2018届一轮复习苏教版 9.3导数在实际问题中的应用及综合应用 课件(60张)
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第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算教师用书 理 苏教版1.导数与导函数的概念(1)设函数y =f (x )在区间(a ,b )上有定义,x 0∈(a ,b ),若Δx 无限趋近于0时,比值ΔyΔx=f x 0+Δx -f x 0Δx无限趋近于一个常数A ,则称f (x )在x =x 0处可导,并称该常数A 为函数f (x )在x =x 0处的导数(derivative),记作f ′(x 0).(2)如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内的每一点处都有导数,其导数值在(a ,b )内构成一个新函数,这个函数称为函数y =f (x )在开区间内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 2.导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率k ,即k =f ′(x 0). 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )=C (C 为常数) f ′(x )=0 f (x )=x α(α为常数)f ′(x )=αx α-1 f (x )=sin x f ′(x )=cos x f (x )=cos x f ′(x )=-sin x f (x )=e x f ′(x )=e x f (x )=a x (a >0,a ≠1)f ′(x )=a x ln af (x )=ln x f ′(x )=1xf (x )=log a x (a >0,a ≠1)f ′(x )=1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x ),g ′(x )存在,则有(1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); (3)[f xg x ]′=f ′x g x -f x g ′xg 2x(g (x )≠0).5.复合函数的导数若y =f (u ),u =ax +b ,则y ′x =y ′u ·u ′x ,即y ′x =y ′u ·a . 【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.[1f x]′=-f ′xf 2x(f (x )≠0).3.[af (x )+bg (x )]′=af ′(x )+bg ′(x ).4.函数y =f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢,|f ′(x )|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y =f (x )在x =x 0附近的平均变化率.( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f (x )=sin(-x )的导数是f ′(x )=cos x .( × )1.(教材改编)若f (x )=x ·e x,则f ′(1)= . 答案 2e解析 f ′(x )=e x+x ·e x,∴f ′(1)=2e.2.(教材改编)①(cos x )′=sin x ;②若y =1x 2,则y ′=-1x ;③(-1x )′=12x x .其中正确的个数是 .答案 1解析 因为(cos x )′=-sin x ,所以①错误; (1x2)′=(x -2)′=-2x -3,所以②错误;(-1x )′=(12x --)′=3212x -=12x x ,所以③正确.3.(教材改编)曲线y =-5e x+3在点(0,-2)处的切线方程为 . 答案 5x +y +2=0解析 因为y ′|x =0=-5e 0=-5,所以曲线在点(0,-2)处的切线方程为y -(-2)=-5(x -0),即5x +y +2=0.4.(教材改编)若过曲线y =1x上一点P 的切线的斜率为-4,则点P 的坐标为 . 答案 (12,2)或(-12,-2)解析 ∵y ′=(x -1)′=-1x2=-4,∴x 2=14,x =±12.∴切点坐标为(12,2)或(-12,-2).5.(教材改编)函数f (x )=x 3的斜率等于1的切线有 条. 答案 2解析 ∵y ′=3x 2,设切点为(x 0,y 0),则3x 20=1,得x 0=±33,即在点(33,39)和点(-33,-39)处有斜率为1的切线.题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数.(1)y =x 2sin x ;(2)y =ln x +1x ;(3)y =cos x e x ;(4)y =sin(2x +π3);(5)y =ln(2x -5).解 (1)y ′=(x 2)′·sin x +x 2·(sin x )′ =2x sin x +x 2cos x .(2)y ′=(ln x +1x )′=(ln x )′+(1x)′=1x -1x2.(3)y ′=(cos xex )′=cos x ′·e x-cos x e x′e x 2=-sin x +cos x ex. (4)设u =2x +π3,则y =sin u ,则y ′=(sin u )′·u ′=cos(2x +π3)·2即y ′=2cos(2x +π3).(5)令u =2x -5,则y =ln u ,则y ′=(ln u )′·u ′=12x -5·2=22x -5,即y ′=22x -5.思维升华 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这样可避免使用商的求导法则,减少运算量.(2)复合函数求导时,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元.(1)f (x )=x (2 016+ln x ),若f ′(x 0)=2017,则x 0= .(2)若函数f (x )=ax 4+bx 2+c 满足f ′(1)=2,则f ′(-1)= . 答案 (1)1 (2)-2解析 (1)f ′(x )=2 016+ln x +x ×1x=2 017+ln x ,故由f ′(x 0)=2 017,得2 017+lnx 0=2 017,则ln x 0=0,解得x 0=1.(2)f ′(x )=4ax 3+2bx ,∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)=2,∴f ′(-1)=-2. 题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2016·南通一调)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与曲线y =x 2(x >0)和y =x 3(x >0)均相切,切点分别为A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2),则x 1x 2的值为 .(2)已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y =f (x )相切,则直线l 的方程为 .答案 (1)43(2)x -y -1=0解析 (1)方法一 由题设可知曲线y =x 2在A (x 1,y 1)处的切线方程为y =2x 1x -x 21,曲线y=x 3在B (x 2,y 2)处的切线方程为y =3x 22x -2x 32,所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 1=3x 22,x 21=2x 32,解得x 1=3227,x 2=89,所以x 1x 2=43.方法二 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1=3x 22,x 32-x 21x 2-x 1=2x 1,解得x 1=3227,x 2=89,所以x 1x 2=43.(2)∵点(0,-1)不在曲线f (x )=x ln x 上, ∴设切点为(x 0,y 0).又∵f ′(x )=1+ln x ,∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0=x 0ln x 0,y 0+1=1+ln x 0x 0,解得x 0=1,y 0=0.∴切点为(1,0),∴f ′(1)=1+ln 1=1. ∴直线l 的方程为y =x -1,即x -y -1=0. 命题点2 求参数的值例3 (1)(2016·徐州模拟)函数y =e x的切线方程为y =mx ,则m = .(2)(2016·苏州暑假测试)已知函数f (x )=x -1+1e x ,若直线l :y =kx -1与曲线y =f (x )相切,则实数k = . 答案 (1)e (2)1-e解析 (1)设切点坐标为P (x 0,y 0),由y ′=e x, 得00|e xx x y '==, 从而切线方程为000ee ()x x y x x -=-,又切线过定点(0,0),从而000e e ()x x x -=-,解得x 0=1,则m =e.(2)设切点为(x 0,y 0).因为f ′(x )=1-1e x ,则f ′(x 0)=k ,即1-01e x =k ,且kx 0-1=x 0-1+01ex ,所以x0=-1,所以k=1-1e-1=1-e.命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图,点A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S,则函数S=f(x)的图象为下图中的 .答案④解析函数的定义域为[0,+∞),当x∈[0,2]时,在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS 大于0且越来越大,即斜率f′(x)在[0,2]内大于0且越来越大,因此,函数S=f(x)的图象是上升的且图象是下凸的;当x∈(2,3)时,在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越小,即斜率f′(x)在(2,3)内大于0且越来越小,因此,函数S=f(x)的图象是上升的且图象是上凸的;当x ∈[3,+∞)时,在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0,即斜率f ′(x )在[3,+∞)内为常数0,此时,函数图象为平行于x 轴的射线.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面 (1)已知切点A (x 0,f (x 0))求斜率k ,即求该点处的导数值:k =f ′(x 0). (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)=k .(3)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由⎩⎪⎨⎪⎧y 1=f x 1,y 0-y 1=f ′x 1x 0-x 1求解即可.(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.(1)(2016·泰州模拟)已知曲线y =x 24-3lnx 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为 .(2)(2016·昆明模拟)设曲线y =1+cos x sin x 在点(π2,1)处的切线与直线x -ay +1=0平行,则实数a = . 答案 (1)3 (2)-1解析 (1)设切点的横坐标为x 0,∵曲线y =x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,∴y ′=x 2-3x ,即x 02-3x 0=12,解得x 0=3或x 0=-2(舍去,不符合题意), 即切点的横坐标为3.(2)∵y ′=-1-cos xsin 2x ,∴2|x y π='=-1. 由条件知1a=-1,∴a =-1.3.求曲线的切线方程典例 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y =x 3-3x 2+2x 和y =x 2+a 都相切,求a 的值. 错解展示现场纠错解 易知点O (0,0)在曲线y =x 3-3x 2+2x 上. (1)当O (0,0)是切点时,由y ′=3x 2-6x +2,得y ′|x =0=2,即直线l 的斜率为2,故直线l 的方程为y =2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x ,y =x 2+a ,得x 2-2x +a =0,依题意Δ=4-4a =0,得a =1.(2)当O (0,0)不是切点时,设直线l 与曲线y =x 3-3x 2+2x 相切于点P (x 0,y 0),则y 0=x 30-3x 20+2x 0,k =0|x x y '==3x 20-6x 0+2,①又k =y 0x 0=x 20-3x 0+2,②联立①②,得x 0=32(x 0=0舍去),所以k =-14,故直线l 的方程为y =-14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y =-14x ,y =x 2+a ,得x 2+14x +a =0,依题意,Δ=116-4a =0,得a =164.