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高数习题

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第 1 页一、单项选择题1.设()()x xx f +-=121，()x x g -=1，则当1x →时, ()f x 是()g x 是的（ ）无穷小.(A ）高阶 （B ）低阶 （C ）同阶但不等价 （D ）等价2．设()x x f arctan =，则()()=∆-∆+→∆xf x f x 11lim 0（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）21 （D)21- 3．极限203(arctan )limxx t dtx →=⎰( ) .A.0B.31 C.61D.∞ 4.如果3lim(1)knn e n→∞-=，则=k ( )A.31-B.3C.3-D.31 5.0x =是函数1()sin f x x x=的( )A 、连续点B 、可去间断点C 、跳跃间断点D 、第二类间断点 6.下列各极限均存在，则________成立. A 、0000()()lim'()x f x f x x f x x ∆→-+∆=∆ B 、0000()()lim '()x f x f x x f x x∆→--∆=∆C 、0000()()lim'()x f x x f x f x x ∆→-∆-=∆ D 、0000(2)()lim '()x f x x f x f x x∆→+∆-=∆ 7.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0021x x y x ，则0=x 是该函数的（ ）.（A ）连续点； （B ） 可去间断点； （C ）跳跃间断点； （D ） 第二类间断点8.函数)(x f y =在点0x x =处取得极大值，则必有（ ）.（A ）0)(0='x f （B ）0)(0<''x f （C ）0)(0='x f 且0)(0<''x f （D ）0)(0='x f 或不存在 11、设)(x f 的连续区间为]1,0[，则)]1[ln(+x f 的连续区间为(A.]1,0[B.]1,0[-eC.],1[eD.],[1e e - 12、函数x x xf 2)(2-=在]4,0[上满足拉格朗日中值定理条件的=c ( )A.1B.2C.3D.25第 2 页14、1cos dxx +⎰=( )A 、tan sec x x C -+B 、cot csc x xC --+C 、tan 2x C +D 、tan()24x C π-+15、x e dx +∞-=⎰( )。

A 、发散B 、收敛于0C 、收敛于1D 、收敛于1-16、下列级数中发散的是_( )A 、132n n ∞=∑ B、1(1)n n ∞=-∑ C 、3131n n n ∞=+∑ D、1n ∞=17、函数)(x f 在点0x 处取得极值，则有（ ）.（A ）0)(0='x f ； （B ）)(0x f '不存在 ；（C ）若)(0x f '存在，则0)(0='x f ； （D ）0()f x 必是最值.18．广义积分222(1)dxx -=-⎰ （ ）（A ） 34； （B ） 34-； （C ）2-； （D ）发散.19. 广义积分21121dx x x +∞=++⎰ ( ) （A ）收敛于1； （B ）收敛于21； （C ）收敛于2π； （D ）发散.二、填空题：1．0x →= . 2．0_________________x →=.3．设()f x 是可导函数，()0>x f ，函数()xe fy 2=的导数y '= .4．函数()()1132+-=x x f 在[]1,2-上的最大值为 .5．当b = 时，点(1,3)是曲线3232y x bx =-+的拐点. 6．设,1(),1x e x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，则20()f x dx ⎰= .7．⎰+dx x x 231 = ________. 8．1201xx e dx e +⎰= . 11、11lim(1)sin1x x x →-+=+_________________. 12、设120()10xxe xf x e x -⎧⎪+>=⎨⎪+≤⎩，则0lim ()x f x →=__________________..第 3 页3、设曲线x x y -=2上点M 处的切线斜率为1，则M 点的坐标为_________________.4、设x n e x y +=，则=)0()(n y ______. 15、曲线34-=x y 为凹的区间是______. 16、在积分曲线族y =中，过)1,1(点的积分曲线是=y __________________.17、定积分11ln e I xdx =⎰与221ln eI xdx =⎰的大小关系是 12___I I .18定积分=⎰______. 19、当0p >时，反常积分0px e dx +∞-=⎰_________.21、已知25lim232n an bn n →∞+-=-，则____a =，____b =. 22、设()(1)(2)()f x x x x x n =--- ，则'(0)_____f =.23、设22x x y e=，则_______dy =.24、函数233y x x =-的凹区间为____________.25、函数()ln(21)f x x =-在[1,2]内满足拉格朗日中值定理的________ξ= 6、函数()3xxf x e =的全部原函数为_______.27、函数2()x t ax e dt Φ=⎰，则'()________x Φ=.9、微分方程cos xy y x '+=在1x yπ==的特解为____ .10．微分方程23xy y y xe '''+-=的特解应设为*y =____________________. 39、微分方程：yx ey -='通解是_____。

