辅助线练习题 含答案

全等三角形常见五种辅助线添法专训【目录】辅助线添法一 倍长中线法辅助线添法二 截长补短法辅助线添法三 旋转法辅助线添法四 作平行线法辅助线添法五 作垂线法【经典例题一倍长中线法】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】1(2023春·吉林·八年级校考阶段练习)【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法回答下列问题．(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)探究得出AD的取值范围．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【问题解决】(3)如图2，在△ABC中，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE．【变式训练】1(2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期末)小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7，AC=5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≅△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小明证明△BED≅△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)AD的取值范围是；(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分∠BAC，求证：AB= AC．2(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB=5，AC=3，设AD=x，可得x的取值范围是；(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．3(2023·江苏·八年级假期作业)【观察发现】如图①，△ABC 中，AB =7，AC =5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．小明的解法如下：延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ．在△ABD 与△ECD 中BD =DC∠ADB =∠EDCAD =DE∴△ABD ≅△ECD (SAS )∴AB =．又∵在△AEC 中EC -AC <AE <EC +AC ，而AB =EC =7，AC =5，∴<AE <．又∵AE =2AD ．∴<AD <．【探索应用】如图②，AB ∥CD ，AB =25，CD =8，点E 为BC 的中点，∠DFE =∠BAE ，求DF 的长为．(直接写答案)【应用拓展】如图③，∠BAC =60°，∠CDE =120°，AB =AC ，DC =DE ，连接BE ，P 为BE 的中点，求证：AP ⊥DP ．【经典例题二截长补短法】【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法(往往需证2次全等)．【模型图示】(1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段．例：如图，求证BE+DC=AD方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等例：如图，求证BE+DC=AD方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE1(2023·江苏·八年级假期作业)把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．(1)若∠ACD=30°，∠MDN=60°，∠MDN两边分别交AC、BC于点M、N，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在(2)的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论，不必证明)【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．(1)求∠AFC的度数；(2)若AD=6，CE=4，求AC的长．2(2023·江苏·八年级假期作业)在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．(1)如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.(2)如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.3(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF=12∠BAD．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．【经典例题三旋转法】【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等．注：旋转需要特定条件(两个图形的短边共线)，该方法常在半角模型中使用．【模型图示】例：如图，已知AB=AC，∠ABM=∠CAN=90°，求证BM+CN=MN方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE=MN1(2022秋·湖北孝感·八年级统考期中)已知：△ABC≌△DEC，∠ACB=90°，∠B=32°．(1)如图1当点D在AB上，∠ACD．(2)如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．(温馨提示：两三角形可以看成是等底的)【变式训练】1(2023春·全国·八年级专题练习)(1)如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF=45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF= 1∠BAD，此时(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．22(2021秋·天津和平·八年级校考期中)在△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E，(1)如图(1)所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE=；(2)若直线AE绕点A旋转到图(2)位置时，(BD<CE)，其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；(3)若直AE绕点A旋转到图(3)的位置，(BD>CE)，问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．3(2021秋·河南周口·八年级统考期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．(1)操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；(2)猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；(3)拓展延伸若AB=5，BD=7，请你直接写出△ADE的面积．【经典例题四作平行线法】2(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．求让：MD=ME【变式训练】4(2022秋·江苏·八年级专题练习)P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA =CQ，连PQ交AC边于D．(1)证明：PD=DQ．(2)如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=6，求DE的长．5(2022秋·八年级课时练习)读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB =CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.6(2023春·全国·七年级专题练习)已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图(1)，当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图(2)，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则(1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；(3)如图(3)，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上(点D不与A，B重合)，DE所在直线与直线BC交于点M，若CE=2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．【经典例题五作垂直法】1(2022秋·湖北武汉·八年级统考期中)我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①直接写出∠E与∠A的数量关系；②连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由．(2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若已知DE=DC =AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【变式训练】1(2022秋·八年级课时练习)如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC =BC，延长CA到点E，使得AE=AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．(1)求证：△EAF≌△DAF；(2)如图2，连接CF，若EF=FC，求∠DCF的度数．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF=DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．【重难点训练】4(2023·江苏·八年级假期作业)如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC)．(1)求证：AB-AC<2AD<AB+AC；(2)若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围．5(2023·江苏·八年级假期作业)如图1，在△ABC中，若AB=10，BC=8，求AC边上的中线BD的取值范围．(1)小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE=BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．(2)问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB=BM，BC=BN，∠ABM=∠NBC=∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．6(2023春·全国·七年级专题练习)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．7(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．8(2023·江苏·八年级假期作业)课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD=AC，求证：∠ABC=2∠ACB，小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE=AB，连接DE，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF=，连接DF请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD=AC．求证：∠ABC=2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题(书写证明过程)；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD=AC，那么AD平分∠BAC小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．9(2023春·江苏·八年级专题练习)如图，在锐角ΔABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB,AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．10(2023·江苏·八年级假期作业)问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(直接写结论，不需证明)探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．11(2023·全国·九年级专题练习)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；(不需要证明)(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．12(2023春·全国·七年级期末)(1)问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合(D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上)，∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．(2)知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B=180°，AB=AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD=2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．(3)实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB=∠DCE=60°，若DE=a，AD=b，AE=c，求BE的长．(用含a，b，c的式子表示)13(2022秋·八年级课时练习)如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP=DQ；(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．14(2022秋·全国·八年级专题练习)如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB．(1)如图1，若ACB=90°，求证：AB=AC+CD；(2)如图2，若AB=AC+BD，求∠ACB的度数；(3)如图3，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD．15(2023·全国·九年级专题练习)通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG =BE ，在△ABE 与△ADG 中，AB =AD∠B =∠ADG =90°BE =DG∴△ABE ≌△ADG 理由：(SAS )进而证出：△AFE ≌___________，理由：(__________)进而得EF =BE +DF ．【变式探究】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°．若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系________________时，仍有EF =BE +DF ．请证明你的猜想．【拓展延伸】如图，若AB =AD ，∠BAD ≠90°，∠EAF ≠45°，但∠EAF =12∠BAD ，∠B =∠D =90°，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．。

等腰三角形常用辅助线 专题练习 （含答案）AB=AC,AF 平行BC 于F , D 是AC 边上任意一点，延长 BA AF 与DE 的位置关系，并说 明理由•/ AB=AC , AE=AD B= / C , / E= / ADE•••/ B+ / E= / C+ / CDG •// B+ / E= /DGC , •••/ BGE= / CGD=90 •• EG 丄 BC . •/AF // BC解法2：过A 点作△ ABC 底边上的高，再用/ BAC= / D+AED= / 2/ ADE,即/ CAG= / AED,证明 AG // DE 利用 AF // BC 证明AF 丄 DE3.如图，△ ABC 中，BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点， DF 丄AC 交BC 于E,求证：△ DBE是等腰三角形。

证明：在 △ ABC 中，•/ BA=BC ,•••/A= / C , •/ DF 丄 AC ,/ A+ / D=90 , •••/ FEC= / D v/ FEC= / BED ,BED= / D ,是等腰三角形.4.如图，△ ABC 中，AB=AC,E 在AC 上，且 AD=AE,DE 的延长线与 DF 丄 BC.证明：v AB=AC ,•••/ B= / C , 又 v AD=AE , ••/ D= / AED ,•••/ B+ / D= / C+ / AED , •••/ B+ / D= / C+/ CEF , •••/ EFC= / BFE=180 X 1/2 = 90 , • DF 丄 BC; 若把“AD =Ae 与结论“DFL BC ”互换，结论也成立。

若把条件“AB=AC 与结论“ DFL BC ”互换，结论依然成立。

5. 如图，AB=AE,BC=ED, / B= / E,AM 丄 CD, A 求证：CM=MD.证明：连接AC,AD•/ AB=AE, / B= / E,BC=ED ••△ ABC ◎△ AED(SAS)1.如图：已知，点 D 、E 在三角形 ABC 的边BC 上, 证明：作AF 丄BC ,垂足为 又••• AF 丄 BC , AF 丄 DE , 互相重合）。

三角形常见辅助线作法练习题１如图:D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD ＋DE+CE 、2如图:已知D 为△ABC 内得任一点,求证:∠ＢDC>∠ＢA Ｃ。

3如图:已知AD 为△ABC 得中线,且∠1＝∠2,∠３＝∠４,求证:B Ｅ＋CF>EF4如图:ＡD 为 △ABC 得中线,求证:AB+AC>2AD5已知△ＡBC,A Ｄ就是B Ｃ边上得中线,分别以AB 边、AＣ边为直角边各向形外作等腰直角三角形, 求证ＥＦ=2AD 。

6如图:在△ＡB Ｃ中,AB>AC,∠1=∠２,P 为A Ｄ上任一点、求证:ＡB －ＡC ＞ＰＢ-PC 。

7如图:在Ｒｔ△A ＢC 中,A Ｂ=AC,∠B ＡC=9０°,∠1＝∠２,CE ⊥B Ｄ得延长于E 。

求证:ＢＤ＝2ＣEA BCDE F21 B A C DF2 1 E８已知:AB=４,AC ＝2,D 就是BC 中点,A Ｄ就是整数,求AD9已知:B Ｃ＝DE,∠Ｂ=∠E,∠C ＝∠Ｄ,F 就是CD 中点,求证:∠1＝∠２10已知:∠１=∠2,CD=ＤＥ,ＥF/／AB,求证:EF=AC11已知:AD 平分∠ＢAC,AC=ＡB+B Ｄ,求证:∠B=2∠Ｃ12已知:ＡC 平分∠BA Ｄ,ＣE ⊥AB,∠B ＋∠D=１80°,求证:AE=A Ｄ+ＢＥ13、 如图,四边形A ＢＣD 中,ＡB ∥D Ｃ,ＢＥ、CE 分别平分∠ＡBC 、∠BCD,且点E 在AD 上。

求证:B Ｃ＝AB+DC 、1４。

如图,已知∠Ａ=∠D,ＡB ＝D Ｅ,AF ＝ＣD,ＢＣ=EF 、求证:BC ∥EF15:如图,ΔABC 中,AB=AC,E 就是AB 上一点,F 就是AC 延长线上一点,连ＥF 交BC 于Ｄ,若ＥB=C Ｆ。

求证:D Ｅ＝D Ｆ。

16:△ABC 中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP 平分∠ＢAC 交ＢC 于P,BQ 平分∠AB Ｃ交AC 于Q,求证:AB+BP ＝BQ+AQ 。

