有理数重难点题型归纳,初中数学有理数中考难题及答案详解

（易错题精选）初中数学有理数难题汇编附解析一、选择题1．如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，则点C表示的数可能是（）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】C【解析】【分析】根据相反数的几何意义：在数轴上，一组相反数所表示的点到原点的距离相等，即可确定原点的位置，进而得出点C表示的数.【详解】∵点A，B互为相反数，∴AB的中点就是这条数轴的原点，∵数轴上每相邻两点距离表示1个单位，且点C在正半轴距原点3个单位长度，∴点C表示的数为3.故选C.【点睛】本题考查了相反数和数轴的知识.利用相反数的几何意义找出这条数轴的原点是解题的关键. 2．如图，a、b在数轴上的位置如图，则下列各式正确的是（）A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a+b＞0 D．﹣b＜a【答案】B【解析】解：A、由图可得：a＞0，b＜0，且﹣b＞a，a＞b∴ab＜0，故本选项错误；B、由图可得：a＞0，b＜0，a﹣b＞0，且a＞b∴a+b＜0，故本选项正确；C、由图可得：a＞0，b＜0，a﹣b＞0，且﹣b＞a∴a+b＜0；D、由图可得：﹣b＞a，故本选项错误．故选B．3．2019-的倒数是（）A．2019 B．－2019 C．12019D．12019-【答案】C【解析】【分析】 先利用绝对值的定义求出2019-，再利用倒数的定义即可得出结果. 【详解】2019-=2019,2019的倒数为12019故选C【点睛】 本题考查了绝对值和倒数的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键.4．已知a b >，下列结论正确的是（ ） A ．22a b -<-B ．a b >C ．22a b -<-D ．22a b >【答案】C【解析】【分析】直接利用不等式的性质分别判断得出答案．【详解】A. ∵a>b ，∴a −2>b −2，故此选项错误；B. ∵a>b ，∴|a|与|b|无法确定大小关系，故此选项错误；C.∵a>b ，∴−2a<−2b ，故此选项正确；D. ∵a>b,∴a 2与b 2无法确定大小关系，故此选项错误；故选：C.【点睛】此题考查绝对值，不等式的性质，解题关键在于掌握各性质定义.5．实效m ，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）A ．m n >B ．n m ->C ．m n ->D ．m n <【答案】C【解析】【分析】从数轴上可以看出m 、n 都是负数，且m ＜n ，由此逐项分析得出结论即可．【详解】解：因为m 、n 都是负数，且m ＜n ，|m|＜|n|，A 、m ＞n 是错误的；B 、-n ＞|m|是错误的；C 、-m ＞|n|是正确的；D 、|m|＜|n|是错误的．故选：C ．【点睛】此题考查有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答．6．和数轴上的点一一对应的是（ ）A ．整数B ．实数C ．有理数D ．无理数【答案】B【解析】∵实数与数轴上的点是一一对应的，∴和数轴上的点一一对应的是实数．故选B.7．有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．a b >B ．a c a c -=-C ．a b c -<-<D ．b c b c +=+【答案】D【解析】【分析】根据数轴得出a ＜b ＜0＜c ，|b |＜|a |，|b |＜|c |，再逐个判断即可．【详解】从数轴可知：a ＜b ＜0＜c ，|b |＜|a |，|b |＜|c |．A ．a ＜b ，故本选项错误；B ．|a ﹣c |=c ﹣a ，故本选项错误；C ．﹣a ＞﹣b ，故本选项错误；D ．|b +c |=b +c ，故本选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，解答此题的关键是能根据数轴得出a ＜b ＜0＜c ，|b |＜|a |，|b |＜|c |，用了数形结合思想．8．下列说法错误的是（ ）A ．2 a 与()2a -相等B ()2a -2a -C ．3 a 3a -D ．a 与a -互为相反数【答案】D【解析】【分析】根据乘方、算术平方根、立方根、绝对值，以及相反数的定义，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：A 、()2a -=2 a ，故A 正确；B 、()22a a -=，则()2a -与2a -互为相反数，故B 正确；C 、3 a 与3a -互为相反数，故C 正确；D 、a a -=，故D 说法错误；故选：D.【点睛】本题考查了乘方、算术平方根、立方根、绝对值，以及相反数的定义，解题的关键是熟练掌握所学的定义进行解题.9．若x ＜2，化简()22x -＋|3－x|的正确结果是( ) A ．－1B ．1C ．2x －5D ．5－2x 【答案】C【解析】分析：本题利用绝对值的化简和二次根式()2a a = 的化简得出即可. 解析：∵x ＜2，∴()22x -+|3﹣x|=2352x x x -+-=- .故选D.10．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示. 若0b d +=，则下列结论中正确的是（ ）A ．0b c +>B ．1c a> C ．ad bc > D ．a d >【答案】D【解析】【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a ＜b ＜0＜c ＜d ，根据有理数的运算，可得答案．【详解】由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a ＜b ＜0＜c ＜d ，A 、b+d ＝0，∴b+c ＜0，故A 不符合题意；B 、c a ＜0，故B 不符合题意；C 、ad ＜bc ＜0，故C 不符合题意；D 、|a|＞|b|＝|d|，故D 正确；故选D ．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a ＜b ＜0＜c ＜d 是解题关键，又利用了有理数的运算．11．已知a 、b 、c 都是不等于0的数，求a b c abc a b c abc+++的所有可能的值有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据a b c 、、的符号分情况讨论，再根据绝对值运算进行化简即可得．【详解】由题意，分以下四种情况：①当a b c 、、全为正数时，原式11114=+++=②当a b c 、、中两个正数、一个负数时，原式11110=+--=③当a b c 、、中一个正数、两个负数时，原式11110=--+=④当a b c 、、全为负数时，原式11114=----=-综上所述，所求式子的所有可能的值有3个故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值运算，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．12．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +b |-2()b a -，其结果是（ ）A ．2a -B ．2aC ．2bD ．2b -【答案】A【解析】【分析】，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可．【详解】解：由数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，则a+b＜0，b-a＜0，∴原式=-（a+b）+（b-a）=-a-b+b-a=-2a，故选A．【点睛】．13．下列各组数中互为相反数的是（）A．5B．-和(-C．D．﹣5和1 5【答案】B【解析】【分析】直接利用相反数以及绝对值、立方根的定义分别分析得出答案．【详解】解：A、5，两数相等，故此选项错误；B、和-（）互为相反数，故此选项正确；C、=-2，两数相等，故此选项错误；D、-5和15，不互为相反数，故此选项错误．故选B．【点睛】本题考查了相反数以及绝对值、立方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．14．如果a+b＞0，ab＞0，那么（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0【答案】A【解析】解：因为ab＞0，可知ab同号，又因为a+b＞0，可知a＞0，b＞0．故选A．15．已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，3），且|a﹣c|+7b-=0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为20，那么a+b+c的值为（）A．12 B．15 C．17 D．20【答案】C【解析】【分析】由非负数的性质得到a=c，b=7，P（a，7），故有PQ∥y轴，PQ=7-3=4，由于其扫过的图形是矩形可求得a，代入即可求得结论．【详解】b-=0，∵且|a-c|++7∴a=c，b=7，∴P（a，7），PQ∥y轴，∴PQ=7-3=4，∴将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的图形是边长为a和4的矩形，∴4a=20，∴a=5，∴c=5，∴a+b+c=5+7+5=17，故选C.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ∥y 轴，进而求得PQ是解题的关键．16．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“6cm”分别对应数轴上表示﹣2和实数x的两点，那么x的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】根据数轴的定义进行分析即可.【详解】∵由图可知，﹣2到x之间的距离为6，∴x表示的数为：﹣2+6＝4，故选：B．【点睛】本题考查了用数轴表示实数，题目较为简单，解题的关键是根据如何根据一个已知点和两点的距离求另一个点．17．实数,a b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a b <B ．a b <C ．0a b +>D ．0a b -> 【答案】A【解析】【分析】根据数轴得a<0<b ，且a b >，再根据实数的加法法则，减法法则依次判断即可.【详解】由数轴得a<0<b ，且a b >，∴a+b<0，a-b<0，故A 正确，B 、C 、D 错误，故选：A.【点睛】此题考查数轴，实数的大小比较，实数的绝对值的性质，加法法则，减法法则.18．下列命题中，真命题的个数有（ ）①带根号的数都是无理数； ②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；③0.01是0.1的算术平方根； ④有且只有一条直线与已知直线垂直A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】【分析】开方开不尽的数为无理数；立方根等于本身的有±1和0；算术平方根指的是正数；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直.【详解】仅当开方开不尽时，这个数才是无理数，①错误；立方根等于本身的有：±1和0，②错误；19．如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【答案】C【解析】试题分析：∵点M ，N 表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O 点，∴绝对值最小的数的点是P 点，故选C ．考点：有理数大小比较．20．已知235280x y x y +--+=则xy 的值是（ ）A ．19B ．-6C ．9D ．1-6【答案】B【解析】【分析】根据非负数的应用，列出方程组，解方程组，即可求出x 、y 的值，然后得到答案.【详解】 解：∵235280x y x y +--+=，∴2350280x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， 解得：23x y =-⎧⎨=⎩， ∴236xy =-⨯=-；故选：B.【点睛】本题考查了非负数的应用，解二元一次方程组，解题的关键是正确求出x 、y 的值.。

（易错题优选）初中数学有理数难题汇编及分析一、选择题1．已知a、b两数在数轴上的地点如下图，则化简代数式| a b | |1 a | | b 1| 的结果是()A．2b B．2a C． 2D．2a2【答案】 A【分析】【剖析】依据数轴判断出绝对值符号内式子的正负，而后去绝对值归并同类项即可．【详解】解：由数轴可得，b＜ - 1＜ 1＜ a，∴a- b＞ 0， 1-a ＜ 0， b＋1＜ 0，∴ | a b | |1 a | | b1| ，a b1ab 1 ，a b1a b1，2b，应选：A．【点睛】本题考察数轴，绝对值的性质，解答本题的重点是确立绝对值内部代数式的符号．2．若( x1)22y 1 0 ，则x+y的值为（）．1B．133A．C．2D．222【答案】 A【分析】解：由题意得： x-1=0， 2y+1=0，解得： x=1，y=1，∴ x+y=111．应选 A．222点睛：本题考察了非负数的性质．几个非负数的和为0，则每个非负数都为0．3．在﹣ 3，﹣ 1， 1， 3 四个数中，比 2 大的数是（）A3B1C1 D 3【答案】 D【分析】【剖析】依占有理数比较大小的方法解答即可．【详解】解：比 2 大的数是3．应选： D．【点睛】本题考察了有理数比较大小，掌握有理数比较大小的比较方法是解题的重点．4．1的绝对值是 ( )611A．﹣ 6B． 6C．﹣D．66【答案】 D【分析】【剖析】利用绝对值的定义解答即可．【详解】1的绝对值是1，66应选 D．【点睛】本题考察了绝对值得定义，理解定义是解题的重点．5．若︱2a︱＝－ 2a，则 a 必定是 ()A．正数B．负数C．正数或零D．负数或零【答案】 D【分析】试题剖析：依据绝对值的意义，一个正数的绝对值是自己，0 的绝对值是0，一个负数的绝对值是其相反数，可知 a 必定是一个负数或0.应选 D6．以下说法错误的选项是（）22a 2 2 互为相反数A． a与 a 相等B与a ．C．3a与3 a 互为相反数D．a与 a 互为相反数【答案】 D【分析】【剖析】依据乘方、算术平方根、立方根、绝对值，以及相反数的定义，分别对每个选项进行判断，即可获得答案 .【详解】解： A、a 2= a2，故 A 正确；B、22a2互为相反数，故 B 正确；a a2，则a与C、3a 与3 a 互为相反数，故 C 正确；D、a a ，故D说法错误；应选： D.【点睛】本题考察了乘方、算术平方根、立方根、绝对值，以及相反数的定义，解题的重点是娴熟掌握所学的定义进行解题 .7．在有理数2， -1， 0，-5中，最大的数是（）A．2B．C． 0D．【答案】A【分析】【剖析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于全部负数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】依占有理数比较大小的方法可得：-5<-1<0<2，因此最大数是 2.应选 A.【点睛】本题主要考察了实数大小比较的方法，要娴熟掌握，解答本题的重点是要明确:正实数 >0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小.8．以下各数中，最大的数是（）11A．B．C．0D．-2 24【答案】 B【分析】【剖析】将四个数进行排序，从而确立出最大的数即可．【详解】1120，24则最大的数是1，4应选 B．【点睛】本题考察了有理数大小比较，娴熟掌握有理数大小比较的方法是解本题的重点．9．实数 a、 b 在数轴上的地点如下图用以下结论正确的选项是()A． a+b>a>b>a-b B．a>a+b>b>a-bC． a-b>a>b>a+b D． a-b>a>a+b>b【答案】 D【分析】【剖析】第一依据实数a，b 在数轴上的地点能够确立a、b 的取值范围，而后利用有理数的加减运算即可比较数的大小．【详解】解：由数轴上a，b 两点的地点可知，∵b ＜0， a＞ 0， |b| ＜ |a| ，设 a=6， b=-2，则 a+b=6-2=4， a-b=6+2=8，又∵ -2＜ 4＜6＜ 8，∴a-b＞ a＞ a+b＞ b．应选： D．【点睛】本题主要考察了实数与数轴之间的对应关系，解答本题的重点是依据数轴上a， b 的地点估算其大小，再取特别值进行计算即可比较数的大小．10．假如| a | a ，以下建立的是（）A．a 0B． a 0C．a 0D． a 0【答案】 D【分析】【剖析】绝对值的性质：正数的绝对值等于它自己，负数的绝对值等于它的相反数，0 的绝对值是0．【详解】假如 | a | a ，即一个数的绝对值等于它的相反数，则a0 ．应选 D．本题考察绝对值，娴熟掌握绝对值的性质是解题重点.11． 以下命题中，真命题的个数有（）① 带根号的数都是无理数； ② 立方根等于它自己的数有两个，是③ 0.01 是 0.1 的算术平方根；④ 有且只有一条直线与已知直线垂直0 和1；A ．0 个B ．1 个C ．2 个【答案】 A【分析】【剖析】开方开不尽的数为无理数；立方根等于自己的有 ±1和平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直.【详解】仅当开方开不尽时，这个数才是无理数， ① 错误；立方根等于自己的有：±1和 0，② 错误；D ．3 个0；算术平方根指的是正数；在同一12． 已知直角三角形两边长 x 、y 知足 x 24( y 2)21 0 ，则第三边长为 （ ）A ．B ． 13C ． 5或 13D ．，5或13【答案】 D【分析】【剖析】【详解】解：∵ |x 2-4| ≥0， ( y 2)2 1 ≥0，∴ x 2-4=0， ( y 2) 2 1=0，∴ x =2 或 -2（舍去）， y=2 或 3，分 3 种状况解答： ① 当两直角边是 2 时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：2222 2 2；② 当2，3 均为直角边时，斜边为2232 13 ；③ 当 2 为向来角边， 3 为斜边时，则第三边是直角， 长是32225．应选 D ．考点： 1．非负数的性质； 2．勾股定理．13． 如图，数轴上 A ， B 两点分别对应实数 a ， b ，则以下结论正确的选项是 ( )A ． b ＞aB ． ab ＞ 0C ． a ＞ bD ． | a| ＞ | b|【答案】C【剖析】本题要先察看 a ，b 在数轴上的地点，得 b ＜ -1＜ 0＜ a ＜ 1，而后对四个选项逐个剖析．【详解】A 、∵ b ＜﹣ 1＜ 0＜ a ＜ 1，∴ b ＜ a ，应选项 A 错误；B 、∵ b ＜﹣ 1＜ 0＜ a ＜ 1，∴ ab ＜ 0，应选项 B 错误；C 、∵ b ＜﹣ 1＜ 0＜ a ＜1，∴ a ＞ b ，应选项 C 正确；D 、∵ b ＜﹣ 1＜ 0＜ a ＜ 1，∴ | b| ＞ | a| ，即 | a| ＜ | b| ，应选项 D 错误．应选 C ．【点睛】本题考察了实数与数轴的对应关系，数轴上右侧的数老是大于左侧的数．14． 数轴上 A ，B ， C 三点所表示的数分别是 a ， b ， c ，且知足 | c b || a b | | a c | ，则 A ， B ，C 三点的地点可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】 C【分析】【剖析】由 A 、 B 、C 在数轴上的地点判断出 a 、 b 、 c 的大小关系，依据绝对值性质去绝对值符号，判断左右两边能否相等即可 .【详解】当 a ＜ c ＜ b 时， | c b | | a b | b ca b ac， 180°-66?38=113?22′′，此选项错误；B 、当 a ＜ b ＜ c 时， | c b | | a b | c b a b c a 2b ， 4 A-mB= 4 ，此项错误；C c a b 时， | c b | | a b | b c a b a c， | a c | a c ，此项正确 、当 ＜ ＜ D 、当 c ＜ b ＜ a 时， | cb | | a b | bc a bc a 2b ， | a c | a c ，此选项错误；应选 C.【点睛】本题主要考察绝对值性质:正数绝对值等于自己，0 的绝对值是0，负数绝对值等于其相反数.15．若3 a 2 b0, 则a b的值是（）A．2B、 1C、 0D、1【答案】 B【分析】试题剖析：由题意得，3﹣ a=0， 2+b=0，解得， a=3， b=﹣ 2， a+b=1，应选 B．考点： 1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．16．以下运算正确的选项是（）A． 4 =-2B．| ﹣3|=3C． 4 = 2【答案】 B【分析】【剖析】A、依据算术平方根的定义即可判断；B、依据绝对值的定义即可判断；C、依据算术平方根的定义即可判断；D、依据立方根的定义即可判断．【详解】解： A、 C、4 2 ，应选项错误；B、 | ﹣ 3|=3 ，应选项正确；D、 9 开三次方不等于3，应选项错误．应选 B．【点睛】本题主要考察了实数的运算，注意，正数的算术平方根是正数．17．有理数a,b在数轴上的地点如下图，以下说法正确的选项是（A．a b 0B．a b 0C．ab0【答案】 D【分析】【剖析】由图可判断a、 b 的正负性， a、 b 的绝对值的大小，即可解答．【详解】依据数轴可知：-2＜a＜ -1，0＜ b＜ 1，D．39=3）D．b a∴a+b＜ 0， |a| ＞|b| ， ab＜0， a-b＜ 0．因此只有选项 D 建立．应选： D．【点睛】本题考察了数轴的相关知识，利用数形联合思想，能够解决此类问题．数轴上，原点左侧的点表示的数是负数，原点右侧的点表示的数是正数．18．以下各数中，绝对值最大的数是（）A．1B．﹣ 1C． 3.14D．π【答案】D【分析】剖析：先求出每个数的绝对值，再依据实数的大小比较法例比较即可．详解：∵ 1、 -1、 3.14、π的绝对值挨次为1、1、 3.14、π，∴绝对值最大的数是π，应选 D．点睛：本题考察了实数的大小比较和绝对值，能比较实数的大小是解本题的重点．19．小麦做这样一道题“计算 3 W”、此中“□”是被墨水污染看不清的一个数，他打开后面的答案，得悉该题计算结果是8，那么”□”表示的数是()A．5B． -5C． 11D．-5 或11【答案】D【分析】【剖析】依据绝对值的性质求得结果，采纳清除法判断正确选项．【详解】解：设”□”表示的数是x，则| （ -3） +x|=8 ，∴-3+x=-8 或-3+x=8，∴x=-5 或 11．应选：D．【点睛】本题考察了绝对值的运算 ,掌握 : 一个正数的绝对值是它自己；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0．20．在数轴上，与原点的距离是 2 个单位长度的点所表示的数是（）1A．2B．2C．2D．2【答案】 C【分析】【剖析】与原点距离是 2 的点有两个，是±2．【详解】解：与原点距离是 2 的点有两个，是±2．应选： C.【点睛】本题考察数轴的知识点，有两个答案．。

