H01徐州市2018届高三考前模拟检测数学试题

H01徐州市2018届高三考前模拟检测数学试题徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则集合AB中元素的个数为 ．2．已知复数2(12i)z =-（i 为虚数单位），则z 的模为 ．3．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为 ． 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．5．从集合{0,1,2,3}A =中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为奇数的概率是 ． 6．若函数4()2x xa f x x -=⋅为奇函数，则实数a 的值S ←0 ForIFrom 1（第4题）取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．(本小题满分14分) 已知在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .若16cos ,sin 3A C ==. （1）求tan B ；（2）若227a b +=，求c 的值. 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中．（1）若AD ⊥平面PAB ，PB PD ⊥，求证：平面PBD ⊥平面PAD ；（2）若AD ∥BC ，2AD BC =，E 为PA 的中点，求证：BE ∥平面PCD ．17．(本小题满分14分)如图（1）是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为r 分米的半圆，及矩形ABCD 组成，其中AD 长为a 分米，如图（2）.为了美观，要求2r a r ≤≤.已知该首饰盒的长为4r 分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米1百元，上半部分制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y 百元.（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）当r 为何值时，该首饰盒的制作费用最低？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)xy a b ab+=>>的左、右顶点分别为12A A ，，上顶点为(0,1)B ，且椭圆3.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P 是椭圆上位于第一象限的任一点，直线12A B A P ，交于点Q ，直线BP 与 x 轴交于点R ，记直线2A Q RQ ，的斜率分别为12k k ，．求证：212k k -为定值．19．（本小题满分16分）已知无穷数列{}na 满足12n na a ++=，nS 为其前n 项和．（1）若12a =-，求4S ；（2）若10a >，且123,,a a a 成等比数列，求1a 的值； （3）数列{}na 是否能为等差数列？若能，求出满足条件的1a ；若不能，说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数()ln ,f x x ax a a =-+∈R ．（1）若1a =，解关于x 的方程()0f x =； （2）求函数()f x 在[]1,e 上的最大值； （3）若存在m ，对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-，试确定a 的所有可能值．徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧AB 与弧AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：2AB BE CD =⋅．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵12a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 的一个特征值为2λ=-，其对应的特征向量为12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵A 的逆矩阵．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为242sin(+)104ρρθπ--=，已知3(1,)2P π，Q 为圆C 上一点，求线段PQ 长度的最小值．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数．求证： 111x y z yz zx xy x y z ++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有4名男生，1名女生，舞蹈组有2名男生，2名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出.（1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）记X 为选出的4名同学中女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 23．（本小题满分10分）已知数列{}na 满足11a =，当2n ≥时，21111n nn a a a --=+. （1）用数学归纳法证明：1tan 2n n a +π=；（2）求证：122C (1)2C (1)C (1)C (1)0k knn n n n n n n n n a a k a n a -+-++-++-≤.徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I 参考答案一、填空题1．4 2． 5 3． 1200 4． 45 5．23 6． 1- 7． (1,2)- 8． 1 9．552 10．2+211．答案：312．答案：3737[77- 13．答案：23 14．答案：(,2)-∞- 二、解答题 15．（1）在ABC △中，由1cos 3A =， 得22122sin 1cos 1()33A A =-=-.……………………………………………2分所以sin sin C A <，所以C A <，所以C 为锐角， 于是2263cos 1sin 1()3C C =--=，…………………………………………4分所以sin tan 22cos AA A==sin tan 2cos CC C =，……………………………………6分 所以tan tan 222tan tan()21tan tan 1222A CB AC A C ++=-+=-==--⨯………………8分（2）由,sin sin a bA B=可得22sin 233sin 36a Ab B ===， ……………………………10分又227a b +=，解得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩…………………………………………………12分所以22232cos 7433c a b ab C =+-=-=，所以3c =.