2019-2020年八年级数学下册专题讲解+课后训练：梯形的辅助线课后练习及详解题一：(1)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，腰AB= 4，两底之差为2，求另一腰CD的长；(2)在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，AD=8，BC=14，求梯形ABCD的周长；(3)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=AD=BC，且对角线AC垂直于腰BC，求这个梯形各内角的度数；(4)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，则EF= ．题二：(1)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E、F、M、N分别为AB、CD、BC、DA的中点，已知BC=7，MN=3，则EF= ；(2)如图，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则梯形ABCD的面积为；(3)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB= 4，BC=7，求∠B的度数；(4)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，E在BC上，CE=2，则DE= ．题三：已知：等腰梯形的上底是2cm，腰长是4cm，一个底角是60°，则等腰梯形的下底是cm．题四：已知：等腰梯形的一个底角等于60°，它的两底分别为4cm和7cm，则它的周长为cm．题五：如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，且AD= 4，BC=8，求AC的长．题六：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，求梯形ABCD 面积的最大值．题七：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF ⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，求CE的长．题八：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N分别为AB、CD的中点，求线段MN的长．题九：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB= 4，AD=3，BC=5，点M是边CD的中点，连接AM、BM．求△ABM的面积．题十：如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，∠B=90°，AB=AD+BC．点E 是CD的中点，点F是AB上的点，∠ADF= 45°，FE=a，梯形ABCD的面积为m．(1)求证：BF=BC；(2)求△DEF的面积(用含a、m的代数式表示)．题十一：以线段a=16，b=13为梯形的两底，c=10，d=6为腰画梯形，这样的梯形() A．只能画出一个B．能画出2个C．能画出无数个D．不能画出题十二：以线段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四边形，这样的梯形(不全等的)() A．至少能做3个B．恰好能做2个C．仅仅只能做1个D．一个也不能做梯形的辅助线课后练习参考答案题一：(1)2；(2)34；(3)60°，60°，120°，120°；(4)1．详解：(1)过D作DE⊥BC于E，∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，∴四边形ADEB是个矩形，∴AB=DE= 4，CE=BC AD=2，Rt△DEC中，CD===2；；(2)过A、D点作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵AB=CD，∠B=∠C，AE=DF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=CF，∵AD=8，BC=14，BE=CF=3，又∵在Rt△ABE中，∠B=60°，∴AB=2BE=6，∴梯形ABCD的周长为8+14+6+6=34；(3)如图所示，过点C作CE∥AD，又DC∥AE，∴四边形AECD为平行四边形，又DC=AD=BC，∴四边形AECD为菱形，∴AE=CE=BC，∴∠EAC=∠ECA，∠CEB=∠B，∵∠B+∠CAB=90°，即3∠CAE=90°，∴∠CAE=30°，∴∠B=60°=∠DAB，∠D=∠DCB=120°；(4)过点E作AB、CD的平行线，与BC分别交于G，H，∵∠B+∠C=90°，∴∠EGH=∠B，∠EHG=∠C，∴∠EGH+∠EHG=90°，∴四边形ABGE和四边形CDEH都是平行四边形，△EGH为直角三角形，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴BG=CH=0.5，GH=2，根据直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半知，EF=GH=1，∴EF=1．题二：(1)4；(2)12；(3)60°；(4)5．详解：(1)过点N分别作NG∥AB，NH∥CD，得平行四边形ABGN和平行四边形DCHN，∴∠NGM+∠NHM=∠B+∠C=90°，GH=BC AD，MG=MH，∴GH=2MN=6，∴AD=76=1，∴EF= 4；(2)∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠D+∠DCB=180°，∵∠D=120°，∴∠B=∠DCB=60°，∵对角线CA平分∠BCD，∴∠ACB=30°，∵AD=DC，∴∠DAC=∠ACD=30°，∴∠BAC=90°，∴BC=2AB，∵梯形的周长为AD+DC+BC+AB=5AB=20，∴AB= 4，∴AC=4，BC=8，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB= 4，AC=4，BC=8，∴AE=2，∴梯形ABCD的面积为(4+8)×2×=12；(3)过点A作AE∥DC交BC于E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴EC=AD=3，DC=AE，∴BE=BC CE=73= 4，∴CD=AB= 4，∴AE=AB=BE= 4，∴△ABE是等边三角形，∴∠B=60°；(4)过D作DF∥AC交BC的延长线于F，∵AD∥BC，∴四边形ACFD是平行四边形，∴CF=AD=3，∵BC=7，∴BF=BC+CF=7+3=10，∵CE=2，∴BE=72=5，EF=2+3=5，∴BE=EF，又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴∠BDF=90°，∴DE=BF=5．题三：6cm．详解：过D作DE∥AB交BC于E，∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE=2cm，DE=AB=4cm，∠DEC=∠B=60°，AB=DE=DC，∴△DEC是等边三角形，∴EC=CD= 4cm，∴BC= 4cm+2cm=6cm．题四：17cm．详解：过上底顶点D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，AD=BE，∵梯形的一个底角是60°，∴∠C=60°，又∵腰长AB=CD=DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=BC BE=74=3cm，∴它的周长为3+7+3+4=17cm．题五：．详解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，∵AD∥BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴ADEC是平行四边形，∴AD=CE，AC=DE，即可得出BE=BC+CE=BC+AD=12，又∵AC=BD，∴BD=ED，∴△BDE为等腰直角三角形，∴AC=BD=．题六：25．详解：过D作DE∥AC交BC延长线于E，∵AD∥BC，DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∴根据等底等高的三角形面积相等得出△ADC的面积等于△DCE的面积，即梯形ABCD的面积等于△BDE的面积，∵AC⊥BD，DE∥AC，∴∠BDE=90°，BE=3+7=10，∴此时△BDE的边BE边上的高越大，它的面积就越大，即当高是BE时最大，即梯形的最大面积是×10××10=25．题七：2.3．详解：延长AF、BC交于点G，∵AD∥BC，∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G，又DF=CF，∴△AFD≌△GFC，∴AG=2AF=8，CG=AD=2.7，∵AF⊥AB，AB=6，∴BG=10，∴BC=BG CG=7.3，∵AE=BE，∴∠BAE=∠B，∴∠EAG=∠AGE，∴AE=GE，∴BE=BG=5，∴CE=BC BE=2.3．题八：3．详解：如图，过D作DE∥BC，DF∥MN，∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC，∴CD=BE=5，AE=AB BE=115=6，∵M为AB的中点，∴MB=AM=AB=×11=5.5，ME=MB BE=5.55=0.5，∵N为DC的中点，∴DN=DC=×5=2.5，在四边形DFMN中，DC∥AB，DF∥MN，∴FM=DN=2.5，∴FE=FM+ME=2.5+0.5=3=AE，∴F为AE的中点，又∵DE∥BC，∴∠B=∠AED，∵∠A+∠B=90°，∴∠A+∠AED=90°，∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形，∴DF=MN=AE=×6=3．题九：8．详解：延长AM交BC的延长线于点N，∵AD∥BC，∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，∵点M是边CD的中点，∴DM=CM，∴△ADM≌△NCM(AAS)，∴CN=AD=3，AM=MN=AN，∴BN=BC+CN=5+3=8，∵∠ABC=90°，∴S△ABN=×AB•BN=×4×8=16，∴S△ABM=S△ABN=8，即△ABM的面积为8．题十：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是直角梯形，∴∠A=90°，∵∠ADF=45°，∴∠AFD= 45°，∴AD=AF，∵AB=AF+BF，AB=AD+BC，∴BF=BC；(2)连接FC，设AD=AF=x，BC=BF=y，连接CF，作DH⊥BC于H，易证四边形ABHD为矩形、△CDF为直角三角形，又∵E是CD中点，∴CD=2EF=2a，由勾股定理得x2+y2=2a2…①，由直角梯形的面积公式可得：(x+y)2=2m…②，由②①，得xy=m a2，∵S△DFC=S梯形ABCD S△AFD S△BFC=(x+y)2 x2 y2 = xy，∴S△DEF=S△DFC=m a2．题十一：D．详解：如图，过点B作BE∥AD，则出现平行四边形ABED和一个△BEC，∵AB=13，CD=16，AD=10，BC=6∴CE=3，BE=10，∵3+6＜10，∴BE，CE，BC不能构成三角形∴这样的梯形一个也不能作．故选D．题十二：C．详解：作DE∥AB，则DE=AB，①当a=5为上底，b=10为下底，c、d为腰时，105=5，与15，20不能构成三角形，故不满足题意；②当a=5为上底，b=15为下底，b、d为腰时，155=10，与10，20不能构成三角形，故不满足题意；③当a=5为上底，d=20为下底，b、c为腰时，205=15，与10，15可以构成三角形，故满足题意；④当b=10为上底，c=15为下底，a、d为腰时，1510=5，与5，20不能构成三角形，故不满足题意；⑤当b=10为上底，d=20为下底，a、c为腰时，2010=10，与5，15不能构成三角形，故不满足题意；⑥当c=15为上底，d=20 为下底，a、b为腰时，2015=5，与5，10不能构成三角形，故不满足题意；综上可得只有当a=5为上底，d=20为下底，b、c为腰时，满足题意，即以线段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四边形，这样的梯形(不全等的)只能做一个．故选C．.。