初中数学有理数难题汇编及答案解析一、选择题1．在–2，+3.5，0，23-，–0.7，11中．负分数有( ) A ．l 个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B【解析】根据负数的定义先选出负数，再选出分数即可．解：负分数是﹣23，﹣0.7，共2个． 故选B ．2．2019-的倒数是（ ）A ．2019B ．－2019C ．12019D ．12019- 【答案】C【解析】【分析】先利用绝对值的定义求出2019-，再利用倒数的定义即可得出结果.【详解】 2019-=2019,2019的倒数为12019故选C【点睛】 本题考查了绝对值和倒数的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键.3．如果实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）A ．a b <B ．a b >-C ．2a >-D ．b a >【答案】D【解析】【分析】根据数轴可以发现a ＜b ，且-3＜a ＜-2，1＜b ＜2，由此即可判断以上选项正确与否．【详解】∵-3＜a ＜-2，1＜b ＜2，∴|a|＞|b|，∴答案A 错误；∵a ＜0＜b ，且|a|＞|b|，∴a+b ＜0，∴a ＜-b ，∴答案B 错误；∵-3＜a ＜-2，∴答案C 错误；∵a＜0＜b，∴b＞a，∴答案D正确．故选：D．【点睛】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．4．下列四个数中，是正整数的是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．1 2【答案】C【解析】【分析】正整数是指既是正数又是整数，由此即可判定求解．【详解】A、﹣2是负整数，故选项错误；B、﹣1是负整数，故选项错误；C、1是正整数，故选项正确；D、12不是正整数，故选项错误．故选：C．【点睛】考查正整数概念，解题主要把握既是正数还是整数两个特点．5．16的绝对值是( )A．﹣6 B．6 C．﹣16D．16【答案】D【解析】【分析】利用绝对值的定义解答即可．【详解】1 6的绝对值是16，故选D．【点睛】本题考查了绝对值得定义，理解定义是解题的关键．6．－6的绝对值是（）A ．-6B ．6C ．- 16D ．16【答案】B【解析】【分析】 在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6故选B【点睛】考点：绝对值.7．﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．-13D ．13 【答案】B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B ．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.8．若关于x 的方程22(2)0x k x k +-+=的两根互为倒数，则k 的值为( ) A ．±1B ．1C ．－1D ．0 【答案】C【解析】【分析】 根据已知和根与系数的关系12c x x a =得出k 2=1，求出k 的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的k 的值．【详解】解：设1x 、2x 是22(2)0x k x k +-+=的两根，由题意得：121=x x ，由根与系数的关系得：212x x k =， ∴k 2=1，解得k =1或−1，∵方程有两个实数根，则222=(2)43440∆--=--+>k k k k ，当k =1时，34430∆=--+=-<，∴k =1不合题意，故舍去，当k =−1时，34450∆=-++=>，符合题意，∴k =−1，故答案为：−1．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及相反数的定义，熟知根与系数的关系是解答此题的关键．9．若x ＜2＋|3－x|的正确结果是( ) A ．－1B ．1C ．2x －5D ．5－2x 【答案】C【解析】a = 的化简得出即可.解析：∵x ＜2+|3﹣x|=2352x x x -+-=- .故选D.10．若a 与b 互为相反数，则下列式子不一定正确的是（ ）A ．0a b +=B ．=-a bC ．a b =D ．a b =【答案】C【解析】【分析】依据相反数的概念及性质可确定正确的式子，再通过举反例可证得不一定正确的式子．【详解】解：∵a 与b 互为相反数，∴0a b +=，∴=-a b ，∴a b =，故A 、B 、D 正确，当1a =时，1b =-，则1=b ，∴a b =；当1a =-时，1b =，则1=b ，∴a b ≠，故C 不一定正确，故选：C ．【点睛】本题考查了相反数的定义．解此题的关键是灵活运用相反数的定义判定式子是否正确．11．不论a 取什么值，下列代数式的值总是正数的是（ ）A ．1a +B ．1a +C ．2aD ．2(1)a + 【答案】B 【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质分别分析得出答案．【详解】A 、|a+1|≥0，故此选项错误；B 、|a|+1＞0，故此选项正确；C 、a 2≥0，故此选项错误；D 、（a+1）2≥0，故此选项错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了偶次方的性质以及绝对值的性质，正确把握相关定义是解题关键．12．如图数轴所示，下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．b ＞0C ．b ＞aD ．a ＞b【答案】A【解析】【分析】根据数轴，可判断出a 为正，b 为负，且a 距0点的位置较近，根据这些特点，判定求解【详解】∵a 在原点右侧，∴a ＞0，A 正确；∵b 在原点左侧，∴b ＜0，B 错误；∵a 在b 的右侧，∴a ＞b ，C 错误；∵b 距离0点的位置远，∴a ＜b ，D 错误【点睛】本题是对数轴的考查，需要注意3点：（1）在0点右侧的数为正数，0点左侧的数为负数；（2）数轴上的数，从左到右依次增大；（3）离0点越远，则绝对值越大13．下面说法正确的是( )A ．1是最小的自然数；B ．正分数、0、负分数统称分数C ．绝对值最小的数是0；D ．任何有理数都有倒数【答案】C【解析】【分析】 0是最小的自然数，属于整数，没有倒数，在解题过程中，需要关注【详解】最小的自然是为0，A 错误；0是整数，B 错误；任何一个数的绝对值都是非负的，故绝对值最小为0，C 正确；0无倒数，D 错误【点睛】本题是有理数概念的考查，主要需要注意0的特殊存在14．下列各组数中，互为相反数的组是（ ）A ．2－与()22-B ．2－与38-C ．12-与2D ．2-与2 【答案】A【解析】【分析】根据相反数的概念及性质逐项分析得出答案即可．【详解】A 、-2与()22-=2，符合相反数的定义，故选项正确；B 、-2与38-=-2不互为相反数，故选项错误；C 、12-与2不互为相反数，故选项错误； D 、|-2|=2，2与2不互为相反数，故选项错误．故选：A ．【点睛】此题考查相反数的定义，解题关键在于掌握只有符号不同的两个数互为相反数，在本题中要注意理解求|-2|的相反数就是求2的相反数，不要受绝对值中的符号的影响．15．已知a b 、两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|||1||1|a b a b ---++的结果是( )A ．2b -B ．2aC ．2D ．22a -【答案】A【解析】根据数轴判断出绝对值符号内式子的正负，然后去绝对值合并同类项即可．【详解】解：由数轴可得，b ＜−1＜1＜a ，∴a −b ＞0，1−a ＜0，b ＋1＜0，∴|||1||1|a b a b ---++，()()11a b a b =-+--+，11a b a b =-+---，2b =-，故选：A ．【点睛】本题考查数轴，绝对值的性质，解答此题的关键是确定绝对值内部代数式的符号．16．下列语句正确的是（ ）A ．近似数0．010精确到百分位B ．｜x-y ｜=｜y-x ｜C ．如果两个角互补，那么一个是锐角，一个是钝角D ．若线段AP=BP ，则P 一定是AB 中点【答案】B【解析】【分析】A 中,近似数精确位数是看小数点后最后一位;B 中,相反数的绝对值相等;C 中,互补性质的考查;D 中,点P 若不在直线AB 上则不成立【详解】A 中,小数点最后一位是千分位,故精确到千分位,错误;B 中,x －y 与y －x 互为相反数,相反数的绝对值相等,正确；C 中，若两个角都是直角，也互补，错误；D 中，若点P 不在AB 这条直线上，则不成立，错误故选：B【点睛】概念的考查，此类题型，若能够举出反例来，则这个选项是错误的17．下列各组数中互为相反数的是（ ）A ．5B ．-和(-C ．D ．﹣5和15【答案】B【解析】直接利用相反数以及绝对值、立方根的定义分别分析得出答案．【详解】解：A 、5和()25-=5，两数相等，故此选项错误； B 、-|-2|=-2和-（-2）=2互为相反数，故此选项正确；C 、-38=-2和38-=-2，两数相等，故此选项错误；D 、-5和15，不互为相反数，故此选项错误． 故选B ．【点睛】 本题考查了相反数以及绝对值、立方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．18．-14的绝对值是（ ） A ．-4B ．14C ．4D ．0.4【答案】B【解析】【分析】直接用绝对值的意义求解.【详解】 −14的绝对值是14． 故选B ．【点睛】 此题是绝对值题，掌握绝对值的意义是解本题的关键．19．实数,a b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a b <B ．a b <C ．0a b +>D ．0a b ->【答案】A【解析】【分析】根据数轴得a<0<b ，且a b >，再根据实数的加法法则，减法法则依次判断即可.【详解】由数轴得a<0<b ，且a b >，∴a+b<0，a-b<0，故A正确，B、C、D错误，故选：A.【点睛】此题考查数轴，实数的大小比较，实数的绝对值的性质，加法法则，减法法则.20．数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、1，且|a﹣1|+|b﹣1|＝|a﹣b|，则下列选项中，满足A、B、C三点位置关系的数轴为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的意义，在四个答案中分别去掉绝对值进行化简，等式成立的即为答案；【详解】A中a＜1＜b，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝1﹣a+b﹣1＝b﹣a，|a﹣b|＝b﹣a，∴A正确；B中a＜b＜1，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝1﹣a+1﹣b＝2﹣b﹣a，|a﹣b|＝b﹣a，∴B不正确；C中b＜a＜1，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝1﹣a+1﹣b＝2﹣b﹣a，|a﹣b|＝a﹣b，∴C不正确；D中1＜a＜b，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝a﹣1+b﹣1＝﹣2+b+a，|a﹣b|＝b﹣a，∴D不正确；故选：A．【点睛】本题考查数轴和绝对值的意义；熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．。

第2章《有理数》考点归纳知识梳理重难点分类解析考点1相反意义的量【考点解读】中考中对于相反意义的量的考查主要涉及用正负数表示相反意义的量，解此类题的关键是要深刻理解正数、负数的意义.例1一个物体做左右方向的运动，规定向右运动4m记作+4m，那么向左运动4m记作()A.－4mB.4mC.8mD.－8m分析:若向右运动4 m记作+4 m，则向左运动4 m记作－4 m.答案:A【规律·技法】解题时要抓住以下几点:①记住区分相反意义的量;②记住相反意义的量的表示方法.【反馈练习】1.某财务科为保密起见采取新的记账方式，以5万元为1个记数单位，并记100万元为0，少于100万元记为负，多于100万元记为正.例如:95万元记为－1,105万元记为1.依此类推，75万元应记为( )A. －3B. －4C. －5D. －6 点拨:每多5万元记为+1，每少5万元记为－1.2. (2017·苏州期末)一个物体做左右方向的运动，规定向右运动5m 记作+5m ，那么向左运 动5m 记作( )A. －5mB.5mC.10mD. －10 m 点拨:若向右为正，则向左为负. 考点2 数轴【考点解读】中考中对于数轴的考查主要涉及数轴的认识以及数形结合的思想.用数轴上的点来表示有理数，这是运用了数形结合的思想.利用数轴这一工具，加强数形结合的训练可沟通知识间的联系.例2 如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为,,,M P N Q ，若点,M N 表示的有理数互 为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是( )A.点MB.点NC.点ND.点Q 分析:因为点,M N 表示的有理数互为相反数，所以原点的位置在线段MN 的中点，所以表示绝对值最小的数的点是点P . 答案:C【规律·技法】解答与数轴有关的问题时要抓住以下几点:①记住数轴上的点与有理数的对应关系;②相反数、点与点之间的距离在数轴上的表示方法;③数轴常常与相反数、距离、绝对值结合考查. 【反馈练习】3.有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是( )A. 0a b +<B. 0a b -<C. 0ab >D. 0a b -> 点拨:先判断,a b 的正负和大小关系.4. (2017·苏州期末)有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是( )A. 0ab >B. b a <C. 0b a <<D. 0a b +>点拨:先判断,a b的正负和大小关系.考点3绝对值、相反数、倒数【考点解读】中考中对于绝对值、相反数、倒数的考查主要涉及概念的理解，因此掌握基本概念是解题关键.例3(1)(2017·盐城)－2的绝对值是( )A. 2B. －2C. 12D.12-(2)－3的相反数是，－3的绝对值是.(3) 23的倒数是.分析:根据相反数、绝对值、倒数的定义解答.符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，0的相反数是0;正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0;乘积为1的两个数互为倒数.答案:(1) A (2) 3 3 (3) 3 2【规律·技法】(1)正确理解相反数的概念是关健;(2)数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定:①当a是正数时，a的绝对值是它本身;②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数－a;③当a是零时，a的绝对值是零;(3)应熟练掌握倒数的定义，需要注意的是负数的倒数还是负数，正数的倒数还是正数，0没有倒数.【反馈练习】5.23-的相反数是( )A.23- B.23C.32- D.32点拨:符号相反、绝对值相同的两个数互为相反数.6.若a与1互为相反数，则1a+等于( )A.－1B. 0C.1D.2点拨:互为相反数的两个数的和为0.考点4有理数大小的比较【考点解读】比较有理数大小的基本方法:①绝对值法:两个正数，绝对值大的正数大;两个负数，绝对值大的负数小;②数轴法:在数轴上表示的两个有理数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.例4 (1) (2017·扬州)下列各数中，比－2小的数是()A.－3B.－1C. 0D. 1(2)下列各式中，计算结果最大的是( )A. 25 X 132－152B. 16 X 172－182C. 9 X 212－132D. 4X312－122分析:(1)比－2小的数是负数，且绝对值大于2，故只有选项A符合.(2) 25X132－152=(5X13)2－152=4 000 ;16X172－182=(4X17)2－182=4 300;9X212－132=(3X21)2－132=3 800;4X312－122=(2X31)2－122=3700.因为4300>4000>3800>3700,所以计算结果最大的式子是16X172－182. 答案:(1) A (2) B【规律·技法】解答有关有理数大小的比较问题时要抓住以下几点:①比较有理数的大小时，正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小;②比较两个有理数的大小有以下五种情况:正数与正数、正数与负数、0与正数、0与负数、负数与负数的比较. 【反馈练习】7. (2017·扬州期末)在－2,0,1,－4这四个数中，最小的数是()A. －4B. 0C. 1D. －2 点拨:负数小于0，正数大于0;两个负数，绝对值大的负数小.8. (2017·泰州期中)在数轴上把下列各数表示出来，并用“<”号连接各数: 2112.5,1,(2),(1),222----+--.点拨:先把需要化简计算的式子计算出结果，再来画数轴. 考点5 有理数的混合运算 【考点解读】 解答有关有理数运算的问题时要抓住以下几点:(1)符号的判断;(2)运算顺序的选择;(3)运算律的使用.有理数的运算在中考中一般不单独命题，常常与以后学习的实数结合命题考查.例5 (1)计算: 42201721(3)2(1)-÷---⨯-;(2)计算: 1133()33-⨯÷⨯-; (3)若2a ba b a+*=，则(42)(1)**-= . 分析:(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减;(2)先将除法运算转化为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算;(3)根据新定义计算. 4224224+⨯*==,22(1)(42)(1)2(1)02+⨯-**-=*-==. 解答:(1) 42201721(3)2(1)1682220-÷---⨯-=-÷+=-+=. (2) 111111()33()3()333339-⨯÷⨯-=-⨯⨯⨯-=. (3) 0【规律·技法】有理数混合运算:先算乘方，再算乘除，最后算加减;同级运算，应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号，要先算括号内的. 【反馈练习】9. (2017·徐州期末)计算: 2018142(3)-+-+⨯-.点拨:注意运算顺序和符号. 10.计算: 517()(24)8612--+⨯-.点拨:运用乘法分配律计算.考点6 科学记数法【考点解读】 解答有关科学记数法的问题时要抓住以下几点:①对于大于10的数，在科学记数法的表示形式10na ⨯中，110a ≤<,n 为正整数;②小数点移动的位数与指数的关系;③理解近似数的意义. 例6 据报道，2015年全国普通高考报考人数约为9 420 000人，数据9 420 000用科学记数法表示为9.42 X 10n ，则n 的值是( )A. 4B. 5C. 6D. 7 分析:对于大于10的数，科学记数法的表示形式为10na ⨯，其中110a ≤<,n 为正整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.确定10na ⨯(110a ≤<,n 为整数)中n 的值时，由于9 420 000是七位数，所以可以确定n =7-1=6. 答案:C【规律·技法】用科学记数法表示大于10的数时，确定a 与n 的值是关健.其中110a ≤<,n等于原数的整数位数减1. 【反馈练习】11. (2017·庐州)“五一”期间，某市共接待海内外游客约567 000人次，将567 000用科学 记数法表示为( )A. 567 X 103B. 56.7 X 104C. 5.67 X 105D. 0.567 X 106 点拨: 110a ≤<.12. (2017·宁波)2017年2月13日，宁波舟山港45万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮— “泰欧”轮，其中45万吨用科学记数法表示为( )A. 0.45 X 106吨B. 4.5 X 105吨C. 45 X 104吨D. 4.5 X 1 04吨 点拨:单位要统一，万吨化为吨. 易错题辨析例1 给出下列各数: ①0.363 663 666 3…(每两个3之间依次多一个6);②2.121 121 112;③355113;④3π-.其中为无理数的是 .(填序号) 错误解答:①③④ 错因分析:把355113化成小数后，误以为是无限不循环小数，其实是循环小数. 正确解答:①④易错辨析:识别无理数时，要抓住其“无限不循环”的定义.本题若忽视无理数是无限小数，就会误认为有限小数2.121 121 112是无理数;若在把分数355113化成小数时，除了几位后，没有继续除下去，会错误的判断它不是循环小数，错误地认为它是无理数.实质上，所有的分数都是有理数，不是无理数. 易错点2 忽视分类讨论例2 在数轴上，点A 表示的数是－3，那么与点A 相距5个单位长度的点表示的数是多少? 它与132-相比较，大小关系如何? 错误解答:与点A 相距5个单位长度的点表不的数是－3+5＝2，它与132-的大小关系为1322-<. 错因分析:考虑问题不全面.正确解答:如图，在数轴上，与点A 相距5个单位长度的点有,B C 两个.由点,B C 在数轴上的位置可知它们所表示的数分别为－8,2.在数轴上找到表示132-的点，观察点,B C 与表示132-的点在数轴上的位置，容易发现它们与132-之间的大小关系为13132,822>--<-. 易错辨析:一般地，在数轴上与某点相距一定单位长度的点有两个，分别位于该点的左、右两侧，不要遗漏.易错点3 乘法的分配律对除法不适用例3 计算：11(15)()53-÷- 错误解答:原式＝11(15)(15)75453053-÷--÷=-+=-.错因分析:除法没有分配律. 正确解答:原式＝215225(15)()(15)()1522-÷-=-⨯-=. 易错辨析:有的同学会错误地认为除法也有分配律，其实除法没有分配律.易错点4 幂的底数识别不清例4 计算:(1) 4(2)-= , 42-= ; (2) 32()3= , 323= .错误解答:(1)－16 －16 (2)827 827错因分析:负数的偶次幂的运算结果是正数，计算分数的幂时，注意分子、分母应分别乘方.在323中，注意是2的3次方，而不是23的3次方.(1) 4(2)-表示4个－2相乘，即它是底数为－2，指数为4的幂，所以4(2)-=16;42-表示42的相反数，即－2不是底数，所以42-=－16.(2)因为32()3表示3个23相乘，即它是底数为23，指数为3的幂，所以322228()333327=⨯⨯=.因为323表示3个2相乘的积与3的商，所以23不是底数，所以322228333⨯⨯==. 正确解答:(1) 16 －16 (2)827 83易错辨析:在进行幂的运算时，首先要区分底数和指数，然后根据幂的意义计算，得出正确结果.易错点5 混合运算顺序不清例5 计算: 23272(2)()83-÷⨯-. 错误解答:原式=2784()4(1)4827÷⨯-=÷-=-. 错因分析:易知328()327-=-，勿将“278”与“827-”结合运算，导致出错.实际上，本题中只有乘、除运算，故应从左往右按步计算. 正确解答:原式＝278882564()4()8272727729÷⨯-=⨯⨯-=-. 易错辨析:乘、除是同级运算，应遵循从左往右的计算顺序.【反馈练习】1. (2016·宜昌)给出下列各数:1.414,1.732 050 8…，13-，0，其中为无理数的是( ) A. 1.414 B. 1.732 050 8… C . 13- D. 0 点拨:无理数即为无限不循环小数.2.已知数轴上有,A B 两点，点A 与原点的距离为2, ,A B 两点间的距离为1，则满足条件的 点B 所表示的数为 . 点拨:注意分类讨论.3.计算:(1) 23(2)(1)4-⨯-; (2) 22439-÷;(3) 2225(3)[()](6)439-⨯-+---÷; (4) 2017231(1)[2(1)(3)]6--⨯⨯---;点拨:注意有理数混合运算的顺序. 4.阅读下面的材料，并完成下列问题.计算: 12112()()3031065-÷-+-. 解法一:原式=12111112()()()()3033010306305-÷--÷+-÷-÷-=1111203512-+-+=16.解法二:原式=12112()[()()]3036105-÷+-+=151()()3062-÷-=1330-⨯ 110-.解法三:原式的倒数=21121()()3106530-+-÷- =2112()(30)31065-+-⨯- =203512-+-+ =10-.综上所述，原式＝110-(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，解法 是错误的; (2)在正确的解法中，解法 最简便; (3)利用最简便的解法计算: 11322()()4261437-÷-+-.点拨:可以转化为先求原式的倒数. 探究与应用探究1 复杂的有理数混合运算 例1 计算:(1) 86[47(18.751)2]0.461525--÷⨯÷; (2) 32017201723(0.2)(50)(1)()35-⨯-+-⨯-. 点拨:按照有理数的运算法则进行计算即可. 解答:(1)原式=31556100[47(181)]482546--⨯⨯⨯=751556100[47()]482546--⨯⨯=13556100(47)82546-⨯⨯=4610020546⨯=(2)原式=20172017153()(50)()()12535-⨯-+-⨯-=2017253[()()]535+-⨯-=27155+=.规律·提示在有理数的混合运算过程中，要善于观察与思考，在正常运算较繁琐时，要根据算式的特点，灵活选择正确而简洁的解法(如运算律的运用等).对于复杂运算，更要保持不急不躁的态度，切不可跳步，欲速则不达. 【举一反三】 1.计算:(1) 222353()34()8()3532-⨯-÷-⨯+⨯-;(2) 321116(0.5)[2(3)]0.52338---÷⨯-----.探究2 错位相减法巧算例2 求23201712222S =++++⋅⋅⋅+的值.点拨:观察和式，不难发现:后面一个数是它前面一个数的2倍.为此，在和式两边同乘一个常数2后，再与原和式两边分别相减(这里的相减是错位相减)，可使计算简便. 解答:因为23201712222S =++++⋅⋅⋅+①, 所以2342018222222S =++++⋅⋅⋅+②,所以②－①，得201821S =-.规律·提示:当一和式乘一个恰当的常数后，得到的新和式与原和式中绝大部分数相同时，应用错位相减法可以简化计算. 【举一反三】2.求23201613333++++⋅⋅⋅+的值.例3 求232017111112222S =++++⋅⋅⋅+的值. 点拨:观察和式，不难发现:后面一个数是它前面一个数的12.那么类似例2，在和式两边同乘一个常数12后，再与原和式两边分别相减(这里的相减是错位相减)，可使计算简便. 解答:因为232017111112222S =++++⋅⋅⋅+①,所以2342018111111222222S =++++⋅⋅⋅+②.①－②，得201811122S =-,所以2017122S =-.规律·提示应用错位相减法时，一定要选择一个合适的常数. 【举一反三】 3.计算: 11112481024+++⋅⋅⋅+.探究3 拆项分解法巧算例4 计算: 111112123123100+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+. 点拨:因为(1)1232n n n ++++⋅⋅⋅+=,所以11222(1)123(1)12n n n n n n n ===-++++⋅⋅⋅+++，所以 111112123123100+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+可转化为 222222123341001001+-+-+⋅⋅⋅+-+.进一步通过加法的结合律计算，得22121001+-+，至此问题解决. 解答:原式＝22222229912123341001001101101+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+. 规律·提示(1)12342n n n +++++⋅⋅⋅+=. 这是初中数学计算中的一条重要公式. 再进一步拆分，得1111111,()(1)1()n n n n n n m m n n m=-=-++++.也可以类推三个及三个以上的数的积的拆项. 【举一反三】 4.求111113355720152017+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯的值.探究4 整体换元法巧算例5 计算: 7737121738(172711)(1385)271739172739+-÷+-. 点拨: 73472437761716,2726,1110272717173939===，通过观察可以发现，这3个数分别是第2个括号内3个数的2倍.解答:令1217381385172739A =+-. 因为77373424761727111626102271739271739A +-=+-=, 所以原式=22A A ÷=. 规律·提示把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法.换元法是常用的解题方法，它能化复杂为简单，明确题目的结构特征，丰富解题思路.【举一反三】5.已知33331231514400+++⋅⋅⋅+=，求333324630+++⋅⋅⋅+的值.探究5 配对、分组巧算例6 计算:11212312341235859()()()()23344455556060606060++++++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++. 点拨:观察每个括号内式子的特点，依特征求解;也可用一个符号表示所求的式子，将式子进行整体变形，寻找内在关系，简化运算.解答:解法一:原式=(0.529.5)590.51 1.5229.58852+⨯++++⋅⋅⋅+==. 解法二:原式=0.51 1.5229.5++++⋅⋅⋅+=(0.51 1.5229.5)(1229)++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ (0.529.5)30(129)2988522+⨯+⨯=+= 解法三:设原式之和为S ，对每个括号内的各项都交换位置再相加，显然其和不变， 即121321432159585721()()()()23344455556060606060S =++++++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++. 将原序和倒序相加，其相应两项之和为1，则有 (159)59212345930592S +⨯=++++⋅⋅⋅+==⨯, 所以1559885S =⨯=.规律·提示计算时需要观察规律，本例三种解法分别从三个角度着眼:解法一是配成59个“对子”;解法二是分组计算; 解法三是倒序与正序的综合运用.上述三种解法在计算中的运用都十分广泛.【举一反三】6.计算:(1234)(5678)(9101112)(2013201420152016)+--++--++--+⋅⋅⋅++--.参考答知识梳理负数 分数 不循环 正方向 单位长度 距离 本身 相反数0 绝对值1 异号 相反数 正 负 不等于0 倒数 相同 幂 正整数重难点分类解析【反馈练习】1.C2.A3.B4.C5.B6.B7.A8. 2112 2.5(1)1(2)22-<--<+-<<--9.原式=―310.原式=511.C 12.B易错题辨析1.B2. 3或1或―1或―33. (1) 原式=1;(2) 原式=38-;(3) 原式=―20;(4) 原式= 356-;4.(1)一 (2) 三(3)原式＝114-探究与应用【举一反三】1.(1) 原式＝7279;(2) 原式＝―3.895.2.23201613333++++⋅⋅⋅+= 201713-12（）. 3.11112481024+++⋅⋅⋅+= 102310244.111113355720152017+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯= 10082017. 5. 333324630+++⋅⋅⋅+=115200.6. 原式=―2016。

