2020年安徽省高考文科数学考前押题试卷及答案解析

赢在微点★倾情奉献文科数学押题卷(二)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( )A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}2．已知复数z ＝1－2i（1＋i ）2，则z 的虚部为( )A ．－12B ．12C ．－12iD ．12i3．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份1 2 3 4 5 6 人均销售额6 5 8 3 47 利润率(%)12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3 A ．利润率与人均销售额成正相关关系 B ．利润率与人均销售额成负相关关系 C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系 D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系4．已知a ＝⎝⎛⎭⎫13π，b ＝⎝⎛⎭⎫1312，c ＝π12，则下列不等式正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a5．已知某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是边长为3的正三角形，则该几何体的体积为( )A ．πB ．π2 C ．3π8 D ．π46．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝－35，cos B ＝45，a ＝20，则c ＝( )A ．10B ．7C ．6D ．5 7．函数f (x )＝ln|x |·sin x 的图象大致为( )A B C D 8．执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为( )A ．4B ．6C ．8D ．109．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A ．13B ．12C ．23D ．310．数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间，都满足关系式V －E ＋F ＝2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”。

安徽省2020年高考冲刺卷（数学文）doc 高中数学文科数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分.总分值150分.考试用时120分钟.第一卷〔选择题 共50分〕一、选择题：本大题共10小题。

每题5分。

共50分．在每题给出的四个选项中。

只有一项为哪一项符合题目要求的．1. 复数21i i 1i++-的值是 〔 〕 A. i 1- B. 1i - C. 1i -- D. 1-2. R U =,[]0,2A =,(1,+)B =∞,那么()=U A B ( )A. []0,1(2,+)∞ B. (],2-∞ C. []0,2 D. []0,13．有以下四个命题：①〝假设1xy =，那么,x y 互为倒数〞的逆命题；②〝相似三角形的周长相等〞的否命题；③〝假设1b ≤-，那么方程2220x bx b b -++=有实根〞的逆否命题；④〝假设A B B =，那么A B ⊇〞的逆否命题．其中真命题是 ( )A ．①② B．②③ C．①③ D．③④4．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，假设甲、乙两人的平均成绩分 不是X 甲，X 乙，那么以下结论正确的选项是 ( )A ．X X <乙甲；乙比甲成绩稳固B ．X >X 乙甲；甲比乙成绩稳固C ．X >X 乙甲；乙比甲成绩稳固D ．X X <乙甲；甲比乙成绩稳固5. 向量33(,)22a =-，3(,)2b λ=，假设a b ∥，那么λ的值为 〔 〕 A. 2- B. 12-C. 14-D. 126. 设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩那么z x y =+ 〔 〕A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值也无最大值7. 一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图，那么几何体的体积为A ．8cm 3B ．9cm 3C ．10cm 3D ．11cm38.在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高，222a cb +<，2222CD CD 1AC BC +=，那么 A ．A B 2π+= B.A B 2π-=C. B A 2π-=D.A 2B π-=9．张老师给学生出了一道题，〝试写一个程序框图，运算1111S 13579=++++〞发觉同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，那个错误的做法是10. 设数列{}n a 是首项为1公比为3的等比数列，把{}n a 中的每一项都减去2后，得到一个新数列}{n b ，}{nb 的前n 项和为S n，对任意的n N*∈，以下结论正确的选项是A ．13n n b b +=，且1S (31)2nn =- B ．132n n b b +=-，且 1S (31)2nn =-C ．134n n b b +=+，且1S (31)22nn n =--D ．134n n b b +=-，且1S (31)22nn n =--第二卷〔非选择题 共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11. 在ABC ∆中，A ∠=60°，AB ：AC =8:：5，面积为3__________.12. 考查正方体的六个面的中心，从中任意选出三个点连成三角形，再把剩下的三个点也连成三角形，那么所得的两个三角形全等的概率为_________.13. 函数32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，那么a 的范畴是 ． 14. ()(),f x g x 差不多上定义在R 上的函数，且满足以下条件： ①()()()0,1x f x a g x a a =>≠；②()0g x ≠；③()()()()''f x g x f x g x >；假设()()()()115112f fg g -+=-，那么a =________.15. 椭圆的中心为原点，离心率2e =，且它的一个焦点与抛物线2x =-的焦点重合，那么此椭圆方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题总分值12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分不为a ，b ，c 且tan B =，(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)求函数()sin 2sin cos ,0,2f x x B x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的单调递减区间．17．(本小题总分值12分)某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之咨询的关系，随机抽测了20人，得到如下数据：(Ⅰ)假设〝身高大于l75厘米〞的为〝高个〞，〝身高小于等于175厘米〞的为〝非高个〞；〝脚长大于42码〞的为〝大脚〞，〝脚长小于等于42码〞的为〝非大脚〞．请依照上表数据完成下面的2×2列联表：(Ⅱ)依照题(I)中表格的数据，假设按99％的可靠性要求，能否认为脚的大小与身高之间有关系?(Ⅲ)假设按下面的方法从这20人中抽取1人来核查测量数据的误差：将一个标有数字1，2，3，4，5，6的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号．试求：①抽到12号的概率；②抽到〝无效序号(超过20号)〞的概率． 18．〔本小题总分值15分〕直线30x ky +-=所通过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)圆O ：221x y +=，直线:1l mx ny +=.试证：当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得弦长L 的取值范畴.19. (本小题总分值12分)设数列{}n a 的首项132a =，前n 项和为n S ，且满足*123(N ).n n a S n ++=∈〔Ⅰ〕求2a 及n a ；〔Ⅱ〕求满足2188177n n S S <<的所有n 的值.20．(本小题总分值13分) 四棱锥P ABCD -中，ABCD AB CD AD=CD=1PA ⊥底面，∥，，°BAD ∠=120，PA=3， ACB ∠=90°.(Ⅰ)求证：BC ⊥平面PAC ；(Ⅱ)求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．21.〔本小题总分值14分〕322()24,3f x x x cx =-++2()().x x g x e e f x -=-+ (Ⅰ)假设()f x 在12x =+处取得极值，试求c 的值和()f x 的单调增区间； (Ⅱ)如下图，假设函数()y f x =的图像在[],a b 上连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在(,)c a b ∈使得'()?f c =〔用含有,,(),()a b f a f b 的表达方式直截了当回答，不需要写猜想过程〕〔Ⅲ〕利用(Ⅱ)证明：函数()y g x =图像上任意两点的连线斜率不小于24e -.参考答案1. A 【解析】此题要紧考查了复数的运算.221i 1i i 1i 11i 1i 1i +++=-=---+（）（）（）.应选A. 2. D 【解析】此题考查集合的交、补运算及运用数轴求解集.易知UB =∞（-，1]，画数轴，知U A B （）=[0,1]，应选D.3. C 【解析】此题要紧考查了常用逻辑用语的基础知识，命题的概念和性质．应用相应知识分不验证，可写出命题并判定真假．关于①，〝假设1xy =，那么x ,y 互为倒数〞的逆命题是：假设x ,y 互为倒数，那么1xy =．是真命题；关于③，逆否命题是：假设2220x bx b b -++=没有实数根，那么1b >-．假设2220x bx b b -++=没有实数根，可得40,0b b ∆=-<∴>，可知当2220x bx b b -++=没有实数根时，1b >-成立，因此①③是正确的．应选C.4. A 【解析】由茎叶图可知，甲的成绩分不为：72，77，78，86，92，平均成绩为：81；乙的成绩分不为：78，82，88，91，95，平均成绩为：86.8，那么易知X X <乙甲；乙比甲成绩稳固.应选A.5. B 【解析】此题考查了向量平行的坐标判定．因为a b ∥，因此333222λ-⨯（-）=0，解得12λ=-.应选B ．6. B 【解析】此题要紧考查线性规划及数形结合法知识．由条件可画得约束条件所对应的平面区域的图形如下图，易知在(2,0)A 点目标函数目标函数没取最小值，因 ,x y 能够在区域内取正无穷大的数，即知有最大值．应选B ．7. D 【解析】此题考查三视图的识不以及多面体的体积咨询题．依照三视图得出几何体的形状及长度关系是解决咨询题的关键．由三视图知几何体是底面为边长为2的正方形，高为3的正四棱柱被平面截得的，如下图，其中M 为11A B 的中点，因此几何体的体积为112232131132⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3（cm ）．应选D ．8. C 【解析】此题考查解三角形及三角恒等变换.由余弦定理得222cos 02a c b B ac+-=<，那么90180B ︒<<︒；在Rt BCD ∆中，sin()sin CDB B BCπ-==，在Rt ACD ∆中， sin CDA AC=；又2222CD CD 1AC BC +=，那么22sin sin 1A B +=，移项得22sin cos B B =，又cos 0B <，因此()2B ππ∈，，且有sin cos ,A B =-得2B A π-=，应选C .9. C 【解析】此题要紧考察程序框图的功能，关于C 项，程序框图是用来运算1111357S =+++的.应选C.8AB =,5AC =,2218528572BC =+-⨯⨯⨯=.那么周长为20. 12．1【解析】此题考查立体几何中的概率咨询题，解决咨询题的关键是弄清空间中的点的位置关系．由题意可知正方体的六个面的中心的六个点中，任意选出三个点连成三角形假设是等边三角形，那么剩下的三个点也连成与前面全等的等边三角形；假设从中任意选出三个点连成三角形是直角三角形，那么剩下的三个点也连成与前面全等的直角三角形．因此所得的两个三角形全等的概率等于1．13. {}|12a a a <->或 【解析】此题要紧考查了函数的极值咨询题及导数的应用，利用导数作为工具去研究函数的性质专门方便.2'()363(2)f x x ax a =+++，要使函数()f x 有极大值又有极小值，那么需使导函数既能取正值又能取负值，即需导函数的23636(2)0a a ∆=-+>，解得1a <-或2a >. 14.12 【解析】此题要紧考查函数值、导数的求法和导数的意义.由(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-得1152a a -+=，因此122a a ==或.又由()'()'()(),f x g x f x g x >即()'()'()()0f x g x f x g x ->，也确实是'2()()'()()'()0()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤-=-<⎢⎥⎣⎦，讲明函数()()xf x ag x =是减函数，即101,,2a a <<=故故12a =. 【参考答案】〔I 〕在ABC ∆在，利用余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,代入2223tan ac B a c b =+-得3sin 2B =,而ABC ∆是锐角三角形，因此角3B π=.…………………………………………………………………………………………6分〔Ⅱ〕()sin 2sin cos sin 3f x x B x x x =+=+ 2sin()3x π=+，………………………………………………………………8分假设()f x 单调递减，那么322232k x k πππππ+≤+≤+，Z k ∈,因此72266k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈.………………………………………………………10分当0k =时，766x ππ≤≤.又02x π≤≤，那么62x ππ≤≤，因此()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………………………………12分 【信息解读】分析近几年高考试卷，三角形求解内容是每年必考的，试题内容要紧涉及两个方面：一是考查正弦定理、余弦定理及其变式或推论的内容及简单应用.这类题目多见于选择题和填空题，难度不大；二是以三角形为知识载体，研究三角恒等交换及向量等咨询题，这类咨询题不仅要使用正弦定理、余弦定理求解边和角，还要结合三角形或向量的运算进行处理，除了在选择题和填空题中显现外，解答题也经常显现这方面内容.17.【思路探究】此题要紧考查概率与统计知识．(I)直截了当将数据统计填在表中即可；(Ⅱ)可直截了当利用独立性检验公式求得2x 的值进而得出结论；(Ⅲ)按古典概型运算公式进行运算即可． 【参考答案】(I)表格为：高个 非高个 合计 大脚 5 27 非大脚 113合计614……………………………………………………3分(讲明：黑框内的三个数据每个1分，黑框外合计数据有错误的暂不扣分)(Ⅲ)①抽到12号的概率为141369P ==;…………………………………………10分 ②抽到〝无效序号〔超过20号〕〞的概率为261366P ==…………………………12分【误区警示】概率与统计咨询题的应用难度不大，但易显现下面的一些错误：一是不能准确地把握各运算公式，二是显现运算方面的错误.18. 【思路探究】此题要紧考查了圆锥曲线方程求解和直线与圆的弦长咨询题，破解方法是用几何法求解圆锥曲线的方程，用函数的方法求出直线与圆相交的弦长的取值范畴咨询题. 【参考答案】〔I 〕由30x ky +-=，得(3)0x ky -+=，因此直线过定点〔3，0〕，即(3,0)F .……………………………………………………2分2191625m <+，因此直线l 与圆O 恒相交.…………………………………………8分又直线l 被圆O 截得的弦长为222L r d =- =22121m n -+ =212191625m -+，…………………………………………10分 由于2025m ≤≤，因此2916162525m ≤+≤， 那么1546L ∈⎣⎦,即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范畴是1546⎣⎦…………12分 【方法提炼】圆锥曲线方程的求解一是定义法；二是几何法；三是待定系数法，弦长的范畴的求解一样利用函数与不等式性质相结合的方法，因此要注意变量的定义域，在取值范畴内求解弦长的范畴.19. 【思路探究】此题要紧考查数列的相关知识．(Ⅰ)依照，我们能够列出它的上一项(或下一项)两式相减便可消去其中的S n ，转化为关于n a 的式子，分析便易得其中存在的规律；(Ⅱ)要得到满足条件的n 的值，我们需要将2S n nS 化简整理，得到11()2n +，从而转化为指数不等式咨询题进行解决． 即1111727n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭． 因为31111727⎛⎫<< ⎪⎝⎭，而41111727⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 因此n 的值为3，4．……………………………12分【规律总结】遇到既含有S n ，又含有n a 的式子时，一样利用1S n n n S a --=统一，能够转化为关于n a 的式子，也能够转化为关于S n 的式子.转化之后，看是否满足等差或等比数列的定义或其倒数是否满足，或是否能构造成等差、等比数列定义的形式，再结合定义解决咨询题.20．【思路探究】此题考查空间中的直线与平面的垂直关系，考查直线与平面所成的角．证明直线与平面垂直的关键是证明直线与平面内的两条相交直线垂直；求线面角的关键是得出直线在平面内的射影．(I)利用PA ABCD ⊥底面,与得PA BC ⊥及BC AC ⊥，因此可证得BC PAC ⊥平面；(Ⅱ)利用PAB ABCD ⊥平面底面，作CE 垂直AB ，得CE PAB ⊥面，直线PC 与平面PAB 所成的角为EPC ∠，求出即可.……………………………………13分【误区警示】立体几何的证明咨询题，得分容易，但得总分值不易，要紧缘故是在运用综合法证明咨询题时，讲理不充分，逻辑关系不严密，这就要求在解决这类咨询题时，一定要细心，做到步步有理由，环环相扣，不跳步.21．【思路探究】此题考查了函数导数的求法、几何意义及利用导数解决函数的单调性咨询题．(I)函数的极值点即导数值等于零，单调增区间即导数大于零的解集；(Ⅱ)利用导数的定义来解决；(Ⅲ)转化为函数的导数，利用差不多不等式和二次函数的最值来解决．【参考答案】〔I 〕2'()24f x x x c =-+ 依题意有'(12)0,f += 即22(12)4(12)c =-++ = -2………………………………………………………………………………2分3222()224,'()24 2.3f x x x x f x x x ∴=--+=-- 令'()0,1212,f x x x ><->得或从而()f x 的单调增区间为(,12)(12).-∞-∞或，………………………………4分〔Ⅱ〕()()'().f b f a f c b a-=-…………………………………………8分 〔Ⅲ〕由2()()x x g x e e f x -=-+=2322224,3x x e ex x x --+--+ 因此22'()24 2.x x g x e e x x -=++--。

