就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界

第二讲式的恒等变形常用的技巧
一、定义
恒等变形(Identity Transformation)，即恒等转换，是数学中用来把一个等式变成另一个等式，保持等式的真值不变的变形方法，是一种常见的数学技术，被广泛用于研究不等式和方程的性质。

二、作用
恒等变形可以帮助人们更快地理解某一关系，从而推导出证明结果，它可以帮助学生更深入地掌握算法，提高学习效率，发展思维能力。

三、常用技巧
1. 左右交换法
左右交换法是把等式中的等号之外的式子分成两边，然后左右交换这两边的式子，例如，把x+y=6变成y+x=6.
2. 同乘除法
同乘除法是在等式中的式子两边同乘除一个数，例如，把2x+3y=6变成x+1.5y=3.
3. 组合法
组合法是通过简单的加减乘除把两边的式子组合起来，例如，把
x+y=6变成x+2y=8.
4. 公式法
公式法是把等式中式子变成另一个形式，如把2x+3y=6变成3x-2y=6.
5. 变数法
变数法是把等式中的公式变成另一个形式，如把x+2y=8变成2x+y=8.
6. 变换形式法
变换形式法是把等式中的公式变成另一个形式，如把2x+3y=6变成6-3y=2x.。

学数学的四种境界
著名数学家华罗庚曾说过：宇宙之大,粒子之微, 火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学，在当今这个科技是第一生产力的时代，科技是核心竞争力的世界，数学的学习、发展和创新尤为重要，顺应社会进步，数学的学习应分为几重境界，让学习者能够理清前进的方向，共赴理想的未来。

一、求知境界
数学的学习一开始就是弄清知识点，理顺知识点的前因后果，并能够用所学知识点进行解题，这也是大部分学生的境界。

二、求巧境界
数学学习到一定程度，有了一定的练习，积累了一定经验后就会开始总结，寻找各种题型的共性，寻求解题的不同方向和方法，使用解题技巧，实现举一反三的效果，部分进入此境界，学习的时候会显得更加轻松，效果也会更好。

三、求己境界
在进入求巧境界后会有一定的成就感，能解决很多的数学问题，但是很多人不知道学习数学的作用，会有一种怀疑自我的感觉，有力使不出，这个时候需要静下心来思考学习数学的目的，抛开考试，抛开分数，只求学习数学给自己带来的最真实的感受，让学习数学成为自己生活的一部分，能够用数学思维解决生活中的问题，切身体会数学的意义，进入此境界就完成了自我的一次升华，让数学融入到自己的生活紧密相连。

四、求人境界
与生活相连的数学在一定时间的积淀会萌生放之四海而皆准的感觉，万物归一，万理归一，进入求人境界让人从数学中领悟人生的真谛，感知人生的意义，追寻人生的升华。

数学学习的五种境界左勤勇数学学习水平的五种层次或者说五种境界：懂、会、熟、巧、通.懂.就是刚才童鞋们谈到的那样.老师在上面讲，你在下面坐着听.听懂了，这是最低要求.如果听不懂课，后面的练习、考试当然无从谈起.万丈高楼平地起，这个环节就是打地基.当然，如果课都听不懂，那就要高度警惕了：是老师表达能力太差还是自己接受能力不好呢？还有童鞋说，不会的题我看看答案也看懂了，可是自己怎么就想不到呢？这依然属于”懂“的层次.有老师或者答案给你一个逻辑切入点，带着你往前走，最后你到了目的地.于是，你说了：这题也不难吗，我好像也能做.这是幻觉，不信换道同类型的题试试？会.会指的是没有老师指导，无同学帮助，无答案提示，不参考笔记的情况下，你自己能独立地完成解题.这个层次意味着你找到了解决问题的入口，能够清楚往下走的流程，并且顺利到达目的地.熟.在”会“的前提下，加入了解题速度的要求.一道题无时间限制，你能慢悠悠地想，慢悠悠地写，慢悠悠的算，还能检查.显然，这不是考试的状态.考试都是限时的，要求你在短时间内拟定思路、准确运算、规范表达.这就是好多童鞋的感慨：我感觉都会呀，怎么一考试都不得分呢？你是不是在时间紧迫的时候就慌了，一慌就漏洞百出了？巧.巧指的是你能从不同角度观察和分析同一道题，能够在多个解法之中选择最优解法.在限定时间内，能够准确审题，判断解法的优劣并顺利执行，的确需要相当的积累.通.武侠小说里讲的打通任督二脉，大约就是这样的状态吧.通的主要表现就是数学知识、数学方法、数学思想之间能够快速建立联系、无障碍切换.亲爱的朋友们，你在哪一层呢？可以肯定地讲，到达”熟“这个层次，高考数学就到了120分以上.。

