2020年泄露天机高考押题卷之文科数学(二)学生版

绝密★启封前 高考押题金卷（全国卷Ⅱ）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B I 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3] （C ）(2,3) （D ）(1,4)-2．已知i z i 32)33(-=⋅+（i 是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．若()()()()2,1,1,1,2//a b a b a mb ==-+-r r r r r r，则m =（）A ．12 B ．2 C ．-2 D ．12- 4.甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（） (A)14(B)12(C)13(D)345.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7()B 5()C -5()D -76.下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性均相同的是（）A ．ln(y x =+B ．2y x = C ．tan y x =D ．xy e =（7）若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如104(mod 6)≡，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》aaaa中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入2a =，3b =，5c =，则输出的N =（）(A)6(B)9(C)12(D)218.已知函数，且f （a ）=-3，则f （6-a ）=（A ）-74（B ）-54（C ）-34（D ）-149.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-310.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P ABCD -的侧面积等于4(12)+,则该外接球的表面积是(A) 4π (B)12π (C)24π (D)36π11.直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k=2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（）A.e>2B.1<e<3C.e>5D.1<e<512.已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（）A ．012x <<0 B ．012x <<1C ．2220<<x D 0x <<第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

赢在微点★倾情奉献文科数学押题卷(二)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( )A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}2．已知复数z ＝1－2i（1＋i ）2，则z 的虚部为( )A ．－12B ．12C ．－12iD ．12i3．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份1 2 3 4 5 6 人均销售额6 5 8 3 47 利润率(%)12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3 A ．利润率与人均销售额成正相关关系 B ．利润率与人均销售额成负相关关系 C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系 D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系4．已知a ＝⎝⎛⎭⎫13π，b ＝⎝⎛⎭⎫1312，c ＝π12，则下列不等式正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a5．已知某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是边长为3的正三角形，则该几何体的体积为( )A ．πB ．π2 C ．3π8 D ．π46．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝－35，cos B ＝45，a ＝20，则c ＝( )A ．10B ．7C ．6D ．5 7．函数f (x )＝ln|x |·sin x 的图象大致为( )A B C D 8．执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为( )A ．4B ．6C ．8D ．109．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A ．13B ．12C ．23D ．310．数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间，都满足关系式V －E ＋F ＝2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”。

2020届全国百所名校新高考押题模拟考试（二）文科数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）1.设集合{}{}222320A x x B x x x =-<=-+<，.则R A C B =I A. (][)0,12,4U B. ()1,2C. ∅D. ()(),04,-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】解二个不等式，化简集合,A B ，先求出R C B ,最后求出R A C B ⋂. 【详解】因为2204x x -<⇒<<，232012x x x -+<⇒<<，所以{}{}0412A x x B x x =<<=<<，，因此{}1,2R C B x x x =≤≥或， 所以R A C B =I (][)0,12,4U ，故本题选A.【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算，正确解不等式是解题的关键.2.复数31ii+（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 复数31ii(1i)1i i+=+=-+，其在复平面上对应的点为(1,1)-，该点位于第二象限． 故选B ．点晴:本题重点考查复数的基本运算和复数的概念.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)()()i,(,,,)a b c d ac bd ad bc a b c d ++=-++∈R ，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b ，对应点为(,)a b ，共轭复数为i(,)a b a b -∈R 3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A. 1y x =B. 1y x =+C. lg y x =D. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】判断每一个函数的奇偶性和单调性得解. 【详解】A. 1y x=,是奇函数不是偶函数，所以该选项错误； B. ()1,()1()f x x f x x f x =+∴-=+=,所以函数是偶函数，由于函数||y x =在区间()0,∞+上是增函数，所以函数1y x =+在区间()0,∞+上单调递增，所以该选项是正确的； C. lg y x =不是偶函数，所以该选项是错误的；D. 1()()2xf x f x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以函数是偶函数，由于函数||y x =在区间()0,∞+上是增函数，1()2x y =在()0,∞+上是减函数，所以函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上是减函数，所以该选项错误.故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4.已知函数()1f x x x =-，若()2log 6a f =，22log 9b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0.53c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性定义可判断出()f x 为奇函数，且可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增；利用奇偶性将b 变为29log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；比较自变量之间的大小关系，根据单调性可得函数值之间的大小关系，从而得到结果.【详解】由题意知：()f x 定义域为：{}0x x ≠，且()1f x x x-=-+()f x ∴为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数222229log log log 992b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当()0,x ∈+∞时，()f x 单调递增且0.52229032log 4log log 62<=<=<< ()()0.52293log log 62f f f ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭即：c b a << 本题正确选项：D【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性比较大小的问题，关键是能够通过函数性质将问题转化为自变量之间的比较.5.