专题12.18 三角形全等作辅助线模型（三）-倍长中线（专项练习）（培优篇）一、解答题1．已知，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点D 为边AB 的中点，AE CD ⊥分别交CD ，BC 于点F ，E ．（1）如图1，①若AB AC =，请直接写出EAC BCD ∠-∠=______；①连接DE ，若2AE DE =，求证：DEB AEC ∠=∠；（2）如图2，连接FB ，若FB AC =，试探究线段CF 和DF 之间的数量关系，并说明理由．2．（1）阅读理解：如图1，在ABC 中，若10AB =，6AC =．求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，再连接BE （或将ACD △绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △），把AB ，AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；（2）问题解决：如图2，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，CB CD =，140BCD ∠=︒，以C 为顶点作一个70︒角，角的两边分别交AB ，AD 于E ，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．3．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线．求证：2AB AC AD +>．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD 至E ，使DE AD =，①AD 是BC 边上的中线①BD CD =在BDE ∆和CDA ∆中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①BDE CDA ∆∆≌（依据一）①BE CA =在ABE ∆中，AB BE AE +>（依据二）①2AB AC AD +>．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______________________________________________；依据2：______________________________________________．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD ，使DE AD =，构造了一对全等三角形，将AB ，AC ，AD 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，3AB =，4AC =，则AD 的取值范围是_____________；任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB 和AC 为边作等腰直角三角形，在Rt ABE ∆中，90BAE ∠=︒，AB AE =；Rt ACF ∆中，90CAF =︒∠，AC AF =．连接EF ．试探究EF 与AD 的数量关系，并说明理由．4．已知：①ABC 和①ADE 都是等腰直角三角形，①ACB=①ADE=90°，点M 是BE 的中点，连接CM 、DM ．（1）当点D 在AB 上，点E 在AC 上时（如图一），求证：DM=CM ，DM①CM ； （2）当点D 在CA 延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）； （3）当ED①AB 时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．5．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，8,6AB AC ==，求AD 的取值范围，我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM （如图2所示），这样就可以求出2AD 的取值范围，从而得解，请写出解题过程；（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图3，AD 是ABC ∆的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE EF =，求证：AC BF =．6．（阅读理解）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，①ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到①ADC①①EDB 的理由是_____.A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL(2)求得AD 的取值范围是______.A ．6＜AD ＜8B ．6≤AD≤8C ．1＜AD ＜7 D ．1≤AD≤7（感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.（问题解决）(3)如图2，AD 是①ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF.求证：AC ＝BF. 7．已知AE AB ⊥，DA AC ⊥，AE AB =，AD AC =．直线MN 过点A ，交DE 、BC于点M 、N ．（1）若AM 是EAD 中线，求证：AN BC ⊥；（2）若AN BC ⊥，求证：EM DM =．8．已知：如图，D 是①ABC 边BC 上一点，且CD ＝AB ，①BDA ＝①BAD ，AE 是①ABD 的中线．求证：AC ＝2AE ．9．如图, AB=CB, BD=BE, ①ABC=①DBE=α.(1)当α=60°, 如图则，①DPE 的度数______________(2)若①BDE 绕点B 旋转一定角度，如图所示，求①DPE （用α表示）(3)当α=90°，其他条件不变，F 为AD 的中点，求证 ：EC ① BF10．已知：在ABC ∆中，90ABC ACB ∠-∠=︒，点D 在BC 上，连接AD ，45ADB ∠=︒. （1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；（2）如图2，点E 为BC 的中点，过点E 作AD 的垂线分别交AD 的延长线，AB 的延长线，AC 于点F G H ，，，求证：BG CH =；（3）如图3，在（2）的条件下，过点E 分别作EM AG ⊥于点M EN AC ⊥，于点N ，若26AB AC +=，1203EM EN +=，求AFG ∆的面积.11．如图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 上两点，且BD CE =，求证：AB AC AD AE +>+.12．如图，AB AE =，AD AC =，180BAE DAC ∠+∠=︒，点F 为DE 的中点，求证：2BC AF =.参考答案1．（1）①45°；①见解析；（2）2CF DF =，理由见解析【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得90︒和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题．①延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，从而可证明ADG ①BDE （SAS ），再利用全等的性质，可知DGA DEB ∠=∠，即可知道//AG BC ，所以GAE AEC ∠=∠，根据题干又可得到AE EG =，所以DGA GAE ∠=∠，从而得出结论．（2）延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，从而可证明HDB ①FDA △（SAS ），再利用全等的性质，可知BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，根据题干即可证明Rt HBF △①Rt FAC △（HL ），即得出结论． 【详解】（1）①①90EAC ACD ∠+∠=︒，90AEC BCD ∠+∠=︒①EAC BCD AEC ACD ∠-∠=∠-∠①90EAC BAE ∠+∠=︒①ACD BAE ∠=∠又①AEC B BAE ∠=∠+∠①EAC BCD B BAE ACD ∠-∠=∠+∠-∠①45EAC BCD B ∠-∠=∠=︒故答案为45︒．①如图，延长ED 至点G ，使得DG DE =，连接AG ，①点D 为AB 的中点，①BD AD =，又①ADG BDE ∠=∠，①ADG ①BDE ，①DGA DEB ∠=∠，①//AG BC ，①GAE AEC ∠=∠，又①2AE DE =，①AE EG =，①DGA GAE ∠=∠，①DEB AEC ∠=∠．（2）2CF DF =．如图，延长CD 至点H ，使得DH DF =，连接BH ，①AD BD =，ADF BDH ∠=∠，①HDB ①FDA △，①BH AF =，90H AFD AFC ∠=∠=∠=︒，①BF AC =．①Rt HBF △①Rt FAC △，①2CF HF DF ==．【点拨】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．2．（1）28AD <<；（2）见解析；（3）BE DF EF +=，见解析【分析】（1）延长AD 至E ，使DE=AD ，由SAS 证明①ACD①①EBD ，得出BE=AC=6，在①ABE 中，由三角形的三边关系求出AE 的取值范围，即可得出AD 的取值范围；（2）延长FD 至点M ，使DM=DF ，连接BM 、EM ，同（1）得①BMD①①CFD ，得出BM=CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF ，在①BME 中，由三角形的三边关系得出BE+BM ＞EM 即可得出结论；（3）延长AB 至点N ，使BN=DF ，连接CN ，证出①NBC=①D ，由SAS 证明①NBC①①FDC ，得出CN=CF ，①NCB=①FCD ，证出①ECN=70°=①ECF ，再由SAS 证明①NCE①①FCE ，得出EN=EF ，即可得出结论．【详解】（1）解：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，如图①所示：①AD 是BC 边上的中线，①BD=CD ，在①BDE 和①CDA 中，BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①BDE①①CDA （SAS ），①BE=AC=6，在①ABE 中，由三角形的三边关系得：AB -BE ＜AE ＜AB+BE ，①10-6＜AE ＜10+6，即4＜AE ＜16，①2＜AD ＜8；故答案为：2＜AD ＜8；（2）证明：延长FD 至点M ，使DM DF =，连接BM ，EM ，如图所示 同（1）得，()BMD CFD SAS ∆≅∆，BM CF ∴=DE DF ⊥，DM DF =，DE DE =()EDM EDF SAS ∴∆≅∆，EM EF ∴=在BME ∆中，由三角形的三边关系得BE BM EM +>，BE CF EF ∴+>（3）BE DF EF +=证明如下：延长AB 至点N ，使BN DF =，连接CN ，如图所示180ABC D ∠+∠=︒，180NBC ABC ∠+∠=︒NBC D ∴∠=∠在NBC ∆和FDC ∆中，BN DF NBC D BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()NBC FDC SAS ∴∆≅∆CN CF ∴=，NCB FCD ∠=∠140BCD ∠=︒，70ECF ∠=︒70BCE FCD ∴∠+∠=︒，70ECN ECF ∴∠=︒=∠在NCE ∆和FCE ∆中，CM CF ECN ECF BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()NCE FCE SAS ∴∆≅∆，EN EF ∴=．BE BN EN +=，BE DF EF ∴+=【点拨】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．3．任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：1722AD ＜＜；任务三：EF=2AD ，见解析【分析】任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；依据2：根据三角形三边关系判断；任务二：可根据任务一的方法直接证明即可；任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可．【详解】解：任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边． 任务二：1722AD ＜＜任务三：EF=2AD ．理由如下：如图延长AD 至G ，使DG=AD ，①AD 是BC 边上的中线①BD=CD在①ABD 和①CGD 中BD CD BDA CDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABD①①CGD①AB=CG ，①ABD=①GCD又①AB=AE①AE=CG在①ABC 中，①ABC+①BAC+①ACB=180°，①①GCD+①BAC+①ACB=180°又①①BAE=90°，①CAF=90°①①EAF+①BAC=360°-（①BAE+①CAF ）=180°①①EAF=①GCD在①EAF 和①GCA 中AE CG EAF GCA AF AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①EAF①①GCA①EF=AG①EF=2AD ．【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．4．（1）证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）如图一中，延长DM 使得MN DM =，连接BN 、CN ，先证明DME NMB ∆≅∆，再证明ACD BCN ∆≅∆即可解决问题．（2）补充图形如图二所示，延长DM 交CB 的延长线于N ，只要证明DME NMB ∆≅∆，再证明CDN ∆是等腰直角三角形即可．（3）如图三中，如图一中，延长DM 使得MN DM =，连接BN 、CN ，CD ，先证明DME NMB ∆≅∆，再证明ACD BCN ∆≅∆即可．【详解】（1）证明：如图一中，延长DM 使得MN=DM ，连接BN 、CN ．在①DME 和①NMB 中，DM MN DME NMB ME MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①DME①①NMB ，①DE=BN ，①MDE=①MNB ，①DE①NB ，①①ADE=①ABN=90°，①①ABC 和①ADE 都是等腰直角三角形，①ACB=①ADE=90°，①AD=DE=BN ，AC=BC ，①A=①ABC=45°，①①CBN=45°=①A ，在①ACD 和①BCN 中，AC BC A CBN AD BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ACD①①BCN ，①DC=CN，①ACD=①BCN，①①DCN=①ACB=90°，①①DCN是等腰直角三角形，①DM=MN，①DM=CM．DM①CM（2）解：如图二所示延长DM交CB的延长线于N，①①ABC和①ADE都是等腰直角三角形，①ACB=①ADE=90°，①AD=DE=BN，AC=BC，①A=①ABC=45°，①①EDC+①DCN=180°，①DE①CN，①①EDM=①N在①DME和①NMB中，EDM NEMD NMB EM BM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①DME①①NMB，①DE=BN=AD，DM=MN，①CD=CN，①①CDN=①N=45°，CM=DM=MN，CM①DN，①DM=CM．DM①CM．（3）证明：如图三中，如图一中，延长DM交AB于N连接CN．①DE①AB ，①①MBN=①MED ，在①DME 和①NMB 中，MBN MED BM EM BMN EMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①①DME①①NMB ，①DE=BN=AD ，DM=MN ，①①ABC 和①ADE 都是等腰直角三角形，①ACB=①ADE=90°，①AD=DE=BN ，AC=BC ，①BAC=①ABC=45°，①①AED+①BAE=180°，①①BAE=135°，①①BAC=①EAD=45°，①①DAC=①CBN=45°在①ACD 和①BCN 中，AC BC DAC NBC AD BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ACD①①BCN ，①DC=CN ，①ACD=①BCN ，①①DCN=①ACB=90°，①①DCN 是等腰直角三角形，①DM=MN ，①DM=CM ．