就一些经典的恒等变形题谈谈数学思维的5个境界肖老师电话1588632 qq490788061经典情境1命题原型1ab =求1111a b+++ 到三个情况例题设1abc =.试求111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值. 分析：此题关键是abc=1这个条件难用对于代数式的题我们希望字母越少越好式子的结构越简单越好那么我们可以借鉴含参数方程的思路把c 看为未知数，ab 看为已知数c 看为未知数1c ab=代入要求的式子类似解方程组的代入消元法可以得到 原式=1111111a b ab ab a b b a ab ab ab++++++++ =1111111a b ab ab a b a a ab ab ++++++++=1111a ab ab a ab a a ab++++++++=1 分析2：借助分析1的思路虽然有点呆但是思路很自然。

通过代入消元法居然达到了通分的目的。

那么我们是不是可以巧妙的通分了。

答案是肯定的。

我们把第二个加数分子和分母同时乘以a ，第三个同时乘以ab 得到了1a ab abc ab a abc ab a caab abc ab++++++++把abc 在用1代入马上得到了原式=1111a ab ab a ab a a ab ++++++++=1 分析3用特殊值法很容易猜出答案是1，可是问题在如何证明。

观察结构分子是一次式，分母的次数不一致我们如果能使得分子和分母次数统一就好办了。

可以设,,x y z a b c y z x === 再代入1x xz yx y x xy yz xzy z y =++++同理另外两个加数分别为yz xy yz xz ++和xy xy yz xz ++三个一加和为1第一个层面题目会做就是思路1方法朴实而自然。

