4＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝378＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74＝－9764.故选D. 答案：D8．已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数f(x)至少有____个零点．8．解析：∵f(x)的图象是连续不断的由表知在(2，3)，(3，4)，(4，5)各至少有1个零点，故至少有3个零点．答案：39．利用计算器，求方程x3＋x＋4＝0的近似解(精确到0.1)．9．解析：令f(x)＝x3＋x＋4 ，因为函数f(x)＝x3＋x＋4 在R上是增函数，所以函数f(x)＝x3＋x＋4 至多有1个零点．因为f(－2)f(－1)<0，所以函数f(x)＝x3＋x＋4 的零点在(－2，－1)内，用二分法逐次计算，列表如下：取区间中点值中点函数值(－2，－1)－1.5－0.875(－1.5，－1)－1.250.797(－1.5，－1.25)－1.3750.025(－1.5，－1.375)－1.437 5－0.408(－1.437 5，－1.375)∵|－∴函数f(x)的零点近似值为－1.437 5.∴方程x3＋x＋4＝0的近似解为－1.4.10．利用计算器，用二分法求函数f(x)＝lg x＋x－3在(2, 3)内的零点近似值(精确到0.1)．10．解析：∵f(x)＝lg x＋x－3在(2，3)上是连续不断的且在(2，3)上是单调增函数．取区间中点值中点函数值(2, 3) 2.5－0.102(负数)(2.5, 3) 2.750.189(正数)(2.5, 2，75) 2.6250.044(正数)(2.5，2.625) 2.562 5－0.029(负数)(2，562 5, 2.625)∴函数f(x)的零点近似值为2.6.1．用二分法求函数零点时，先要判断函数是否可用二分法求零点，注意数形结合，充分利用函数的图象，把近似计算与直观判断相结合．2．用二分法求零点时要根据函数性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少运算量．3．注意“精确度”要求对结果的影响，不同的“精确度”要求，对结果有影响．g26513 6791 枑40354 9DA2 鶢S28745 7049 灉4 35081 8909 褉 37229 916D 酭_25089 6201 戁31786 7C2A 簪34912 8860 衠。

3.1.2 用二分法求方程的近似解【选题明细表】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )(A)x1(B)x2(C)x3(D)x4解析:观察图象可知,零点x3的附近两边的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.2.用二分法找函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为( B )(A)(0,1) (B)(0,2)(C)(2,3) (D)(2,4)解析:因为f(0)=20+0-7=-6<0,f(4)=24+12-7>0,f(2)=22+6-7>0,所以f(0)f(2)<0,所以零点在区间(0,2).3.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为(0,),(0,),(0,),则下列说法中正确的是( B )(A)函数f(x)在区间(0,)内一定有零点(B)函数f(x)在区间(0,)或(,)内有零点,或零点是(C)函数f(x)在(,a)内无零点(D)函数f(x)在区间（0,）或（,）内有零点解析:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在（0,）或（,）中或f（）=0.故选B.4.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.故选B.5.用二分法求方程x2-5=0在区间(2,3)内的近似解,经过次二分后精确度能达到0.01.解析:因为初始区间的长度为1,精确度要求是0.01,所以≤0.01,化为2n≥100,解得n≥7.答案:76.用二分法研究函数f(x)=x3+ln（x+）的零点时,第一次经计算f(0)<0,f（）>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.解析:由于f(0)<0,f（）>0,故f(x)在（0,）上存在零点,所以x0∈（0,）,第二次计算应计算0和在数轴上对应的中点x1==.答案:（0,）f（）7.(2018·安徽省江南名校高一联考)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,15),(0,7),(0,4),(1,3)内,那么下列说法中正确的是( C )(A)函数f(x)在区间(1,2)内有零点(B)函数f(x)在区间(1,2)或(2,3)内有零点(C)函数f(x)在区间[3,15)内无零点(D)函数f(x)在区间(2,15)内无零点解析:根据二分法的实施步骤即可判断.故选C.8.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )(A)至少5个 (B)5个(C)至多5个 (D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(1.25)f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解. 9.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值),则a的值为.解析:令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,所以a=-1或a=-0.8.答案:-1或-0.810.利用计算器,求方程x2-6x+7=0的近似解(精确度0.1). 