综上,a =1或a =164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程,要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1.(2016·天津)已知函数f (x )=(2x +1)e x,f ′(x )为f (x )的导函数,则f ′(0)的值为 . 答案 3解析 因为f (x )=(2x +1)e x,所以f ′(x )=2e x +(2x +1)e x =(2x +3)e x, 所以f ′(0)=3e 0=3.2.已知曲线y =ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为 . 答案 1e解析 y =ln x 的定义域为(0,+∞),且y ′=1x,设切点为(x 0,ln x 0),则0|x x y '==1x 0,切线方程为y -ln x 0=1x 0(x -x 0),因为切线过点(0,0),所以-ln x 0=-1, 解得x 0=e ,故此切线的斜率为1e.3.若直线y =x 是曲线y =x 3-3x 2+px 的切线,则实数p 的值为 . 答案 1或134解析 ∵y ′=3x 2-6x +p ,设切点为P (x 0,y 0),∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20-6x 0+p =1,x 30-3x 20+px 0=x 0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=0,p =1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0=32,p =134.4.若f (x )=2xf ′(1)+x 2,则f ′(0)= . 答案 -4解析 f ′(x )=2f ′(1)+2x ,令x =1,则f ′(1)=2f ′(1)+2,得f ′(1)=-2, 所以f ′(0)=2f ′(1)+0=-4.5.(2016·江苏扬州中学期中)若x 轴是曲线f (x )=ln x -kx +3的一条切线,则k = . 答案 e 2解析 由f (x )=ln x -kx +3,得f ′(x )=1x-k ,设点M (x 0,y 0)是曲线f (x )上的一点,则曲线f (x )=ln x -kx +3在点M 处的切线方程为y -(ln x 0-kx 0+3)=(1x 0-k )(x -x 0),∵x 轴是曲线f (x )=ln x -kx +3的一条切线, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0-kx 0+3=0,1x 0-k =0,解得k =e 2.6.已知函数f (x )=x +1,g (x )=a ln x ,若在x =14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行,则实数a 的值为 . 答案 14解析 由题意可知f ′(x )=1212x -,g ′(x )=ax ,由f ′(14)=g ′(14),得12×121()4-=a 14,可得a =14,经检验,a =14满足题意.7.已知函数f (x )=ax 3+x +1的图象在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a = . 答案 1解析 f ′(x )=3ax 2+1,f ′(1)=1+3a ,f (1)=a +2.所以函数在(1,f (1))处的切线方程为y -(a +2)=(1+3a )(x -1). 将(2,7)代入切线方程,得7-(a +2)=1+3a , 解得a =1.8.(2016·南京模拟)曲线y =log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 . 答案12ln 2解析 y ′=1x ln 2,∴k =1ln 2, ∴切线方程为y =1ln 2(x -1).∴三角形面积S =12×1×1ln 2=12ln 2.9.若函数f (x )=12x 2-ax +ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 .答案 [2,+∞)解析 ∵f (x )=12x 2-ax +ln x ,定义域为(0,+∞),∴f ′(x )=x -a +1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线,∴f ′(x )存在零点, 即x +1x -a =0有解,∴a =x +1x≥2.*10.已知曲线f (x )=xn +1(n ∈N *)与直线x =1交于点P ,设曲线y =f (x )在点P 处的切线与x轴交点的横坐标为x n ,则log 2 016x 1+log 2 016x 2+…+log 2 016x 2 015的值为 . 答案 -1解析 f ′(x )=(n +1)x n,k =f ′(1)=n +1, 点P (1,1)处的切线方程为y -1=(n +1)(x -1), 令y =0,得x =1-1n +1=n n +1,即x n =n n +1, ∴x 1·x 2·…·x 2 015=12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016=12 016, 则log 2 016x 1+log 2 016x 2+…+log 2 016x 2 015 =log 2 016(x 1x 2…x 2 015)=-1.11.(2016·江苏五校联考)已知曲线y =x 与y =8x的交点为P ,两曲线在点P 处的切线分别为l 1,l 2,则切线l 1,l 2与y 轴所围成的三角形的面积为________. 答案 6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =8x, 解得⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =2,即P (4,2),由y =x ,得y ′=(x )′=12x ,则直线l 1的斜率k 1=14,∴l 1:y =14x +1.同理可得l 2:y =-12x +4,如图,易知S △PAB =12×3×4=6,即所求的面积为6.12.已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2xf ′(1)+ln x ,则f ′(1)=________. 答案 -1解析 由f (x )=2xf ′(1)+ln x ,得f ′(x )=2f ′(1)+1x.∴f ′(1)=2f ′(1)+1,则f ′(1)=-1.13.已知y =f (x )是可导函数,如图,直线y =kx +2是曲线y =f (x )在x =3处的切线,令g (x )=xf (x ),g ′(x )是g (x )的导函数,则g ′(3)=________.答案 0解析 由题图可知曲线y =f (x )在x =3处切线的斜率等于-13,∴f ′(3)=-13.∵g (x )=xf (x ),∴g ′(x )=f (x )+xf ′(x ), ∴g ′(3)=f (3)+3f ′(3), 又由题图可知f (3)=1, ∴g ′(3)=1+3×(-13)=0.14.曲边梯形由曲线y =x 2+1,y =0,x =1,x =2所围成,过曲线y =x 2+1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,则这一点的坐标为____________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,134解析 设P (x 0,x 20+1),x 0∈[1,2],则易知曲线y =x 2+1在点P 处的切线方程为y -(x 20+1)=2x 0(x -x 0),∴y =2x 0(x -x 0)+x 20+1,设g (x )=2x 0(x -x 0)+x 20+1,则g (1)+g (2)=2(x 20+1)+2x 0(1-x 0+2-x 0),∴S 普通梯形=g 1+g 22×1=-x 20+3x 0+1=-⎝⎛⎭⎪⎫x 0-322+134,∴P点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,134时,S 普通梯形最大.15.已知曲线y =13x 3+43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程.解 (1)∵P (2,4)在曲线y =13x 3+43上,y ′=x 2,∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x =2=4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y -4=4(x -2), 即4x -y -4=0.(2)设曲线y =13x 3+43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0,13x 30+43),则切线的斜率为y ′|0x x ==x 20.∴切线方程为y -(13x 30+43)=x 20(x -x 0),即y =x 20·x -23x 30+43.∵点P (2,4)在切线上,∴4=2x 20-23x 30+43,即x 30-3x 20+4=0,∴x 30+x 20-4x 20+4=0, ∴x 20(x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0,∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为x -y +2=0或4x -y -4=0.*16.设函数f (x )=ax -bx,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12=0. (1)求f (x )的解析式;(2)证明:曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.解 (1)方程7x -4y -12=0可化为y =74x -3.当x =2时,y =12.又f ′(x )=a +bx2,于是⎩⎪⎨⎪⎧2a -b 2=12,a +b 4=74,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =3.故f (x )=x -3x.(2)设P (x 0,y 0)为曲线上任一点,由y ′=1+3x2,知曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为y -y 0=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+3 x 20(x -x 0),即y -⎝⎛⎭⎪⎫x 0-3x 0=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+3 x20(x -x 0). 令x =0,得y =-6x 0,从而得切线与直线x =0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,-6x. 令y =x ,得y =x =2x 0,从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0,y 0)处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形的面积为S =12⎪⎪⎪⎪⎪⎪-6x 0|2x 0|=6.故曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.。
