微分方程教案12页word

微分方程与常微分方程教案(强烈推荐)1. 引言本教案旨在介绍微分方程和常微分方程的基本概念和解法方法，帮助学生理解和掌握微分方程的应用。

微分方程作为数学中重要的研究领域之一，具有广泛的应用背景，在物理、经济、工程等领域中都有着重要的作用。

通过本教案的研究，学生将能够理解微分方程的意义和解题方法，为进一步研究高级数学和应用数学打下坚实的基础。

2. 微分方程的概念与分类2.1 微分方程的定义微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。

它可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。

2.2 常微分方程的分类常微分方程是指只包含未知函数及其导数的方程。

常微分方程可以分为一阶和高阶两类，其中一阶常微分方程包括可分离变量方程、线性方程和恰当方程等；高阶常微分方程包括二阶和以上阶数的常微分方程。

3. 常见的微分方程解法3.1 可分离变量方程的解法可分离变量方程是一类形如 $M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x)$、$N(y)$、$P(x)$、$Q(y)$ 是关于$x$ 或 $y$ 的函数。

可分离变量方程可以通过对方程进行变形和变量分离的方法求解。

3.2 线性方程的解法线性方程是一类形如 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的一阶常微分方程，其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是关于 $x$ 的函数。

线性方程可以通过求解定积分和应用特解的方法求解。

3.3 恰当方程的解法恰当方程是一类形如 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的一阶常微分方程，其中 $M(x,y)$、$N(x,y)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数，并且满足 $\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}$。

恰当方程可以通过利用积分因子的方法求解。

4. 实际应用案例分析本节将通过介绍一些实际应用案例，展示微分方程在物理、经济和工程等领域的应用。

大学数学教案-微分方程的求解方法
一、引言
微分方程是数学中经典且重要的研究领域之一。

在科学和工程等各个领域中，微分方程都扮演着重要的角色。

本教案将介绍微分方程的基本概念，并详细讨论了常见的求解方法。

二、微分方程概述
1.微分方程的定义和基本性质
2.微分方程的分类：常微分方程和偏微分方程
3.初值问题和边值问题
三、常见求解方法
1. 可分离变量法
•求解步骤及原理说明
•示例题目及详细步骤
2. 齐次线性微分方程法
•求解步骤及原理说明
•示例题目及详细步骤
3. Bernoulli 方程法
•求解步骤及原理说明
•示例题目及详细步骤
4. 线性高阶非齐次线性微分方程法（特征根法）•求解步骤及原理说明
•示例题目及详细步骤
5. 其他常见方法介绍
•积分因子法
•变量替换法
•Laplace 变换法
四、数值解法
1.欧拉方法
2.改进的欧拉方法（改进的欧拉公式）
3.二阶龙格库塔法（RK2）
4.四阶龙格库塔法（RK4）
五、应用举例
1.常微分方程应用实例
•天体运动问题
•放射性衰变问题
2.偏微分方程应用实例
•热传导方程问题
•波动方程问题
六、总结与展望
本教案详细介绍了微分方程的基本概念和常见求解方法，并给出了数值解法和具体应用实例。

微分方程是一门重要而广泛应用的学科，通过学习该课题能够帮助学生更好地理解和应用数学知识。

未来，随着科技的发展，微分方程研究将会得到更多的突破。

注：以上内容仅供参考，请根据具体需要进行补充和修改。

高中数学教案微分方程微分方程教案高中数学教案摘要：本教案主要介绍微分方程的基本概念、求解方法和应用，并设计了相关的教学活动和练习。

教学目标：1.了解微分方程的概念与分类，并理解微分方程的意义。

2.能够运用常微分方程的解法，解决简单的微分方程问题。

3.了解微分方程在实际问题中的应用，并能够将数学知识与实际问题相结合，解决实际问题。

教学重点：1.微分方程的概念与分类。

2.常微分方程的解法。

3.微分方程在实际问题中的应用。

教学难点：1.应用题中的问题分析和建立微分方程的能力。

2.求解复杂微分方程的能力。

教学准备：1.教师：PPT课件、教案、多媒体设备。

2.学生：教材、笔记本、计算器。

教学过程：一、导入（约5分钟）教师通过给学生出示一些实际问题，引发学生对微分方程的思考，激发学生的学习兴趣。

例如：一辆汽车在某段路程上的速度是多少？一杯冷水从什么温度下降到什么温度需要多长时间？二、知识讲解（约25分钟）1.微分方程的概念与分类（10分钟）教师结合多媒体展示，详细介绍微分方程的定义和分类，包括常微分方程和偏微分方程的区别，以及一阶、二阶微分方程等。

2.常微分方程的解法（15分钟）教师重点讲解常微分方程的解法，包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等，并通过示例演示每种方法的具体步骤和应用场景。