40、微分方程：02'"=-+y y y 通解是___________.28、222cos _______x xe xdx -=⎰. 29、设1,0()1,0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，则21()______f x dx -=⎰.31. 如果0→x 要无穷小2sin a x 比1cos x -是等价无穷小a = .32、设函数1sin 0()01sin 0xx x f x px x q x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩在 0x =处连续，则____,______p q ==. 33、极限0sin()sin lim__________h x h xh →+-= . 34、 曲线1yxe y +=在点(1,0)处切线方程为 .35、抛物线24y x x =-在(2,4)点处的曲率____________K =.36、不定积分21x x e dx e=+⎰. 37、定积分5sin xdx ππ-=⎰ .第 4 页38、曲线cos ρθ=在[0,]2πθ∈上一段弧的弧长是 .三、计算题：1.计算 011lim()sin x xx →-. 2．计算⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x x x 21arctan 2arctan lim .3、求极限21)1(lim+-+∞→n n n n . 4、求极限2)ln(lim bxa be a x x +++∞→ )0(>b . 5、求1lim(1)1nn n →∞++. 6、求111lim xx x -→. 7．求极限0x →、求极限01limx x → 9、求极限011lim (cot )x x x x →-. 10.设11()log ln 22x a y x =+++ ，求dy .11．设arctan xy e =-dx dy . 12求函数23sin ()y x =的二阶导数. 13．设x x y -+=11arctan 求dy . 14、设x xx xx f 1)1()(+=，求)(x f '.14、求由方程1xy e xy -=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx. 15、求由参数方程(1sin )cos x t t y t t=-⎧⎨=⎩所确定函数的导数dydx .16．求由方程()()xyy x sin cos =所确定的隐函数y 的导数dxdy. 17、设()y y x =是由方程1sin cos =-+x y xy 所确定，求dy ..18. 设 ⎩⎨⎧-=+=arctgt t y t x )1ln(2，求22dx y d . 19、设⎩⎨⎧-=+=t t t y t x cos sin 2ln 2，求dx dy .. 20．求积分π⎰. 21、求. 22.. 23．求积分⎰+dx x x arctgx )1(22 . 24、求不定积分⎰+dx x xe x2)1(.. 25、求定积分2-⎰.. 26、求定积分51⎰..第 5 页27. 设⎰+=c x dx x xf arcsin )(，求⎰)(x f dx. 28. 求积分21⎰.29求220cos x xdx π⎰. 30 、计算定积分20π⎰.31、计算不定积分. 32、已知21()x t f x e dt -=⎰，求定积分1()f x dx ⎰.11、求方程x e y y y 22'3''-=++的通解.12. .求微分方程y y =''满足初始条件1)0(',1)0(-==y y 的特解. 18. 设连续函数)(x f 满足方程⎰+=x x dt t f x f 02)(2)(求)(x f .27、求微分方程：03'"=+y xy 的通解. 30、求微分方程x y xy ='+''1的通解. 四、应用题：1.要作一个底面为等边三角形、体积为V 的带盖直柱体，问直柱体的底边长为多少时，才能使其表面积最小？2、过平面上点)4,1(P 引一直线，要使它在两坐标轴上的截距都是正的，且它们的和为最小，求此直线方程..3．求由曲线x y=2与直线x y =所围成图形的面积；并求此图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.4.求心脏线)0)(cos 1(>+=a a θρ的长度.5.在曲线族2(1),(0)y a x a =->中求一曲线，使该曲线和它在(1,0)-及(1,0)两点处的法线所围图形的面积最小.6、底边长为2米的正方形水池充满了水，现要从池中将水吸出，使水面降低5米，问需作多少功？7、设圆柱形有盖缸的容积V 为常数，求表面积为最小时底半径x 与高y 之比.8、设平面图形由曲线3,y x y ==:（1）该平面图形的面积；（2）并求此图形绕x 轴旋转所而成的旋转体的体积.五、证明题：1.当20π<<x 时，证明x x π2sin >.2.设函数()f x 有一阶连续导数，又(0)a a >为函数220()()'()xF x x t f t dt =-⎰的驻点。

