极限运算法则06938

1 x,
x
2
1,
x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
解 x 0是函数的分段点,两个单侧极限为
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x 2 1) 1,
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 b1
x x
m1 n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量旳最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
例5
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2 ).
解 n 时,是无限多个无穷小之和 ．
先变形再求极限.
令u x a
lim 3 u2
u0
0．
33 a2
三、小结
1、极限旳四则运算法则及其推论; 2、极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
3、复合函数旳极限运算法则
思索题
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2 n2
n
1 n(n 1)
lim 2
n
n2
lim 1 (1 n 2
1) n
1. 2
例6 求 lim sin x . x x

极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。

在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。

本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。

一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。

2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。

3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。

4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。

二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。

2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。

三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

e.利用无穷小运算性质求极限;
3、复合函数的极限运算法则
14
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铃
三、极限的性质-P36
1. 函数极限的局部有界性
如l果 im f(x)A,那么存 M 在 0和 常 0, 数 x x0
使得 0x当 x0时有 ， f(x)M .
2. 函数极限的唯一性
定理 若lim f ( x)存在, 则极限唯一.
x 0
x 0
lif m (x ) li(x m 2 1 )1,
x 0
x 0
左右极限存在且相等,
故 lifm (x ) 1 . x 0
y
y1x
1
o
yx21 x
11
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铃
定理（复合函数运的算极法限则）设u函 (数 x)
当xx0
时
的
极
限存在且 a，等即l于 im(x) xx0
1
n(n1)
lim2 n
n2
11 lim(1 )
n2 n
1 2
.
10
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例5 设 f(x ) x 1 2 x 1 ,, x x 0 0 ,求 l x 0 if( m x ). 解 x0是函数的 ,两分 个段 单点 侧
lif m (x ) li( 1 m x )1,
am bn
0,当n m,
,当n m,
9
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铃
例4 求 ln i (m n 1 2n 2 2 n n 2).
解 n时,是无限多个无穷． 小之和

+
x→ 0
x→ 0 2
x→ −∞
x→−∞
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内容小结
1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 2. 求函数极限的方法 分式函数极限求法 1 x →x0 时, 用代入法 ) ( 要求分母不为 0 ) 注意使用条件
2) x →x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0
x −1 f (0 ) = lim f (x) = lim( 3 ) =−1 x→ + 0 x→ + x +1 0 故 lim f (x) =−1 x→ 0 x2 −1 lim f (x) = xlim( 3 ) = 0 → +∞ x +1 x→ +∞ lim f (x) = lim(x −1) =−∞
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 ,
2
但因
x −5x + 4 12 −5⋅1+ 4 lim = =0 x→ 2x −3 1 2⋅1−3
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结论：
1.已知多项式 2.已知分式函数 若 若 则 去公因子再求 则 求
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( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
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思考： 思考：1. 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 2.
问 是否存在 ? 为什么 ? 存在 , 矛盾 矛盾. 问 是否一定不存在 ?

n
a0 b0
lim xmn
x
a0 / b0 ,
0, ,
nm; nm; nm .
总结
(1) lim x
Pm ( x) Qn( x)
最高项，系数比，
0，
mn; mn; m n.
(2) lim Pm ( x)
xx0 Qn ( x)
Pm ( x0 ) ,
Q n ( x0 )
,
Q(x0) 0时； Q(x0)0且 P(x0)0时
8、lx i m (2x(2 3)x20(31)x502)30_____._
二、求下列各极限:
1、ln i m (11 21 4.. .21n);
2、lim(xh)2x2;
h0
h
3、lxi m 1(11x13x3);
4、lim 1x3; x8 23 x
5、 lim ( x x x x);
x
6、xlim42xx
xx0
复合函数极限运算法则---极限过程代换法则
设x 对 的连 某 变 续 个 化 有过
u(x)“ 趋 近 ＊ 于”
(＊ 为 u 0 ,u 0 0 , , );u ＊ 时 f(u ) A
(A R 或 为 , ),则
令u( x )
limf[(x)]
x的变化过程
lim f(u)A. u ＊
x x 0
x x 0
由定义, 对任意给定 ， 的 ,， 正使 数得
当 0 |xx|时， f(x ) 恒 a 1 2;有
当 0 |xx 0| 1时， g (x ) 恒 b 2 .有
取 m 0 1 , i 2 2 ,n 则0当 |xx0| 2时，
|[ f ( x ) g ( x ) ( a ] b ) |