DM①CM【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、 等腰直角三角形的性质等知识， 解题的关键是添加辅助线构造全等三角形， 记住中线延长一倍是常用辅助线， 属于中考常考题型． 5．（1）17AD <<；（2）见解析．【分析】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ∆≅∆，从而得BM AC =，根据三角形三边关系，可得214AM <<，进而即可求解；（2）先证ADC MDB ∆≅∆，结合AE EF =，可得BM BF =，结合BM AC =，即可得到结论．【详解】（1）AD DM BD CD ADC MDB ==∠=∠，，，ADC MDB ∴∆≅∆（SAS ）， ①BM AC =，①在ABM ∆中， 214AM <<，即：2214AD <<，①AD 的范围是：17AD <<；（2）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，由（1）知：ADC MDB ∆≅∆，M CAD BM AC ∴∠=∠=，，AE EF =，CAD AFE ∴=∠，MFB AFE ∠=∠，BMF BFM ∴∠=∠，BM BF ∴=，AC BF ∴=．【点拨】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，三角形三边的关系，等腰三角形的性质和判定定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．6．(1)B ；(2)C ；(3)证明见解析.【分析】(1)根据AD ＝DE ，①ADC ＝①BDE ，BD ＝DC 推出①ADC 和①EDB 全等即可；(2)根据全等得出BE ＝AC ＝6，AE ＝2AD ，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD ＜8+6，求出即可；(3)延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，根据SAS 证①ADC①①MDB ，推出BM ＝AC ，①CAD ＝①M ，根据AE ＝EF ，推出①CAD ＝①AFE ＝①BFD ，求出①BFD ＝①M ，根据等腰三角形的性质求出即可.【详解】（1）解：在①ADC 和①EDB 中AD DE ADC BDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ADC①①EDB(SAS)，故选B ；（2）解：如图：①由(1)知：①ADC①①EDB ，①BE ＝AC ＝6，AE ＝2AD ，①在①ABE 中，AB ＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD ＜8+6，①1＜AD ＜7，故选C.（3）延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，①AD 是①ABC 中线，①CD ＝BD ，①在①ADC 和①MDB 中DC DB ADC MDB DA DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ADC①①MDB ，①BM ＝AC ，①CAD ＝①M ，①AE ＝EF ，①①CAD ＝①AFE ，①①AFE ＝①BFD ，①①BFD ＝①CAD ＝①M ，①BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF.【点拨】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．7．（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）延长AM 至F ，使MF AM =，易证EMF △①DMA △，可得DAM F ∠=∠，EF AD =，再根据AD AC =可得EF AC =，再利用①BAC 、①BAE 、①EAD 和①DAC 四个角和为360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠，利用①AEF 的内角和可得180AEF DAE ∠=︒-，可得BAC AEF ∠=∠，即可证明ABC △①EAF △，最后利用等角的余角相等的等量代换以及①ABN 的内角和为180°可得出结论.（2）过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，根据DA AC ⊥，可得90DAM CAN ∠+∠=︒；AN BC ⊥，可得90CAN C ∠+∠=︒，等量代换得出F DAM C ∠=∠=∠．根据周角等于360°，可得180BAC DAE ∠=︒-∠；根据三角形内角和可得180∠=︒-∠AEF DAE ，可得BAC AEF ∠=∠，则可证明ABC △①EAF △（AAS ），得到EF AC =；易证EFM △①DAM △，即可得到EM DM =．【详解】解：（1）如图，延长AM 至F ，使MF AM =，①AM 是EAD 中线，①EM DM =．在EMF △和DMA △中，EM DM EMF AMD MF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①EMF △①DMA △（SAS ）．①DAM F ∠=∠，EF AD =．①AD AC =，①EF AC =．①AE AB ⊥，DA AC ⊥，①360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ①180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-，①BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，EF AC BAC AEF AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①ABC △①EAF △（SAS ）．①EAF B ∠=∠．①AE AB ⊥，①90EAF BAN ∠+∠=︒．①90B BAN ∠+∠=︒．在ABN 中，()1801809090ANB B BAN ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，①AN BC ⊥． （2）如图，过点E 作EF AD ∥交AM 的延长线于F ，则F DAM ∠=∠，①DA AC ⊥，①90DAM CAN ∠+∠=︒．①AN BC ⊥，①90CAN C ∠+∠=︒．①F DAM C ∠=∠=∠．①AE AB ⊥，DA AC ⊥，①360902180BAC DAE DAE ∠=︒-︒⨯-∠=︒-∠． ①180180180AEF F EAM DAM EAM DAE ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠， ①BAC AEF ∠=∠．在ABC △和EAF △中，BAC AEF F C AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①ABC △①EAF △（AAS ）．①EF AC =．①AD AC =，①EF AD =．在EFM △和DAM △中，F DAM EMF DMA EF AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①EFM △①DAM △（AAS ）．①EM DM =．【点拨】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.8．见解析.【分析】延长AE 到F ，使EF=AE ，连接DF,，可证明①ABE①①FDE ，则①BAE=①EFD ，再由外角的性质得出①ADF=①ADC ，则①ADF①①ADC ，则AF=AC ，从而得出AC=2AE.【详解】证明：延长AE 到F ，使EF=AE ，连接DF①AE 是①ABD 的中线．①BE=ED在①ABE 和①FDE 中，BE DE AEB DEF AE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABE①①FDE （SAS ）①AB=DF ，①BAE=①EFD①①ADB 是①ADC 的外角①①DAC+①ACD=①ADB=①BAD①①BAE+①EAD=①BAD①BAE=①EFD①①EFD+①EAD=①DAC+①ACD①①ADF=①ADC①AB=DC①DF=DC在①ADF 和①ADC 中，AD AD ADF ADC FD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ADF①①ADC （SAS ）①AF=AC①AF=AE+EF，AE=ED①AC=2AE【点拨】本题主要考查三角形全等的判定与性质，还涉及三角形中线定义、三角形外角定理等知识点，作出辅助线以及熟练掌握三角形全等的性质定理是解题关键.9．（1）60°；（2）α；（3）证明见解析．【分析】（1）由SAS证明①ABE①①CBD，得到①AEB=①CDB，再由对顶角相等及三角形内角和公式可得①EPD=①EBD即可；（2）与（1）同理可求①DPE=①DBE，即可得出结论；（3）延长BF到K，使FK=BF，连接KD，延长EC交BK于M．由SAS证明①AFB①①DFK，得到AB=KD，①ABF=①DKF，进而得到BC=KD，KD①AB，再证明①BDK=①4，得到①EBC①①BDK，由全等三角形对应角相等得到①1=①2，即可得出结论．【详解】（1）如图1，设BE和CD相交于M．①①ABC=①DBE，①①ABE=①CBD．在①ABE和①CBD中，①AB BCABE CBDBE BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABE①①CBD（SAS），①①AEB=①CDB．在①PME和①BMD中，①①PME=①BMD，①AEB=①CDB，①①EPD=180°－①AEB－①PME=180°－①CDB－①BMD=①MBD=60°；（2）如图2，同理可求①DPE=①DBE=α；（3）如图3，延长BF 到K ，使FK =BF ，连接KD ，延长EC 交BK 于M ．①AF =DF ，①AFB =①DFK ，BF =KF ，①①AFB ①①DFK ，①AB =KD ，①ABF =①DKF ，①BC =KD ，KD ①AB ，①①BDK +①ABD =180°，①①BDK =180°－①ABD =180°－（①2+①3+①4+①5）=180°－[（90°－①4）+90°]=①4．在①EBC 和①BDK 中，①EB =BD ，①4=①BDK ，BC =DK ，①①EBC ①①BDK ，①①1=①2． ①①2+①EBK =90°，①①1+①EBK =90°，①①EMB =90°，①EC ①BF ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，此类题目往往求解思路相同，证明三角形全等是解题的关键．10．(1)见解析；（2）见解析；（3）30【解析】【分析】（1）设ACB α∠=，根据条件90ABC ACB ∠-∠=︒以及外角性质可得①ADB=①C+①CAD=45°，所以9090ABC ACB a ∠=∠+︒=+︒，45CAD ADB C α∠=∠-∠=︒-，由三角形内角和定理可得()18090902BAC ααα∠=︒-+︒-=︒-，从而求解； （2）过点B 作BT GH ⊥于点T ，过点C 作CR GH ⊥的延长线于点R ，可证G AHG CHR ==∠∠∠，利用AAS 证明BET CER ∆∆≌，得出BT CR =，再利用AAS证明BGT CHR ∆∆≌即可证明；（3）连接AE ，由ASA 易证AFG AFH ∆∆≌ ，所以AG AH =，26AB AC += ，因为()()26AG BG AH CH -++= ，所以13AG AH ==，又因为AGH AEG AEH S S S ∆∆∆=+ 所以()111313120131360222213AGH S EM EN EM EN ∆=⨯⨯+⨯⨯=⨯+=⨯=，因为111222AGH AFG FG GH S GH AF S FG AF ∆∆==⨯⨯=⨯⨯，所以1302AFG AGH S S ∆∆== 【详解】（1）证明：如图1 令ACB α∠=，①90ABC ACB ∠-∠=︒，①ADB=①C+①CAD=45°，①9090ABC ACB a ∠=∠+︒=+︒，45CAD ADB C α∠=∠-∠=︒-在ABC ∆中 ①180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒①()18090902BAC ααα∠=︒-+︒-=︒-=2（45°-α ）①45BAD BAC CAD CAD α∠=∠-∠=︒-=∠（2）如图2 过点B 作BT GH ⊥于点T ，过点C 作CR GH ⊥的延长线于点R ①AF GH ⊥①90AFG AFH ∠=∠=︒①9090G FAG AHF FAH ∠+∠=∠+∠=︒︒①G AHG CHR ==∠∠∠在BET ∆和CER ∆中 90BET CER BTE CRE BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①BET CER ∆∆≌①BT CR =由（1）得BAD CAD ∠=∠，①HG①AF ，①①BGT=①AHG=①CHR ，在BGT ∆和CHR ∆中 90BGT CHR BTG CRH BT CR ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①BGT CHR ∆∆≌①BG CH =（3）如图3 连接AE在AFG ∆和AFH ∆中 FAG FAH AF AFAFG AFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①AFG AFH ∆∆≌①AG AH =①26AB AC +=①()()26AG BG AH CH -++=①13AG AH ==①AGH AEG AEH S S S ∆∆∆=+ ①()111313120131360222213AGH S EM EN EM EN ∆=⨯⨯+⨯⨯=⨯+=⨯= ①111222AGH AFG FG GH S GH AF S FG AF ∆∆==⨯⨯=⨯⨯ ①1302AFG AGH S S ∆∆==【点拨】本题考查角平分线的判定、全等三角形的证明与性质，三角形面积的计算，解题关键是恰当做出辅助线.11．详见解析【解析】【分析】如图，取DE 的中点O ，连结AO 并延长至点F ，使OF OA =，连结EF 、CF ，证明AOD FOE ∆∆≌，从而可得AD=EF ，同理可得AB=CF ，延长AE 交CF 于点G ，在ACG ∆中，根据三角形三边关系可得到AC CG AE EG +>+，在EFG ∆中，EG FG EF +>，继而通过推导即可得出答案.【详解】如图，取DE 的中点O ，连结AO 并延长至点F ，使OF OA =，连结EF 、CF ， AO FO =，DO EO =，AOD FOE ∠=∠，AOD FOE ∴∆∆≌，AD EF ∴=，同理可证：AB CF =，延长AE 交CF 于点G ，在ACG ∆中，AC CG AG +>，即AC CG AE EG +>+，①在EFG ∆中，EG FG EF +>，①①+①得，AC CG EG FG AE EG EF +++>++，即AC CF AE EF +>+，AB AC AD AE ∴+>+.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确添加辅助线，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.12．详见解析【分析】如图，延长AF 至G ，使AF FG =，连结EG ，证明ADF GEF ∆∆≌，从而可得AD GE =，ADF GEF ∠=∠，继而得GEA BAC ∠=∠，再证明AEG ACB ∆∆≌，可得AG=BC ，继而可得结论.【详解】如图，延长AF 至G ，使AF FG =，连结EG ，又DF EF =，AFD GFE ∠=∠，ADF GEF ∴∆∆≌，AD GE ∴=，ADF GEF ∠=∠.AD GE ∴，180GEA DAE ∴∠+∠=︒，180BAE DAC ∴∠+∠=︒，180DAE BAC ∴∠+∠=︒，GEA BAC ∴∠=∠，又AB AE =，AC AD =，AC GE ∴=，AEG ACB ∴∆∆≌，AG BC ∴=，即2BC AF =.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据倍长中线正确添加辅助线是解题的关键.。