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高数练习题

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一、单项选择题1.平面20x ky z +--=与平面210x y z ++-=相互垂直，则k =【 】A. 1B. 2C. -1D. -22.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y ''存在，是(),f x y 在该点连续的【 】A. 充分条件而非必要条件B. 必要条件而非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分条件也非必要条件3.设二重积分的积分区域22:14,D x y ≤+≤则D d σ=⎰⎰【 】A. 3πB. 4πC. 15πD. π4.下列方程中有一个是一阶微分方程，它是【 】A. ()22y xy x yy '''-=B. ()2550y y y x '''+-+=C. ()()22220x y dx x y dy -++=D. ()40xy y y '++=5. 下列级数中，收敛的是【 】A. 1n ∞=B. ()21cos 1n n n α∞=+∑C. ()11ln 1n n ∞=+∑D. 1n ∞=二、填空题1.过点()2,5,3-且平行于直线31325x y z --==-的直线方程为 。

2.设函数22xy z e +=，则()1,1x z '-= 。

3.积分()220,x x dx f x y dy ⎰⎰的另一种积分次序是 。

4.积分()()2322L xy x dx y x dy -++⎰ = ，其中L 是单位圆周的正向。

5.将函数()14f x x=-展成x 的幂级数 。

（要确定级数的收敛区域）三、计算题1．求点()1,0,2在平面210x y z +-+=上的投影。

2．设()2cos 2z x y =-，求2z x y ∂∂∂。

3.计算二重积分：Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线1,2,y x y x ===所围成的闭区域。

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【最新整理，下载后即可编辑】课程习题 第一章 函数与极限1．填空题 （1）设421)1(x x x x f +=+ )0(≠x ，则=)(x f 。

（2）设xxx f πsin ln )(=，则)(x f 的一个可去间断点为=x 。

（3）若x x →时，)(x α与)(x β是等价无穷小，则=++→)](1ln[)](1ln[lim0x x x x βα 。

2．单项选择题：（1）xxe x y cos sin =在（+∞∞-,）内为（ ）（A ）周期函数。

(B) 偶函数。

(C ) 有界函数。

(D) 单调函数。

（2）当1→x 时,函数11211---x ex x 的极限( )(A) 等于2。

(B) 等于0。

(C) 为无穷大。

(D) 不存在但也不为无穷大。

（3）设)(x f 是定义在[b a ,]上的单调增加函数，),(0b a x ∈，则（ ）（A ）)0(0-x f 存在但)0(0+x f 不一定存在。

（B ）)0(0+x f 存在但)0(0-x f 不一定存在。

（C ）)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在但)(lim 0x f x x →不一定存在。

(D) )(lim 0x f x x →一定存在。

（4）当0→x 时，6（x x sin +）是3x 的（ ）（A ）高阶无穷小。

（B ）同阶但非等价无穷小。

（C ）低阶无穷小。

（D ）等价无穷小。

3．设⎩⎨⎧-+=21)(x x x f3111≤<<≤-x x ，b a x f x ++=)()(ϕ，试确定ba ,之值，使)(x ϕ为奇函数。

4．利用数列极限的N -ε定义231223lim=-+∞→n n n 。

5．求下列极限：（1）)111)(110()110()13()12()1(lim2222--++++++++∞→x x x x x x x（2）xx x x x 23151lim20+--+→ （3）xx x x 3)1212(lim -+∞→（4）x x x 2cot )2(lim 2ππ-→（5）3442lim2+++-∞→x x x x（6）]ln sin )1ln([sin lim n n n -+∞→ （7）)332211(lim 2222n n n nn n n n n n n ++++++++++++∞→6．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x ax x x x f 1)1(2sin )(00><x x ，求常数a ，使)(lim 0x f x →存在 7．讨论函数极限：xxx cos 1lim0-→。

高级高数练习题

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高级高数练习题1. 求函数\( f(x) = \frac{x^2+1}{x-1} \)的极限：解析：可以将函数进行分解为\( f(x) = x+1 + \frac{2}{x-1} \)，当\( x\to1 \)时，第一项趋于2，第二项趋于正负无穷大，所以该函数在\( x=1 \)处不存在极限。