三、教学活动（约15分钟）1.小组讨论（10分钟）将学生分成小组，让他们根据所学的知识，自行应用解题方法解决教师提供的实际问题。

鼓励学生自主思考、合作探讨，培养学生的问题解决能力和团队精神。

2.展示与总结（5分钟）请每个小组派代表展示解题过程和结果，并让其他小组评价和提问。

教师及时纠正错误，总结解题思路和方法。

四、知识拓展（约20分钟）教师通过讲解微分方程在实际问题中的应用，如放射性衰变问题、人口增长问题等，引导学生将数学知识与实际问题相结合，培养学生应用数学解决实际问题的思维能力。

五、教学总结（约5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并展示一些典型的习题，让学生巩固所学知识。

微分方程教案范文教学目标：1.了解微分方程的概念和基本形式；2.掌握一阶和二阶微分方程的解法；3.学会应用微分方程解决实际问题；4.提高学生的问题分析与解决能力。

教学重难点：1.理解微分方程的概念和基本形式；2.掌握微分方程的解法；3.能够运用微分方程解决实际问题。

教学准备：1.教师准备好黑板、粉笔、教学投影仪等教学工具；2.准备一些微分方程的例题及对应的解法。

教学过程：第一节：微分方程的概念和基本形式1.教师介绍微分方程的定义和基本概念，强调微分方程与导数的关系；2.通过实际例子，引导学生理解微分方程的意义；3. 教师讲解微分方程的基本形式：dy/dx = f(x)，d²y/dx² = f(x)等。

第二节：一阶微分方程的解法1.教师介绍一阶微分方程的解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程等；2.通过例题演示，讲解每种解法的步骤和注意事项；3.强调应用初始条件解决常数问题。

第三节：二阶微分方程的解法1.教师介绍二阶微分方程的解法：特征方程法、变量分离法、待定系数法等；2.通过例题演示，讲解每种解法的步骤和注意事项；3.强调应用初始条件解决常数问题。

第四节：应用微分方程解决实际问题1.教师讲解如何应用微分方程解决实际问题；2.通过例题演示，指导学生如何建立微分方程模型；3.强调解的意义和结果的合理性。

教学方法与手段：1.讲授与演示相结合的方法，通过例题讲解，帮助学生理解微分方程的解法；2.提问与解答相结合的方法，引导学生思考与分析问题，培养问题解决能力；3.实例分析与模型建立相结合的方法，通过实际问题的讲解，培养学生应用微分方程解决实际问题的能力。

课堂练习与讨论：1.在课程的每个环节，教师都设置一些习题，进行课堂练习；2.学生之间可进行小组讨论和交流，提高问题解决的思路和方法。

课堂总结与作业布置：1.教师对本节课的重点和难点进行总结；2.布置相关作业，要求学生自主思考和解决问题；3.鼓励学生积极参加学术竞赛和科研活动，提升对微分方程的理解和应用能力。