不等式组1,{24,x y x y +≥-≤的解集为D,有下面四个命题：1:(,),22p x y D x y ∀∈+≥-，2:(,),22p x y D x y ∃∈+≥， 3:(,),23p x y D x y ∀∈+≤4:(,),21p x y D x y ∃∈+≤-，其中的真命题是（ ） A. 23,p p B. 12,p pC. 13,p pD. 14,p p【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，设2x y z +=，则122zy x =-+，当直线l 过点(2,1)A -时，z 取到最小值，min 22(1)0z =+⨯-=，故2x y +的取值范围为20x y +≥，所以正确的命题是12,p p ，选B ．【考点定位】1、线性规划；2、存在量词和全称量词． 【此处有视频，请去附件查看】6.执行如图所示的程序框图，则输出的i =（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】依次循环为02121,2S i =+-=-= ；213231,3S i =-+-=-= ；411,4S i =-== ；511,5S i =->=；结束循环，输出5i = ，选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7.函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为( ) A. B. C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 分别令1001,e,e ex =-，根据()f x 的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】由四个选项的图像可知()11f =，令1ex =，()11e 11e f f ⎛⎫=-+>= ⎪⎝⎭，由此排除C 选项.令e x =，()()1e 111e f f =+>=，由此排除B 选项.由于()1001001e 1000ef -=->，排除D 选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.8.设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A. 2y x =-B. y x =-C. 2y x =D. y x =【答案】D 【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+， 所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.9.已知在各项为正数的等比数列{}n a 中，2a 与8a 的等比中项为8，则374a a +取最小值时，首项1a =（ ） A. 8 B. 4C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得58a =，可得23723248a a q q+=+，由基本不等式和等比数列的通项公式可得结果. 【详解】∵22285588a a a a ==⇒=，设公比为0q q >（），∴225375224324832a a a a q q q q +=+=+=… 当且仅当22328q q=，即22q =时取等号，此时5142a a q ==，故选C.【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有等比数列的性质，利用基本不等式求最值，属于简单题目.10.已知(cos 2,sin ),(1,2sin 1),,2a b πααααπ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭r r ，若25a b ⋅=r r ，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.13B.27C.17D.23【答案】C 【解析】 【分析】运用平面向量数量积的坐标表示公式，结合25a b ⋅=r r ，可以求出3sin 5α=，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据同角三角函数的关系式，可以求出3tan 4α=-，最后利用两角和的正切公式求出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】222cos2sin (2sin 1)12sin 2sin sin 1sin 5a b ααααααα⋅=+-=-+-=-=r r ，所以3sin 5α=. 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α=-，所以3tan 4α=-，所以tan 11tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角和的正切公式，考查了数学运算能力.11.函数1()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny --=上，其中m 0>，0n >，则12m n+的最小值为（ ） A. 4B. 5C. 6D.3+【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的性质得出点A 的坐标，将点A 的方程代入直线方程得出1m n +=，然后将代数式12m n+与m n +相乘，展开后利用基本不等式可得出12m n+的最小值. 【详解】令10x -=，得1x =，则()0121f a =-=-，∴函数()y f x =的图象恒过点()1,1A -，点A 在直线10mx ny --=上，可得1m n +=，由基本不等式得()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为3+，故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查指数型函数过定点问题，解题的关键在于根据已知条件得出定值条件，并对代数式进行合理配凑与变形，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.12.已知定义在R 上的奇函数，满足(2)()0f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()()sin π=-F x f x x ，在区间[]1-，m 上有10个零点，则m 的取值范围是（ ） A. [)3.54，B. (]3.5,4C. (]5,5.5D. [)55.5， 【答案】A 【解析】 【分析】由()()20f x f x -+=得出函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称以及函数()y f x =的周期为2，由函数()y f x =为奇函数得出()00f =，并由周期性得出()2f =()40f =，然后作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象，列举前10个交点的横坐标，结合第11个交点的横坐标得出实数m 的取值范围。

绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（二）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设22i1iz -=+，则z =（ ）A ．2B ．2C ．5D ．3【答案】B 【解析】∵22i1i z -=+，∴22i 22i 2221i 1i 2z --====++． 2．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()A B =R I ð（ ） A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤C ．{}11x x -<<D ．{}12x x <<【答案】B【解析】{}1A x x =≤R ð，{}12B x x =-<<，∴(){}11A B x x =-<≤R I ð．3．若122a =，ln 2b =，1lg 2c =，则有（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】A【解析】122a =Q ，ln 2b =，1lg2c =， ∴12221a ==>，0ln1ln 2lne 1b =<=<=，1lglg102c =<=， ∴a b c >>．4．设a b ，是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>； ④222a b +>．其中能推出“a b ，中至少有一个大于1”的条件是（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．③【答案】D【解析】若12a =，23b =，则1a b +>，但1a <，1b <， 故①推不出“a b ，中至少有一个大于1”；若1a =，1b =，则2a b +=，故②推不出“a b ，中至少有一个大于1”； 若2a =-，3b =-，则222a b +>，故④推不出“a b ，中至少有一个大于1”； 对于③，若2a b +>，则a b ，中至少有一个大于1， 假设1a ≤且1b ≤，则2a b +≤与2a b +>矛盾， 因此假设不成立，a b ，中至少有一个大于1，综上所述：能推出“a b ，中至少有一个大于1”的条件是③．5．已知定义在R 上的偶函数()()e sin xf x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ<<π）的部分图象如图所示，设0x 为()f x 的极大值点，则0cos x ω=（ ）A ．55B ．255C ．35D ．45【答案】B【解析】依题意，函数()sin y x ωϕ=+为偶函数， 又0ϕ<<π，故2ϕ=π，由图象可知，3044f f π⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎝⎭π⎭，可得2ω=， 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号∴()e cos2x f x x =，由函数()f x 为偶函数，故只需考虑0x ≥的情况，当0x ≥时，()e cos2xf x x =，()()()e cos22sin cos 2x x f x x x x β'=-=+，sin 5β=cos 5β=，当222x k βπ+=+π，k ∈Z 时，()f x 有极大值，故0cos 2cos sin 25x ββπ⎛⎫⎪⎭==⎝=-． 