第一章能力提升【重点题型总结】题型一 绝对值理解绝对值的意义及性质是难点，由于a 表示数a 的点到原点的距离，因此0≥a 。

可运用a 的非负性进行求解或判断某些字母的取值。

例1 如果a 与3互为相反数，那么2+a 等于（ ）A.5B.1C.-1D.-5例2 若()0212=++-b a ，则=+b a ______.题型二 有理数的运算有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方，是初中数学运算的基础。

要熟记法则，灵活运算，进行混合运算时，还要注运算顺序的应用。

例3 2011)1(-的相反数是（ ）A.1B.-1C.2011D.-2011例4 计算 ()()[].32315.01;21198)52()411(22--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--⨯+⨯-题型三 运用运算律简化运算过程运用加法的交换律、结合律，把某些具有相同属性的数（如正数、负数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等）分别结合在一起相加，可以运算过程。

例5 计算下列各题。

（1）;195.322.105.4921+--+-（2）;323)87(43231221--++⎪⎭⎫ ⎝⎛--- （3）();2.0124431331241112124132--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4）.235421143191952532332323⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-点拨：（1）正、负数分别结合相加；（2）分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；（3）除法转化为乘法，正向应用乘法分配律；题型四 利用特殊规律解有关分数的计算根据题目特点，灵活将算式变形，对不同算式采用运算顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法，达到优化解题过程、简化计算、解决问题的目的。

例6 计算下列各题。

（1）;2134317329655-+--（2）;7559715973591272153⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-- （3）;9017215614213012011216121++++++++ （4）.20481102415121161814121+++++++题型五 有理数运算的应用用相反数可表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用较多，做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算。

（专题精选）初中数学有理数的运算难题汇编及答案解析一、选择题1．一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示为（ ）A ．2604810⨯B ．56.04810⨯C ．66.04810⨯D ．60.604810⨯ 【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110,a n ≤<为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】604800的小数点向左移动5位得到6.048，所以数字604800用科学记数法表示为56.04810⨯，故选B ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110,a n ≤<为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2．为促进义务教育办学条件均衡，2019年某地区计划投入4200000元资金为该地区农村学校添置实验仪器，4200000这个数用科学记数法表示为（ ）A ．44210⨯B ．64.210⨯C ．84210⨯D ．60.4210⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】4200000=4.2×106，故选：B ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．电影《流浪地球》中有一个名词“洛希极限”，它是指两大星体之间可以保持平稳运行的最小距离，其中地球与木星之间的洛希极限约为10.9万公里，数据“10.9万”用科学记数法表示正确的是（ ）A ．10.9×104B ．1.09×104C ．10.9×105D ．1.09×105【答案】D【解析】【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】将10.9万用科学记数法表示为：1.09×105．故选D ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4．现在网购是人们喜爱的一种消费方式，2018年天猫“双11”全球狂欢节某网店的总交易额超过1207000元，1207000用科学记数法表示为( )A ．61.20710⨯B ．70.120710⨯C ．512.0710⨯D ．51.20710⨯【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】1207000=1.207×106，故选A ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．5．据不完全统计，长春市2018年中考人数只有47000多人，比2017年减少1.2万余人，创历史新低．数据47000用科学记数法表示为（ ）A ．44.710⨯B ．34710⨯C ．44.710-⨯D ．50.4710⨯【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．解:将47000用科学记数法表示为:4.7×104．故选A．【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法,科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．2018年全国高考报名总人数是975万人，用科学记数法表示为（）A．39.7510⨯人D．70.97510⨯人⨯人C．60.97510⨯人B．29.7510【答案】C【解析】【分析】根据科学计数法的定义进行作答.【详解】A.错误，应该是6⨯；C.正确；D. 错误，应该是9.75109.7510⨯；B.错误，应该是66⨯.综上，答案选C.9.7510【点睛】本题考查了科学计数法的定义：将一个数字表示成（a⨯10的n次幂的形式），其中1≤a<10，n表示整数，熟练掌握科学计数法的定义是本题解题关键.7．清代·袁牧的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（）A．8.4×10-5B．8.4×10-6C．84×10-7D．8.4×106【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】8．（﹣1）4可表示为（）A．（﹣1）×4 B．（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）C．﹣1×1×1×1 D．（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）【答案】D【解析】【分析】根据有理数乘法的定义可得出结论．（﹣1）4=（-1）×（-1）×（-1）×（-1）.故答案选D.【点睛】本题考查的知识点是有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方.9．如图，a、b在数轴上的位置如图，则下列各式正确的是（）A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a+b＞0 D．﹣b＜a【答案】B【解析】解：A、由图可得：a＞0，b＜0，且﹣b＞a，a＞b∴ab＜0，故本选项错误；B、由图可得：a＞0，b＜0，a﹣b＞0，且a＞b∴a+b＜0，故本选项正确；C、由图可得：a＞0，b＜0，a﹣b＞0，且﹣b＞a∴a+b＜0；D、由图可得：﹣b＞a，故本选项错误．故选B．10．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿km．用科学记数法表示1.496亿是（）A．71.49610⨯B．714.9610⨯C．80.149610⨯D．81.49610⨯【答案】D【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：数据1.496亿用科学记数法表示为1.496×108．故选D．点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．-2的倒数是（）A．-2 B．12-C．12D．2【答案】B 【解析】【分析】根据倒数的定义求解.【详解】-2的倒数是-12故选B【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握12．据资料显示，地球的海洋面积约为36000万平方千米，请用科学记数法表示地球海洋面积约为多少平方千米( )．A ．73610⨯B ．83.610⨯C ．90.3610⨯D ．43.610⨯ 【答案】B【解析】【分析】先将36000万平方千米化为360000000平方千米，再根据科学计数法的概念进行表示，即可得到答案．【详解】36000万平方千米=360000000平方千米，将360000000用科学记数法表示为83.610⨯，则用科学记数法表示地球海洋面积约为83.610⨯平方千米，故选：B ．【点睛】本题考查科学计数法．科学记数法的形式为：10n a ⨯，其中110a ≤≤，n 为整数．13．去年端午节假期第一天，国内游客人数达3050万人次，将数据“3050万”用科学记数法表示为（ ）A ．63.0510⨯B ．630.510⨯C ．73.0510⨯D ．83.0510⨯【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】3050万=30500000=73.0510⨯，故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．解题关键在于掌握科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．14．随着垃圾数量的不断增加，宁波从2013年开始启动生活废弃物收集循环利用示范目，总投资约为15.26亿元，以下用科学记数法表示15.26亿正确的是（）A ．815.2610⨯B ．81.52610⨯C ．90.152610⨯D ．91.52610⨯【答案】D【解析】【分析】先把15.26亿写成1526000000的形式，再根据科学记数法的法则，把15.26亿用科学计数法表示成10n a ⨯的形式即可.【详解】解：15.26=1526000000∵1526000000有10位整数，∴可以确定指数n=10-1=9，即用科学记数法表示为91.52610⨯，故答案为D.【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数的绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数.15．6万亿=296000000000000=2.96×1013．故选B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示的关键是要正确确定a 的值以及n 的值．16．北京市将在2019年北京世园会园区、北京新机场、2022年冬奥会场馆等地，率先开展5G 网络的商用示范.目前，北京市已经在怀柔试验场对5G 进行相应的试验工作.现在4G 网络在理想状态下，峰值速率约是100Mbps ，未来5G 网络峰值速率是4G 网络的204.8倍，那么未来5G 网络峰值速率约为( )A ．1×102 MbpsB ．2.048×102 MbpsC ．2.048×103 MbpsD ．2.048×104 Mbps【答案】D【解析】【分析】已知4G 网络的峰值速率，5G 网络峰值速率是4G 网络的204.8倍，可得5G 网络峰值速率，通过化简，用科学计数法表示即可.【详解】解：由题干条件可得，5G网络峰值速率：100Mbps×204.8=20480 Mbps=2.048×104 Mbps，故选D.【点睛】本题考查了文字语言转化为数学语言的能力，灵活理解题干的内容并化简是解题的关键.17．2019年4月10日，天文学家召开全球新闻发布会，发布首次直接拍摄到的黑洞照片，这颗黑洞位于代号为M87的星系当中，距离地球5500万光年，质量相当于65亿颗太阳，太阳质量大约是2.1×1030千克，那么这颗黑洞的质量约是（）A．130×1030千克B．1.3×1030千克C．1.3×1040千克D．1.3×1041千克【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.【详解】18．按如图所示的运算程序，能使输出y的值为1的是（）A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝﹣1 C．a＝1，b＝3 D．a＝4，b＝2【答案】A【解析】【分析】根据题意，每个选项进行计算，即可判断．【详解】解：A、当a＝3，b＝2时，y＝12a-＝132-＝1，符合题意；B、当a＝﹣3，b＝﹣1时，y＝b2﹣3＝1﹣3＝﹣2，不符合题意；C、当a＝1，b＝3时，y＝b2﹣3＝9﹣3＝6，不符合题意；D、当a＝4，b＝2时，y＝12a-＝142-＝12，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查有理数的混合运算，代数式求值等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．19．预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为（）A．94.610⨯D．9⨯C．846104.610⨯B．7⨯0.4610【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】460 000 000=4.6×108．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．20．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．81 B．508 C．928 D．1324【答案】B【解析】【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73＋百位上的数×72＋十位上的数×7＋个位上的数．【详解】解：孩子自出生后的天数是：1×73＋3×72＋2×7＋4＝508，故选：B．【点睛】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数字列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．。

专题1.1 有理数章末重难点题型汇编【举一反三】【浙教版】【考点1 相反意义的量】【方法点拨】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.【例1】（2019秋•阳东区期中）小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正 数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为0.25+，1-，0.5+，0.75-，小红快速准确地算出了4 筐白菜的总质量为( ) A ．1-千克B ．1千克C ．99千克D ．101千克【变式1-1】（2019秋•任城区校级期中）某种药品的说明书上标明保存温度是(302)C ︒±，则该药品在()范围内保存才合适． A ．28C 30C ︒︒-B ．30C 32C ︒︒-C ．28C 31C ︒︒-D ．28C 32C ︒︒-【变式1-2】（2019秋•顺义区期中）面粉厂规定某种面粉每袋的标准质量为500.2kg ±，现随机选取10袋 面粉进行质量检测，结果如下表所示：序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量()kg5050.149.950.149.750.1505049.949.95则不符合要求的有( ) A ．1袋B ．2袋C ．3袋D ．4袋【变式1-3】（2019秋•慈溪市期中）213路公交车从起点开始经过A ，B ，C ，D 四站到达终点，各站上 下车人数如下（上车为正，下车为负）例如(7,4)-表示该站上车7人，下车4人．现在起点站有15人，A(4,8)-，(6,5)B-，(7,3)C-，(1,4)D-．车上乘客最多时有()名．A．13B．14C．15D．16【考点2 有理数的分类】【方法点拨】正整数、0、负整数统称整数。

正分数、负分数统称分数。

整数和分数统称为有理数。

【例2】（2019秋•兴庆区校级期中）把下列各数按要求分类．2-，5，122-，0， 3.4-，21-，π，83，3.7，15%；正数集合：{}⋯，负整数集合：{}⋯，分数集合：{}⋯非正数集合：{}⋯【变式2-1】（2019秋•沂水县期中）把下列各数按要求分类：4-，10%，112-，101 ，43， 1.3-，0 ，0.6负整数集合：{}正分数集合：{}负分数集合：{}整数集合：{}负有理数集合：{}．【变式2-2】（2018秋•准格尔旗期中）把下列各数分别填入相应集合内：10-，6，173-，0，134， 2.25-，0.3，67，27-，10%，18-，π正整数：{}⋯负整数：{}⋯正分数：{}⋯负分数：{}⋯整数：{}⋯正数：{}⋯【变式2-3】（2018秋•江岸区校级期中）把下列各数填入它所属的集合内：5.2，0，2π，227，(4)+-，324-，(3-- )，0.25555⋯，0.030030003-⋯ （1）分数集合：{ }⋯ （2）非负整数集合：{ }⋯ （3）有理数集合：{ }⋯． 【考点3 有理数相关概念】【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 【例3】（2019春•松江区期中）下列叙述中，不正确的是( ) A ．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 B ．在数轴上，表示互为相反数的两个点与原点距离相等 C ．在数轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越大 D ．在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大 【变式3-1】（2019春•南岗区校级期中）下列说法错误的有( ) ①最大的负整数是1-； ②绝对值是本身的数是正数； ③有理数分为正有理数和负有理数； ④数轴上表示a -的点一定在原点的左边； ⑤在数轴上7与9之间的有理数是8． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式3-2】（2019春•浦东新区期中）下列说法中，正确的是( ) A ．一个有理数的绝对值不小于它自身B ．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等C ．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数D ．a -的绝对值等于a【变式3-3】（2018秋•埇桥区校级期中）下列说法中正确的有( ) ①最小的整数是0； ②有理数中没有最大的数；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④互为相反数的两个数的绝对值相等．A．0个B．1个C．2个D．3个【考点4 数轴上的点与有理数的对应关系】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握数轴上点的表示方法，明确数轴的特点能根据题目中的信息，判断各个数在数轴上对应哪一个点．【例4】（2019秋•杭州期中）一个数a在数轴上表示的点是A，当点A在数轴上向左平移了3个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是()A．3-C．1.5D．3-B． 1.5【变式4-1】（2018秋•南京期中）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1)cm，刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“4.6cm”对应数轴上的数为()A． 1.6-B．4.6C．2.6D． 2.6-【变式4-2】（2019秋•洪山区期中）小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示3-的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为2018(A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为()A．1010-C．1008-B．1009-D．1008【变式4-3】（2018秋•曲阜市期中）如图，M，N，P，Q，R分别是数轴上五个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且1====．数a对应的点在N与P之间，数b对应的点在Q与R之MN NP PQ QR间，若||||3a b+=，则原点可能是()A．M或Q B．P或R C．N或R D．P或Q【考点5 数轴上点的移动规律】【例5】（2019秋•资中县期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2017厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点共有()个．A．2018或2019B．2017或2018C．2016或2017D．2015或2016【变式5-1】（2018秋•三门县期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动、那么数轴上的2019-所对应的点与圆周上字母( )所对应的点重合．A ．DB ．CC ．BD ．A【变式5-2】（2018秋•下陆区期中）等边ABC ∆在数轴上的位置如图所示，点A 、C 对应的数分别为0和1-， 若ABC ∆绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1，则连续翻转2012次 后，点(B )A ．不对应任何数B ．对应的数是2010C ．对应的数是2011D ．对应的数是2012【变式5-3】（2019秋•长沙期中）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2016次，问蚂蚁最后在数轴上什么位置？( ) A ．1007-B ．1008-C ．1006-D ．1007【考点6 有理数的大小比较】【方法点拨】（1）有理数大小比较注意两点：（1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；（2）在 数轴上右边点表示的数总比左边点表示的数大.【例6】（2019秋•蓟州区期中）如图，下列关于a ，a -，1的大小关系表示正确的是( )A ．1a a <<-B ．a a I -<<C ．1a a <-<D ．1a a <-<【变式6-1】（2018秋•杞县期中）已知0a >，0b <，且||||b a >，则a ，a -，b ，b -按从小到大的顺序排列( ) A ．b a a b -<<-<B ．b a a b <-<<-C ．a a b b <-<-<D ．a a b b -<<<-【变式6-2】（2017春•高密市期中）若01m <<，m 、2m 、1m的大小关系是( ) A ．21m m m<<B ．21m m m<<C ．21m m m<< D ．21m m m<< 【变式6-3】（2019春•泉港区期中）定义：对于任意数a ，符号[]a 表示不大于a 的最大整数，例如：[5.8]5=，[10]10=，[]4π-=-．若[]6a =-，则a 的取值范围是( )A ．a ≥﹣6B ．﹣6≤a ＜﹣5C ．﹣6＜a ＜﹣5D ．﹣7＜a ≤﹣6【考点7 相反数的性质】【方法点拨】在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

类型一：正数和负数在下列各组中，哪个选项表示互为相反意义的量（）A．足球比赛胜5场与负5场B．向东走3千米，再向南走3千米C．增产10吨粮食与减产﹣10吨粮食D．下降的反义词是上升考点：正数和负数。

分析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对解答：解：表示互为相反意义的量：足球比赛胜5场与负5场．故选A点评：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．此题的难点在“增产10吨粮食与减产﹣10吨粮食”在这一点上要理解“﹣”就是减产的意思．类型二：有理数下列说法错误的是（）A．负整数和负分数统称负有理数B．正整数，0，负整数统称为整数C．正有理数与负有理数组成全体有理数D．3.14是小数，也是分数考点：有理数。