14页辅助线-初二辅助线的作法例题及练习答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANDCB AEF A全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB A应用：1、（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥ACCCBA2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD3、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

辅助线专题练习1．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝10，DE ＝4，则△BCE 的面积等于（ ）A ．16B ．20C ．28D ．402．如图，△ABC 内有一点D ，AD 平分∠CAB ，CD ⊥AD 于点D ，连接DB ，若△ADB 的面积为3cm 2，则△ABC 的面积为（ ）A ．5cm 2B ．6cm 2C ．7cm 2D ．8cm 23．如图，点P 是∠BAC 平分线AD 上的一点，AC ＝9，AB ＝5，PB ＝3，则PC 的长不可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．如图．四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝3，AB ＝5，AD ＝6．若点M 是线段BD 的中点，则CM 的长为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3`5．已知△ABC是等边三角形，点P在AB上，过点P作PD⊥AC，垂足为D，延长BC至点Q，使CQ＝AP，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边三角形ABC的边长为4，那么线段DE的长为（）A．1B．2C．1.8D．2.56．如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB＝3，则AC长（）A．2.5B．2C．1D．1.57．如图，∠B＝∠C＝90°，M为是BC的中点，AM平分∠BAD，且∠CDM＝55°，则∠AMB的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，点F，G分别在边AB，AC上，且DF ＝DG，△ADG与△ADF的面积分别是14和4，则△DEF的面积是（）A．10B．6C．5D．49．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（）A．2B．3C．4D．510．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论，其中错误的是（）A．AC＝BD B．∠AMB＝36°C．MO平分∠AMD D．OM平分∠AOD 11．已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝．12．如图，把△ABC放置在平面直角坐标系中，已知AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），点C在第四象限，则点C的坐标是．13．如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为．14．如图，已知AB＝BC＝AD，AD⊥BC于点E，AC⊥CD，若CD=53，则△ACD的面积为．15．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC ＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝．16．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝．17．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．（1）若AF＝3，求AD的长；（2）证明：DE＝2DF．18．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．19．已知A（﹣10，0），以OA为边在第二象限作等边△AOB．（1）求点B的横坐标；（2）如下图，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数．20．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝∠D＝60°，AE平分∠BAC，若BD＝8cm，DE＝3cm，求BC的长．21．如图，AB＝BD，AE＝EB，∠ACB＝∠ABC，证明：CD＝2CE．辅助线专题练习（答案）1．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝10，DE ＝4，则△BCE 的面积等于（ ）A ．16B ．20C ．28D ．40【解答】解：过E 作EM ⊥BC 于M ，∵CD ⊥AB ，EM ⊥BC ，BE 平分∠ABC ，DE ＝4，∴EM ＝DE ＝4，∵BC ＝10，∴△BCE 的面积是12×BC ×EM =12×10×4 ＝20，故选：B ．2．如图，△ABC 内有一点D ，AD 平分∠CAB ，CD ⊥AD 于点D ，连接DB ，若△ADB 的面积为3cm 2，则△ABC 的面积为（ ）A ．5cm 2B ．6cm 2C ．7cm 2D ．8cm 2【解答】解：延长CD 交AB 于E ，∵AD 平分∠CAB ，CD ⊥AD 于点D ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ADC ＝∠ADE ＝90°，在△ADC 与△ADE 中，{∠CAD =∠EAD AD =AD ∠ADC =∠ADE，∴△ADC≌△ADE（ASA），∴CD＝DE，∴S△ACD＝S△ADE，S△BCD＝S△BDE，∴S△ABC＝2S△ADB，∵△ADB的面积为3cm2，∴△ABC的面积为6cm2，故选：B．3．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：在AC上截取AE＝AB＝5，连接PE，∵AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD＝∠BAD，在△APE和△APB中，{AE =AB ∠CAP =∠BAD AP =AP，∴△APE ≌△APB （SAS ），∴PE ＝PB ＝3，∵4﹣3＜PC ＜4+3，解得1＜PC ＜7，∴PC 不可能为7，故选：D ．4．如图．四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝3，AB ＝5，AD ＝6．若点M 是线段BD 的中点，则CM 的长为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3【解答】解：延长CM 交AD 于N ，如图所示：∵点M 是线段BD 的中点，∴BM ＝DM ，∵AD ∥BC ，∴∠CBM ＝∠NDM ，∠BCM ＝∠DNM ，在△BCM 和△DNM 中，{∠CBM =∠NDM ∠BCM =∠DNM BM =DM，∴△BCM ≌△DNM （AAS ），∴NM ＝CM =12CN ，DN ＝BC ＝3，∴AN ＝AD ﹣DN ＝6﹣3＝3，∴AN ＝BC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ABCN 是平行四边形，∴CN ＝AB ＝5，∴CM =52，故选：C ．5．已知△ABC是等边三角形，点P在AB上，过点P作PD⊥AC，垂足为D，延长BC至点Q，使CQ＝AP，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边三角形ABC的边长为4，那么线段DE的长为（）A．1B．2C．1.8D．2.5【解答】解：如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，则∠EPF＝∠Q，∠APF＝∠ABC∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠APF＝∠AFP＝60°，∴△APF也是等边三角形，而CQ＝AP∴PF＝AP＝CQ，又∵∠PEF＝∠QEC，∴△PEF≌△QEC，∴EF＝EC，∵PD⊥AC于D，△APF是等边三角形，∴AD＝DF，∴AD+EC＝DF+EF＝DE=12AF+12CF=12（AF+CF）=12AC，∴DE=12AC＝2．故选：B．6．如图，△ABC 中，AD 为中线，AD ⊥AC ，∠BAD ＝30°，AB ＝3，则AC 长（ ）A ．2.5B ．2C ．1D ．1.5【解答】解：如图，延长AD ，使AD ＝DE ，连接CE ，∵AD 为中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 与△ECD 中，{AD =ED ∠ADB =∠EDC BD =CD，∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴∠BAD ＝∠CED ，AB ＝EC ，∵∠BAD ＝30°，∴∠CED ＝30°，∵AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝90°，∴AC =12EC ，∴AB ＝EC ，∴AC =12AB =32，即AC ＝1.5，故选：D ．7．如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 为是BC 的中点，AM 平分∠BAD ，且∠CDM ＝55°，则∠AMB 的度数是（ ）A．35°B．45°C．55°D．65°【解答】解：过M作MN⊥AD于N，则∠MNA＝∠MND＝90°，∵∠B＝90°，∴MB⊥AB，∵AM平分∠BAD，∴MN＝MB，∵M为是BC的中点，∴MB＝MC，∴MN＝MC，在Rt△MND和Rt△MCD中，{MD=MDMN=MC，∴Rt△MND≌Rt△MCD（HL），∴∠NDM＝∠CDM＝55°，∴∠CDA＝∠NDM+∠CDM＝110°，∵∠B＝∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴CD∥AB，∴∠BAD+∠CDA＝180°，∴∠BAD＝180°﹣∠CDA＝180°﹣110°＝70°，∵AM平分∠BAD，∴∠BAM=12∠BAD＝35°，∴∠AMB＝90°﹣∠BAM＝90°﹣35°＝55°，故选：C．8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，点F，G分别在边AB，AC上，且DF ＝DG，△ADG与△ADF的面积分别是14和4，则△DEF的面积是（）A．10B．6C．5D．4【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DH，在Rt△DEF和Rt△DHG中，{DE=DHDF=DG，∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），∴S△EDF＝S△HGD，同理Rt△ADE≌Rt△ADH，∴S△ADE＝S△ADH，∵△ADG与△ADF的面积分别是14和4，∴S△DEF=14−42=5，故选：C．9．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：连接IA、IB、IC，过I作IM⊥AB于M，IN⊥BC于N，∵点I 为△ABC 各内角平分线的交点，IM ⊥AB ，IN ⊥BC ，IH ⊥AC ，∴IH ＝IM ＝IN ，∵AB ＝8，BC ＝6，∠ABC ＝90°，∴S △ABC =12×AB ×BC =12×8×6=24，∵S △ABC ＝S △AIB +S △BIC +S △AIC ，∴24=12×AB ×IM +12×BC ×IN +12×AC ×IH ，∵AB ＝8，BC ＝6，AC ＝10，IH ＝IM ＝IN ，∴24=12×8×IH +12×6×IH +12×10×IH ， ∴IH ＝2，故选：A ．10．如图，在△AOB 和△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＜OC ，∠AOB ＝∠COD ＝36°．连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论，其中错误的是（ ）A ．AC ＝BDB ．∠AMB ＝36°C ．MO 平分∠AMD D ．OM 平分∠AOD【解答】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝36°，∴∠AOC ＝∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，{OA =OB ∠AOC =∠BOD OC =OD，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴AC ＝BD ，∠OAC ＝∠OBD ，故A 选项不符合题意；∵∠OAB +∠ABO ＝180°﹣36°＝144°，∴∠MAB +∠ABM ＝144°，∴∠AMB ＝180°﹣144°＝36°，故B 选项不符合题意；过点O 作OG ⊥AC 于点G ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，如图所示：∵△AOC ≌△BOD ，∴S △AOC ＝S △BOD ，即12AC ⋅OG =12BD ⋅OH ，∵AC ＝BD ，∴OH ＝OG ，在Rt △OHM 和Rt △OGM 中，{OG =OH OM =OM， ∴Rt △OHM ≌Rt △OGM （HL ），∴∠OMG ＝∠OMH ，即OM 平分∠AMD ，故C 选项不符合题意；假设OM 平分∠AOD ，则∠AOM ＝∠DOM ，∵OM 平分∠AMD ，∴∠AMO ＝∠DMO ，∵OM ＝OM ，∴△AMO ≌△DMO （ASA ），∴AO ＝DO ，∵OD ＝OC ，AO ＜OC ，∴AO ＜DO ，∴假设不成立，∴OM 不平分∠AOD ，故D 选项符合题意，故选：D ．11．已知：如图，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点P ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．若AB ＝8，AC ＝4，则AE ＝ 6 ．【解答】解：连接PB，PC，∵点P在BC的垂直平分线上，∴PB＝PC，∵AC平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，∴∠APE＝∠APF，∴AE＝AF，在Rt△PBE和Rt△PCF中，{PB=PCPE=PF，∴Rt△PBE≌Rt△PCF（HL），∴BE＝CF，∵AB＝AE+BE，AF＝AC+CF，∴AB＝AC+CF+BE，∵AB＝8，AC＝4，∴BE＝CF＝2，∴AE＝AC+CF＝6．故答案为：6．12．如图，把△ABC放置在平面直角坐标系中，已知AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，﹣1），点C在第四象限，则点C的坐标是（1，﹣4）．【解答】解：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，如图所示．∵∠ABC ＝90°，∠AOB ＝90°，∴∠OAB +∠OBA ＝90°，∠OBA +∠DBC ＝90°，∴∠OAB ＝∠DBC ．在△OAB 和△DBC 中，{∠AOB =∠BDC =90°∠OAB =∠DBC AB =BC，∴△OAB ≌△DBC （AAS ），∴BD ＝AO ，DC ＝OB ．∵A （3，0），B （0，﹣1），∴BD ＝AO ＝3，DC ＝OB ＝1，OD ＝OB +BD ＝4，∴点C 的坐标为（1，﹣4）．故答案为：（1，﹣4）．13．如图，在同一平面内，直线l 同侧有三个正方形A ，B ，C ，若A ，C 的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6 ．【解答】解：如图，作LM ⊥FE 交FE 的延长线于点M ，交JI 的延长线于点N ， ∵四边形A 、B 、C 都是正方形，且正方形A 、C 的面积分别为9、4，∴∠EKI ＝∠EDR ＝∠IHG ＝90°，DE 2＝9，HI 2＝4，∴DE ＝3，HI ＝2，∵∠EDK ＝∠KHI ＝180°﹣90°＝90°，∴∠DKE ＝90°﹣∠KHI ＝∠HIK ，在△EDK 和△KHI 中，{∠EDK =∠KHI ∠DKE =∠HIK EK =KI，∴△EDK ≌△KHI （AAS ），∴DK ＝HI ＝2，DE ＝HK ＝3，∴S △EDK ＝S △KHI =12×3×2＝3；∵∠DEF ＝∠HIJ ＝90°，∴∠DEM ＝180°﹣∠DEF ＝90°，∠HIN ＝180°﹣∠HIJ ＝90°，∵∠KEL ＝∠KIL ＝90°，∴∠MEL ＝∠DEK ＝90°﹣∠KEM ，∠NIL ＝∠HIK ＝90°﹣∠KIN ，∵EF ∥l ，IJ ∥l ，∴EF ∥IJ ，∴∠EML ＝∠EMN ＝∠N ＝90°，在△EML 和△EDK 中，{∠MIL =∠DEK ∠EML =∠EDK EL =EK，∴△EML ≌△EDK （AAS ），∴EM ＝ED ＝EF ，∴S △EFL ＝S △EML ＝S △EDK ＝3；在△LNI 和△KHI 中，{∠NIL =∠HIK ∠N =∠KHI IL =IK，∴△LNI ≌△KHI （AAS ），∵IN ＝IE ＝IJ ，∴S △LJI ＝S △LNI ＝S △KHI ＝3，∴S △EFL +S △LJI ＝3+3＝6，∴阴影部分的总面积为6．14．如图，已知AB ＝BC ＝AD ，AD ⊥BC 于点E ，AC ⊥CD ，若CD =53，则△ACD 的面积为 259 ．【解答】解：∵AD ⊥BC ，AC ⊥CD ，∴∠ACD ＝∠AEC ＝90°，∴∠D +∠DCE ＝∠DCE +∠ACE ＝90°，∴∠D ＝∠ACB ，∵AB ＝BC ，∴∠BAH ＝∠BCA ，∴∠D ＝∠BAC ，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴∠AHB ＝90°，AH =12AC ，在△ABH 与△DAC 中，{∠AHB =∠DCA =90°∠BAH =∠D AB =AD，∴△ABH ≌△DAC （AAS ），∴BH ＝AC ，AH ＝CD ，∴AC ＝2CD =103，∴△ACD 的面积=12AC •CD =12×103×53=259，故答案为：259．15．如图，已知AD 是△ABC 的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于F ，AC ＝BF ，∠DAC＝24°，∠EBC ＝32°，则∠ACB ＝ 100° ．【解答】解：如图，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，如图所示：在△BDM 和△CDA 中，{DM =∠DA ∠BDM =∠CDA BD =CD，∴△BDM ≌△CDA （SAS ），∴BM ＝AC ＝BF ，∠M ＝∠DAC ＝24°，∠C ＝∠DBM ，∵BF ＝AC ，∴BF ＝BM ，∴∠M ＝∠BFM ＝24°，∴∠MBF ＝180°﹣∠M ﹣∠BFM ＝132°，∵∠EBC ＝32°，∴∠DBM ＝∠MBF ﹣∠EBC ＝100°，∴∠C ＝∠DBM ＝100°，故答案为：100°．16．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝3．【解答】解：过P作PC⊥MN，∵PM＝PN，∴C为MN中点，即MC＝NC=12MN＝1，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC=12OP＝4，则OM＝OC﹣MC＝4﹣1＝3，故答案为：317．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．（1）若AF＝3，求AD的长；（2）证明：DE＝2DF．【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，∵D为AC中点，∴CD＝AD=12AC，∵CE=12BC，∴CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴∠ADF＝∠CDE＝30°，∵∠A＝60°∴∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝90°，∵AF＝3∴AD＝2AF＝6；（2）证明：连接BD，∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，∴BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABD=12∠ABC＝30°，∵∠BFD＝90°∴BD＝2DF∵∠DBC＝∠E＝30°∴BD＝DE∴DE＝2DF．18．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，∴∠BCE＝30°，BE＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠BCE＝30°，∵∠ABD＝120°，∴∠DEB＝30°，∴DB＝EB，∴AE＝DB；（2）如图1，E在线段AB上时，∵AB＝2，AE＝1，∴点E是AB的中点，由（1）知，BD＝AE＝1，∴CD＝BC+BD＝3；如图2，E在线段AB的反向延长线上时，∵AE＝1，AB＝2，∴BE＝3，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，过E作EH∥AC交BC的延长线于H，∴∠BEH＝∠BHE＝60°，∴△BEH是等边三角形，∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠B +∠BED ＝∠H +∠HEC ，∴∠BED ＝∠HEC ，在△BDE 和△HCE 中，{BE =HE ∠BED =∠HEC ED =EC，∴△BDE ≌△HCE （SAS ），∴BD ＝HC ＝BH ﹣BC ＝3﹣2＝1，∴CD ＝BH ﹣BD ﹣HC ＝3﹣1﹣1＝1．综上所述，CD 的长为1或3．19．已知A （﹣10，0），以OA 为边在第二象限作等边△AOB ．（1）求点B 的横坐标；（2）如下图，点M 、N 分别为OA 、OB 边上的动点，以MN 为边在x 轴上方作等边△MNE ，连结OE ，当∠EMO ＝45°时，求∠MEO 的度数．【解答】解：（1）如图，过B 作BD ⊥OA 于点D ，∵△AOB 为等边三角形，点A （﹣10，0），∴OA ＝OB ＝AB ＝10，∠BAO ＝∠ABO ＝∠AOB ＝60°，∵BD ⊥OA ，∴AD ＝OD =12OA =12×10＝5， ∴点B 的横坐标为﹣5；（2）如图2，过点M 作MF ∥AB 交OA 于点F ，∵MF ∥AB ，∴∠MFO ＝∠BAO ＝∠AOB ＝60°，∴△MOF 为等边三角形，∴∠FMO ＝60°，MF ＝MO ，∵△MNE 是等边三角形，∴∠NME ＝60°，MN ＝ME ，∴∠FMN +∠NMO ＝∠NMO +∠OME ＝60°，∴∠FMN ＝∠OME ，在△MFN 和△MOE 中，{MF =MO ∠FMN =∠OME MN =ME，∴△MFN≌△MOE（SAS），∴∠MFN＝∠MOE＝60°，∵∠EMO＝45°，∴∠MEO＝180°﹣∠MOE﹣∠EMO＝180°﹣60°﹣45°＝75°．20．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝∠D＝60°，AE平分∠BAC，若BD＝8cm，DE＝3cm，求BC的长．【解答】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠DBC＝∠D＝60°，∴△BDM为等边三角形，∴BD＝DM＝BM＝8cm，∵DE＝3cm，∴EM＝5cm，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM＝90°，∴∠NEM＝30°，∴NM＝2.5 cm，∴BN＝5.5 cm，∴BC＝2BN＝11（cm）．21．如图，AB ＝BD ，AE ＝EB ，∠ACB ＝∠ABC ，证明：CD ＝2CE ．【解答】证明：如图，延长CE 至点F ，使EF ＝CE ，连接BF ，在△BEF 和△AEC 中{BE =AE ∠BEF =∠AEC EF =CE∴△BEF ≌△AEC （SAS ），∴BF ＝AC ，∠FBE ＝∠A ，又∵∠ACB ＝∠ABC ，∴AB ＝AC ，∴BF ＝AC ＝AB ＝BD ，∠DBC ＝∠A +∠ACB ＝∠FBE +∠ACB ＝∠FBE +∠ABC ＝∠FBC ，CB ＝CB ， 在△CBF 和△CBD 中，{BF =BD ∠FBC =∠CBD CB =CB，∴△CBF ≌△CBD （SAS ），∴CD ＝CF ＝2CE ．。