6．从随机编号为0001，0002，L ，1500的1500名参加这次南昌市四校联考期末测试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（ ）A ．1466B ．1467C ．1468D ．1469【答案】C【解析】样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068， 则样本间隔为681850-=，则共抽取15005030÷=， 则最大的编号为1850291468+⨯=．7．已知()()3cos 222sin 3cos 5αααπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π-+-，则tan α=（ ）A ．6-B ．23-C ．23D ．6【答案】D【解析】由()()3cos 222sin 3cos 5αααπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π-+-，得sin 22sin 3cos 5ααα=+， 即tan 22tan 35αα=+，tan 6α=． 8．设向量，，a b c 满足++=0a b c ，()-⊥a b c ，⊥a b ，若1=a ，则222++=a b c （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【解析】∵⊥a b ，1=a ，∴设()1,0=a ，()0,b =b ，(),x y =c ，且++=0a b c ， ∴()()1,0,0x y b ++=，∴1x =-，y b =-， ∴()1,b =--c ，且()1,b -=-a b ，()-⊥a b c ， ∴()210b -⋅=-+=a b c ，∴21b =，∴22222114b b ++=+++=a b c ．9．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．13【答案】A【解析】模拟程序的运行，可得0i =，1S =，0P =； 满足条件4i <，执行循环体，1i =，1t =，1S =，1P =； 满足条件4i <，执行循环体，2i =，1t =，2S =，1P =； 满足条件4i <，执行循环体，3i =，2t =，3S =，2P =；满足条件4i <，执行循环体，4i =，3t =，5S =，3P =， 此时，不满足条件4i <，退出循环，输出S 的值为5．10．已知双曲线221mx ny +=与抛物线28y x =有共同的焦点F ，且点F 到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -= B ．2213y x -= C ．2215x y -= D ．2215y x -= 【答案】A【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0F ，可得双曲线221mx ny +=的右焦点为()2,0F ，化221mx ny +=为22111x y m n-=-，得21a m =，21b n =-，∴双曲线的一条渐近线方程为y ==．由点F 到双曲线渐近线的距离等于11=，即= 又222a b c +=，即114m n-=，② 联立①②解得13m =，1n =-，∴双曲线的方程为2213x y -=． 11．在ABC △中，角,A B C ，所对的边分别为a b c ，，，6A =π，4B =π，a =b =（ ） A．BC．D．【答案】A【解析】利用正弦定理：∵sin sin a b A B=，∴sin 21sin 2a Bb A ===． 12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12F F ，在x轴上，离心率为2， 过1F 的直线l 交椭圆于A B ，两点，且2ABF △的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）A ．22184x y += B ．221164x y += C ．221816x y += D ．221168x y += 【答案】D【解析】根据题意，如图：2ABF △的周长为16，则有222121416AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==，则4a =，又由其离心率2c e a ==，则c =2221688b a c =-=-=， 又由其焦点在x 轴上，则其标准方程为221168x y +=．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数ln y x x =+在1x =处的切线方程是 ． 【答案】210x y --=【解析】∵ln y x x =+，∴11y x'=+，∴1|112x k y =='=+=， ∴函数ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为()121y x -=-， 整理，得210x y --=．14．若数列{}n a 满足：11a =，112n n a a +=（*n ∈N ），则n S = ． 【答案】21n- 【解析】∵11a =，112n n a a +=（*n ∈N ），∴12n n a a +=，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，∴()1122112n n n S ⨯-==--．15．()214cos 102sin10︒+=︒-︒． 【答案】4 【解析】原式()2sin 10302sin 404sin 4042cos 20sin10cos10sin 20cos 20sin 40︒+︒︒︒=====︒︒︒︒︒︒．16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是 ．【答案】5⎣ 【解析】取BC 中点N ，连结1B D ，1B N ，DN ，作CO DN ⊥，连结1C O ， ∵平面1B DN ∥平面1A BM ，∴点P 在底面ABCD 内的轨迹是线段DN （动点P 在底面正方形ABCD 内，不包括边界， 故不含点N 和点D ），在1C DN △中，1C D =12DN C N ===，∴1124C DNS ==△， 过1C O DN ⊥，则当P 与O 重合时，1C P 长度取最小值，1C P ∴长度的最小值为1C O ==当P 与D 重合时，1C P 长度取最大值，∴1C P长度的最大值为1C D =，∵P 与D 不重合，∴1C P长度的取值范围是5⎣．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【答案】（1）0.025a =，平均成绩为74；（2）列联表见解析，有99%的把握认为． 【解析】（1）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=， 解得0.025a =．∵450.05550.1650.2750.3850.25950.174⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴估计这100名学生的平均成绩为74．（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有()1000.250.11000.3535⨯+=⨯=人，由此可得完整的22⨯列联表：∵2K 的观测值()2100102525409009.890 6.6353565505091k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．18．（12分）等差数列{}n a 的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数， 求此数列的公差d 及前n 项和n S ．【答案】4d =-，2252n S n n =-．【解析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，d ∈Z ， 又由{}n a 的首项为23，第6项为正数，从第7项起为负数， 则有7623602350a d a d =+<⎧⎨=+>⎩，解之得232356d -<<-，又由公差为整数，则4d =-，则()11427n a a n d n =+-=-+，则()122522n n a a n S n n +⨯==-．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，2DC =，2AD =，2AB =，90DABADC ∠=∠=︒，PB =PDC △为等边三角形．（1）证明：PD BC ⊥； （2）求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）证明：∵在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，222DC AD AB ===，90DAB ADC ∠=∠=︒，PB =PDC △为等边三角形．∴BC BD ===222BD BC CD +=，222PB BC PC +=，∴BD BC ⊥，PB BC ⊥，∵BD PB B =I ，∴BC ⊥平面PBD ， ∵PD ⊂平面PBD，∴PD BC ⊥． （2）∵222BD PB PD +=，∴PB BD ⊥，以B 为原点，BC为x 轴，BD 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，(P，()D，)C， (0,0,PB =u u u r，(PD =u u u r ，PC =u uu r，设平面PDC 的法向量(),,x y z =n ，则00PD PC ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u ru u u r n n ，取1z =，得()1,1,1=n ， ∴点B 到平面PCD 的距离为3PB d ⋅===u u u r n n 20．（12分）已知函数()()12ln 2f x a x ax x=-++（0a <）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的()3,2a ∈--，1x ，[]12,1,3x x ∈，()()()12ln32ln3m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）133m ≤-． 