分析：按照有理数的分类判断：解答：解：负整数和负分数统称负有理数，A正确．整数分为正整数、负整数和0，B正确．正有理数与0，负有理数组成全体有理数，C错误．3.14是小数，也是分数，小数是分数的一种表达形式，D正确．点评：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．类型三：数轴在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数是（）A．1B．3C．±2D．1或﹣3考点：数轴。

分析：此题可借助数轴用数形结合的方法求解．在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点有两个，分别位于与表示数﹣1的点的左右两边．解答：解：在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数有两个：﹣1﹣2=﹣3；﹣1+2=1．故选D．点评：注意此类题应有两种情况，再根据“左减右加”的规律计算．类型四：有理数的大小比较如图，正确的判断是（）A．a＜-2B．a＞-1C．a＞bD．b＞2考点：数轴；有理数大小比较．分析：根据数轴上点的位置关系确定对应点的大小．注意：数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大解答：解：由数轴上点的位置关系可知a＜-2＜-1＜0＜1＜b＜2，则A、a＜-2，正确；B、a＞-1，错误；C、a＞b，错误；D、b＞2，错误．故选A．点评：本题考查了有理数的大小比较．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．本题中要注意：数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大．类型五：有理数的加法已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，那么a+b+|c|等于（）A．﹣1B．0C．1D．2考点：有理数的加法。

专题01 高分必刷题-有理数重难点题型分类（解析版）题型一有理数概念与分类1．下列语句中，正确的是（）A．平方等于它本身的数只有1B．倒数等于它本身的数只有1C．相反数等于它本身的数只有0D．绝对值等于它的本身的数只有0【解答】解：A、平方等于它本身的数只有0和1，故本选项错误；B、倒数等于它本身的数只有1和﹣1，故本选项错误；C、相反数等于它本身的数只有0，故本选项正确；D、绝对值等于它的本身的数是0和正数，故本选项错误．故选：C．2．下列说法中正确的是（）A．0是最小的数B．最大的负有理数是﹣1C．绝对值等于它本身的数是正数D．互为相反数的两个数和为0【解答】解：∵负数比0小，∴答案A错误；∵没有最大的负有理数，∴答案B错误；∵绝对值等于它本身的数是非负数，∴答案C错误；而互为相反数的两个数和为0是正确的故选：D．3．下列说法错误的有（）①最大的负整数是﹣1；②绝对值是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边；⑤在数轴上7与9之间的有理数是8．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①最大的负整数是﹣1，故①正确；②绝对值是它本身的数是非负数，故②错误；③有理数分为正有理数、0、负有理数，故③错误；④a＜0时，﹣a在原点的右边，故④错误；⑤在数轴上7与9之间的有理数有无数个，故⑤错误；故选：D．4．7，﹣9，﹣301，31.7，﹣3.05，+2004，0解：负数有：{}；分数有：{}；非负整数有：{}．【解答】解：负数有：{﹣9，﹣301，﹣3.05…}；分数有：{31.7，﹣3.05…}；非负整数有：{7，+2004，0…}．故答案为：﹣9，﹣301，﹣3.05…；31.7，﹣3.05…；7，+2004，0…．5．把下列各数分别填入相应的大括号里：﹣7，3.5，﹣3.1415，π，0，2317，0.03，﹣3.5，10，﹣0.，﹣2.5．自然数集合{…}；整数集合{…}；正分数集合{…}；非正数集合{…}；有理数集合{…}．【解答】解：自然数集合{ 0，10}；整数集合{﹣7，0，10}；正分数集合{ 3.5，，0.03}；非正数集合{﹣7，﹣3.1415，0，﹣，﹣0.，﹣}；有理数集合{﹣7，3.5，﹣3.1415，0，，0.03，﹣3，10，﹣0.，﹣}．题型二相反数与倒数6．下列说法：①若a、b互为相反数，则a+b＝0；①若a+b＝0，则a、b互为相反数；①若a、b互为相反数，则ab＝﹣1；①若ab＝﹣1，则a、b互为相反数．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵只有符号不同的两个数叫做互为相反数，∴若a、b互为相反数，则a+b ＝0，故本小题正确；②∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴a、b互为相反数，故本小题正确；③∵0的相反数是0，∴若a＝b＝0时，﹣无意义，故本小题错误；④∵＝﹣1，∴a＝﹣b，∴a、b互为相反数，故本小题正确．故选：C．7.一个数的倒数的相反数是135，则这个数是．【解答】解：3的相反数是﹣3， 所以这个数是1÷（﹣3）＝﹣，故答案为：﹣．8.13-的倒数是 ，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ． 【解答】解：﹣的倒数是：﹣3， 相反数等于本身的数是：0； 倒数等于本身的数是：±1． 故答案为：﹣3；0；±1．9．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是5，n 是最大的负整数，求代数式2019（a +b ）﹣4cd +2mn 的值．【解答】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是5，n 是最大的负整数， ∴a +b ＝0，cd ＝1，m ＝±5，n ＝﹣1，当m ＝5时，2019（a +b ）﹣4cd +2mn ＝2019×0﹣4×1+2×5×（﹣1）＝0﹣4+（﹣10）＝﹣14；当m ＝﹣5时，2019（a +b ）﹣4cd +2mn ＝2019×0﹣4×1+2×（﹣5）×（﹣1）＝0﹣4+10＝6；由上可得，代数式2019（a +b ）﹣4cd +2mn 的值是﹣14或6． 10．已知2a 与b 互为倒数，c 与2d 互为相反数，|x |＝2，求4ab +2c +d +2x的值． 【解答】解：∵2a 与b 互为倒数，∴2ab ＝1，∴4ab ＝2；∵c 与互为相反数，∴c +＝0，∴2c +d ＝0；∵|x |＝2，x ＝±2，∴当x ＝2时，4ab +2c +d +＝2×1+0+1＝3； 当x ＝﹣2时，4ab +2c +d +＝2×1+0﹣1＝1．11．已知：a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值是2 （1）a +b ＝ ，cd ＝ ，x ＝ ； （2）求代数式2x 2﹣（a +b ）+x cd ﹣22a b cd+的值． 【解答】解：（1）∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值是2，∴a +b ＝0、cd ＝1，x ＝±2； （2）原式＝2×（±2）2+﹣＝2×4+2﹣0＝8+2＝10．12．已知a ，b 为互为倒数，c ，d 为互为相反数，x 的绝对值为3，n 是最小的正整数，m 是最大的负整数，试求ab +4c dn++x ﹣m 2014的值． 【解答】解：根据题意得ab ＝1，c +d ＝0，|x |＝3，n ＝1，m ＝﹣1，所以原式＝1++x﹣（﹣1）2014＝1+0+x ﹣1＝x ，当x ＝3时，原式＝3．当x ＝﹣3时，原式＝﹣3．题型三 绝对值的概念及化简13．（1）绝对值不大于3的所有整数是 ； （2）已知|x |＝2，则x ＝ ．【解答】解：（1）不大于3的绝对值整数有0，1，2，3，因为互为相反数的两个数的绝对值相等，所以绝对值不大于3的整数是0，±1，±2，±3，共7个；故答案为：0，±1，±2，±3； （2）∵|x |＝2，∴x ＝±2，故答案为：±2．14．若|a |＝3，|b |＝2，且a ﹣b ＜0，则a +b 的值等于 ．【解答】解：∵|a |＝3，|b |＝2，∴a ＝±3，b ＝±2，∵a ﹣b ＜0，∴a ＜b ，∴a ＝﹣3，b ＝±2，∴a +b ＝﹣3+2＝﹣1，或a +b ＝﹣3+（﹣2）＝﹣5，综上所述，a +b 的值等于﹣1或﹣5． 故答案为：﹣1或﹣5．15．已知|a ﹣2|+2(b 3)+＝0，则a+b 的值等于 ．【解答】解：∵（b +3）2≥0，|a ﹣2|≥0，而|a ﹣2|+（b +3）2＝0，∴b +3＝0，a ﹣2＝0， ∴b ＝﹣3且a ＝2．∴a +b ＝2+（﹣3）＝﹣1．故答案为：﹣1． 16．若a ，b 为有理数，下列结论正确的是（ ） A ．如果a ＞b ，那么|a |＞|b | B ．如果|a |≠|b |，那么a ≠bC ．如果a ＞b ，则a 2＞b 2D ．如果a 2＞b 2，则a ＞b【解答】解：A 、当a ＝1，b ＝﹣3时，|a |＝1，|b |＝3，此时|a |＜|b |，故本选项错误； B 、∵|a |≠|b |，∴①a ≠b ，②a ≠﹣b ，故本选项正确；C 、当a ＝1，b ＝﹣3时，a 2＝1，b 2＝9，此时a 2＜b 2，故本选项错误；D 、当a ＝﹣3，b ＝1时，a 2＝9，b 2＝1，此时a 2＞b 2，但a ＜b ，故本选项错误； 故选：B ．17．有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示，则|a+c|﹣|c﹣b|﹣2|b+a|＝（）A．3a﹣b B．﹣a﹣b C．a+3b﹣2c D．a﹣b﹣2c【解答】解：∵a＜b＜0，c＞0，|a|＞|b|＞|c|，∴a+c＜0，c﹣b＞0，a+b＜0，∴原式＝﹣（a+c）﹣（c﹣b）+2（b+a）＝﹣a﹣c﹣c+b+2b+2a＝a+3b﹣2c．故选：C．18．若1＜x＜2，则2121x x xx x x---+--的值是（）A．﹣3B．﹣1C．2D．1【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0，∴原式＝﹣1+1+1＝1，故选：D．19.已知|a|＝3，|b|＝2，且ab＜0，求a+b的值．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，∴a＝±3，b＝±2，∵ab＜0，∴当a＝3时，b＝﹣2，则a+b＝1，当a＝﹣3时，b＝2，则a+b＝﹣1.20．已知：|a|＝5，|b|＝3，（1）求a+b的值．（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．【解答】解：（1）∵|a|＝5，|b|＝3，∴a＝±5，b＝±3，当a＝5，b＝3时，a+b＝8；当a＝5，b＝﹣3时，a+b＝2；当a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣2；当a＝﹣5，b＝﹣3时，a+b ＝﹣8．（2）由|a+b|＝a+b可得，a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3．当a＝5，b＝3时，a﹣b＝2，当a＝5，b＝﹣3时，a﹣b＝8．21．已知有理数ab＜0，a+b＞0，且|a|＝2，|b|＝3，求|a﹣2|+2b的值．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3．∵ab＜0，∴a＝﹣2，b＝3，或a＝2，b ＝﹣3．又∵a+b＞0，∴a＝﹣2，b＝3，∴|a﹣2|+2b＝4+6＝10．22．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|．（1）a+b＝，ab＝；（2）判断b+c，a﹣c，（b+c）（a﹣b）的符号；（3）求a b ac aba a ac ab+-+的值．【解答】解：（1）由题意可得：a ＞0，b ＜0，|a |＝|b |，∴a +b ＝0，＝﹣1；故答案为：0，﹣1；（2）由数轴可得：c ＜b ＜0＜a ，∴b +c ＜0，a ﹣c ＞0，∵a ﹣b ＞0，∴（b +c ）（a ﹣b ）＜0； （3）∵c ＜b ＜0＜a ，|a |＝|b |，∴+﹣+＝1+1﹣（﹣1）+（﹣1）＝2．23．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，且表示数a 的点、数b 的点与原点的距离相等．（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：b 0，a +b 0，a ﹣c 0，b ﹣c 0； （2）|b ﹣1|+|a ﹣1|＝ ； （3）化简|a +b |+|a ﹣c |﹣|b |+|b ﹣c |．【解答】解：∵b ＜﹣1＜c ＜0＜1＜a ，|a |＝|b |，∴（1）b ＜0，a +b ＝0，a ﹣c ＞0，b ﹣c ＜0；（2）|b ﹣1|+|a ﹣1|＝﹣b +1+a ﹣1＝a ﹣b ；（3）|a +b |+|a ﹣c |﹣|b |+|b ﹣c |＝0+（a ﹣c ）+b ﹣（b ﹣c ）＝0+a ﹣c +b ﹣b +c ＝a ． 故答案为：＜，＝，＞，＜；a ﹣b ． 24．有理数x ，y 在数轴上对应点如图所示：（1）在数轴上表示﹣x ，|y |；（2）试把x ，y ，0，﹣x ，|y |这五个数从小到大用“＜”号连接，（3）化简：|x +y |﹣|y ﹣x |+|y |．【解答】解：（1）如图，；（2）根据图象，﹣x ＜y ＜0＜|y |＜x ；（3）根据图象，x ＞0，y ＜0，且|x |＞|y |，∴x +y ＞0，y ﹣x ＜0，∴|x +y |﹣|y ﹣x |+|y |＝x +y +y ﹣x ﹣y ＝y ．25．阅读下列材料：,00,0,0x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，即当x ＞0时，1x x x x ==；当x ＜0时，1x x x x -==-．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a、b是有理数，当ab≠0时，求a ba b+的值．（2）已知a、b是有理数，当abc≠0时，求a b ca b c++的值．（3）已知a、b、c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求b c a c a ba b c+++++的值．【解答】解：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，①a＜0，b＜0，＝﹣1﹣1＝﹣2；②a＞0，b＞0，＝1+1＝2；③a、b异号，＝0．故＝±2或0；（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，①a＜0，b＜0，c＜0，+＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a＞0，b＞0，c＞0，+＝1+1+1＝3；③a、b、c两负一正，+＝﹣1﹣1+1＝﹣1；④a、b、c两正一负，+＝﹣1+1+1＝1．故+＝±1或±3；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，则b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a、b、c两正一负，则═﹣﹣﹣＝1﹣1﹣1＝﹣1．故答案为：±2或0；±1或±3；﹣1．题型四有理数运算26．计算：（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13；（2）﹣22+[14﹣（﹣3）×2]÷4．【解答】解：（1）原式＝﹣20﹣14+18﹣13＝﹣20﹣14﹣13+18＝﹣47+18＝﹣29；（2）原式＝﹣22+（14+6）÷4＝﹣22+20÷4＝﹣22+5＝﹣17．27．计算（1）（﹣6）﹣5+（﹣4）﹣（﹣18）； （2）﹣10﹣4÷（2293-）； （3）﹣22﹣|﹣7|+3﹣2×（﹣12）； （4）（111462+-）÷（﹣112）． 【解答】解：（1）原式＝﹣6﹣5﹣4+18＝﹣15+18＝3； （2）原式＝﹣10﹣4÷（﹣94）＝﹣10﹣4×（﹣49）＝﹣10+9＝1-； （3）原式＝﹣4﹣7+3+1＝﹣11+4＝﹣7； （4）原式＝（+﹣）×（﹣12）＝﹣×（﹣12）=128．计算题：（1）（﹣2）﹣（+5）﹣（﹣3）+4 （2）﹣5﹣2+5﹣11+2 （3）（﹣3）×2+20÷（﹣5） （4）315()(24)468--⨯- 【解答】解：（1）原式＝﹣2﹣5+3+4＝﹣7+7＝0； （2）原式＝﹣18+7＝﹣11； （3）原式＝﹣6﹣4＝﹣10； （4）原式＝﹣18+4+15＝1； 29．计算：（1）（+12）﹣（﹣18）+（﹣7）﹣（+15）； （2）94(81)(16)49-÷⨯÷-； （3）157()(18)369-+⨯-； （4）﹣14+|2﹣3|﹣2×（﹣1）2014． 【解答】解：（1）原式＝12+18﹣7﹣15＝30﹣22＝8； （2）原式＝81×××＝1；（3）原式＝×（﹣18）﹣×（﹣18）+×（﹣18）＝﹣6+15﹣14＝﹣5； （4）原式＝﹣1+1﹣2×1＝0﹣2＝﹣2． 30．计算：（1）（﹣12）﹣（+20）+（﹣8）﹣15 （2）94(81)(16)49-÷⨯÷- （3）2111()()941836-+÷- （4） 【解答】解：（1）原式＝﹣12﹣20﹣8﹣15＝﹣55； （2）原式＝81×××＝1；（3）原式＝（﹣+）×（﹣36）＝﹣8+9﹣2＝﹣1；（4）原式＝﹣9﹣6+6＝﹣9；题型五应用题31．某市交警大队一辆警车每天在一段东西方向的公路上巡逻执法．一天上午从A地出发，中午到达B地，规定向东行驶的里程为正，向西行驶的里程为负，这天行驶的里程数记录如下（单位：km）；﹣25，+10，+15，﹣10，+16，﹣18，+10，﹣21．（1）问B地在A地的东面还是西面？A，B两地相距多少千米？（2）若该警车每千米耗油0.2升，警车出发时，油箱中有油10升，请问中途有没有给警车加过油？若有，至少加了多少升油？请说明理由．【解答】解：（1）﹣25+10+15﹣10+16﹣18+10﹣21＝（10+15+16）﹣（25+18+21）+（10﹣10）＝41﹣64＝﹣23即B地在A地的西方，距A地23千米．（2）因为（25+10+15+10+16+18+10+21）×0.2＝125×0.2＝25（L）．25﹣10＝15（L）．所以途中至少加油15L．答：途中警车需加油，至少需加油15L．32．第66路公交车沿东西方向行驶，如果把车站的起点记为0，向东行驶记为正，向西行驶记为负，其中一辆车从车站出发以后行驶的路程如下表（单位：km）：（2）该辆车离开出发点最远是多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，每升油价是7.5元，则从出发到收工时油费是多少元？【解答】解：（1）（+5）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（﹣6）+（+12）+（﹣10），＝5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝5+10+12﹣3﹣8﹣6﹣10＝27﹣27＝0，∴回到了车站；（2）5﹣3＝2；2+10＝12；12﹣8＝4；4﹣6＝﹣2；﹣2+12＝10；10﹣10＝0；∴离开出发点最远是12km；（3）|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|＝5+3+10+8+6+12+10，＝54（km）．54×0.2×7.5＝81（元）．∴从O地出发到收工时油费是81元．33．某儿童服装店用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2．（1）该服装店卖完这八套儿童服装后，是盈利还是亏损？（2）盈利（或亏损）了多少？【解答】解：根据题意，得：（1）2﹣3+2+1﹣2﹣1+0﹣2＝﹣3（元），55×8+（﹣3）＝437（元），∵437＞400，∴卖完后是盈利；（2）437﹣400＝37（元）．故盈利37元．34．某食品厂上周日生产100袋食品，下表是这周的生产情况（注：用正数记生产袋数比前一日上升数，用负数记生产袋数比前一日下降数）：（2）根据记录的数据可知该厂本周内生产袋数最高是多少袋？最低是多少袋？（3）已知这周生产的所有食品成本3000元，现规定本周食品售价为每袋5元，在卖出所有袋数时，需收取成交额10%的交易税，则食品厂这周的收益情况如何？【解答】解：（1）由题意可得，该厂星期三生产食品是：100+5﹣1﹣7＝97（袋），即该厂星期三生产食品是97袋；（2）由表格可知，星期一生产食品是袋数：100+5＝105袋；星期二生产食品是袋数：105﹣1＝104袋；星期三生产食品是袋数：104﹣7＝97袋；星期四生产食品是袋数：97+11＝108袋；星期五生产食品是袋数：108﹣9＝99袋；星期六生产食品是袋数：99+5＝104袋；星期日生产食品是袋数：104+9＝113袋；故产量最高的一天是星期日，是113袋，最低的一天是星期三，是97袋；（3）由题意可得，该厂本周实际共生产食品的数量是：7×100+（5+4﹣3+8﹣1+4+13）＝730袋，∴这周的收益：730×5×（1﹣10%）﹣3000＝285元．35．当温度每上升1℃时，某种金属丝伸长0.002mm；反之，当温度下降1℃时，金属丝就缩短0.002mm．把15℃的这种金属丝加热到60℃，再使它冷却降温到5℃，金属丝的长度经历了怎么样的变化？金属丝最后的长度比原来的长度伸长多少？【解答】解：金属丝的长度先伸长，再缩短；设15℃时金属丝的长度为lmm，根据题意得：金属丝最后的长度＝l+（60﹣15）×0.002﹣（60﹣5）×0.002＝（l﹣0.02）mm．金属丝最后的长度﹣原来的长度＝（l﹣0.02）﹣l＝﹣0.02（mm）．即金属丝最后的长度比原来的长度伸长﹣0.02mm，也即是缩短了0.02mm．36．20筐白菜，以每筐15千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示．记录如下：千克．（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？（3）若白菜每千克售价1.8元，则出售这20筐白菜可卖多少元？【解答】解：（1）最重的一筐超过2.5千克，最轻的差3.5千克，2.5﹣（﹣3.5）＝6（千克），故最重的一筐比最轻的一筐重6千克．故答案为：6；（2）2×（﹣3.5）+4×（﹣2）+2×（﹣1.5）+1×0+3×1+8×2.5＝﹣7﹣8﹣3+0+3+20＝5（千克）．故20筐白菜总计超过5千克；（3）1.8×（15×20+5）＝1.8×305＝549（元）．故出售这20筐白菜可卖549元．题型六新定义37．若规定运算：a⊕b＝2ab，aΘb＝，a⊗b＝a﹣b2，则（1⊕2）⊗（6Θ3）＝.【解答】解：∵a⊕b＝2ab，aΘb＝，a⊗b＝a﹣b2，∴（1⊕2）⊗（6Θ3）＝（2×1×2）⊗＝4⊗＝4﹣（）2＝4﹣＝故答案为：．38．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝a×b+2×a．（1）求2⊕（﹣1）的值；（2）求﹣3⊕（﹣4⊕12）的值；（3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．【解答】解：（1）2⊕（﹣1）＝2×（﹣1）+2×2＝﹣2+4＝2；（2）﹣3⊕（﹣4⊕）＝﹣3⊕[﹣4×+2×（﹣4）]＝﹣3⊕（﹣2﹣8）＝﹣3⊕（﹣10）＝（﹣3）×（﹣10）+2×（﹣3）＝30﹣6＝24；（3）不具有交换律，例如：2⊕（﹣1）＝2×（﹣1）+2×2＝﹣2+4＝2；（﹣1）⊕2＝（﹣1）×2+2×（﹣1）＝﹣2﹣2＝﹣4，∴2⊕（﹣1）≠（﹣1）⊕2，∴不具有交换律．39．对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．（1）填空：（10]＝．（﹣2019]＝，（17]＝；（2）若a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，求代数式a﹣（a+b）×3+b的值；（3）若|（x]|+|（x﹣2]|＝6，求x的取值范围．【解答】解：（1）根据（x]表示的意义得，（10]＝9，（﹣2019]＝﹣2020，（]＝0，故答案为：9，﹣2020，0；（2）∵a，b都是整数，∴（a]＝a﹣1，（b]＝b﹣1，而（a]和（b]互为相反数，∴a﹣1+b﹣1＝0，即a+b＝2，因此a﹣（a+b）×3+b＝a﹣3a﹣3b+b＝﹣2（a+b）＝﹣4，答：代数式a﹣（a+b）×3+b的值为﹣4；（3）当原点在大数的右侧时，有（x]＝﹣2，此时，﹣2＜x≤﹣1，当原点在小数的左侧时，有（x]＝4，此时，4＜x≤5，故x的取值范围为﹣2＜x≤﹣1或4＜x≤5．题型七绝对值的几何意义40．（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点这间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图3，点A、B都在原点的左边|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图4，点A、B在原点的两边|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x为；③请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是．④由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，求出最小值和相应的x的值；如果没有，说明理由．【解答】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|＝3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|＝3．数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|＝4；故答案为：3，3，4；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3；故答案为：|x+1|，1或﹣3；③∵|x+3|+|x﹣1|＝4，∴x+3﹣（x﹣1）＝4，∴x+3≥0，x﹣1≤0，则﹣3≤x≤1．则这样的整数是：﹣3，﹣2，﹣1，0，1．故答案为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1；④|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3，理由：当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3，当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3，当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3，故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．41．同学们都知道，|2﹣（﹣1）|表示2与﹣1的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数﹣1对应的点之间的距离，试探索：（1）|2﹣（﹣1）|＝；如果|x﹣1|＝2，则x＝．（2）求|x﹣2|+|x﹣4|的最小值，并求此时x的取值范围；（3）由以上探索已知（|x﹣2|+|x+4|）+（|y﹣1|+|y﹣6|）＝20，则求x+y的最大值与最小值；（4）由以上探索及猜想，计算|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2017|+|x﹣2018|的最小值．【解答】解：（1）|2﹣（﹣1）|＝|2+1|＝3，|x﹣1|＝2，x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2,x＝3或﹣1故答案为：3，3或﹣1；（2）∵|x﹣2|+|x﹣4|理解为：在数轴上表示x到4与2的距离之和，∴当x在2与4之间的线段上（即2≤x≤4）时，|x﹣2|+|x﹣4|的值有最小值，最小值为4﹣2＝2，此时x的取值范围为：2≤x≤4．（3）因为x﹣2＝0，x+4＝0时，x＝2或﹣4，y﹣1＝0，y﹣6＝0时，y＝1或6．当x＜﹣4时，|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x﹣x﹣4＝﹣2x﹣2；当﹣4≤x≤2时，|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x+x+4＝6；当x＞2时，|x﹣2|+|x+4|＝x﹣2+x+4＝2x+2；当y＜1时，|y﹣1|+|y﹣6|＝1﹣y+6﹣y＝﹣2y+7；当1≤y≤6时，|y﹣1|+|y﹣6|＝y﹣1+6﹣y＝5；当y＞6时，|y﹣1|+|y﹣6|＝y﹣1+y﹣6＝2y﹣7；当x＜﹣4，y＜1时，x+y取最小值，此时（﹣2x﹣2）+（﹣2y+7）＝20,x+y＝﹣，当x＞2，y＞6时，x+y取最大值，此时（2x+2）+（2y﹣7）＝20，x+y＝所以x+y的最大值是，最小值是﹣．（4）由已知条件可知，|x﹣a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到2018的距离时，式子取得最小值．∴当x＝＝1009.5时，式子取得最小值，此时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2017|+|x﹣2018|＝|1009.5﹣1|+|1009.5﹣2|+|1009.5﹣3|+…+|1009.5﹣2016|+|1009.5﹣2017|+|1009.5﹣2018|＝2（1008.5+1007.5+…+2.5+1.5+0.5）＝2×[0.5×1009+（1+2+3…+1008）]＝2×（504.5+）＝1018081．题型八 动点问题类压轴题42.已知数轴上，点A 和点B 分别位于原点O 两侧，点A 对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且15-=a b . (1)若6=-b ，则a 的值为________；(2)若2=OA OB ，求a 的值；(3)点C 为数轴上一点，对应的数为c ，若A 点在原点的左侧，O 为AC 的中点，3=OB BC ，请画出图形并求出满足条件的C 的值.【解答】解：（1）6b =-，||15a b -=，|6|15a ∴+=，615a ∴+=或15-，9a ∴=或21-， 点A 和点B 分别位于原点O 两侧，6b =-，0a ∴>，9a ∴=，故答案为：9；（2）2OA OB =，|||2|a b ∴=，点A 和点B 分别位于原点O 两侧，点A 对应的数为a ，点B 对应的数为b ，12b a ∴=-，||15a b -=，1||152a a ∴+=，10a ∴=±； （3）满足条件的C 两种情况：①如图，设BC x =，则2OC OA x ==，则有2215x x x ++=，解得：3x =，C ∴对应6 ②如图，设BC x =，则3OB x =，4OA OC x ==，则有3415x x +=，解得，157x =，则C 对应607， 综上所得：C 点对应6或607．43.已知a 、b 满足()25|1|0a b -++=.请回管问题：（1）请直接写出a 、b 的值，a =______，b =_______.（2）当x 的取值范围是_________时，||||x a x b -+-有最小值，这个最小值是_____.（3）数轴a 、b 上两个数所对应的分别为A 、B ，AB 的中点为点C ，点A 、B 、C 同时开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点C 分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，当A 、B 两点重合时，运动停止. ①经过2秒后，求出点A 与点B 之间的距离AB .②经过t 秒后，请问：BC AB + 的值是否随着时间t 的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.【解答】解：()15,1- ()215x -≤≤ 6()3:5213,1211312A B AB -⨯==-+⨯==-=①()()5,1,51323223115A t B t C t t BC AB t t t t =-=-+-=+=++=+--++-+--② =3+226t t +- ,A B 重合时，()()51113t =+÷+=,A B 重合时，运动停止03,t ∴≤≤ 3+20,260.t t ∴-≤＞32(26)9BC AB t t +=+--=-；6【解析】(1)8。

