小波变换函数(自己总结)

小波去噪举例MATLAB中用wnoise函数测试去噪算法sqrt_snr=3;init=231434;[x,xn]=wnoise(3,11,sqrt_snr,init); % 加噪，信噪比为3 subplot(3,2,1),plot(x)title('original test function')subplot(3,2,2),plot(xn)title('noised function')lev=5;xd=wden(x,'heursure','s','one',lev,'sym8');%利用小波对一维信号进行降噪, XD为降噪后的%信号，CXD，LXD为XD的小波分解结构% 's' or 'h'决定阈值的使用方式，SCAL决定阈值是%否随噪声变化：'one' 不调整， 'sln'对第一层系%数的层噪声分别进行估计和调整； 'mln'对各层%系数的层噪声分别进行估计和调整；subplot(3,2,3),plot(xd)title('One de-noised function')xd=wden(x,'heursure','s','sln',lev,'sym8');subplot(3,2,4),plot(xd)title('Sln de-noised function')xd=wden(x,'sqtwolog','s','sln',lev,'sym8');% 固定阈值选择算法去噪subplot(3,2,5),plot(xd)title('Sqtwolog de-noised function')[c,l]=wavedec(x,lev,'sym8');subplot(3,2,6),plot(xd)title('CL de-noised function')MATLAB中图像噪声处理举例load sinsin;colormap('default');subplot(1,3,1),image(X);title('original image');axis('square');init=231434;randn('seed',init);X=X+18*randn(size(X)); %产生噪声信号subplot(1,3,2),image(x);title('noised image');axis('square');[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',x); %自动生成小波去躁或压缩的阈值选择方案，也 %就是寻找默认值[xc,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp('gbl',x,'sym4',2,thr, sorh,keepapp);%使用全局阈值进行%图象降噪subplot(1,3,3),image(xc);title('denoised image');axis('square')可见，含躁图像的噪声含量很强，利用小波去躁，可以有效去除躁声，同时保留了边界。

2.1.1 连续小波变换（1）连续小波基函数所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。

小波函数的数学定义是：设)(t ψ为一平方可积函数，即)()(2R L t ∈ψ，若其傅立叶变换)(ˆw ψ满足： ∞<=⎰dw w w C R 2)(ψψ （2-1）时，则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数，并称式（2-1）是小波函数的可容许条件。

根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点;另一方面，根据可容许性条件可知0)(0==w w ψ，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。

将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a ，平移因子为b ，并记平移伸缩后的函数为)(,t b a ψ，则： 0;,,)(21,≠∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a R b a a t a t b a τψψ （2-2） 并称)(,t b a ψ为参数a 和b 小波基函数。

由于a 和b 均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数)(t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。

定义小波母函数)(t ψ的窗口宽度为t ∆，窗口中心为0t ，则可以求得连续小波基函数)(,t b a ψ的窗口中心及窗口宽度分别为：t a t b at t a b a ∆=∆+=τ,0,, （2-3） 设)(ˆw ψ是)(t ψ的傅立叶变换，频域窗口中心为0w ，窗口宽度为w ∆，)(t ψ的傅立叶变换为)(,w b a ψ，则有：)()(,aw e a w jwb b a φψ-= （2-4） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为：w aw w a w b a b a ∆∆1,1,0,== （2-5） 由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a 的函数，均随着a 的变化而伸缩，并且还有w t w t b a b a ∆⋅∆=∆⋅∆,, （2-6）即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg 测不准原理。

小波变换定义公式1. 什么是小波变换？小波变换是一种数学方法，可以将任意复杂的信号分解成一系列基本的波形组成的信号组。

这些基本的波形组成的信号组称为小波基，而小波变换则是将信号转换到小波基上的过程。

小波变换通过将不同频率的信号分解成频率范围更窄的信号，从而提供了一种能够描述信号局部特征的方法。

2. 小波变换的定义公式设 x(t) 是一个连续时间信号，小波变换将信号转换到小波基上，得到小波系数 C(a,b)：C(a,b)=∫x(t)ψ*ab(t) dt其中，ψ*ab(t) 是小波基函数，表示尺度为a，时移为b的小波基的共轭，a 和 b 分别表示尺度和位置参数，T 表示时间域上的范围。