【解析】（1）函数的定义域为()0,+∞，()()()()2222221211212a x ax x ax a f x a x x x x -+--+-'=+-==， 令()0f x '=，得到12x =或1x a=-（0a <）， 借助分子函数的图象，我们可以轻松判断其单调性，当112a -<且0a <，即2a <-时，10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减；11,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减．当112a ->且0a <，即20a -<<时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减； 11,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增；1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减．当112a -=且0a <，即2a =-时，()0,x ∈+∞，()0f x '≤恒成立，当且仅当12x =时取得等号，故()f x 单调递减．综上所述，当2a <-时，函数()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增； 当20a -<<时，函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增；当2a =-时，函数()f x 在()0,+∞上单调递减．（2）由（1）可知，当()3,2a ∈--时，()f x 在[]1,3上单调递减，故()()()()()12max113212ln 363f x f x f f a a a -=-=+---- ()242ln 33a a =---+，由()()()12ln32ln3m a f x f x +->-恒成立， 即()()()12maxln32ln3m a f x f x +->-，故()()2ln 32ln 342ln 33m a a a +->---+，整理，得到243ma a >-+，由于0a <，即得到243m a <-+，由于32a -<<-，故132384339a -<-+<-，故133m ≤-．21．（12分）已知圆()221:232F x y ++=，点()22,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P ．（1）求证12PF PF +为定值及求动点P 的轨迹M 的方程；（2）不在x 轴上的A 点为M 上任意一点，B 与A 关于原点O 对称，直线2BF 交椭圆于另外一点D ．求证：直线DA 与直线DB 的斜率的乘积为定值，并求出该定值．【答案】（1）证明见解析，22184x y +=；（2）证明见解析，12-． 【解析】（1）圆()221:232F x y ++=的圆心为()12,0F -，半径为1112PF PF PF PQ QF R +=+===为定值．且124F F >=，可得动点P 的轨迹为椭圆，设标准方程为22221x y a b+=（0a b >>），可得a =2c =，2224b a c =-=，故所求动点P 的轨迹M 的方程为22184x y +=． （2）证明：设()11,A x y ，()22,D x y ，则()11,B y x --，2221212122212121DA DBy y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=---⋅， ∵A D ，都在椭圆上，∴221128x y +=，222228x y +=，∴()22222221212111144222y y x x x x -=---⎛⎫ ⎪=-⎭-⎝， ∴12DA DB k k =-⋅， 则直线DA 与直线DB 的斜率的乘积为定值，且为12-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=． （1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于M ，N 两点，求22PMPN +的值．【答案】（120y +-=，23x y =；（2）90．【解析】（1）直线1C的参数方程为23x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），消去t20y +-=．由2cos 3sin ρθθ=，得22cos 3sin ρθρθ=，代入cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为23x y =．（2）将直线1C的参数方程323x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入23x y =，得2180t --=，设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=1218t t =-， ∴()2221212290PM PNt t t t +=+-=．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设x y z ∈R ，，，且1x y z ++=．（1）求()()()222111x y z -++++的最小值； （2）若()()()2221213x y z a -+-+≥-成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）证明见解析． 【解析】（1）x y z ∈R ，，，且1x y z ++=，由柯西不等式可得()()()()()22222221111111114x y z x y z ⎡⎤++-++++≥-++++=⎣⎦，可得()()()22241113x y z -+++≥+， 即有()()()222111x y z -++++的最小值为43． （2）证明：由1x y z ++=，柯西不等式可得()()()()()()2222222211121212x y z a x y z a a ⎡⎤++-+-+-≥-+-+-=+⎣⎦，可得()()()()22222213a x y z a -≥+-+-+，即有()()()22221x y z a -+-+-的最小值为()223a +，由题意可得()22133a +≥，解得1a ≥-或3a ≤-．。

2020年全国高考数学临考押题试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D12已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D135已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D199将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82820（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D1【分析】利用复数的运算法则、复数相等可得a，b，再利用模的计算公式即可得出【解答】解：（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，化为：2+a+（2a﹣1）i＝3+bi，∴2+a＝3，2a﹣1＝b，解得a＝1，b＝1∴z＝1+i，则|z|＝＝，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}【分析】求出集合A，B，再由交集的定义求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝}＝{x|x≤0}，∴A∩B＝{﹣1，0}故选：D【点评】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算能力，是基础题32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数【分析】根据题中给出的图形中的数据，对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：由题意，2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重都在39%～40.8%，故选项A正确；2015年至2019年每年第一产业增加值占国内生产总值比重先下降后上升，但无法据此判断第一产业产值是否在下降，故选项B错误；第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加，第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数，故选项C，D正确故选：B【点评】本题考查了条形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D13【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出首项a1和公差d，即可求出a10的值【解答】解：等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，所以，解得a1＝3，d＝1，所以a n＝3+（n﹣1）×1＝n+2，a10＝10+2＝12故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式应用问题，是基础题5已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得cos（2α﹣）＝，进而根据诱导公式即可化简求解【解答】解：因为sin2（）＝＝，可得cos（2α﹣）＝，所以sin（）＝sin[+（2α﹣）]＝cos（2α﹣）＝故选：A【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a【分析】判断a＜0，由幂函数y＝x0.2的单调性得出0.70.2＞0.30.2，由指数函数y＝0.3x 