三角形全等之截长补短一、知识点睛截长补短：题目中出现线段间的和差倍分时，考虑截长补短；截长补短的目的是把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．二、精讲精练（可以尝试用多种方法）1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠D =∠ABC =∠BAD =90°，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ．求证：EF =BF +DE ．3. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60º，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．21D CB A 21D CB A F EA BDCF EAB DC21D CB A AEBD COA EBD CO- 2 -4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证：CE =21BD ．5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CE ⊥AB 于E ，△BDC 为等腰直角三角形，∠BDC =90°，BD CD ，CE 与BD 交于F ，连接AF ．求证：CF =AB +AF ．6.如图，△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，求证：ABCDEAB CDEB F CE DA B F C E D A。

直角三角形辅助线练习题一、作辅助线构造直角三角形1. 在直角坐标系中，点A(0,0)，点B(4,0)，点C在y轴上，且∠ACB=90°，求作点C的坐标。

2. 已知线段AB=6cm，点C在AB上，且AC=4cm，在平面直角坐标系中，求作点C的坐标。

3. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，求作一条高线，使其将直角三角形分为两个面积相等的部分。

二、利用直角三角形辅助线解题4. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，求作一条角平分线，使其将直角三角形分为两个面积之比为1:3的部分。

5. 在直角三角形DEF中，∠F=90°，DE=8cm，EF=6cm，求作一条中线，使其将直角三角形分为两个面积相等的部分。

6. 在直角坐标系中，点A(0,0)，点B(8,0)，点C在y轴上，且∠ACB=90°，求作一条高线，使其将直角三角形ABC分为两个面积相等的部分。

三、综合运用直角三角形辅助线7. 在直角三角形XYZ中，∠Z=90°，XZ=10cm，YZ=6cm，求作一条角平分线，使其将直角三角形分为两个面积之比为2:3的部分。

