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高中数学教学中的学科前沿研究数学作为一门重要的学科，在高中阶段是培养学生综合素质和创新能力的关键阶段。
为了提高高中数学教学的质量，各级教育机构开始关注学科前沿研究在数学教学中的应用。
本文将探讨高中数学教学中的学科前沿研究及其对教学的影响。
一、学科前沿研究在高中数学教学中的应用学科前沿研究是指学科研究的最新发展方向和成果。
在高中数学教学中，学科前沿研究可以通过以下几个方面应用：1.引入新的教学内容。
学科前沿研究不断推动数学领域的发展，新的数学概念和方法不断涌现。
教师可以及时了解最新的数学研究成果，根据学生的实际情况，适时引入新的教学内容，丰富教学内容，提高学生对数学的兴趣和学习动力。
2.更新教学方法。
学科前沿研究的不断进展也推动了教学方法的创新。
教师可以借鉴新的教学方法，例如探究式学习、翻转课堂等，让学生参与到实际问题中，培养学生的独立思考和问题解决能力。
3.开展学科研究活动。
学科前沿研究的进展提供了更多的研究方向和问题。
高中数学教师可以鼓励学生参与到学科研究活动中，培养学生的科研能力和创新思维，让学生从被动接受知识转变为主动探究问题。
二、学科前沿研究对高中数学教学的影响学科前沿研究对高中数学教学有以下几个方面的影响：1.提高教学水平。
学科前沿研究可以帮助教师更新教学内容和教学方法，提高教师授课的深度和广度。
同时，学科前沿研究可以帮助教师发现和解决教学中的难题，提高教学效果。
2.创造更多的学习机会。
学科前沿研究的应用可以帮助学生接触到更多的数学知识和问题。
通过开展学科研究活动，学生可以深入了解数学领域的前沿问题，并尝试解决实际问题，提高学习的实践性和趣味性。
3.培养学生的创新能力。
学科前沿研究的开展需要学生具备创新思维和科研能力。
高中数学教学中引入学科前沿研究可以培养学生的科研意识和科研能力，激发学生的创新潜能，为未来的学术研究和职业发展奠定基础。
三、高中数学教学中学科前沿研究存在的问题及对策在高中数学教学中，学科前沿研究的应用也存在着一些问题：1.知识更新速度过快。
数学专业的学科发展与前沿数学作为一门古老而神秘的学科，自古以来一直在人类文明的发展中扮演着重要的角色。
随着科技的进步和社会的不断发展，数学专业也日新月异，涌现出了许多发展与前沿的领域。
本文将为大家介绍数学专业的学科发展与前沿，并探讨其对社会的重要意义。
一、数学专业的学科发展数学专业的学科发展源远流长。
自古至今，人们对于数学的研究从简单的计数和测量开始，逐渐发展起来。
在数学的不同领域中，代数、几何、概率论和数论等都是数学专业的重要分支。
1. 代数代数是数学中一门基础而重要的学科，研究的是数与结构之间的关系。
代数的发展可以追溯到古希腊时期，如欧几里德几何中的代数方法。
而在现代代数领域中，线性代数、群论和域论等都是重要的分支。
2. 几何几何是研究空间形状、大小和相对位置的学科。
在古希腊时期，几何学开始发展，如欧几里德几何。
而在现代几何学中，包括微分几何、代数几何和拓扑学等，都是数学专业的重要领域。
3. 概率论概率论是研究随机事件的学科，也是数学专业中重要的分支之一。
概率论的发展对于理解随机事件和风险管理至关重要。
在概率论中，包括概率分布、随机过程和统计推断等。
4. 数论数论是研究整数性质的学科，主要关注数的性质和数之间的关系。
数论的发展对于密码学和计算机科学等领域有着重要的影响。
在数论中，包括素数理论、同余方程和整数分解等。
二、数学专业的前沿领域数学专业的前沿领域是指当前正在快速发展和研究的领域。
这些领域既涉及到数学专业内部的新发现，也与其他学科有着密切的联系。
以下是数学专业的几个前沿领域。
1. 应用数学应用数学是将数学方法和技术应用到实际问题中的学科。
随着科技的发展和社会需求的提高，应用数学在现代社会中发挥着重要的作用。
在应用数学领域，包括数值计算、最优化和控制论等。
2. 数据科学数据科学是研究如何从大量的数据中提取有价值的信息的学科。
在数据科学中，包括数据分析、机器学习和人工智能等。
随着大数据时代的到来，数据科学对于科学研究和商业决策等领域都具有重要的意义。
课题：探索数学前沿——人工智能与数学的结合课时：1课时年级：高中教学目标：1. 了解人工智能的基本概念和发展历程。