第四讲 微分方程考纲要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4.会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =，(,)y f x y '''=和(,)y f y y '''=.5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.8.会解欧拉方程.9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.问题1 何谓微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解、初值问题和微分方程的积分曲线？答 微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式. 微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.微分方程的解：满足微分方程的函数.微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.初始条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件. 微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解. 初值问题（Cauchy 问题）：微分方程连同初始条件. 一阶微分方程初值问题：(,,)0F x y y '=，00()y x y =.二阶微分方程初值问题：(,,,)0F x y y y '''=，00()y x y =，00()y x y ''=. 微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）.问题2 如何求解一阶微分方程？答 一阶微分方程的一般形式是：(,,)0F x y y '=，解出y '：(,)dyf x y dx=，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法.1可分离变量的微分方程：()()dyg x h y dx= 解法 分离变量：()()dy g x dx h y =；两端积分：()()dyg x dx h y =⎰⎰. 2 齐次微分方程：dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭解法 令y u x =，则y xu =，dy du u x dx dx =+，代入方程，得()duu x u dxϕ+=并求解.3 一阶线性微分方程：()()dyP x y Q x dx+= 若()0Q x ≡，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的. 解法（常数变易法） 先解对应齐次线性微分方程()0dyP x y dx+=，求得通解()P x dx y Ce -⎰=； 再令非齐次线性微分方程的解为()()P x dxy C x e -⎰=，代入方程求出()C x .通解公式：()()(())P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰ 解的结构：一阶非齐次线性微分方程的通解=对应的齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的特解.4 伯努利方程：()()(0,1)dyP x y Q x y dxαα+=≠.（与一阶线性微分方程比较）解法 方程两边乘以y α-，再令1z y α-=，将方程化为一阶线性微分方程.求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解. 例 求解下列一阶方程：1.y y x y x +-='22 【C x xy x +=>ln arcsin ,0】 2.)ln (ln x y y y x -=' 【1+=Cx xe y 】3.e e y y x dxdyxy2)(,22=+= 【2ln 2+=x x y 】 4.1)0(,0)cos 2()1(2==-+-y dx x xy dy x 【11sin 2--=x x y 】5.02)(3=--ydx dy y x 【y C y x +-=351】6.ln dy y dx y x=- 7.0)2(2=+-xdy dx y xy 【Cx xy +=2】 问题3 如何求解可降阶的二阶微分方程？答 二阶微分方程(,,,)0F x y y y '''=，解出(,,)y f x y y '''=，考纲要求掌握下列三种类型可降阶方程的解法：1. ()y f x ''=、()()n y f x =型的微分方程 特点：右端仅含x . 解法：积分两次.2. (,)y f x y '''=型的微分方程 特点：右端不显含未知函数y .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dpy p dx'''==，方程化为(,)p f x p '=（这是关于变量x ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 3.(,)y f y y '''=型的微分方程 特点：右端不显含x .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''===，方程化为(,)dpp f y p dy=（这是关于变量y ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 例1. 解方程20yy y '''-=.【12C x y C e =】2.求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.3.求初值问题221,(1)1,(1)1yy y y y ''''=+==-的解. 解 令y p '=，则dp dp dy dpy p dx dy dx dy''===， 方程化为221dp ypp dy =+，分离变量，得221pdp dy p y=+，两边积分，得 21ln(1)ln ln p y C +=+，即211p C y +=.将初始条件1,1,1x y y p '====-代入，得12C =，故212p y +=，解得p =p =.再解y '=dx =-，两边积分，得2x C =-+，将初始条件1,1x y ==代入，得22C =，2x =-，即21(45)2y x x =-+.注意 二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解.问题4 叙述二阶线性微分方程解的性质、解的结构. 答 二阶线性微分方程的一般形式：()()()y P x y Q x y f x '''++= 若()0f x ≡，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的. 1.线性微分方程解的性质⑴如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的解.⑵如果1y 与2y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的两个解，则12y y -是对应齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的解.⑶（解的叠加原理）设*k y 是线性方程()()()k y P x y Q x y f x '''++=的特解，则*1n k k y =∑是1()()()nk k y P x y Q x y f x ='''++=∑的特解.2线性微分方程解的结构定理1（齐次方程解的结构）如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性无关的特解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的通解.定理2（非齐次方程解的结构）设*y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解，1122y C y C y =+是对应的齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解，则*1122y y C y C y =++是此非齐次方程的通解.例 设123,,y y y 是)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的三个线性无关的解，则其通解为 .【1121231()()y C y y C y y +-+-】问题5 如何求解二阶常系数线性齐次方程0y py qy '''++=？答 先求出它的特征方程20r pr q ++=的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解（见下表）.特征方程20r pr q ++=的根 方程0y py qy '''++=的通解 两个不等实根12,r r 1212e e r x r x y C C =+两个相等实根12r r = 112()e r x y C C x =+两个共轭复根1,2r i αβ=± 12e [cos sin ]x y C x C x αββ=+ 问题6 如何求二阶常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解？答 考纲要求会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程，由非齐次方程解的结构，只要求出它的一个特解和对应的齐次方程的通解，而齐次方程的通解已经解决，关键是求它的一个特解.1.若()()e x m f x P x λ=，则令*()e k x m y x Q x λ=，其中0,12k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是特征根；，是单特征根；，是二重特征根.2.若()e [()cos ()sin ]x m l f x P x x P x x λωω=+，则令**e [()cos ()sin ]k x n n y x Q x x Q x x λωω=+，其中{}max ,n m l =，0,1i k i λωλω+⎧=⎨+⎩不是特征根；，是单特征根.将它们代入非齐次方程，求出多项式中的待定系数，从而求出特解. 例1.求022=-'-''x e y y 满足1)0(,1)0(='=y y 的解.【x e x y 2)21(4143++=】 2.求x x y y cos +=+''的通解.【x x x x C x C y sin 21sin cos 21+++=】3.x x y y sin 12++=+''的特解形式可设为 . 问题7 如何求解欧拉方程2()x y pxy qy f x '''++=？ 答 令t x e =，则dy xy Dy dt'==， 222(1)d y dyx y D D y dt dt''=-=-，欧拉方程化为二阶常系数线性方程.例 欧拉方程)0(0242>=+'+''x y y x y x 的通解为 .【221x C x C y +=】 问题8 如何求解含变限积分的方程（积分方程）？答 积分方程通过求导可化为微分方程，这种方程通常含有初始条件（令积分上限等于积分下限）.例1.设⎰--=xdt t f t x x x f 0)()(sin )(，)(x f 为连续函数，求)(x f . 解 00()sin ()()xxf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，⑴ 两边对求导，得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰，⑵两边再对求导，得()sin ()f x x f x ''=--，故)(x f 满足微分方程sin y y x ''+=-，由⑴，⑵得初始条件(0)0,(0)1f f '==.2.函数)(x f 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足等式01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰， 求()f x '.【e ()1xf x x -'=-+】解 由01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰，得 ()1f x '=-，(1)()(1)()()0xx f x x f x f t dt '+++-=⎰，()(1)()()(1)()()0f x x f x f x x f x f x ''''+++++-=， (1)()(2)()0x f x x f x '''+++=，令()f x p '=，(1)(2)0dpx x p dx+++=，21dp x dx p x +=-+， ln ln(1)ln p x x C =--++，即e ()1xC p f x x -'==+， 又()1f x '=-，得1C =-，故e ()1xf x x -'=-+.问题9 如何用微分方程求解应用问题？ 答 关键是建立微分方程（包括初始条件）. 例题3 应用题1.设)(x f y =是第一象限连接)0,1(),1,0(B A 的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点，若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求)(x f 的表达式.【2)1()(-=x x f 】2.设位于第一象限的曲线()y f x =过点1)22，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.⑴求曲线()y f x =的方程；（2221x y +=）⑵已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示()y f x =的弧长s .【4l 】 解 ⑴曲线()y f x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y -=--'， 令0X = ，得x Y y y =+'，故点Q 的坐标为(0,)x y y +'. 由题设知，0xy y y ++='，即20xdx ydy +=，解得222x y C +=，将1)22代入上式，得1C =，故曲线()y f x =的方程为2221x y +=. ⑵曲线sin y x =在[0,]π上的弧长2022l πππ-===⎰⎰⎰，()y f x =的参数方程为cos ,,2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩弧长s θ==⎰.4===⎰. 3.设)(x f 在[1,)+∞上连续，若由曲线()y f x =，直线1,(1)x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为2()[()(1)]3V t t f t f π=-，求()y f x =所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件229x y ==的解.【2232x y y xy '=-；3(1)1xy x x=≥+】 4.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆的水平速度为700km/h 经测试，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为6100.6⨯=k ），问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？【1.05km 】解 【利用22dv d sF ma m m dt dt===建立方程，关键是受力分析】质量9000kg m =，水平速度()v v t =，(0)700km/h v =，飞机所受的总阻力f kv =-，依题意dv kv mdt -=，dv k dt v m =-，两边积分，得ln ln kv t C m=-+，即ekt mv C -=，将(0)700v =代入上式，得700C =，故700ekt mv -=，飞机滑行的最长距离000700()700e e 1.05k k t t mmms v t dt dt k+∞--+∞+∞===-=⎰⎰（km ）问题10（数学三） 何谓差分、差分方程、差分方程的阶？如何求解一阶常系数线性差分方程？答 函数()t y f t =的差分1t t t y y y +∆=-.二阶差分2121()2t t t t t t t y y y y y y y +++∆=∆∆=∆-∆=-+. 差分方程：含有差分的等式. 差分方程的阶：下标差的最大值.第 58 页 求解一阶常系数线性差分方程1()t t y py f t +-=的步骤是：⑴先求对应齐次方程10t t y py +-=通解：求出特征方程0r p -=的根r p =，10t t y py +-=通解为t t y Cp =，⑵再求非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=的特解*()k t t m y t Q t b =，0,1,b p k b p ≠⎧=⎨=⎩⑶非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=通解为*t t t y Cp y =+，例1.设,2t y t =则差分=∆t y .【21t +】2.设t t a y =则差分=∆t y .【(1)t a a -】3.差分方程t t t t y y 21=-+的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】4.差分方程1t t y y t +-=的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】5.差分方程051021=-++t y y t t 的通解为 .【51(5)()126t t y C t =-+-】 6.某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元，若以t W 表示第t 年的工资总额，则t W 满足的差分方程是 .【1 1.22t t W W +=+】希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。