专题01 有理数章末重难点题型（举一反三）【考点1 科学记数法及近似数】【方法点拨】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，解决此类问题只需确定a与n的值，其中1≤|a| ＜10，n为整数位数减1，如若数带单位可先将其还原；（2）一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位，但有一个易错点需注意，如2.019×105很多同学错误的认为这个数是精确到千分位，解决此类问题需将这个数还原成整数201900，这时能确定这个9应在百位上，因此这个数精确到百位.【例1】（2018•浉河区校级期中）2018年河南省全年生产总值48055.86亿元，数据“48055.86亿”用科学记数法表示为（）A．4.805586×104B．0.4805586×105C．4.805586×1012D．4.805586×1013【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：48055.86亿用科学记数法表示为4.805586×1012．故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．【变式1-1】（2018秋•沭阳县期末）某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg，关于这个近似数，下列说法正确的是（）A．它精确到百位B．它精确到0.01C．它精确到千分位D．它精确到千位【分析】根据近似数的精确度求解．【解答】解：1.36×105精确到千位．故选：D．【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．【变式1-2】（2018•凉州区校级期中）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态生活环境，我省2017年一季度清理垃圾约1.16×107方，数字1.16×107表示（）A．1.16亿B．116万C．1160万D．11.6亿【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1.16×107＝11600000＝1160万．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式1-3】近似数3.5的准确值a的取值范围是（）A．3.45≤a≤3.55B．3.4＜a＜3.6C．3.45≤a＜3.55 D．3.45＜a≤3.55【分析】根据四舍五入法，可以得到似数3.5的准确值a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：近似数3.5的准确值a的取值范围是3.45≤a≤3.54，故选：C．【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字的含义．【考点2 表示相反意义的量】【方法点拨】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.（2018秋•襄州区期中）一箱苹果的重量标识为“10±0.25”千克，则下列每箱苹果重量中合格的是（）【例2】A．9.70千克B．10.30千克C．9.60千克D．10.21千克【分析】根据“10±0.25千克”，可算出合格范围，再根据合格范围，选出答案．【解答】解：∵10﹣0.25＝9.75（千克），10+0.25＝10.25（千克），∴合格范围为：9.75～10.25千克．故选：D．【点评】本题考查了正数和负数，计算出合格范围是解题关键．【变式2-1】（2018秋•睢宁县期中）某粮店出售4种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（20±0.1）kg、（20±0.2）kg、（20±0.3）kg、（20±0.4）kg，这种合格面粉最多相差（）A．0.4kg B．0.5kg C．0.6kg D．0.8kg【分析】根据题意给出4种品牌的质量波动范围，并求出任意两袋质量相差的最大数．【解答】解：根据题意从中找出两袋质量波动最大的（20±0.4）kg，则相差0.4﹣（﹣0.4）＝0.8kg．故选：D．【点评】本题考查了这正数和负数，有理数的减法运算时解题关键．【变式2-2】（2018秋•慈溪市期中）213路公交车从起点开始经过A，B，C，D四站到达终点，各站上下车人数如下（上车为正，下车为负）例如（7，﹣4）表示该站上车7人，下车4人．现在起点站有15人，A（4，﹣8），B（6，﹣5），C（7，﹣3），D（1，﹣4）．车上乘客最多时有（）名．A．13 B．14 C．15 D．16【分析】根据题意可以算出各个阶段对应的乘客人数，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，起点到A站之间，车上有15人，A站到B站之间，车上有：15+4﹣8＝11（人），B站到C站之间，车上有：11+6﹣5＝12（人），C站到D站之间，车上有：12+7﹣3＝16（人），D站到终点之间，车上有：16+1﹣4＝13（人），由上可得，车上乘客最多有16人，故选：D．【点评】本题考查正负数，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．【变式2-3】（2018秋•封开县期中）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（）A ．﹣3.5B ．+2.5C ．﹣0.6D ．+0.7【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．【解答】解：∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|，∴﹣0.6最接近标准，故选：C ．【点评】本题考查了绝对值和正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．【考点3 有理数相关概念】【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.【例3】（2018秋•江城区期中）下列说法中正确的是（ ）A ．正数和负数统称为有理数B ．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和0五类C ．一个有理数不是整数，就是分数D ．整数包括正整数和负整数【分析】根据有理数的分类，逐一做出判断即可． 【解答】解：因为是正数，却不是有理数，故选项A 错误；有理数按定义分为整数和分数，按性质分为正有理数、负有理数和0．故选项B 错误；因为整数和分数统称有理数，所以一个有理数不是整数，就是分数，故选项C 正确；整数包括正整数、负整数和0，由于缺少0故选项D 错误．故选：C ．【点评】本题考查有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类标准，做到不重不漏．【变式3-1】（2018秋•常熟市期中）下列各数：47-，1.010010001，338，0，﹣π，﹣2.626626662…，∙∙21.0，其中有理数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】直接利用有理数的概念分析得出答案．【解答】解：﹣，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数为：﹣，1.010010001，，0，0.，共5个．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数的相关概念，正确把握相关定义是解题关键．【变式3-2】下列说法正确的是（）A．正数与负数互为相反数B．符号不同的两个数互为相反数C．数轴上原点两旁的两个点所表示的数是互为相反数D．任何一个有理数都有它的相反数【分析】A、B、C可举反例判断，D根据相反数的概念解答即可．【解答】解：A、B、C、如+3和﹣2不是互为相反数，故本选项错误；D、任何一个有理数都有它的相反数，正确．故选：D．【点评】本题考查了相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数．【变式3-3】（2018秋•东台市期中）下列说法正确的是（）A．绝对值等于3的数是﹣3B．绝对值不大于2的数有±2，±1，0C．若|a|＝﹣a，则a≤0D．一个数的绝对值一定大于这个数的相反数【分析】利用绝对值的知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、绝对值等于3的数是3和﹣3，故错误；B、绝对值不大于2的整数有±2，±1，0，故错误；C、若|a|＝﹣a，则a≤0，正确，D、负数的绝对值等于这个数的相反数，故错误，故选：C．【点评】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【考点4 利用数轴判断符号】【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.【例4】（2018秋•宿松县期末）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①ab＜0，②﹣a＞﹣b，③a+b＜0，④a﹣b＜0，⑤a＜|b|，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，再利用有理数的乘法、加法、减法及绝对值性质等知识点逐一判断可得．【解答】解：由数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，则①ab＜0，此结论正确；②﹣a＜﹣b，此结论错误；③a+b＜0，此结论正确；④a﹣b＞0，此结论错误；⑤a＜|b|，此结论正确；故选：B．【点评】本题考查的是数轴和绝对值，熟知数轴上右边的数总比左边的大及有理数的混合运算法则是解答此题的关键．【变式4-1】（2018秋•西城区期末）如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④，其中值为负数的是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，据此逐项判断即可．【解答】解：根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，①2a﹣b＞0；②a+b＜0；③|b|﹣|a|＞0；④＜0．故其中值为负数的是②④．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围．【变式4-2】（2018秋•九龙坡区校级期中）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论：①ab ＜0；②a+b＞0；③a﹣b＞1；④a2﹣b2＜0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据数轴的性质，可以得到两个点表示数的大小关系和符号，根据有理数计算法则可得出结论【解答】解：∵b＜﹣1＜0，0＜a＜1∴①ab＜0，正确②a+b＞0，错误③a﹣b＞1，正确④a2﹣b2＜0，正确故选：C．【变式4-3】（2018秋•黄陂区期中）有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置，如图所示：①abc＜0；②|a ﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；④|a|＜1﹣bc，以上四个结论正确的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先根据数轴上a、b、c的位置判断它们的正负、大小，利用乘法的符号法则、有理数的减法法则、绝对值的化简等知识点逐个判断得结论．【解答】解：由数轴知：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1．∵a＜0．b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵a＜b，b＜c，a＜c，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a，|a﹣c|＝c﹣a，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，故②正确；∵a＜b，b＜c，a＜c，∴a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故③正确；∵a＜﹣1，∴|a|＞1，∵0＜b＜c＜1，∴0＜bc＜1，∴1﹣bc＜1，∴|a|＞1﹣bc，故④不正确．故选：B．【点评】本题考查了数轴上点的特点，有理数乘法的符号法则，有理数的大小比较，绝对值的化简等知识点，掌握减法、乘法的符号法则是解决本题的关键．【考点5 绝对值及偶次乘方的非负性】【方法点拨】直接利用绝对值及偶次乘方的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．【例5】（2019春•瑞安市期中）若|x+2|+（x+3y+1）2＝0，则y x的值为．【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵|x+2|+（x+3y+1）2＝0，∴x+2＝0，x+3y+1＝0，解得：x＝﹣2，y＝，故y x＝（）﹣2＝9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．【变式5-1】（2018秋•蔡甸区期末）若（x﹣2）2与|x+2y|互为相反数，则y﹣x＝．【分析】直接利用非负数的性质分别得出x，y的值，进而得出答案．【解答】解：∵（x﹣2）2与|x+2y|互为相反数，∴x﹣2＝0，x+2y＝0，解得：x＝2，y＝﹣1，故y﹣x＝﹣1﹣2＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．【变式5-2】（2018秋•滨湖区校级月考）当x时，2﹣（x+3）2有最大值．【分析】直接利用偶次方的性质分析得出答案．【解答】解：当x+3＝0时，2﹣（x+3）2有最大值，解得：x＝﹣3．故答案为：＝﹣3．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确利用偶次方的性质是解题关键．【变式5-3】（2018秋•江南区校级月考）当x＝时，﹣10+|x﹣1|有最小值，最小值为．【分析】直接录用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：∵|x﹣1|最小为0，∴当x＝1时，﹣10+|x﹣1|有最小值，最小值为：﹣10．故答案为：1，﹣10．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．【考点6 利用相反数、倒数、绝对值定义求值】【方法点拨】解决此类问题需熟知两个互为相反数的数和为0，两个互为倒数的数乘积为1，值得注意的是已知一个数的绝对值为非0的数，那么这个数应该有两个，此时应注意分类讨论，结果往往有两个.【例6】（2018秋•富顺县期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4．（1）直接写出a+b，cd，m的值；（2）求m+cd+m ba的值．【分析】（1）直接利用互为相反数以及互为倒数和绝对值的定义分别分析得出答案；（2）利用（1）中所求，代入得出答案．【解答】解：（1）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±4；（2）由（1）得：原式＝±4+1＝5或﹣3．【点评】此题主要考查了倒数、相反数、绝对值，正确把握相关定义是解题关键．【变式6-1】（2019春•白塔区校级月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于3，求m2+（cd+a+b）×m+（cd）2018的值．【分析】利用倒数，相反数的性质，以及绝对值的代数意义求出a+b，cd，m的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于3，∴a+b＝0，cd＝1，|m|＝3，当m＝﹣3时，m2+（cd+a+b）×m+（cd）2018＝（﹣3）2+（1+0）×（﹣3）+12018＝9+1×（﹣3）+1＝9+（﹣3）+1＝7；当m＝3时，∴m2+（cd+a+b）×m+（cd）2018＝13【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式6-2】（2018秋•临洮县月考）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0的解是多少？【分析】直接利用倒数以及绝对值、相反数的定义得出答案．【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，∴a+b＝0，cd＝1，p2＝4，∴（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0，整理得：3x﹣4＝0，解得：x＝．【点评】此题主要考查了倒数、相反数、绝对值，正确把握相关定义是解题关键．【变式6-3】（2018秋•湖里区校级月考）已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b 互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值．【分析】直接利用相反数以及互为倒数的性质得出a+b＝0，cd＝1，进而分类讨论得出答案．【解答】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，∴m＝﹣5或3，∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数，∴a+b＝0，cd＝1，当m＝﹣5时，∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m＝﹣3﹣（﹣5）＝2，当m＝3时，2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m＝﹣3﹣3＝﹣6综上所述：原式＝2或﹣6．【点评】此题主要考查了倒数与相反数，正确把握相关定义是解题关键．【考点7 利用绝对值、乘方的性质求值】【方法点拨】解决此类问题需熟知一个数的绝对值或乘方是一个正数，那么这个数应该有两个，需注意进行分类讨论，另外会熟练运用绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.包括逆向用法.【例7】（2018秋•江阴市校级月考）若实数a，b满足a2＝16，|b|＝6，且a﹣b＜0，求a+b的值．【分析】根据有理数的乘方和绝对值的性质求出a、b，再根据a﹣b＜0判断出a、b的对应情况，然后相加即可得解．【解答】解：∵a2＝16，|b|＝6，∴a＝±4，b＝±6，∵a﹣b＜0，∴a＜b，∴①a＝﹣4，b＝6，则a+b＝2，②a＝4，b＝6，则a+b＝10，综上所述，a+b的值等于2或10．【点评】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，有理数的减法，确定出a、b的值是解题的关键．【变式7-1】（2018秋•孝南区月考）已知|a|＝8，b2＝36，若|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．【分析】根据绝对值和乘方的意义可得a＝±8，b＝±6，再由绝对值的性质可得a﹣b≤0，进而可确定a、b的值，然后可得答案．【解答】解：∵|a|＝8，b2＝36，∴a＝±8，b＝±6，∵|a﹣b|＝b﹣a，∴a﹣b≤0，∴a≤b，∴a＝﹣8，b＝﹣6，则a+b＝﹣14，a＝﹣8，b＝6，a+b＝﹣2，故答案为：﹣2或﹣14．【点评】此题主要考查了绝对值的性质和有理数的乘方，关键是掌握有理数乘方的意义，掌握非正数的绝对值等于它的相反数．【变式7-2】（2018秋•江岸区期中）已知|x+4|＝5，（1﹣y）2＝9，且x﹣y＜0，求2x+y的值．【分析】根据绝对值和偶次幂得出x，y的值，进而解答即可．【解答】解：因为|x+4|＝5，（1﹣y）2＝9，且x﹣y＜0，所以x＝1，y＝4，或x＝﹣9，y＝﹣2，所以2x+y＝6或﹣20．【点评】本题考查有理数的乘方、绝对值的性质，解题的关键是根据绝对值和偶次幂得出x，y的值．【变式7-3】（2018秋•泰兴市校级月考）若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c．计算a+b﹣c的值．【分析】根据题意可以求得a、b、c的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，∴a＝±2，b＝±3，c＝±6，∵|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c，∴a+b≤0，b+c≥0，∴a＝±2，b＝﹣3，c＝6，∴当a＝2，b＝﹣3，c＝6时，a+b﹣c＝2+（﹣3）﹣6＝﹣7，a＝﹣2，b＝﹣3，c＝6时，a+b﹣c＝﹣2+（﹣3）﹣6＝﹣11．【点评】本替考查有理数的加减混合运算、绝对值，解答本题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法．【考点8 有理数混合运算】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.【例8】（2019春•黄州区校级月考）计算：（1）135()36 6412-+-⨯（2）22128(3)2()42()433-÷⨯-++⨯- 【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可求出值；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝﹣6+27﹣15＝6；（2）原式＝9××（﹣）+4+4×（﹣）＝﹣﹣+4＝﹣．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-1】（2018秋•宝应县期末）计算：（1）215[1(425)]-----⨯（2）2019211(1)|3(3)|2---÷-- 【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；（2）先算乘方，再算除法，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号和绝对值，要先做括号和绝对值内的运算．【解答】解：（1）﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣22×5）]＝﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣4×5）]＝﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣20）]＝﹣15﹣（﹣1+16）＝﹣15﹣15＝﹣30；（2）﹣12019﹣（1﹣）÷|3﹣（﹣3）2|＝﹣1﹣÷|3﹣9|＝﹣1﹣÷6＝﹣1﹣＝﹣1．【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【变式8-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）计算：（1）344[(2)()(2)]3(27)3-⨯-+--+-． （2）20191111()(24)3126---+⨯-． 【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值；（2）原式利用乘方的意义，以及乘法分配律计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝﹣8﹣81﹣27＝﹣113；（2）原式＝﹣1+8﹣2+4＝9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-3】（2018秋•渝中区校级期末）有理数的计算：（1）22321(21)(31)5353-+++- （2）201924242(1)[12()]339-+-÷⨯-+ 【分析】（1）去括号，再利用加法交换律和结合律计算可得；（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝﹣1+2+1+3﹣1＝﹣1+6＝5；（2）原式＝﹣2﹣1××（12﹣+）＝﹣2﹣×12＝﹣2﹣9＝﹣11．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．【考点9 有理数混合运算的应用】【方法点拨】对于应用题理解题意是解决此类题型的关键.【例9】（2018秋•新疆期末）某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？（2）本周总生产量是多少？比原计划增加了还是减少了？增减数为多少？【分析】（1）由表格找出生产量最多与最少的，相减即可得到结果；（2）根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：（1）7﹣（﹣10）＝17（辆）；（2）100×7+（﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10）＝696（辆），答：（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产17辆；（2）本周总生产量是696辆，比原计划减少了4辆．【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，以及正数与负数，弄清题意是解本题的关键．【变式9-1】（2018秋•康巴什校级月考）根据实验测定：高度每增加1千米，气温大约变化量为﹣6℃，某登山运动员攀登2km后，（1）气温有什么变化？（2）过一会后运动员在攀登途中发回信息，报告他所在高度的气温为﹣15℃，如果当时地面温度为3℃，求此时该登山运动员攀登了少千米？【分析】（1）由高度每增加1千米，气温大约变化量为﹣6℃可得．（2）根据高度每增加1千米，气温大约降低6℃，由他所在高度的气温即可求出高度．【解答】解：（1）根据题意，登山运动员攀登2km后，气温下降12℃；（2）根据题意得：[3﹣（﹣15）]÷6×1＝3（千米），则此时该登山运动员所在位置的高度是3千米．【点评】此题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解“高度每增加1千米，气温大约降低6℃”的意义．【变式9-2】（2018秋•雁塔区校级期末）快递配送员王叔叔一直在一条南北走向的街道上送快递，如果规定向北为正，向南为负，某天他从出发点开始所行走的路程记录为（长度单位：千米）：+3，﹣4，+2．+3．﹣1，﹣1，﹣3（1）这天送完最后一个快递时，王叔叔在出发点的什么方向，距离是多少？（2）如果王叔叔送完快递后，需立即返回出发点，那么他这天送快递（含返回）共耗油多少升（已知每千米耗油0.2升）？【分析】（1）在计算最终位置的时候，既要考虑距离的变化，又要考虑方向的变化，所以包含表示方向的符号一起进行加减运算，即求：+3﹣4+2+3﹣1﹣1﹣3的和．（2）考虑耗油时，只要考虑路程的总变化，不需要考虑方向的变化，所以将上述数值的绝对值相加，并包括回到出发点的距离求总路程，再计算耗油量．【解答】解：（1）由题意得：+3﹣4+2+3﹣1﹣1﹣3＝﹣9+8＝﹣1答：王叔叔送完最后一个快递时，在出发点的南方，距离出发点是1km．（2）设王叔叔总的行驶路程为S，则S＝|+3|+|﹣4|+|+2|+|+3|+|﹣1|+|﹣1|+|﹣3|+|﹣1|＝18∵每行驶1千米耗油0.2升，∴耗油量为18×0.2＝3.6答：王叔叔这天送快递（含返回）共耗油3.6升．【点评】本题考查的是有理数中正负数表示的意义与绝对值的意义，理解符合在问题中表示的意义是解决本题的关键．【变式9-3】小明是“环保小卫士”，课后他经常关心环境天气的变化，最近他了解到上周白天的平均气温，如下表（+表示比前一天升了，﹣表示比前一天下降了．单位：℃）已知上周周日平均气温是16.9℃，回答下列问题：（1）这一周哪天的℃平均气温最高是多少？（2）计算这一周每天的平均气温？（3）小明了解到本地的平均气温同期历史最高气温是17.2℃，最低气温是4.2℃，用一句话概括本地的气温变化．【分析】（1）观察表中数字不难看出：前六天中，除了星期二是负数，其它均为正数，显然周六的平均气温最高；（2）只需依次相加即可分别求出这一周每天的平均气温；（3）根据前面的计算结果，和历史数据比较就可以得到结论．【解答】解：（1）16.9+1.1＝18℃18﹣0.3＝17.7℃17.7+0.2＝17.9℃17.9+0.4＝18.3℃18.3+1＝19.3℃19.3+1.4＝20.7℃20.7﹣0.3＝20.4℃故周六平均气温最高，最高是20.7℃；（2这周每天的平均气温是：周一16.9+1.1＝18℃；周二18﹣0.3＝17.7℃；周三17.7+0.2＝17.9℃；周四17.9+0.4＝18.3℃；周五18.3+1＝19.3℃；周六19.3+1.4＝20.7℃；周日20.7﹣0.3＝20.4℃．（3）由于本地的平均气温同期历史最高气温是17.2℃，最低气温是4.2℃，所以本地温差变化不大．【点评】此题要求学生熟练进行有理数的连加减运算．【考点10 有关数轴的探究题】【方法点拨】解决此类问题数形结合思想是关键.【例10】（2018秋•海淀区校级期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆，有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位，（1）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6①第次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远；②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）（2）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．【分析】（1）①算出每次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离，然后比较大小即可；②总路程与方向无关把每次的移动的距离相加即可；（2）分同向和反相两种情况讨论，同向路程之差为9π，反向路程之和为9π，然后求出相应时间，再根据不同方向确定两圆与数轴重合的点所表示的数【解答】解：（1）①：第1次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π|＝2π第2次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π|＝2π第3次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π第4次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π第5次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π第6次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π所以第四次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离最远．故答案为4；②总路程为：|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|＝36π此时两圆与数轴重合的点之间的距离为：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π（2）当它们同向运动时秒，小圆与数轴重合的点所表示的数为9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为18π，或小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣18π，当它们反向运动时秒，小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为6π，或小圆与数轴重合的点所表示的数为3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣6π，【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．【练10-1】（2018秋•江岸区校级月考）如图，数轴上A，B两点对应的数分别﹣4，8．有一动点P从点A 出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动（1）当运动到第2018次时，求点P所对应的有理数．（2）点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由．【分析】（1）根据题意可以发现点P运动后对应的点的规律，从而可以解答本题；（2）根据题意分两种情况：①当P点在A点的左边时；②当P点在AB之间时；可以求得点P对应的有理数．【解答】解：（1）﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣…﹣2017+2018＝﹣4+1009＝1005．故点P所对应的有理数是1005．（2）①当P点在A点的左边时，∵PB＝3P A，∴AB＝2P A，∴P A＝6，∴P点对应的数为﹣10，﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣9+10﹣11＝﹣10，∴可以；②当P点在AB之间时，。