……………………………………………………………………………14分（另解：又因为tan tan B C =，角B C ，为ABC △的内角，所以3c b =） 16．（1）因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥， 又因为PB PD ⊥，且AD PD D =，AD PD ⊂，平面PAD ， 所以PB ⊥平面PAD ，又因为PB ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAD .…………………6分（2）取PD 的中点F ，连结EF ，因为E F ，分别是PA ，PD 的中点，所以//EF AD ，且=2AD EF ，又因为四边形ABCD 为直角梯形且//AD BC ，2AD BC =，所以//EF BC 且EF BC =，所以四边形EFCB 是平行四边形， 所以//BE CF ， 又CF ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ， 所以//BE 平面 P EAB C D F （第16题图）PCD． …………………………………………………………14分 17．（1）由题意可知：232144(2)282r r ar r ar =π+=π+， 所以332242284r r a r r -π-π==. ……………………………………2分又因为2r a r ≤≤，得332284r ≤+π+π. …………………………………4分所以2224(22)42(4)12810y r a r ar r r r ar r r =+++π⨯+π=++π，=2222128104r r r r r -π⨯++π=26(87)r r++π， 定义域为3322[,]84+π+π.……………………………………………………………6分（2）令26()(87)f r rr=++π，所以26()(1614)f r r r '=-++π， …………………8分令()0f r '=，即26(1614)r r =+π，解之得：3387r =+π当3387r >+π()0f r '>，函数()y f r =为增函数； 当3387r <+π时()0f r '<，函数()y f r =为减函数. …………………12分又因为332284r ≤≤+π+π，所以函数()y f r =在3322[,]84+π+π上为增函数，所以当328r =+π. 答：当328r =+π时，该首饰盒的制作费用最低. …………………………………14分 18．（1）因为椭圆的上顶点为(0,1)B ，离心率为32，所以1,3b c a=⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………………………………………2分 又222a b c =+，得224,1a b ==，所以椭圆的标准方程是2214xy +=；…………………………………………………4分（2）根据题意，可得直线1:12xA B y =+，直线21:2)A Q y k x =-（，由112(2)x y y k x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得11112(21)4(,)2121k k Q k k +-- . ……………………………………6分由122(2)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩得22214(2)4x k x +-=，化简得2222111(41)161640k x k x k +-+-=，因为2A (2,0)，所以2121164241P k x k -=+，所以21212(41)41P k x k -=+，将21212(41)41P k x k -=+代入直线方程得：121441P k y k -=+，所以21122112(41)4(,)4141k k P k k --++. ……………………………………………10分又因为(0,1)B ，所以1211211214141212(41)2(21)41BPk k k k k k k --++==----+， 所以直线1121:12(21)k BP y x k +=-+-，令y =得，112(21)(0)21k R k -+，.………………12分于是1112111140211=2(21)2(21)242121RQk k k k kk k k k -- ==++---+， 所以1211112=2()242k k k k -+-=，为定值． (16)分 19．（1）由12a =-及12n na a ++=得，20a =，所以32a =，40a =，所以41234=0S a a a a +++=；…………………………………………………………2分（2）因为10a >，所以2112||2a a a =-=-，3212||2|2|a a a =-=--，①当102a <时，3112(2)a a a =--=，所以2211(2)a a =-，得1=1a ；②当12a >时，3112(2)4a a a =--=-，所以2111(4)(2)a a a -=-，得1=22a -1=22a +综①②知，1=1a 或1=22a 分（3）假设数列{}n a 是等差数列，则有212||a a =-，312|2|||a a =--，且2132a a a =+得1112|2|||2||a a a -+-=（*） ……………………………………8分 ①当12a >时，由（*）得10a =，与12a >矛盾；②当102a <时，由（*）得11a =，从而1()n a n *=∈N ，此时数列{}na 为等差数列；③当10a 时，可得公差2d =， 因此存在2m ，使得12(1)2m a a m =+->，这与12||0m m m md a a a a +=-=--<矛盾.综合①②③可知，当且仅当11a =时，数列{}na 为等差数列. ……………………16分 20．（1）当1a =时，()ln 1f x x x =-+，显然(1)0f =，所以1x =是方程()0f x =的一个根．………………………………2分又因为11()1xf x x x -'=-=，且当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而max()(1)0f x f ==，所以1x =是方程()0f x =的唯一根． ………………………………………………4分（2）因为11()(0)axf x a x x x-'=-=>， ①当0a 时，恒有()0f x '>，所以()f x 在[1e]，上单调递增，所以max()(e)1+e f x f a a ==-；②当0a >时，当10x a <<时，()0f x '>，当1x a>时，()0f x '<，所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减，若1e a ，即10ea<，max()(e)1+ef x f a a ==-；若11e a <<，即11e a <<，max11()()ln 11ln f x f a a aa a==-+=--；若101a <，即1a ，max()(1)0f x f ==．