2020年安徽省高考冲刺数学模拟试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣2x≥3}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（0，3]C．[3，4）D．（3，4）2．已知复数z＝m﹣1+（m﹣3）i（m∈Z）在复平面内对应的点在第四象限，则＝（）A．B．C．1D．3．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）A．B．C．D．4．设a＝，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c5．已知向量、，若＝4，且⊥，则与的夹角是（）A．B．C．πD．6．函数在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知．则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．8．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为C．f（x）在上单调递增D．f（x）的图象关于直线x＝对称9．运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为111，则判断框中可以填（）A．i≥221？B．i＞222？C．i＞223D．i＞224？10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．211．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A﹣a cos B＝2b﹣c，则A＝（）A．B．C．D．12．已知椭圆C：x2+＝1，直线l：y＝x+m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13．函在x＝0处的切线方程为．14．若实数x、y满足，则z＝3x+2y的最大值为．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+3a2+…+3n﹣1a n＝n，则S4＝．16．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是．三、解答题（共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a4＝26，且a1，a2，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求T511．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，O是正方形的中心．PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点，连接BE，DE．（1）证明：PA∥平面BDE，平面PAC⊥平面BDE；（2）若∠COE＝60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积19．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.82820．已知函数．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）若x＝1是f（x）的唯一极值点，求a的取值范围．21．已知抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为F，x轴上方的点M（﹣2，m）在抛物线上，且|MF|＝，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当k1+k2＝﹣2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分[选修4一4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）以曲线C上的动点M为圆心、r为半径的圆恰与直线l相切，求r的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若函数y＝f（x）图象的最低点为（m，n），正数a，b满足ma+nb＝6，求的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x≥3}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（0，3]C．[3，4）D．（3，4）【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x2﹣2x≥3}＝{x|x≤﹣1或x≥3}，B＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝{x|3≤x＜4}＝[3，4）．故选：C．2．已知复数z＝m﹣1+（m﹣3）i（m∈Z）在复平面内对应的点在第四象限，则＝（）A．B．C．1D．【分析】由已知列式求得m，再由商的模等于模的商求解．解：由题意可得，，解得1＜m＜3．又∵m∈Z，∴m＝2，则z＝1﹣i，∴＝．故选：A．3．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．解：不妨设OA＝1，扇形中心角为θ．∴此点取自扇面（扇环）部分的概率＝＝．故选：C．4．设a＝，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】由指数函数、对数函数的单调性，并与0，1比较可得答案．【解答】解析：∵由指数、对数函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选：A．5．已知向量、，若＝4，且⊥，则与的夹角是（）A．B．C．πD．【分析】设向量、的夹角为θ，由平面向量的数量积运算求出cosθ与θ的值．解：设向量、的夹角为θ，由＝4，且⊥，得（+）•（﹣2）＝﹣﹣2＝16﹣4×4×cosθ﹣2×16＝0，解得cosθ＝﹣1，又θ∈[0，π]，所以与的夹角是θ＝π．故选：C．6．函数在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解．解：∵，∴函数f（x）为奇函数，又∵，∴选项D符合题意．故选：D．7．已知．则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα、tanα的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（α+）、cos（α﹣）的值，可得结论．解：∵已知，∴cosα＝﹣＝﹣，故A正确；∴tanα＝＝＝﹣，故B正确；cos（α+）＝cosαcos﹣sinαsin＝﹣﹣＝﹣，故C正确；cos（α﹣）＝cosαcos+sinαsin＝﹣+＝，故D不正确，故选：D．8．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为C．f（x）在上单调递增D．f（x）的图象关于直线x＝对称【分析】利用三角恒等变换花简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：∵函数＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，故f（x）的最小正周期为＝π，故排除A．故f（x）的最大值为1+＝，故B正确．在上，2x﹣∈（，），函数f（x）单调递减，故排除C．当x＝时，f（x）＝不是最值，故f（x）的图象关不于直线x＝对称，故排除D，故选：B．9．运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为111，则判断框中可以填（）A．i≥221？B．i＞222？C．i＞223D．i＞224？【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+7sin+…＝1﹣3+5﹣7+…，而由题意可知：111＝1+55×2＝1﹣3+5﹣7+9+…﹣219+221，i＝221+2＝223，故条件为”i＞222？“，故选：B．10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线方程，结合题意求出a、c的值，再计算双曲线的离心率．解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则tan＝，所以该条渐近线方程为y＝x；所以＝，解得a＝；所以c＝＝＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝．故选：A．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A﹣a cos B＝2b﹣c，则A＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果．解：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A﹣a cos B＝2b ﹣c，利用正弦定理得：，整理得，由于sin B≠0，所以，即，所以sin（A+）＝1，由于0＜A＜π，解得，故选：C．12．已知椭圆C：x2+＝1，直线l：y＝x+m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用对称关系，求得对称点M，N的方程，代入椭圆方程，利用△＞0，求得n 的取值范围，并且线段MN的中点在直线l上，求得m和n的关系，即可求得m的取值范围．解：设椭圆上存在关于直线y＝x+m对称的两点为M（x1，y1）、N（x2，y2），根据对称性可知线段MN被直线y＝x+m垂直平分，且MN的中点T（x0，y0）在直线y ＝x+m上，且k MN＝﹣1，故可设直线MN的方程为y＝﹣x+n，联立，整理可得：3x2﹣2nx+n2﹣2＝0，所以x1+x2＝，y1+y2＝2n﹣（x1+x2）＝2n﹣＝，由△＝4n2﹣12（n2﹣1）＞0，可得﹣＜n＜，所以x0＝＝，y0＝＝，因为MN的中点T（x0，y0）在直线y＝x+m上，所以＝+m，m＝，﹣＜m＜，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．函在x＝0处的切线方程为y＝2x．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再求出f（0），利用直线方程的点斜式得答案．解：∵，∴f′（x）＝，则f′（0）＝，即k＝2．当x＝0时，f（0）＝，即切点坐标为（0，0），∴切线方程为y＝2x．故答案为：y＝2x．14．若实数x、y满足，则z＝3x+2y的最大值为10．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由实数x、y满足，作出可行域如图，联立，解得A（4，﹣1），化目标函数z＝3x+2y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为z＝3×4﹣2×1＝10．故答案为：10．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+3a2+…+3n﹣1a n＝n，则S4＝．【分析】利用已知条件求出首项，推出数列的通项公式，判断数列是等比数列，然后求解数列的和．解：，可得n＝1时，a1＝1，n≥2时，，又，两式相减可得3n﹣1a n＝1，即，上式对n＝1也成立，可得数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得．故答案为：．16．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是64π．【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积．解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O'，外接圆的半径r，正三棱锥的外接球的球心在高SO'所在的直线上，设为O，连接OA得：r＝，所以r＝2，即O'A＝2，所以三棱锥的高h＝＝＝6，由勾股定理得，R2＝r2+（R﹣h）2，解得：R＝4，所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π．故答案为：64π．三、解答题（共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a4＝26，且a1，a2，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求T511．【分析】（1）设{a n}的公差为d，d≠0，由已知列方程组求解首项与公差，则通项公式可求；（2）b n＝（﹣1）n+1a n＝（﹣1）n+1（8n﹣6），再由数列的分组求和得答案．解：（1）设{a n}的公差为d，d≠0．因为a1，a2，a7成等比数列，所以a22＝a1a7，即（a1+d）2＝a1（a1+6d），整理得d2﹣4da1＝0．又d≠0，所以d＝4a1，①又a4＝a1+3d＝26，②联立①②，得，解得．所以a n＝2+8（n﹣1）＝8n﹣6．（2）因为b n＝（﹣1）n+1a n＝（﹣1）n+1（8n﹣6），T511＝b1+b2+…+b511＝2﹣10+18﹣26+…+4066﹣4074+4082＝（2﹣10）+（18﹣26）+…+（4066﹣4074）+4082＝（﹣8）×255+4082＝2042．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，O是正方形的中心．PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点，连接BE，DE．（1）证明：PA∥平面BDE，平面PAC⊥平面BDE；（2）若∠COE＝60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积【分析】（1）连结OE，推导出OE∥PA，从而PA∥平面BDE，推导出PO⊥BD，BD ⊥AC，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面BDE．（2）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AC，推导出EF∥PO，从而EF⊥AC，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．解：（1）证明：连结OE，∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥PA，∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE，∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．（2）解：取OC的中点F，连结EF，由题意得OF＝，∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，∵E，F分别是PC，OC的中点，∴EF∥PO，∴EF⊥AC，∴∠OFE＝90°，在Rt△OFE中，∠COE＝60°，∴EF＝OF•tan60°＝，∴PO＝2EF＝a，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V P﹣ABCD＝＝．19．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）利用频率和为1求解a值，再由矩形中点的横坐标乘以频率作和可得这100名学生的平均成绩；（2）由频率分布直方图填写2×2列联表，求出K2的观测值，结合临界值表得结论．解：（1）由题可得（0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010）×10＝1，解得a＝0.025．∵45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1＝74，∴估计这100名学生的平均成绩为74；（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有100×（0.25+0.1）＝100×0.35＝35人，由此可得完整的2×2列联表：优秀非优秀合计男生10 4050女生252550合计3565100∵K2的观测值，∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．20．已知函数．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）若x＝1是f（x）的唯一极值点，求a的取值范围．【分析】（1）把a＝1代入后求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）先对函数求导，由题意可得f′（x）＝0有唯一的变号零点1，问题可转化为不等式的恒成立问题，可求．解：（1）a＝1时，函数定义域（0，+∞），＝（1﹣x）（+），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减，（2）∵f′（x）＝（1﹣x）（），由x＝1是f（x）的唯一极值点可知，f′（x）＝（1﹣x）（）＝0有唯一的变号零点1，∵x＞0，则≥0或0在x＞0时恒成立，即a≥﹣或a≤﹣在x＞0时恒成立，令g（x）＝﹣，x＞0，则，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故当x＝1时，g（x）取得最大值g（1）＝﹣e，a≤﹣不恒成立，所以a≥﹣e．故a的范围[﹣e，+∞）21．已知抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为F，x轴上方的点M（﹣2，m）在抛物线上，且|MF|＝，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当k1+k2＝﹣2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义以及性质，列出方程求出p，即可求抛物线的方程；（Ⅱ）当k1+k2＝﹣2时，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化求解直线l恒过定点并求出该定点的坐标．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以，∴p＝1抛物线的方程为y2＝﹣2x；（Ⅱ）证明：由（1）可知，点M的坐标为（﹣2，2）当直线l斜率不存在时，此时A，B重合，舍去．当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+b设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l与抛物线联立得：k2x2+（2kb+2）x+b2＝0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①又，即（kx1+b﹣2）（x2+2）+（kx2+b﹣2）（x1+2）＝﹣2（x1+2）（x2+2）2kx1x2+2k（x1+x2）+b（x1+x2）﹣2（x1+x2）+4b﹣8＝﹣2x1x2﹣4（x1+x2）﹣8将①带入得，b2﹣b﹣2﹣2k（b+1）＝0即（b+1）（b﹣2﹣2k）＝0得b＝﹣1或b＝2+2k．当b＝﹣1时，直线l为y＝kx﹣1，此时直线恒过（0，﹣1）当b＝﹣2﹣2k时，直线l为y＝kx+2k+2＝k（x+2）+2，此时直线恒过（﹣2，2）（舍去）所以直线l恒过定点（0，﹣1）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分[选修4一4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）以曲线C上的动点M为圆心、r为半径的圆恰与直线l相切，求r的最小值．【分析】（1）由ρsin（θ+）＝2，得ρsinθ+ρcosθ＝2，将ρsinθ＝y，ρcosθ＝x 代入上式，得直线l的直角坐标方程为x+﹣4＝0．由曲线C的参数方程（θ为参数），得曲线C的普通方程为+＝1（2）利用点到直线的距离以及三角函数性质可得．解：（1）由ρsin（θ+）＝2，得ρsinθ+ρcosθ＝2，将ρsinθ＝y，ρcosθ＝x代入上式，得直线l的直角坐标方程为x+﹣4＝0．由曲线C的参数方程（θ为参数），得曲线C的普通方程为+＝1．（2）设点M的坐标为（2cosθ，sinθ），则点M到直线l：x+﹣4＝0的距离为d＝＝，其中tanφ＝．当d＝r时，圆M与直线l相切，故当sin（θ+φ）＝1时，取最小值，且r的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若函数y＝f（x）图象的最低点为（m，n），正数a，b满足ma+nb＝6，求的取值范围．【分析】（1）先将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤5分别解不等式即可；（2）先求出f（x）的最小值，然后根据f（x）图象的最低点为（m，n），求出m和n 的值，再利用基本不等式求出的取值范围．解：（1）f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|＝，∵f（x）≤5，∴或或，∴或x∈[0.2）或x∈∅，∴，∴不等式的解集为．（2）∵，∴当x＝2时，f（x）取得最小值3．∴函数y＝f（x）的图象的最低点为（2，3），即m＝2，n＝3．∵ma+nb＝6，∴2a+3b＝6，∴，∴，当且仅当，即a＝1，时取等号，∴．。