微分⽅程教案12页word微分⽅程的基本概念引⾔⼤家知道：⾼等数学的主要研究对象是函数，我们在前⾯的学习中，对于给定的函数()f x ，进⾏了微分运算和积分运算，那么函数⼜是如何得到的呢？我们可以对实验中得到的数据进⾏处理，从中发现规律得到函数，也就是采⽤数据拟合的⽅法。

然⽽有些问题，往往很难根据数据直接找出所需要的函数关系，⽐如：我们的新型战机——歼⼆⼗战机，使其安全着陆问题；坦克装甲的设计原理，导弹对敌机的追踪问题等等。

寻找这些问题中变量之间函数关系的⽅法有很多，我们来介绍其中的⼀种——利⽤微分⽅程求解函数关系。

为此今天我们来学习微分⽅程的基本概念。

下⾯我们从⼀张图⽚开始来认识他们。

⼀、问题的提出我们注意到：歼—⼆⼗战机下降滑跑时，在跑道上会滑⾏⼀段距离。

因此对滑跑的跑道提出了严格的要求，那么滑⾏跑道满⾜什么样的条件才可以保障战机的安全着陆？那么，当机场跑道不⾜时，对它的着陆速度⼜有什么样的要求呢？对此，我们把它抽象成⼀般的数学问题：战机的安全着陆问题。