3. 小波变换的特点和优势与傅里叶变换和短时傅里叶变换相比，小波变换具有以下特点和优势：（1）小波变换能够对非平稳信号进行分析，具有较好的时频局部性，能够提取信号短时的局部特征。

（2）小波变换能够对信号的高频部分和低频部分进行分离，具有较好的分辨率性。

（3）小波基函数无需是正交的，因此可选择适合不同信号处理需求的小波基函数。

（4）小波变换具有数据压缩和降噪的功能，可以有效地去除信号中的噪声和冗余信息。

4. 小波变换在实际应用中的应用小波变换在信号处理、图像处理和语音处理等方面具有广泛的应用。

例如，在信号处理中，小波变换可用于地震信号处理、生物信号处理和语音信号处理等方面；在图像处理中，小波变换可用于图像压缩、图像增强和边缘检测等方面；在语音处理中，小波变换可用于语音压缩、语音识别和语音增强等方面。

总之，小波变换作为一种有效的信号分析方法，在实际应用中发挥着重要的作用，对于提高信号处理的效率和精度都具有重要的意义。

MATLAB小波函数总结函数含义*:小波通用函数Allnodes 计算树结点appcoef 提取一维小波变换低频系数appcoef2 提取二维小波分解低频系数bestlevt 计算完整最佳小波包树besttree 计算最佳(优)树*biorfilt 双正交样条小波滤波器组biorwavf 双正交样条小波滤波器*centfrq 求小波中心频率cgauwavf Complex Gaussian小波cmorwavf coiflets小波滤波器cwt 一维连续小波变换dbaux Daubechies小波滤波器计算dbwavf Daubechies小波滤波器dbwavf(W) W='dbN' N=1,2,3,...,50 ddencmp 获取默认值阈值(软或硬)熵标准depo2ind 将深度-位置结点形式转化成索引结点形式detcoef 提取一维小波变换高频系数detcoef2 提取二维小波分解高频系数disp 显示文本或矩阵drawtree 画小波包分解树(GUI)dtree 构造DTREE类dwt 单尺度一维离散小波变换dwt2 单尺度二维离散小波变换dwtmode 离散小波变换拓展模式*dyaddown 二元取样*dyadup 二元插值entrupd 更新小波包的熵值fbspwavf B样条小波gauswavf Gaussian小波get 获取对象属性值idwt 单尺度一维离散小波逆变换idwt2 单尺度二维离散小波逆变换ind2depo 将索引结点形式转化成深度—位置结点形式*intwave 积分小波数isnode 判断结点是否存在istnode 判断结点是否是终结点并返回排列值iswt 一维逆SWT(Stationary Wavelet Transform)变换iswt2 二维逆SWT变换leaves Determine terminal nodesmexihat 墨西哥帽小波meyer Meyer小波meyeraux Meyer小波辅助函数morlet Morlet小波nodease 计算上溯结点nodedesc 计算下溯结点(子结点)nodejoin 重组结点nodepar 寻找父结点nodesplt 分割(分解)结点noleaves Determine nonterminal nodesntnode Number of terminal nodesntree Constructor for the class NTREE*orthfilt 正交小波滤波器组plot 绘制向量或矩阵的图形*qmf 镜像二次滤波器rbiowavf Reverse biorthogonal spline wavelet filtersread 读取二进制数据readtree 读取小波包分解树*scal2frq Scale to frequencysetshanwavf Shannon waveletsswt 一维SWT(Stationary Wavelet Transform)变换swt2 二维SWT变换symaux Symlet wavelet filter computation.symwavf Symlets小波滤波器thselect 信号消噪的阈值选择thodes Referencestreedpth 求树的深度treeord 求树结构的叉数upcoef 一维小波分解系数的直接重构upcoef2 二维小波分解系数的直接重构upwlev 单尺度一维小波分解的重构upwlev2 单尺度二维小波分解的重构wavedec 单尺度一维小波分解wavedec2 多尺度二维小波分解wavedemo 小波工具箱函数demo*wavefun 小波函数和尺度函数*wavefun2 二维小波函数和尺度函数wavemenu 小波工具箱函数menu图形界面调用函数*wavemngr 小波管理函数waverec 多尺度一维小波重构waverec2 多尺度二维小波重构wbmpen Penalized threshold for wavelet 1-D or 2-D de-noising wcodemat 对矩阵进行量化编码wdcbm Thresholds for wavelet 1-D using Birge-Massart strategy wdcbm2 Thresholds for wavelet 2-D using Birge-Massart strategy wden 用小波进行一维信号的消噪或压缩wdencmp De-noising or compression using waveletswentropy 计算小波包的熵wextend Extend a vector or a matrix*wfilters 小波滤波器wkeep 提取向量或矩阵中的一部分*wmaxlev 计算小波分解的最大尺度wnoise 产生含噪声的测试函数数据wnoisest 估计一维小波的系数的标准偏差wp2wtree 从小波包树中提取小波树wpcoef 计算小波包系数wpcutree 剪切小波包分解树wpdec 一维小波包的分解wpdec2 二维小波包的分解wpdencmp 用小波包进行信号的消噪或压缩wpfun 小波包函数wpjoin 重组小波包wprcoef 小波包分解系数的重构wprec 一维小波包分解的重构wprec2 二维小波包分解的重构wpsplt 分割（分解）小波包wpthcoef 进行小波包分解系数的阈值处理wptree 显示小波包树结构wpviewcf Plot the colored wavelet packet coefficients.wrcoef 对一维小波系数进行单支重构wrcoef2 对二维小波系数进行单支重构wrev 向量逆序write 向缓冲区内存写进数据wtbo Constructor for the class WTBOwthcoef 一维信号的小波系数阈值处理wthcoef2 二维信号的小波系数阈值处理wthresh 进行软阈值或硬阈值处理wthrmngr 阈值设置管理wtreemgr 管理树结构Wavefun用法：【phi，psi，xval】=wavefun（‘wname’，inter）；————对应于正交小波其中：phi是尺度函数，psi是小波函数，xval是相应的点数【phi1，psi1，phi2，psi2，xval】=wavefun（‘wname’，inter）；————对应于双正交小波其中：phi1是分解尺度函数，psi1是分解小波函数，phi2是重构尺度函数，psi2是重构小波函数，xval是相应的点数。