思路2恒等变形极其巧妙。

思路3化齐次是典型的高手思维。

根据我多年的经验，遇到条件求值问题化齐次肯定是行册通的。

齐次式的本质相当于增加了一个条件，齐次式本身就是起到了消元的作用其中奥妙需要读者加以体会。

恒等变形知识点总结恒等变形是指根据等式的性质和算术运算的性质，将一个等式变形成另一个等式的过程。

在变换的过程中，通过适当的运算，将等式的两侧转变成相同的表达式。

首先，我们来看一下恒等变形的基本原则，它包括以下几个方面：1. 相等的两个数（对象）可以相互规约。

2. 等式的两边加(或减)相等的数(或算式)仍相等。

3. 等式的两边同乘(或同除)一个不为零的数(或数的倒数)仍相等。

4. 在等式中引进(或去除)平方根，绝对值符号对方程做平方根变形，只有当两边都为非负数时，该等式才成立。

这些基本原则是我们进行恒等变形时需要牢记的，只有在遵守这些原则的前提下，我们才能正确进行恒等变形。

在进行恒等变形时，我们通常会用到一些基本的代数运算，例如加减法、乘除法、开平方、平移等，这些运算在恒等变形中起着非常重要的作用。

接下来，我们来看一些常见的恒等变形的方法和技巧。

1. 加减法变形加减法变形是指用等于同一个数的两个数互换位置，并相加或相减，来得到一个新的等式。

例如：a +b =c 和 a = c - b这里，我们可以将第一个等式两边分别减去b，得到新的等式 a = c - b。

通过这个例子，我们可以看出，加减法变形是一种常见且有效的恒等变形方法，它可以帮助我们将一个复杂的等式化简成一个简单的等式。

2. 乘除法变形乘除法变形是指用等于同一数的两个数相除或相乘，得到新的等式。

例如：ab = c 和 a = c/b这里，我们可以将第一个等式两边都除以b，得到新的等式a = c/b。

通过这个例子，我们可以看出，乘除法变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。

3. 平方根变形平方根变形是指用等于同一数的两个数同时开平方，得到新的等式。

例如：a^2 = c 和a = √c这里，我们可以将第一个等式两边同时开平方，得到新的等式a = √c。

通过这个例子，我们可以看出，平方根变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。

4. 移项变形移项变形是指将等式中的某一项移到等式的另一侧，得到新的等式。

提高中学生数学恒等式证明能力的六个技巧数学是一门让人们又爱又恨的学科。

对于中学生来说，数学恒等式证明是学习数学过程中的一项重要任务。

它不仅考察了学生的逻辑思维能力，而且培养了他们的严密性和系统性。

本文将介绍六个提高中学生数学恒等式证明能力的技巧，帮助学生们在数学学习中取得更好的成绩。

首先，建立正确的数学思维方式是提高数学恒等式证明能力的关键。

学生要摆脱“只想到结果”的思维定势，而是培养学会思考问题、找到问题的关键点。

在解决恒等式证明问题时，学生要运用逻辑推理和归纳演绎的方法，严谨地分析每个步骤，确保每一步的真实性和可逆性。

只有形成正确的思维方式，学生才能更好地解决数学恒等式证明问题。

其次，熟练掌握基本的数学恒等式是提高数学证明能力的基础。

中学生要掌握一些基本的数学恒等式，如基本的代数恒等式、三角函数恒等式等。

这些基本恒等式是解决高级数学证明问题的基础，学生要通过大量的练习，熟悉它们的特点和应用方法，以便在实际证明过程中能够灵活运用。

第三，合理利用分类讨论方法可以提高数学证明能力。

在证明数学恒等式时，学生可以将问题进行分类分析，通过分析特殊情况，进而得到一般情况的结论。

例如，在证明一个等式成立时，可以将等式的参数分为两种情况进行讨论，分别对每种情况进行证明，最后得到一般结论。

第四，善于利用数学恒等式的性质和特点也是提高数学证明能力的技巧之一。

学生在解决数学证明问题时，应该善于发现数学恒等式的特点和性质，运用它们来简化证明过程。

例如，在证明一个等式时，可以利用恒等式的对称性、逆运算等性质，合理地选择步骤，简化证明的过程。

第五，培养学生发散思维是提高数学证明能力的重要方法。

学生在解决数学证明问题时，要不拘一格，灵活运用各种数学方法和技巧，寻找不同的解题思路。

通过多角度思考问题，可以从不同的角度出发，找到不同的证明方法，培养学生的创新能力和灵活性。

最后，多做真题和综合题可以提高学生的数学证明能力。

做真题和综合题是检验学生数学恒等式证明能力的有效方式。

“五大”数学思想在解题中的运用1．换元思想换元法又称变量替换法，即根据所要求解的式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后,返回去再求出原变量的结果.换元法通过引入新的变量，将分散的条件联系起来，使超越式化为有理式、高次式化为低次式、隐性关系式化为显性关系式，从而达到化繁为简、变未知为已知的目的.例1已知1)f x =+，求()f x .分析：采用整体思想，可把1)f 1”看作一个整体，然后采用另一参数替代.解：令1t =，则2(1)(1)x t t =-≥代入原式有22()(1)2(1)1f t t t t =-+-=-.∴2()=1(1)f x x x -≥.评注：1”换作另一个元(字母)“t ”，然后从中解出x 与t 的关系，代入原式中便可求出关于“t ”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量的取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式.此法是求函数解析式的常用方法.例2设)(x f 是定义在),1(+∞上的一个函数，且有112)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f x f ，求)(x f .分析：欲求)(x f ，必须消去已知中的⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1，不难想到再寻找到一个方程.可由x 与x1的倒数关系，用x1去替换已知式中的x 便可得到另一个方程.然后联立解之可得. 解：112)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f x f ①用x1代换x ，又得 11)(21-=⎪⎭⎫⎝⎛x x f x f ②将②代入①消去⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1，得12)(4)(--=x x f x f ，3132)(+=x x f 又∵),1(+∞∈x ，∴3132)(+=x x f ，),1(+∞∈x 例3对于∈x R ，不等式04)1(log 12log 2)1(4log 222222>+++++aa a a x a a x 恒成立，求实数a 的范围.分析：观察不等式的结构特点，有些局部地方重复出现，不妨换元，使复杂的不等式问题变成熟知的一元二次不等式问题.解：设12log 2+=a au ，则原不等式022)3(2>-+-⇔u ux u x ① ∵∈x R 时，不等式恒成立，但当3=u 时，①式变为1066>⇔>-x x 与条件∈x R 不符，∴3≠u .当3≠u 时，①式对∈x R 恒成立⎩⎨⎧<--->-⇔.0)2)(3(44,032u u u u⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+⇔<+⇔<⇔⎩⎨⎧><<⇔.112,012012log 0.60,32a a a aa a u u u u 或1011100)1)(1(0)1(<<⇔⎩⎨⎧<<--<>⇔⎩⎨⎧<-+>+⇔a a a a a a a a 或，即)1,0(∈a .评注：本题使用换元法起到了沟通问题的条件和结论的中介作用，并使运算得以简化，令人耳目一新.例4已知,,a b c 是不为1的正数，,,(0,)x y z ∈+∞，且有xyza b c ==和112x z y+=，求证：,,a b c 顺次成等比数列.证明：令xyza b c k ===，∴log ,log ,log a b c x k y k z k === ∵112x z y +=，∴112log log log a c b k k k +=. ∴lg lg 2lg lg lg lg a c bk k k+=，lg lg 2lg a c b +=. ∴2b ac =，∵,,a b c 均不为0， ∴,,a b c 成等比数列.评注：换元沟通了已知与未知，起到了桥梁作用.2．数形结合思想数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性，形象性，使问题化难为易，化抽象为具体. 通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题.例5已知∈<=x x x U ,50|{2N }，}6,1{=L M C U ，}3,2{=L C M U ，}5,0{)(=L M C U ，求M 和L .解：题目中出现U 、M 、L 、M C U 、L C U 多种集合，就应想到利用文氏图解决问题.第一步：求全集∈<=x x x U ,50|{2N }}7,6,5,4,3,2,1,0{=第二步：将}6,1{=L M C U ，}3,2{=L C M U ，}5,0{)(=L M C U 中的元素在图中依次定位.第三步：将元素4、7定位.第四步：根据图中的元素位置得}7,4,3,2{=M ，}7,4,6,1{=L .例6对一切实数x ，若a x x >++-25恒成立，求实数a 的取值范围。