减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$

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例. 设有分式函数
多项式 , 若 试证( x )
证:
x x0
lim R( x)
lim Q ( x )
说明: 若 例4.
不能直接用商的运算法则 .
lim ( x 3)( x 1) 3)( x 3)
x 3 ( x
( 如P47 例5 )

( 如P47 例6 ) ( 如P47 例7 )
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三、 复合函数的极限运算法则( 分步求极限！) 定理7. 设
( x) a , 又
x x0
且 x 满足 则有
lim f [ ( x) ]
时,
说明: 若定理中 lim ( x) , 则类似可得
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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二、 极限的四则运算法则 定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
定理4 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
0 lim
3 1
3
1 t
3

a t
lim
t0
3
t 1 a t
3
lim
t0
3
t 1 a 0
故 因此
1 a 0 a 1
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作业
P48 1 （5），（7），（9），（12）

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证明
设函数u在U 0 ( x 0 , 1 )内有界，
则M 0, 1 0, 使得当0 x x 0 1时 恒有 u M .
又设是当x x0时的无穷小 , 0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时
小结: 1. 设 f ( x ) a0 x n a1 x n 1 a n , 则有
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
x x0
n
x x0
a0 x0 a1 x0
n 1
a n f ( x0 ).
u u0
且存在 0 0,当x U 0 ( x0 , 0 )时, 有g( x) u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A
u u0
证明 按 函 数 极 限 的 定 义 , 要 证: 0, 0, 使 得
当0 x x0 时, 恒 有 f [ g( x )] A lim f ( u) A, 0, 0, 使 得 uu



2
因 为 是 当x x0时 的 无 穷 小 , 对 于 0, 2 0, 2 当0 x x0 2时, 恒 有

2 取 m in{ 1 , 2 }, 则 当0 x x0 时, 恒 有 及
2 2 2 2 即证明了 也 是x x0的 无 穷 小 从 而
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3

极限运算规则极限运算规则是数学中的一项重要概念，它在微积分、数学分析、物理学等领域均有广泛应用。

本文将从基本概念、运算规则、应用实例等方面，全面介绍极限运算规则。

一、基本概念极限是指当自变量趋近于某一值时，函数值趋近于某一常数或无穷大的过程。

数学上，我们用符号“lim”表示极限，如下所示：lim f(x) = L （x→a）其中，f(x)为函数，a为自变量的极限值，L为函数的极限值。

当函数的极限值存在时，我们称其为函数在a点的极限，记为lim f(x) = L （x→a）。

二、运算规则1. 基本极限运算规则（1）常数极限：lim k = k （k为常数）（2）函数极限：lim x = x0 （x0为常数）（3）加减法极限：若lim f(x) = A，lim g(x) = B，则lim (f(x) ± g(x)) = A ± B（4）乘法极限：若lim f(x) = A，lim g(x) = B，则lim (f(x) × g(x)) = A × B（5）除法极限：若lim f(x) = A，lim g(x) = B （B≠0），则lim (f(x) ÷ g(x)) = A ÷ B2. 组合极限运算规则（1）复合函数极限：设y=f(u)，u=g(x)，则lim f(g(x)) = lim f(u) = f(lim g(x))x→a u→b g(x)→b（2）反函数极限：设y=f(x)，x=g(y)，则lim g(y) = lim x = f-1(lim y)y→b x→a y→b（3）极限的比较：若f(x)≤g(x)，则lim f(x) ≤ lim g(x)x→a x→a（4）夹逼定理：若f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x) = lim h(x) = L，则 lim g(x) = Lx→a x→a三、应用实例极限运算规则在数学、物理等领域中有广泛应用，下面我们以一些实例来说明。