2020年高考试题押题卷文科数学一一、单选题(共60分)1．(本题5分)设集合{}20A x x =->，{}2320B x x x =-+<，若全集U A =，则U C B =（ ） A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．(本题5分)已知i 为虚数单位，复数z 满足12z zi i -=+，则z 的共轭复数z 所对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(本题5分)已知()2,4a =-r，()3,b m =-r ，若0a b a b +⋅=r r r r ，则实数m =（ ）A ．32B ．3C ．6D ．84．(本题5分)下列函数中即是奇函数又是增函数的是 A ．()2f x x =B ．()3f x x =-C ．3()f x x x =+D ．()1f x x =+5．(本题5分)sin160cos10cos 20sin10︒︒+︒︒=（ ）A ．12 B ．-12C D ．6．(本题5分)将函数3sin2y x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到()f x 的图象C , 如下结论中不．正确．．的是( ) A ．函数()f x 的周期为πB ．图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象C 关于直线1112x π=对称 D ．函数()55,1212f x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭在区间内是增函数 7．(本题5分)已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，15AA =，则该三棱柱的表面积是A ．15B ．30C ．60D ．728．(本题5分)设圆224470x y x y +-++=上的动点P 到直线0x y +-=的距离为d ，则d 的取值范围是（ ） A ．[]0,3 B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,69．(本题5分)有五瓶墨水，其中红色一瓶、蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，求取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色的概率（ ） A ．110B ．14C ．15D ．2510．(本题5分)若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为l ，且点(1,0)到l 的距离为3，则双曲线的方程为（ ） A ．22142x y -=B ．22143x y -=C ．22124x y -=D ．2212x y -=11．(本题5分)函数32()3(21)f x x ax a x =-++既有极小值又有极大值，则a 的取值范围为（ ） A ．113-<<a B ．1a >或13a <- C ．113a -<<D ．13a >或1a <- 12．(本题5分)已知函数()2019sin ,01,log , 1.x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩ 若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是（ ） A ．()12019， B ．()12020， C ．()22020， D ．[]22020，二、填空题(共20分)13．(本题5分)已知函数33,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1()2f a =，则实数a = ______.14．(本题5分)已知,x y 满足2525x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则z x y =+的最大值为_______.15．(本题5分)在△ABC 中，已知C ＝120°，sinB ＝2sinA ，且△ABC的面积为则AB 的长为________． 16．(本题5分)已知抛物线24y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l ：43110x y -+=的距离为2d ，则12d d +的最小值为__________．三、解答题(共70分)17．(本题12分)在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分，按照大于或等于80分的为优秀，小于80分的为合格，为了解学生的在该维度的测评结果，在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生，得到如下的列联表：已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为3.（1）完成上面的列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？（3）现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况，采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++18．(本题12分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AD AB ⊥，面ABCD ⊥面PAB ．求证：（1）//AD 平面PBC ； （2）平面PBC ⊥平面PAB ．19.(本题12分)已知数列{}n a 是公差大于零的等差数列，其前n 项和为n S ，且1a ， 31a a -， 4S 成等比数列，23a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足20182019n T <的最大的n 的值.。

2020年全国高考数学临考押题试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D12已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D135已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D199将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82820（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D1【分析】利用复数的运算法则、复数相等可得a，b，再利用模的计算公式即可得出【解答】解：（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，化为：2+a+（2a﹣1）i＝3+bi，∴2+a＝3，2a﹣1＝b，解得a＝1，b＝1∴z＝1+i，则|z|＝＝，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}【分析】求出集合A，B，再由交集的定义求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝}＝{x|x≤0}，∴A∩B＝{﹣1，0}故选：D【点评】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算能力，是基础题32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数【分析】根据题中给出的图形中的数据，对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：由题意，2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重都在39%～40.8%，故选项A正确；2015年至2019年每年第一产业增加值占国内生产总值比重先下降后上升，但无法据此判断第一产业产值是否在下降，故选项B错误；第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加，第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数，故选项C，D正确故选：B【点评】本题考查了条形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D13【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出首项a1和公差d，即可求出a10的值【解答】解：等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，所以，解得a1＝3，d＝1，所以a n＝3+（n﹣1）×1＝n+2，a10＝10+2＝12故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式应用问题，是基础题5已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得cos（2α﹣）＝，进而根据诱导公式即可化简求解【解答】解：因为sin2（）＝＝，可得cos（2α﹣）＝，所以sin（）＝sin[+（2α﹣）]＝cos（2α﹣）＝故选：A【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a【分析】判断a＜0，由幂函数y＝x0.2的单调性得出0.70.2＞0.30.2，由指数函数y＝0.3x 的单调性得出0.30.2＞0.30.5，判断b＞c＞0，即可得出结论【解答】解：因为a＝5＝﹣log35＜0，由幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上是单调增函数，且0.7＞0.3，所以0.70.2＞0.30.2，又指数函数y＝0.3x是定义域R上的单调减函数，且0.2＜0.5，所以0.30.2＞0.30.5，所以0.70.2＞0.30.5＞0，即b＞c＞0所以b＞c＞a故选：D【点评】本题考查了根据函数的单调性判断函数值大小的应用问题，是基础题7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】x2﹣mx+4＞0对于∀x∈[3，+∞）恒成立，可得m＜x+，求出x+的最小值，可得m的取值范围，再根据充要条件的定义即可判断【解答】解：∵x∈[3，+∞），由x2﹣mx+4＞0x＞0，得m＜x+，∵当x∈[3，+∞）时，x+≥，当x＝3时，取得最小值∴m＜，∵{m|m＜4}⫋{m|m}∴“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式恒成立问题和充要条件的判断，属于基础题8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D19【分析】根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，由AB＝CD得到弦心距OE＝OF，可得出四边形EMFO 为正方形，由M与O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM的长，即为正方形的对角线长，求出正方形的边长OE，由圆的方程找出半径r，得OA的长，在直角三角形AOE中，由OA与OE的长，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AB与CD的长，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，即可求出四边形ACBD的面积【解答】解：由x2﹣2x+y2﹣15＝0，得（x﹣1）2+y2＝16，则圆心坐标为O（1，0），根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB＝CD，∴四边形EMFO为正方形，又M（﹣1，3），∴|OM|＝，∴|OE|＝×＝，又|OA|＝4，∴根据勾股定理得：|AE|＝，∴|AB|＝|CD|＝2|AE|＝，则S四边形ACBD＝|AB|•|CD|＝19故选：D【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，两点间的距离公式，以及对角线互相垂直的四边形面积求法，当直线与圆相交时，常常由垂径定理根据垂直得中点，然后由弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，是中档题9将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z【分析】首先利用关系式的平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，进一步利用正弦函数的性质的应用求出结果【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx+ω+φ）的图象，因为函数y＝g（x）的周期为π＝，可得ω＝2，所以g（x）＝sin（2x++φ），因为函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，且g（x）是由f（x）的图像向左平移个单位长度得到，所以f（x）的一条对称轴为x＝+＝，所以2×+φ＝kπ+，k∈Z，解得φ＝kπ﹣，k∈Z，因为|φ|＜，可得φ＝，可得f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，函数y＝f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）【分析】设出点P的坐标，根据椭圆方程求出左右焦点的坐标，然后利用点P在椭圆上以及点P满足的向量关系联立求出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立不等关系，进而可以求解【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），则x0＞0，y0＞0，由椭圆的方程可得：a2＝30，b2＝5，则c＝，所以F1（﹣5，0），F2（5，0），则＝（﹣5﹣x0，﹣y0）•（5﹣x0，﹣y0）＝x…①又…②，联立①②解得：x（负值舍去），所以点P的坐标为（2，1），则点P到直线AB的距离为d＝＝，解得﹣10，即实数m的取值范围为（﹣10，0），故选：C【点评】本题考查了椭圆的性质以及向量的坐标运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D【分析】取AD中点M，连接PM，ON，MN，求解三角形证明OM＝MA＝MD＝MP，说明三棱锥P﹣AOD的外接球的球心O，在PM上，求出外接球的半径，然后求解外接球的体积【解答】解：如图，取AD中点M，连接PM，∵平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA＝PD＝3，AD＝2，所以M为底面△AOD的外心，PM⊥平面AOD，所以三棱锥P﹣AOD的外接球的球心在PM上，球心为O，设球的半径为R，PM＝＝2，所以R2＝（2R）2+12，解得R＝，∴PD⊥AD，PD⊥ON，三棱锥P﹣AOD的外接球的体积：＝故选：D【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m【分析】利用极值点的定义，结合题意得到方程f'（x）＝0有两个正解，从而求解得出正确结论【解答】解：∵函数的定义域为：x∈（0，+∞），∴函数有两个极值点，即得f'（x）＝0有两个正解，∵f'（x）＝∴方程x2﹣x﹣m＝0有两个正解x1，x2，故有x1+x2＝1，即得B正确；根据题意，可得△＝1+4m＞0⇒m＞，且有x1•x2＝﹣m＞0⇒m＜0所以可得＜m＜0，故D正确；又因为根据二次函数的性质可知，函数y＝x2﹣x﹣m的对称轴为x＝，由上可得0＜x1＜，＜x2＜1，故C正确；∴﹣ln2＜lnx2＜0，∴x1+lnx2∈（﹣ln2，），故A错误故选：A【点评】本题考查函数极值点的定义，以及函数零点与方程的根的关系属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝﹣4【分析】根据y＝f（x）+3是R上的奇函数，并且f（1）＝﹣2即可得出f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），然后解出f（﹣1）即可【解答】解：∵y＝f（x）+3是R上的奇函数，且f（1）＝﹣2，∴f（﹣1）+3＝﹣[f（1）+3]，即f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），解得f（﹣1）＝﹣4 故答案为：﹣4【点评】本题考查了奇函数的定义，考查了计算能力，属于基础题14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为【分析】根据条件可得出，进而可求出的值，从而可得出与的夹角【解答】解：∵，∴，∴，且，∴，且，∴故答案为：【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为【分析】由|OA|＝c，得到AF1⊥AB，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a，c的关系，进而得到离心率【解答】解：设双曲线的半焦距为c，由|OA|＝＝c＝|OF1|+|OF2|，可得AF1⊥AB，由|BF1|＝5a，可得|BF2|＝5a﹣2a＝3a，设|AF1|＝m，可得|AF2|＝m+2a，|AB|＝m+3a，由直角三角形ABF1，可得（m+3a）2+（m+2a）2＝（5a）2，化为m2+5ma﹣6a2＝0，解得m＝a，则|AF1|＝3a，|AF2|＝a，所以（3a）2+a2＝（2c）2，即为c＝a，则离心率e＝＝故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及勾股定理法运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为1010【分析】根据已知关系式推出，然后利用累乘法求出a n，再利用裂项相消法求出S n，进而可以求解【解答】解：由已知（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），则（2n2﹣n﹣1）a，即（2n+1）（n﹣1）a n＝（2n﹣3）（n﹣1）a n﹣1，所以，则a×＝＝，则S＝，因为S，则，解得n，所以n的最小值为1010，故答案为：1010【点评】本题考查了数列的递推式的应用，涉及到利用累乘法求解数列的通项公式以及裂项相消求和的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；（2）由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式可求【解答】解：（1）因为a＝b cos C+c，所以sin A＝sin B cos C+sin C＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，即sin C＝sin C cos B，因为sin C＞0，所以cos B＝，由B∈（0，π）得B＝；（2）由余弦定理得b2＝9＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，故ac≤9，△ABC面积S＝＝故面积的最大值【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积【分析】（1）由已知可得D1D⊥平面ABCD，则D1D⊥BC，再证明BC⊥BD，由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面BDD1；（2）由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，求得DD1＝5，再由棱锥体积公式求四棱锥D1﹣ABCD的体积【解答】（1）证明：已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，则D1D⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴D1D⊥BC，在直角梯形ABCD中，过B作BE⊥CD，则BE＝AD＝2，CE＝DC﹣DE＝DC﹣AB＝4，∴BC＝，BD2＝AD2+AB2＝5，∴BC2+BD2＝CD2，即BC⊥BD，∵BD∩DD1＝D，∴BC⊥平面BDD1；（2）解：由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，且tan∠D1BD＝，则DD1＝5∴四棱锥D1﹣ABCD的体积V＝【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【分析】（1）求出平均值，由72与平均值比较大小得结论；（2）由题意填写2×2列联表，再求出K2的观测值k，与临界值表比较得结论；（3）利用分层抽样求出8人中文理科所占人数，再由古典概型概率计算公式求解【解答】解：（1）由表可得高三600名文科生的成绩的平均值为：＝70，∴某文科生72分的成绩达到该校高三年级文科生的平均水平；（2）2×2列联表：文科理科总计较好掌握125 75 200非较好掌握475 725 1200 总计600 800 1400 K2的观测值k＝≈36.762＞10.828，故有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”；（3）由分层抽样方法从200名学生中抽取8名，文科所占人数为人，则理科有3人在8人中随机抽取2人，2人中至少有1人学理科的概率为P＝＝【点评】本题考查频率分布表，考查独立性检验，训练了古典概型概率的求法，是中档题20（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值【分析】（1）由抛物线的定义和范围，可得|PF|的最小值为，可得所求抛物线的方程；（2）设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件，求得|DF|，即可得到定值【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，设P（x0，y0），x0≥0，可得x0+的最小值为＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）证明：设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以AB的中点坐标为（1+2m2，2m），AB的垂直平分线方程为y﹣2m＝﹣m（x﹣1﹣2m2），令y＝0，解得x＝2+2m2，即D（3+2m2，0），|DF|＝2（1+m2），又|AB|＝x1+x2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，则为定值【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【分析】（1）f′（x）＝1﹣cos x，可得f′（π），又f（π）＝π，利用点斜式即可得出曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0多次利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣cos x，f′（π）＝1﹣cosπ＝2，又f（π）＝π﹣sinπ＝π，∴曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣π＝2（x﹣π），即y＝2x ﹣π（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0 g′（x）＝1﹣cos x﹣x2＝h（x），h（0）＝0，x∈（0，π），h′（x）＝sin x﹣x＝u（x），u（0）＝0，x∈（0，π），u′（x）＝cos x﹣1＜0，x∈（0，π），∴u（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴h′（x）＝u（x）＜u（0）＝0，∴h（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴g′（x）＝h（x）＜h（0）＝0，∴函数g（x）在x∈（0，π）单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0∴x﹣sin x﹣x3＜0，即当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，再利用三角函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果（2）利用直线与圆的位置关系和一元二次方程根和系数关系式的应用求出直线的方程【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝4，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ﹣3＝设曲线上的点的坐标为P（2cosθ，1+2sinθ），原点的坐标为O（0，0），所以，当（k∈Z）时，|PO|max＝3（2）直线l的参数方程为（t为参数），转换为极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），由于直线与圆相交，故，整理得ρ2﹣2ρsinα﹣3＝0，所以ρA+ρB＝2sinα，ρAρB＝﹣3，故|OA|+|OB|＝＝，整理得sinα＝0，所以直线与x轴平行，故直线的方程为y＝0【点评】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）把a＝3代入函数解析式，然后根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据绝对值不等式性质可得f（x）≥|a+2|，把不等式f（x）≥2a，对任意x∈R 恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，然后求出a的取值范围【解答】解：（1）把a＝3代入f（x）＝|x+2|+|x﹣a|，可得f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝，当x≤﹣2时，f（x）≥6等价于﹣2x+1≥6，解得x≤，则x≤﹣，当﹣2＜x＜3时，f（x）≥6等价于5≥6，此式不成立，当x≥3时，f（x）≥6等价于2x﹣1≥6，解得x，则x综上，不等式f（x）≥6的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣a|＝|x+2|+|a﹣x|≥|x+2+a﹣x|＝|a+2|，∴不等式f（x）≥2a，对任意x∈R恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，若2a＜0，即a＜0，则不等式|a+2|≥2a成立，若2a≥0，即a≥0，则a2+4a+4≥4a2，即3a2﹣4a﹣4≤0，解得≤a≤2，则0≤a≤2综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题。

2020年高考临考押题卷（六）文科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题1．若集合A={x|x ﹣1＜5}，B={x|﹣4x+8＜0}，则A∩B=（ ） A ．{x|x ＜6} B ．{x|x ＞2}C ．{x|2＜x ＜6}D ．∅【答案】C【解析集合A={x|x ﹣1＜5}={x|x ＜6}， 集合B={x|﹣4x+8＜0}={x|x ＞2}， 所以A∩B={x|2＜x ＜6}2．若复数23201934134i z i i i i i-=+++++++L ，则复数z 对应的点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】z ＝1+i+i 2+i 3+…+i 2019+3434i i-+＝（1+i ﹣1﹣i ）+…+（1+i ﹣1﹣i ）+534i + ＝0+5(34)(34)(34)i i i -+-＝345i-，∴复数z 对应的点在第四象限．3．已知非零向量,a b r r ,满足||4||,a b =r r ||[1b ∈r 且()1,a b b -⋅=r r u r 记θ是向量a r 与b r 的夹角，则θ的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．13D ．3π 【答案】D【解析】由题意知非零向量a r ，b r 满足4||||b a =r r，b ∈r 且()1,a b b -⋅=r r u r ，可得21a b b -=r r r g ，即2cos 1a b b θ=+r r r g ，所以22221111cos 444b b a b bb θ++===+r r r r r r g因为b ⎡∈⎣r ，所以[]21,3b ∈r ，所以21111cos ,4324b θ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦r 因为[]0,θπ∈，且余弦函数cos y x =在[]0,π上单调递减， 所以min 3πθ=4．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平移512π个单位 B ．向右平移512π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】B【解析】因为sin26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且cos2y x ==sin 22x π⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭， 所以由φ4x π++=6x π-，知5φ6412πππ=--=-，即只需将cos2y x =的图像向右平移512π个单位，故选B5．已知3log 0.8a =，0.83b =， 2.10.3c =，则（ ） A ．a ab c << B ．ac b c << C ．ab a c << D ．c ac b <<【答案】C【解析】33log 0.8log 10a =<=,0.80331b =>=,()2.10.30,0.3c =∈,故0a <,1b >,01c <<.对A,若()10a ab a b <⇒-<,不成立.故A 错误. 对B,因为1c b <<,故B 错误. 对C, ab a c <<成立.对D, 因为0ac c <<,故D 错误.6．函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）是偶函数，排除B ； 当0x >时，()ln sin f x x x =+， 可得：()1cos f x x x '=+，令1cos 0x x+=， 作出1y x=与cos y x =-图像如图：可知两个函数有一个交点，就是函数的一个极值点，()ln 1fππ=>，排除C ；当0x x =时，()00f x '=，故()00,x x ∈时，函数()f x 单调递增，()0,x x π∈时，函数()f x 单调递减，排除A7．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球贏球的概率为25，则在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局的概率为（ ） A ．225B ．310C ．110D ．325【答案】C【解析】分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲,概率为113123252550P =⋅⋅⋅=； ②后四球胜方依次为乙甲甲甲,概率为212121252525P =⋅⋅⋅=. 所以,所求事件概率为：12110P P +=. 8．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．9．如图的框图中，若输入1516x =，则输出的i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】输入1516x =,0i =,进入循环体： 15721168x =⨯-=,011i =+=,0x =判定为否； 732184x =⨯-=,112i =+=,0x =判定为否；312142x =⨯-=,213i =+=,0x =判定为否；12102x =⨯-=,314i =+=,0x =判定为是；输出4i =.10．已知函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩，()3g x x =，则方程()()1f x g x =-所有根的和等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设点(),x y 是函数lg ,1y x x =≥图象上任意一点，它关于点()1,0的对称点为()'',x y ，则22,0x x x x y y y y+==-⎧⎧∴⎨⎨+=='-''⎩'⎩，代入lg y x =， 得()()'''''lg 2,lg 2,1y x y x x -=-∴=--≤.∴函数lg ,1y x x =≥的图象与函数()lg 2,1y x x =--≤的图象关于点()1,0对称，即函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩的图象关于点()1,0对称，易知函数()f x 在定义域R 上单调递增.又函数()3g x x =的图象关于原点()0,0对称，∴函数()1y g x =-的图象关于点()1,0对称，且函数()1y g x =-在定义域R 上单调递增.又()()0111,1f g x =-=∴=是方程()()1f x g x =-的一个根.当1x ≥时，令()()()()31lg 1h x x x g x f x -=--=-，则()h x 在[)1,+∞上单调递减.()()33331313lg 210,lg lg lg100,202222822h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-=-=>∴< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=Q ，根据零点存在定理，可得()h x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点1x ，根据()h x 的单调性知()h x 在()1,+∞上有且只有一个零点1x ，即方程()()1f x g x =-在()1,+∞上有且只有一个根1x .根据图象的对称性可知方程()()1f x g x =-在(),1-∞上有且只有一个根2x ，且122x x +=. 故方程()()1f x g x =-所有根的和等于1213x x ++=.11．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率是（ ） A．3B．3CD ．2【答案】A【解析】由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=3，选A. 12．已知函数()x xf x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A ．21[3,]3e -- B ．2[,)e +∞ C ．21[,]3eD ．1[,)3+∞【答案】B【解析】由题意，函数()(1)xf x e x =-的导数为()xf x xe '=，当0x >时，()0f x '>，则函数()f x 为单调递增； 当0x <时，()0f x '<，则函数()f x 为单调递减， 即当0x =时，函数()f x 取得极小值，且为最小值1-，又由()2223,(2)f e f e --=-=，可得函数()f x 在[2,2]-的值域2[1,]e -，由函数()(0)g x mx m m =->在[2,2]-递增，可得()g x 的值域[3,]m m -， 由对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，可得2[1,][3,]e m m -⊆-，即为231m m e-≤-⎧⎨≥⎩，解得2m e ≥，故选B. 二、填空题13． 曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-= 【解析】1'sin 2y x =--， 当0x =时其值为12-， 故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=． 14．在三角形ABC 中，若(AC)0,(cos18,cos 72)CB AB AB ⋅+==︒︒u u u r u u u r u u u r u u u r ，1||2CB =u u ur 米，则三角形ABC 内切圆的面积__________ （平方米） 【答案】380π【解析】因为()0CB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r，所以()()AB AC AB AC -+=u u ur u u u r u u u r u u u r g ， 所以AB AC =u u u r u u u r 又因为(cos18,cos 72)AB =︒︒u u ur ，所以1AB ====u u ur由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅即222111211cos 2A ⎛⎫=+-⨯⨯⨯⎪⎝⎭，所以7cos8A=，因为22sin cos1A A+=，所以15sin8A=，设三角形的内切圆的半径为R，则()11sin22ABCS bc A a b c R==++V，即1151111112822R⎛⎫⨯⨯⨯=⨯++⎪⎝⎭，解得15R=，所以221532080S Rπππ⎛⎫===⎪⎪⎝⎭，15．如图，在平面直角坐标系xOy，中心在原点的椭圆与双曲线交于,,,A B C D四点，且它们具有相同的焦点12,F F，点12,F F分别在,AD BC上，则椭圆与双曲线离心率之积12e e⋅=______________.【答案】1【解析】设椭圆和双曲线方程分别为()221122111,0x ya ba b+=>>，()222222221,,0x ya ba b-=>设点()0,B c y，由点B既在椭圆上也在双曲线上，则有222211222111yca ba c b⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得22221101111b ac cy aa a a-===-222222222221yca bc a b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，解得22222202222b c a cy aa a a-===-则()22212121212c a ac ca aa a a a++=+=，即2121211c c ca a a a⎛⎫⎛⎫=⇒=⎪⎪⎝⎭⎝⎭121e e∴=16．如图，四棱锥P ABCD-中，底面为四边形ABCD.其中ACDV为正三角形，又3DA DB DB DC DB AB⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.设三棱锥P ABD-，三棱锥P ACD-的体积分别是12,V V，三棱锥P ABD-，三棱锥P ACD-的外接球的表面积分别是12,S S.对于以下结论：①12V V<；②12V V=；③12V V >；④12S S <；⑤12S S =；⑥12S S >.其中正确命题的序号为______.【答案】①⑤【解析】不妨设2AD =,又ACD V 为正三角形,由3DA DB DB DC DB AB ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,即有DB AC ⊥，所以30ADB CDB ∠=∠=︒.又3DB DC DB AB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 得()2333DB DC DB DB DA DB DB DA ⋅=⋅-=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,又DB DC DB DA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,故2344cos30DB DB DA DB DA =⋅=⋅⋅︒u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.化简可以得433DB =,∴90DAB ∠=︒,易得ABD ACD S S <△△,故12V V <.故①正确. 又由于60ADB ACD ∠=∠=︒,所以ABD △与ACD V 的外接圆相同（四点共圆）,所以三棱锥P ABD -,三棱锥P ACD -的外接球相同,所以12S S =.故⑤正确. 三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22,n n S a n N =-∈.（1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）设数列2{}n a 的前n 项和为n T ，求证：2nnS T 为定值； （3）判断数列{}3nn a -中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 【解析】（1）当1n =时，1122,S a =-，解得12a =.当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=.因为10a ≠，所以12nn a a -=，从而数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =.（2）因为()2224nnna ==，所以2124n na a +=， 故数列{}2n a 是以4为首项，4为公比的等比数列， 从而()()2221224112nnnS-==--，()()414441143n nn T -==--，所以232n n S T =. （3）假设{}3nn a -中存在第,,()m n k m n k <<项成等差数列， 则()2333nm kn m k a a a -=-+-，即()233232nm m k kn a -=-+-.因为m n k <<，且*,,m n k N ∈，所以1n k +≤.因为()112332323232n m m k k m m n n n a ++-=-+-≥-+-，所以332n m m -≥-，故矛盾，所以数列{}3nn a -中不存在三项成等差数列.18．如图，四棱锥P 一ABCD 中，AB =AD =2BC =2，BC ∥AD ，AB ⊥AD ，△PBD 为正三角形．且P A =23． （1）证明：平面P AB ⊥平面PBC ；（2）若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求四面体A -CDE 的体积．【解析】（1）AB AD ⊥Q ，且2AB AD ==，22BD ∴=，又PBD ∆为正三角形，22PB PD BD ∴===，又2AB =Q ，3PA =∴2PBA π∠=，AB PB ∴⊥，又AB AD ⊥Q ，//BC AD ，AB BC ∴⊥，PB BC B =I ，AB ∴⊥平面PBC ，又AB ⊆Q 平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PBC ．（2）如图，设BD ，AC 交于点O ，//BC AD Q ，且2AD BC =，2OD OB ∴=，连接OE ，//PB Q 平面ACE ，//PB OE ∴，则2DE PE =，又点P 到平面ABCD 的距离为2，∴点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=， 111482233239A CDE E CDA ACD V V S h --∆∴===⨯⨯⨯⨯=g ，即四面体A CDE -的体积为89． 19．某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前5年平均每台设备每年的维护费用大致如表：年份x （年） 1 2 3 45维护费y （万元） 1.1 1.6 2m2.8已知2y =.（I ）求表格中m 的值；（II ）从这5年中随机抽取两年，求平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元的概率； （Ⅲ）求y 关于x 的线性回归方程；并据此预测第几年开始平均每台设备每年的维护费用超过5万元.参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式： ()()()1122211ˆˆˆn ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx ====⎧---⎪==⎪--⎨⎪=-⎪⎩∑∑∑∑【解析】（Ⅰ）由 1.1 1.62 2.82 2.55m y m ++++==⇒=．