2. 探索人工智能在数学领域的应用，如数据挖掘、机器学习等。
3. 培养学生的创新思维和实际应用能力。
教学重难点：1. 人工智能在数学领域的应用。
2. 创新思维和实际应用能力的培养。
教学准备：1. 多媒体设备，如投影仪、电脑等。
2. 人工智能相关资料，如论文、报告等。
3. 学生分组讨论材料。
教学过程：一、导入1. 教师简要介绍人工智能的概念和发展历程。
2. 提问：同学们对人工智能了解多少？它在我们生活中有哪些应用？二、主体部分1. 人工智能在数学领域的应用a. 教师展示人工智能在数学领域的应用案例，如数据挖掘、机器学习等。
b. 学生分组讨论，探讨人工智能在数学领域的具体应用和优势。
c. 各组汇报讨论结果，教师点评并总结。
2. 创新思维和实际应用能力的培养a. 教师引导学生思考如何将人工智能与数学知识相结合，提出实际应用场景。
b. 学生分组讨论，设计一个结合人工智能和数学知识的创新项目。
c. 各组汇报项目方案，教师点评并总结。
三、总结与反思1. 教师总结本节课的重点内容，强调人工智能在数学领域的应用。
2. 学生分享学习心得，提出自己的疑问和思考。
3. 教师对学生的疑问进行解答，引导学生深入思考。
教学评价：1. 学生对人工智能概念和发展的了解程度。
2. 学生在讨论和项目中表现出的创新思维和实际应用能力。
3. 学生对课程内容的掌握程度。
教学反思：1. 教师应关注学生的兴趣和需求，激发学生对数学前沿领域的探索欲望。
2. 注重培养学生的创新思维和实际应用能力，提高学生的综合素质。
3. 优化教学方法，使课程内容更加丰富、生动，提高学生的学习兴趣。
数学学科前沿讲座论文中国数学思考找了很久吧，本着深入贯彻共产主义的精神，特弄了篇博文仅供参考，新课标记得要回复，不然木有小鸡鸡中科院林群院士我国数学研究现状与教育的看法非常感谢林先生给我们生动的介绍，那中国目前的数学研究现状如何？目前，中国数学史的研究是一个非常重要的课题。
因为我国从古代到近代，我国的数学家为数学的发展做出了自己的贡献，国际对我们虽然有所了解，但是了解得不够深入。
中国在教学或培养人才方面，更是世界瞩目的，中国为世界培养了许多顶尖的数学人才；要看到中国培养人才为世界做贡献的这方面。
所以，可以见到我们在数学教育上有非常成功的一面。
我想，我们中国由于特殊的环境，特别是改革开放前，我们与国际交往不多，数学的发展只能自力更生，必须发展自己的一套，不可能跟着外国走。
可是多数人还得跟着外国的文献走，从他们那里找问题做文章。
改革开放之后，中国的数学又放开步子前进，迎来了科学的春天。
吴文俊先生说过，外国很多数学家少年得志，他们很年轻就做出了重大的成就，取得了这样那样的国际奖。
中国数学家和外国数学家处境不同，因为我国长期外侵内乱，没有环境条件建立自己的传统和学派，只是解放后，1952年开始学习苏联，1956年向科学进军，但是又因诸多政治运动特别是文革，使得大规模向西方学习推迟到80年代。
但是大多数年轻人出国在那里学习和工作，留在国内的则是间接地学习。
这些因素决定国内的数学家只能大器晚成，而且我国的数学家必须有自己的问题，自己的方向和方法，包括数学机械化证明、偏微分方程的理论和计算、数论、统计等，都有这个特色。
这也是我们的一个优势。
同时，年轻的数学家也要瞄准世界数学前沿和学科主干，并要另辟新路（因为我们缺乏这方面的传统和学派），绕道而行，自主创新。
2002年国际数学家大会将在中国举行，这是国际数学家大会首次在第三世界国家举行。
大陆有11个数学家被大会邀请做45分钟报告，在美国工作的北大长江学者、中科院院士田刚还要做1小时的报告，这也说明我们国家的数学成就和数学人才在世界上占有一席之地。
中学数学教育的前沿与发展随着时代的发展和科技的进步，中学数学教育也在不断的前进和发展。
数学作为一门基础学科，在培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题能力等方面起着重要的作用。
本文将从数学教育的前沿和发展角度展开，探讨数学教育的新趋势。
一、数学思维的培养传统的数学教育注重学生的计算和记忆能力，往往忽视了数学思维的培养。
然而，在当今社会，计算和记忆能力可以通过电子设备和工具的辅助来弥补，而数学思维则成为学生们最重要的能力之一。
因此，现代数学教育需要更加注重培养学生的数学思维。
数学思维主要包括逻辑思维、创新思维和推理思维。
