正方体的展开图 (2)
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正方体的11种平面展开图
正方体的平面展开图共有11种(那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算),具体来讲分以下4类.
口诀:需背诵
正方体:中间四个面,上下各一面(6种摆法—141)
中间三个面,一二隔河见(3种摆法—132/231)
中间二个面,楼梯天天见(1种摆法—222)
中间没有面,三三连一线(1种摆法—33)
“田”“凹”应弃之
第一类:“1-4—1”型,其特点是有4个连成一排的正方形,两侧又各有1个正方形,共有6种。
口诀:中间四个面,上下各一面(上下面随便放)
第二类:“1—3—2"型,其特点是有3个连成一排的正方形,这一排正方形的一侧有1个正方形,另一侧有2个正方形(其中只有1个与中间那一排相连),共有3种。
口诀:中间三个面,一二隔河见(二三位置是固定的)
第三类:“2—2—2”型,其特点是有2个连成一排的正方形,其两侧又各有2个连成一排的正方形,只有1种。
口诀:中间二个面,楼梯天天见
第四类:“3-3"型,其特点是有3个连成一排的正方形,其一侧还有3个连成一排的正方形,只有1种。
中间没有面,三三连一线(1种摆法—33)。
第二章 长方体和正方体2.长方体和正方体的表面积【知识梳理】1.长方体、正方体的展开图。
高图一 图二(1)图一中,①上、下两个面的面积相等,每个面的长和宽分别是长方体的长和宽,面 积等于长乘宽;②前、后两个面的面积相等,每个面的长和宽分别是长方体的长和 高,面积等于长乘高;③左、右两个面的面积相等,每个面的长和宽分别是长方体 的宽和高,面积等于宽乘高。
(2)图二中,正方体的每个面都是正方形,边长是正方体的棱长,每个面的面积都相等,都等于棱长乘棱长。
要点提示:长方体和正方体展开图的形状不是唯一的,上图只是其中一组。
2. 长方体、正方体表面积的意义。
(1)长方体的表面积:长方体6个面的总面积就是长方体的表面积。
(2)正方体的表面积:正方体6个面的总面积就是正方体的表面积。
3.长方体表面积的计算公式。
(1)长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2(2)长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2用字母表示长方体表面积的计算公式:(1)s=2ab+2ah+2bh(2)s=(ab+ah+bh)×2(注:s 表示长方体的表面积,a 、b 、h 分别表示长方体的长、宽、高。
)4.长方体表面积的计算公式。
正方体的表面积=棱长×棱长×6用字母表示正方体表面积的计算:s=6a2。
(注:s表示正方体的表面积,a表示正方体的棱长。
)5.拓展提高。
如果正方体的棱长扩大到原来的n倍,它的表面积就扩大到原来的n2倍。
如正方体的棱长扩大到原来的3倍,它的表面积就扩大到原来的9倍。
6.温馨提示:在实际生活中,并不是所有的长方体形状的物体都有6个面,如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面,长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。
【诊断自测】1.填空。
(1)一个长方体的长是15cm,宽是4cm,高是6cm,这个长方体的表面积是()cm2。
正方体的11种平面展开图
正方体的平面展开图共有11种(那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算),具体来讲分以下4类。
口诀:需背诵
正方体:中间四个面,上下各一面(6种摆法-141)
中间三个面,一二隔河见(3种摆法-132/231)
中间二个面,楼梯天天见(1种摆法-222)
中间没有面,三三连一线(1种摆法-33)
“田”“凹”应弃之
第一类:“1—4—1”型,其特点是有4个连成一排的正方形,两侧又各有1个正方形,共有6种。
口诀:中间四个面,上下各一面(上下面随便放)
第二类:“1—3—2”型,其特点是有3个连成一排的正方形,这一排正方形的一侧有1个正方形,另一侧有2个正方形(其中只有1个与中间那一排相连),共有3种。
口诀:中间三个面,一二隔河见(二三位置是固定的)
第三类:“2—2—2”型,其特点是有2个连成一排的正方形,其两侧又各有2个连成一排的正方形,只有1种。
口诀:中间二个面,楼梯天天见
第四类:“3—3”型,其特点是有3个连成一排的正方形,其一侧还有3个连成一排的正方形,只有1种。
中间没有面,三三连一线(1种摆法-33)。
正方体的11种展开图
判断技巧
我们知道,同一个立方体图形,按不同的方式展开得到的平面展开图形一般是不一样的。
常见的正方体平
面展开图究竟有几种不同的形状呢?
同学们一定熟悉这样一种操作:把一个正方形纸片平均分成9个小正方形,剪去角上四个小正方形,可以拼成一个无盖的正方体纸盒,其中五个面按习惯不妨记为下、左、右、前、后,如图一。
好啦!现在只要把刚才剪去的一个小正方形作为“上"面,就可拼成一个正方体。
作为正方体平面展开图,这个“上”应该和图1(1)中哪个面拼接在一起呢?观察图1(2),知“上”和前、后、左、右任一个面拼接都行(这四种拼接看作同一种情形),不妨和“后”拼接在一起,如图2.
根据上和下、左和右、前和后相间隔这一规律,现在我们把图2中的“左”或“右”平移,可得图3~图7五种情形.
平移图2中的“前”,可得图8;再平移图8中的“左”,可得图9、图10;把图10中的“上"向左平移,得图11;若移动图8(或图9、图10)中的“左",又可得图12。
同学们,当你和我一样,把图2~图12这11个图剪下来,动手折一折,得到11个漂亮的小正方体时,你一定为我们的收获感到欢欣鼓舞吧!