有理数知识归纳与题型突破（题型清单）知识点1．有理数的分类注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．按意义分：ììïïíïïïíîïìïíïîî正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：ììïíîïïíïìïíïîî正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数．01 思维导图02 知识速记（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数知识点2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．知识点3．相反数只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．知识点4．绝对值（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．知识点5.有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．00C p --a【题型一 正负数的意义】例题：若零下2摄氏度记为2C -°，则零上2摄氏度记为（ ）A ．2C-°B ．0C °C ．2C +°D ．4C+°【答案】C【分析】根据正负数的实际意义可进行求解．【详解】解：由题意可知零上2摄氏度记为2C +°；故选C ．【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．巩固训练1．在2-，0，0.5，3四个数中，是负数的是（ ）A ．2-B ．0C ．0.5D ．3【答案】A【分析】根据负数的定义即可求解．【详解】解：由题意得，在2-，0，0.5，3四个数中，是负数的是2-，故选A ．【点睛】此题主要正负数的定义，解题的关键是熟知负数的定义．2．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作100+元，则55-元表示( )A ．支出45元B ．收入45元C ．支出55元D ．收入55元【答案】C【分析】根据具有相反意义的量分析即可求解．【详解】解：收入100元记作100+元，则55-元表示支出55元，故选：C ．【点睛】本题考查了具有相反意义的量，理解负数表示相反意义的量是解题的关键．【题型二 相反意义的量】例题：某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作10+，那么出货5件应记作___________．03 题型归纳【答案】5-【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：∵“正”和“负”相对，∴进货10件记作10+，那么出货5件应记作5-．故答案为：5-．【点睛】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题关键．巩固训练【题型三 正负数的实际应用】例题：近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“9050+米”，那么海平面以下10907米记作“________米”．【答案】10907-【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．【详解】解：把海平面以上9050米记作“9050+米”，则海平面以下10907米记作10907-米，故答案为：10907-．【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．巩固训练1．一袋食品的包装袋上标有300g 5g ±的字样，它的含义是______．【答案】这袋食品的质量与标准质量300g 相比，超重不超过5g ，不足也不超过5g【分析】利用生活中的数学知识，利用±表示比标准质量可能多也可能少解决本题即可．【详解】解：5±表示比300g 超重不超过5g ，不足也不超过5g ．故答案为：这袋食品的质量与标准质量300g 相比，超重不超过5g ，不足也不超过5g ．【点睛】本题考查了有理数中正负数的实际应用，把正数和负数与日常生活相联系是解答本题的关键．2．某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：)10kg 0.()1(kg ±，这袋大米最轻的重量是___________kg ．【答案】9.9【分析】根据正负数的意义计算即可．【详解】∵包装上标有：)10kg 0.()1(kg ±，∴这袋大米最轻的重量是10kg 0.1k ()()9.9g)g (k -=．故答案为: 9.9．【点睛】本题考查了正负数的意义,正确理解是解题的关键．【题型四 有理数的概念】【题型五0的意义】例题：下面关于0的说法，正确的是（）A．0既不是正数也不是负数B．0既不是整数也不是分数C．0不是有理数D．0的倒数是0【答案】A【分析】依据倒数，有理数相关概念以及有理数分类判断即可．【详解】A．0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，符合题意；B．0是整数，不是分数，故此选项错误，不符合题意；C．0是有理数，故此选项错误，不符合题意；D．0不存在倒数，故此选项错误，不符合题意．【点睛】本题考查了有理数，0是重要的数字，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．巩固训练1．下列结论中正确的是（）A．0既是正数，又是负数B．0是最小的正数C．0是最大的负数D．0既不是正数，也不是负数【答案】D【分析】根据0这个实数的相关知识，进行判断即可．【详解】解：0既不是正数，也不是负数；0是整数，也是有理数；0是最小的自然数；0还是正数和负数的分界线；故选：D．【点睛】本题考查了有理数0的相关知识，熟知：①既不是正数，也不是负数；②是整数，也是有理数；③是最小的自然数；④是正数和负数的分界；是解本题的关键．2．下列说法正确的是（ ）A．整数就是自然数B．0不是自然数C．正数和负数统称有理数D．0是整数而不是负数【答案】D【分析】根据有理数的分类即可作出判断．【详解】A、整数为正整数，0及负整数，自然数为正整数与0，说法错误，不符合题意，此选项错误；B、0是自然数，说法错误，不符合题意，此选项错误；C、正数，0和负数统称为有理数，说法错误，不符合题意，此选项错误；D、0是整数而不是负数，说法正确，符合题意，此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数与自然数和整数的区别，以及0的意义是本题关键．【题型六有理数的分类】【答案】见解析【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键．2．把下列各数分别填入相应的集合内：2(1)正数集合：{ …}；(2)负数集合：{ …}；(3)整数集合：{ …}；【题型七带“非”字的有理数】【题型八数轴的三要素及其画法】例题：以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，进行判断即可．【详解】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大，∴四个选项中只有选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查数轴的定义．熟练掌握数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，是解题的关键．巩固训练1．在下列选项中数轴画法正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目．【详解】解：A.各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意；B.数轴为直线，可以无限延伸，故此选项错误，不符合题意；C.规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意；D.没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴是一条规定了正方向、原点、单位长度的直线是解题的关键．2．下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度判断所给出的四个数轴哪个正确．【详解】解：A、没有原点，故此选项错误，不符合题意；B、单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意；C、符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意．D、没有正方向，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可．【题型九用数轴上的点表示有理数】12 1.514-<-<<由数轴可得12 1.5142-<-<<．由数轴可得：1310 2.52-<-<<<．【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原______<______<______<______.12按从小到大的顺序排列为：1212 3.52-<-<<．故答案为：122-；1-；2；3.5．例题：已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m_______n．（填“<”、“>”或“=”）【答案】<【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案．【详解】解：mQ在n的左边，m n\<，故答案为：<．【点睛】此题考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键．巩固训练1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则a____________b-．（填“>”“=”或“<”）【答案】>-的点，再利用数轴的性质比较大小即可．【分析】在数轴上找到表示b【详解】如图所示，>-，由数轴可知a b故答案为：>．【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，做题关键要掌握数轴上的点表示的数的特点．2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a______b．（填“>”“=”或“<”）【答案】>【分析】根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案．【详解】解：由数轴可知，a b>，故答案为：>．【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键．【题型十一数轴上两点之间的距离】-的两点间的距离是______，与5-相距9个单位的点是______．1．数轴上数5-和14【答案】 9 4和14-【分析】直接根据数轴作答即可．【详解】数轴上数5-和14-的两点间的距离是()5149---=，与5-相距9个单位的点是594-+=和5914--=-，故答案为：9；4和14-．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的求法，两点间的距离＝右边的点表示的数－左边的点表示的数；或者两点间的距离＝两数差的绝对值．2．点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点A 、B 表示的数分别为4-、1，若2BC =，则AC 等于______．【答案】3或7/7或3【分析】根据题意求出AB ，分点C 在点B 的右侧和点C 在点B 的左侧两种情况计算．【详解】∵点A 、B 表示的数分别为4-、1，∴5AB =，第一种情况：点C 在AB 外，如图，527AC =+=；第二种情况：点C 在AB 内，如图，523AC =-=；故答案为：3或7．【点睛】本题考查了数轴的知识，灵活运用分情况讨论思想，掌握在数轴上表示两点之间的距离是解题的关键．【题型十二 相反数的定义】【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．巩固训练【题型十三化简多重符号】--的结果为（）1.化简()3【题型十四判断是否互为相反数】为相反数．【题型十五 相反数的应用】例题：已知23x +与5-互为相反数，则x 等于______．【答案】1【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列式计算即可．【详解】∵23x +与5-互为相反数，∴()2350x ++-=解得1x =．故答案为：1．【点睛】本题考查了相反数的性质，熟练掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键．巩固训练1.已知4a +与2互为相反数，那么=a ___________．【答案】6-【分析】根据相反数的定义求解即可．【详解】解：∵4a +与2互为相反数，∴420a ++=，∴6a =-，故答案为：6-．【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知互为相反数的两个数和为零是解题的关键．2.若a 、b 互为相反数，则a +b +2的值为______．【答案】2【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，可知0a b +=，将其代入即可求得结果．【详解】解：∵a 、b 互为相反数，∴0a b +=，∴2022a b ++=+=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，整体进行代入求值是本题的主要思路．【题型十六绝对值的意义】A．a B．bA．点A与点B之间【题型十七求一个数的绝对值】【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．【题型十八 绝对值非负性的应用】例题：如果|2|||0a b -+=，那么a ，b 的值为（ ）A ．11a b ==，B ．13a b =-=，C ．20a b ==，D ．02a b ==，【答案】C【分析】根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值即可．【详解】解：∵|2|||0a b -+=，∴200a b -==，，解得，20a b ==，，故选：C ．【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．巩固训练【题型十九利用绝对值比较负有理数的大小】。

