小波变换函数(自己总结)

小波去噪举例MATLAB中用wnoise函数测试去噪算法sqrt_snr=3;init=231434;[x,xn]=wnoise(3,11,sqrt_snr,init); % 加噪，信噪比为3 subplot(3,2,1),plot(x)title('original test function')subplot(3,2,2),plot(xn)title('noised function')lev=5;xd=wden(x,'heursure','s','one',lev,'sym8');%利用小波对一维信号进行降噪, XD为降噪后的%信号，CXD，LXD为XD的小波分解结构% 's' or 'h'决定阈值的使用方式，SCAL决定阈值是%否随噪声变化：'one' 不调整， 'sln'对第一层系%数的层噪声分别进行估计和调整； 'mln'对各层%系数的层噪声分别进行估计和调整；subplot(3,2,3),plot(xd)title('One de-noised function')xd=wden(x,'heursure','s','sln',lev,'sym8');subplot(3,2,4),plot(xd)title('Sln de-noised function')xd=wden(x,'sqtwolog','s','sln',lev,'sym8');% 固定阈值选择算法去噪subplot(3,2,5),plot(xd)title('Sqtwolog de-noised function')[c,l]=wavedec(x,lev,'sym8');subplot(3,2,6),plot(xd)title('CL de-noised function')MATLAB中图像噪声处理举例load sinsin;colormap('default');subplot(1,3,1),image(X);title('original image');axis('square');init=231434;randn('seed',init);X=X+18*randn(size(X)); %产生噪声信号subplot(1,3,2),image(x);title('noised image');axis('square');[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',x); %自动生成小波去躁或压缩的阈值选择方案，也 %就是寻找默认值[xc,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp('gbl',x,'sym4',2,thr, sorh,keepapp);%使用全局阈值进行%图象降噪subplot(1,3,3),image(xc);title('denoised image');axis('square')可见，含躁图像的噪声含量很强，利用小波去躁，可以有效去除躁声，同时保留了边界。

2.1.1 连续小波变换（1）连续小波基函数所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。

小波函数的数学定义是：设)(t ψ为一平方可积函数，即)()(2R L t ∈ψ，若其傅立叶变换)(ˆw ψ满足： ∞<=⎰dw w w C R 2)(ψψ （2-1）时，则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数，并称式（2-1）是小波函数的可容许条件。

根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点;另一方面，根据可容许性条件可知0)(0==w w ψ，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。

将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a ，平移因子为b ，并记平移伸缩后的函数为)(,t b a ψ，则： 0;,,)(21,≠∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a R b a a t a t b a τψψ （2-2） 并称)(,t b a ψ为参数a 和b 小波基函数。

由于a 和b 均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数)(t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。

定义小波母函数)(t ψ的窗口宽度为t ∆，窗口中心为0t ，则可以求得连续小波基函数)(,t b a ψ的窗口中心及窗口宽度分别为：t a t b at t a b a ∆=∆+=τ,0,, （2-3） 设)(ˆw ψ是)(t ψ的傅立叶变换，频域窗口中心为0w ，窗口宽度为w ∆，)(t ψ的傅立叶变换为)(,w b a ψ，则有：)()(,aw e a w jwb b a φψ-= （2-4） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为：w aw w a w b a b a ∆∆1,1,0,== （2-5） 由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a 的函数，均随着a 的变化而伸缩，并且还有w t w t b a b a ∆⋅∆=∆⋅∆,, （2-6）即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg 测不准原理。

小波变换定义公式1. 什么是小波变换？小波变换是一种数学方法，可以将任意复杂的信号分解成一系列基本的波形组成的信号组。

这些基本的波形组成的信号组称为小波基，而小波变换则是将信号转换到小波基上的过程。

小波变换通过将不同频率的信号分解成频率范围更窄的信号，从而提供了一种能够描述信号局部特征的方法。

2. 小波变换的定义公式设 x(t) 是一个连续时间信号，小波变换将信号转换到小波基上，得到小波系数 C(a,b)：C(a,b)=∫x(t)ψ*ab(t) dt其中，ψ*ab(t) 是小波基函数，表示尺度为a，时移为b的小波基的共轭，a 和 b 分别表示尺度和位置参数，T 表示时间域上的范围。

3. 小波变换的特点和优势与傅里叶变换和短时傅里叶变换相比，小波变换具有以下特点和优势：（1）小波变换能够对非平稳信号进行分析，具有较好的时频局部性，能够提取信号短时的局部特征。

（2）小波变换能够对信号的高频部分和低频部分进行分离，具有较好的分辨率性。

（3）小波基函数无需是正交的，因此可选择适合不同信号处理需求的小波基函数。

（4）小波变换具有数据压缩和降噪的功能，可以有效地去除信号中的噪声和冗余信息。

4. 小波变换在实际应用中的应用小波变换在信号处理、图像处理和语音处理等方面具有广泛的应用。

例如，在信号处理中，小波变换可用于地震信号处理、生物信号处理和语音信号处理等方面；在图像处理中，小波变换可用于图像压缩、图像增强和边缘检测等方面；在语音处理中，小波变换可用于语音压缩、语音识别和语音增强等方面。