解:设f(x)=x2-6x+7,通过观察函数的草图得,f(1)=2>0,f(2)=-1<0,所以方程x2-6x+7=0有一根在(1,2)内,设为x1,因为f(1.5)=0.25>0,所以1.5<x1<2,又因为f()=f(1.75)=-0.437 5<0,所以1.5<x1<1.75,如此继续下去,得f(1)>0,f(2)<0⇒x1∈(1,2),f(1.5)>0,f(2)<0⇒x1∈(1.5,2),f(1.5)>0,f(1.75)<0⇒x1∈(1.5,1.75),f(1.5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.5,1.625),f(1.562 5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.562 5,1.625),由于|1.562 5-1.625|=0.062 5<0.1,所以方程x2-6x+7=0的一个近似解可取为 1.625,用同样的方法,可求得方程的另一个近似解可取为4.437 5.11.如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10 km长,大约有200多根电线杆子.假如你是维修线路的工人师傅,你应该怎样工作?想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?解:如图.他首先从中点C查.用随身带的话机向两端测试时,如果发现AC段正常,则断定故障在BC段,再到BC段中点D,这次若发现BD段正常,则故障在CD段,再到CD中点E来查,……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右,即两根电线杆附近,设需要排查n 次,则有50<<100,即100<2n<200.因此只要7次就够了.。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业(二十四)用二分法求方程的近似解(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )A.x1B.x2C.x3D.x4【解题指南】观察图象,与x轴交点的两侧符号相同时不能用二分法求零点. 【解析】选C.观察图象可知:点x3的附近两旁的函数值都为负值,所以点x3不能用二分法求,故选C.2.下列函数不能用二分法求零点的是( )A.f(x)=3x-2B.f(x)=log2x+2x-9C.f(x)=(2x-3)2D.f(x)=3x-3【解析】选C.因为f(x)=(2x-3)2≥0,所以不能用二分法求零点.【补偿训练】下列函数零点不能用二分法求解的是( )A.f(x)=x3B.f(x)=lnx+3C.f(x)=x2+2x+1D.f(x)=-x2+2x+2【解析】选C.对于C,f(x)=(x+1)2≥0,不能用二分法.3.(2015·本溪高一检测)用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )A.0.9B.0.7C.0.5D.0.4【解析】选B.因为f(0.72)>0,f(0.68)<0,所以零点在区间(0.68,0.72),|0.72-0.68|=0.04<0.1,零点在区间[0.68,0.72]内,故只有B选项符合要求.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2015·四平高一检测)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度0.01)为.【解析】注意到f(1.5562)=-0.029和f(1.5625)=0.003,显然f(1.5562)·f(1.5625)<0,且|1.562 5−1.556 2|=0.0063<0.01,故方程3x-x-4=0的一个近似解为1.5625或1.5562.答案:1.5625(或1.5562)【补偿训练】在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为(精确度0.1).【解析】因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解.答案:0.75(或0.6875)5.已知函数f(x)=log a x+x-b(a>0且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)(n∈N*),则n= .【解析】因为函数f(x)=log a x+x-b(2<a<3)在(0,+∞)上是增函数,f(2)=log a2+2-b<log a a+2-b=3-b<0,f(3)=log a3+3-b>log a a+3-b=4-b>0,所以x0∈(2,3)即n=2.答案:2三、解答题6.(10分)(2015·南京高一检测)在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条长10km的线路,电线杆的间距为100m.如何迅速查出故障所在呢?【解题指南】利用二分法,将线路不断一分为二,最终缩小到100m之内,即可查出故障所在.【解析】如图所示,首先从AB线路的中点C开始检查,当用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,判定故障在BC;再到BC段中点D检查,这次发现BD段正常,可见故障出在CD段;再到CD段中点E来检查……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半.要把故障可能发生的范围缩小到100m之内,查7次就可以了.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·银川高一检测)在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( )A.[1,4]B.[-2,1]C.[-2,2.5]D.[-0.5,1]【解析】选D.因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次的区间可能是[-2,1],[1,4],第三次所取的区间可能是[-2,-0.5],[-0.5,1],[1,2.5],[2.5,4],只有选项D在其中. 2.(2015·东营高一检测)已知函数f(x)的一个零点x0∈(2,3),在用二分法求精确度为0.01的x0的一个值时,判断各区间中点的函数值的符号最少要( ) A.5次 B.6次 C.7次 D.8次【解析】选C.区间长度为1,每次长度缩小一半,注意到12>0.01,12>0.01,12<0.01,因此判断各区间中点的函数值符号最少7次.【延伸探究】若将函数y=f(x)的零点所在的区间改为在[0,1]内,欲使零点的近似值的精确度达到0.01,则用二分法取中点的次数的最小值为( )A.6B.7C.8D.9【解析】选B.因为(12)6=0.015625,(12)7=0.0078125,所以至少要取7次中点,区间的长度才能达到精确度要求.