小波理论总结目录一、基础知识 (4)1.起源与发展 (4)2.傅里叶分析 (4)（1）傅里叶变换（FT）定义 (4)（2）傅里叶变换的性质 (5)（3）离散傅里叶变换（DFT） (5)3.泛函分析 (6)（1）函数空间 (6)（2）基底及展开 (7)（3）正交基 (7)（4）双正交基 (7)（5）框架 (8)（6）Riesz基 (8)（7）紧支撑 (8)二、窗口傅里叶变换 (9)1.傅里叶变换的缺点 (9)2.Gabor变换 (9)3.时窗/频窗处理 (10)4.基本定义 (10)5.Gabor变换的缺点 (10)三、小波变换 (10)1.连续小波变换 (11)1）母小波 (11)2）小波基函数 (11)3）连续小波变换 (11)4）性质 (12)2.离散小波变换 (12)（1）二进小波变换 (12)（2）小波框架 (13)（3）对偶小波 (13)（4）小波逆变换 (14)四、多分辨分析 (14)1.多分辨分析 (15)2.正交小波变换 (16)3.正交小波变换的具体实现 (17)4.双正交小波变换 (17)5.一维Mallat算法 (18)6.二维Mallat算法 (20)五、小波包分析 (22)1) 小波包的定义 (23)2) 小波包的性质 (23)3) 小波包的空间分解 (24)4) 小波库 (25)5) 小波包算法 (25)六、小波基选择标准 (26)1、支撑长度 (26)2、对称性 (26)3、消失矩 (26)4、正则性 (27)5、相似性 (27)六、常用的连续小波基函数 (27)1. 常用的连续小波基函数 (27)（1）Haar小波 (27)（2）Daubechies(dbN)小波系 (28)（3）Biorthogonal(bior N r.N d)小波系 (29)（4）Coiflet(coif N)小波系 (30)（5）Morlet 小波 (30)（6）Marr小波（Mexcian hat） (31)（7）DOG（Difference of Gaussian）小波 (32)（7）Meyer函数 (32)2. 信号的连续小波变换 (33)七、第二代小波变换 (34)1.提升方案 (34)2.把小波变换分解成基本的提升步骤 (36)3.整数小波变换 (39)4.第二代小波变换具体实现 (40)八、小波图像编码 (41)1.小波变换图像编码的基本框架 (41)1) 解相关变换过程 (42)2) 量化过程 (42)3) 熵编码过程 (43)2.SPIHT算法 (43)1) 嵌入式零树编码（EZW）算法 (43)2) 在层次树中的集划分（SPIHT）算法 (45)一、基础知识1.起源与发展小波理论是建立在傅里叶分析和泛函分析基础之上的时频分析工具之一。