总之，小波变换作为一种有效的信号分析方法，在实际应用中发挥着重要的作用，对于提高信号处理的效率和精度都具有重要的意义。

MATLAB小波函数总结函数含义*:小波通用函数Allnodes 计算树结点appcoef 提取一维小波变换低频系数appcoef2 提取二维小波分解低频系数bestlevt 计算完整最佳小波包树besttree 计算最佳(优)树*biorfilt 双正交样条小波滤波器组biorwavf 双正交样条小波滤波器*centfrq 求小波中心频率cgauwavf Complex Gaussian小波cmorwavf coiflets小波滤波器cwt 一维连续小波变换dbaux Daubechies小波滤波器计算dbwavf Daubechies小波滤波器dbwavf(W) W='dbN' N=1,2,3,...,50 ddencmp 获取默认值阈值(软或硬)熵标准depo2ind 将深度-位置结点形式转化成索引结点形式detcoef 提取一维小波变换高频系数detcoef2 提取二维小波分解高频系数disp 显示文本或矩阵drawtree 画小波包分解树(GUI)dtree 构造DTREE类dwt 单尺度一维离散小波变换dwt2 单尺度二维离散小波变换dwtmode 离散小波变换拓展模式*dyaddown 二元取样*dyadup 二元插值entrupd 更新小波包的熵值fbspwavf B样条小波gauswavf Gaussian小波get 获取对象属性值idwt 单尺度一维离散小波逆变换idwt2 单尺度二维离散小波逆变换ind2depo 将索引结点形式转化成深度—位置结点形式*intwave 积分小波数isnode 判断结点是否存在istnode 判断结点是否是终结点并返回排列值iswt 一维逆SWT(Stationary Wavelet Transform)变换iswt2 二维逆SWT变换leaves Determine terminal nodesmexihat 墨西哥帽小波meyer Meyer小波meyeraux Meyer小波辅助函数morlet Morlet小波nodease 计算上溯结点nodedesc 计算下溯结点(子结点)nodejoin 重组结点nodepar 寻找父结点nodesplt 分割(分解)结点noleaves Determine nonterminal nodesntnode Number of terminal nodesntree Constructor for the class NTREE*orthfilt 正交小波滤波器组plot 绘制向量或矩阵的图形*qmf 镜像二次滤波器rbiowavf Reverse biorthogonal spline wavelet filtersread 读取二进制数据readtree 读取小波包分解树*scal2frq Scale to frequencysetshanwavf Shannon waveletsswt 一维SWT(Stationary Wavelet Transform)变换swt2 二维SWT变换symaux Symlet wavelet filter computation.symwavf Symlets小波滤波器thselect 信号消噪的阈值选择thodes Referencestreedpth 求树的深度treeord 求树结构的叉数upcoef 一维小波分解系数的直接重构upcoef2 二维小波分解系数的直接重构upwlev 单尺度一维小波分解的重构upwlev2 单尺度二维小波分解的重构wavedec 单尺度一维小波分解wavedec2 多尺度二维小波分解wavedemo 小波工具箱函数demo*wavefun 小波函数和尺度函数*wavefun2 二维小波函数和尺度函数wavemenu 小波工具箱函数menu图形界面调用函数*wavemngr 小波管理函数waverec 多尺度一维小波重构waverec2 多尺度二维小波重构wbmpen Penalized threshold for wavelet 1-D or 2-D de-noising wcodemat 对矩阵进行量化编码wdcbm Thresholds for wavelet 1-D using Birge-Massart strategy wdcbm2 Thresholds for wavelet 2-D using Birge-Massart strategy wden 用小波进行一维信号的消噪或压缩wdencmp De-noising or compression using waveletswentropy 计算小波包的熵wextend Extend a vector or a matrix*wfilters 小波滤波器wkeep 提取向量或矩阵中的一部分*wmaxlev 计算小波分解的最大尺度wnoise 产生含噪声的测试函数数据wnoisest 估计一维小波的系数的标准偏差wp2wtree 从小波包树中提取小波树wpcoef 计算小波包系数wpcutree 剪切小波包分解树wpdec 一维小波包的分解wpdec2 二维小波包的分解wpdencmp 用小波包进行信号的消噪或压缩wpfun 小波包函数wpjoin 重组小波包wprcoef 小波包分解系数的重构wprec 一维小波包分解的重构wprec2 二维小波包分解的重构wpsplt 分割（分解）小波包wpthcoef 进行小波包分解系数的阈值处理wptree 显示小波包树结构wpviewcf Plot the colored wavelet packet coefficients.wrcoef 对一维小波系数进行单支重构wrcoef2 对二维小波系数进行单支重构wrev 向量逆序write 向缓冲区内存写进数据wtbo Constructor for the class WTBOwthcoef 一维信号的小波系数阈值处理wthcoef2 二维信号的小波系数阈值处理wthresh 进行软阈值或硬阈值处理wthrmngr 阈值设置管理wtreemgr 管理树结构Wavefun用法：【phi，psi，xval】=wavefun（‘wname’，inter）；————对应于正交小波其中：phi是尺度函数，psi是小波函数，xval是相应的点数【phi1，psi1，phi2，psi2，xval】=wavefun（‘wname’，inter）；————对应于双正交小波其中：phi1是分解尺度函数，psi1是分解小波函数，phi2是重构尺度函数，psi2是重构小波函数，xval是相应的点数。