案例1 (战机的安全着陆) 我国新型战机——歼⼆⼗，质量为m ，以速度0v 着陆降落时，减速伞对飞机的阻⼒作⽤与降落时的速度成正⽐，此外飞机还受到另⼀个与时间成正⽐的阻⼒作⽤，试讨论飞机降落时的速度与时间的关系？要使得战机可以安全着陆也就是要使得飞机的滑跑距离⼩于跑道的长度。

对于此问题，我们可以先对飞机滑跑的运动状态进⾏分析,结合前⾯我们所学习的微分学知识以及⽜顿第⼆定律，这样便可建⽴运动⽅程。

解：设飞机质量为m ，着陆速度为0v ，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机的滑跑距离为()x t ，飞机的速度为()v t ，减速伞的阻⼒为()kv t ，其中k 为阻⼒系数。

根据⽜顿第⼆定律可得运动⽅程()dv m kv t kt dt =--，()dx v t dt= 从这个例⼦中，将这些等式和中学⾥我们所学的代数⽅程形式做⽐较，你有什么发现？⼆、微分⽅程的基本概念1、定义通过⽐较代数⽅程与微分⽅程，从代数⽅程的定义（含有未知量的等式）得到：含有未知函数的导数或微分的⽅程称为常微分⽅程，简称为微分⽅程，记为()(,,,,)0'=n F x y y y 。