（Ⅱ）5年中平均每台设备每年的维护费用不超过2万元的有3年，分别编号为,,a b c ；超过2万元的有2年，编号为,D E ．随机抽取两年，基本事件为()()()(),,,,,,,a b a c a D a E ，()()(),,,,,b c b D b E ，()(),,,c D c E ，(),D E 共10个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“抽取的2年中平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元”，则A 包含的基本事件有()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,a D a E b D b E c D c E D E 共7个，故()710P A =． （Ⅲ）3x =，2y =，29,6x xy ==511.1 3.26101434.3i ii x y==++++=∑，521149162555i i x ==++++=∑∴51522134.3300.43554ˆ5i i i i i x y nxy bx nx ==--===--∑∑，20.43ˆ30.71ˆa y bx=-=-⨯= 所以回归方程为0.4301ˆ.7yx =+． 由题意有 4.290.430.7159.980.43x x +>⇒>≈， 故第10年开始平均每台设备每年的维护费用超过5万元20．已知圆221:2C x y +=，圆222:4C x y +=，如图，12,C C 分别交x 轴正半轴于点,E A .射线OD 分别交12,C C 于点,B D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点E 作直线l 交曲线C 与点,M N ，射线OH l ⊥与点H ，且交曲线C 于点Q .问：211MN OQ +的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由. 【解析】方法一：（1）如图设BOE α∠=,则()22Bαα()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,2P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =,由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点(0,也满足. （2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l的方程为x my =+0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由2224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22220m y ++-=所以122122222y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩,所以()221241m MN m +==+ 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m=+ 222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 21．已知函数()ln f x a x x a =-+，()ln g x kx x x b =--，其中,,a b k R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]1,a e ∈，任意[]1,x e ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立时最大的k 记为c ，当[]1,b e ∈时，b c +的取值范围.【解析】（1）∵()()ln 0,f x a x x a x a R =-+>∈ ∴()1a a xf x x x-'=-=,∵0x >,a R ∈ ∴①当0a ≤时,()f x 的减区间为()0,∞+,没有增区间 ②当0a >时,()f x 的增区间为()0,a ,减区间为(),a +∞（2）原不等式()1ln ln a x x x x bk x+-++⇔≤.∵[]1,a e ∈,[]1,x e ∈,∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x bx x+-+++-++≥, 令()()21ln ln ln x x x x b x x bg x g x x x+-++-+-'=⇒=, 令()()1ln 1p x x x b p x x '=-+-⇒=-+()ln p x x x b ⇒=-+-在()1,+∞上递增；①当()10p ≥时,即1b ≤,∵[]1,b e ∈,所以1b =时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≥⇒≥, ∴()g x 在[]1,e 上递增；∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.②当()0p e ≤,即[]1,b e e ∈-时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≤⇒≤,∴()g x 在[]1,e 上递减； ∴()()min 2212,1b b c g x g e b c b e e e e ee ++⎡⎤===⇒+=+∈+++⎢⎥⎣⎦ ③当()()10p p e <时,又()ln p x x x b =-+-在()1,e 上递增； 存在唯一实数()01,x e ∈,使得()00p x =,即00ln b x x =-， 则当()01,x x ∈时()()00p x g x '⇒<⇒<. 当()0,x x e ∈时()()00p x g x '⇒>⇒>. ∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===.∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+. 令()()()11ln 10x h x x x h x h x x x-'=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增, ()()01,11,b e x e ∈-⇒∈,∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述,22,1b c e e ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C的方程为,l ρθ=被圆C 截得的.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值. 【解析】（Ⅰ）由ρθ=得220,x y +-=即(225x y +-=.直线的普通方程为0x y m +-=， 被圆C=解得33m m ==-或.（Ⅱ）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，())2235-+=，即2220t -+=，由于(24420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上述方程的两实根，所以121221t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，又直线l过点(P ，故由上式及t 的几何意义得，PA PB += 122(|t |+|t |)= 122(t +t )=法2：当3m =时点(3P ，易知点P 在直线l 上.又2235+>，所以点P 在圆外.联立(22530x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，2320x x -+=.不妨设((2A B ，、，所以PA PB +==23．已知()2121f x x x =++-. （Ⅰ）解不等式()(1)f x f >； （Ⅱ）若不等式11()(0,0)f x m n m n ≥+>>对任意x ∈R 的都成立，证明：43m n +≥. 【解析】（Ⅰ）()()1f x f >就是21215x x ++->. （1）当12x >时，()()21215x x ++->，得1x >.(2)当112x -≤≤时，()()21215x x +-->，得35>，不成立. （3）当1x <-时，()()21215x x -+-->，得32x <-.综上可知，不等式()()1f x f >的解集是()312⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，. （Ⅱ）因为()()2121222122213x x x x x x ++-=++-≥+--=， 所以113m n+≤.因为0m >，0n >时，11m n +≥3≤23≥.所以43m n +≥≥.。

2020年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}2．（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．（5分）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P由点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P旋转过的弧AP̂为l，弦AP为d则函数d＝f（l）的图象是（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）log3x2的图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革．学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性（）A ．都相等，且为118B ．不全相等C ．都相等，且为50923D ．都不相等6．（5分）sin20°cos20°cos50°=（ ） A ．2B ．12C ．√2D ．√227．（5分）已知a ＝21.2，b ＝30.4，c =ln 83，则（ ） A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b8．（5分）如图是把二进制数11111（2）化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）A ．i ＞5B ．i ≤4C ．i ＞4D ．i ≤59．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A ．19B ．16C ．118D ．51210．（5分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对应边分别为a ，b ，c ，已知a 2+b 2﹣c 2=√3ab ，且bc sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为（ ） A ．1B ．12C ．√32D ．√3411．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴长为2，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若AF →=3FB →，则k ＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．212．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）(A ＞0，0＜ω＜4，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为①f （x ）的最小正周期为2π②f （x ）在(π2，3π4)内单调递减③x =−3π4是f （x ）的一条对称轴 ④(2π3，0)是f （x ）的一个对称中心（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）曲线f （x ）＝2sin x 在x =π3处的切线与直线ax +y ﹣1＝0垂直，则a ＝ ． 14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为 ．15．（5分）已知向量a →=（2，﹣1），b →=（1，3），且a →⊥（a →+m b →），则m ＝ ． 16．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝BC ＝2，∠BAC =π2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 4＝a 4+a 5． （1）求a n ；（2）求数列{an 2n }的前n 项和T n ．18．（12分）某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植．工作小组根据市场前景重点考察了A ，B 两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A ，B 各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A ，B 株数之比为1：3．（1）完成2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A ，B 的成活率有差异？A B 合计 成活株数 未成活株数合计5050100K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2≥k0）0.050.0100.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828（2）已知树苗A经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计，得到结果如表：直径x1015202530单株售价y48101627根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明．（一般认为，|r|＞0.75为高度线性相关）参考公式及数据：相关系数r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i −x)2√∑i=1i−y)2，∑5i=1（x i−x）2＝250，∑5i=1（y i−y）2＝32019．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，P A＝PC＝5，点M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面P AD；（2）若cos∠PCD=45，∠DAB＝60°，求三棱锥P﹣ADN的体积．20．（12分）已知函数f(x)=2lnx+12ax2+(2a+1)x，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明：f(x)≤−52a−4．21．（12分）如图，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），M为直线y＝﹣2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A ，B ． （Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点C ，D ，记λ=S △EABS △MCD，问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 五．解答题（共1小题）23．已知f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |（a ∈R ）． （1）若a ＝1，求不等式f （x ）＞2的解集； （2）若存在x 0∈R ，对任意m ∈（0，1）恒有1m+41−m＞f(x 0)，求实数a 的取值范围．2020年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，∴A∩B＝{x∈N|1＜x＜5}＝{2，3，4}．故选：C．2．（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i【解答】解：∵z=2+3ii=(2+3i)(−i)−i2=3−2i，∴z=3+2i．故选：B．3．（5分）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P由点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P旋转过的弧AP̂为l，弦AP为d则函数d＝f（l）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：取AP的中点为D，设∠DOA＝θ，则d＝2sinθ，l＝2θR＝2θ，∴θ=l 2∴d＝2sin l2，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式．故选：C．4．（5分）函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2，其定义域为{x |x ≠0}， 且f （﹣x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2＝﹣（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2）＝﹣f （x ），即函数f （x ）为奇函数，排除A 、C ，又由x →0时，（3x ﹣3﹣x ）→0，则f （x ）→0，排除D ；故选：B ．5．（5分）为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革．学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性（ ） A ．都相等，且为118B ．不全相等C ．都相等，且为50923D ．都不相等【解答】解：根据系统抽样的定义和方法，它和简单随机抽样的概率是一样的，都是50923，故选：C ． 6．（5分）sin20°cos20°cos50°=（ ） A ．2B ．12C ．√2D ．√22【解答】解：根据题意，原式=sin20°cos20°cos50°=12×2sin20°cos20°cos50°=12×sin40°cos50°=12；故选：B ．7．（5分）已知a ＝21.2，b ＝30.4，c =ln 83，则（ ） A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b【解答】解：由题意得：a ＝21.2∈（2，4），b ＝30.4∈(1，√3)，c =ln 83＜lne ＝1． ∴a ＞b ＞c ， 故选：B ．8．（5分）如图是把二进制数11111（2）化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）A ．i ＞5B ．i ≤4C ．i ＞4D ．i ≤5【解答】解：由题意输出的S ＝1+1×2+1×22+1×23+1×24， 按照程序运行：S ＝1，i ＝1，不应此时输出S ， S ＝1+1×2，i ＝2；不应此时输出S ， S ＝1+1×2+1×22，i ＝3；不应此时输出S ， S ＝1+1×2+1×22+1×23，i ＝4；不应此时输出S ，S ＝1+1×2+1×22+1×23+1×24，i ＝5，此时跳出循环输出结果， 故判断框内的条件应为i ＞4． 故选：C ．9．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A ．19B ．16C ．118D ．512【解答】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数n ＝6×6＝36，向上的点数之和小于5包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），共6个， ∴向上的点数之和小于5的概率为p =636=16．故选：B ．10．（5分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对应边分别为a ，b ，c ，已知a 2+b 2﹣c 2=√3ab ，且bc sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为（ ） A ．1B ．12C ．√32D ．√34【解答】解：△ABC 中，A ，B ，C 所对应边分别为a ，b ，c ，已知a 2+b 2﹣c 2=√3ab ，所以cosC =a 2+b 2−c 22ab=√32， 由于0＜C ＜π，所以C =π6，所以S △ABC =12bcsinA =12×2sinC =12． 故选：B ．11．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴长为2，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若AF →=3FB →，则k ＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴长为2，可得b ＝1，ca =√32，解得a ＝2，c =√3，b ＝1，x 24+y 2=1 右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵AF →=3FB →， ∴y 1＝﹣3y 2，设直线AB 方程为y ＝k （x −√3）， 代入x 24+y 2=1，消去x ，可得（14k 2+1）y 2+√32ky −14=0，∴y 1+y 2=−√32k1+14k2=−2√3k 1+4k2，y 1y 2=−141+14k2=−k24k 2+1， ﹣2y 2=−2√3k 1+4k2，﹣3y 22=−k24k 2+1，解得：k =√2． 