高中数学三角恒等式变形技巧在高中数学的学习中，三角恒等式是一个重要的知识点。

学生们常常会遇到需要根据已知的三角恒等式来推导出新的恒等式的情况。

在这个过程中，掌握一些三角恒等式的变形技巧是非常有帮助的。

本文将介绍几种常见的变形技巧，并通过具体的例题进行说明。

一、平方差公式的变形平方差公式是我们在学习三角函数时经常接触到的一个恒等式，即：sin^2x - cos^2x = 1在解题过程中，我们常常需要根据这个公式来进行变形。

例如，以下是一道常见的题目：已知 sin^2x = 1/4，求 cos^2x 的值。

解析：首先，我们可以利用平方差公式将已知条件进行变形：sin^2x - cos^2x = 11/4 - cos^2x = 1然后，我们可以通过移项和化简的方法求解出 cos^2x 的值：cos^2x = 1/4 - 1cos^2x = -3/4通过这个例题，我们可以看到，利用平方差公式进行变形可以帮助我们解决一些关于三角函数平方的问题。

二、和差化积公式的变形和差化积公式是我们在学习三角函数时另一个重要的恒等式，即：sin(x ± y) = sinxcosy ± cosxsiny在解题过程中，我们可以利用这个公式将已知条件进行变形，从而得到新的恒等式。

例如，以下是一道常见的题目：已知 sin2x = 2sinx，求 cos2x 的值。

解析：首先，我们可以利用和差化积公式将已知条件进行变形：sin2x = 2sinxsin(x + x) = 2sinx然后，我们可以利用和差化积公式的逆向思维，将 sin(x + x) 进行变形：sin(x + x) = sinxcosx + cosxsinx2sinxcosx = 2sinx接着，我们可以通过移项和化简的方法求解出 cos2x 的值：sinxcosx = sinxcos2x = cos^2x - sin^2xcos2x = cos^2x - (1 - cos^2x)cos2x = 2cos^2x - 1通过这个例题，我们可以看到，利用和差化积公式进行变形可以帮助我们解决一些关于三角函数和的问题。

初中奥数恒等变形知识点归纳整理恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等.表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式.如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式.将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换).以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变.如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法.1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的.如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项).2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的.如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r例：求b、c的值，使下面的恒等成立.x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ①解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立设x=1，代入①，得12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+cc=6再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6b=5∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6解二：将右边展开x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c=x2-2x+1+bx-b+c=x2+(b-2)x+(1-b+c)比较两边同次项的系数，得由②得b=5将b=5代入③得1-5+c=2c=6∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值.。