逻辑思维是数学基础，可以帮助学生建立起自己的思维框架；创新思维则需要学生不断尝试新的方法和思路，找到解决问题的新途径；推理思维则是通过分析和推理来解决问题。
综合培养这三种思维，可以使学生在数学中不仅能掌握技巧，更能灵活运用，提高解决问题的能力。
二、数学与现实生活的结合数学是一门抽象的学科，学生常常难以将数学与现实生活联系起来。
而数学教育的前沿和发展，正是要将数学与现实生活结合起来，让学生能够更加深入地理解数学的应用。
数学的应用涉及方方面面，从日常生活到科学研究、工程设计等各个领域。
通过引导学生发现周围事物中的数学模式、数学规律，可以引发学生的兴趣和好奇心，提高他们的学习积极性。
例如，数学可以应用在人口统计学中。
学生可以通过收集和整理数据，掌握人口增长和变化规律，进而分析和预测未来的人口趋势。
这样的学习过程不仅提高学生对数学知识的理解能力，也让他们明白数学在现实生活中的实际运用价值。
三、探索式学习的推广传统的数学教育往往以教师为中心，教师传授知识，学生接受知识。
然而，这种传统的教学方式存在一定的局限性，学生缺乏主动性和探索精神。
现代数学教育的前沿和发展，呼唤的是一种探索式学习的教学模式。
这种模式下，学生将成为学习的主体，教师则变成引导者和辅助者。
学生通过实际操作和探索，主动地发现问题、解决问题，从而培养自主学习的能力和团队合作精神。
数学学科前沿讲座报告标题：探索数学学科的前沿，量子计算与离散优化尊敬的教师、同学们：大家好！今天我将为大家带来一场关于数学学科的前沿讲座，主题是“量子计算与离散优化”。
在过去的几十年中，数学学科在科学技术的发展中发挥着关键的作用。
数学作为一门研究模式、结构和变化的学科，不仅在解决实际问题上发挥着重要的作用，还在理论研究中推动着科学的发展。
本次讲座将从两个角度展示数学学科的前沿成果，分别是量子计算和离散优化。
首先，我们来谈一谈量子计算。
量子计算是在量子力学的基础上发展出的一种新型计算方式。
传统计算机使用的是二进制系统，量子计算则使用的是量子比特（qubit），它可以同时处于多种状态，并且在运算时可以进行与传统计算机不同的量子态的叠加和纠缠。
借助于这种特殊的性质，量子计算在一些问题上具有充分发挥潜能的优势。
例如，在因子分解大整数、模拟量子系统等方面，量子计算机显示出远超传统计算机的计算能力。
这与传统计算机采用串行计算的方式不同，量子计算机采用并行计算的方式，使得复杂度大大降低。
量子计算的一个重要应用领域是离散优化。
离散优化是数学学科中的一个重要分支，研究如何在给定的约束条件下，找到最优解或接近最优解的问题。
离散优化在实际应用中广泛存在，例如交通路径规划、网络优化、资源分配等。
然而，由于离散优化问题的复杂性，传统计算方法无法在合理时间内求解大规模问题。
而量子计算则提供了一种新的解决思路。
量子优化算法如量子模拟算法、量子近似优化算法等，使得在离散优化问题中，量子计算能够在多项式时间内找到接近最优解的解决方案。
在量子计算与离散优化的研究中，目前已经取得了一些重要的成果。
例如，量子模拟算法在化学反应、材料科学等领域发挥着重要作用。
离散优化问题的量子算法例如量子旅行推销员问题（Quantum Traveling Salesman Problem）的研究，矩阵指数函数近似等等。
这些新的算法在解决实际问题中表现出良好的性能，显示了量子计算与离散优化结合的潜力。
学科前沿讲座教学大纲学科前沿讲座教学大纲引言：学科前沿讲座是一种重要的教学形式，旨在向学生介绍学科领域内最新的研究进展和前沿知识。
通过讲座，学生可以了解到学科的最新动态，拓宽学术视野，激发学习兴趣，提高学术素养。
本文将探讨学科前沿讲座教学的重要性、内容安排和教学方法。
一、学科前沿讲座教学的重要性学科前沿讲座教学是高等教育中不可或缺的一环。
首先，讲座可以帮助学生了解学科最新的研究进展和前沿知识，使他们跟上时代的步伐。
其次，讲座可以拓宽学生的学术视野，让他们了解到学科的多样性和广度。
此外，讲座还可以激发学生的学习兴趣，促进他们对学科的深入思考和探索。
因此，学科前沿讲座教学对于培养学生的创新思维、学术素养和终身学习能力具有重要意义。
二、学科前沿讲座教学的内容安排学科前沿讲座教学的内容应当根据学科的特点和学生的需求来确定。
一方面，讲座内容应当紧密联系学科前沿的研究进展，介绍最新的理论、方法和应用。