故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）(A ＞0，0＜ω＜4，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为①f （x ）的最小正周期为2π②f （x ）在(π2，3π4)内单调递减 ③x =−3π4是f （x ）的一条对称轴 ④(2π3，0)是f （x ）的一个对称中心（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【解答】解：由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知，A ＝2， 又f （0）＝2sin φ=−√3，所以sin φ=−√32； 又−π2＜φ＜π2，所以φ=−π3； 又f （−π3）＝2sin[ω×（−π3）−π3]＝0， 所以sin （π3ω+π3）＝0，所以π3ω+π3=k π，k ∈Z ；又0＜ω＜4，所以ω＝2； 所以f （x ）＝2sin （2x −π3）；所以f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，①错误； 当x ∈（π2，3π4）时，2x −π3∈（2π3，7π6），f （x ）在(π2，3π4)内单调递减，②正确； f （−3π4）＝2sin[2×（−3π4）−π3]＝﹣2sin 11π6=1，所以x =−3π4不是f （x ）的一条对称轴，③错误； f （2π3）＝2sin （2×2π3−π3）＝2sin π＝0，所以(2π3，0)是f （x ）的一个对称中心，④错误．综上知，正确的命题序号是②④，共2个． 故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）曲线f （x ）＝2sin x 在x =π3处的切线与直线ax +y ﹣1＝0垂直，则a ＝ 1 ． 【解答】解：∵f ′（x ）＝2cos x ， ∴f ′(π3)=2cos π3=1， ∵切线与直线ax +y ﹣1＝0垂直， 所以﹣a ＝﹣1 ∴a ＝1． 故答案为：1．14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为54．【解答】解：由题意可得a ＝4，双曲线的一条渐近线方程为bx ﹣ay ＝0，F （c ，0）， 可得|MF |=√b +a 2=b ，在直角三角形OMF 中，可得|OM |=√|OF|2−|MF|2=√c 2−b 2=a ， 则△OMF 的面积为12ab ＝2b ＝6，可得b ＝3，c =√a 2+b 2=5，则e =c a =54． 故答案为：54．15．（5分）已知向量a →=（2，﹣1），b →=（1，3），且a →⊥（a →+m b →），则m ＝ 5 ． 【解答】解：向量a →=（2，﹣1），b →=（1，3）， 且a →⊥（a →+m b →），∴a →•（a →+m b →）=a →2+m a →•b →=0， 即22+（﹣1）2+m （2﹣3）＝0， 解得m ═5． 故答案为：5．16．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝BC ＝2，∠BAC =π2，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积为 8π ． 【解答】解：将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为求O ，D ，D ′，为上下底面的外心，O 为DD ′的中点，AD 为底面外接圆的半径， 由正弦定理可得：2AD =2sin π2=2；由OD ＝1，AD ＝1；得R ＝AO =√2， 所以球O 的表面积为：4πR 2＝8π． 故答案为：8π．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 4＝a 4+a 5． （1）求a n ；（2）求数列{an 2n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）设公差为d ，由S 4＝a 4+a 5，得4a 1+4×32d =a 1+3d +a 1+4d ，即4+6d ＝2+7d ，解得d ＝2，所以，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）a n 2=2n−12，可得T n =12+322+523+⋯+2n−12n ，两边同乘以12，有12T n =12+32+52+⋯+2n−12， 两式相减，得T n −12T n =12+222+223+224+⋯+22n −2n−12n+1=12+2×14(1−12n−1)1−12−2n−12n+1=32−2n+32n+1．所以，T n =3−2n+32n ． 18．（12分）某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植．工作小组根据市场前景重点考察了A ，B 两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A，B各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A，B株数之比为1：3．（1）完成2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A，B的成活率有差异？A B合计成活株数未成活株数合计5050100K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2≥k0）0.050.0100.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828（2）已知树苗A经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计，得到结果如表：直径x1015202530单株售价y48101627根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明．（一般认为，|r|＞0.75为高度线性相关）参考公式及数据：相关系数r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i −x)2√∑i=1i−y)2，∑5i=1（x i−x）2＝250，∑5i=1（y i−y）2＝320【解答】解：（1）由题意填写列联表如下；A B合计成活株数453580未成活株数51520合计5050100由表中数据，计算K2=100×(45×15−5×35)280×20×50×50=6.25＜6.635，所以没有99%的把握认为二者有差异；（2）由题意计算x=15×（10+15+20+25+30）＝20，y=15×（4+8+10+16+27）＝13；所以相关系数为r=250×320=202≈0.95＞0.75；所以可以用线性回归模型拟合．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，P A＝PC＝5，点M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面P AD；（2）若cos∠PCD=45，∠DAB＝60°，求三棱锥P﹣ADN的体积．【解答】（1）证明：取PD的中点H，连接NH，AH，∵N是PC的中点，∴NH∥DC，NH=12 DC，又AM∥DC，AM=12DC，∴NH∥AM且NH＝AM，∴四边形AMNH为平行四边形，则MN∥AH，又MN⊄平面P AD，AH⊂平面P AD，∴MN∥平面P AD；（2）解：∵PC＝5，DC＝4，cos∠PCD=4 5，∴PD2=25+16−2×5×4×45=9，则PC2＝PD2+DC2，∴PD⊥DC，同理PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD，又MN∥平面P AD，∴V P﹣ADN＝V N﹣P AD＝V M﹣P AD＝V P﹣ADM，又∵∠DAB＝60°，∴S△ADM=12×4×2×√32=2√3．∴V P−ADN=12×2√3×3=2√3．20．（12分）已知函数f(x)=2lnx+12ax2+(2a+1)x，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明：f(x)≤−52a−4．【解答】解法一：（1）因为f(x)=2lnx+12ax2+(2a+1)x，定义域为（0，+∞），所以f′（x）=2x+ax+(2a+1)=(x+2)(ax+1)x．当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，x∈(0，−1a)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈(−1a，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在(0，−1a)上单调递增，在(−1a，+∞)上单调递减．（2）由（1）可知，当a＜0时，f（x）在(0，−1a)上单调递增，在(−1a，+∞)上单调递减．所以f(x)max=f(−1a)=2ln(−1a)−12a−2．要证f(x)≤−52a−4，只要证2ln(−1a)−12a−2≤−52a−4，即证ln(−1a)+1a+1≤0．令t=−1a，即证lnt+t+1≤0在t＞0上成立．令g（t）＝lnt﹣t+1，即证g（t）≤0．因为g′(t)=1t−1，所以g（t）在（0，1）．上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．所以g（t）≤g（1）＝0，命题得证．解法二：（1）同解法．（2）由（1）可知，当a＜0时，f（x）在(0，−1a)单调递增，在(−1a，+∞)单调递减，所以f(x)max=f(−1a)=2ln(−1a)−12a−2．要证f(x)≤−52a−4，只要证2ln(−1a)−12a−2≤−52a−4，即证ln(−1a)+1a+1≤0．因为g′(a)=−1a−1a2=a+1a2，所以g（a）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减．所以g（a）≤g（﹣1）＝0，命题得证．21．（12分）如图，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），M为直线y＝﹣2p上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A，B．（Ⅰ）求直线AB与y轴的交点坐标；（Ⅱ）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点C，D，记λ=S△EABS△MCD，问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由．【解答】解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），过A点的切线方程为y−x122p=x1p(x−x1)，过B点的切线方程为y−x222p=x2p(x−x2)，联立这两个方程可得x M=x2+x12，y M=x1x22p，又k AB=y2−y1x2−x1=x1+x22p，所以直线AB的方程为：y−x122p=x1+x22p（x﹣x1），化简得（x 1+x 2）x ﹣2py ﹣x 1x 2＝0，令x ＝0，y =−x 1x22p ，又y M =x 1x22p =−2p ，∴y ＝2p ∴直线AB 过点（0，2p ）； （Ⅱ）记x M =x 1+x 22，同理可得x C =x 1+x E 2，x D =x 2+x E2， |AC CM |=|x C−x 1x M−x C |=|x 1+x E 2−x 1||x 1+x 22−x 1+x E 2|=|x E−x 1x 2−x E |，|CEED |=|x E−x c x D−x E |=|x E−x 1+xE 2x 2+x E 2−x E|=|x E−x 1x 2−x E |，∴|AC CM |=|CE ED |，同理|MDDB |=|x E−X C x 2−x E| ∴|AC CM |=|EC DB |＝|DM DB|， ∴设|AC CM |=|EC ED |=|DMDB|=t ，记S △MCE ＝S ，则S △ACE ＝tS ， 同理，S △MDE =S t ，S △BDE =S t2，S △MABS △MCD =|MA||MB||MC||MD|=t+11⋅t+1t =(t+1)2t ， 于是S △MAB=(t+1)2t S △MCD =(t+1)2t (S +S t )=(t+1)3t 2S ， ∴S △EAB ＝S △MAB ﹣S △MCD ﹣S △ACE −S △BDE =2(t+1)t S ，S △MCD=t+1tS ， ∴λ=S△EAB S △MCD=2．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①． 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m 3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|√2=|2sin(θ+π3)−6|2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =8√2=4√2． 五．解答题（共1小题）23．已知f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |（a ∈R ）． （1）若a ＝1，求不等式f （x ）＞2的解集； （2）若存在x 0∈R ，对任意m ∈（0，1）恒有1m+41−m＞f(x 0)，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）a ＝1，不等式f （x ）＞2即为|2x ﹣1|+|x +1|＞2， 可得{x ≥122x −1+x +1＞2或{−1＜x ＜121−2x +x +1＞2或{x ≤−11−2x −x −1＞2，解得x ＞23或﹣1＜x ＜0或x ≤﹣1， 则原不等式的解集为{x |x ＜0或x ＞23}；（2）f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |＝|x −12|+|x −12|+|x +a |≥0+|x −12−x ﹣a |＝|a +12|， 当x =12时，f （x ）取得最小值|a +12|， 存在x 0∈R ，对任意m ∈（0，1）恒有1m+41−m ＞f(x 0)，可得任意m ∈（0，1）恒有1m+41−m＞|a +12|，由（m +1﹣m ）（1m+41−m）＝5+1−m m +4m 1−m ≥5+2√1−m m ⋅4m 1−m =9，当且仅当m =13取得等号，则|a +12|＜9，解得−192＜a ＜172．。

安徽省2020年高考文科数学预测题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合{|1}A x x =<，{|31}xB x =<，则( )A. {}1A B x x ⋃=> B. A B =R C.D. A B ⋂=∅2. 复数2(1)41i z i -+=+的虚部为( )A. 1-B. 3-C. 1D. 23. 已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，回归直线l 的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B.C.D.4. 设3log a e =，131log 4b =，则（ ） A. 1a b >> B. 1a b >> C. 1b a >> D. 1b a >>5．设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知tan α ＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为（ ） A ．3 B.-3 C.5 D.-57. 宋元时期数学名着《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 28. 已知抛物线214y x =的焦点F 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）1- 19. 如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A. B. C. D.10. 一次数学考试中，4位同学各自在选作题第22题和第23题中任选一题作答，则至少有1人选作第23题的概率为（ ） A.B.C. D.11. 已知椭圆C 的方程为，焦距为，直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若，则椭圆C 的离心率为（ ）A.B. C.D.12.已知函数满足：，当若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A.B.C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国高考数学试卷及答案(名师押题预测试卷+解析答案，值得下载)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(A B = )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．(1，2]D ．(2,)+∞【解析】解：，，则【答案】A ． 2．已知向量，(3,1)b =，若//a b ，则(a b = ) A ．1 B ．1-C ．10-D ．1±【解析】解：，(3,1)b =， 若//a b ，则，1m ∴=-，【答案】C ．3．已知α是第二象限角，若，则sin (α= )A ．223-B ．13-C ．13D ．223【解析】解：α是第二象限角，若可得1cos 3α=-，所以．【答案】D ．4．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与8a 的等差中项为10，则10(S = ) A ．200B ．100C ．50D ．25【解析】解：由等差数列的性质可得：，则．【答案】B ．5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m α⊂，//n α，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：①若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，故不正确； ②若//m α，//m β，则α与β可能相交或平行，故不正确； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β，m 也可能在平面内，故不正确；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确 【答案】B ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A．11 B．9 C．7 D．5 【解析】解：模拟程序的运行，可得1n=，0S=不满足条件37S，执行循环体，113S=⨯，3n=不满足条件37S，执行循环体，，5n=不满足条件37S，执行循环体，，7n=此时，满足条件37S，退出循环，输出n的值为7．【答案】C．7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD-中，AB⊥平面BCD，BC CD⊥，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A．23B．34C．33D．24【解析】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则(1A，0，1)，(1B，0，0)，(0C，0，0)，(0D，1，0)，111 (,,)222 M，则，(0CD =，1，0)，设异面直线BM 与CD 夹角为θ，则．∴异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33． 【答案】C ．8．设0a >且1a ≠，则“b a >”是“log 1a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：充分性：当01a <<时，“b a >”时“log 1a b <”故充分性不成立． 必要性：当log 1a b >时，若01a <<，则0b a <<，故充分性不成立． 综上，“b a >”是“log 1a b >”的既不充分也不必要条件． 【答案】D ．9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是( )A．322+B．312+C．3122++D．23+【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥A BCD-，正方体的棱长为1，所以几何体的表面积为：．【答案】C．10．程序框图如图，若输入的2a=，则输出的结果为()A ．20192B ．1010C ．20232D ．1012【解析】解：模拟程序的运行，可得2a =，0S =，0i = 执行循环体，2S =，12a =，1i = 满足条件2019i ，执行循环体，122S =+，1a =-，2i = 满足条件2019i ，执行循环体，1212S =+-，2a =，3i = 满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，4i = ⋯由于，观察规律可知，满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，2020i = 此时，不满足条件2019i ，退出循环，输出．