第十章排列、组合和二项式定理网络体系总览考点目标定位1.分类计数原理与分步计数原理.2.排列、排列数公式.3.组合、组合数公式、组合数的两个性质.4.二项式定理、二项展开式的性质.复习方略指南排列与组合是高中数学中，从内容到方法都比较独特的一部分.其重点是在熟练应用公式的基础上,运用两个基本原理,解决计数应用题.二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应用.近几年全国各地高考试题考查本章知识的题型多为选择题或填空题,分值为4—9分,各套试卷都有考查本章知识的题目,难度为中档或中档以下的题目,试题考查二项式定理及其通项公式的较多,对排列、组合的考查放在了概率一节知识中.依据以上情况,复习中,要注意通过典型例题,掌握分析问题的方法,总结解题规律.10.1 分类计数原理、分步计数原理巩固·夯实基础一、自主梳理1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种方法.2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种方法.二、点击双基1.(江苏高考)四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的.现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( )A.96B.48C.24D.0解析:相交两棱所代表的物品不同在一个仓库,如右图,现设侧棱为1、2、3、4,底面上的边为5、6、7、8,由图分析可知,不可能有3种物质放在同一个仓库,故每个仓库放2种,由图知下图中对应为安全的.不妨设先将编号为1、2、3、4的物品入仓,则有A44种放法,然后从有1的开始.A:若有1的仓库放5,则有2的放6且8只能在含4的仓库中,那么7只能放在含3的仓库中.B:若有1的仓库放8,同理可知也只有一种放法,故放法有2种.∴为2A44=2×24=48(种).答案:B2.(2005北京东城教学目标检测)如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,则这样的三位数一共有( )A.240个B.285个C.231个D.243个解析:分情况类推,当十位数字是9时,百位数字有8种取法,个位数字有9种取法,此时取法种数为8×9;当十位数字是8时,百位数字有7种取法,个位数字有8种取法,此时取法种数为7×8.依此类推,直到当十位数字是2时,百位数字有1种取法,个位数字有2种取法,此时取法种数为1×2.所以,总的个数为1×2+2×3+3×4＋…+8×9=240.故选A.答案:A3.(北京宣武质量检测)某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2.元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这个人把这种特殊要求的号买全,至少要( )A.3 360元B.6 720元C.4 320元D.8 640元解析:考查分步计算原理,从01至10的三连号的个数有8种;从11至20的两连号的个数有9种;从21至30的单选号的个数有10种;从31至36的单选号的个数有6种,故总的选法有8×9×10×6=4 320种,可得需钱数为8 640元,答案为D.答案:D4.72的正约数(包括1和72)共有_______________个.解析:72=23×32.∴2m·3n(0≤m≤3,0≤n≤2,m、n∈N)都是72的正约数.m的取法有4种，n的取法有3种，由分步计数原理共3×4个.答案:125.(北京春季高考)从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,共可组成不同的二次函数__________个,其中不同的偶函数共有___________个.(用数字作答)解析:一个二次函数对应着a、b、c(a≠0)的一组取值,a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种,由分步计数原理,知共有二次函数3×3×2=18个.若二次函数为偶函数,则b=0.同上共有3×2=6个.答案:18 6诱思·实例点拨【例1】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果？解:分两类：(1)幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17 400种结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11 400种结果.因此共有17 400+11 400=28 800种不同结果.讲评:在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步，一般情况是先分类再分步.链接·提示本题为什么要先分类？由于幸运之星在哪个信箱产生对幸运伙伴的产生有影响，分步计数原理中步与步间要独立.【例2】有一个圆被两相交弦分成四块,现在用5种不同颜料给4块涂色,要求共边两块颜色互异,每块只涂一色,共有多少种涂色方法?剖析:如图所示,分别用a、b、c、d记这四块.a与c可同色,也可不同色,先可考虑给a、c两块涂色,分两类.解:(1)给a、c涂同种颜色共C15种涂法,再给b涂色有4种涂法,最后给d涂色也有4种涂法,由乘法原理知,此时共有C15×4×4种涂法.(2)给a、c涂不同颜色共有A25种涂法,再给b涂色有3种方法,最后给d涂色也有3种,此时共有A25×3×3种方法.故由分类计数原理知,共有C15×4×4+A25×3×3=260种涂法.讲评:按元素性质分类,按事件发生过程分步是处理排列、组合问题的基本思想方法.在应用分类计数原理时,要注意“类”与“类”间的独立性与并列性;在应用分步计数原理时,要注意“步”与“步”的连续性.链接·聚焦两个基本原理与排列组合是历年高考必考内容,题型多以小题为主,主要考查对概念的理解和知识的综合应用.【例3】现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?(3)推选两人作中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?剖析:这是个分类和分步计数原理的综合问题,(1)是分类计数原理,(2)是分步计数原理,(3)是分类与分步的综合.解:(1)分四类,第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;第四类,从四班学生中选1人,有10种选法,所以共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).(2)分四步,第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长,所以共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040(种).(3)分六类,每类又分两步,从一班、二班学生中各选1人,有7×8种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有7×9种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有7×10种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有8×9种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有9×10种不同的选法,所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).讲评:综合问题,要清楚是先分类,每类之中有分步还是先分步,每步之中有分类.。
课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。