对正方体表面展开图的11种情况,为加深记忆,可编成如下口诀:一四一呈6种,一三二有3种,二二二与三三各1种,展开图共有11种。
“动手实践,自主探索和合作交流”是新课程标准倡导学习数学的三种重要方法,而实践活动是培养我们进行主动探索与合作交流的重要途径。
只要通过自己主动观察、实验、猜想、验证等数学活动,就能使我们“建立空间观念,发展几何直觉”,提高思维能力.。
正方体的11种平面展开图正方体的平面展开图共有11种(那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算),具体来讲分以下4类。
第一类:“1—4—1”型,其特点是有4个连成一排的正方形,两侧又各有1个正方形,共有6种。
第二类:“1—3—2”型,其特点是有3个连成一排的正方形,这一排正方形的一侧有1个正方形,另一侧有2个正方形(其中只有1个与中间那一排相连),共有3种。
第三类:“2—2—2”型,其特点是有2个连成一排的正方形,其两侧又各有2个连成一排的正方形,只有1种。
第四类:“3—3”型,其特点是有3个连成一排的正方形,其一侧还有3个连成一排的正方形,只有1种。
注:①将长方体、正方体展开:无论怎么剪,都要剪7条棱。
②“隔”的原理:相对的面如果在同一行或同一排,中间一定只隔一个面;相对的面如果不在同一行或同一排,中间可以隔着一些面。
③长方体、正方体中各面的关系:相对、相邻。
每个面都有1个相对的面,4个相邻的面。
注:立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理,而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。
④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面,且这三个面都是相邻的面。
⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”,还是从“展开图”到“立体图”:互逆正方体、长方体展开图⑥长方体(不包含正方体)最多有1组相对的面是正方形;当有2组相对的面是正方形时,长方体就变成了正方体(特殊的长方体)。
长方体(不包含正方体)的6个面中,最多有4个面的面积相等;12条棱中,最多有8条棱长度相等。
(即2个相对的面是正方形,其余四个面变为完全相同的长方形。
)⑦正方体的棱长扩大a倍:棱长和扩大a倍,表面积扩大a2倍,体积扩大a3倍。
(给出其中一个,要能将其余的都求出来)⑧常见的平方、立方(需熟记在心)12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 ……13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 ……。
正方体的11种平面展开图正方体的平面展开图共有11种(那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算),具体来讲分以下4类。
第一类:“1—4—1”型,其特点是有4个连成一排的正方形,两侧又各有1个正方形,共有6种。
第二类:“1—3—2”型,其特点是有3个连成一排的正方形,这一排正方形的一侧有1个正方形,另一侧有2个正方形(其中只有1个与中间那一排相连),共有3种。
第三类:“2—2—2”型,其特点是有2个连成一排的正方形,其两侧又各有2个连成一排的正方形,只有1种。
第四类:“3—3”型,其特点是有3个连成一排的正方形,其一侧还有3个连成一排的正方形,只有1种。
注:①将长方体、正方体展开:无论怎么剪,都要剪7条棱。
②“隔”的原理:相对的面如果在同一行或同一排,中间一定只隔一个面;相对的面如果不在同一行或同一排,中间可以隔着一些面。
③长方体、正方体中各面的关系:相对、相邻。
每个面都有1个相对的面,4个相邻的面。
注:立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理,而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。
④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面,且这三个面都是相邻的面。
⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”,还是从“展开图”到“立体图”:互逆正方体、长方体展开图⑥长方体(不包含正方体)最多有1组相对的面是正方形;当有2组相对的面是正方形时,长方体就变成了正方体(特殊的长方体)。
长方体(不包含正方体)的6个面中,最多有4个面的面积相等;12条棱中,最多有8条棱长度相等。
(即2个相对的面是正方形,其余四个面变为完全相同的长方形。
)⑦正方体的棱长扩大a倍:棱长和扩大a倍,表面积扩大a2倍,体积扩大a3倍。
(给出其中一个,要能将其余的都求出来)⑧常见的平方、立方(需熟记在心)12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 ……13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 ……。
正方体的11种平面展开图正方体的平面展开图共有11种(那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算),具体来讲分以下4类。
第一类:“1—4—1”型,其特点是有4个连成一排的正方形,两侧又各有1个正方形,共有6种。
第二类:“1—3—2”型,其特点是有3个连成一排的正方形,这一排正方形的一侧有1个正方形,另一侧有2个正方形(其中只有1个与中间那一排相连),共有3种。
第三类:“2—2—2”型,其特点是有2个连成一排的正方形,其两侧又各有2个连成一排的正方形,只有1种。
第四类:“3—3”型,其特点是有3个连成一排的正方形,其一侧还有3个连成一排的正方形,只有1种。
注:①将长方体、正方体展开:无论怎么剪,都要剪7条棱。
②“隔”的原理:相对的面如果在同一行或同一排,中间一定只隔一个面;相对的面如果不在同一行或同一排,中间可以隔着一些面。
③长方体、正方体中各面的关系:相对、相邻。
每个面都有1个相对的面,4个相邻的面。
注:立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理,而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。
④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面,且这三个面都是相邻的面。
⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”,还是从“展开图”到“立体图”:互逆正方体、长方体展开图⑥长方体(不包含正方体)最多有1组相对的面是正方形;当有2组相对的面是正方形时,长方体就变成了正方体(特殊的长方体)。
长方体(不包含正方体)的6个面中,最多有4个面的面积相等;12条棱中,最多有8条棱长度相等。
(即2个相对的面是正方形,其余四个面变为完全相同的长方形。
)⑦正方体的棱长扩大a倍:棱长和扩大a倍,表面积扩大a2倍,体积扩大a3倍。
(给出其中一个,要能将其余的都求出来)⑧常见的平方、立方(需熟记在心)12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 ……13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 ……。