【答案】D ．11．将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，则概率()P A B 等于( ) A ．14B ．3536C ．518D ．512【解析】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”， 基本事件总数，AB 包含的基本事件个数，∴概率．【答案】C ．12．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，，若在3[,2]2ππ上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2-，)+∞ C ．(-∞，2] D ．[2-，1]-【解析】解：定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，方程()0f x '=无解，即()f x 为R 上的单调函数，，则()2018x f x +为定值， 设，则，易知()f x 为R 上的减函数，，，又()g x 与()f x 的单调性相同， ()g x ∴在R 上单调递减，则当3[,2]2x ππ∈，()0g x '恒成立， 即，当3[,2]2x ππ∈，则5[63x ππ+∈，13]6π， 则当26x ππ+=时，取得最大值2，此时取得最小值2-，即2m -，即实数m 的取值范围是(-∞，2]-， 【答案】A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数1()x f x e -=在(1,1)处切线方程是 ． 【解析】解：函数1()x f x e -=的导数为1()x f x e -'=，∴切线的斜率k f ='（1）1=，切点坐标为(1,1)，∴切线方程为1y x -=，即y x =．故答案为：y x =．14．已知P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值是 ．【解析】解：抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)，P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值，就是PF 的距离减去y 轴与准线方程的距离， 可得最小值为：．故答案为：2．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 1nn + ．【解析】解：点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，2n a n ∴=．．∴．则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．故答案为：1nn +． 16．已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 254π ．【解析】解：由圆锥体积为23π，其底面半径为1， 可求得圆锥的高为2， 设球半径为R ，可得方程：，解得54R =， ∴，故答案为：254π． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值． 【解析】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）由、及正弦定理可得：，⋯⋯由于sin 0A >，整理可得：，又sin 0B >， 因此得3sin 5B =．⋯⋯ （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 5B =， 又ABC ∆的面积为42，且10a =， 从而有，解得14c =，⋯⋯又角B 是最小的内角， 所以03Bπ<，且3sin 5B =，得4cos 5B =，⋯⋯ 由余弦定理得，即62b =．⋯⋯18．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0~2000步，（说明：“0~2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B 、2000~5000步，C 、5000~8000步，D 、8000~10000步，E 、步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”． （Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000~8000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“认定类别”与“性别”有关？参与者超越者 合计 男 20 女20合计 40附：，，20()P K k0.10 0.050 0.010 0k 2.706 3.841 6.635【解析】解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人， 女14人⋯⋯，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数 约为：人⋯⋯；（Ⅱ）该天抽取的步数在8000~12000的人数：男8人，女4人， 再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人⋯⋯所求概率（或⋯⋯ （Ⅲ）完成22⨯列联表⋯⋯参与者 超越者 合计男 12 8 20女 16 4 20合计 28 12 40计算，⋯⋯因为1.905 3.841<，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关， 即“认定类别”与“性别”无关 ⋯⋯19．如图，在正三棱柱中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//B E 平面ACF ；（Ⅱ）求CE 与平面ACF 所成角的正弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中， 因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以//EM BC 且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，所以1//B F BC 且112B F BC =，即1//EM B F 且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，所以，又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊂/平面ACF ，所以1//B E 平面ACF ．⋯⋯解：（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO 、OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB 、AO 、OF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 ⋯⋯ 则有， 得 设平面ACF 的一个法向量为(n x =，y ，)z则00n CA n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3020x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令3z =-，则(23n =，2，3)-，⋯⋯ 设CE 与平面ACF 所成的角为θ，则，所以直线CE 与平面ACF 所成角的正弦值为21919．⋯⋯。

第 1 页 共 13 页2020年安徽省高考文科数学考前押题试卷解析版一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）复数z 满足（1+i ）z ＝|1﹣i |，则z ＝（ ）A ．1﹣iB ．1+iC ．√22−√22iD ．√22+√22i 【解答】解：因为（1+i ）z ＝|1﹣i |，∴z =|1−i|1+i =√21+i =√2(1−i)(1+i)(1−i)=√2(1−i)2=√22−√22i ． 故选：C ．2．（5分）设集合A ={x|x+2x−1≤0}，B ＝{x |y ＝log 2（x 2﹣2x ﹣3）}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |﹣2≤x ＜﹣1}B ．{x |﹣1＜x ≤1}C ．{x |﹣2≤x ＜1}D ．{x |﹣1≤x ＜1} 【解答】解：A ＝{x |﹣2≤x ＜1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}，∴A ∩B ＝{x |﹣2≤x ＜﹣1}．故选：A ．3．（5分）已知a ＝21.2，b ＝30.4，c =ln 83，则（ ）A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b【解答】解：由题意得：a ＝21.2∈（2，4），b ＝30.4∈(1，√3)，c =ln 83＜lne ＝1．∴a ＞b ＞c ，故选：B ．4．（5分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为3，中位数为4；乙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丙地：总体平均数为2，总体方差为3；丁地：中位数为2，众数为3；则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）A ．甲地B ．乙地C ．丙地D ．丁地【解答】解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，不是A 地，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，不是B。

2020年安徽省名校高考冲刺数学模拟试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,1，2，3}，B ={x ∈R|−2<x <2}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {1}C. {0,1，2}D. {0,2}2. 复数Z =3−4i ，则|Z|等于( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率( )．A. 3π B. π3 C. π2 D. 2π4. 设a =214,b =(15)0.2,c =log 136则( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <a <c5. 已知a ⃗ =(3,4)，|b ⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a ⃗ ·b⃗ 的值是( ) A. 7B. 12C. 5D. 256. 函数在[−π2,π2]上的图象为( )A.B.C.D.7. 已知α∈(π3,π)，且sin (α+π6)=35，则cosα=( )A. −3−4√310B. 3+4√310C. 3−4√310D. −3+4√3108.函数y=2sin(π3−x)−cos(x+π6)(x∈R)的最小值为()A. −3B. −2C. −1D. −√59.若如图所示的程序框图运行后输出的S的值为20，那么判断框中应填入的关于k的条件是()A. k=9B. k≤8C. k<8D. k>810.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线倾斜角为π6，则双曲线C的离心率为()A. 2或√3B. 2√33C. 2或2√33D. 211.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若acos C+ccos A=2bcos B，且cos2B+2sin Asin C=1，则a−2b+c=()A. √22B. √2C. 2D. 012.直线y=x+m与椭圆x24+y2=1有两个不同的交点，则m的取值范围是()A. −5<m<5B. m<−√5或m>√5C. m<√5D. −√5<m<√5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=e x−x−2在(0,f(0))处切线方程是______．14.设x，y满足约束条件{x+2y≤12x+y≥−1x−y≤0，则z=3x−2y的最小值为________．15.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n−1，则|a1−18|+|a2−18|+⋯+|a10−18|=________．16.三棱锥S−ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠B=60°，SA=2√5，则该三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．(1)求a n和b n；(2)求数列{nb n}的前n项和S n．18.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为2√3的菱形，∠BAD=60°，点E是棱BC的中点，DE∩AC=O，点P在平面ABCD的射影为O，F为棱PA上一点．(Ⅰ)求证：平面PED⊥平面BCF；(Ⅱ)若BF//平面PDE，PO=2，求四棱锥F−ABED的体积．19.学生学习的自律性很重要．某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到2×2列联表的部分数据如下表：自律性一般自律性强合计成绩优秀40成绩一般20合计50100(1)补全2×2列联表中的数据；(2)判断是否有99.9％的把握认为学生的成绩与自律性有关．．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=e x−x2．e(1)证明：函数f(x)有两个极值点x1，x2；(2)若g(x)=f(x)+ax为增函数，求实数a的取值范围．21.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴交于点P，抛物线C交于点Q，|PQ|．且|QF|=54(1)求抛物线C的方程；(2)过原点O作斜率为k1和k2的直线分别交抛物线C于A，B两点，直线AB过定点T(2,0)，k1k2是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ+3=0．(1)求曲线M的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若直线l过圆心C且与曲线M交于A，B两点，求1|CA|+1|CB|的最大值．23.已知函数f(x)=｜2x+1｜−｜x−2｜−1，不等式f(x)≤k的解集为[−5,1]．(1)求实数k的值；(2)若正数a、b满足√ab2=k，求2a+4b的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x∈R|−2<x<2}，∴A∩B={0,1}．故选：A．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：∵Z=3−4i，∴|Z|=√32+(−4)2=5．故选：C．直接利用复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：D解析：此题考查几何概型，解题的关键是利用割补的方法求组合图形面积，此类不规则图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算．解：设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC．不妨令OA=OB=2，则OD=DA=DC=1．在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1=π4+12×1×1−(π4−12×1×1)=1，所以整个图形中空白部分面积S2=2．又因为S扇形OAB =14×π×22=π，所以P=2π．故选D．4.答案：B解析：本题考查了对数函数、指数函数的性质的应用，属于基础题．解题时直接利用指，对数函数的单调性，可以求出结果．解：．故选B．5.答案：C解析：本题考查了数量积的定义，属于基础题．利用数量积的定义即可得出．解：∵a⃗=(3,4)，∴|a⃗|=5．又|b⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos60°=5×2×12=5．故选C．6.答案：B解析：本题考查函数图像识别，是基础题．直接利用函数的性质奇偶性和特殊区间结合排除法求出结果．解：函数的解析式满足f(−x)=−f(x)， 且的定义域R 关于原点对称，则函数为奇函数，排除C 、D 选项， 当0<x ≤π2时，由sinx ≤1,x 2+|x|+1≥1 可知：当0<x ≤π2时f(x)≤1，排除A 选项． 故选：B ．7.答案：C解析：本题主要考查两角差的余弦公式和同角三角函数基本关系的应用，属于基础题． 先根据α的范围利用平方关系求出cos (a +π6)，再利用两角差的余弦公式即可求出． 解：因为a ∈(π3,π)，所以α+π6∈(π2,7π6)，即有cos (a +π6)=−√1−sin 2(a +π6)=−45． ∴cosα=cos [(α+π6)−π6]=cos (α+π6)cos π6+sin (α+π6)sin π6=(−45)×√32+35×12=3−4√310． 故选：C ．8.答案：C解析：本题考查诱导公式及正弦函数的图象与性质，根据题意可得cos (x +π6)=sin (π3−x)，进而利用正弦函数的性质即可求得结果． 解：cos (x +π6)=sin (π3−x)，因此y =2sin (π3−x)−cos (x +π6)=2sin (π3−x)−sin (π3−x)=sin (π3−x)=−sin (x −π3)， 所以函数的最小值为−1． 故选C ．9.答案：D解析：本题考查了程序框图中条件的确定，属于基础题．运行程序框图，确定条件．解：如图：可知，10，9时条件成立，8时不成立．故选D．10.答案：B解析：本题主要考查了双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程，可得b=√33a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到双曲线的离心率．解：双曲线C：x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，则tanπ6=ba即为b=√33a，则c=√a2+b2=2√33a，即有e=ca =2√33．故选B．11.答案：D解析：本题主要考查了正弦定理，和差角公式的综合应用，属于中档试题．由已知结合正弦定理可求cos B，进而可求B，然后结合三角形的内角和及和差角公式进行化简可求A，从而可得△ABC为正三角形可求．解：∵acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理可得，sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB ， ∴sin(A +C)=2sinBcosB =sinB ， ∵sinB ≠0， ∴cosB =12， ∵0<B <π， ∴B =13π，∵cos2B +2sinAsinC =1， ∴sinAsinC =34，∴sinAsin(2π3−A)=34，化简可得，，，∴sin(2A −π6)=1，∵0<A <π， ∴A =13π=B =C ，∴△ABC 为正三角形，则a −2b +c =0， 故选：D ．12.答案：D解析：本题考查了直线和椭圆的位置关系，属于基础题． 根据题意，可得△=64m 2−20(4m 2−4)>0，即可得解． 解：由{y =x +mx 24+y 2=1， 得5x 2+8mx +4m 2−4=0， 由直线y =x +m 与椭圆x 24+y 2=1有两个不同的交点，得：△=64m2−20(4m2−4)>0，解得：−√5<m<√5，故选：D．13.答案：y=−1解析：本题主要考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率，属于基础题．求导函数f′(x)=e x−1，确定切线的斜率与切点的坐标，即可得到切线方程．求导函数可得f′(x)=e x−1，当x=0时，f′(0)=e0−1=0，∵f(0)=e0−0−2=−1，∴切点为(0,−1)，∴曲线f(x)=e x−x−2在点(0,f(0))处的切线方程是y=−1，故答案为y=−1．14.答案：−5解析：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，即可求得答案．解：由x，y满足约束条件{x+2y≤ 12x+y≥−1x−y≤0作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立{x +2y =12x +y =−1，解得A(−1,1)． ∴z =3x −2y 的最小值为−3×1−2×1=−5．故答案为：−5．15.答案：961解析：本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用． 由已知条件推导出{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n−1，进而判断a n −18的符号，去掉绝对值后结合等比数列的求和进行求解．