另一方面，讲座内容也应当涵盖学科的基础知识，帮助学生建立起学科的整体框架。
此外，讲座还可以包括学科的历史发展、重要学者的贡献以及学科的未来趋势等内容，以帮助学生更好地理解学科的背景和意义。
三、学科前沿讲座教学的教学方法学科前沿讲座教学应当采用多种教学方法，以激发学生的学习兴趣和提高教学效果。
首先，教师可以通过讲座、演示和案例分析等方式向学生介绍学科的前沿研究成果和应用案例。
其次，教师还可以组织学生进行小组讨论、辩论和实验等活动，以促进学生的思考和互动。
此外，教师还可以引导学生进行学术论文阅读和写作，培养他们的学术写作能力和批判思维能力。
通过多种教学方法的有机结合，可以提高学科前沿讲座教学的针对性和实效性。
结语：学科前沿讲座教学是高等教育中一种重要的教学形式。
通过讲座，学生可以了解到学科的最新动态，拓宽学术视野，激发学习兴趣，提高学术素养。
学科前沿讲座教学的内容应当紧密联系学科前沿的研究进展，涵盖学科的基础知识和学科的历史发展等内容。
第一章行列式及其应用行列式的概念是由莱布尼兹最早提出来的.日本著名的“算圣”关孝和在1683年的著作《解伏题之法》中就提出了行列式的概念及算法.与莱布尼茨从线性方程组的求解入手不同,关孝和从高次方程组消元法入手对这一概念进行阐述.行列式的发明应归功于莱布尼兹和关孝和两位数学家，他们各自在不同的地域以不同的方式提出了这个概念.1683年，日本数学家关孝和在《解伏题之法》中第一次提出了行列式这个概念。
该书中提出了乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。
1693年，德国数学家莱布尼茨从三元一次方程组的系统中消去两个未知量得到了一个行列式。
这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。
由于当时没有矩阵这个概念，莱布尼茨用数对来表示行列式中元素的位置：ij代表第i行第j列。
1730年，苏格兰数学家科林•麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，其间记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程组的解法，并给出了四元一次方程组一般解的正确形式。
1750年，瑞士的加布里尔•克莱姆首次在他的《代数曲线分析引论》给出了元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。
此后，行列式的相关研究逐渐增加。
1764年，法国的艾蒂安•裴蜀在论文中提出的行列式的计算方法简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法。
法国人的亚历山德•西奥菲勒•范德蒙德在1771年的论著中首次将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。
此后，数学家们开始对行列式本身进行研究。
1772年，皮埃尔-西蒙•拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，提出了子式的定义。
1773年，约瑟夫•路易斯•拉格朗日发现了的行列式与空间中体积之间的联系：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。
行列式被称为“determinant”最早是由卡尔•弗里德里希•高斯在他的《算术研究》中提出的。
“determinant”有“决定”意思，这是由于高斯认为行列式能够决定二次曲线的性质。
高斯还提出了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，即现在的高斯消元法。
十九世纪，行列式理论得到进一步地发展并完善。
此前，高斯只不过将“determinant”这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中，然而奥古斯丁•路易•柯西在1812年首次将“determinant”一词用来表示行列式。
柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家。