一、收集和总结MA TLAB中涉及到的小波函数1．cwt函数功能：实现一维连续小波变换的函数。

cwt函数语法格式：COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname')COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'plot')COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'PLOTMODE') 2．dwt函数功能：单尺度一维离散小波变换函数语法格式：[cA,cD] = dwt(X,'wname')[cA,cD] = dwt(X,'wname','mode',MODE)[cA,cD] = dwt(X,Lo_D,Hi_D)3．meyer函数功能：Meyer小波函数语法格式：[PHI,PSI,T] = meyer(LB,UB,N)[PHI,T] = meyer(LB,UB,N,'phi')[PSI,T] = meyer(LB,UB,N,'psi')4．plot函数功能：绘制向量或矩阵的图形函数语法格式：plot(Y)plot(X1,Y1,...)plot(X1,Y1,LineSpec,...)5．cgauwavf函数功能：Complex Gaussian小波函数语法格式：[PSI,X] = cgauwavf(LB,UB,N,P)6．iswt函数功能：一维逆SWT(Stationary Wavelet Transform)变换函数语法格式：X = iswt(SWC,'wname')X = iswt(SWA,SWD,'wname')X = iswt(SWC,Lo_R,Hi_R)7．mexihat函数功能：墨西哥帽小波函数语法格式：[PSI,X] = mexihat(LB,UB,N)8．morlet函数功能：Morlet小波函数语法格式：[PSI,X] = morlet(LB,UB,N)9．symwavf函数功能：Symlets小波滤波器函数语法格式：F = symwavf(W)10．upcoef函数功能：一维小波分解系数的直接重构函数语法格式：Y = upcoef(O,X,'wname',N)Y = upcoef(O,X,'wname',N,L)Y = upcoef(O,X,Lo_R,Hi_R,N)Y = upcoef(O,X,Lo_R,Hi_R,N,L)Y = upcoef(O,X,'wname')Y = upcoef(O,X,Lo_R,Hi_R) 11．upwlev函数功能：单尺度一维小波分解的重构函数语法格式：[NC,NL,cA] = upwlev(C,L,'wname')[NC,NL,cA] = upwlev(C,L,Lo_R,Hi_R) 12．wavedec函数功能：单尺度一维小波分解函数语法格式：[C,L] = wavedec(X,N,'wname')[C,L] = wavedec(X,N,Lo_D,Hi_D) 13．wavefun函数功能：小波函数和尺度函数函数语法格式：[PHI,PSI,XVAL] = wavefun('wname',ITER) 14．waverec函数功能：多尺度一维小波重构函数语法格式：X = waverec(C,L,'wname')X = waverec(C,L,Lo_R,Hi_R)15．wpcoef函数功能：计算小波包系数函数语法格式：X = wpcoef(T,N)X = wpcoef(T)16．wpdec函数功能：一维小波包的分解函数语法格式：T = wpdec(X,N,'wname',E,P)T = wpdec(X,N,'wname')17．wpfun函数功能：小波包函数[函数语法格式：WPWS,X] = wpfun('wname',NUM,PREC) [WPWS,X] = wpfun('wname',NUM) 18．wprcoef函数功能：小波包分解系数的重构函数语法格式：X = wprcoef(T,N)19．wprec函数功能：一维小波包分解的重构函数语法格式：X = wprec(T)20．wrcoef函数功能：对一维小波系数进行单支重构函数语法格式：X = wrcoef('type',C,L,'wname',N)X = wrcoef('type',C,L,Lo_R,Hi_R,N)X = wrcoef('type',C,L,'wname')X = wrcoef('type',C,L,Lo_R,Hi_R)。