的单调性得出0.30.2＞0.30.5，判断b＞c＞0，即可得出结论【解答】解：因为a＝5＝﹣log35＜0，由幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上是单调增函数，且0.7＞0.3，所以0.70.2＞0.30.2，又指数函数y＝0.3x是定义域R上的单调减函数，且0.2＜0.5，所以0.30.2＞0.30.5，所以0.70.2＞0.30.5＞0，即b＞c＞0所以b＞c＞a故选：D【点评】本题考查了根据函数的单调性判断函数值大小的应用问题，是基础题7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】x2﹣mx+4＞0对于∀x∈[3，+∞）恒成立，可得m＜x+，求出x+的最小值，可得m的取值范围，再根据充要条件的定义即可判断【解答】解：∵x∈[3，+∞），由x2﹣mx+4＞0x＞0，得m＜x+，∵当x∈[3，+∞）时，x+≥，当x＝3时，取得最小值∴m＜，∵{m|m＜4}⫋{m|m}∴“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式恒成立问题和充要条件的判断，属于基础题8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D19【分析】根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，由AB＝CD得到弦心距OE＝OF，可得出四边形EMFO 为正方形，由M与O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM的长，即为正方形的对角线长，求出正方形的边长OE，由圆的方程找出半径r，得OA的长，在直角三角形AOE中，由OA与OE的长，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AB与CD的长，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，即可求出四边形ACBD的面积【解答】解：由x2﹣2x+y2﹣15＝0，得（x﹣1）2+y2＝16，则圆心坐标为O（1，0），根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB＝CD，∴四边形EMFO为正方形，又M（﹣1，3），∴|OM|＝，∴|OE|＝×＝，又|OA|＝4，∴根据勾股定理得：|AE|＝，∴|AB|＝|CD|＝2|AE|＝，则S四边形ACBD＝|AB|•|CD|＝19故选：D【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，两点间的距离公式，以及对角线互相垂直的四边形面积求法，当直线与圆相交时，常常由垂径定理根据垂直得中点，然后由弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，是中档题9将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z【分析】首先利用关系式的平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，进一步利用正弦函数的性质的应用求出结果【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx+ω+φ）的图象，因为函数y＝g（x）的周期为π＝，可得ω＝2，所以g（x）＝sin（2x++φ），因为函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，且g（x）是由f（x）的图像向左平移个单位长度得到，所以f（x）的一条对称轴为x＝+＝，所以2×+φ＝kπ+，k∈Z，解得φ＝kπ﹣，k∈Z，因为|φ|＜，可得φ＝，可得f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，函数y＝f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）【分析】设出点P的坐标，根据椭圆方程求出左右焦点的坐标，然后利用点P在椭圆上以及点P满足的向量关系联立求出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立不等关系，进而可以求解【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），则x0＞0，y0＞0，由椭圆的方程可得：a2＝30，b2＝5，则c＝，所以F1（﹣5，0），F2（5，0），则＝（﹣5﹣x0，﹣y0）•（5﹣x0，﹣y0）＝x…①又…②，联立①②解得：x（负值舍去），所以点P的坐标为（2，1），则点P到直线AB的距离为d＝＝，解得﹣10，即实数m的取值范围为（﹣10，0），故选：C【点评】本题考查了椭圆的性质以及向量的坐标运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D【分析】取AD中点M，连接PM，ON，MN，求解三角形证明OM＝MA＝MD＝MP，说明三棱锥P﹣AOD的外接球的球心O，在PM上，求出外接球的半径，然后求解外接球的体积【解答】解：如图，取AD中点M，连接PM，∵平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA＝PD＝3，AD＝2，所以M为底面△AOD的外心，PM⊥平面AOD，所以三棱锥P﹣AOD的外接球的球心在PM上，球心为O，设球的半径为R，PM＝＝2，所以R2＝（2R）2+12，解得R＝，∴PD⊥AD，PD⊥ON，三棱锥P﹣AOD的外接球的体积：＝故选：D【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m【分析】利用极值点的定义，结合题意得到方程f'（x）＝0有两个正解，从而求解得出正确结论【解答】解：∵函数的定义域为：x∈（0，+∞），∴函数有两个极值点，即得f'（x）＝0有两个正解，∵f'（x）＝∴方程x2﹣x﹣m＝0有两个正解x1，x2，故有x1+x2＝1，即得B正确；根据题意，可得△＝1+4m＞0⇒m＞，且有x1•x2＝﹣m＞0⇒m＜0所以可得＜m＜0，故D正确；又因为根据二次函数的性质可知，函数y＝x2﹣x﹣m的对称轴为x＝，由上可得0＜x1＜，＜x2＜1，故C正确；∴﹣ln2＜lnx2＜0，∴x1+lnx2∈（﹣ln2，），故A错误故选：A【点评】本题考查函数极值点的定义，以及函数零点与方程的根的关系属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝﹣4【分析】根据y＝f（x）+3是R上的奇函数，并且f（1）＝﹣2即可得出f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），然后解出f（﹣1）即可【解答】解：∵y＝f（x）+3是R上的奇函数，且f（1）＝﹣2，∴f（﹣1）+3＝﹣[f（1）+3]，即f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），解得f（﹣1）＝﹣4 故答案为：﹣4【点评】本题考查了奇函数的定义，考查了计算能力，属于基础题14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为【分析】根据条件可得出，进而可求出的值，从而可得出与的夹角【解答】解：∵，∴，∴，且，∴，且，∴故答案为：【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为【分析】由|OA|＝c，得到AF1⊥AB，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a，c的关系，进而得到离心率【解答】解：设双曲线的半焦距为c，由|OA|＝＝c＝|OF1|+|OF2|，可得AF1⊥AB，由|BF1|＝5a，可得|BF2|＝5a﹣2a＝3a，设|AF1|＝m，可得|AF2|＝m+2a，|AB|＝m+3a，由直角三角形ABF1，可得（m+3a）2+（m+2a）2＝（5a）2，化为m2+5ma﹣6a2＝0，解得m＝a，则|AF1|＝3a，|AF2|＝a，所以（3a）2+a2＝（2c）2，即为c＝a，则离心率e＝＝故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及勾股定理法运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为1010【分析】根据已知关系式推出，然后利用累乘法求出a n，再利用裂项相消法求出S n，进而可以求解【解答】解：由已知（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），则（2n2﹣n﹣1）a，即（2n+1）（n﹣1）a n＝（2n﹣3）（n﹣1）a n﹣1，所以，则a×＝＝，则S＝，因为S，则，解得n，所以n的最小值为1010，故答案为：1010【点评】本题考查了数列的递推式的应用，涉及到利用累乘法求解数列的通项公式以及裂项相消求和的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；（2）由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式可求【解答】解：（1）因为a＝b cos C+c，所以sin A＝sin B cos C+sin C＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，即sin C＝sin C cos B，因为sin C＞0，所以cos