向量的基本概念

向量基本概念及坐标表示1、向量：既有大小，又有方向的量.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.2、 (1)向量既有大小又有方向的量。

(2)向量的模一一有向线段的长度，|a|(3)单位向量|a o| 1, a o —|a|(4)零向量0 , |0| 0在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变3、共线向量(平行向量) 方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

(5)相等的向量长度相等方向相同b // a (b 0) 存在唯一实数，使b aOA OB OC OA OB BA3.与向量 d （12,5）平行的单位向量为 （）12 A.占,5) 13 C( 12 5、十 / 12 5 C.(一，)或(，B.D ・( 12 513' 1312 513' 13 5、平面向量基本定理（向量的分解定理）e i , e 2是平面内的两个不共线向量，a 为该平面任一向量，则存在唯一实数对1、 2，使得a 1e i2e 2 ， e i 、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

6向量的坐标表示i ，j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数 x ，y ，使得a x i y j ，称（x , y ）为向量a 的坐标，记作：a x ，y ，即为向量的坐标 表示。

设 a x 1， y 1， b X 2， y 2贝 y a b x 1，y 1y 1, y 2 x1y 1， X 2 y 2aX" y 1X 1, y 1若A x 1，y 1，B x 2，y 2则 AB X 2 X 1，y Y 1练习题：1.将—[2(2 a 8b) 4(4 a12A. 2a bB.C. a b D .2.如图 1所示，向量OA,OB,C ）C 的终点A, B ，C 在一条直线上，且nnOAp ，mu OBq ，O C r ，则以下等式中成立的是（A. r3 312q B.r p 2qc. r尹 2qD.2p2b ）］化简成最简式为（2b ab a f图IuurACUUU 3CB ，设4. 已知向量a (2,3),b(1,2)，若ma nb 与a 2b 共线，则m等于()n11A. 1B.2C.丄 D.-2225 •已知非零向量 u 和e 2不共线，欲使te i e 2和◎ t e ?共线，则实数t 的值为 _______ •6•平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点•设AB a ， AD b ，,BJUD则MN _____________ (用a ， b 表示).7. 已知向量 a (3,1),b (1,3),c (k,7)，若(a c)//b,则k _____________ 8. 设向量a (1,2),b (2,3)，若向量 a b 与向量C (4,7)共线，则 = ______9. 两个非零向量厲，e 2不共线.ujuuur ium,「「八(1) 若 AB ee 2，BC2e 1 8e 2，CD3(©e 2)，求证：A B ，D 三点共线;(2) 求实数k ，使k e 1 e 2与2e k e ：共线.uuu10 .已知Y ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OAUUU UUU UULTUUUb 分别表示向量OC ，OD ，DC ，BC .错误!未找到引用源若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.11、设0(2是两个不共线的向量,AB 2ei ke 2 ,CB e 13e 2, CD 2e 1e 2，uuua ，OBb ，用向量a ，12.已知向量 a ( 3,2),b (2,1),c (3, 1),t R.若a tb与c共线，求实数t.。

向量的分量和维数概念向量是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、几何学、工程学等。

本文将重点介绍向量的分量和维数的概念。

1. 向量的基本概念向量是有大小和方向的量，通常用一个有向线段来表示。

在二维空间中，向量可以表示为一个有序对 (x, y)，其中 x 和 y 分别表示向量在 x 和 y 方向上的分量。

在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 分别表示向量在 x、y 和 z 方向上的分量。

一般地，在 n 维空间中，向量可以表示为一个有序 n 元组 (x1, x2, ..., xn)，其中 xi 表示向量在第 i个方向上的分量。

2. 向量的分量向量的分量指的是向量在不同方向上的投影。

在二维空间中，向量 V 的 x 分量表示向量在 x方向上的投影，通常用 Vx 表示；向量 V 的 y 分量表示向量在 y 方向上的投影，通常用 Vy 表示。

在三维空间中，向量 V 的分量类似地可以表示为 Vx、Vy 和 Vz。

一般地，在 n 维空间中，向量 V 的第 i 个分量表示向量 V 在第 i 个方向上的投影，通常用 Vi 表示。

向量的分量可以通过一些公式进行计算。

在二维空间中，对于向量 V(x, y)，它的 x 分量可以通过以下公式计算：Vx = ||V|| * cos(θ)其中 ||V|| 表示向量 V 的长度，θ 表示向量 V 与 x 轴的夹角。