柯西还证明了曾经在雅克•菲利普•玛利•比内的书中出现过但没有证明的行列式乘法定理。
十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。
行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果。
行列式是现行高中普通课程标准（实验）中新增加内容，安排在选修4—2中，行列式作为高等代数的基础内容安排在中学数学课程中为高中学生理解数学基本原理、思想、方法，培养学生数学知识的迁移能力，进一步学习提供必要的数学准备。
行列式作为一种重要的数学工具引进，从更高的角度、更便捷地解决了中学数学中的问题。
本文结合中学数学课程内容，将从空间几何、平面几何、解析几何、高中代数等方面探究行列式在中学数学领域中的应用。
一、行列式在平面几何中的应用一些平面几何问题，按照传统的中学数学解题方法，一般比较困难，利用行列式的知识解题可以将复杂的理论问题转化为简单的计算问题。
例1 证明不存在格点三角形是正三角形。
证明：（反证法）假设存在格点三角形是正三角形。
不妨设是格点三角形且是正三角形。
设其顶点坐标分别为，，，，，所以，。
又因为，前后矛盾,所以不存在格点三角形为正三角形。
例2 证明三角形三条中线交于一点。
(1980年高考题)如图1如图1所示，在三角形ABC中，H、I、J分别为边BC、AC、AB的中点。
求证：三条直线AH、BI、CJ相交于一点G。
证明：不妨以AB所在直线为x轴，点C在y轴上作直角坐标系。
设A、B、C三点的坐标分别为A（a,0）,B(b,0),C(0,c),则显然有H，I ，J，分别求得直线方程：AH：CJ：BI：令AH所在直线为，则(2)-(1)得，，，。
代入（2）得，，从而AH所在直线为。
同理，将这三个直线方程看做以为未知数的齐次线性方程组，则其系数行列式为：所以齐次线性方程组有唯一解，即这三条直线交于一点。
例3 求证：三角形三条高线交于一点。
证明：建立直角坐标系如图所示，设因为直线AD法向量为，且过点,所以直线AD为。
同理，直线BE为，直线CF为。
将三个直线方程看做是以x,y,1为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为，故齐次线性方程组有唯一解，即三条直线交于1点。
利用齐次线性方程组有非零解的充要条件这一理论，能给出中学解析几何中直线方程、圆锥曲线方程等的行列式形式。
例4 求经过点和，且焦点在x轴上的椭圆方程。
解：设椭圆方程为，若点和在椭圆上,则将其看成关于，和-1的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆方程可写成：，代值，即解得。
例5 求经过点和，且焦点在x轴上的双曲线方程。
解：设双曲线方程为，若点和点在双曲线上,则将其看成关于，和-1的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆方程可写成：，代值，即解得例6 求椭圆内接三角形ABC面积的最大值。
解：不妨设三角形ABC的坐标分别为，则有（），易知：，点为圆上三点，不妨依次设为，因为，。
又在圆里正三角形面积最大，故，所以，即椭圆内接三角形ABC面积的最大值为。
每个多项式都可以表示成几个多项式的和或者差，而每个多项式又可以表示成几个多项式的乘积，因此利用行列式的定义，就可以将任一多项式表示成一个行列式，进而利用行列式的性质对其进行分析．例如，设任一个多项式为F，它总可以表示成为，其中为多项式，于是。
应用行列式进行分解因式重在构造，利用行列式的性质进行运算，以使得可以提取公因式。
例7 分解因式解： == （第一列乘以1加到第二列）== （提取公因式）==例8 分解因式解：原式例9 分解因式解：原式例10 分解因式解：原式例11 分解因式解：原式。
应用行列式解决代数不等式问题:例12 求证不等式，其中。
证明：要证明，只需证明；（将第二行和第三行分别加到第一行）因为，所以，故得证。
例13 求证不等式。
证明：=（根据行列式线性性质展开）===。
即证。
例14 求证：当时，不等式恒成立。
证明:= （第二行乘以1加到第一行）= （第三行乘以1加到第二行）= （分别从第一行和第二行提取公因式x）==所以当时，。
故不等式恒成立。
例15 用行列式证明柯西不等式: 求证不等式，其中。