《计算机应用数学》教案教学过程：一、知识回顾微分的概念和求不定积分和定积分的方法.二、新课导入引例 某市磁悬浮列车在直线轨道上，以120/m s 的速度行驶，制动获得的加速度为23/ms-，求开始制动后列车的运动方程.解： 设开始制动后列车的运动方程为()s f t =，则该列车的速度为d s d t，加速度为22d s d t.从而，()sf t =应满足方程223d s d t=-，同时，还应满足条件0120t d s d t==，0t s==.对223d s d t=-两端关于t 积分，得13d s t C d t=-+，对13d s t C d t=-+两端关于t 积分，得 21232s t C t C =-++（其中1C 和2C 为任意常数）. 将条件120t d s d t==，0t s ==分别代入13d s t C d t=-+和21232st C t C =-++，得1120C =，2C =.所以，开始制动后列车的运动方程是231202st t=-+.三、新课内容1、微分方程的概念定义7.1 含有未知函数导数（或微分）的方程，称为微分方程.定义7.2 微分方程中未知函数导数（或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶.定义7.3 能使微分方程成为恒等关系式的函数，称为微分方程的解.定义7.4 若微分方程的解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解.定义7.5 用来确定通解中任意常数的条件，称为微分方程的初始条件（也称初值条件）.定义7.6 满足给定初始条件的解（即不含任意常数的解），称为微分方程的特解.定义7.7 微分方程的特解的几何图形对应于平面上的一条曲线，称为微分方程的积分曲线，而其通解的几何图形对应于平面上无数多条积分曲线，称为微分方程的积分曲线簇.2、可分离变量的微分方程定义7.8 形如(,)y f x y '=的微分方程，称为一阶微分方程，根据方程(,)y f x y '=的不同特点，本节介绍三种类型的一阶微分方程及其解法.定义7.9 形如()()d y f x g y d x=⋅的微分方程，称为可分离变量的微分方程，其特点是x 与y 两个变量可分离写成两个变量的函数()f x 和()g y 的乘积.可分离变量的微分方程的解法： 第一步：分离变量，得()()d y f x d xg y = （其中()g y ≠）；第二步：两边积分，得()()d y f x d xg y =⎰⎰；第三步：求出积分，得()()G y F x C=+ （其中()G y 、()F x 分别是1()g y 、()f x 的原函数，C 为任意常数）.【例题精讲】例1 验证函数2y C x=（C 为任意常数）是微分方程2x y y'=的解.解：由2x y y'=，得20x y y '-=，将函数2yC x=代入微分方程20x y y '-=，得22222()2()220x y y x C x C x C x C x''-=-=-=，所以，函数2yC x=（C 为任意常数）是微分方程2x y y'=的解.例2 验证函数21(1)2yxe e=+是微分方程2x yy e-'=的解.解：因为所给函数是隐函数，将21(1)2yxe e=+两边对x 求导，得2yxe y e'=，即2x yy e-'=，所以，函数21(1)2yxe e=+是微分方程2x yy e-'=的解.例3 求微分方程2y x y'=的通解.解：将该微分方程变形为2d y x yd x=， 分离变量，得2d y x d xy=，两边积分，得 2x d xy=⎰⎰，即21lny x C =+，整理，得 2222111,x C CC xxxy ee e y e eC e+===±=（令1C Ce=±）， 所以，该微分方程的通解为2xyC e=.（此通解中含有分离变量时丢失的解0y=）例4 求微分方程22(1)(1)0x y d x y x d y +-+=的通解. 解：分离变量，得2211y x d y d xyx=++，两边积分，得 2211y x d y d xyx=++⎰⎰，即22111ln (1)ln (1)22y x C +=++.由于积分后出现对数函数，因此为了便于利用对数运算性质来化简结果，可将任意常数1C 表示为1ln 2C，即22111ln (1)ln (1)ln 222y x C+=++ （0C>），化简，得 221(1)yC x +=+，所以，该微分方程的通解为221(1)yC x +=+.【课堂练习】例1 一条曲线通过点(2,3), 且在该曲线上任一点(,)P x y 处的切线的斜率为2x, 求这条曲线的方程. 解：设所求曲线的方程为()yf x =，则根据导数的几何意义，可知所求曲线应满足微分方程2d y xd x=（或2d yx d x=），由于曲线过点(2,3)，所以所求曲线还应满足初始条件23x y==，对微分方程两边积分，得2d y x d x =⎰⎰，即2yxC=+，将初始条件代入上式，得1C=-，所以，所求的曲线方程为21y x =-.例2 求微分方程22d y y x yd x=+的通解.解：将该微分方程变形为 2(1)d y x yd x=+，分离变量，得2(1)x d xy=+，两边积分，得 2(1)d y x d xy=+⎰⎰，即212xx Cy-=++，整理，得 212xx Cy++=，所以，该微分方程的通解为212xx Cy++=.例3 求微分方程x yd y ed x+=满足初始条件00x y==的特解.解：分离变量，得 y xe d y e d x-=，两边积分，得 y xe d y e d x-=⎰⎰，即xye eC-+=，于是该微分方程的通解为 xye eC-+=.将00x y==代入通解，得 2C =，所以，该微分方程的特解为2xye e-+=.【问题思考】如何求解齐次微分方程和一阶线性微分方程呢？ 【知识小结】1、微分方程的概念；2、可分离变量微分方程.【课后作业】习题7-1 1.（1）（3）（5） 2.（2）（4） 习题7-21.（2） 3.（1）（2）（3）（4） 4.（1）（3）四、板书设计《计算机应用数学》教案教学过程：一、知识回顾微分方程的概念和可分离变量微分方程的求法.二、新课导入1、如何求微分方程ln d y y y d xx x=的通解？2、如何求微分方程sin sin y y x x'+=的通解？三、新课内容1、齐次微分方程 定义7.10 形如d yy f d x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的微分方程，称为齐次微分方程，其特点是右边函数的变量为y x的形式.齐次微分方程的解法： 第一步：令y u x=，则yux=，d y d u xud xd x=+；第二步：将d y d u xud xd x=+代入微分方程，得()d u xu f u d x+=；第三步：分离变量，得()d u d x f u ux=-；第四步：两边积分，得()d u d x f u u x=-⎰⎰；第五步：求出积分并回代y u x=，得原微分方程的通解.2、一阶线性微分方程定义7.11 形如()()y P x y Q x '+=的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中()Q x 为自由项.