小波理论总结目录一、基础知识 (4)1.起源与发展 (4)2.傅里叶分析 (4)（1）傅里叶变换（FT）定义 (4)（2）傅里叶变换的性质 (5)（3）离散傅里叶变换（DFT） (5)3.泛函分析 (6)（1）函数空间 (6)（2）基底及展开 (7)（3）正交基 (7)（4）双正交基 (7)（5）框架 (8)（6）Riesz基 (8)（7）紧支撑 (8)二、窗口傅里叶变换 (9)1.傅里叶变换的缺点 (9)2.Gabor变换 (9)3.时窗/频窗处理 (10)4.基本定义 (10)5.Gabor变换的缺点 (10)三、小波变换 (10)1.连续小波变换 (11)1）母小波 (11)2）小波基函数 (11)3）连续小波变换 (11)4）性质 (12)2.离散小波变换 (12)（1）二进小波变换 (12)（2）小波框架 (13)（3）对偶小波 (13)（4）小波逆变换 (14)四、多分辨分析 (14)1.多分辨分析 (15)2.正交小波变换 (16)3.正交小波变换的具体实现 (17)4.双正交小波变换 (17)5.一维Mallat算法 (18)6.二维Mallat算法 (20)五、小波包分析 (22)1) 小波包的定义 (23)2) 小波包的性质 (23)3) 小波包的空间分解 (24)4) 小波库 (25)5) 小波包算法 (25)六、小波基选择标准 (26)1、支撑长度 (26)2、对称性 (26)3、消失矩 (26)4、正则性 (27)5、相似性 (27)六、常用的连续小波基函数 (27)1. 常用的连续小波基函数 (27)（1）Haar小波 (27)（2）Daubechies(dbN)小波系 (28)（3）Biorthogonal(bior N r.N d)小波系 (29)（4）Coiflet(coif N)小波系 (30)（5）Morlet 小波 (30)（6）Marr小波（Mexcian hat） (31)（7）DOG（Difference of Gaussian）小波 (32)（7）Meyer函数 (32)2. 信号的连续小波变换 (33)七、第二代小波变换 (34)1.提升方案 (34)2.把小波变换分解成基本的提升步骤 (36)3.整数小波变换 (39)4.第二代小波变换具体实现 (40)八、小波图像编码 (41)1.小波变换图像编码的基本框架 (41)1) 解相关变换过程 (42)2) 量化过程 (42)3) 熵编码过程 (43)2.SPIHT算法 (43)1) 嵌入式零树编码（EZW）算法 (43)2) 在层次树中的集划分（SPIHT）算法 (45)一、基础知识1.起源与发展小波理论是建立在傅里叶分析和泛函分析基础之上的时频分析工具之一。

一、收集和总结MA TLAB中涉及到的小波函数1．cwt函数功能：实现一维连续小波变换的函数。

cwt函数语法格式：COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname')COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'plot')COEFS=cwt(S, SCALES, 'wname', 'PLOTMODE') 2．dwt函数功能：单尺度一维离散小波变换函数语法格式：[cA,cD] = dwt(X,'wname')[cA,cD] = dwt(X,'wname','mode',MODE)[cA,cD] = dwt(X,Lo_D,Hi_D)3．meyer函数功能：Meyer小波函数语法格式：[PHI,PSI,T] = meyer(LB,UB,N)[PHI,T] = meyer(LB,UB,N,'phi')[PSI,T] = meyer(LB,UB,N,'psi')4．plot函数功能：绘制向量或矩阵的图形函数语法格式：plot(Y)plot(X1,Y1,...)plot(X1,Y1,LineSpec,...)5．cgauwavf函数功能：Complex Gaussian小波函数语法格式：[PSI,X] = cgauwavf(LB,UB,N,P)6．iswt函数功能：一维逆SWT(Stationary Wavelet Transform)变换函数语法格式：X = iswt(SWC,'wname')X = iswt(SWA,SWD,'wname')X = iswt(SWC,Lo_R,Hi_R)7．mexihat函数功能：墨西哥帽小波函数语法格式：[PSI,X] = mexihat(LB,UB,N)8．morlet函数功能：Morlet小波函数语法格式：[PSI,X] = morlet(LB,UB,N)9．symwavf函数功能：Symlets小波滤波器函数语法格式：F = symwavf(W)10．upcoef函数功能：一维小波分解系数的直接重构函数语法格式：Y = upcoef(O,X,'wname',N)Y = upcoef(O,X,'wname',N,L)Y = upcoef(O,X,Lo_R,Hi_R,N)Y = upcoef(O,X,Lo_R,Hi_R,N,L)Y = upcoef(O,X,'wname')Y = upcoef(O,X,Lo_R,Hi_R) 11．upwlev函数功能：单尺度一维小波分解的重构函数语法格式：[NC,NL,cA] = upwlev(C,L,'wname')[NC,NL,cA] = upwlev(C,L,Lo_R,Hi_R) 12．wavedec函数功能：单尺度一维小波分解函数语法格式：[C,L] = wavedec(X,N,'wname')[C,L] = wavedec(X,N,Lo_D,Hi_D) 13．wavefun函数功能：小波函数和尺度函数函数语法格式：[PHI,PSI,XVAL] = wavefun('wname',ITER) 14．waverec函数功能：多尺度一维小波重构函数语法格式：X = waverec(C,L,'wname')X = waverec(C,L,Lo_R,Hi_R)15．wpcoef函数功能：计算小波包系数函数语法格式：X = wpcoef(T,N)X = wpcoef(T)16．wpdec函数功能：一维小波包的分解函数语法格式：T = wpdec(X,N,'wname',E,P)T = wpdec(X,N,'wname')17．wpfun函数功能：小波包函数[函数语法格式：WPWS,X] = wpfun('wname',NUM,PREC) [WPWS,X] = wpfun('wname',NUM) 18．wprcoef函数功能：小波包分解系数的重构函数语法格式：X = wprcoef(T,N)19．wprec函数功能：一维小波包分解的重构函数语法格式：X = wprec(T)20．wrcoef函数功能：对一维小波系数进行单支重构函数语法格式：X = wrcoef('type',C,L,'wname',N)X = wrcoef('type',C,L,Lo_R,Hi_R,N)X = wrcoef('type',C,L,'wname')X = wrcoef('type',C,L,Lo_R,Hi_R)。