第二节 极限的运算法则
一．极限的四则运算法则 定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B, 则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B 推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x). 常数因子可以提到极限记号外面.
3 5
（2）计算有理分式在 x 极限的运算
例4：求下列极限
2x2 2x 1
x2 4
x2
(1) lim
; (2) lim
; (3) lim
x x2 5x 4
x x 2
x x2 4
解: 由于当 x 时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在
所以极限的四则运算法则不能用
在分子分母中同时除以 x 的最高次幂，可化为极限存在的情况
分子分母分解因式
2x2 5x 2 (2x 1)( x 2) , 3x2 7 x 2 (3x 1)( x 2)
2x2 5x 2 lim x2 3x2 7x 2
(2x 1)( x 2) lim
x2 (3 x 1)( x 2)
(2x 1) lim
x2 (3 x 1)
Q lim( x2 x 2) 0 , lim( x 2) 0
x2
x2
所以极限的四则运算法则不能用
但是 x2 x 2 ( x 2)( x 1)
x2 x 2
( x 2)( x 1)
lim
lim
lim( x 1) 3
x2 x 2
x2
x2
x2
从而可以总结出下列规律：

极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。

极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。

下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。

1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。

那么 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 Ⅰ与准则 Ⅰ'称为夹逼准则、
注意: 利用夹逼准则求极限关 键是构造出 yn与 zn , 并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解
n n2 n
1 n2 1
2 x2
1 lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
2
x
1
sin lim(
2
)
2
2 x0 x
1 12 2
1. 2
2
(2) lim(1 1 )x e
x
x
定义 lim(1 1)n e
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的 ;
取 min1 , 2, 则当 0 x x0 时
0 (x) a u a
故 f [ (x)] A f (u) A , 因此①式成立、
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定理7、 lim (x) a , 且 x 满足 0 x x0 1 时,
设
x x0
(x) a , 又 lim f (u) A, 则有
个、
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定理 4 、 若lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
lim[ f (x)g(x)] lim f (x) lim g(x) AB

x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
x2 lim
9
lim( x
3)(x
3)
lim(
x
3)
6
x3 x 3 x3 ( x 3)
x3
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2. 型有理式及无理式
方法：分子分母同时除以x的最高次方幂
约最高次幂法
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2x2
l
x
im
2
x
1)
0 0
lim
x1
x2 x2 x
1
1
目录
求
1
l i m(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无穷小之和．
先变形再求极限.
说明:无穷多个 无穷小量之 和不一定是 无穷小
1
lim(
n
n2
2 n2
n n2
)
lim1
n
2
n2
n
1
n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1)
1. 2
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小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
6.利用左右极限求分段函数极限.
7.复合函数的极限. 8.无穷小与有界变量的积是无穷小.
(型)
lim
1 x

有定义, 有定义,若
x → x0
lim g ( x ) = u0 , lim f ( u) = A,
o
u → u0
且存在 δ 0 > 0 ,当 x ∈ U ( x0 , δ 0 ) 时,有 g ( x ) ≠ u0 ,则
x → x0
lim f [ g ( x )] = lim f ( u) = A.
f ( x) A ( 3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x ) B
说明: 说明 (1) 条件很重要,要两个极限都存在; 条件很重要, 两个极限都存在; 结论有两层含义: (2) 结论有两层含义: 其一,定性上 指出了相应的极限都存在; 其一,定性上,指出了相应的极限都存在; 其二,定量上 给出了相应极限的值. 其二,定量上,给出了相应极限的值.
说明: 说明 (3) 条件仅是充分条件,不是必要条件; 条件仅是充分条件,不是必要条件; f ( x) lim[ f ( x ) ± g ( x )] , lim f ( x ) ⋅ g ( x ) , lim 存在, 存在 , g( x ) 都不能推出 lim f ( x ) 与 lim g ( x ) 的极限存在. 都不能推出 的极限存在.
u → u0
同样, 结论仍成立. 同样,将定理中 x → x0 换成 x → ∞ ,结论仍成立.
例 8 求:(1) lim−
x→0
1 ex
; (2) lim+
x→0
1 ex
1 ; (3) lim sin . x→∞ x
二、函数极限的性质
1.极限存在的惟一性 1.极限存在的惟一性
定理 存在,则极限惟 若 lim f ( x ) 存在,则极限惟一.
x→2 x→2 x→2