所谓“线性”是指未知函数y 和导数y '都是一次的.当()0Q x =时，方程()0y P x y '+=称为一阶线性齐次微分方程；当()Q x ≠时，方程()()y P x y Q x '+=称为一阶线性非齐次微分方程.下面我们讨论一阶线性齐次和非齐次微分方程的解法.1）一阶线性齐次微分方程 将()0y P x y '+=变形为()d y P x yd x=-， 分离变量，得()d y P x d xy =-，两边积分，得 ()d y P x d x y=-⎰⎰，即l n ()l n y P xd x C=-+⎰，整理，得 ()P x d xyC e-⎰=（其中C 为任意常数）.这就是一阶线性齐次微分方程的通解公式.2）一阶线性非齐次微分方程 显然，()0y P x y '+=是()()y P x y Q x '+=的特殊情况. 不妨设()0y P x y '+=的通解()P x d xyC e-⎰=中的()CC x =，使()()P x d xyC x e-⎰=成为()()y P x y Q x '+=的通解，则将()()P x d xyC x e-⎰=代入()()y P x y Q x '+=，得()()()()()()()()()P x d x P x d xP x d xC x eC x P x eP x C x eQ x ---⎰⎰⎰'-+=，即 ()()()P x d xC x e Q x -⎰'=，两边积分，得 ()()()P x d xC x Q x ed x C⎰=+⎰，将上式代入()()P x d xyC x e-⎰=，得()()(())P x d xP x d xy eQ x ed x C -⎰⎰=+⎰.【例题精讲】例1 求微分方程ln d y y y d xx x=的通解.解：令y ux=，则yux=，d y d u xud xd x=+，于是原微分方程可化为 ln d u x u u ud x+=， 分离变量，得(ln 1)d u d x u u x=-，两边积分，得 (ln 1)d ud x u u x=-⎰⎰，即1ln (ln 1)ln ux C -=+，整理，得 11ln ln 111x C C u ee x C x+=+=+=+（其中1C Ce=），回代y ux=，得 ln1y C xx=+，即1C xyx e+=，所以，该微分方程的通解为1C xyx e+=.例2 求微分方程22()0y x x y y '+-=的通解.解：将该微分方程变形为2221y d y yx y d xx y xx⎛⎫⎪⎝⎭==--.令y ux=，则yux=，d y d u xud xd x=+，于是原微分方程可化为 21d u uxu d x u +=-，即1d u u xd xu =-，分离变量，得 1(1)d x d u ux-=，两边积分，得 1(1)d x d u ux-=⎰⎰，即ln ln ln u ux C-=+，整理，得 ln ()u C x u =，回代y ux=，得ln ()y C y x=，即y xC y e =，所以，该微分方程的通解为yxC ye=.例3 求微分方程sin sin y y x x'+=的通解.解法一：先求其对应的一阶线性齐次微分方程sin 0y y x '+=的通解.将其变形，得s in d y y xd x=-，分离变量，得s in d y x d xy=-，两边积分，得 s ind y x d xy=-⎰⎰，即1lnc o s y x C =+，整理，得 c o s xy C e =（其中1C C e=），所以，微分方程sin 0y y x '+=的通解为c o s xyC e=.再用常数变易法求一阶线性非齐次微分方程sin sin y y x x'+=的通解.令()CC x =，则cos ()xy C x e=，c o s c o s ()()s in xxy C x eC x e x''=-，将y 和y '代入sin sin y y x x'+=，得c o s c o s c o s ()()s in ()s in s in xxxC x e C x ex C x ex x'-+=，即 c o s ()s in xC x e x'=，两边积分，得 co s co s ()sin x xC x e xd x eC--==+⎰，将上式代入c o s ()xyC x e=，得 c o s 1xyC e=+，所以，微分方程sin sin y y x x'+=的通解为c o s 1xyC e=+.解法二：该微分方程为一阶线性非齐次微分方程，可知()sin P x x=，()s in Q x x=，代入通解公式，得()()(())P x d xP x d xy eQ x ed x C -⎰⎰=+⎰s in s in (s in )x d xx d xex ed x C -⎰⎰=+⎰co s co s (sin )xxexed x C -=+⎰c o s c o s ()xxe e C -=+c o s 1xC e=+.例4 求微分方程sin xy y x'+=的通解.解：将原微分方程变形，得1s in x y y x x'+=，显然这是一阶线性非齐次微分方程，可知1()P x x=，s in ()x Q x x=，代入通解公式，得()()(())P x d xP x d xy eQ x ed x C -⎰⎰=+⎰11s in ()d xd xx x x eed x C x-⎰⎰=+⎰ln ln sin ()xxx e ed x C x-=⋅+⎰1s in ()x x d x C xx=⋅+⎰1(s in )x d x C x =+⎰1(c o s )x C x=-+c o s C x xx=-.【课堂练习】例1 求微分方程ta ny y y x x'=+满足初始条件11x y==的特解.解：将该微分方程变形为 ta nd y y y d xx x=+.令y ux=，则yux=，d y d u xud xd x=+，于是原微分方程可化为 ta n d u x u u u d x +=+，即ta n d u xud x=，分离变量，得 ta n d ud x u x =，两边积分，得 ta n d ud x ux=⎰⎰，即ln sin ln ln ux C=+，整理，得 sin u C x =， 回代y ux=，得 s iny C xx=，将11x y==代入通解，得sin 1C =，所以，该微分方程的特解为s ins in 1y x x=.例2 求微分方程xy y e'-=满足初始条件01x y==的特解.解：该微分方程为一阶线性非齐次微分方程，可知()1P x =-，()xQ x e=，代入通解公式，得()()(())P x d xP x d xy eQ x ed x C -⎰⎰=+⎰()d xd xxee ed x C -⎰⎰=+⎰()xxxe e ed x C -=⋅+⎰()xe d x C =+⎰()xe x C =+.将01x y==代入上式，得1C =，所以，该微分方程的特解为(1)x y e x =+.【问题思考】如何求解二阶常系数线性齐次微分方程呢？ 【知识小结】1、齐次微分方程；2、一阶线性微分方程.【课后作业】习题7-21.（1）2.3.