2. Daubechies小波是一类常用的正交小波函数，由Ingrid Daubechies提出。 Daubechies小波函数具有紧支集、对称性和正交性的特点，可以用于信号压缩、去噪 Symlet小波是一种对称的小波函数，它在Daubechies小波的基础上进行了改进，具有 更好的频率局部化性质。Symlet小波函数在信号处理中广泛应用于图像压缩、图像增强和特 征提取等领域。
除了以上几种常用的小波函数，还有其他类型的小波函数，如Bior小波、Coiflet小波等。 这些小波函数具有不同的性质和应用场景，可以根据具体的需求选择合适的小波函数进行信 号分析。
小波变换标准函数
小波变换是一种信号分析方法，可以将信号分解成不同频率的成分。小波变换的标准函数 通常是指具有特定性质的小波函数，常用的小波函数有哈尔小波、Daubechies小波、 Symlet小波等。
1. 哈尔小波（Haar wavelet）是最简单的小波函数，它是由两个单位阶跃函数组成的函 数。哈尔小波是一种正交小波，具有快速计算和简单性的优点。

变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。

在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。

傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来。

变换的本质就是在搞基。

向量空间中的每一个向量都是向量基的线性组合，即把一些常数与向量基相乘，然后计算点积。

对信号的分析就包括计算这些常数（变换系数、傅里叶系数、小波系数）。

合成或者说重构就是计算线性组合方程。

N维空间的向量基中有N个向量。

平稳信号中的频率分量一直保持不变。

区别于非平稳信号。

傅里叶变换（FT）：傅里叶变换后的频谱图上出现毛毛刺，是因为信号中的频率突变引起的。

傅里叶变换仅仅给出了信号的频率分量，却没有给出这些频率分量出现的时间（傅里叶变换无任何时间分辨率）。

因此对于非平稳信号，傅里叶变换是不合适的。

当且仅当我们仅仅关心非平稳信号中的频率分量而不关心其出现的时间，傅里叶变换才可用于处理非平稳信号。

根据不确定性原理（测不准原理）：（1）在任意一个时间点，我们不能确定哪个频率分量存在；我们能做到的是在一个给定的时间段内确定哪个频率分量存在；（2）在时频分析中，要想取得高的时间分辨率就必须牺牲频率分辨率，反之亦然。

高频信号在时间域内更易处理，而低频信号在频率域内更易处理。

傅里叶变换：公式中的指数项还可写成：所以我们实际要做的就是用一些复数表达式叠加出原始信号，这些复数表达式包含了频率的正弦和余弦部分。

然后对乘积积分。

如果积分结果值很大，说明信号在该频率处有一个大的频谱分量。

傅里叶变换是二维的，如果再加上幅度就是三维的。

图中以“尺度”为标签的轴代表频率，尺度越大频率越低，因此，图中的小尖峰反映了信号中的高频分量；大尖峰则反映了信号中的低频分量。

高频信号的尺度分辨率很高，高尺度分辨率对应低频率分辨率。

这是一个无限循环的函数。

1，cosx, sinx, cos2x …..就是傅立叶级数。

1.小波分析用于去噪二维信号用二维小波分析的去噪步骤如下：（1.）二维信号的小波分解。

选择一个小波和小波分解的层次N，然后计算信号s到第N层的分解。

（2）对高斯系数进行阈值量化。

对于从1到N的每一层，选择一个阈值，并对这一层的高斯系数进行软阈值量化处理。

（3）二维信号的重构。

根据小波分解的第N层的低频系数和经过修改的从第1层到第N层的各层高频系数计算二维信号的小波重构。

其中的重点是如何选取阈值和阈值的量化，本代码中使用了ddendmp和wdencmp函数。

代码如下：load detfingr%装入图像init=3718025452;%下面进行噪声的生成randn('seed',init);%randn产生均值0，方差1的正态随机噪声Xnoise=X+18*(randn(size(X)));colormap(map);%显示原始图像以及它的含噪声的图像subplot(221),image(wcodemat(X,192));title('原始图像X');axis squaresubplot(222),image(wcodemat(Xnoise,192));title('含噪声的图像Xnoise');axis square[c,s]=wavedec2(X,2,'sym5');%用sym5小波对图像信号进行二层的小波分解%下面进行图像的去噪处理%使用ddencmp函数来计算去噪的默认阈值和熵标准%使用wdencmp函数用小波来实现图像的去噪和压缩[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',Xnoise);[Xdenoise,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp('gbl',c,s,'sym5',2,thr,sorh,keepapp);subplot(223),image(Xdenoise);%显示去噪后的图像title('去噪后的图像')axis square得到如下的图形：可以看出，最终得到的图像在滤除噪声的同时细节信息也损失严重。