B＝，由B∈（0，π）得B＝；（2）由余弦定理得b2＝9＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，故ac≤9，△ABC面积S＝＝故面积的最大值【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积【分析】（1）由已知可得D1D⊥平面ABCD，则D1D⊥BC，再证明BC⊥BD，由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面BDD1；（2）由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，求得DD1＝5，再由棱锥体积公式求四棱锥D1﹣ABCD的体积【解答】（1）证明：已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，则D1D⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴D1D⊥BC，在直角梯形ABCD中，过B作BE⊥CD，则BE＝AD＝2，CE＝DC﹣DE＝DC﹣AB＝4，∴BC＝，BD2＝AD2+AB2＝5，∴BC2+BD2＝CD2，即BC⊥BD，∵BD∩DD1＝D，∴BC⊥平面BDD1；（2）解：由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，且tan∠D1BD＝，则DD1＝5∴四棱锥D1﹣ABCD的体积V＝【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【分析】（1）求出平均值，由72与平均值比较大小得结论；（2）由题意填写2×2列联表，再求出K2的观测值k，与临界值表比较得结论；（3）利用分层抽样求出8人中文理科所占人数，再由古典概型概率计算公式求解【解答】解：（1）由表可得高三600名文科生的成绩的平均值为：＝70，∴某文科生72分的成绩达到该校高三年级文科生的平均水平；（2）2×2列联表：文科理科总计较好掌握125 75 200非较好掌握475 725 1200 总计600 800 1400 K2的观测值k＝≈36.762＞10.828，故有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”；（3）由分层抽样方法从200名学生中抽取8名，文科所占人数为人，则理科有3人在8人中随机抽取2人，2人中至少有1人学理科的概率为P＝＝【点评】本题考查频率分布表，考查独立性检验，训练了古典概型概率的求法，是中档题20（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值【分析】（1）由抛物线的定义和范围，可得|PF|的最小值为，可得所求抛物线的方程；（2）设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件，求得|DF|，即可得到定值【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，设P（x0，y0），x0≥0，可得x0+的最小值为＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）证明：设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以AB的中点坐标为（1+2m2，2m），AB的垂直平分线方程为y﹣2m＝﹣m（x﹣1﹣2m2），令y＝0，解得x＝2+2m2，即D（3+2m2，0），|DF|＝2（1+m2），又|AB|＝x1+x2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，则为定值【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【分析】（1）f′（x）＝1﹣cos x，可得f′（π），又f（π）＝π，利用点斜式即可得出曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0多次利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣cos x，f′（π）＝1﹣cosπ＝2，又f（π）＝π﹣sinπ＝π，∴曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣π＝2（x﹣π），即y＝2x ﹣π（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0 g′（x）＝1﹣cos x﹣x2＝h（x），h（0）＝0，x∈（0，π），h′（x）＝sin x﹣x＝u（x），u（0）＝0，x∈（0，π），u′（x）＝cos x﹣1＜0，x∈（0，π），∴u（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴h′（x）＝u（x）＜u（0）＝0，∴h（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴g′（x）＝h（x）＜h（0）＝0，∴函数g（x）在x∈（0，π）单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0∴x﹣sin x﹣x3＜0，即当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，再利用三角函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果（2）利用直线与圆的位置关系和一元二次方程根和系数关系式的应用求出直线的方程【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝4，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ﹣3＝设曲线上的点的坐标为P（2cosθ，1+2sinθ），原点的坐标为O（0，0），所以，当（k∈Z）时，|PO|max＝3（2）直线l的参数方程为（t为参数），转换为极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），由于直线与圆相交，故，整理得ρ2﹣2ρsinα﹣3＝0，所以ρA+ρB＝2sinα，ρAρB＝﹣3，故|OA|+|OB|＝＝，整理得sinα＝0，所以直线与x轴平行，故直线的方程为y＝0【点评】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）把a＝3代入函数解析式，然后根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据绝对值不等式性质可得f（x）≥|a+2|，把不等式f（x）≥2a，对任意x∈R 恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，然后求出a的取值范围【解答】解：（1）把a＝3代入f（x）＝|x+2|+|x﹣a|，可得f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝，当x≤﹣2时，f（x）≥6等价于﹣2x+1≥6，解得x≤，则x≤﹣，当﹣2＜x＜3时，f（x）≥6等价于5≥6，此式不成立，当x≥3时，f（x）≥6等价于2x﹣1≥6，解得x，则x综上，不等式f（x）≥6的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣a|＝|x+2|+|a﹣x|≥|x+2+a﹣x|＝|a+2|，∴不等式f（x）≥2a，对任意x∈R恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，若2a＜0，即a＜0，则不等式|a+2|≥2a成立，若2a≥0，即a≥0，则a2+4a+4≥4a2，即3a2﹣4a﹣4≤0，解得≤a≤2，则0≤a≤2综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题。

绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（二）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设22i1iz -=+，则z =（ ） A ．2B ．2C ．5D ．32．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()A B =R I ð（ ） A ．{}1x x >-B ．{}11x x -<≤C ．{}11x x -<<D ．{}12x x <<3．若122a =，ln 2b =，1lg 2c =，则有（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >>4．设a b ，是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>．其中能推出“a b ，中至少有一个大于1”的条件是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．③此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．已知定义在R 上的偶函数()()e sin xf x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ<<π）的部分图象如图所示，设0x 为()f x 的极大值点，则0cos x ω=（ ）A．5B．5C ．35D ．456．从随机编号为0001，0002，L ，1500的1500名参加这次南昌市四校联考期末测试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（ ）A ．1466B ．1467C ．1468D ．14697．已知()()3cos 222sin 3cos 5αααπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π-+-，则tan α=（ ）A ．6-B ．23-C ．23D ．68．设向量，，a b c 满足++=0a b c ，()-⊥a b c ，⊥a b ，若1=a ，则222++=a b c （ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1310．已知双曲线221mx ny +=与抛物线28y x =有共同的焦点F ，且点F 到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -= B ．2213y x -= C ．2215x y -= D ．2215y x -=11．在ABC △中，角,A B C ，所对的边分别为a b c ，，，6A =π，4B =π，a =b =（ ）A ．BC ．D ．12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12F F ，在x 轴上，离心率为2， 过1F 的直线l 交椭圆于A B ，两点，且2ABF △的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）A ．22184x y += B ．221164x y += C ．