人教版七年级数学上册第一章有理数难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、数轴上，把表示2的点向左平移3个单位长度得到的点所表示的数是（）．A．－5 B．－1 C．1 D．52、3的相反数为（）A．﹣3 B．﹣13C．13D．33、如果13,5,244a b c==-=-，那么||||a b c+-等于（）．A．2-B．172C．2 D．172-4、在5-，3-，0，1.7这4个数中绝对值最大的数是（）A．5-B．3-C．0 D．1.7 5、若有理数a，b满足2022|3-|+(+2)a b＝0，则a+b的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 6、下列各组数中，互为相反数是（）A ．||a 与a -B ．||a 与aC ．12-与12- D ．12与12 7、如图，已知数轴上,A B 两点表示的数分别是,a b ，则计算b a -正确的是（ ）A ．b a -B ．-a bC ．a b +D ．a b --8、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m +1的绝对值为5，则式子|m |﹣cd a bm++的值为（ ） A ．3B ．3或5C ．3或﹣5D ．49、在计算|（-5）+□|的□中填上一个数，使结果等于11，这个数是（ ） A ．16B ．6C ．16或6D ．16或-610、下列各式，计算正确的是（ ） A ．|3||2|1--+-=B ．311252⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭C ．43443433⎛⎫-÷-⨯= ⎪⎝⎭D ．23112(2)(2)424⎛⎫---+-÷-= ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、把8.5046用四舍五入法精确到0.01后所得到的近似数是______．2、如图，边长为1的正方形ABCD ，沿数轴顺时针连续滚动．起点A 和2-重合，则滚动2026次后，点C 在数轴上对应的数是______．3、点A 和点B 是数轴上的两点，点A B 表示的数为1，那么A 、B 两点间的距离为_____．4、中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪．摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如 表示752-，表示2369，则表示________．5、求-2017的相反数与12的倒数的和是_________ 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知a 与b 的差为223，b 与c 互为倒数，c 与d 的和为145，若2d =，求a 、b 、c 的值．2、计算：（1）21571|835|()()26126--+-÷-；（2）5231(1)(35)[1(3)]7-⨯--⨯--．3、计算： （1）计算：117313()(48)126424-+-⨯- （2）11(370)0.2524.5(25%)542⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）15(3)3(811)236⎛⎫-÷-÷---⨯ ⎪⎝⎭（4）(-9)÷(-4)÷(-2)（5）111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)234520032004----⋯-- （6）2004×20032003-2003×20042004 4、计算：（1）(6)(13)-+- （2）4354⎛⎫-+ ⎪⎝⎭5、把下列各数填在相应的集合中： 15，－12，0.81，－3，227，－3.1，－4，171，0，3.14，π，1.6 正数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 非负整数集合{ …}； 有理数集合{ …}．-参考答案-一、单选题 1、B 【解析】 【分析】根据数轴上点的坐标特点及平移的性质解答即可． 【详解】解：根据题意：数轴上2所对应的点为A ，将A 点左移3个单位长度，得到点的坐标为2-3=-1， 故选：B ．【考点】本题考查了数轴上的点与实数对应关系及图形平移的性质等有关知识． 2、A 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3． 故选：A ． 【考点】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 3、C 【解析】 【分析】根据有理数的加法，先计算绝对值，再进行混合运算即可． 【详解】13,5,244a b c ==-=-∴||||a b c +-135244=---3342244=-= 故选C ． 【考点】本题考查了代数式求值，有理数的加减运算，求一个数的绝对值，正确的计算是解题的关键．4、A 【解析】计算绝对值要根据绝对值的定义分别求出这四个数的绝对值，再进行比较即可. 【详解】解：|- 5|=5， |- 3|=3， |0|=0，|1.7|=1.7， ∵5>3>1.7>0，∴绝对值最大的数为-5， 故选: A. 【考点】本题考查的是绝对值的规律，一个 正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0. 5、A 【解析】 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性求出a ，b 的值，即可得到a +b 的值． 【详解】解：∵|3-|0a ≥，2022(2)0b +≥ ∴3-a =0，b +2=0 ∴a =3，b =-2 ∴a +b =1 故选：A ． 【考点】本题考查绝对值和偶次方的非负性，有理数的加法，解题的关键是掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0． 6、C 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，进行逐一判断即可． 【详解】解：A 、||a 与a -，当a 小于0时，||=a a -，则||a 与a -不一定是相反数，此说法不符合题意； B 、||a 与a ，当a 大于0时，||=a a ，则||a 与a 不一定是相反数，此说法不符合题意； C 、11=22-，由12和12-互为相反数可知12-与12-互为相反数，此说法符合题意；D 、11=22-，可知12-与12不是相反数，此说法不符合题意；故选C ． 【考点】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相反数的定义． 7、C 【解析】 【分析】根据数轴上两点的位置，判断,a b 的正负性，进而即可求解． 【详解】解：∵数轴上,A B 两点表示的数分别是,a b ， ∴a ＜0，b ＞0，∴()b a b a a b -=--=+，【考点】本题考查了数轴，绝对值，掌握求绝对值的法则是解题的关键．8、B【解析】【分析】【详解】【分析】利用相反数、倒数的性质，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值．∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m+1的绝对值为5，∴a+b＝0，cd＝1，|m+1|＝5，∴m＝﹣6或4，则原式＝6﹣1+0＝5或4﹣1+0＝3．故选：B．9、D【解析】【分析】根据绝对值的性质和有理数的加法法则即可求得．【详解】解：|（-5）+□|=11，即（-5）+□=11或-11，∴□=16或-6，故选D．本题考查了绝对值以及有理数的加法，关键是得到（-5）+口=-11或11．10、D【解析】【分析】根据绝对值，有理数的乘方和有理数的四则混合运算计算法则求解即可．【详解】解：A．原式321=-+=-，故本选项错误；B．原式12(2)143=--⨯-=-+=，故本选项错误；C．原式4446433327=⨯⨯=，故本选项错误；D．原式11114(8)4842244⎛⎫⎛⎫=---+-⨯-=-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故本选项正确．故选D．【考点】本题主要考查了有理数的乘除法，含乘方的有理数计算，绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．二、填空题1、8.50【解析】【分析】把千分位上数字4进行四舍五入即可．【详解】解：8.5046≈8.50（精确到0.01）．故答案为8.50．【考点】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．2、2024【解析】【分析】滚动2次点C第一次落在数轴上，再滚动（2026-2）次，得出点C第506次落在数轴上，进而求出相应的数即可．【详解】解：将起点A和-2重合的正方形，沿着数轴顺时针滚动2次，点C第1次落在数轴上的原点．以后每4次，点C会落在数轴上的某一点，这样滚动2026次，点C第（2026-2）÷4=506次落在数轴上，因此点C所表示的数为2024，故答案为：2024．【考点】本题是利用规律求解问题.解题的关键是要找到规律“正方形ABCD沿着数轴顺时针每滚动一周，B、C、D、A依次循环一次”，同时要注意起点是－2，起始循环的字母为点A．31【解析】【分析】数轴上两点之间的距离，用在数轴右边的点所对应的数减左边的点所对应的数或加绝对值符号即可．【详解】=，解：本题主要考查数轴上两点间的距离，点A和点B111.【考点】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解距离是非负数．4、7416-【解析】【分析】根据算筹记数的规定可知，“”表示一个4位负数，再查图找出对应关系即可得表示的数．【详解】解：由已知可得：“”表示的是4位负整数，是7416-．故答案为：7416-．【考点】本题考查了应用类问题，解题关键是通过阅读材料理解和掌握我国古代用算筹记数的规定．5、2019【解析】【分析】根据“只有符号不同的两个数互为相反数”和“乘积是1的两个数互为倒数”解答即可．【详解】-2017的相反数是2017，12的倒数是2，故-2017的相反数与12的倒数的和是2019.故答案为：2019 【考点】本题考查的是相反数及倒数，掌握相反数及倒数的定义是关键．三、解答题1、4333，511，115 【解析】【分析】 根据题意可知，223a b -=，1bc =，145c d +=，然后代入计算即可． 【详解】 解：1114225551c =-==，511b =， 5242311333a =+=． 【考点】本题解题的关键是明确倒数的意义．2、（1）0；（2）-8【解析】【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【详解】解：（1）21571|835|()()26126--+-÷- 15727()362612=-+-⨯ 27183021=--+0=；（2）5231(1)(35)[1(3)]7-⨯--⨯-- 21(1)(2)(127)7=-⨯--⨯+ 114287=-⨯-⨯ 44=--8=-．【考点】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．3、（1）2；（2）100；（3）35；（4）98-；（5）12004-；（6）0 【解析】【分析】（1）根据乘法分配律进行简便计算；（2）将原式中的小数和百分数统一成分数，然后利用乘法分配律进行简便计算；（3）先算乘除，再算加减，有小括号先算小括号里面的；（4）根据有理数除法运算法则进行计算；（5）先算小括号里面的，然后根据数字变化规律进行符号确定和约分计算；（6）将原式中数据进行拆分，然后再计算．【详解】解：（1）原式117313(48)(48)(48)(48)126424=⨯--⨯-+⨯--⨯- 44563626=-+-+=2；（2）原式1111137024544224=⨯+⨯+⨯ 111370245224⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭ 14004=⨯ =100；（3）原式=6-33+3(3)25⨯⨯--⨯ =18965-++ =35； （4）原式＝-9÷4÷2 ＝11942-⨯⨯ =98-； （5）原式=123420022003()()()234520032004⨯-⨯⨯-⨯⋯⨯-⨯ =-123420022003234520032004⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯ =-12004； （6）原式= 2004×2003×10001-2003×2004×10001=0．【考点】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．4、（1）-19；（2）1 20 -【解析】【分析】（1）根据有理数的加法法则计算；（2）根据有理数的加法法则计算；【详解】解：（1）(6)(13)-+-=-6-13=-19；（2）4354⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=34 45 -=151620 20-=1 20 -【考点】本题考查了有理数的加法运算，解题的关键是注意运算过程中的符号问题．5、15，0.81，227，171，3.14，π，1.6；－12，－3.1；15，171，0；15，－12，0.81，－3，227，－3.1，－4，171，0，3.14，1.6．【解析】【分析】正数就是大于0的数，负数就是小于0的数，有理数是整数与分数的统称，据此即可进行分类．【详解】解：正数集合{15，0．81，227，171，3．14，π，1.6，…}；负分数集合{12-，－3．1，…}；非负整数集合{15，171，0，…}；有理数集合{15，12-，0．81，－3，227，－3．1，－4，171，0，3．14，1.6，…}．【考点】本题主要考查了有理数的概念，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数的定义与特点是解题关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．。

（易错题精选）初中数学有理数的运算难题汇编附解析一、选择题1．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（ ）A ．1269×108B ．1.269×108C ．1.269×1010D ．1.269×1011【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】1269亿=1.269×1011故选D.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解题关键．2．2017年常州市实现地区生产总值约6622亿元，将6622用科学记数法表示为( ) A ．40.662210⨯B ．36.62210⨯C ．266.2210⨯D ．116.62210⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数.【详解】解：将6622用科学记数法表示为：36.62210⨯.故选B.【点睛】本题考查科学计数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数,表示时关键要正确确定a 的值及n 的值.3．暑期爆款国产动漫《哪吒之降世魔童》票房已斩获4930000000，开启了国漫市场崛起新篇章，4930000000用科学计数法可表示为（ ）A ．49.3×108B ．4.93×109C ．4.933×108D ．493×107【答案】B【解析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可.【详解】解：4930000000=4.93×109．故选B．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a 与n的值是解题的关键．4．一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（）A．4 B．6 C．7 D．10【答案】B【解析】【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．【详解】∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，∴原数中“0”的个数为6，故选B．【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时， n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数.5．计算﹣6+1的结果为（）A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7【答案】A【解析】【分析】根据有理数的加法法则，|﹣6|＞|1|，所以结果为负号，并把它们的绝对值相减即可.【详解】解：﹣6+1＝﹣（6﹣1）＝﹣5故选：A．【点睛】本题考查了有理数的加法，注意区别同号相加与异号相加，把握运算法则是关键．6．计算12+16+112+120+130+……+19900的值为（）A．1100B．99100C．199D．10099【解析】分析：直接利用分数的性质将原式变形进而得出答案．详解：原式=11111 1223344599100 ++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯=111111112233499100 -+-+-+⋯+-，=1-1 100=99 100．故选B．点睛：此题主要考查了有理数的加法，正确分解分数将原式变形是解题关键．7．根据如图的程序运算：当输入x＝50时，输出的结果是101；当输入x＝20时，输出的结果是167．如果当输入x 的值是正整数，输出的结果是127，那么满足条件的x的值最多有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【解析】【分析】根据程序中的运算法则计算即可求出所求．【详解】根据题意得：2x+1＝127，解得：x＝63；2x+1＝63，解得：x＝31；2x+1＝31，解得：x＝15；2x+1＝15，解得：x＝7；2x+1＝7，解得：x＝3；2x+1＝3，解得：x＝1，则满足条件x的值有6个，【点睛】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．温州市2019年一季度生产总值（GDP）为129 800 000 000元．将129 800 000 000用科学记数法表示应为（）A．1298×108B．1.298×108C．1.298×1011D．1.298×1012【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】129 800 000 000＝1.298×1011，故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．下列说法中，正确的是（）A．在数轴上表示-a的点一定在原点的左边B．有理数a的倒数是1 aC．一个数的相反数一定小于或等于这个数D．如果a a=-，那么a是负数或零【答案】D【解析】【分析】根据实数与数轴的对应关系、倒数、相反数、绝对值的定义来解答.【详解】解：A、如果a<0，那么在数轴上表示-a的点在原点的右边，故选项错误；B、只有当a≠0时，有理数a才有倒数，故选项错误；C、负数的相反数大于这个数，故选项错误；D、如果a a=-，那么a是负数或零是正确.故选D.【点睛】本题考查了数轴、倒数、相反数、绝对值准确理解实数与数轴的定义及其之间的对应关系.倒数的定义：两个数的乘积是1，则它们互为倒数；相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.10．（﹣1）4可表示为（）A．（﹣1）×4 B．（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）C．﹣1×1×1×1 D．（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）【答案】D【解析】【分析】根据有理数乘法的定义可得出结论．【详解】（﹣1）4=（-1）×（-1）×（-1）×（-1）.故答案选D.【点睛】本题考查的知识点是有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方.11．按如图所示的运算程序，能使输出y的值为1的是（）A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝﹣1 C．a＝1，b＝3 D．a＝4，b＝2【答案】A【解析】【分析】根据题意，每个选项进行计算，即可判断．【详解】解：A、当a＝3，b＝2时，y＝12a-＝132-＝1，符合题意；B、当a＝﹣3，b＝﹣1时，y＝b2﹣3＝1﹣3＝﹣2，不符合题意；C、当a＝1，b＝3时，y＝b2﹣3＝9﹣3＝6，不符合题意；D、当a＝4，b＝2时，y＝12a-＝142-＝12，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查有理数的混合运算，代数式求值等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．12．2019年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超34200000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，将数34200000用科学记数法表示为( )A．8⨯D．634.2103.4210⨯⨯B．70.342103.4210⨯C．8【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将34200000用科学记数法表示为：3.42×107．故选B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．去年端午节假期第一天，国内游客人数达3050万人次，将数据“3050万”用科学记数法表示为（）A．6⨯D．83.0510⨯3.05103.0510⨯B．630.510⨯C．7【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】3050万=30500000=7⨯，3.0510故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．解题关键在于掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．现规定一种运算，a*b=ab-a+b，计算（-3*5）等于多少？（）A．-7 B．-15 C．2 D．7【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的运算法则，代入具体数进行计算即可．【详解】解：（-3*5）=（-3×5）-（-3）+5=-7，故选：A ．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握有理数的加法、减法法则．15．6万亿=296000000000000=2.96×1013．故选B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示的关键是要正确确定a 的值以及n 的值．16．2018年4月10日，“2018博鳌亚洲论坛”在我国海南省博鳌小镇如期举行，据统计，在刚刚过去的一年，亚洲经济总量为29.6万亿美元，高居全球七大洲之首．数据“29.6万亿”用科学记数法可表示为（ ）A ．2.96×108B ．2.96×1013C ．2.96×1012D ．29.6×1012【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】17．若30,a -=则+a b 的值是（ ）A ．2B 、1C 、0D 、1-【答案】B【解析】试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B ．考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．18．双十一是阿里巴巴打造的年中购物狂欢，从2009年到2018年十年时间，双十一就像一个符号一样，融入到人们的日常生活当中.2018年京东在双十一期间(11月1日﹣11月11日)累计下单金额达1598亿元人民币.用科学记数法表示数1598亿是( )A ．1.598×1110B ．15.98×1010C ．1.598×1010D ．1.598×810【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】用科学记数法表示数1598亿是1.598×1011．故选A ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．19．今年3月12日，支付宝蚂蚁森林宣布2019春种正式开启，称“春天，是种出来的”.超过4亿人通过蚂蚁森林在地球上种下了超过5500万棵真树，总面积超76万亩，大约相当于7.6万个足球场.数据“5500万”用科学计数法表示为（ ）A ．4550010⨯B ．65510⨯C ．75.50010⨯D ．80.5510⨯【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：5500万用科学记数法表示为5.500×107．故选C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．20．近似数2.864×104精确到( )A ．千分位B ．百位C ．千位D ．十位【答案】D【解析】解：2.864×104=28640，数字4在十位上，故选D ．。

新初中数学有理数难题汇编附答案解析一、选择题1．数轴上A ，B ，C 三点所表示的数分别是a ，b ，c ，且满足||||||c b a b a c ---=-，则A ，B ，C 三点的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】由A 、B 、C 在数轴上的位置判断出a 、b 、c 的大小关系，根据绝对值性质去绝对值符号，判断左右两边是否相等即可.【详解】当a c b ＜＜时，||||c b a b b c a b a c ---=-+-=-，180°-66?38=113?22′′，此选项错误；B 、当a ＜b ＜c 时，||||2c b a b c b a b c a b ---=-+-=+-，44A-mB=，此项错误；C 、当c ＜a ＜b 时，||||c b a b b c a b a c ---=-+-=-，||a c a c -=-，此项正确D 、当c ＜b ＜a 时，||||2c b a b b c a b c a b ---=--+=--+，||a c a c -=-，此选项错误；故选C.【点睛】本题主要考查绝对值性质:正数绝对值等于本身，0的绝对值是0，负数绝对值等于其相反数.2．在﹣3，﹣1，1，3四个数中，比2大的数是（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．3【答案】D【解析】【分析】根据有理数比较大小的方法解答即可．解：比2大的数是3．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数比较大小，掌握有理数比较大小的比较方法是解题的关键．3．16的绝对值是( ) A ．﹣6 B ．6 C ．﹣16 D ．16【答案】D【解析】 【分析】 利用绝对值的定义解答即可． 【详解】16的绝对值是16， 故选D ．【点睛】本题考查了绝对值得定义，理解定义是解题的关键．4．在数轴上，实数a ，b 对应的点的位置如图所示，且这两个点到原点的距离相等，下列结论中，正确的是（ ）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．a b <D ．0ab >【答案】A【解析】由题意可知a<0<1<b ，a=-b ，∴a+b=0，a-b=2a<0，|a|=|b|，ab<0，∴选项A 正确，选项B 、C 、D 错误，故选A.5．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】 根据，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．【详解】 解：， 原点在a ，b 的中间， 如图，由图可得：，，，，，故选项A 错误，故选：A ．【点睛】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．6．在－3，－1，0，3这四个数中，比－2小的数是( )A ．－3B ．－1C ．0D ．3【答案】A【解析】【分析】根据两个负数比较大小，绝对值较大的数反而小，正数比负数大，逐个判断与-2的大小关系即可．【详解】解：∵-32103<-<-<<∴比－2小的数是-3故选：A【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握负数比较大小的方法是关键．7．实数a b c d 、、、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．3a >-B ．0bd >C ．0b c +<D ．a b < 【答案】C【解析】【分析】根据数轴上点的位置，可以看出a b c d <<<，43a -<<-，21b -<<-，01c <<，3d =，即可逐一对各个选项进行判断．【详解】解：A 、∵43a -<<-，故本选项错误；B 、∵0b <，0d >，∴0bd <，故本选项错误；C 、∵21b -<<-，01c <<，∴0b c +<，故本选项正确；D 、∵43a -<<-，21b -<<-，则34a <<，12<<b ，∴a b >，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了数轴和绝对值，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大、有理数的运算、绝对值的意义是解题的关键．8．若（x +y ﹣1）2+|x ﹣y +5|＝0，则x ＝（ ）A ．﹣2B ．2C ．1D ．﹣1 【答案】A【解析】【分析】由已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x 即可.【详解】解：∵（x +y ﹣1）2+|x ﹣y +5|＝0，∴1050x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， 解得：23x y =-⎧⎨=⎩， 故选：A.【点睛】本题主要考查了非负数的性质和二元一次方程组的解法，根据两个非负数的和为零则这两个数均为零得出方程组是解决此题的的关键.9．若a 为有理数，且|a |＝2，那么a 是（ ）A ．2B ．﹣2C ．2或﹣2D ．4【答案】C【解析】【分析】利用绝对值的代数意义求出a 的值即可．【详解】若a 为有理数，且|a|＝2，那么a 是2或﹣2，故选C ．【点睛】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．10．若2(21)12a a -=-，则a 的取值范围是（ ）A ．12a ≥ B ．12a > C ．12a ≤ D ．无解【答案】C【解析】 【分析】 根据二次根式的性质得2(21)a -=|2a-1|，则|2a-1|=1-2a ，根据绝对值的意义得到2a-1≤0，然后解不等式即可．【详解】解：∵2(21)a -=|2a-1|，∴|2a-1|=1-2a ，∴2a-1≤0，∴12a ≤． 故选：C ．【点睛】 此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质.11．如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【答案】C【解析】试题分析：∵点M ，N 表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O 点，∴绝对值最小的数的点是P 点，故选C ．考点：有理数大小比较．12．若320,a b -+=则+a b 的值是（ ）A ．2B 、1C 、0D 、1-【答案】B【解析】试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B ．考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．13．实数a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．a b >B ．0a b +>C ．0ac >D ．a c >【答案】D【解析】【分析】根据数轴的特点：判断a 、b 、c 正负性，然后比较大小即可．【详解】根据数轴的性质可知：a ＜b ＜0＜c ，且|c|＜|b|＜|a|；所以a ＞b ，0a b +>，ac ＞0错误；|a|＞|c|正确；故选D ．【点睛】本题考查实数与数轴的关系，关键是根据实数在数轴上的位置判断字母的正负性，根据实数在数轴上离原点的距离判断绝对值的大小．14．若225a =，3b =，且a ＞b ，则a b +=( )A ．±8或±2B ．±8C ．±2D ．8或2【答案】D【解析】【分析】结合已知条件，根据平方根、绝对值的含义，求出a ，b 的值，又因为a ＞b ，可以分为两种情况：①a=5，b=3；②a=5，b=-3，分别将a 、b 的值代入代数式求出两种情况下的值即可．【详解】∵225a =，|b|=3，∴a=±5，b=±3，∵a ＞b ，∴a=5，a=-5(舍去) ，当a=5，b=3时，a+b=8；当a=5，b=-3时，a+b=2，故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，本题用到了分类讨论的思想，关键在于熟练掌握平方根、绝对值的含义．15．有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）A ．0a b +=B ．0a b ->C ．0ab >D ．b a <【答案】D【解析】【分析】由图可判断a 、b 的正负性，a 、b 的绝对值的大小，即可解答．【详解】根据数轴可知：-2＜a ＜-1，0＜b ＜1，∴a+b ＜0，|a|＞|b|，ab ＜0，a-b ＜0．所以只有选项D 成立．故选：D ．【点睛】此题考查了数轴的有关知识，利用数形结合思想，可以解决此类问题．数轴上，原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是正数．16．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”和“6cm ”分别对应数轴上表示﹣2和实数x 的两点，那么x 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】根据数轴的定义进行分析即可.【详解】∵由图可知，﹣2到x 之间的距离为6，∴x 表示的数为：﹣2+6＝4，故选：B ．【点睛】本题考查了用数轴表示实数，题目较为简单，解题的关键是根据如何根据一个已知点和两点的距离求另一个点．17．已知a ，b ，c 是有理数，当0a b c ++=，0abc <时，求a b c b c a c a b+-+++的值为（ ）A ．1或-3B ．1，-1或-3C ．-1或3D ．1，-1，3或-3【答案】A【解析】【分析】 根据0a b c ++=，0abc <，可知这三个数中只能有一个负数，另两个为正数，把0a b c ++=变形代入代数式求值即可．【详解】解：∵0a b c ++=，∴b c a +=-、a c b +=-、a b c +=-，∵0abc <，∴a 、b 、c 三数中有2个正数、1个负数， 则a b c a b c b c a c a b a b c +-=+-+++---， 若a 为负数，则原式=1-1+1=1，若b 为负数，则原式=-1+1+1=1，若c 为负数，则原式=-1-1-1=-3，所以答案为1或-3． 故选：A ．【点睛】 本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，难点在于判断出负数的个数． 18．实数,a b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a b <B ．a b <C ．0a b +>D ．0a b -> 【答案】A【解析】【分析】根据数轴得a<0<b ，且a b >，再根据实数的加法法则，减法法则依次判断即可.【详解】由数轴得a<0<b ，且a b >，∴a+b<0，a-b<0，故A 正确，B 、C 、D 错误，故选：A.【点睛】此题考查数轴，实数的大小比较，实数的绝对值的性质，加法法则，减法法则.19．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）A ．3与13B ．2与|-2|C ．(-1) 2与1D ．-4与(-2) 2【答案】D【解析】 考点：实数的性质．专题：计算题． 分析：首先化简，然后根据互为相反数的定义即可判定选择项．解答：解：A 、两数数值不同，不能互为相反数，故选项错误；B 、2=|-2|，两数相等，不能互为相反数，故选项错误．C 、（-1）2=1，两数相等；不能互为相反数，故选项错误；D 、（-2）2=4，-4与4互为相反数，故选项正确；故选D ．点评：此题主要考查相反数定义：互为相反数的两个数相加等于0．20．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b 【答案】B【解析】【分析】根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简．【详解】解：由数轴可知：0a <，0b >，∴0a b -<，∴()()22a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ．【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键．。