江苏专版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文含解析苏教版第一节 导数的概念及导数的运算1.导数的概念 (1)平均变化率一般地,函数f (x )在区间[x 1,x 2]上的平均变化率为f x 2-f x 1x 2-x 1.(2)函数y =f (x )在x =x 0处的导数 ①定义:设函数y =f (x )在区间(a ,b )上有定义,x 0∈(a ,b ),若Δx 无限趋近于0时,此值ΔyΔx =f x 0+Δx -f x 0Δx无限趋近于一个常数A ,则称f (x )在x =x 0处可导,并称该常数A为函数f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0).②几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y =f (x )上点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0).(3)函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ,b )内任一点都可导,则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化,因而也是自变量x 的函数,该函数称为f (x )的导函数.2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )=x α f ′(x )=αx α-1 f (x )=sin x f ′(x )=cos_x f (x )=cos x f ′(x )=-sin_x f (x )=a x (a >0,且a ≠1)f ′(x )=a x ln_a f (x )=e xf ′(x )=e xf (x )=log a x (a >0,且a ≠1)f ′(x )=1x ln af (x )=ln xf ′(x )=1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[Cf (x )]′=Cf ′(x )(C 为常数);(3)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′=f ′x g x -f x g ′x g 2x (g (x )≠0).[小题体验]1.设f (x )=x ln x ,若f ′(x 0)=2,则x 0的值为________. 解析:由f (x )=x ln x 得f ′(x )=ln x +1.根据题意知ln x 0+1=2,所以ln x 0=1,因此x 0=e. 答案:e2.曲线y =x 3-x +3在点(1,3)处的切线方程为________. 答案:2x -y +1=03.已知y =f (x )是可导函数,如图,直线y =kx +2是曲线y =f (x )在x =3处的切线,令g (x )=xf (x ),g ′(x )是g (x )的导函数,则g ′(3)=_____.解析:由题图可知曲线y =f (x )在x =3处切线的斜率等于-13,所以f ′(3)=-13,因为g (x )=xf (x ),所以g ′(x )=f (x )+xf ′(x ),所以g ′(3)=f (3)+3f ′(3),又由题图可知f (3)=1,所以g ′(3)=1+3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=0.答案:01.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′=αx α-1与指数函数的求导公式(a x)′=a xln a 混淆.2.求曲线切线时,要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.[小题纠偏]1.函数y =x cos x -sin x 的导数为________.解析:y ′=(x cos x )′-(sin x )′=x ′cos x +x (cos x )′-cos x =cos x -x sin x -cos x =-x sin x .答案:-x sin x2.已知直线y =-x +1是函数f (x )=-1a·e x图象的切线,则实数a =________.解析:设切点为(x 0,y 0),则f ′(x 0)=-1a·e 0x=-1,所以ex =a ,又-1a·e 0x=-x 0+1,所以x 0=2,a =e 2.答案:e 23.若存在过点(1,0)的直线与曲线y =x 3和y =ax 2+154x -9都相切,则a =________.解析:因为y =x 3,所以y ′=3x 2,设过(1,0)的直线与y =x 3相切于点(x 0,x 30),则在该点处的切线斜率为k =3x 20,所以切线方程为y -x 30=3x 20(x -x 0),即y =3x 20x -2x 30,又(1,0)在切线上,则x 0=0或x 0=32,当x 0=0时,由y =0与y =ax 2+154x -9相切,可得a =-2564,当x 0=32时,由y =274x -274与y =ax 2+154x -9相切,可得a =-1.答案:-1或-2564考点一 导数的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]求下列函数的导数. (1)f (x )=x 3+x ; (2)f (x )=sin x +x ; (3)f (x )=e x cos x ; (4)f (x )=x -1x-ln x . 解:(1)f ′(x )=(x 3+x )′=(x 3)′+(x )′=3x 2+1. (2)f ′(x )=cos x +1.(3)f ′(x )=e xcos x -e xsin x =e x(cos x -sin x ). (4)f ′(x )=1x 2-1x =1-xx2.[谨记通法]求函数导数的3种原则考点二 导数的几何意义题点多变型考点——多角探明[锁定考向]导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起,一般不单独考查,在填空题中会出现,有时也体现在解答题中,难度偏小.常见的命题角度有: (1)求切线方程; (2)求切点坐标;(3)求参数的值(范围).[题点全练]角度一:求切线方程1.(2019·泰州检测)若函数f (x )=2x 在点(a ,f (a ))处的切线与直线2x +y -4=0垂直,则该切线方程为________.解析:∵切线与直线2x +y -4=0垂直, ∴切线的斜率是12.∵f (x )=2x ,∴f ′(x )=x12-,∴f ′(a )=a12-=12. 解得a =4,则f (4)=4,故函数f (x )在点(4,4)处的切线方程为x -2y +4=0. 答案:x -2y +4=02.已知曲线y =x 与y =8x的交点为C ,两曲线在点C 处的切线分别为l 1,l 2,则切线l 1,l 2与y 轴所围成的三角形的面积为________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =8x,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =2,即C (4,2),由y =x ,得y ′=(x )′=12x ,则直线l 1的斜率k 1=14,∴l 1:y =14x +1.同理可得l 2:y =-12x +4,如图,易知S △ABC =12×3×4=6,即所求的面积为6.答案:6角度二:求切点坐标3.(2019·扬州模拟)曲线f (x )=x 3-x +3在点P 处的切线平行于直线y =2x -1,则P 点的坐标为________.解析:f ′(x )=3x 2-1,令f ′(x )=2,则3x 2-1=2,解得x =1或x =-1,所以P (1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y =2x -1上,符合题意.答案:(1,3)和(-1,3) 角度三:求参数的值(范围)4.(2018·常州高三期末)已知函数f (x )=bx +ln x ,其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y =f (x )相切,则k -b 的值为________.解析:设切点为(x 0,bx 0+ln x 0),f ′(x )=b +1x ,则k =b +1x 0,故切线方程为y -(bx 0+ln x 0)=⎝⎛⎭⎪⎫b +1x(x -x 0),将(0,0)代入,可得x 0=e ,则k =b +1e ,∴k -b =1e .答案:1e[通法在握]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0,y 0)求斜率k ,即求该点处的导数值,k =f ′(x 0). (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)=k .(3)求过某点M (x 1,y 1)的切线方程时,需设出切点A (x 0,f (x 0)),则切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0),再把点M (x 1,y 1)代入切线方程,求x 0.[演练冲关]1.曲线f (x )=2x -e x与y 轴的交点为P ,则曲线在点P 处的切线方程为________. 解析:曲线f (x )=2x -e x 与y 轴的交点为(0,-1). 且f ′(x )=2-e x,所以f ′(0)=1. 所以所求切线方程为y +1=x ,即x -y -1=0. 答案:x -y -1=02.(2018·南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线y =mx +1(m >0)在x=1处的切线为l ,则点(2,-1)到直线l 的距离的最大值为________.解析:把x =1代入y =m x +1,得y =m2, 则切线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,m 2.∵y ′=-m x +12,∴切线的斜率k =y ′|x =1=-m4.∴切线l 的方程为y -m 2=-m4(x -1),即mx +4y -3m =0.∴点(2,-1)到直线l 的距离d =|2m -4-3m |m 2+42=|-4-m |m 2+16=m +4m 2+16=m +42m 2+16=m 2+8m +16m 2+16=1+8mm 2+16= 1+8m +16m≤ 1+82m ·16m=2,当且仅当m =16m,即m =4时取“=”,故所求最大值为 2. 答案: 23.已知函数f (x )=x 3+(1-a )x 2-a (a +2)x +b (a ,b ∈R).(1)若函数f (x )的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a ,b 的值; (2)若曲线y =f (x )存在两条垂直于y 轴的切线,求a 的取值范围. 解:f ′(x )=3x 2+2(1-a )x -a (a +2).(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0=b =0,f ′0=-aa +2=-3,解得b =0,a =-3或a =1.(2)因为曲线y =f (x )存在两条垂直于y 轴的切线,所以关于x 的方程f ′(x )=3x 2+2(1-a )x -a (a +2)=0有两个不相等的实数根, 所以Δ=4(1-a )2+12a (a +2)>0, 即4a 2+4a +1>0,所以a ≠-12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞.一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2019·常州调研)函数f (x )=e x +x 2+sin x 的导函数f ′(x )=________. 答案:e x+2x +cos x2.(2018·镇江调研)函数f (x )=(x +1)2(x -1)在x =1处的导数等于________. 解析:由f (x )=(x +1)2(x -1)=x 3+x 2-x -1,得f ′(x )=3x 2+2x -1, 所以f ′(1)=3+2-1=4. 答案:43.(2018·苏州暑假测试)曲线y =e x在x =0处的切线方程为____________. 解析:因为y ′=e x,所以y =e x在x =0处的切线斜率k =e 0=1, 因此切线方程为y -1=1×(x -0),即x -y +1=0. 答案:x -y +1=04.已知函数f (x )=1x cos x ,则f (π)+f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=________.解析:因为f ′(x )=-1x 2cos x +1x(-sin x ),所以f (π)+f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=-1π+2π·(-1)=-3π. 答案:-3π5.(2019·苏州调研)已知函数f (x )=-x 3+ax 2+b (a ,b ∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1,则实数a 的取值范围是________.解析:∵f ′(x )=-3x 2+2ax =-3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 32+a23,当x =a 3时,f ′(x )取到最大值a 23.∴a 23<1,解得-3<a < 3. 答案:(-3,3)6.(2018·苏北四市调研)已知f (x )=x 3-2x 2+x +6,则f (x )在点P (-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________.解析:因为f (x )=x 3-2x 2+x +6,所以f ′(x )=3x 2-4x +1,所以f ′(-1)=8, 故切线方程为y -2=8(x +1),即8x -y +10=0, 令x =0,得y =10,令y =0,得x =-54,所以所求面积S =12×54×10=254.答案:254二保高考,全练题型做到高考达标1.设函数f (x )的导函数为f ′(x ),且f (x )=x 2+2xf ′(1),则f ′(2)=________. 解析:因为f (x )=x 2+2xf ′(1),所以f ′(x )=2x +2f ′(1),令x =1,得f ′(1)=2+2f ′(1),解得f ′(1)=-2,则f ′(x )=2x -4,所以f ′(2)=2×2-4=0.答案:02.已知f (x )=ax 4+b cos x +7x -2.若f ′(2 018)=6,则f ′(-2 018)=________. 解析:因为f ′(x )=4ax 3-b sin x +7. 所以f ′(-x )=4a (-x )3-b sin(-x )+7 =-4ax 3+b sin x +7. 所以f ′(x )+f ′(-x )=14. 又f ′(2 018)=6,所以f ′(-2 018)=14-6=8. 答案:83.(2019·淮安调研)曲线y =1-2x +2在点(-1,-1)处的切线方程为________. 解析:因为y =1-2x +2=x x +2, 所以y ′=x +2-x x +22=2x +22,y ′| x =-1=2,所以曲线在点(-1,-1)处的切线斜率为2, 所以所求切线方程为y +1=2(x +1),即y =2x +1. 