221816x y += D ．221168x y +=第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数ln y x x =+在1x =处的切线方程是 ．14．若数列{}n a 满足：11a =，112n n a a +=（*n ∈N ），则n S = ．154cos 102sin10=︒-︒． 16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？参考公式及数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．18．（12分）等差数列{}n a的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数，求此数列的公差d及前n项和n S．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，2DC =，2AD =，2AB =，90DAB ADC ∠=∠=︒，PB =PDC △为等边三角形．（1）证明：PD BC ⊥； （2）求点B 到平面PCD 的距离．20．（12分）已知函数()()12ln 2f x a x ax x=-++（0a <）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的()3,2a ∈--，1x ，[]12,1,3x x ∈，()()()12ln32ln3m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知圆()221:232F x y ++=，点()22,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P ．（1）求证12PF PF +为定值及求动点P 的轨迹M 的方程；（2）不在x 轴上的A 点为M 上任意一点，B 与A 关于原点O 对称，直线2BF 交椭圆于另外一点D ．求证：直线DA 与直线DB 的斜率的乘积为定值，并求出该定值．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设22i1iz -=+，则z =（ ）A B ．2C D ．3【答案】B【解析】∵22i1i z -=+，∴22i 22i 21i 1i z --====++． 2．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()A B =R I ð（ ） A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤C ．{}11x x -<<D ．{}12x x <<【答案】B【解析】{}1A x x =≤R ð，{}12B x x =-<<，∴(){}11A B x x =-<≤R I ð． 3．若122a =，ln 2b =，1lg 2c =，则有（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】A【解析】122a =Q ，ln 2b =，1lg2c =，∴1221a ==>，0ln1ln 2lne 1b =<=<=，1lglg102c =<=， ∴a b c >>．4．设a b ，是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>．其中能推出“a b ，中至少有一个大于1”的条件是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．③【答案】D 【解析】若12a =，23b =，则1a b +>，但1a <，1b <， 故①推不出“a b ，中至少有一个大于1”；若1a =，1b =，则2a b +=，故②推不出“a b ，中至少有一个大于1”； 若2a =-，3b =-，则222a b +>，故④推不出“a b ，中至少有一个大于1”； 对于③，若2a b +>，则a b ，中至少有一个大于1， 假设1a ≤且1b ≤，则2a b +≤与2a b +>矛盾， 因此假设不成立，a b ，中至少有一个大于1，综上所述：能推出“a b ，中至少有一个大于1”的条件是③．5．已知定义在R 上的偶函数()()e sin xf x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ<<π）的部分图象如图所示，设0x 为()f x 的极大值点，则0cos x ω=（ ）A B C ．35D ．45【答案】B【解析】依题意，函数()sin y x ωϕ=+为偶函数， 又0ϕ<<π，故2ϕ=π，由图象可知，3044f f π⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎝⎭π⎭，可得2ω=， ∴()e cos2xf x x =，由函数()f x 为偶函数，故只需考虑0x ≥的情况，当0x ≥时，()e cos2xf x x =，()()()e cos22sin cos 2x x f x x x x β'=-=+，sin 5β=，cos 5β=， 当222x k βπ+=+π，k ∈Z 时，()f x 有极大值，故0cos 2cos sin 25x ββπ⎛⎫⎪⎭==⎝=-． 6．从随机编号为0001，0002，L ，1500的1500名参加这次南昌市四校联考期末测试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是（ ）A ．1466B ．1467C ．1468D ．1469【答案】C【解析】样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068， 则样本间隔为681850-=，则共抽取15005030÷=， 则最大的编号为1850291468+⨯=．7．已知()()3cos 222sin 3cos 5αααπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π-+-，则tan α=（ ）A ．6-B ．23-C ．23D ．6【答案】D【解析】由()()3cos 222sin 3cos 5αααπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π-+-，得sin 22sin 3cos 5ααα=+， 即tan 22tan 35αα=+，tan 6α=．8．设向量，，a b c 满足++=0a b c ，()-⊥a b c ，⊥a b ，若1=a ，则222++=a b c （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】∵⊥a b ，1=a ，∴设()1,0=a ，()0,b =b ，(),x y =c ，且++=0a b c ， ∴()()1,0,0x y b ++=，∴1x =-，y b =-， ∴()1,b =--c ，且()1,b -=-a b ，()-⊥a b c ， ∴()210b -⋅=-+=a b c ，∴21b =，∴22222114b b ++=+++=a b c ．9．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．13【答案】A【解析】模拟程序的运行，可得0i =，1S =，0P =； 满足条件4i <，执行循环体，1i =，1t =，1S =，1P =； 满足条件4i <，执行循环体，2i =，1t =，2S =，1P =； 满足条件4i <，执行循环体，3i =，2t =，3S =，2P =； 满足条件4i <，执行循环体，4i =，3t =，5S =，3P =， 此时，不满足条件4i <，退出循环，输出S 的值为5．10．已知双曲线221mx ny +=与抛物线28y x =有共同的焦点F ，且点F 到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -= B ．2213y x -= C ．2215x y -= D ．2215y x -= 【答案】A【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0F ，可得双曲线221mx ny +=的右焦点为()2,0F ，化221mx ny +=为22111x y m n-=-，得21a m =，21b n =-，∴双曲线的一条渐近线方程为y x ==．由点F 到双曲线渐近线的距离等于11=，即= 又222a b c +=，即114m n-=，② 联立①②解得13m =，1n =-，∴双曲线的方程为2213x y -=． 11．在ABC △中，角,A B C ，所对的边分别为a b c ，，，6A =π，4B =π，a =b =（ ） A．B．2C．D．【答案】A【解析】利用正弦定理：∵sin sin a bA B=，∴sin 21sin 2a Bb A ===．12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12F F ，在x 轴上，离心率为2， 过1F 的直线l 交椭圆于A B ，两点，且2ABF △的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）A ．22184x y += B ．221164x y += C ．221816x y += D ．221168x y += 【答案】D【解析】根据题意，如图：2ABF △的周长为16，则有222121416AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==，则4a =，又由其离心率2c e a ==，则c =2221688b a c =-=-=， 又由其焦点在x 轴上，则其标准方程为221168x y +=．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数ln y x x =+在1x =处的切线方程是 ． 【答案】210x y --=【解析】∵ln y x x =+，∴11y x'=+，∴1|112x k y =='=+=， ∴函数ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为()121y x -=-，整理，得210x y --=．14．若数列{}n a 满足：11a =，112n n a a +=（*n ∈N ），则n S = ． 