8. 在直角坐标系中，点P(0,0)，点Q(8,0)，点R在y轴上，且∠PRQ=90°，求作一条中线，使其将直角三角形PQR分为两个面积相等的部分。

9. 在直角三角形MNO中，∠O=90°，MO=9cm，NO=12cm，求作一条高线，使其将直角三角形分为两个面积之比为3:4的部分。

10. 在直角坐标系中，点A(0,0)，点B(5,0)，点C在y轴上，且∠ACB=90°，求作一条角平分线，使其将直角三角形ABC分为两个面积相等的部分。

11. 在直角三角形STU中，∠U=90°，ST=15cm，UT=8cm，求作一条中线，使其将直角三角形分为两个面积之比为4:5的部分。

初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全基础模型:△ABC 中, AD 是BC 边中线思路1：延长AD 到E，使DE=AD，连接BE思路2：间接倍长,延长MD 到N，使DN=MD，连接CN思路3, 作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E1．如图，在△AB C 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是（）A．1＜AB＜29B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜192．如图，△AB C 中，AB=AC，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F，且DF=EF，求证：BD=CE．3．如图，在△AB C 中，AD 为中线，求证：AB+AC＞2AD．4．小明遇到这样一个问题，如图1，△AB C 中，AB=7，AC=5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE，构造△B ED≌△C AD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小明证明△B ED≌△C AD用到的判定定理是：（用字母表示）（2）AD的取值范围是小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G、F 分别为AD，BC 边上的点，若AG=2，BF=4，∠GEF=90°，求GF 的长．5．已知：在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC，延长BE 交AC 于F，求证：AF=EF．6．已知：如图，△AB C（AB≠AC）中，D、E 在BC 上，且DE=EC，过D 作DF∥BA交AE 于点F，DF=AC．求证：AE 平分∠BA C．7-10,换汤不换药(多题一解)7．如图，D 是△AB C 的BC 边上一点且CD=AB，∠B D A=∠BAD，AE是△AB D 的中线．求证：∠C=∠BAE．8．如图，已知D 是△AB C 的边BC 上的一点，CD=AB，∠B D A=∠BAD，AE是△AB D 的中线．（1）若∠B=60°，求∠C 的值；（2）求证：AD 是∠E A C 的平分线．9．如图，已知：CD=AB，∠BAD=∠B D A，AE是△AB D 的中线，求证：AC=2AE．10．已知，如图，AB=AC=BE，CD 为△AB C 中AB 边上的中线，求证：CE=2CD．11．已知：如图，△AB C 中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT 平分∠BA C 交CM 于D，交BC 于T，过D 作DE∥AB交BC 于E，求证：CT=BE．12．如图①，点O 为线段MN 的中点，PQ 与MN 相交于点O，且PM∥NQ，可证△PM O≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：如图②，在四边形ABCD 中，AB∥DC，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与DC 的延长线相交于点F．试探究线段AB 与AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论；(图3 是原题的第2 问)13．如图，在△AB C 中，AD 交BC 于点D，点E 是BC 的中点，EF∥AD交CA 的延长线于点F，交EF 与于点G．若BG=CF，求证：AD 为△AB C 的角平分线．14．如图，已知在△AB C 中，∠C AE=∠B，点E 是CD 的中点，若AD 平分∠BAE．（1）求证：AC=BD；（2）若BD=3，AD=5，AE=x，求x 的取值范围．15．已知在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF=2A D．1.解：如图，延长AD 至E，使DE=AD，∵AD 是△AB C 的中线，∴B D=CD，在△AB D 和△ECD 中，，∴△AB D≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，14﹣5=9，∴9＜CE＜19，2．证明：如图，过点D 作DG∥AE，交BC 于点G；3．证明：4．解：（1）如图2 中，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE．在△B ED 和△C AD中，，∴△B ED≌△C AD（SAS）．（2）∵△B ED≌△C AD，∴B E=A C=5，∵AB=7，∴2＜AE＜12，∴2＜2A D＜12，∴1＜AD＜6．解决问题：如图3 中，解：延长GE 交CB 的延长线于M．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD∥CM，∴∠A GE=∠M，在△AEG和△B EM 中，，∴△AEG≌△B EM，∴GE=EM，AG=BM=2，∵EF⊥MG，∴FG=FM，∵B F=4，∴M F=B F+BM=2+4=6，∴GF=F M=6．5．证明：如图，延长AD 到点G，使得AD=DG，连接BG．∵AD 是BC 边上的中线（已知），∴DC=D B，在△AD C 和△GD B中，∴△AD C≌△GD B（SAS），∴∠C AD=∠G，BG=A C又∵B E=A C，∴B E=BG，∴∠B ED=∠G，∵∠B ED=∠AEF，∴∠AEF=∠C AD，即：∠AEF=∠F AE，∴A F=EF．6．证明：如图，延长FE 到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF 和△CE G中，∵，∴△DEF≌△CE G．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=A C，∴GC=A C．∴∠G=∠C AE．∴∠BA E=∠C AE．即AE 平分∠BA C．7．证明：延长AE 到F，使EF=AE，连接DF，∵AE是△AB D 的中线∴B E=ED，在△AB E 与△FDE 中∵，∴△AB E≌△FDE（SAS），∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，∵∠ADB 是△AD C 的外角，∴∠D A C+∠A CD=∠ADB=∠BAD，∴∠BAE+∠E AD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，∴∠EFD+∠E A D=∠D A C+∠A CD，∴∠AD F=∠A DC，∵AB=DC，∴DF=DC，在△AD F 与△AD C 中∵，∴△AD F≌△AD C（SAS）∴∠C=∠AFD=∠BAE．8．（1）解：∵∠B=60°，∠B D A=∠BAD，∴∠BAD=∠B D A=60°，∴AB=AD，∵CD=AB，∴CD=AD，∴∠D A C=∠C，∴∠B D A=∠D A C+∠C=2∠C，∵∠BAD=60°，∴∠C=30°；（2）证明：延长AE 到M，使EM=AE，连接DM，在△AB E 和△MDE 中，，∴△AB E≌△MDE，∴∠B=∠MDE，AB=D M，∵∠AD C=∠B+∠BAD=∠MDE+∠B D A=∠A D M，在△MAD与△C AD，，∴△MAD≌△C AD，∴∠MAD=∠C A D，∴AD 是∠E A C 的平分线．9．证明：延长AE 至F，使AE=EF，连接BF，在△AD E 与△B FE 中，，∴△AED≌△FEB，∴B F=D A，∠FBE=∠AD E，∵∠AB F=∠AB D+∠FBE，∴∠AB F=∠AB D+∠ADB=∠AB D+∠BAD=∠A DC，在△AB F 与△AD C 中，，∴△AB F≌△CD A，∴A C=AF，∵AF=2A E，∴A C=2AE．10．证明：取AC 的中点F，连接BF；∵B为AE 的中点，∴BF 为△AE C 的中位线，∴EC=2B F；在△AB F 与△A CD 中，，∴△AB F≌△A CD（SAS），∴CD=BF，∴CE=2CD．11．证明：过T 作TF⊥AB 于F，∵AT 平分∠BA C，∠A C B=90°，∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠A C B=90°，CM⊥AB，∴∠ADM+∠D AM=90°，∠A TC+∠C A T=90°，∵AT 平分∠BA C，∴∠D AM=∠C A T，∴∠ADM=∠A TC，∴∠CDT=∠CTD，∴CD=CT，又∵CT=TF（已证），∴CD=TF，∵CM⊥AB，DE∥AB，∴∠CDE=90°，∠B=∠DEC，在△CDE 和△TF B中，，∴△CDE≌△TF B（AAS），∴CE=TB，∴CE﹣TE=T B﹣TE，即CT=BE．12．解：（1）AB=AF+CF．如图2，分别延长DC、AE，交于G 点，根据图①得△AB E≌△GCE，∴AB=C G，又AB∥DC，∴∠BAE=∠G而∠BAE=∠EAF，∴∠G=∠EAF，∴AF=GF，∴AB=CG=GF+CF=AF+CF；13．解：延长FE，截取EH=EG，连接CH，∵E 是BC 中点，∴B E=CE，∴∠B E G=∠CEH，在△B E G和△CEH 中，，∴△B E G≌△CEH（SAS），∴∠B GE=∠H，∴∠BG E=∠F GA=∠H，∴B G=CH，∵CF=BG，∴CH=CF，∴∠F=∠H=∠F GA，∵EF∥AD，∴∠F=∠C A D，∠BAD=∠F GA，∴∠C AD=∠BAD，∴AD 平分∠BA C．14．（1）证明：延长AE 到F，使EF=EA，连接DF，∵点E 是CD 的中点，∴EC=ED，在△DEF 与△CE A中，，∴△DEF≌△CE A，∴A C=FD，∴∠AFD=∠C AE，∵∠C AE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD 平分∠BAE，∴∠BAD=∠F AD，在△AB D 与△AFD 中，，∴△AB D≌△AFD，∴B D=FD，∴A C=BD；（2）解：由（1）证得△AB D≌△AFD，△DEF≌△CE A，∴AB=AF，∵AE=x，∴AF=2A E=2x，∴AB=2x，∵B D=3，AD=5，∴在△AB D 中，，解得：1＜x＜4，∴x 的取值范围是1＜x＜4．15 证明：延长AD 至点G，使得AD=DG，连接BG，CG，∵AD=D G，B D=CD，∴四边形ABGC 是平行四边形，∴A C=AF=BG，AB=AE=C G，∠BA C+∠ABG=180°，∵∠EAF+∠BA C=180°，∴∠EAF=∠ABG，在△EAF 和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF=AG，∵AG=2AD，∴EF=2A D．。

三角形全等之倍长中线（讲义）➢ 课前预习1. 填空（1）三角形全等的判定有：三边分别___________的两个三角形全等，即（____）；两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）；斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA ，SSA 不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．2. 想一想，证一证已知：如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB 的中点． （1）当OC =OD 时，求证：△AOC ≌△BOD ； （2）当AC ∥BD 时，求证：△AOC ≌△BOD ．➢ 知识过关1. “三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________． 2. 中点的思考方向：①（类）倍长中线延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ， 连接BE 连接CE ②平行夹中点D CBAMAB CD OBC DA延长FE 交BC 的延长线于点G➢ 典型题型1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ． （2）求证：△ACD ≌△EBD ． （3）求证：AB +AC >2AD ．（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CAF EDCBA DCB AF EDCADA的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．【参考答案】➢ 课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中GFE DCAGFE DCAGF EDCBA FE DCB AAO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ） ➢ 典型题型1. 解：（1）如图，（2）证明：如图，∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，AB -BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+321EDCBA 21BCDA∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点 ∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点 ∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM321MABCD EFG 321MA BCDEF∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =2.7 ∴CG =2.7 ∵AE =BE ∴∠1=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90° ∴∠2=∠G ∴EG =AE =5 ∴CE =EG -CG=5-2.7 =2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB ∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45° ∴EG =CG三角形全等之倍长中线（实战演练）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________． 思路分析：①画出草图，标注条件：②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（ ），证全等转移边：______=_______；④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB 的取值范围．2. 如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少？【参考答案】1. 3<AB <13①图略②中线AD 倍长中线 延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS AC EB ④略2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，平行夹中点；AG =BH ，GE =HE ；到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE在△AGE 和△BHE 中，AEG BEH AE BEGAE HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3三角形全等之倍长中线（作业）G FEAD BC➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ）A B D CE FA B DCE FGGFECDBA FE CD B A∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ． 求证：AB =EF ．3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°． 求证：EF =2AD ．D CBAF E DAFED CB AA BDC EFG4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ． 求证：BF =CG ．5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =ACG FE BAFEDBCA21ECDB A CDBA方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ．【参考答案】➢ 巩固练习 1. 2DC21ECDB A2. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ） ➢ 思考小结 1. 倍长中线 SASAAS角2. 证明略三角形全等之截长补短（讲义）➢ 课前预习1. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：（1）已知线段a ，b （），作一条线段，使它等于a +b ．（2）已知线段a ，b （），作一条线段，使它等于a -b ．2. 想一想，证一证已知：如图，射线B M 平分∠A B C ，点P 为射线B M 上一点， PD ⊥BC 于点D ，BD =AB +CD ，过点P 作PE ⊥BA 于点E ． 求证：△P AE ≌△PCD ．➢ 知识过关a b >ba ab >ba MP E B CD A截长补短：题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是_______________________________________________________________________________________．➢ 典型题型1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AC =AB +BD ．2. 如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°，点E 为AB 边上一点，且DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ． 求证：CD =AD +BC ．3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ． 求证：EF =BF +DE ．21D A 21D CB A 21D A E DCA4.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．求证：AC=AE+CD．5.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：CE12BD．【参考答案】➢课前预习1.略2.证明：如图∵BM平分∠ABC，PD⊥BC，PE⊥BA∴PE=PD，∠PEB=∠PDB=∠PDC=90°OEDCBAEDCAFEDCBAFE D CB AFA BD12在Rt △PBE 和Rt △PBD 中，PE PDPB PB=⎧⎨=⎩ ∴Rt △PBE ≌Rt △PBD （HL ） ∴BE =BD ∵BE =AB +AE BD =AB +CD ∴AE =CD在△P AE 和△PCD 中AE CD PEA PDC PE PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△P AE ≌△PCD （SAS ） ➢ 知识过关线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系． ➢ 典型题型 1. 补短法：证明：如图，延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ． ∴∠E =∠3∵∠ABC 是△BDE 的一个外角 ∴∠ABC =∠E +∠3 ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC =2∠C ∴∠E =∠C在△ADE 和△ADC 中12E C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ADC （AAS ） ∴AE =AC ∴AC =AB +BE=AB +BD 截长法：证明：如图，在AC 上截取AF =AB ，连接DF ． 在△ABD 和△AFD 中12AB AF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△AFD （SAS ） ∴∠B =∠AFD ，BD =FD ∵∠B =2∠C ∴∠AFD =2∠C∵∠AFD 是△DFC 的一个外角 ∴∠AFD =∠C +∠FDC ∴∠FDC =∠C ∴DF =FC ∴BD =FC∴AC =AF +FC=AB +BD2. 证明：如图，在DC 上截取DF =DA ，连接EF ．∵DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ∴∠1=∠2，∠3=∠4 在△ADE 和△FDE 中12AD FD DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△FDE （SAS ） ∴∠A =∠DFE ∵∠A =∠B =90°∴∠DFE =∠CFE =∠B =90° 在△CFE 和△CBE 中34CFE B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEF ≌△CBE （AAS ） ∴CF =CB∴CD =DF +FC =AD +BC3. 证明：如图，延长FB 到G ，使BG =DE ，连接AG ．∵∠ABC =∠D =90°E∴∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADE 中AB AD ABG D BG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△ADE （SAS ） ∴∠3=∠2，AG =AE∵∠BAD =∠1+∠2+∠EAF =90° ∠EAF =45° ∴∠1+∠2=45° ∴∠1+∠3=45°即：∠GAF =∠EAF =45° 在△EAF 和△GAF 中AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△GAF （SAS ） ∴EF =GF∴EF =BG +BF =BF +DE4. 证明：如图，在AC 上截取AF =AE ，连接OF ．∵AD ，CE 分别是△ABC 的角平分线 ∴∠1=∠2，∠3=∠4 在△AEO 和△AFO 中12AE AF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEO ≌△AFO （SAS ） ∴∠5=∠6在△ABC 中，∠B =60° ∴∠1+∠2+∠3+∠4=120︒ ∴∠2+∠3=60︒∵∠5是△AOC 的一个外角 ∴∠5=∠2+∠3=60︒ ∴∠8=∠5=60︒ ∠6=∠5=60° ∠7=180°-∠5-∠6=60° ∴∠7=∠8在△CFO 和△CDO 中3478CO CO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△CFO ≌△CDO （ASA ） ∴CD =CF ∴AC =AF +CF =AE +CD5. 证明：如图，延长CE 交BA 的延长线于F ．∵CE ⊥BD∴∠BEC =∠BEF =90° ∵BD 平分∠ABC ∴∠1=∠2 ∴∠F =∠BCE ∴BC =BF∴EF =EC=12CF∵∠BAC =90°，∠BEC =90° ∴∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90° ∵∠4=∠5 ∴∠1=∠3 ∵∠BAC =90°∴∠BAD =∠CAF =90° 在△BAD 和△CAF 中13AB ACBAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△CAF （ASA ） ∴BD =CF∵CE =12CF∴CE =12BD三角形全等之截长补短（实战演练）6. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，BD 平分∠ABC 交AC 于54321××FABD E点D ．求证：BC =AB +AD ．方法一：截长方法二：补短【参考答案】1. 截长补短；过程书写： 方法一：截长证明：如图，在BC 上截取BE =AB ，连接DE ． ∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD =∠EBD在△ABD 和△EBD 中，AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△EBD （SAS ） ∴AD =ED∠BAD =∠BED ∵∠BAD =90° ∴∠BED =90°∵∠BED 是△DEC 的一个外角 ∴∠BED =∠EDC+∠C ∵∠C =45° ∴∠EDC=90°-45° =45° ∴∠EDC=∠C ∴EC=ED= AD ∴BC =BE +EC =AB +ADDCADAB方法二：补短证明：如图，延长BA 到点E ，使AE =AD ，连接DE ． ∵AE =AD∴∠E=∠ADE∵∠BAD 是△EAD 的一个外角 ∴∠BAD =∠E+∠ADE =2∠E ∵∠BAD =90°∴∠E=12∠BAD=45°∵∠C =45° ∴∠E=∠C∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD =∠CBD在△BED 和△BCD 中，C E C ABD BD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BED ≌△BCD （AAS ） ∴BE =BC ∵BE =A B +A E =AB +AD ∴BC =AB +AD三角形全等之截长补短（作业）➢ 例题示范例1：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥CD 且BD =CD ，∠DBC =45°．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，连接AF ． 求证：CF =AB +AF ．【思路分析】题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段之和），所以考虑截长补短．① 考虑截长的方法，如图所示：FED C BA在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ，只需证明AF =HF 即可．结合题目条件，先证明△A B D ≌△H C D ，再证明△A D F ≌ △HDF ，从而得到AF =HF ，证明成立． ② 考虑补短的方法，如图所示：延长BA 交CD 的延长线于点H ，只需证明BH =CF ，AH =AF 即可．可结合题目条件，先证明△CDF ≌△BDH ，再证明△ADF ≌△ADH ，从而得到BH =CF ，AH =AF ，证明成立． 【过程书写】 （截长的方法）在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ．∵BD ⊥CD ，BE ⊥CE ∴∠BEF =∠FDC =90° ∴∠EBF +∠EFB =90° ∠FCD +∠DFC =90° ∵∠EFB =∠DFC ∴∠EBF =∠FCD 在△ABD 和△HCD 中，A BCDEFHFEDCBA HA BCDEFHAB HC ABD HCD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△HCD （SAS ） ∴AD =HD ，∠ADB =∠HDC ∵AD ∥BC∴∠ADB =∠DBC =45° ∴∠HDC =45°∴∠HDF =∠BDC -∠HDC =45° ∴∠ADB =∠HDF 在△ADF 和△HDF 中，AD HD ADF HDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△HDF （SAS ） ∴AF =HF∴CF =CH +HF =AB +AF➢ 巩固练习1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =80°，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC =AB +BD ．2. 如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠B +∠D =180°．求证：AE =AD +BE ．AB CD AB CD CD BAEC D E3.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，连接EC．求证：BC=AB+CE．4.已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠F AD=∠F AE．求证：BE+DF=AE．➢思考小结1.证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形中证明全等．如果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑通过添加辅助线，构造全等三角形来证明．常见构造辅助线的方法：①___________：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑延长中线构造全等三角形．②_________：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把多条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系来处理．2.利用“截长补短”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：30°角所对的直角边是斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求证：BC12AB．BEADCBEADCFEDCBA30°A【参考答案】➢巩固练习1.证明略提示：方法一：在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，再证明CE=DE；方法二：延长AB到E，使BE=BD，连接DE，证明△ADE≌△ADC．2.证明略提示：在AE上截取AF=AD，证明△CDA≌△CF A，再证明BE=FE．3.证明略提示：在BC上截取BF=BA，连接DF，证明△ABD≌△FBD，再证明△DFC≌△DEC．4.证明略提示：延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，再证明AE=GE即可．➢思考小结1.倍长中线，截长补短2.证明略提示：延长BC到D，使BD=BA，得到△ABC为等边三角形，AD=AB，根据三线合一，可得BC=12BD，所以BC=12AB．。