答案:y =2x +14.(2018·无锡期末)在曲线y =x -1x(x >0)上一点P (x 0,y 0)处的切线分别与x 轴,y轴交于点A ,B ,O 是坐标原点,若△OAB 的面积为13,则x 0=________.解析:因为y ′=1+1x2,切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0,x 0-1x 0,x 0>0,所以切线斜率k =y ′|x =x 0=1+1x 20,所以切线方程是y -⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-1x 0=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x 20(x -x 0).令y =0,得x =2x 0x 20+1,即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0x 20+1,0; 令x =0,得y =-2x 0,即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-2x 0.所以S △OAB =12·2x 0x 20+1·2x 0=2x 20+1=13,解得x 0= 5.答案: 55.已知f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx +72(m <0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图象都相切,且与f (x )图象的切点为(1,f (1)),则m =________.解析:因为f ′(x )=1x,所以直线l 的斜率为k =f ′(1)=1, 又f (1)=0,所以切线l 的方程为y =x -1.g ′(x )=x +m ,设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0,y 0),则有x 0+m =1,y 0=x 0-1,y 0=12x 20+mx 0+72,m <0,解得m =-2. 答案:-26.(2018·淮安高三期中)已知函数f (x )=x 3.设曲线y =f (x )在点P (x 1,f (x 1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x 2,f (x 2)),记f ′(x )为函数f (x )的导函数,则f ′x 1f ′x 2的值为________.解析:由f ′(x )=3x 2,得f ′(x 1)=3x 21,所以曲线y =f (x )在点P (x 1,x 31)处的切线方程为y =3x 21x -2x 31,由⎩⎪⎨⎪⎧y =3x 21x -2x 31,y =x 3,解得Q(-2x 1,-8x 31),所以x 2=-2x 1,所以f ′x 1f ′x 2=3x 213x 22=14.答案:147.(2019·南通一调)已知两曲线f (x )=2sin x ,g (x )=a cos x ,x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直,则实数a 的值为________.解析:f ′(x )=2cos x ,g ′(x )=-a sin x .设点P 的横坐标为x 0,则f (x 0)=g (x 0),f ′(x 0)·g ′(x 0)=-1,即2sin x 0=a cos x 0,(2cos x 0)·(-a sin x 0)=-1,所以4sin 2x 0=1.即 sin x 0=±12,因为x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,所以sin x 0=12,cos x 0=32,所以a =233.答案:2338.曲边梯形由曲线y =x 2+1,y =0,x =1,x =2所围成,过曲线y =x 2+1(x ∈[1,2])上一点P 作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,则这一点的坐标为________.解析:设P (x 0,x 20+1),x 0∈[1,2],则易知曲线y =x 2+1在点P 处的切线方程为y -(x 2+1)=2x 0(x -x 0),所以y =2x 0(x -x 0)+x 20+1,设g (x )=2x 0(x -x 0)+x 20+1,则g (1)+g (2)=-2x 20+6x 0+2,所以S 普通梯形=g 1+g 22×1=-x 20+3x 0+1=-⎝⎛⎭⎪⎫x 0-322+134,所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,134时,S 普通梯形最大.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫32,1349.(2019·盐城中学月考)求下列函数的导数: (1)y =x 2(ln x +sin x ); (2)y =cos x -x x2; (3)y =x ln x .解:(1)y ′=2x (ln x +sin x )+x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x+cos x =2x ln x +2x sin x +x +x 2cos x .(2)y ′=-sin x -1x 2-cos x -x ·2xx 4=x -2cos x -x sin xx 3.(3)y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x ln x +x ·1x =2+ln x 2x .10.已知函数f (x )=x 3-4x 2+5x -4. (1)求曲线f (x )在点(2,f (2))处的切线方程;(2)求经过点A (2,-2)的曲线f (x )的切线方程.解:(1)因为f ′(x )=3x 2-8x +5,所以f ′(2)=1,又f (2)=-2,所以曲线在点(2,f (2))处的切线方程为y +2=x -2,即x -y -4=0.(2)设曲线与经过点A (2,-2)的切线相切于点P (x 0,x 30-4x 20+5x 0-4),因为f ′(x 0)=3x 20-8x 0+5,所以切线方程为y -(-2)=(3x 20-8x 0+5)(x -2),又切线过点P (x 0,x 30-4x 20+5x 0-4),所以x 30-4x 20+5x 0-2=(3x 20-8x 0+5)(x 0-2),整理得(x 0-2)2(x 0-1)=0,解得x 0=2或1,所以经过点A (2,-2)的曲线f (x )的切线方程为x -y -4=0或y +2=0.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.已知曲线f (x )=x 3+ax +14在x =0处的切线与曲线g (x )=-ln x 相切,则a 的值为________.解析:由f (x )=x 3+ax +14得, f ′(x )=3x 2+a ,f ′(0)=a ,f (0)=14,所以曲线y =f (x )在x =0处的切线方程为y -14=ax . 设直线y -14=ax 与曲线g (x )=-ln x 相切于点(x 0,-ln x 0), g ′(x )=-1x, 所以⎩⎪⎨⎪⎧ -ln x 0-14=ax 0, ①a =-1x 0. ②将②代入①得ln x 0=34, 所以x 0=e 34,所以a =-1e34=-e 34-. 答案:-e34-2.(2018·启东中学高三测试)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线l:y=kx+9,且f′(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在实数k,使直线l既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)由已知得f′(x)=3ax2+6x-6a,因为f′(-1)=0,所以3a-6-6a=0,解得a=-2.(2)存在,理由如下:由已知得,直线l恒过定点(0,9),若直线l是曲线y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3x20+6x0+12).因为g′(x0)=6x0+6,所以切线方程为y-(3x20+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将(0,9)代入切线方程,解得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由(1)知f′(x)=-6x2+6x+12,①由f′(x)=0,得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18;当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.②由f′(x)=12,得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.在x=0处,y=f(x)的切线方程为y=12x-11;在x=1处,y=f(x)的切线方程为y=12x-10.所以y=f(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.综上所述,y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时k=0.。
第三篇 导数及其应用第1讲 导数的概念及运算知 识 梳 理1.函数y =f (x )在x =x 0处的导数(1)定义:设函数y =f (x )在区间(a ,b )上有定义,x 0∈(a ,b ),当Δx 无限趋近于0时,比值Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ,则称f (x )在x =x 0处可导,并称常数A 为函数f (x )在点x =x 0处的导数,记作f ′(x 0).可表示为“当Δx →0时,f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx→A ”.(2)几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y =f (x )上点(x 0,f (x 0))的切线的斜率. 2.函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ,b )内任一点都可导,则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化,因而也是自变量x 的函数.该函数称为f (x )的导函数,记作f ′(x ). 3.基本初等函数的导数公式若f ′(x ),g ′(x )存在,则有 (1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数若y =f (u ),u =ax +b ,则y x ′=y u ′·u x ′,即y x ′=y u ′·a .辨 析 感 悟1.对导数概念的理解(1)f ′(x 0)是函数y =f (x )在x =x 0附近的平均变化率.(×) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.(×) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x =x 0处的函数值.(√) 2.导数的几何意义与物理意义(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(√)(5)物体的运动方程是s=-4t2+16t,在某一时刻的速度为0,则相应时刻t=0.(×)(6)(2012·广东卷改编)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为2x-y+1=0.(√) 3.导数的计算(7)若f(x)=a3+2ax-x2,则f′(x)=3a2+2x.(×)(8)(教材习题改编)函数y=x cos x-sin x的导函数是y′=-x sin x.(√)(9)[f(ax+b)]′=f′(ax+b).(×)[感悟·提升]1.“过某点”与“在某点”的区别曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,如(6)中点(1,3)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.2.导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点,如(4).三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式.由外向内逐层求导,其导数为两层导数之积,如(9).学生用书第37页考点一 导数的计算【例1】 分别求下列函数的导数:(1)y =e x ·cos x ; (2)y =x -sin x 2cos x2; (3)y =ln (2x +1)x. 解 (1)y ′=(e x )′cos x +e x (cos x )′=e x cos x -e x sin x . (2)∵y =x -sin x 2cos x 2=x -12sin x , ∴y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12sin x ′=1-12cos x .