【答案】21n - 【解析】∵11a =，112n n a a +=（*n ∈N ），∴12n n a a +=， ∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，∴()1122112n n n S ⨯-==--．154cos 102sin10=︒-︒ ． 【答案】4 【解析】原式()2sin 10302sin 404sin 4042cos 20sin10cos10sin 20cos 20sin 40︒+︒︒︒=====︒︒︒︒︒︒．16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是 ．【答案】5⎣ 【解析】取BC 中点N ，连结1B D ，1B N ，DN ，作CO DN ⊥，连结1C O ， ∵平面1B DN ∥平面1A BM ，∴点P 在底面ABCD 内的轨迹是线段DN （动点P在底面正方形ABCD 内，不包括边界，故不含点N 和点D ），在1C DN △中，1C D =1DN C N ===∴112C DNS ==△， 过1C O DN ⊥，则当P 与O 重合时，1C P 长度取最小值，1C P ∴长度的最小值为12C O ==， 当P 与D 重合时，1C P 长度取最大值，∴1C P长度的最大值为1C D =∵P 与D 不重合，∴1C P长度的取值范围是⎣．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动． 现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【答案】（1）0.025a =，平均成绩为74；（2）列联表见解析，有99%的把握认为． 【解析】（1）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=， 解得0.025a =．∵450.05550.1650.2750.3850.25950.174⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴估计这100名学生的平均成绩为74．（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有()1000.250.11000.3535⨯+=⨯=人，由此可得完整的22⨯列联表：∵2K 的观测值()2100102525409009.890 6.6353565505091k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．18．（12分）等差数列{}n a 的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数， 求此数列的公差d 及前n 项和n S ．【答案】4d =-，2252n S n n =-．【解析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，d ∈Z ， 又由{}n a 的首项为23，第6项为正数，从第7项起为负数，则有7623602350a d a d =+<⎧⎨=+>⎩，解之得232356d -<<-，又由公差为整数，则4d =-， 则()11427n a a n d n =+-=-+，则()122522n na a n S n n +⨯==-．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，2DC =，2AD =，2AB =，90DAB ADC ∠=∠=︒，PB =PDC △为等边三角形．（1）证明：PD BC ⊥； （2）求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：∵在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，222DC AD AB ===，90DAB ADC ∠=∠=︒，PB =PDC △为等边三角形．∴BC BD ===222BD BC CD +=，222PB BC PC +=，∴BD BC ⊥，PB BC ⊥，∵BD PB B =I ，∴BC ⊥平面PBD ， ∵PD ⊂平面PBD ，∴PD BC ⊥． （2）∵222BD PB PD +=，∴PB BD ⊥，以B 为原点，BC 为x 轴，BD 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B，(P，()D，)C，(0,0,PB =u u u r，(PD =u u u r，PC =u u u r，设平面PDC 的法向量(),,x y z =n ，则00PD PC ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u r u u u r n n ，取1z =，得()1,1,1=n ， ∴点B 到平面PCD的距离为3PB d ⋅===u u u r n n 20．（12分）已知函数()()12ln 2f x a x ax x=-++（0a <）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的()3,2a ∈--，1x ，[]12,1,3x x ∈，()()()12ln32ln3m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）133m ≤-． 【解析】（1）函数的定义域为()0,+∞，()()()()2222221211212a x ax x ax a f x a x x x x -+--+-'=+-==， 令()0f x '=，得到12x =或1x a=-（0a <）， 借助分子函数的图象，我们可以轻松判断其单调性， 当112a -<且0a <，即2a <-时，10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减；11,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减．当112a ->且0a <，即20a -<<时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减； 11,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增；1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减．当112a -=且0a <，即2a =-时，()0,x ∈+∞，()0f x '≤恒成立， 当且仅当12x =时取得等号，故()f x 单调递减．综上所述，当2a <-时，函数()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增；当20a -<<时，函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增； 当2a =-时，函数()f x 在()0,+∞上单调递减．（2）由（1）可知，当()3,2a ∈--时，()f x 在[]1,3上单调递减， 故()()()()()12max113212ln 363f x f x f f a a a -=-=+---- ()242ln 33a a =---+，由()()()12ln32ln3m a f x f x +->-恒成立， 即()()()12maxln32ln3m a f x f x +->-，故()()2ln 32ln 342ln 33m a a a +->---+，整理，得到243ma a >-+， 由于0a <，即得到243m a <-+， 由于32a -<<-，故132384339a -<-+<-，故133m ≤-．21．（12分）已知圆()221:232F x y ++=，点()22,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P ．（1）求证12PF PF +为定值及求动点P 的轨迹M 的方程；（2）不在x 轴上的A 点为M 上任意一点，B 与A 关于原点O 对称，直线2BF 交椭圆于另外一点D ．求证：直线DA 与直线DB 的斜率的乘积为定值，并求出该定值．【答案】（1）证明见解析，22184x y +=；（2）证明见解析，12-．【解析】（1）圆()221:232F x y ++=的圆心为()12,0F -，半径为，1112PF PF PF PQ QF R +=+===为定值．且124F F >=，可得动点P 的轨迹为椭圆，设标准方程为22221x y a b+=（0a b >>），可得a =2c =，2224b a c =-=，故所求动点P 的轨迹M 的方程为22184x y +=． （2）证明：设()11,A x y ，()22,D x y ，则()11,B y x --，2221212122212121DA DB y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=---⋅， ∵A D ，都在椭圆上，∴221128x y +=，222228x y +=， ∴()22222221212111144222y y x x x x -=---⎛⎫ ⎪=-⎭-⎝， ∴12DA DB k k =-⋅， 则直线DA 与直线DB 的斜率的乘积为定值，且为12-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=．（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于M ，N 两点，求22PMPN +的值． 【答案】（120y +-=，23x y =；（2）90． 【解析】（1）直线1C的参数方程为323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），消去t20y +-=．由2cos 3sin ρθθ=，得22cos 3sin ρθρθ=，代入cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为23x y =．（2）将直线1C的参数方程2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入23x y =，得2180t --=， 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=1218t t =-， ∴()2221212290PM PN t t t t +=+-=．。