人教版初中数学有理数难题汇编含解析一、选择题1．已知a b 、两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|||1||1|a b a b ---++的结果是( )A ．2b -B ．2aC ．2D ．22a -【答案】A【解析】【分析】根据数轴判断出绝对值符号内式子的正负，然后去绝对值合并同类项即可．【详解】解：由数轴可得，b ＜−1＜1＜a ，∴a −b ＞0，1−a ＜0，b ＋1＜0，∴|||1||1|a b a b ---++，()()11a b a b =-+--+，11a b a b =-+---，2b =-，故选：A ．【点睛】本题考查数轴，绝对值的性质，解答此题的关键是确定绝对值内部代数式的符号．2．数轴上表示数a 和数b 的两点之间的距离为6，若a 的相反数为2，则b 为（ ）A ．4B ．4-C ．8-D ．4或8-【答案】D【解析】【分析】根据相反数的性质求出a 的值，再根据两点距离公式求出b 的值即可．【详解】∵a 的相反数为2∴20a +=解得2a =-∵数轴上表示数a 和数b 的两点之间的距离为6 ∴6a b -=解得4b =或8-故答案为：D ．【点睛】本题考查了数轴上表示的数的问题，掌握相反数的性质、两点距离公式是解题的关键．3．下列等式一定成立的是( )A ．945-=B ．1331-=-C ．93=±D ．32166--=-【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根、立方根、绝对值的性质逐项判断即可.【详解】A. 94321-=-=，故错误；B. 1331-=-，故正确；C. 93=， 故错误；D. ()321666--=--=，故错误；故答案为：B.【点睛】本题考查了算术平方根的概念、立方根的概念、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握其定义和性质.4．和数轴上的点一一对应的是（ ）A ．整数B ．实数C ．有理数D ．无理数【答案】B【解析】∵实数与数轴上的点是一一对应的，∴和数轴上的点一一对应的是实数．故选B.5．有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．a b >B ．a c a c -=-C ．a b c -<-<D ．b c b c +=+【答案】D【解析】【分析】根据数轴得出a ＜b ＜0＜c ，|b |＜|a |，|b |＜|c |，再逐个判断即可．【详解】从数轴可知：a ＜b ＜0＜c ，|b |＜|a |，|b |＜|c |．A ．a ＜b ，故本选项错误；B ．|a ﹣c |=c ﹣a ，故本选项错误；C ．﹣a ＞﹣b ，故本选项错误；D ．|b +c |=b +c ，故本选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，解答此题的关键是能根据数轴得出a ＜b ＜0＜c ，|b |＜|a |，|b |＜|c |，用了数形结合思想．6．已知235280x y x y +-+-+=则xy 的值是（ ）A ．19B ．-6C ．9D ．1-6【答案】B【解析】【分析】根据非负数的应用，列出方程组，解方程组，即可求出x 、y 的值，然后得到答案.【详解】解：∵235280x y x y +-+-+=，∴2350280x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， 解得：23x y =-⎧⎨=⎩， ∴236xy =-⨯=-；故选：B.【点睛】本题考查了非负数的应用，解二元一次方程组，解题的关键是正确求出x 、y 的值.7．如果x 取任意实数，那么以下式子中一定表示正实数的是( )A ．xB ．C ．D ．|3x ＋2|【答案】C【解析】【分析】利用平方根有意义的条件以及绝对值有意义的条件进而分析求出即可．【详解】A.x 可以取全体实数，不符合题意;B.≥0, 不符合题意; C. >0, 符合题意;D. |3x＋2|≥0, 不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了平方根和绝对值有意义的条件，正确把握平方根和绝对值有意义的条件是解题关键．8．如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（）A30B15C10D8【答案】B【解析】【分析】点P在3与4之间，满足条件的为B、C两项，点P与4比较靠近，进而选出正确答案．【详解】∵点P在3与4之间，∴3＜P＜49P16∴满足条件的为B、C图中，点P比较靠近4，∴P应选B、C中较大的一个故选：B．【点睛】本题考查对数轴的理解，数轴上的点，从左到右依次增大，解题过程中需紧把握这点．9．2019-的倒数是（）A．2019 B．－2019 C．12019D．12019-【答案】C【解析】【分析】先利用绝对值的定义求出2019-，再利用倒数的定义即可得出结果.【详解】2019-=2019,2019的倒数为1 2019故选C 【点睛】本题考查了绝对值和倒数的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键.10．实数a b c d 、、、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．3a >-B ．0bd >C ．0b c +<D ．a b < 【答案】C【解析】【分析】根据数轴上点的位置，可以看出a b c d <<<，43a -<<-，21b -<<-，01c <<，3d =，即可逐一对各个选项进行判断．【详解】解：A 、∵43a -<<-，故本选项错误；B 、∵0b <，0d >，∴0bd <，故本选项错误；C 、∵21b -<<-，01c <<，∴0b c +<，故本选项正确；D 、∵43a -<<-，21b -<<-，则34a <<，12<<b ，∴a b >，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了数轴和绝对值，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大、有理数的运算、绝对值的意义是解题的关键．11．1是0.01的算术平方根，③错误；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直，④错误故选：A【点睛】本题考查概念的理解，解题关键是注意概念的限定性，如④中，必须有限定条件：在同一平面内，过定点，才有且只有一条直线与已知直线垂直.12．已知|m+3|与（n ﹣2）2互为相反数，那么m n 等于（ ）A ．6B ．﹣6C ．9D ．﹣9【答案】C【解析】【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m 、n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】∵|m+3|与（n ﹣2）2互为相反数，∴|m+3|+（n ﹣2）2=0，∴m+3=0，n ﹣2=0，解得m=﹣3，n=2，所以，m n =（﹣3）2=9．故选C ．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．13．已知直角三角形两边长x 、y 满足224(2)10x y -+--=，则第三边长为 （ ） A ． B ．13 C ．5或13 D ．，5或13【答案】D【解析】【分析】【详解】解：∵|x 2-4|≥0，2(2)1y --≥0，∴x 2-4=0，2(2)1y --=0，∴x=2或-2（舍去），y=2或3，分3种情况解答：①当两直角边是2时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：222222+=；②当2，3均为直角边时，斜边为222313+=；③当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角，长是22325-=．故选D ．考点：1．非负数的性质；2．勾股定理．14．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +b |-2()b a -，其结果是（ ）A ．2a -B ．2aC ．2bD ．2b -【答案】A【解析】【分析】2a ，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可．【详解】解：由数轴知b ＜0＜a ，且|a|＜|b|，则a+b ＜0，b-a ＜0，∴原式=-（a+b ）+（b-a ）=-a-b+b-a=-2a ，故选A ．【点睛】 此题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，关键是掌握2a =|a|．15．实数,,a b c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若||||a b <，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．0b c +>B ．2a c +>C ．1b a <D ．0abc ≥【答案】A【解析】【分析】利用特殊值法即可判断.【详解】∵a<c<b ，||||a b <，∴0b c +>，故A 正确；若a<c<0，则2a c +>错误，故B 不成立； 若0<a<b ，且||||a b <，则1b a>，故C 不成立； 若a<c<0<b ，则abc<0，故D 不成立，故选：A.【点睛】 此题考查数轴上点的正负，实数的加减乘除法法则，熟记计算法则是解题的关键.16．下列结论中：①若a=b a b ；②在同一平面内，若a ⊥b ，b//c ，则a ⊥c ；③直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离；33( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：①若a=b 0≥a b②在同一平面内，若a ⊥b,b//c ，则a ⊥c ，正确③直线外一点到直线的垂线段的长度叫点到直线的距离正确的个数有②④两个故选B17．12的相反数与﹣7的绝对值的和是（）A．5 B．19 C．﹣17 D．﹣5【答案】D【解析】【分析】根据绝对值和相反数的定义进行选择即可．【详解】-12+|-7|=-12+7=-5，故选D．【点睛】本题考查了绝对值和相反数的定义，掌握绝对值和相反数的求法是解题的关键．18．在﹣6，0，﹣1，4这四个数中，最大的数是（）A．4 B．﹣6 C．0 D．﹣1【答案】A【解析】【分析】根据正数大于0，负数小于0，负数绝对值大的其值反而小即可求解．【详解】∵4＞0＞﹣1＞﹣6，∴最大的数是4．故选A．【点睛】此题主要考查了有理数的大小的比较，解题的关键利用正负数的性质可以解决问题．19．下列各数中，绝对值最大的数是（）A．1 B．﹣1 C．3.14 D．π【答案】D【解析】分析：先求出每个数的绝对值，再根据实数的大小比较法则比较即可．详解：∵1、-1、3.14、π的绝对值依次为1、1、3.14、π，∴绝对值最大的数是π，故选D．点睛：本题考查了实数的大小比较和绝对值，能比较实数的大小是解此题的关键．20．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示. 若0b d +=，则下列结论中正确的是（ ）A ．0b c +>B ．1c a> C ．ad bc > D ．a d >【答案】D【解析】【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a ＜b ＜0＜c ＜d ，根据有理数的运算，可得答案．【详解】由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a ＜b ＜0＜c ＜d ，A 、b+d ＝0，∴b+c ＜0，故A 不符合题意；B 、c a＜0，故B 不符合题意； C 、ad ＜bc ＜0，故C 不符合题意；D 、|a|＞|b|＝|d|，故D 正确；故选D ．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a ＜b ＜0＜c ＜d 是解题关键，又利用了有理数的运算．。

人教版七年级数学有理数重难点归纳（文末附答案）填空题1、若m +1与−2互为相反数，则m 的值为_______.2、写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数：__________．3、在数轴上，点A （表示整数a ）在原点的左侧，点B （表示整数b ）在原点的右侧．若|a −b|=2019，且|a|=2|b|，则a +b 的值为_________4、按照如图的操作步骤，若输入x 的值为2，则输出的值是_____．（用科学计算器计算或笔算）5、填入适当的数：(−512)×___________=1；(−25)×___________=-1．解答题6、如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A ，B ，C 把数轴分成①②③④四部分，点A ，B ，C 对应的数分别是a ，b ，c ，已知bc<0．（1）请说明原点在第几部分； （2）若AC=5，BC=3，b=-1，求a（3）若点B 到表示1的点的距离与点C 到表示1的点的距离相等，且a −b −c =−3，求−a +3b −(b −2c)的值．7、小明同学积极参加体育锻炼，天天坚持跑步，他每天以2000m 为标准，超过的米数记作正数，不足的米数记作负数，下表是他一周跑步情况的记录（单位：m ）（1）星期三小明跑了多少米？（2）他跑的最多的一天比最少的一天多跑了多少米？ （3）若他跑步的平均速度为200m/分，求这周他跑步的时间； 8、请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999×（-15）；（2）999×11845+999×（−15）-999×1835. 9、计算：（1）(38+13−12)÷(−124)．（2）−14−(1−0.5)×13×[2−(−3)2]．10、小刘、小张两位同学玩数学游戏，小刘说“任意选定一个数，然后按下列步骤进行计算：加上20，乘2，减去4，除以2，再减去你所选定的数”，小张说“不用算了，无论我选什么数，结果总是18”，小张说得对吗？说明理由．人教版七年级数学有理数_01D参考答案1、答案：1.解析：根据相反数的性质即可求解.m+1+(-2)＝0，所以m＝1.小提示：此题主要考查相反数的应用，解题的关键是熟知相反数的性质.2、答案：−1（答案不唯一）解析：分析：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．又根据绝对值的定义，可以得到答案.详解：设|a|=-a，|a|≥0，所以-a≥0，所以a≤0，即a为非正数．故答案为:-1（答案不唯一）.点睛：本题综合考查绝对值和相反数的应用和定义.3、答案：-673解析：根据题意可得a是负数，b是正数，据此求出b-a=2019，根据|a|=2|b|可得a=-2b，代入b-a=2019即可求得a、b的值，代入求解即可．根据题意可得：a是负数，b是正数，b-a＞0∵|a−b|=2019∴b-a=2019∵|a|=2|b|∴a=-2b∴b+2b=2019b=673，a=-1346∴a+b=-673所以答案是：-673小提示：本题考查的是求代数式的值，能根据点在数轴上的位置及绝对值的性质求出a、b的值是关键．4、答案：2解析：将x=2代入程序框图中计算即可得到结果．将x=2代入得：3×22﹣10=12﹣10=2，故答案为2．小提示：本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5、答案：−1255 2解析：利用有理数的乘法法则和倒数的性质计算即可．解：(−512)×(−125)=1，(−25)×52=−1，故答案是：−125，52． 小提示：本题考查了有理数的乘法法则和倒数的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 6、答案：（1）原点在第③部分；（2）－3；（3）5 解析：（1）根据bc <0可得原点在B 与C 之间； （2）根据数轴上的点的距离求解即可得出答案；（3）设点B 到表示1的点的距离为m(m >0)，分别用m 的代数式表示出b 与c ，进而得出b+c 与a 的值，再代入所求式子计算即可得出答案．解：（1）∵bc <0，∴b ，c 异号，∴原点在第③部分； （2）若AC=5，BC=3，则AB =5−3=2， ∴a =b −2=−1−2=−3；（3）设点B 到表示1的点的距离为m(m >0)，则b =1−m ，c =1+m ，∴b+c=2， ∵a −b −c =−3，即a −(b +c)=−3，∴a =−1，∴−a +3b −(b −2c)=−a +3b −b +2c =−a +2b +2c =−a +2(b +c)=−(−1)+2×2=1+4=5．小提示：本题主要考查了数轴，解题的关键是需要灵活运用数形结合的思想．7、答案：（1）1900；（2）530；（3）73min 解析：（1）利用2000米减去100米即可；（2）最大值与最小值的差就是跑得最多的一天减去最少的一天的距离； （3）利用总路程除以速度即可求解． 解：（1）2000-100=1900（m ）， 星期三小明跑了1900米；（2）跑得最多的一天比最少的一天多跑了320-（-210）=530（m ）； 故答案为530；（3）310+320-100+130-210+0+150+2000×7=14600（m ）， 14600÷200=73（min ）答：这周他跑步的时间为73min ． 小提示：本题考查了正数和负数的意义，能根据题意列出算式是解此题的关键． 8、答案：(1)-14985;(2)99900. 解析：试题分析：根据题目中所给的规律，第一题凑整法，第二题提同数法解决即可. 试题解析：（1）999×（-15）=（1000-1）×（-15）=15-15000=-14985;（2）999×11845+999×（−15）-999×11835=999×[11845+（−15）-1835]=999×100=99900. 考点：有理数的运算.9、答案：（1）-5；（2）16．解析：（1）将除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开，继而进一步计算即可；（2）先计算乘方和括号内的运算，再计算乘法，最后计算加法即可．解：（1）(38+13−12)÷(−124)=(38+13−12)×(−24)＝38×(−24)+13×(−24)−12×(−24)＝﹣9﹣8+12＝﹣5；（2）−14−(1−0.5)×13×[2−(−3)2]=−1−12×13×(2−9)=−1−12×13×(−7)=−1+7 6＝16．小提示：本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数的混合运算法则和运算律是解题关键．10、答案：正确解析：设此整数是a，再根据题意列出式子进行计算即可.正确，理由如下：设此整数是a，由题意得(a+20)×2−4−a2=a+20-2=18，所以说小张说的对.小提示：本题考查了整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．。

初中数学有理数重难点归纳突破填空题1、计算：67×(−213)÷(−14)=______． 答案：8解析：根据有理数的乘除运算法则可以解答本题．解：67×(−213)÷(−14)= 67×73×4=8，所以答案是：8.小提示：本题考查了有理数的乘除运算，解题的关键是掌握有理数乘除运算法则．2、求-2017的相反数与12的倒数的和是_________答案：2019解析：根据“只有符号不同的两个数互为相反数”和“乘积是1的两个数互为倒数”解答即可．-2017的相反数是2017，12的倒数是2，故-2017的相反数与12的倒数的和是2019. 所以答案是：2019小提示：本题考查的是相反数及倒数，掌握相反数及倒数的定义是关键．3、1−2+3−4+5−6+⋅⋅⋅+99−100＝____________．答案：-50解析：略4、计算：（1）0×(−2)−7=________；（2）−81×(−2.25)×(−49)=________. 答案： -7 -81解析：直接根据有理数的混合运算法则进行计算即可.（1）原式=0-7=-7；（2）-81×（-94）×（-49 ）=-81； 小提示：此题考查有理数的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.5、在0.5，2，—3，—4，—5这五个数中任取两个数相除，得到的商最小是___．答案：－10解析：首先根据有理数大小比较的方法，把所给的五个数从小到大排列；然后根据有理数除法的运算方法，要使任取两个相除，所得的商最小，用绝对值最大的负数除以最小的正数即可．∵−5＜−4＜－3＜0.5＜2，∴所给的五个数中，绝对值最大的负数是5，最小的正数是0.5，∴任取两个相除，其中商最小的是：－5÷0.5＝−10．所以答案是：−10．小提示：（1）此题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．（2）此题还考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．解答题6、计算：（1）（－2.8）＋（－3.6）＋3.6；（2）16−(−27)−(−56)+(+57)答案：（1）−2.8；（2）2解析：（1）根据加法结合律先算后两个数之和，即可求解；（2）利用加法交换律和结合律可得原式=(16+56)+(27+57)，即可求解．解：（1）原式=−2.8+0=−2.8；（2）原式=(16+56)+(27+57)=2．小提示：本题考查有理数加减的简便运算，根据题目特点灵活应用运算律是解题的关键．7、如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是－2．已知点A，B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．（1）若点A表示数−2，将A点向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，此时A，B两点间的距离是________．（2）若点A表示数3，将A点向左移动6个单位长度，再向右移动5个单位长度后到达点B，则B表示的数是________；此时A，B两点间的距离是________．（3）若A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动t个单位长度后到达终点B，此时A、B 两点间的距离为多少？答案：（1） 3 ，5 ；（2） 2 ； 1 ；（3）|n−t|解析：试题分析：（1）由数轴上面的点表示的数查出结果即可，并根据绝对值求出两点间的距离；（2）由数轴上面的点表示的数查出结果即可，并根据绝对值求出两点间的距离；（3）结合（1）和（2）的距离与平移的关系直接列式即可（距离为两次移动的单位长度的差的绝对值）.试题解析：（1）（1） 3 ，5 ；（2） 2 ； 1 ；（3）|n−t|8、为了有效控制酒后驾车，吉安市城管的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程为：+2,−3,+2,+1,−2,−1,−2（单位：千米）（1）此时，这辆城管的汽车司机如何向队长描述他的位置？（2）如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）共耗油多少升？（已知每千米耗油0.2升）答案：（1）出发点以西3千米；（2）3.2升解析：（1）求出这些数的和，即可得出答案；（2）求出这些数的绝对值的和，再乘以0.2升即可．解：（1）∵（+2）+（-3）+（+2）+（+1）+（-2）+（-1）+（-2）=-3（千米），∴这辆城管的汽车司机向队长描述他的位置为出发点以西3千米；（2）|+2|+|-3|+|+2|+|+1|+|-2|+|-1|+|-2|+|+3|=16（千米），∴16×0.2=3.2（升），∴这次巡逻（含返回）共耗油3.2升．小提示：本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．9、如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题．（1）A、B、C三点分别表示、、；（2）将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是；（3）将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数是.答案：（1）-4；-2；3；（2）-5；（3）0.解析：（1）根据各点在数轴上的位置即可得出结论；（2）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论；（3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论．解：（1）根据数轴可得，点A,B,C三点表示的数分别为-4，-2，3;所以答案是：-4，-2，3;(2)∵-2-3=-5，∴将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是-5．所以答案是：-5；(3) ∵-4+4=0，∴将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数是0．所以答案是：0．小提示：本题考查的是数轴上的点以及点的移动，熟知数轴上点移动的规律“左减右加”是解题的关键．10、计算：（1）（－2.8）＋（－3.6）＋3.6；（2）16−(−27)−(−56)+(+57)答案：（1）−2.8；（2）2解析：（1）根据加法结合律先算后两个数之和，即可求解；（2）利用加法交换律和结合律可得原式=(16+56)+(27+57)，即可求解．解：（1）原式=−2.8+0=−2.8；（2）原式=(16+56)+(27+57)=2．小提示：本题考查有理数加减的简便运算，根据题目特点灵活应用运算律是解题的关键．。