(3)y ′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x +1)x ′=[ln (2x +1)]′x -x ′ln (2x +1)x 2=(2x +1)′2x +1·x -ln (2x +1)x 2=2x2x +1-ln (2x +1)x 2=2x -(2x +1)ln (2x +1)(2x +1)x 2.规律方法 (1)本题在解答过程中常见的错误有:①商的求导中,符号判定错误;②不能正确运用求导公式和求导法则,在第(3)小题中,忘记对内层函数2x +1进行求导.(2)求函数的导数应注意:①求导之前利用代数或三角变换先进行化简,减少运算量; ②根式形式,先化为分数指数幂,再求导.③复合函数求导先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元处理. 【训练1】 (1)(2013·江西卷改编)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x +e x ,则f ′(1)=________.(2)若f (x )=3-x +e 2x ,则f ′(x )=________. 解析 (1)令e x =t ,则x =ln t , ∴f (t )=ln t +t ,即f (x )=ln x +x .因此f ′(x )=(ln x +x )′=1x +1,于是f ′(1)=1+1=2. (2)f ′(x )=12(3-x )-12(3-x )′+e 2x (2x )′ =-12(3-x )-12+2e 2x .考点二 导数的几何意义【例2】 (1)(2013·广东卷)若曲线y =kx +ln x 在点(1,k )处的切线平行于x 轴,则k =________.(2)设f (x )=x ln x +1,若f ′(x 0)=2,则f (x )在点(x 0,y 0)处的切线方程为____________________.解析 (1)函数y =kx +ln x 的导函数y ′=k +1x , 由导数y ′|x =1=0,得k +1=0,则k =-1. (2)因为f (x )=x ln x +1, 所以f ′(x )=ln x +x ·1x =ln x +1. 因为f ′(x 0)=2,所以ln x 0+1=2,解得x 0=e ,所以y 0=e +1.由点斜式得,f (x )在点(e ,e +1)处的切线方程为y -(e +1)=2(x -e),即2x -y -e +1=0.答案 (1)-1 (2)2x -y -e +1=0规律方法 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y =f (x )在点P (x 0,y 0)处的切线的斜率.第(1)题要能从“切线平行于x 轴”提炼出切线的斜率为0,进而构建方程,这是求解的关键,考查了分析问题和解决问题的能力.(2)在求切线方程时,应先判断已知点Q (a ,b )是否为切点,若已知点Q (a ,b )不是切点,则应求出切点的坐标,利用切点坐标求出切线斜率,进而用切点坐标表示出切线方程.【训练2】 (1)(2012·新课标全国卷)曲线y =x (3ln x +1)在点(1,1)处的切线方程为____________________.(2)若函数f (x )=e x cos x ,则此函数图象在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为________(锐角、直角、钝角).解析 (1)∵y =x (3ln x +1),∴y ′=3ln x +1+x ·3x =3ln x +4,∴k =y ′|x =1=4,∴所求切线的方程为y -1=4(x -1),即4x -y -3=0. (2)f ′(x )=e x cos x -e x sin x =e x (cos x -sin x ), ∴f ′(1)=e(cos 1-sin 1).∵π2>1>π4.而由正余弦函数性质可得cos 1<sin 1. ∴f ′(1)<0,即f (x )在(1,f (1))处的切线的斜率k <0, ∴切线的倾斜角是钝角. 答案 (1)4x -y -3=0 (2)钝角考点三 导数运算与导数几何意义的应用【例3】 (2013·北京卷)设l 为曲线C :y =ln xx 在点(1,0)处的切线. (1)求l 的方程;(2)试证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线l 的下方. 审题路线 (1)求f ′(1)――→导数几何意义点斜式求直线l 的方程(2)构建g (x )=x -1-f (x )――→转化g (x )>0对x >0且x ≠1恒成立――→运用导数研究函数y =g (x )的性质―→获得结论解 (1)设f (x )=ln xx ,则f ′(x )=1-ln x x 2. ∴f ′(1)=1-ln 11=1,即切线l 的斜率k =1.由l 过点(1,0),得l 的方程为y =x -1.(2)令g (x )=x -1-f (x ),则除切点之外,曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )>0(∀x >0,x ≠1).g (x )满足g (1)=0,且g ′(x )=1-f ′(x )=x 2-1+ln x x 2.当0<x <1时,x 2-1<0,ln x <0, ∴g ′(x )<0,故g (x )在(0,1)上单调递减;当x >1时,x 2-1>0,ln x >0,g ′(x )>0,g (x )单调递增. 所以,g (x )>g (1)=0(∀x >0,x ≠1). 所以除切点之外,曲线C 在直线l 的下方.规律方法 (1)准确求切线l 的方程是本题求解的关键;第(2)题将曲线与切线l 的位置关系转化为函数g (x )=x -1-f (x )在区间(0,+∞)上大于0恒成立的问题,进而运用导数研究,体现了函数思想与转化思想的应用.(2)当曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时,切线方程为x =x 0;当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解.学生用书第38页【训练3】 (2014·济南质检)设函数f (x )=a e x +1a e x +b (0<a <1). (1)求f (x )在[0,+∞)内的最小值;(2)设曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y =32x ,求a 和b 的值.解 (1)f ′(x )=a e x-1a e x =(a e x -1)(a e x +1)a e x.令f ′(x )=0,得x =ln 1a >0. 当0≤x <ln 1a 时,f ′(x )<0; 当x >ln 1a ,f ′(x )>0.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,ln 1a 上递减,在⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 1a ,+∞上递增.从而f (x )在[0,+∞)上的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a =2+b .(2)∵y =f (x )在点(2,f (2))处的切线为y =32x , ∴f (2)=3,且f ′(2)=32, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a e 2+1a e 2+b =3a e 2-1a e 2=32①②解之得b =12且a =2e 2.1.理解导数的概念时,要注意f ′(x 0),(f (x 0))′与f ′(x )的区别:f ′(x )是函数y =f (x )的导函数,f ′(x 0)是f (x )在x =x 0处的导数值,是常量但不一定为0,(f (x 0))′是常数一定为0,即(f (x 0))′=0.2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.3.求曲线的切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别.易错辨析3——求曲线切线方程考虑不周【典例】(2014·杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y =x2+a都相切,则a的值是________.[错解]∵点O(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上,∴直线l 与曲线y =f (x )相切于点O . 则k =f ′(0)=2,直线l 的方程为y =2x . 又直线l 与曲线y =x 2+a 相切, ∴x 2+a -2x =0满足Δ=4-4a =0,a =1. [答案] 1[错因] (1)片面理解“过点O (0,0)的直线与曲线f (x )=x 3-3x 2+2x 相切”.这里有两种可能:一是点O 是切点;二是点O 不是切点,但曲线经过点O ,解析中忽视后面情况.(2)本题还易出现以下错误:一是当点O (0,0)不是切点,无法与导数的几何意义沟通起来;二是盲目设直线l 的方程,导致解题复杂化,求解受阻. [正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )=x 3-3x 2+2x 上, (1)当O (0,0)是切点时,同上面解法.(2)当O (0,0)不是切点时,设切点为P (x 0,y 0),则y 0=x 30-3x 20+2x 0,且k =f ′(x 0)=3x 20-6x 0+2.又k =y 0x 0=x 20-3x 0+2,由①,②联立,得x 0=32(x 0=0舍),所以k =-14, ∴所求切线l 的方程为y =-14x .由⎩⎨⎧y =-14x ,y =x 2+a ,得x 2+14x +a =0.依题意,Δ=116-4a =0,∴a =164. 综上,a =1或a =164.[答案] a =1或164[防范措施] (1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键,分清过点P 的切线与在点P 处的切线的差异.(2)熟练掌握基本初等函数的导数,导数的运算法则,正确进行求导运算. 【自主体验】函数y =ln x (x >0)的图象与直线y =12x +a 相切,则a 等于________.解析 设切点为(x 0,y 0),且y ′=1x ,∴y ′|x =x 0=1x 0=12,则x 0=2,y 0=ln 2.又点(2,ln 2)在直线y =12x +a 上, ∴ln 2=12×2+a ,∴a =ln 2-1. 答案 ln 2-1 对应学生用书P255基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1.若函数f (x )=ax 4+bx 2+c 满足f ′(1)=2,则f ′(-1)等于________. 解析 f ′(x )=4ax 3+2bx ,∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)=2,∴f ′(-1)=-2. 答案 -2 2.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=________.解析如图可知,f(5)=3,f′(5)=-1,因此f(5)+f′(5)=2.答案 23.(2014·济南质检)设曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=________.解析∵y′=x-1-(x+1)(x-1)2=-2(x-1)2,∴y′|x=3=-2(3-1)2=-12,∴-a=2,即a=-2.答案-24.已知曲线y=14x2-3ln x的一条切线的斜率为-12,则切点横坐标为________.解析设切点坐标为(x0,y0),∵y′=12x-3x,∴y′|x=x0=12x0-3x0=-12,即x20+x0-6=0,解得x0=2或-3(舍).答案 25.(2014·湛江调研)曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为________.解析y′|x=0=(-2e-2x)|x=0=-2,故曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程为y=-2x +2,易得切线与直线y =0和y =x 的交点分别为(1,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫23,23,故围成的三角形的面积为12×1×23=13. 答案 136.已知函数f (x )=f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x +sin x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________.解析 ∵f ′(x )=-f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x +cos x ,∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=-f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4+cos π4,∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=2-1,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=(2-1)cos π4+sin π4=1.