小波变换公式推导
1、定义小波函数：小波函数ψ(t)是一个具有零平均值的振荡函数，它在时间域和频率域都是局部化的。

2、小波变换的积分形式：对于信号f(t)，其连续小波变换（CWT）定义为
其中，a是尺度参数，控制小波的宽度；b是平移参数，控制小波的位置。

3、小波函数的性质：小波函数需要满足一定的条件，如可容许性条件，以确保小波变换的存在性和唯一性。

4、逆变换：连续小波变换的逆变换为
其中，Cψ是一个与ψ有关的常数。

5、离散小波变换：在实际应用中，常常使用离散小波变换（DWT），它是对连续小波变换的尺度和平移参数进行离散化得到的。

6、多分辨率分析：小波变换的一个重要特性是多分辨率分析，它允许我们在不同的尺度上观察信号，从而揭示信号的局部特征。

7、小波基的选择：在实际应用中，需要选择适合信号特点的小波基函数，如Haar小波、Daubechies小波等。

8、快速小波变换：为了提高计算效率，可以使用快速小波变换（FWT）算法，它利用了小波变换的某些性质来减
少计算量。

小波变换原理公式小波变换是一种信号处理和数据分析的方法，它可以将信号分解成不同尺度的频率成分。

小波变换的原理公式如下：W(a, b) = ∫f(t)ψ*[(t-b)/a]dt其中，W(a, b)表示小波系数，a和b分别表示尺度参数和平移参数。

f(t)是原始信号，ψ(t)是小波基函数。

小波变换的原理可以通过对其公式进行解释。

首先，尺度参数a控制小波基函数的压缩或扩展程度，即决定了小波基函数在时间轴上的拉伸。

当a较大时，小波基函数会被拉伸，从而对应较低频率的成分；而当a较小时，小波基函数会被压缩，对应较高频率的成分。

平移参数b则决定了小波基函数在时间轴上的平移，即决定了小波基函数的起始位置。

通过改变平移参数b，可以对不同时间段的信号进行分析。

小波变换的过程可以分为两个步骤：分解和重构。

首先，通过不同尺度和平移参数的组合，对原始信号进行分解，得到一系列小波系数。

这些小波系数表示了不同频率和时间范围的信号成分。

然后，通过逆小波变换，将这些小波系数重构成原始信号。

小波变换具有多尺度分析的特点，可以对信号的局部特征进行捕捉。

相比于傅里叶变换，小波变换更适用于非平稳信号的分析，因为小波基函数在时间和频率上都有局部性。

小波变换在许多领域都有广泛的应用。

在信号处理中，小波变换可以用于信号去噪、特征提取、边缘检测等。

在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、图像增强等。

在金融分析中，小波变换可以用于股票价格预测、风险管理等。

在生物医学领域，小波变换可以用于心电信号分析、脑电信号分析等。

小波变换是一种强大的信号处理和数据分析工具，其原理公式提供了一种理论基础。

通过对尺度和平移参数的调节，可以对不同频率和时间范围的信号成分进行分析和提取。

小波变换在许多领域都有广泛的应用，为解决实际问题提供了有效的工具和方法。

MATLAB小波函数总结在MATLAB中，小波函数是一种弧形函数，广泛应用于信号处理中的压缩，降噪和特征提取等领域。

小波函数具有局部化特性，能够在时频域上同时分析信号的瞬时特征和频率信息。

本文将总结MATLAB中常用的小波函数及其应用。

一、小波函数的基本概念小波变换是一种时间-频率分析方法，通过将信号与一组基函数进行卷积得到小波系数，从而实现信号的时频分析。

小波函数具有紧致性，能够在时域和频域具有局域性。

MATLAB提供了一系列的小波函数，用于不同的应用场景。

1. Haar小波函数Haar小波函数是最简单的一类小波函数，它是一种基于矩阵变换的正交小波函数。

具体而言，Haar小波函数形式如下：ψ(x)=1(0≤x<1/2)-1(1/2≤x<1)0(其他)Haar小波函数的最大优点是构造简单，仅由两个基本函数构成，且可以有效地表示信号的边缘和跳变。