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知f(x)图象是一条连续的曲线,且在区间(a,b)内有唯一零点x0,用“二分法”求得一系列含零点x0的区间,这些区间满足(a,b)⊇(a1,b1)⊇(a2,b2)⊇…⊇(a k,b k),若f(a)<0,f(b)>0,则f(a k)的符号为.(填“正”,“负”,“正、负、零均可能”)【解题指南】本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题,直接根据二分法的定义即可得到结论.【解析】因为f(a)<0,f(b)>0,要想一步步进行下去,直到求出零点,按二分法的的定义可知,f(a k)<0.如果f(a k)为0的话,零点就是a k,应该是左闭区间;如果f(a k)为正的话,零点应该在(a k,b k)的前面那个区间内.答案:负4.(2015·滁州高一检测)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)为.【解析】因为|1.437 5−1.375|=0.0625<0.1,所以在区间[1,375,1.437 5]内的任何一个值都可以作为x3+x2-2x-2=0的一个近似解,故方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解可取为1.4375或1.375.答案:1.4375(或1.375)【补偿训练】下面是连续函数f(x)在[1,2]上一些点的函数值:由此可判断:方程f(x)=0的一个近似解为.(精确度0.1)【解析】由题中表格对应的数值可得函数零点必在区间(1.4065,1.438)上,由精确度可知近似解可取为1.438或1.4065.答案:1.438(或1.4065)三、解答题5.(10分)(2015·株洲高一检测)已知函数f(x)=3x+x−2在(-1,+∞)上为增函数,x+1求方程f(x)=0的正根(精确度0.01).【解题指南】由函数在(-1,+∞)上单调递增,故在(0,+∞)上也单调递增,可先判断出f(x)=0的正根最多有一个,然后选用二分法逐次计算求解.在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递增, 【解析】由于函数f(x)=3x+x−2x+1因此f(x)=0的正根最多有一个.因为f(0)=-1<0,f(1)=5>0,2所以方程的正根在(0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:(0.265 625,0.281 25) 0.273 437 5 -0.005 43(0.273 437 5,0.281 25)因为|0.243 437 5−0.281 25|=0.0078125<0.01,所以方程的根的近似值为0.2734375,即f(x)=0的正根约为0.2734375.【补偿训练】利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解.(精确度0.1)【解析】设f(x)=lgx+x-3,在同一坐标系中,作出y=lgx和y=3-x的图象,如图所示,观察图象可以发现lgx=3-x有唯一解x1,且x1∈(2,3),f(2)<0,利用二分法,可列下表:区间中点值中点函数近似值(2,3) 2.5 -0.102 059 991(2.5,3) 2.75 0.189 332 694(2.5,2.75) 2.625 0.044 129 308(2.5,2.625) 2.562 5 -0.028 836 126(2.562 5,2.625)由于|2.625-2.5625|=0.0625<0.1,所以原方程的近似解可取2.5625.【拓展延伸】数形结合思想在求方程近似解中的妙用(1)求解形如f(x)=g(x)的根时,通过在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象,观察交点位置,可以得到方程的近似解所在的区间.(2)可以利用函数的单调性等,分析函数图象交点的个数,从而指导我们利用计算器列函数对应值表时,有针对性地对变量取值.(3)借助方程求交点,利用图象求近似解是数形结合思想的重要体现.关闭Word文档返回原板块。

1．方程log 3x+x=3的近似解所在区间是A （0，2）B （1，2）C （2，3）D （3，4） 2．下列函数，在指定范围内存在零点的是 A y= x 2-x x ∈(-∞ ,0) B y=∣x ∣-2 x ∈[-1,1] C y= x 5+x-5 x ∈[1,2] D y=x 3-1 x ∈( 2,3 ) 3. 方程2x +3302x -=的解在区间 A （ 0，1 ）内 B （ 1，2）内 C （2，3）内 D 以上均不对4．方程log a x=x+1 (0<a<1)的实数解的个数是 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个5．下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 （ ）AB6．证明：方程2x -230x -=的两根一个在区间（-2，-1）内，一个在（3，4）内。

[巩固提高]1．方程3640x x -=的实根个数为 （ ）A 0B 1C 2D 32．方程2310x x -+=在区间（2，3）内，根的个数为 （ ） A 0 B 1 C 2 D 不确定3．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（ ）内 A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （4，5）4．函数f(x)= 25x -的函数零点的近似值（精确到0.1）是（ ）A 2.0B 2.1C 2.2CDD 2.35．三次方程32210x x x +--=在下列哪些连续整数之间有根？ （ ）A –2与-1之间B –1与0之间C 0与1之间D 1与2之间E 2与3之间6．函数y=1()2x 与函数y=lg x 的图象的交点横坐标（精确到0.1）约是 （ ）A 1.3B 1.4C 1.5D 1.67．方程310x x --=在区间[1，1.5]的一个实数根（精确到0.01）为__________________8．已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间（a,b ）(b-a=0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确到0.0001）的近似值，那么将区间（a,b ）等分的次数是____________ 9．求方程lnx+2x-6=0的近似解。