答案 17.(2013·南通一调)曲线f (x )=f ′(1)e e x -f (0)x +12x 2在点(1,f (1))处的切线方程为________. 解析 f ′(x )=f ′(1)e e x -f (0)+x ⇒f ′(1)=f ′(1)e e 1-f (0)+1⇒f (0)=1.在函数f (x )=f ′(1)e e x -f (0)x +12x 2中,令x =0,则得f ′(1)=e.所以f (1)=e -12,所以f (x )在(1,f (1))处的切线方程为y =e(x -1)+f (1)=e x -12,即y =e x -12. 答案 y =e x -128.若以曲线y =13x 3+bx 2+4x +c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数,则实数b 的取值范围是________.解析 y ′=x 2+2bx +4,∵y ′≥0恒成立,∴Δ=4b 2-16≤0,∴-2≤b ≤2. 答案 [-2,2] 二、解答题9.已知函数f (x )=x 3+(1-a )x 2-a (a +2)x +b (a ,b ∈R ).(1)若函数f (x )的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a ,b 的值; (2)若曲线y =f (x )存在两条垂直于y 轴的切线,求a 的取值范围. 解 f ′(x )=3x 2+2(1-a )x -a (a +2).(1)由题意得⎩⎨⎧f (0)=b =0,f ′(0)=-a (a +2)=-3,解得b =0,a =-3或1.(2)∵曲线y =f (x )存在两条垂直于y 轴的切线,∴关于x 的方程f ′(x )=3x 2+2(1-a )x -a (a +2)=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=4(1-a )2+12a (a +2)>0,即4a 2+4a +1>0, ∴a ≠-12.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞.10.已知函数f (x )=x 3-ax 2+10.(1)当a =1时,求曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程;(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x ,使得f (x )<0成立,求实数a 的取值范围. 解 (1)当a =1时,f ′(x )=3x 2-2x ,f (2)=14, 曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线斜率k =f ′(2)=8,∴曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y -14=8(x -2),即8x -y -2=0. (2)由已知得a >x 3+10x 2=x +10x 2,设g (x )=x +10x 2(1≤x ≤2),g ′(x )=1-20x 3, ∵1≤x ≤2,∴g ′(x )<0, ∴g (x )在[1,2]上是减函数. g (x )min =g (2)=92,∴a >92, 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫92,+∞.能力提升题组 (建议用时:25分钟)一、填空题1.(2014·北京西城质检)已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为________.解析依题意,得P(4,8),Q(-2,2).由y=x22,得y′=x.∴在点P处的切线方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8.①在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.②联立①,②得点A(1,-4).答案-42.已知f(x)=log a x(a>1)的导函数是f′(x),记A=f′(a),B=f(a+1)-f(a),C=f′(a +1),则A、B、C的大小关系为________.解析记M(a,f(a)),N(a+1,f(a+1)),则由于B=f(a+1)-f(a)=f(a+1)-f(a) (a+1)-a,表示直线MN的斜率,A=f′(a)表示函数f(x)=log a x在点M处的切线斜率;C=f′(a +1)表示函数f(x)=log a x在点N处的切线斜率.由图象得,A>B>C.答案A>B>C3.(2014·武汉中学月考)已知曲线f(x)=x n+1(n∈N*)与直线x=1交于点P,设曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n,则log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012的值为________.解析f′(x)=(n+1)x n,k=f′(1)=n+1,点P(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=1-1n+1=nn+1,即x n=nn+1,∴x1·x2·…·x2 012=12×23×34×…×2 0112 012×2 0122 013=12 013,则log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012=log2 013(x1x2…x2 012)=-1. 答案-1二、解答题4.(2013·福建卷改编)已知函数f(x)=x-a ln x(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)当实数a>0时,求函数f(x)的极值.解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-a x.(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-2x(x>0),因而f(1)=1,f′(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f′(x)=1-ax=x-ax,x>0.令f′(x)=0,得x=a>0.当x∈(0,a)时,f′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-a ln a,无极大值.学生用书第39页知识梳理1.函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间(a,b)内可导,(1)如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单凋递增;(2)如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x);②求方程f′(x)=0的根;③检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.3.函数的最值与导数设函数f(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:①求f(x)在(a,b)内的极值;②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.辨析感悟1.对函数的单调性与导数关系的理解(1)若函数f(x)在(a,b)内恒有f′(x)>0,那么f(x)在(a,b)上单调递增;反之若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>0.(×)(2)函数在其定义域内的离散的点处导数为0不影响函数的单调性.(√)(3)(2012·辽宁卷改编)函数y=12x2-ln x的单调减区间为(-1,1).(×)2.对函数极值、最值概念的理解(4)导数为0的点一定是极值点.(×)(5)函数f(x)=x-1x有极值.(×)(6)(教材习题改编)函数f(x)=13x3-4x+4在(0,3)上的最大值为4,最小值为-43.(×)[感悟·提升]1.一点提醒函数最值是“整体”概念,而函数极值是个“局部”概念,极大值与极小值没有必然的大小关系.2.两个条件一是f′(x)>0在(a,b)上成立,是f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件,如(1).二是对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件,如(4).3.三点注意一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则.二是函数的极值一定不会在定义域区间的端点处取到.三是求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时分类讨论,不可想当然认为极值就是最值.考点一利用导数研究函数的单调性【例1】 (2013·广东卷改编)设函数f (x )=(x -1)e x -kx 2. (1)当k =1时,求函数f (x )的单调区间;(2)若f (x )在x ∈[0,+∞)上是增函数,求实数k 的取值范围. 解 (1)当k =1时,f (x )=(x -1)e x -x 2, ∴f ′(x )=e x +(x -1)e x -2x =x (e x -2). 令f ′(x )>0,即x (e x -2)>0,∴x >ln 2或x <0. 令f ′(x )<0,即x (e x -2)<0,∴0<x <ln 2. 因此函数f (x )的递减区间是(0,ln 2); 递增区间是(-∞,0)和(ln 2,+∞). (2)易知f ′(x )=e x +(x -1)e x -2kx =x (e x -2k ). ∵f (x )在x ∈[0,+∞)上是增函数,∴当x ≥0时,f ′(x )=x (e x -2k )≥0恒成立. ∴e x -2k ≥0,即2k ≤e x 恒成立. 由于e x≥1,∴2k ≤1,则k ≤12.又当k =12时,f ′(x )=x (e x -1)≥0当且仅当x =0时取等号. 因此,实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12.学生用书第40页规律方法 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.而解答本题(2)问时,关键是分离参数k ,把所求问题转化为求函数的最小值问题. (2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到. 【训练1】 已知函数f (x )=x 3-ax 2-3x .(1)若f (x )在[1,+∞)上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)若x =3是f (x )的极值点,求f (x )的单调区间. 解 (1)对f (x )求导,得f ′(x )=3x 2-2ax -3. 由f ′(x )≥0,得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x .记t (x )=32⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x ,则t ′(x )=32⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x 2,所以当x ≥1时,t (x )是增函数, ∴t (x )min =32(1-1)=0.∴a ≤0. 故实数a 的取值范围是(-∞,0].(2)由题意,得f ′(3)=0,即27-6a -3=0,∴a =4. ∴f (x )=x 3-4x 2-3x ,f ′(x )=3x 2-8x -3. 令f ′(x )=0,得x =-13或3.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:x ⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-13 -13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,3 3 (3,+∞)f ′(x ) +0 -0 +∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-13,[3,+∞);f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-13,3.考点二 利用导数研究函数的极值【例2】 设f (x )=a ln x +12x +32x +1,其中a ∈R ,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于y 轴. (1)求a 的值; (2)求函数f (x )的极值.审题路线 (1)由f ′(1)=0⇒求a 的值.(2)确定函数定义域⇒对f (x )求导,并求f ′(x )=0⇒判断根左,右f ′(x )的符号⇒确定极值.解 (1)由f (x )=a ln x +12x +32x +1, ∴f ′(x )=a x -12x 2+32.由于曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于y 轴,∴该切线斜率为0,即f ′(1)=0. 