2. Daubechies小波函数Daubechies小波函数是一类紧支小波函数，能够在时域和频域上实现精确的表示。

MATLAB提供了多个Daubechies小波函数，如db1、db2、db3等，其选择取决于所需的时频分析精度。

3. Symlets小波函数Symlets小波函数是Daubechies小波函数的一种变形，它在保持带通特性的基础上增加了支持系数的数量，提高了时频分析的精度。

MATLAB 提供了多个Symlets小波函数，如sym2、sym3、sym4等。

4. Coiflets小波函数Coiflets小波函数是一种具有对称性和紧支特性的小波函数，可用于信号压缩和降噪等应用。

MATLAB提供了多个Coiflets小波函数，如coif1、coif2、coif3等。

二、小波函数的应用小波函数广泛应用于信号处理中的各个领域，包括信号压缩、降噪、图像处理和模式识别等。

下面将重点介绍小波函数在这些领域的应用。

1.信号压缩小波函数可以通过选择合适的小波基函数和阈值策略来实现信号的压缩。

小波变换matlab总结目录一、预置工具 (4)1.预置信号 (4)2.预置小波 (4)3.滤波器函数 (6)wfilters函数 (6)4.量化编码 (6)wcodemat函数 (6)5.阈值获取 (6)ddencmp函数 (6)thselect函数 (7)wbmpen函数 (7)wdcbm函数 (7)6.阈值去噪 (8)wden函数 (8)wdencmp函数 (8)wthresh函数 (9)wthcoef函数 (9)wpdencmp函数 (9)二、小波变换函数 (12)单尺度一维小波变换 (12)cwt一维连续小波变换 (12)dwt一维离散小波变换 (12)idwt一维离散小波逆变换 (13)upcoef 一维小波系数重构 (13)多尺度一维小波变换 (14)wavedec多尺度一维分解 (14)waverec多尺度一维重构 (15)appcoef低频系数提取 (16)detcoef高频系数提取 (16)wrcoef多尺度小波系数重构 (17)一维静态（平稳）小波变换 (18)swt一维平稳小波变换 (18)iswt一维平稳小波逆变换 (18)实例 (19)单尺度二维小波变换 (19)dwt2二维离散小波变换 (19)idwt2二维离散小波逆变换 (20)upcoef2二维系数重构 (20)多尺度二维小波变换 (21)wavedec2多尺度二维分解 (21)waverec2多尺度二维重构 (22)appcoef2低频系数提取 (23)detcoef2高频系数提取 (23)wrcoef2多尺度小波系数重构 (24)二维静态（平稳）小波变换 (26)swt2二维静态小波变换 (26)iswt2二维静态小波逆变换 (26)实例 (26)直接调用的小波函数 (28)meyer函数 (28)cgauwavf函数 (28)mexihat函数 (28)morlet函数 (29)symwavf函数 (29)三、图像接口调用 (30)使用图形接口做一维连续小波分析 (30)使用图形接口做一维离散小波分析 (33)使用图形接口分析复信号 (36)使用图形接口做一维除噪分析 (36)四、小波变换在图像处理中的应用 (40)4.1 小波分析用于图像压缩 (40)4.1.1 基于小波变换的图像局部压缩 (40)4.1.2 小波变换用于图像压缩的一般方法 (41)4.1.3 基于小波包变换的图像压缩 (45)4.2 小波分析用于图像去噪 (47)小噪声阈值去噪 (48)大噪声滤波去噪 (49)少量噪声的小波分解系数阈值量化去噪 (50)4.3 小波分析用于图像增强 (52)4.3.1 图像增强问题描述 (52)4.3.2 图像钝化 (53)4.3.3 图像锐化 (54)4.4 小波分析用于图像融合 (56)4.5 小波分析用于图像分解 (57)一、预置工具1.预置信号Matlab 内置了大量的信号实例，进行信号试验的时候可以调用。

小波变换函数介绍小波变换函数介绍1 一维小波变换的 Matlab 实现(1) dwt 函数功能：一维离散小波变换格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname')[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数'wname' 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组 Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。

(2) idwt 函数功能：一维离散小波反变换格式：X=idwt(cA,cD,'wname')X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,cD,'wname',L)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)说明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量 cA 和细节分量 cD 经小波反变换重构原始信号 X 。

'wname' 为所选的小波函数X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器 Lo_R 和 Hi_R 经小波反变换重构原始信号 X 。

X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号 X 中心附近的 L 个点。

(3) wavedec函数功能：单尺度一维小波分解函数格式：[C,L] = wavedec(X,N,'wname')；说明：使用小波基函数 'wname' 对一维信号 X 进行 N 层分解。

N必须是正整数[C,S]=wavedec(X,N,'wname') 使用小波基函数 'wname' 对一维信号 X 进行 N 层分解；(4) waverec 函数说明：一维信号的多层小波重构格式：X=waverec(C,S,'wname')X=waverec(C,S,Lo_R,Hi_R)说明：X=waverec2(C,S,'wname'）用'wname'小波基函数对多层一维小波分解的结果C、S 重构得原始信号X；X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R) 使用重构低通和高通滤波器Lo_R 和Hi_R 重构原信号。

小波变换函数小波变换(Wavelet Transform)是一种在信号分析领域中常用的数学工具。

它可以将信号分解成一系列不同频率的小波组成的子信号。

小波变换具有良好的时频局部性，可以捕捉到信号中的瞬时特征和频率特征。

小波变换的基本思想是将原始信号与不同尺度和位置的小波函数进行内积运算，得到对应尺度与位置的小波系数。

小波函数是一种局部化的基函数，具有有限时间和频率集中的特性。

小波函数的尺度和位置可以通过变换参数进行调节，从而可以对信号的不同频率成分进行分析。

小波变换有两种常见的方式：连续小波变换(Continuous Wavelet Transform, CWT)和离散小波变换(Discrete Wavelet Transform, DWT)。