2. 求函数\( f(x) = \frac{|x|}{x} \)的极限：解析：当\( x>0 \)时，函数可化简为\( f(x) = 1 \)，当\( x<0 \)时，函数可化简为\( f(x) = -1 \)，当\( x\to0 \)时，两种情况的极限都不存在。

3. 求函数\( f(x) = \lim_{{n\to\infty}} (1+\frac{x}{n})^n \)的极限：解析：可以利用自然对数的极限性质，将函数转化为\( f(x) = e^x \)，所以当\( n\to\infty \)时，\( f(x) \)的极限为\( e^x \)。

4. 求函数\( f(x) = \lim_{{n\to\infty}} \sin^2(\pi nx) \)的极限：解析：可以利用泰勒公式将\( \sin^2(\pi nx) \)展开，得到：\( f(x) = \lim_{{n\to\infty}} \sin^2(\pi nx) = \lim_{{n\to\infty}} (\pi^2 n^2 x^2 - \frac{(\pi nx)^4}{3!} + O(x^6)) \)。

当\( n\to\infty \)时，\( f(x) \)的极限为\( \pi^2 x^2 \)。

5. 求函数\( f(x) = \frac{2x^3-3x^2-36x+1}{x^2-1} \)的导数：解析：可以将函数进行分解为\( f(x) = 2x - 3 + \frac{-33}{x-1} + \frac{-3}{x+1} \)，根据导数的求导法则，函数的导数为\( f'(x) = 2 - \frac{-33}{(x-1)^2} - \frac{-3}{(x+1)^2} \)。

高数练习题及答案解析

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高数练习题及答案解析一、填空题1．设f?ax?by,其中a,b为常数，则f)?.axy?abx?b2y 2．函数z?x2?y2在点处，沿从点到点的方向的方向导数是.1?223．设有向量场A?yi?xyj?xzk，则divA? x1x2114．二重积分dxfdy交换积分次序后为?dyfdx0n5．幂级数?的收敛域为 . [0,6) nn3n?16．已知z?e7．三重积分x?2y，而x?sint,y?t，则33dzesint2t dt其中?是由x?0,x?1,y?0,y?1,z?0,z?3dv? ，所围成的立体.二、计算题21．设a?2,b?5,a与b的夹角为?，向量m??a?17b与n?3a?b相互垂直，求?.3222解：由0?m?n?3?a?a?b?17b?122?5?cos??17?253得??40.2x3yz50垂直的平面方程.3x?y?2z?4?0?ijk?解：直线的方向向量为s?2?31??5,7,1131?22．求过点且与直线?取平面的法向量为n?s，则平面方程为5?7?11?0 即5x?7y?11z?8?0.3．曲面xyz?32上哪一点处的法线平行于向量S?{2,8,1}？并求出此法线方程.解：设曲面在点M处的法线平行于s，令F?xyz?32则在点M处曲面的法向量为n?{Fx,Fy,Fz}?{yz,xz,xy}.由于ns,故有yzxzxy.由此解得81x?4y,z?8y，代入曲面方程，解得M的坐标为，用点向式即得所求法线方程为x?4y?1z?881三、计算题1．设z?xy?xF，其中F为可导函数，求xyx?z?z?y. ?x?y解：zyzyFF, xF xxyzzy2xyxFzxy xynd?ex?1?2．将函数f?展成的幂级数，并求的和. xdx?x?n?1!ex?1111xxn1 解：x2!n!并在内收敛。

12n1n2nfxxxn1,x2!3!n!n?1!ex1nfx!n1x?113．求微分方程y1?,y??2dy的通解. dx解：令y??p,则yp?，原方程化为p??1?p2?dpdxptan1p2y??tandx??lncos?c2四、计算题1．求曲线积分I?22233的值，其中L为x?y?R的正向. ydx?dyL解：记L所围成的区域为D，利用格林公式得2?RI?y3dx?dydxdy?3?dd?LD3R22．求微分方程yy?4xex的通解.解：对应的齐次方程为yy?0，它的特征方程为r?1?0，其根为r1?1,r2??1，该齐次方程的通为Y?C1ex?C2e?x。