与角平分线有关的常用结论、辅助线总结角平分线是我们常见的几何条件，合理的把角平分线和其它条件相结合可以形成新的结论。

一、总结下面我们来看一下常见的和角平分线有关结论或辅助线。

1、如图1，OP 平分∠AOB ，点D 在OA 上，DE ∥OB 交OE 于点E∵OP 平分∠AOB ∴∠DOE =∠EOB∵DE ∥OB ∴∠BOE =∠DEO ∴∠DOE =∠DEO∴OD =DE由此可知，当角平分线和与角的一边平行的直线相交后可以形成等腰三角形。

例题：（2016·四川南充）如图2，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ，将纸片展平；再一次折叠，使点D 落到EF 上点G 处，并使折痕经过点A ，展平纸片后∠DAG 的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°分析：由题意可得：∠1=∠2，AN =MN ，∠MG A =90°，则NG =12AM ，故AN =NG ，则∠2=∠4，∵EF ∥AB ，∴∠4=∠3，∴∠1=∠2=∠3=13×90°=30°，∴∠DAG =60°．故选：C ．2、角平分线遇到垂线：如图3，OP 平分∠AOB ，点D 在OA 上，DP ⊥OP 于点P 。

遇到这种情况，我们可以作辅助线： 延长DP 交OB 于点E ，∵OP 平分∠AOB∴∠DOP =∠EOP ∵DP ⊥OP ∴∠ODP =∠OEP∴OD =OE ∴DP =PE通过上述证明我们可以发现，当角平分线遇到垂线后，可以将垂线延长与角的两边相交，构成等腰三角形，同时，垂足即为等腰三角形底边中点。

例题：如图4，在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，且ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ．求证：AE =BE 分析：由已知，AD ∥BC ，ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ，可得DE ⊥EC ，延长DE 交CB 延长线于F ，有上述结论可知，E 为DF 中点，可证△ADE ≌△BFE3、从角平分线做角一边的垂线ED BAO 图1 图2E D P B AO图3 F图4 DPA如图3，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D 。

全等辅助线之倍长中线 题集1. 倍长中线1.如图，将的中线延长至点，使，连接，则下列结论正确的是①②③≌④【答案】①②③④【解析】倍长中线后，≌，∴，，∴．故答案为：①②③④．【标注】【知识点】倍长（类）中线2.如图，在中，，边上的中线的长为，则的长可能是（ ）．A. B. C. D.【答案】B【解析】延长至，使，连接．在和中，，∴≌，∴．在中，，即，，故的长可能是．故选．【标注】【知识点】中点类辅助线（1）（2）3.在中，是边上的中线．求证：．若，，求的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析．．【解析】（1）延长到点，使得，连接，（2）在和中，，∴≌（），∴，∴．根据三角形三边关系有：，∴．【标注】【知识点】中点类辅助线A.可证明B.不可证明C.无法判断4.如图，中，，是中线．能否证明（ ）．（提示：三角形中，大边对大角，等边对等角）【答案】A 【解析】延长到，使，连结．在和中，∴，∴，．在中，∵，∴．∴，∴．【标注】【知识点】全等三角形的判定5.如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：．BCA DF E【答案】证明见解析．【解析】如图，延长到点，使得，连接，BCA DF EG∵是边上的中线，∴，在和中，，∴≌，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴， 即，∴．【标注】【知识点】倍长（类）中线6.如图， 中， ， 是 的中点，求证： 平分 ．【答案】证明见解析．【解析】延长至点，使得，连接，∵为中点，∴又∵，∴≌（）∴，∵∴∴∴≌（）∴∴平分．【标注】【知识点】中点类辅助线7.（1）（2）（3）如图，已知中，， 是边上的中线，延长到，使，连接，证明下列结论：．．平分．【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．证明见解析．【解析】（1）（2）如图，延长到，使，连接，是的中线，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，．，，，（3）如图，延长到，使，连接，是的中线，，在和中，，≌，，，，，在和 中，，≌，，平分．【标注】【知识点】倍长（类）中线，，8.如图，中，，，是的中点，平分，过作交于，求的长（ ）．A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，延长到，使，连接，延长交延长线于，∵是中点，∴，，∴≌，∴，，又∵，，∴，∴，，∴，∴．【标注】【知识点】中点类辅助线9.如图，是的中线，，，，．求证：，．【答案】证明见解析．【解析】延长至使，连接，∵是的中线，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴≌，∴，∴．∵，∴∴．【标注】【知识点】倍长（类）中线10.已知：为的中线，，，连接，．如图，求证：．图【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）如图，延长至，使，连接．在和中，，∴≌，∴，，∴，∵，，∴，∵，，∴，又，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．图【标注】【知识点】倍长（类）中线2. 倍长类中线AB CDEF1.已知如图，中，是中点，，试判断与的大小关系．并证明你的结论．【答案】．【解析】方法一：方法二：如图，延长使得，连接，，AB CDEFG图∴易证≌，∴，，∵，∴，∴≌，∴，∵在中，，∴．如图，过点作的平行线，交的延长线于点，方法三：ABCDEF G图∵，（已知）∴，（两直线平行，内错角相等）∵是中点，（已知）∴（中点定义）在和中，，∴≌，∴，，（全等三角形对应边相等）∵，（已知）∴，（垂直定义）易证≌，∴（全等三角形对应边相等）∵在中，，（三角形中两边之和大于第三边）∴．（等量代换），证明如下：如图，延长到点，使，连接，．ABCDEFG图∵是的中点，∴，在和中，∴≌，∴，又，∴，在中，，∴．【标注】【知识点】截长补短A. B. C. D.无法判断2.如图所示，在中，平分，点为中点，且，则与的数量关系（ ）．【答案】A【解析】延长到点，使得，则易证≌，则，， 又，，∴，∴，∴，∴．【标注】【知识点】全等三角形的对应边与角3.如图，点在的延长线上，，点在上，连接，，求证：．【答案】证明见解析．【解析】延长至，使，连接，则在和中，，∴≌（）．∴，．又∵，∴．∴．∴．【标注】【知识点】倍长（类）中线4.已知：如图，在中，点是的中点，过点作直线交，的延长线于点，．当时，求证：．【答案】证明见解析．【解析】延长至，使得，连接．∵点是的中点，∴．在和中，，∴≌．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．【标注】【知识点】倍长（类）中线3. 直角三角形斜边上的中线1.已知在中，，为斜边上的中线，求证：．【答案】证明见解析．【解析】延长至，使，连接．在和中∴≌（）∴，∴∴在和中∴≌（）∴∴．【标注】【知识点】倍长（类）中线2.已知：如图，，点、分别是线段、的中点，求证：．【答案】证明见解析．【解析】连接线段、，∵，为的中点，∴，，∴，∴为等腰三角形，∵为的中点，∴．【标注】【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用【能力】推理论证能力3.已知如图，，、分别是、的中点．求证：．【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）连接、．∵．在和中，是中点，∴，，∴．∵为中点，∴．【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题。