连续小波变换是在时间上连续变化的小波函数和原始信号进行内积运算，得到一个连续的小波系数函数。

连续小波变换具有较好的分析性质，可以提供连续的频谱信息，但是计算复杂度较高。

离散小波变换是在时间上离散采样的小波函数和原始信号进行内积运算，得到一个离散的小波系数序列。

离散小波变换通过递归地对小波系数进行迭代分解和合成，实现了信号的多尺度分解和重建。

离散小波变换可以通过快速算法，如Mallat算法或者FWT算法，实现高效的计算。

小波变换的具体实现可以使用不同的小波基函数，常见的小波基函数有Daubechies小波函数、Haar小波函数、Symlets小波函数等。

选择合适的小波基函数可以根据信号的特点进行调整，在时频分析中取得更好的效果。

小波变换在信号处理领域具有广泛的应用。

它可以用于信号去噪、边缘检测、信号压缩、特征提取等方面。

小波变换还可以用于图像处理、语音识别、视频编码等领域，在实际中具有很高的实用价值。

总之，小波变换是一种在信号分析和处理中常用的数学工具，通过对信号进行尺度和位置的变换，可以提取信号的时频特征。

它具有较好的局部性和多尺度分析能力，被广泛应用于各个领域。

给我们一个信号时，我们从时域中观察这个信号时，我们得到的信息是信号的持续的时间，随着时间的变化，信号的幅度起起伏伏。

如果我们更进一步，就是起伏速度较快的部分对应着信号中高频部分。

变换缓慢的部分对应着代表信号中的频率低频部分。

我们也可以估算信号中直流分量的大小。

当然这都是我们直观的理解。

这种单纯的从时域中的信号的波形得到的信息是不全面的。

有的时候我们想要知道我们的信号中含有那些频率成分，相应频率的强度，相位。

这就是从从频域的角度来看待我们的信号。

这就需要一个数学变换的工具，将我们的信号变换到频域。

这个强大的数学工具就是傅里叶变换，变换后我们希望我们还可以回到时域中，也就是我们的变换是可可逆的，事实上，傅里叶变换就有这个信息不损失的性质。

如今傅里叶变换已经成为一个体系。

一切来自于数学中的分解思想，在这里我们选择一组正交基。

对我们信号函数的分解就像是对空间中某一一向量分解到三个坐标系一样，只不过函数的坐标是傅里叶系数而已。

这样，我们经过傅里叶变换就可以知道我们的信号中含有的频率成分。

但是这里有一个隐含的假设，或者说是傅里叶变换的致命弱点，那就是他潜在的假设了我们的信号是平稳信号。

何为平稳信号？所谓的平稳信号就是信号的各种频率成分在信号的全部持续时间中都存在。

举个例子，假如我们对一个持续时间在[0,100s]的平稳信号做傅里叶变换，得出信号中有59HZ，那么就说明，对该平稳信号，59HZ从0开始，在这100s中的任何一个时刻都存在。

可是，当我们的信号不是平稳信号时，例如59HZ产生50s 处，强度和上一个信号的完全相同，其他频率也完全相同，如果我们对这一个信号做傅里叶变换，由于傅里叶变换的积分域是从负无穷到正无穷，所以不幸的是，我们得到了和上一信号完全一样的结果，我们无法再从频域回到时域了。