类似地，y 分量可以通过以下公式计算：Vy = ||V|| * sin(θ)在三维空间中，向量 V 的分量的计算公式类似。

3. 向量的维数向量的维数是指向量在有限个维度上的长度或分量的个数。

一般地，向量的维数用 n 表示。

例如，在二维空间中，向量的维数为 2；在三维空间中，向量的维数为 3；在四维空间中，向量的维数为 4，依此类推。

向量的维数决定了向量的性质和运算规则。

例如，在 n 维空间中，向量的加法可以定义为分量相加的运算：对于向量 A(a1, a2, ..., an) 和向量 B(b1, b2, ..., bn)，它们的和向量 C(c1, c2, ..., cn)的每个分量都是对应分量之和，即 ci = ai + bi。

数学向量的运算知识点总结一、向量的基本概念首先，我们来回顾一下向量的基本概念。

向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

在数学上，一般用坐标表示一个向量，比如在二维空间中，一个向量可以表示成(x, y)，表示向量在x轴和y轴上的分量，而在三维空间中，一个向量可以表示成(x, y, z)，表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

向量的加法、减法、数量乘法等运算可以通过分量的运算来完成，这些运算规则将在后面详细介绍。

二、向量的加法和减法向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量的操作，减法则是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

向量的加法和减法都是分量相加和分量相减的操作。

比如，对于两个二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)，它们的加法和减法可以表示为：A+B = (x1+x2, y1+y2)A-B = (x1-x2, y1-y2)在三维空间中，向量的加法和减法同样可以通过分量相加和分量相减来完成。

向量的加法和减法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。

三、数量乘法数量乘法是指一个向量乘以一个标量得到一个新的向量的操作。

比如，对于一个二维向量A=(x, y)和一个标量k，它们的数量乘法可以表示为：kA=(kx, ky)这里k是一个实数。

数量乘法有分配律和结合律，即k(A+B)=kA+kB，(k+m)A=kA+mA。

四、内积内积又称点积，是两个向量相乘得到一个标量的操作。

对于两个n维向量A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)，它们的内积可以表示为：A•B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积有交换律和分配律，即A•B=B•A，A•(B+C)=A•B+A•C。

内积可以用来求向量的夹角和判断向量的正交性。

五、外积外积又称叉积，是两个向量相乘得到一个新的向量的操作。

高三向量所有知识点向量是高中数学中的重要概念之一，它在几何和代数中都有广泛的应用。

在高三阶段，学生需要掌握向量的基本概念和性质，以及向量的运算和应用。

本文将详细介绍高三向量的所有知识点。

一、向量的基本概念和表示法1. 向量的定义：向量是有大小和方向的量。

可以用有向线段表示，有向线段的起点和终点分别表示向量的始点和终点。

2. 向量的表示法：向量可以用字母加上一个箭头表示，比如向量a可以表示为→a。

3. 向量的模长和方向：向量的模长即向量的长度，用|→a|表示。

向量的方向可以使用角度或者与坐标轴的夹角来表示。

二、向量的性质1. 平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，它们被称为平行向量。

2. 相等向量：如果两个向量的大小和方向都相同，它们被称为相等向量。

3. 零向量：模长为0的向量称为零向量，记作→0。

零向量的方向是任意的。

三、向量的运算1. 向量的加法：两个向量的加法可以使用三角法或者平行四边形法。

- 三角法：将两个向量首尾相接，连接首尾形成一个三角形，结果向量为连接线的向量。

- 平行四边形法：将两个向量的起点相同，将它们平移使其终点相连，所形成的平行四边形的对角线为结果向量。

2. 向量的数乘：数乘是指将一个向量乘以一个实数。

- 当实数为正数时，向量的方向不变，模长变为原来的倍数。

- 当实数为负数时，向量的方向相反，模长变为原来的绝对值倍。

3. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积，记作→a·→b，有以下性质：- →a·→b = |→a||→b|cosθ，其中θ为→a与→b之间的夹角。