变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。

在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。

傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来。

变换的本质就是在搞基。

向量空间中的每一个向量都是向量基的线性组合，即把一些常数与向量基相乘，然后计算点积。

对信号的分析就包括计算这些常数（变换系数、傅里叶系数、小波系数）。

合成或者说重构就是计算线性组合方程。

N维空间的向量基中有N个向量。

平稳信号中的频率分量一直保持不变。

区别于非平稳信号。

傅里叶变换（FT）：傅里叶变换后的频谱图上出现毛毛刺，是因为信号中的频率突变引起的。

傅里叶变换仅仅给出了信号的频率分量，却没有给出这些频率分量出现的时间（傅里叶变换无任何时间分辨率）。

因此对于非平稳信号，傅里叶变换是不合适的。

当且仅当我们仅仅关心非平稳信号中的频率分量而不关心其出现的时间，傅里叶变换才可用于处理非平稳信号。

根据不确定性原理（测不准原理）：（1）在任意一个时间点，我们不能确定哪个频率分量存在；我们能做到的是在一个给定的时间段内确定哪个频率分量存在；（2）在时频分析中，要想取得高的时间分辨率就必须牺牲频率分辨率，反之亦然。

高频信号在时间域内更易处理，而低频信号在频率域内更易处理。

傅里叶变换：公式中的指数项还可写成：所以我们实际要做的就是用一些复数表达式叠加出原始信号，这些复数表达式包含了频率的正弦和余弦部分。

然后对乘积积分。

如果积分结果值很大，说明信号在该频率处有一个大的频谱分量。

傅里叶变换是二维的，如果再加上幅度就是三维的。

图中以“尺度”为标签的轴代表频率，尺度越大频率越低，因此，图中的小尖峰反映了信号中的高频分量；大尖峰则反映了信号中的低频分量。

高频信号的尺度分辨率很高，高尺度分辨率对应低频率分辨率。

这是一个无限循环的函数。

1，cosx, sinx, cos2x …..就是傅立叶级数。

1.小波分析用于去噪二维信号用二维小波分析的去噪步骤如下：（1.）二维信号的小波分解。

选择一个小波和小波分解的层次N，然后计算信号s到第N层的分解。

（2）对高斯系数进行阈值量化。

对于从1到N的每一层，选择一个阈值，并对这一层的高斯系数进行软阈值量化处理。

（3）二维信号的重构。

根据小波分解的第N层的低频系数和经过修改的从第1层到第N层的各层高频系数计算二维信号的小波重构。

其中的重点是如何选取阈值和阈值的量化，本代码中使用了ddendmp和wdencmp函数。

代码如下：load detfingr%装入图像init=3718025452;%下面进行噪声的生成randn('seed',init);%randn产生均值0，方差1的正态随机噪声Xnoise=X+18*(randn(size(X)));colormap(map);%显示原始图像以及它的含噪声的图像subplot(221),image(wcodemat(X,192));title('原始图像X');axis squaresubplot(222),image(wcodemat(Xnoise,192));title('含噪声的图像Xnoise');axis square[c,s]=wavedec2(X,2,'sym5');%用sym5小波对图像信号进行二层的小波分解%下面进行图像的去噪处理%使用ddencmp函数来计算去噪的默认阈值和熵标准%使用wdencmp函数用小波来实现图像的去噪和压缩[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',Xnoise);[Xdenoise,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp('gbl',c,s,'sym5',2,thr,sorh,keepapp);subplot(223),image(Xdenoise);%显示去噪后的图像title('去噪后的图像')axis square得到如下的图形：可以看出，最终得到的图像在滤除噪声的同时细节信息也损失严重。

小波变换公式推导
1、定义小波函数：小波函数ψ(t)是一个具有零平均值的振荡函数，它在时间域和频率域都是局部化的。

2、小波变换的积分形式：对于信号f(t)，其连续小波变换（CWT）定义为
其中，a是尺度参数，控制小波的宽度；b是平移参数，控制小波的位置。

3、小波函数的性质：小波函数需要满足一定的条件，如可容许性条件，以确保小波变换的存在性和唯一性。

4、逆变换：连续小波变换的逆变换为
其中，Cψ是一个与ψ有关的常数。

5、离散小波变换：在实际应用中，常常使用离散小波变换（DWT），它是对连续小波变换的尺度和平移参数进行离散化得到的。

6、多分辨率分析：小波变换的一个重要特性是多分辨率分析，它允许我们在不同的尺度上观察信号，从而揭示信号的局部特征。

7、小波基的选择：在实际应用中，需要选择适合信号特点的小波基函数，如Haar小波、Daubechies小波等。

8、快速小波变换：为了提高计算效率，可以使用快速小波变换（FWT）算法，它利用了小波变换的某些性质来减
少计算量。