从而a -12+32=0,∴a =-1.(2)由(1)知,f (x )=-ln x +12x +32x +1(x >0), ∴f ′(x )=-1x -12x 2+32=(3x +1)(x -1)2x 2.令f ′(x )=0,解得x =1或-13(舍去).当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0. ∴f (x )在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数. 故f (x )在x =1处取得极小值f (1)=3,f (x )无极大值.规律方法 (1)可导函数y =f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)=0,且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同.(2)若f (x )在(a ,b )内有极值,那么f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.【训练2】 已知a ,b 是实数,1和-1是函数f (x )=x 3+ax 2+bx 的两个极值点. (1)求a 和b 的值;(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )=f (x )+2,求g (x )的极值点. 解 (1)f ′(x )=3x 2+2ax +b .又1和-1是函数f (x )的两个极值点, ∴⎩⎨⎧f ′(1)=3+2a +b =0,f ′(-1)=3-2a +b =0. 解得,a =0,b =-3.(2)由(1)知,f (x )=x 3-3x ,g ′(x )=x 3-3x +2. 由g ′(x )=0,得(x -1)2(x +2)=0, ∴g ′(x )=0的根为x =-2或1.当x <-2时,g ′(x )<0;当-2<x <1时,g ′(x )>0. ∴x =-2是函数g (x )的极小值点.当-2<x <1或x >1时,g ′(x )>0,故1不是g (x )的极值点.所以g (x )的极小值点为-2,无极大值点.考点三 利用导数求函数的最值【例3】 (2012·重庆卷)已知函数f (x )=ax 3+bx +c 在x =2处取得极值为c -16. (1)求a ,b 的值;(2)若f (x )有极大值28,求f (x )在[-3,3]上的最小值. 审题路线 (1)⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)=0,f (2)=c -16⇒a ,b 的值;(2)求导确定函数的极大值⇒求得c 值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值. 解 (1)因f (x )=ax 3+bx +c ,故f ′(x )=3ax 2+b , 由于f (x )在点x =2处取得极值c -16, 故有⎩⎨⎧ f ′(2)=0,f (2)=c -16,即⎩⎨⎧12a +b =0,8a +2b +c =c -16.化简得⎩⎨⎧ 12a +b =0,4a +b =-8,解得⎩⎨⎧a =1,b =-12. (2)由(1)知f (x )=x 3-12x +c ,f ′(x )=3x 2-12. 令f ′(x )=0,得x =-2或2.当x 变化时,f (x ),f ′(x )的变化情况如下表:x -3 (-3,-2) -2(-2,2)2 (2,3)3 f ′(x ) +0 - 0 +f (x )9+c极大值极小值-9+c=c -16.由题设条件知,16+c =28,解得c =12,此时f (-3)=9+c =21,f (3)=-9+c =3,f (2)=c -16=-4,因此f (x )在[-3,3]上的最小值为f (2)=-4.规律方法 在解决类似的问题时,首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时,要先求函数y =f (x )在[a ,b ]内所有使f ′(x )=0的点,再计算函数y=f (x )在区间内所有使f ′(x )=0的点和区间端点处的函数值,最后比较即得.学生用书第41页【训练3】 点处的切线斜率为2. (1)求a ,b 的值;(2)令g (x )=f (x )-2x +2,求g (x )在定义域上的最值. 解 (1)f ′(x )=1+2ax +bx (x >0),又f (x )过点P (1,0),且在点P 处的切线斜率为2, ∴⎩⎨⎧ f (1)=0,f ′(1)=2,即⎩⎨⎧1+a =0,1+2a +b =2.解得a =-1,b =3. (2)由(1)知,f (x )=x -x 2+3ln x ,其定义域为(0,+∞), ∴g (x )=2-x -x 2+3ln x ,x >0, 则g ′(x )=-1-2x +3x =-(x -1)(2x +3)x .当0<x <1时,g ′(x )>0;当x >1时,g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减. ∴g (x )的最大值为g (1)=0,g (x )没有最小值.1.注意单调函数的充要条件,尤其对于已知单调性求参数值(范围)时,隐含恒成立思想.2.求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全,区分极值点与导数为0的点;含参数时,要讨论参数的大小.3.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论.一个函数在其定义域内最值是唯一的,可以在区间的端点取得.创新突破3——导数在创新定义与不等式中的应用【典例】(2013·安徽卷)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}.(1)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);❶(2)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值.❷突破:由❶理解区间长度的意义,转化为求不等式f(x)>0的解集.由❷求I的长度最小值,即求以a为自变量的区间长度d(a)=a,a∈[1-k,1+1+a2k]构成的函数的最小值,利用导数求解.解 (1)因为方程ax -(1+a 2)x 2=0(a >0)有两个实根x 1=0,x 2=a1+a 2,故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}.因此区间I =⎝ ⎛⎭⎪⎫0,a 1+a 2,区间I 的长度为a1+a 2. (2)设d (a )=a 1+a 2,则d ′(a )=1-a 2(1+a 2)2(a >0).令d ′(a )=0,得a =1.由于0<k <1,故当1-k ≤a <1时,(1-k )2≤a 2<1,d ′(a )>0,d (a )单调递增; 当1<a ≤1+k 时,a 2>1,d ′(a )<0,d (a )单调递减.所以当1-k ≤a ≤1+k 时,d (a )的最小值必定在a =1-k 或a =1+k 处取得.而d (1-k )d (1+k )=1-k1+(1-k )21+k1+(1+k )2=2-k 2-k 32-k 2+k 3<1, 故d (1-k )<d (1+k ).因此当a =1-k 时,d (a )在区间[1-k,1+k ]上取得最小值1-k2-2k +k2. [反思感悟] (1)本题以不等式的解集构成的区间长度为命题背景,将导数求最值和含参数的不等式解法交汇,命题情境创新.(2)解法创新,从不等式出发,构造函数利用导数判断函数的单调性,根据单调性确定最值d (1-k )与d (1+k ),并借助不等式性质比较二者的关系,体现了转化与化归的思想. 【自主体验】 已知函数f (x )=x 2e -x . (1)求f (x )的极小值和极大值;(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.解易知f(x)的定义域R,且f′(x)=-x(x-2)e x.①令f′(x)=0,得x=0或2.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:x (-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)04e-2-2(2)设切点为(t,f(t)),则l的方程为y=f′(t)(x-t)+f(t).所以l在x轴上的截距为m(t)=t-f(t)f′(t)=t+tt-2=t-2+2t-2+3.由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).令h(x)=x+2x(x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围是[22,+∞);当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[22+3,+∞).综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[22+3,+∞).对应学生用书P257基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如右图所示,则该函数的图象是________.(填序号)解析由y=f′(x)的图象知,y=f(x)的图象为增函数,且在区间(-1,0)上增长速度越来越快,而在区间(0,1)上增长速度越来越慢.答案②2.(2014·青岛模拟)函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是________.解析f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0,得x=0或2.∴f(x)在[-1,0)上是增函数,f(x)在(0,1]上是减函数.∴f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2.答案 23.(2014·苏州模拟)函数y=x e x的最小值是________.解析y′=e x+x e x=(1+x)e x,令y′=0,则x=-1,因为x<-1时,y′<0,x>-1时,y′>0,所以x=-1时,y min=-1 e.答案-1 e4.(2013·威海期末考试)函数y=ln x-x2的极值点为________.解析函数的定义域为(0,+∞),函数的导数为y′=1x-2x=1-2x2x,令y′=1-2x2x =0,解得x=22,当x>22时,y′<0,当0<x<22时,y′>0,所以当x=22时,函数取得极大值,故函数的极值点为22.答案2 25.(2013·福建卷改编)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是________(填序号).①∀x∈R,f(x)≤f(x0)②-x0是f(-x)的极小值点③-x0是-f(x)的极小值点④-x0是-f(-x)的极小值点解析①错,因为极大值未必是最大值;②错,因为函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称,-x0应是f(-x)的极大值点;③错,函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称,x0应为-f(x)的极小值点;④正确,函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,-x0应为y=-f(-x)的极小值点.答案④6.若函数f(x)=x2+ax+1在x=1处取极值,则a=________.解析由f′(x)=2x(x+1)-(x2+a)(x+1)2=x2+2x-a(x+1)2=0,∴x2+2x-a=0,x≠-1,又f(x)在x=1处取极值,∴x=1是x2+2x-a=0的根,∴a=3.答案 37.函数f(x)=xln x的单调递减区间是________.解析f′(x)=ln x-1ln2x,令f′(x)<0得ln x-1<0,且ln x≠0.∴0<x<1或1<x<e,故函数的单调递减区间是(0,1)和(1,e).答案(0,1),(1,e)8.已知函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是________.解析 由题意知f ′(x )=-x +4-3x =-(x -1)(x -3)x ,由f ′(x )=0得函数f (x )的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t ,t +1)内,函数f (x )在区间[t ,t +1]上就不单调,由t <1<t +1或t <3<t +1,得0<t <1或2<t <3. 答案 (0,1)∪(2,3) 二、解答题9.(2014·郑州质检)已知函数f (x )=ax 2+b ln x 在x =1处有极值12. (1)求a ,b 的值;(2)判断函数y =f (x )的单调性并求出单调区间. 解 (1)f ′(x )=2ax +b x ,又f (x )在x =1处有极值12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)=12,f ′(1)=0,即⎩⎪⎨⎪⎧a =12,2a +b =0.解得a =12,b =-1.(2)由(1)可知f (x )=12x 2-ln x ,其定义域是(0,+∞),且f ′(x )=x -1x =(x +1)(x -1)x .令f ′(x )=0,解得x =1或-1(舍去). 