证明：，又由于从而，即，即证得柯西不等式。
在中学数学中详细介绍了一元二次方程的解法，而学生要解决未知数含根式或高次的方程就需要较强的解题技巧和思维能力，而采用行列式这个有用的数学工具去解决这类问题就可以取得事半功倍的效果。
例16 解方程：。
解：即，，，或解得：，。
例17 已知反比例函数和一元二次函数，求在实数域内它们的交点所构成的图形的面积。
解：由已知得，即。
= 。
= （第一列乘以1加到第二列）== (提取公因式)==所以，，，在实数域内有三个交点且分别设为A，B和C。
易知，，，即，。
所以这三个交点构成的三角形面积为:将形如的分式有理化（其中 ) ，显然直接采用中学数学现行的理论是不能解决这个问题的，我们不妨利用中学数学中求等比数列前N项和的方法构建一个齐次线性方程组，结合行列式给出解决这类分式有理化的通法。
一般地，不妨设S= ，即将有理化，分别用和去乘S，得到：变形为：，，。
将其看成关于1，，的齐次线性方程组，有非0解，故系数行列式等于0，即：。
所以：。
（其中）例18 将分母有理化。
解：代值求得。
行列式在解决中学数学中的三角函数问题也有妙用，本文通过构造齐次线线性方程组给出余弦定理的行列式证法，和利用行列式的恒等变形的特性解决一些棘手的三角恒等式证明问题。
例19 证明三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
(余弦定理)即证明:由射影定理知，(1)由知等式中不含和,则我们将射影定理变形为：将其看成关于，和-1的三元齐次线性方程组,该方程组必有非0解,所以=0，将其展开有= =0即，得证。
同理可证(2)和(3)。
例20 证明三角恒等式:。
证明：附：1。
应用行列式解决空间几何问题中学数学必修4和选修2-1已经针对平面向量和空间向量有了较为深刻的研究，新课标要求学生掌握空间向量的线性运算和数量积，在此基础上我们引入空间向量的外积和混合积，探寻行列式的几何意义，以新的视角去认识向量与空间几何的紧密关系，开辟新的解题思路和方法，为初等数学和高等数学的衔接做好铺垫。
定义1：两个向量与的外积仍是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为：与均垂直，并且使成右手系，即当右手四指从弯向（转角小于）时，拇指的指向就是的方向。
向量的外积亦称向量积。
定义2：设，，是3个向量，称为这三个向量的混合积。
可记作。
在直角坐标计算向量的外积和混合积：设是一个右手直角标架，，，在其中的坐标分别是，则。
例1 已知正方体的棱长为1，M点是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点。
(2010年四川高考卷18题)(1)求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线;(2)求二面角的大小;(3)求三棱锥的体积。
解：以点D为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系则由已知；(1)证明: =(，，0），=(0,0,1) ,=(-1,-1,1)。
=0, ,, 。
又因为OM与异面直线AA'和BD'都相交,所以OM为异面直线AA'和BD'的公垂线。
(2)取平面的一个法向量为=(0,1,0),设平面的法向量为，因为=(0,1， ) ,所以= = ，= = = 。
由图分析可知,二面角为锐角,故二面角的大小为。
(3)因为=( , ,0) , ，，所以。
例2 如图3所示, 和都是边长为2的正三角形,平面平面，平面，= 。
（2010年江西理科卷）(1)求点A到平面的距离；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值。
解:建立如图4所示的直角坐标系，则由已知，（1）方法一：,,，所以，因为，所以即，所以=，又因为（d为点A到平面MBC的距离），代入值解得。
方法二：设平面的法向量为，因为所以，，又，故。
(2)设平面的法向量为,由于，,从而。
设平面BCD的法向量为,由于,从而，，。
从而平面ACM与平面BCD所成二面角为锐角，其正弦值为。
例3 如图所示，在长方体中，已知=2，E、F分别是线段AB,BC上的点，且，点M、N分别为线段，的中点。