综上所述，()f x 在[1e]，上的最大值为max11e,,e 1()1ln ,1,e 1, 1.a a af x a a a a ⎧+-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥ ………10分（3）因为对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-，所以22(1)ln (1)x x ax a x --<-+<- ， （i ）设2()(1)ln g x x x ax a =--+-，则11()2(1)22g x x a x a x x'=--+=-+-，显然()g x '在(1,)+∞单调递增，所以()(1)=1g x g a ''-，①当1a 时，恒有g (1)0'，所以()0g x '>在(1,)+∞恒成立，所以()g x 在(1,)+∞单调递增，所以()>(1)=0g x g ，所以1a 符合题意；②当01a <<时，有122(1)g (1)0,()20a g a a a-''<=-=>， 所以11(1,)x a∃∈，使得1()0g x '=，从而当11x x <<时，g ()0x '<，即()g x 在1(1,)x 上单调递减，所以()<(1)=0g x g ，不符合题意；③当0a 时，2221()=0x x g x a x --'+<在13(1,2+恒成立，所以()g x 在13+单调递减，所以()<(1)=0g x g ，不符合题意.综上，()0g x >恒成立时，1a .……………………………………………………13分（ii ）设2()(1)ln h x x x ax a =-+-+， 则1()22h x x a x'=+--， ()h x '在(1,)+∞单调递增（建议阅卷忽略，讲评要求证）， 所以()(1)=1h x h a ''-，①当1a >时，有1(1)0,()20h h a a a''<=+->， 所以2(1,)x a ∃∈ ，使得2()0h x '=，从而当21x x <<时，()0h x '<，即()h x 在2(1,)x 上单调递减，所以()<(1)=0h x h ，不符合题意；②当1a 时，有(1)0h '，所以()(1)0h x h ''>在(1,)+∞恒成立，所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()>(1)=0h x h 恒成立，所以1a 符合题意.综合（i ）、（ii ）可知，=1a . …………………………………………………………16分徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ参考答案21．A ．连结AC ．…………………………………………………1分因为EA 切圆O 于A ， 所以∠EAB ＝∠ACB ． …………3分AEBC DO · （第因为弧AB 与弧AD 长度相等，所以∠ACD ＝∠ACB ，AB ＝AD ．于是∠EAB ＝∠ACD ． …………………………………5分又四边形ABCD 内接于圆O ，所以∠ABE ＝∠D ．所以ABE ∆∽CDA ∆． 于是AB BE CD DA=，即AB DA BE CD ⋅=⋅．………………9分所以2AB BE CD=⋅．…………………………………10分B ．由λ⋅=⋅A αα得：1112222a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，122,44,a b +=-⎧∴⎨-=-⎩3,20,a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ ………5分设1xy st -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则1310120102x y s t -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦A A ，31,220,30,221,x s s y t t ⎧-=⎪⎪-=⎪∴⎨⎪-=⎪⎪-=⎩1,0,3,41,2x s y t =⎧⎪=⎪⎪∴⎨=-⎪⎪=-⎪⎩1314102-⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ． ……………………………………10分C ．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，圆C 的直角坐标方程为224410xy x y +---=，即22(2)(2)9x y -+-=， 所以圆心C的坐标为(2,2)C ，………………………………………………………4分点P的直角坐标为(0,1)P -， ………………………………………………………6分所以线段PQ长度的最小值为3133PC -． ………………………………10分D ．因为x ，y ，z 无为正数．所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥， …………………………4分同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥， ………………………………………………7分当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥． ……10分 22．（1）由题意知，所有的选派方法共有2254=60C C ⋅种，其中有3名女生的选派方法共有112412=4CC C ⋅⋅种，所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60-4=56种. …………3分 （2）X 的可能取值为0,1,2,3. ……………………………………………………5分2242225461(0)6010C C P X C C ====,2122114124222254+4+247(1)6015C C C C C C P X C C ====, 1111224122422254+16+611(2)6030C C C C C C P X C C ====,112412225441(3)6015C C C P X C C ====,8分所以X 的分布列为所以171117()0123101530155E X =⨯+⨯+⨯+⨯= . …………………………………10分 23．（1）将11a =代入212111a a a +得221a =，当1n =时，1tan 14a π==成立. 假设当n k =（*k ∈N ，1k ≥）时成立，即1tan2kk a+π=，则当1n k =+时，X0 1 2 3 P 110 715 1130 1152111kk ka a ++-2111tan 12tan 2k k ++π+-1211cos 2tan 2sin 2k k k +++π-π==π，这就说明，当1n k =+时结论也成立．综上所述，1tan2nn a +π=． ……………………………………………………5分（2）因为11AC C !k kk nnn k k n k --==，所以111C (1)(1)C (1)k kk k nnnn nk a a n a ----=--， 因此122C (1)2C (1)C (1)C (1)kk nn n n n n n n n n a a k a n a -+-++-++-1(1)n n n a na -=-．由（1）知，1tan(0,1]2nn a+π=∈，所以1(1)0n nn ana --≤，得证．……………10分。