也就是FT并没有告诉我们非平稳信号的各种频率分别出现在那个时间段上。

事实上，在现实生活中，非平稳信号和平稳信号交织在一起的。

小波变换函数（自己总结）2.1小波分析中的通用函数1 biorfilt双正交小波滤波器组2 centfrg计算小波中心频率3 dyaddown二元取样4 dyadup二元插值5 wavefun小波函数和尺度函数6 wavefun2二维小波函数和尺度函数7 intwave积分小波函数fai8 orthfilt正交小波滤波器组9 qmf镜像二次滤波器（QMF）10 scal2frg频率尺度函数11 wfilters小波滤波器12 wavemngr小波管理13 waveinfo显示小波函数的信息14 wmaxlev计算小波分解的最大尺度15 deblankl把字符串变成无空格的小写字符串16 errargn检查函数参数目录17 errargt检查函数的参数类型18 num2mstr最大精度地把数字转化成为字符串19 wcodemat对矩阵进行量化编码20 wcommon寻找公共元素21 wkeep提取向量或矩阵中的一部分22 wrev向量逆序23 wextend向量或矩阵的延拓24 wtbxmngr小波工具箱管理器25 nstdfft非标准一维快速傅里叶变换（FFT）26 instdfft非标准一维快速逆傅里叶变换27 std计算标准差2.2小波函数1 biorwavf双正交样条小波滤波器2 cgauwavf复Gaussian小波3 cmorwavf复Morlet小波4 coifwavf Coiflet小波滤波器5 dbaux Daubechies小波滤波器6 dbwavf Daubechies小波滤波器7 fbspwavf频率分布B-Spline小波8 gauswavf Gaussian小波9 mexihat墨西哥小帽函数10 meyer meyer小波11 meyeraux meyer小波辅助函数12 morlet Morlet小波13 rbiowavf反双正交样条小波滤波器14 shanwavf 复shannon小波15 symaux计算Symlet小波滤波器16 symwavf Symlets小波滤波器2.3一维连续小波变换1 cwt一维连续小波变换2 pat2cwav从一个原始图样中构建一个小波函数2.4一维离散小波变换1 dwt但尺度一维离散小波变换2 dwtmode离散小波变换拓展模式3 idwt单尺度一位离散小波逆变换4 wavedec多尺度一维小波分解（一维多分辨率分析函数）5 appcoef提取一维小波变换低频系数6 detcoef提取一维小波变换高频系数7 waverec多尺度一维小波重构8 upwlex单尺度一维小波分解的重构9 wrcoef对一维小波系数进行单支重构10 upcoef一维系数的直接小波重构11 wenergy显示小波或小波包分解的能量2.5二维离散小波变换1 dwt2单尺度二维离散小波变换2 idwt2单尺度逆二维离散小波变换3 wavedec2多尺度二维小波分解（二维分辨率分析函数）4 waverec2多尺度二维小波重构5 appcoef2提取二维小波分解低频系数6 detcoef2提取二维小波分解高频系数7 upwlev2二维小波分解的单尺度重构8 wrcoef2对二维小波系数进行单支重构9 upcoef二维小波分解的直接重构2.6离散平稳小波变换1 swt一维离散平稳小波变换2 iswt一维离散平稳小波逆变换3 swt2二维离散平稳小波变换4 iswt2二维离散平稳小波逆变换2.7小波包变换1 wpdec一维小波包的分解2 wprec一维小波包分解的重构3 wpdec2二维小波包分解4 wprec2二维小波包分解的重构5 wpcoef计算小波包系数6 wprcoef小波包分解系数的重构7 wpfun小波包函数8 wpsplt分割（分解）小波包9 wpjoin重新组合小波包10 wpcutree剪切小波包分解树11 besttree计算最佳（优）树12 bestlevt计算完整最佳小波包树13 wp2wtree从小波包树中提取小波树14 wentropy计算小波包的熵15 entrupd更新小波包的熵值2.8信号和图像的消噪和压缩1 ddencmp获取在消噪或压缩过程中的默认阈值（软或硬）、熵标准2 thselect信号消噪的阈值选择3 wbmpen返回一维或二维小波消噪的Penalized值4 wdcbm用Birge-Massart算法处理一维小波的阈值5 wdcbm2用Birge-Massart算法处理二维小波的阈值6 wpbmpen返回小波包消噪的Penalized 阈值7 wthrmngr阈值设置管理8 wden用小波进行一维信号的自动消噪9 wdencmp用小波进行信号的消噪或压缩10 wnoise产生含噪声的的测试函数数据11 wnoisest估计一维小波的系数的标准偏差12 wpdencmp用小波包进行信号的消噪或压缩13 wpthcoef进行小波包分解系数的阈值处理14 wthcoef2二维信号的小波系数阈值处理16 wthresh进行软阈值或硬阈值处理2.9树操作应用函数1 allnodes计算树的节点2 cfs2wpt从系数中构造小波包树3 depo2ind将深度-位置节点形式转化成索引节点形式4 disp显示小波包树信息5 drawtree画小波包分解树（GUItuxing ）6 dtree节点深度为D的结构树构造器7 get获取小波包树的区域内容8 ind2depo将索引节点形式转化成深度-位置节点形式9 isnode判断节点是否存在10 istnode判断节点是否是终节点并返回排列值11 leaves确定终节点12 nodeasc计算上溯节点13 nodedesc计算下溯节点14 nodejoin重组节点15 nodepar寻找父节点16 nodesplt分割（分解）节点17 noleaves确定非终节点18 ntnode求终节点的个数19 ntree节点索引为N的结构树构造器20 plot画树结构图形21 read读取小波包树对象区域中的值22 readtree从图形中读取小波包的分解树23 set设置小波包树对象区域的内容24 tnodes确定终节点25treepth求树的深度26 treeord求树结构的叉树27 wptree完全小波包树构建起28 wpviewcf画小波包的染色系数29 write标出完全小波包树对象区域值30 wtbo小波工具箱分类构造器31 wtreemgr管理树结构2.10提升小波变换1 lwt一维提升小波变换2 lwt2二维提升小波变换3 lwtcoef提取或重构一维提升小波变换的小波系数4 lwtcoef2提取或重构二维提升小波变换的小波系数5 ilwt一维提升小波逆变换6 ilwt2二维提升小波逆变换7 addlift添加原始或双重提升步骤8 displs显示提升方案9 lsinfo提升方案信息10 lift wave常用小波的提升方案11 wave2lp返回小波函数的劳伦多项式12 wavenames返回小波信息13 bswfun双正交尺度和小波函数14 filt2ls返回滤波器的提升方案15 liftfilt在滤波器上应用基本提升步骤16 ls2filt返回提升小波方案滤波器17 laurmat劳伦矩阵类构造器18 laurpoly劳伦多项式类构造器2.11辅助函数与演示函数1 wvarchg查找信号中的变化点信息2 waveinfo显示小波信息3wavedemo显示小波信息2.13其他小波应用函数1 wfbm生成分数布朗运动2 wfbmesti分数布朗运动的参数估计3 wfusing图像融合4 wfusmat矩阵或数组的融合。