- 数量积的结果是一个实数，其大小等于向量模长的乘积与夹角的余弦值。

4. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉积，记作→a×→b，有以下性质：- |→a×→b| = |→a||→b|sinθ，其中θ为→a与→b之间的夹角。

- 向量的向量积是一个向量，它的方向垂直于原来两个向量所在的平面。

向量的平行知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是描述空间中的一个点到另一个点的有向线段，通常表示为箭头形式，具有大小和方向的性质。

2. 向量的表示向量可以用坐标表示，也可以用文字标识。

用坐标表示时，通常使用尖括号或方括号来表示向量的坐标。

3. 向量的性质向量具有大小和方向，但没有固定的起点和终点。

向量的大小可以用长度来表示，方向可以用夹角来表示。

4. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量相加的结果是以它们为两条边的平行四边形的对角线。

5. 向量的乘法向量可以与标量相乘，也可以进行内积和外积运算。

二、平行向量的概念1. 平行向量的定义如果两个向量的方向相同或者相反，则它们被称为平行向量。

平行向量的模相等，方向相同或者相反。

2. 平行向量的判定两个向量平行的判断方法有几种，如通过向量的坐标是否成比例、通过向量的内积是否为零等。

3. 平行向量的性质平行向量可以进行加法、减法和乘法运算。

它们可以通过乘以一个标量来进行缩放，也可以用于描述空间中的平行关系和移动关系。

4. 平行向量的应用在物理学、几何学和工程学中，平行向量经常被用来描述物体的移动、力的作用等。

三、平行向量的运算1. 平行向量的加法两个平行向量的加法运算很简单，只需将它们的对应分量相加即可。

2. 平行向量的减法两个平行向量的减法运算也很简单，只需将被减向量的每个分量从减向量的对应分量中分别减去即可。

3. 平行向量的数乘平行向量可以与标量相乘，在数乘运算中，向量的方向不变，只改变了向量的大小。

4. 平行向量的点积平行向量的点积等于两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。

5. 平行向量的叉积平行向量的叉积等于零，因为两个平行向量的夹角为零或180度。

四、平行向量的应用1. 物理学中的应用在物理学中，平行向量经常被用来描述物体的速度、加速度、力的作用等。

2. 几何学中的应用在几何学中，平行向量经常用来描述平面上的直线、多边形、三角形等的关系。

高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。

向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。

由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。

大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。

1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。

3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。

零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

向量的基本概念与运算向量是数学中的一种重要概念，它可以用来表示大小和方向的物理量。

本文将介绍向量的定义、基本运算以及向量的性质。

一、向量的定义在数学中，向量通常用有箭头的小写字母表示，比如a，b等。

向量有大小和方向两个属性，可以用有序数对表示。

例如，向量a可以表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴方向的分量，a₂表示向量在y轴方向的分量。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法可以用几何法或分量法进行计算。

几何法就是将向量的起点放在另一个向量的终点，然后连接起点与终点，得到一条新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法来实现，即将减去的向量取负，然后与被减向量进行相加。

3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将向量的每个分量都乘以一个常数。

比如向量a 乘以常数k，可以表示为ka=(ka₁, ka₂)。

4. 向量的点乘向量的点乘也称为数量积，表示为a·b或a⋅b，在二维空间中可以计算为a·b=a₁b₁+a₂b₂。

点乘的结果是一个标量，它表示的是两个向量之间的夹角的余弦值。

5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为向量积，表示为a×b，在二维空间中由于没有第三个方向，所以叉乘结果为0。

三、向量的性质1. 向量加法的交换律和结合律向量加法满足交换律，即a+b=b+a；同时也满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量数量乘法的分配律向量数量乘法满足分配律，即k(a+b)=ka+kb。

3. 向量的点乘的性质向量的点乘满足交换律，即a·b=b·a；同时也满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。

4. 向量的点乘与夹角夹角为θ的两个非零向量a和b的点乘满足a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模。

5. 垂直向量的点乘如果两个向量a和b垂直，则它们的点乘为0，即a·b=0。