高等代数论文
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关于一道硕士研究生的入学试题的推广江 飞莆田学院 数学系 01级数学与应用数学专业 福建 莆田 351100关键词：特征根，共轭特征根，矩阵的迹。
摘 要： 2004年的漳州师范学院硕士研究生入学高等代数试卷中有一道关于实对称阵的迹的不等式的试题，本文证明了这个不等式对一般的实矩阵也成立的，同时给出了其等号成立的充要条件。
中图分类号:O 151.210引言设n n R ⨯表示所有的n 阶实矩阵的集合；2() (1k k k A a b i i λ=+=-，,k k a b R ∈,1,2, ,k n = ）为实矩阵A 的所有特征根；若特征根不是实数就称为非实的特征根；记(),(),()S A L A Z A 分别表示A 的所有实部为正的特征根之和，所有实部为负的特征根之和以及所有实部为零的特征根之和。
记22()(())S A S A =。
漳州师范学院2004年硕士研究生入学的高等代数试题（第九题）(为讨论方便称为命题)，如下：命题 设A 是个n 阶实对称方阵，()Tr A 是A 的迹（即A 的主对角线上所有元素之和），()S A 是A 的所有正特征根之和。
证明：222()()(2()())()S A Tr A S A Tr A Tr A ≥+- (1)并且等号成立，当且仅当①A 是零矩阵，或②A 相似于对角矩阵(,0,00) d i a g a a ≠，或③A 合同于对角矩阵(1,1,00d i a g - 。
”这是近几年高等代数考研题中比较新颖的题目，本文将推广这个命题。
2预备知识首先先证明以下三个引理：引理1 n n A R ⨯∈，则有复可逆阵P 满足11()0()n A P AP A λλ-*⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)上述等式的右边矩阵为“上三角形”矩阵，主对角线以下的元素都是零。
（见文[1]）引理2 设n nA R⨯∈，则：121210(,nm m k k k a b m m ==∑其中为非负整数为奇整数)。
证明：实矩阵的特征多项式是实系数多项式，故A 的非实的特征根必是成共轭出现的，并且非实的特征根的个数为偶数。
不失一般性,对A 的所有特征根进行如下编号：记A 的所有实特征根为：(),0,1,,k k k k A k m b b a i λ=+== ，则n m -必是偶数。
记A 的一切非实的特征根为：()m k m k m k A a b i λ+++=+，222()n m n m n m m k m k m k A a b i λ---++++++=+，其中n m m k m k a a -+++=，2n m m k m kb b -+++=-，1,,2n m k -= ；从而知：112222,m m m m m k n mm k n mm km k a a b b +-+-++++==-，1,,2n m k -= ，这样： 2212121212111122n mn mnmm m m m m m m m k kk km k m kn m n mm k m kk k k k a ba baba b --++--++++=====++∑∑∑∑22121211()0n mn mm m m m m k m k m k m k k k a b a b --++++===+-=∑∑ 即：121210(,nm m k k k a b m m ==∑其中为非负整数为奇整数)。
推论1：设n n A R ⨯∈，则：10nk kk a b==∑。
(3)引理3：设n nA R⨯∈，记A 所有的实部为正的特征根为：(), 0, 1,,j j j j p p p p A i j r a b a λ=+>= ，所有实部为负的特征根为：(), 0, 1,,j j j j q q q q A i j t a b a λ=+<= ， 所有实部为零的特征根为：(), 0 , 1,, j j jj h h h h A i j s a b a λ=+== ，（其中：,,,j j j p q h 为不大于的n 自然数，,,r s t 为不大于n 的自然数，r s t n ++=），则：1()jr j p S A a ==∑，1()j j tq L A a ==∑ ，()0Z A = (4) 11()()()j jr tj j p q Tr A S A L A a a ===+=+∑∑ (5)证明：A 的实部为正的特征根可分为实部为正的实特征根和实部为正的非实的特征根这互不相交的两个类，注意到非实的特征根是成共轭出现的，因此不失一般性,对其进行如下编号：记实部为正的实特征根为：(), 1,,, 0j j j jp p p p A i j s b a b λ=+== ，r s -为偶数。
实部为正的非实的特征根为：(), s ks ks kpppA i a b λ+++=+222(), r s r s r s s ks ks k pppA i a b λ---++++++=+其中222-, , 1,,,s kr s s kr s s ks kp pppr s k s r a a b b +-+-++++==-=≤ ，从而：2222222221111111111()()()()()()r s r s r s r s s j s j r s r s r s r s r s s j rspj j j j rsj j j j j j p p p p pppj jj js js jp pppppjs js js jjS A i i i i i a b a b a b a b a a a b b a ----++++-----++==========+++++=+=+++++∑∑∑∑=+++-=∑∑∑∑∑∑同法可证：1()j jtq L A a ==∑ ，()0Z A =故结论（4）成立。