当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以函数y =f (x )10.(2013·重庆卷)设f (x )=a (x -5)2+6ln x ,其中a ∈R ,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6). (1)确定a 的值;(2)求函数f (x )的单调区间与极值. 解 (1)因为f (x )=a (x -5)2+6ln x , 所以f ′(x )=2a (x -5)+6x .令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=1 2.(2)由(1)知,f(x)=12(x-5)2+6ln x(x>0),f′(x)=x-5+6x=(x-2)(x-3)x.令f′(x)=0,解得x=2或3.当0<x<2或x>3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2<x<3时,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数.由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=92+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.能力提升题组(建议用时:25分钟)一、填空题1.(2014·杭州质检)函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=f(x)x在区间(1,+∞)上一定________(填序号).①有最小值②有最大值③是减函数④是增函数解析由函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,可得a<1,又g(x)=f(x) x =x+ax-2a,则g′(x)=1-ax2,易知在x∈(1,+∞)上g′(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上为增函数.答案④2.(2013·湖北卷改编)已知a为常数,函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2),则下列结论正确的是________(填序号).①f (x 1)>0,f (x 2)>-12 ②f (x 1)<0,f (x 2)<-12 ③f (x 1)>0,f (x 2)<-12 ④f (x 1)<0,f (x 2)>-12解析 f ′(x )=ln x +1-2ax (x >0),依题意ln x +1-2ax =0有两个正实数根x 1,x 2(x 1<x 2).设g (x )=ln x +1-2ax ;则g ′(x )=1x -2a ,显然当a ≤0时不合题意,必有a >0.令g ′(x )=0,得x =12a ,于是g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12a 上是增函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ,+∞上是减函数,所以g (x )在x =12a 处取得极大值,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12a =ln 12a >0,即12a >1,0<a<12,且应有x 1<12a <x 2.于是f (x 1)=x 1ln x 1-ax 21=x 1(2ax 1-1)-ax 21=ax 21-x 1=x 1(ax 1-1)<0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ,x 2时f ′(x )>0,x ∈(x 2,+∞)时f ′(x )<0,所以x 2是f (x )的极大值点,所以f (x 2)>f (1)=-a >-12. 答案 ④3.设直线x =t ,与函数f (x )=x 2,g (x )=ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN |达到最小时t 的值为________. 解析 当x =t 时,f (t )=t 2,g (t )=ln t , ∴y =|MN |=t 2-ln t (t >0).∴y ′=2t -1t =2t 2-1t =2⎝⎛⎭⎪⎫t +22⎝ ⎛⎭⎪⎫t -22t.当0<t <22时,y ′<0;当t >22时,y ′>0. ∴y =|MN |=t 2-ln t 在t =22时有最小值. 答案 22 二、解答题4.(2014·兰州模拟)已知函数f (x )=-x 2+ax -ln x (a ∈R ). (1)当a =3时,求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的最大值和最小值;(2)当函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2上单调时,求a 的取值范围.解 (1)a =3时,f ′(x )=-2x +3-1x =-2x 2-3x +1x =-(2x -1)(x -1)x ,令f ′(x )=0,解得x =12或1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(1,+∞)时,f ′(x )<0,故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12和(1,+∞)上单调递减;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1时,f ′(x )>0,故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1上单调递增, 所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2上仅有极大值点x =1,故这个极大值点也是最大值点,故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的最大值是f (1)=2.又f (2)-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=(2-ln 2)-⎝ ⎛⎭⎪⎫54+ln 2=34-2ln 2<0,故f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,故函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的最小值为f (2)=2-ln 2.(2)f ′(x )=-2x +a -1x ,令g (x )=2x +1x ,则g ′(x )=2-1x 2,则函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12,22上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫22,2上单调递增,由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=3,g (2)=92,g ⎝ ⎛⎭⎪⎫22=22,故函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,92. 若要f ′(x )≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2上恒成立,即a ≤2x +1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2恒成立,只要a ≤22;若要f ′(x )≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2上恒成立,即a ≥2x +1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2上恒成立,只要a ≥ 92,即a 的取值范围是(-∞,2 2 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫92,+∞.学生用书第42页知 识 梳 理1.生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题,一般地,对于实际问题,若函数在给定的定义域内只有一个极值点,那么该点也是最值点. 2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3.导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式;反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等,又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题,利用导数进行研究.辨 析 感 悟1.函数最值与不等式(方程)的关系(1)(教材习题改编)对任意x >0,ax 2+(3a -1)x +a ≥0恒成立的充要条件是a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫15,+∞.(2)(2011·辽宁卷改编)已知函数f (x )=e x -2x +a 有零点,则a 的取值范围是(-∞,2ln 2-2].(√)2.关于实际应用问题(3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定. (4)若实际问题中函数定义域是开区间,则不存在最优解.(×)(5)(2014·贵阳调研改编)已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为y =-13x 3+81x -234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.(√) [感悟·提升]1.两个转化 一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理,如(2). 2.两点注意 一是注意实际问题中函数定义域,由实际问题的意义和解析式共同确定,如(3).二是在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值,如(4).若在开区间内有极值,则一定有最优解.考点一导数在方程(函数零点)中的应用【例1】(2013·北京卷)已知函数f(x)=x2+x sin x+cos x.(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.审题路线(1)由导数的几何意义,知f′(a)=0且f(a)=b,解方程得a,b的值.(2)两曲线的交点问题,转化为方程x2+x sin x+cos x-b=0.通过判定零点个数来求解.解由f(x)=x2+x sin x+cos x,得f′(x)=2x+sin x+x(sin x)′-sin x=x(2+cos x).(1)因为曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,所以f′(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).解得a=0,b=f(0)=1.(2)设g(x)=f(x)-b=x2+x sin x+cos x-b.令g′(x)=f′(x)-0=x(2+cos x)=0,得x=0.当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:所以函数g(x)g(x)的最小值为g(0)=1-b.①当1-b≥0时,即b≤1时,g(x)=0至多有一个实根,曲线y=f(x)与y=b最多有一个交点,不合题意.②当1-b<0时,即b>1时,有g(0)=1-b<0,g(2b)=4b2+2b sin 2b+cos 2b-b>4b-2b-1-b>0.∴y=g(x)在(0,2b)内存在零点,又y=g(x)在R上是偶函数,且g(x)在(0,+∞)上单调递增,∴y=g(x)在(0,+∞)上有唯一零点,在(-∞,0)也有唯一零点.故当b>1时,y=g(x)在R上有两个零点,则曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点.综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,+∞).规律方法(1)在解答本题(2)问时,可转化为判定f(x)=b有两个实根时实数b应满足的条件,并注意g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用.另外还可作出函数y =f(x)的大致图象,直观判定曲线交点个数,但应注意严谨性,进行必要的论证.(2)该类问题的求解,一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质,并借助函数图象,根据零点或图象的交点情况,建立含参数的方程(或不等式)组求解,实现形与数的和谐统一.学生用书第43页【训练1】(2012·天津卷节选)已知函数f(x)=13x3+1-a2x2-ax-a,x∈R,其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围.解(1)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f′(x)=0,得x=-1或a(a>0).当x变化时f′(x)与f(x)的变化情况如下表:。