解：∵S n =2a n −1(n ∈N ∗)，∴n =1时，a 1=S 1=2a 1−1，解得a 1=1，n ≥2时，a n =S n −S n−1=2a n −2a n−1，整理，得a n =2a n−1，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n =1×2n−1=2n−1．n ≥6，a n −18>0∴|a 1−18|+|a 2−18|+⋯+|a 10−18|=−a 1+18−a 2+18+⋯−a 5+18+a 6−18+···+a 10−18=S 10−2S 5=1−2101−2−2×1−251−2=961．故答案为961．16.答案：256π3解析： 本题主要考查球的内接多面体，正、余弦定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于一般题．该三棱锥的外接球，即为以△ABC 为底面以SA 为高的直三棱锥的外接球，利用正弦定理求出r ，然后求解球的半径，即可得到球的表面积．解：由余弦定理得，AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos60°=7，该三棱锥的外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的直三棱锥的外接球，∵在△ABC中，设△ABC的外接圆半径为r，则ACsin60∘=2r，∴r=7√3，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=√5，∴球的半径R=√5+493=√643．∴该三棱锥的外接球的表面积为4π×643=256π3．故答案为：256π3．17.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．∴a1+d=0，b1q=1，a1+2d=b1q2，a1+3d=b1q3，联立解得：a1=−2，d=2，b1=12，q=2，∴a n=−2+2(n−1)=2n−4，b n=2n−2．(2)数列{nb n}的前n项和S n=12+2+3×2+4×22+⋯…+n⋅2n−2，∴2S n=1+2×2+3×22+⋯…+(n−1)⋅2n−2+n⋅2n−1，∴−S n=12+1+2+22+⋯…+2n−2−n⋅2n−1=12(2n−1)2−1−n⋅2n−1，化为：S n=(n−1)⋅2n−1+12．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a2=0，b2=1，且a3=b3，a4= b4.a1+d=0，b1q=1，a1+2d=b1q2，a1+3d=b1q3，联立解得：a1，d，b1，q，利用通项公式即可得出．(2)利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)∵PO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO依题意△BCD是等边三角形，E为棱BC的中点，∴BC⊥DE，又PO∩DE=O，PO，DE⊂平面PED，∴BC⊥平面PED，∵BC⊂平面BCF，∴平面PED⊥平面BCF．解：(Ⅱ)取AD的中点G，连结BG，FG，∵底面ABCD是菱形，E是棱BC的中点，∴BG//DE，∵BG⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，∴BG//平面PDE，∵BF//平面PDE，BF∩BG=B，∴平面BGF//平面PDE，又平面BGF∩平面PAD=GF，平面PDE∩平面PAD=PD，∴GF//PD，∴F为PA的中点，∵S四边形ABED =32×12×2√3×2√3×sin60°=9√32，点F到平面ABED的距离为d=PO2=1，∴四棱锥F−ABED的体积：V F−ABED=13⋅S四边形ABED⋅d=13×9√32×1=3√32．解析：(1)推导出BC⊥PO，BC⊥DE，从而BC⊥平面PED，由此能证明平面PED⊥平面BCF．(Ⅱ)取AD的中点G，连结BG，FG，从而BG//DE，进而BG//平面PDE，平面BGF//平面PDE，由此能求出四棱锥F−ABED的体积．本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：(1)因为总人数为100，可填写列联表如下：(2)根据表中数据，得K2=100×(40×30−20×10)240×60×50×50=503≈16.667>10.828，所以有99.9％的把握认为学生的自律性与学生成绩有关．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，属于基础题．(1)结合抽取的100名学生，填写2×2列联表即可；(2)利用K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算观测值，对照临界值得出结论．20.答案：(1)证明：f′(x)=e x−1−2x．设f′(x)=p(x)=e x−1−2x，则p′(x)=e x−1−2，p′(x)=0，得x0=1+ln2．又函数p′(x)是单调增函数，所以x∈(−∞,x0)时，p′(x)<0；x∈(x0,+∞)时，p′(x)>0，所以f′(x)在(−∞,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增．所以f′(x)≥f′(x0)=−2ln2<0，f′(0)=1e>0,f′(4)=e3−8>0，由零点存在性定理，得f′(x)=0存在两个根x1，x2且0<x1<x0,x0<x2<4，列表，所以函数f(x)有两个极值点x1，x2．(2)解：g(x)=e x−1−x2+ax，则g′(x)=e x−1−2x+a.因为函数g(x)为增函数，所以g′(x)≥0恒成立．即e x−1−2x+a≥0，所以a≥2x−e x−1．设ℎ(x)=2x−e x−1，则ℎ′(x)=2−e x−1，由ℎ′(x)=0，得x=1+ln2，当x<1+ln2时，ℎ′(x)>0，当x>1+ln2时，ℎ′(x)<0，所以1+ln2为函数ℎ(x)的极大值点，所以ℎ(x)≤ℎ(1+ln2)=2ln2．所以a≥2ln2．解析：本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性，属于中档题．(1)先求出函数的导数f′(x)，然后根据导函数的单调性与零点存在性定理证明出结论．(2)根据函数g(x)为增函数，转化为g′(x)≥0恒成立，利用分离参数法求解．21.答案：解：(1)P(0,4),Q(8p,4)，由|QF|=54|PQ|以及抛物线定义可知，8p+p2=54⋅8p，∵p>0，∴p=2，抛物线C的方程为y2=4x．(2)不妨设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB ：x =my +2，由{x =my +2y 2=4x，得y 2−4my −8=0，y 1y 2=−8， 故k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=16y 1y 2=−2．解析：本题考查抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．(1)利用已知条件求出p ，得到抛物线方程即可．(2)设出A 、B 坐标，直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，转化求解k 1k 2为定值． 22.答案：解：(1)由曲线M 的参数方程消去参数t ，得y 2=4x ，即曲线M 的普通方程为y 2=4x ．将ρ2=x 2+y 2，ρsinθ=y 代入圆C 的极坐标方程，得x 2+y 2+4y +3=0，即圆C 的直角坐标方程为x 2+(y +2)2=1．(2)由(1)知圆心C(0,−2)．设直线l 的参数方程为为参数)，代入曲线M 的普通方程得t 2sin 2α−4(sinα+cosα)t +4=0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则， 所以， 当α=π4时等号成立，此时满足题意，所以1|CA|+1|CB|的最大值为√2．解析：本题主要考查参数方程与普通方程间的互化，极坐标方程和直角坐标方程之间的互化，圆的参数方程的应用，属于中档题．(1)将曲线M 的参数方程消去参数得普通方程，将ρ2=x 2+y 2，ρsinθ=y 代入圆C 的极坐标方程得直角坐标方程;(2)利用直线l 的参数方程与曲线M 的普通方程联立，根据韦达定理及三角函数性质求最值． 23.答案：解：(1)不等式f(x)≤k ，即|2x +1|−|x −2|≤k +1，当x ≥2时，2x +1−x +2≤k +1，解得：x ≤k −2，当−12<x <2时，2x +1+x −2≤k +1，解得：x ≤k+23， 当x ≤−12时，−2x −1+x −2≤k +1，解得：x ≥−(k +4)，而不等式的解集是[−5,1]，对应[−(k +4),k+23]，故{−(k +4)=−5k+23=1， 解得：k =1，经检验，k =1时满足题意，故k =1；(2)由(1)中，得√ab 2=1，即ab =2， 故2a +4b ≥2√8ab =8，当且仅当a =2，b =1时成立．故2a +4b 的最小值为8．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想以及基本不等式的性质，是一道中档题．(1)通过讨论x 的范围求出不等式的解集，根据对应关系求出k 的值即可；(2)求出ab =2，根据基本不等式的性质，求出代数式的最小值即可．。

2020年高考数学（文）终极押题卷（全解全析）1．【答案】B【解析】集合{|11}A x x =-<<，{|02}B x x =≤≤，则{|01}A B x x =≤<I . 故选B. 2．【答案】D【解析】∵m ＜1，∴m ﹣1＜0，∴复数2+（m ﹣1）i 在复平面内对应的点（2，m-1）位于第四象限，故选D ． 3．【答案】A【解析】已知()1,0A ，()3,2,B 向量()3,4AC =--u u u v , BC AC AB =-u u u v u u u v u u u v ,()()2,2,5,6AB BC ==--u u u r u u u r ， ()()·2,25,6101222.AB BC =⋅--=--=-u u u vu u u v故答案为A. 4．【答案】C 【解析】因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈=<=>所以.b a c <<选C ． 5．【答案】A【解析】由题意，根据频率分布直方图，可得获得复赛资格的人数为()100010.00252020.007520⨯-⨯-⨯⨯=650人， 故选：A ． 6．【答案】A【解析】若命题p ：“[]1,e ∀∈，ln a x >，为真命题，则ln 1a e >=，若命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=”为真命题，则1640a ∆=-≥，解得4a ≤， 若命题“p q ∧”为真命题，则p ，q 都是真命题， 则1{4a a >≤，解得：14a <≤．故实数a 的取值范围为(]1,4． 故选A ． 7．【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====， 由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC ====，则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.8．【答案】B【解析】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-，解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 9．【答案】C【解析】()211sin sin 11x x xe f x x x e e -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 则()()()()111sin sin sin 111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e------=-=⋅-==+++，是偶函数，排除B 、D.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e 1x>，sin 0x >，即()0f x <，排除A. 故选:C.10．【答案】D【解析】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ， 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D. 11．【答案】C【解析】设t ＝2x ，函数f （t ）＝t 2﹣mt +m +3有两个不同的零点，()11,2t ∈，()24,t ∈+∞,∴()()()102040f f f ＞＜＜⎧⎪⎨⎪⎩，即130423016430m m m m m m -++>⎧⎪-++<⎨⎪-++<⎩，解得：m 7> 故选：C 12．【答案】C【解析】因为直线y =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上， 所以12PF PF ⊥，不妨令P 在第一象限内， 又O 为12F F 中点，12(c,0),(,0)F F c -，所以1212OP F F c ==，因为直线y =的倾斜角为260POF ∠=o，所以2POF ∆为等边三角形，所以2PF c =， 因此，在12Rt PF F ∆中，1PF ==，由双曲线的定义可得：212PF PF c a -=-=， 所以双曲线C的离心率为1c e a ===. 故选C13．【答案】12【解析】∵函数()()()()2x x 2x 0f x f x 3x 0⎧-≤⎪=⎨-⎪⎩，，＞，∴f （5）＝f （2）＝f （﹣1）＝（﹣1）2﹣2﹣112=． 故答案为12． 14．【答案】2【解析】抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣， 因为抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆（x ﹣3）2+y 2=16相切， 所以3+=4，解得p=2． 故答案为2 15．【答案】22【解析】因为cos 2cos B C =，所以)222222222a b c a c b ac ab+-+-=，结合2c b =，化简得3a b =，从而有222b c a +=，即在ABC ∆为直角三角形，将2c b =，3a =222b c a +=，得1b =，于是2c =1222ABC S bc ∆==16．2015【解析】取BDC ∆的外心为1O ，设O 为球心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BDC ，取BD 的中点M ，连接AM ，1O M ，过O 做OG AM ⊥于点G ，易知四边形1OO MG 为矩形，连接OA ，OC ，设OA R =，1OO MG h ==.连接MC ，则1O ，M ，C 三点共线，易知3MA MC ==133OG MO ==1233CO =.在Rt AGO ∆和1Rt OO C ∆中，222GA GO OA +=，22211O C O O OC +=，即)22233h R +=⎝⎭，22223h R +=⎝⎭，所以33h =，253R =，得153R=.所以342015==327O V R ππ球.17．（12分）【解析】（1）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（6分）（2）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n L L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+.（12分） 18．（12分）【解析】（1）证明：Q 在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M ⋂=，MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥；（5分） （2）解：E Q 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点，1BE BF ∴==，111122MEF BEF S S V V ∴==⨯⨯=，由（1）知，111123323M DEF MEF V S MD -=⋅=⨯⨯=V ．（12分）19．（12分）【解析】（1）选择模型①.理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值比较相近，模型②的残差值相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好.（5分）（2）由（1）可知，y 关于x 的回归方程为$$2y bx a =+$， 令2t x =，则$$y bta =+$. 由所给数据可得8111(1491625364964)25.588i i t t ===⨯+++++++=∑.8111(0.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.2)588i i y y ===⨯+++++++=∑，()()()81921686.80.193570ii i i i tt y y bt t ==--∴==≈-∑∑$ $50.1925.50.16ay bt =-≈-⨯≈$， 所以y 关于x 的回归方程为$20.190.16y x =+预测该地区2020年新增光伏装机量为$20.19100.1619.16y =⨯+=（兆瓦）.（12分） 20．（12分）【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩.故C 的方程为2214x y +=.（4分）（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t2），（t，.则121k k +=-=-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得()222418440kx kmx m +++-=由题设可知()22=16410k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+. 而12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ ()()12121221kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故()()()12122110k x x m x x ++-+=.即()()22244821104141m km k m k k --+⋅+-⋅=++. 解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即()1122m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）.（12分） 21．（12分）【解析】（1）∵()ln 2x f x a x a b a =+--'=ln 2x a x b -，∴()1f '=-2b=-1,()312f b a =--=-, ∴b=12,a=1.（4分） （2）若0a ≤，12b =时，()ln x f x a x '=-,在x ()1,e ∈上()0f x '<恒成立，∴f （x ）在区间()1,e 上是减函数． 不妨设1<x 1<x 2<e ，则()()12f x f x >， 则()()12123f x f x x x -<-等价于()()122133f x f x x x -<-．即()()112233f x x f x x +<+，即函数()()3h x f x x =+在x ∈()1,e 时是增函数．∴()ln x 30h x a x -+'=≥，即3x a lnx -≥在x ∈()1,e 时恒成立．令g(x)=3x lnx-,则()()231lnx x g x lnx -+='，令31y lnx x =-+，则y '=1x -23x =23x x -<0在x ∈()1,e 时恒成立, ∴31y lnx x =-+在x ∈()1,e 时是减函数，且x=e 时，y=3e>0，∴y>0在x ∈()1,e 时恒成立,即()0g x '>在x ∈()1,e 时恒成立, ∴ g(x) 在x ∈()1,e 时是增函数，∴g(x)<g(e)=e-3 ∴e 3a ≥-．所以，实数a 的取值范围是[]e 30，-．（12分）22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（4分）（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α取得最小值，，此时P 的直角坐标为31(,)22.（10分）23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，①当1x ≤-时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解； ②当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜． ③当1x ≥时，()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（5分） （2）当x ∈R 时，()()11112f x x x x x =+--≤++-=；()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯==⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x ∈R 时， ()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．（10分）。