这样由(4)可得：11()()()()()()r tj j p q jjTr A S A L A Z A S A L A a a ===++=+=+∑∑即（5）式成立。
3主要结果定理１ 设n n A R ⨯∈，则有（1）式成立，且等号成立当且仅当下面之一条件成立： ①A 的所有特征根为0，或②0为A 的n-1重特征根，另一根是非零实根，或 ③0为A 的n-2重特征根，其它两个实特征根符号互异。
证明：由（4）知：22211()()2rrk k i jp p ppjjijS A a a a a ==<==+∑∑∑ （6） 22211()()2t tk k i jq q qqj jijL A a a a a ==<==+∑∑∑ （7）由()S A ，()L A 的定义知：0, 1, ; 0, 1,i j i j p p q q a a i j r a a i j t >∀≤≤>∀≤≤。
（8）由（2）知存在复可逆阵P 满足：21212()0()n A A P P A λλ-⎛⎫* ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，利用（3）式，可得：22211221112211()()()2nnik k i k nnnk k k k k k k nnkk k k Tr A A a b i a b i a b a b λ=========+∑∑=-+∑∑∑=-∑∑222222111111jjjjjnrtsrtkp q h p qk j j j j j a a a a a a ======≤=++=+∑∑∑∑∑∑这样由（6）、（7）、（8）得22222211111()jjjjrtsrtp q kp q j j k j j Tr A a a b a a ======+-≤+∑∑∑∑∑22112()jji j i j rtp q p p q q j j i ji ja a a a a a ==<<≤+++∑∑∑∑22()()S A L A =+ （9）即222()()()Tr A S A L A ≤+ （10）这样由(9),(10)和(5)得：222()()()Tr A S A L A ≤+22[()()]()Tr A S A S A =-+22()()[2()()]S A Tr A S A Tr A =--,即知（1）式成立。
下面讨论（1）不等式等号成立的充要条件：从上面证明可知（1）、（10）两个等式是等价的，注意到（9）与（10），可知（1）不等式等号成立可以归结于下面不等式等号成立：222222211111112()jjjjjj i j i j rtsrtrtp q kp q p q p p q q j j k j j j j i ji ja ab a a a a a a a a =======<<+-≤+≤+++∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （11） 在（11）式中，左边不等式等号成立时，必有210nk k b ==∑即0,1k b k n == ；右边不等式等号成立时，必有：0i j i j p p q q i ji ja a a a <<+=∑∑， （12）注意到（8）式，即知（12）等式等号成立时，两个数组 0jp a >，1,,j r = ，0j q a <，1,,j t = 各至多有一个不为零。
反之，0,1,,k b k n == ；且两数组 0jp a >，1,,j r = ，0j q a <，1,,j t= 各至多有一个不为零，（9）等式等号是显然成立。
由上述讨论可知（1）不等式等号成立，当且仅当：A 的所有特征根为零；或0为A 的1n -重特征根，另一根是非零实根；或0为A 的2n -重特征根，其它两个实特征根符号互异。
在这里顺便指出两点：1、对于（9）式，在定理1前提下是不能得到：()(())(())(1)m m mTr A S A L A m ≤+>。
比如：2阶实矩阵A 有两个特征根：2,2i i -；则444()32,()0,()0.Tr A S A L A ===从而：444()()()Tr A S A L A >+。
2、对于引理1，还有更简洁的证法：22221111()()2nnnnikkk k i k k k Tr A A a b i a b λ======-+∑∑∑∑，而A 为实矩阵，从而2A 也为实矩阵；由于2()Tr A 表示2A 主对角元素之和，则2()Tr A 必为实数，从而10nk kk a b ==∑ 。
推论：命题结论及等式成立的充要条件。
下面从定理中所获得结论进行证明。
证明：有上可知只要证明不等式（1）的等式条件成立的充要条件。
此时A 为实对称阵，存在正交阵P 满足：112(,,)n A P diag P λλλ-= , 1P P -'= (14)其中0,1,, ;0,1,, ;0,1,,i r j r t k i r j t k n t r λλλ+++>=<===-- 。