（6）（7）（10）4.（4）（5）四、板书设计《计算机应用数学》教案教学过程：一、知识回顾齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法.二、新课导入引例设有一弹簧的上端固定，下端挂一个质量为m的物体，O点为平衡位置.若在弹性限度内用力将物体向下一拉，随即松开，物体就会在平衡位置O处上下自由振动，忽略物体所受的阻力，并且当物体运动开始时，物体的位置为x，初速度为v，求物体的运动规律.分析：设物体的运动规律为()x x t=，则由胡克定律（弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力f和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即f k x=-，其中k 是物质的弹性系数，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反.），可知弹性恢复力为f k x=-.根据牛顿第二定律，可知22d x mk xd t=-，即220d x k x d tm+=.令2k mω=，则有222d x x d tω+=，另外还应满足初始条件为t xx ==，00t x v ='=.方程2220d x x d tω+=为二阶微分方程，且各项系数均为常数，因此称为二阶常系数线性微分方程.三、新课内容1、二阶常系数线性齐次微分方程的解的结构 定义7.12 形如()y p y q y f x '''++=的微分方程，称为二阶常系数线性微分方程.其中，p 和q 都是常数，()fx 为自由项.所谓“线性”是指未知函数y 和导数y '，y ''都是一次的.当()0f x =时，方程0y p y q y '''++=称为二阶常系数线性齐次微分方程；当()0f x ≠时，方程()y p y q y f x '''++=称为二阶常系数线性非齐次微分方程.定理7.1 若函数1y 和2y 是二阶常系数线性齐次微分方程0y p y q y '''++=的两个解，则1122yC y C y =+（其中1C 和2C 为任意常数）也是该方程的解.定义7.13 若函数1y 和2y 的比值是一个常数，即12y C y =（其中C为非零常数），则称1y 和2y 线性相关；否则，称为线性无关.定理7.2 若函数1y 和2y 是二阶常系数线性齐次微分方程0y p y q y '''++=的两个线性无关的解，则1122y C y C y =+（其中1C 和2C 为任意常数）是该方程的通解.2、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 求二阶常系数线性齐次微分方程0y p y q y '''++=通解的步骤如下：第一步：写出微分方程0y p y q y '''++=的特征方程2r p r q ++=；第二步：求出特征方程的两个特征根1r 和2r ；第三步：根据特征根1r 和2r 的不同情况，根据下表写出方程0y p y q y '''++=通【例题精讲】例1 求微分方程3180y y y '''+-=的通解.解：原方程的特征方程为23180r r +-=，解得特征根为16r =-，23r =，所以，原方程的通解为6312xxyC eC e-=+. 例2 求微分方程440y y y '''++=的特解.解：原方程的特征方程为2440r r ++=，解得特征根为122r r ==-，所以，原方程的通解为212()xyC C x e-=+.例3 求微分方程20y y y '''--=的满足初始条件00x y ==，03x y ='=的特解. 解：原方程的特征方程为220r r --=，解得特征根为11r =-，22r =，所以，原方程的通解为212xxyC eC e-=+，于是2122xxy C eC e-'=-+，将初始条件00x y ==，3x y ='=分别代入y 和y '，得1212023C C C C +=⎧⎨-+=⎩，解得11C =-，21C =，则满足初始条件的特解为2xxy ee-'=-+.例4 求微分方程440y y y '''++=满足初始条件02x y==，00x y ='=的特解. 解：原方程的特征方程为24410r r ++=，解得特征根为1212r r ==-，所以，原方程的通解为1212()xyC C x e-=+，于是11222121()2xxy C eC C x e--'=-+，将初始条件02x y==，0x y ='=分别代入y 和y '，得1212102C C C =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得12C =，21C =，则满足初始条件的特解为12(2)xyx e-=+.【课堂练习】例1 求微分方程250y y y '''-+=的通解.解：原方程的特征方程为2250r r -+=，解得特征根为112r i=+，212r i=-，所以，原方程的通解为12(c o s 2s in 2)xye C x C x =+.例2 求微分方程220y y y '''++=满足初始条件01x y ==，02x y ='=的特解.解：原方程的特征方程为2220r r ++=，解得特征根为11r i=-+，21r i=--，所以，原方程的通解为12(c o s s in )xyeC x C x -=+，于是1221[()s in ()c o s ]xy eC C x C C x -'=-++-，将初始条件01x y==，02x y ='=分别代入y 和y '，得12112C C C =⎧⎨-=⎩，解得11C =，23C =，则满足初始条件的特解为(c o s 3s in )xy ex x -=+.例3 求微分方程4290y y y '''++=满足初始条件00x y ==，015x y ='=的特解.解：原方程的特征方程为24290r r ++=，解得特征根为125r i=-+，125r i=--，所以，原方程的通解为212(c o s 5s in 5)xyeC x C x -=+，于是22121[(52)c o s 5(25)s in 5]xy eC C x C C x -'=--+，将初始条件00x y==，015x y ='=分别代入y 和y '，得12105215C C C =⎧⎨-=⎩，解得10C =，23C =，则满足初始条件的特解为23s in 5xy ex-=.例4 求微分方程250y y ''+=满足初始条件02x y==，05x y ='=的特解.解：原方程的特征方程为2250r +=，解得特征根为15r i=，15r i=-，所以，原方程的通解为12c o s 5s in 5y C x C x=+，于是125s in 55c o s 5y C x C x'=-+，将初始条件02x y==，05x y ='=分别代入y 和y '，得12255C C =⎧⎨=⎩，解得12C =，21C =，则满足初始条件的特解为2co s 5sin 5yx x=+.【问题思考】如何求解二阶常系数线性非齐次微分方程呢？ 【知识小结】1、二阶常系数线性齐次微分方程的解的结构；2、二阶常系数线性齐次微分方程的解法.【课后作业】习题7-3 1.（1）（3）（5） 2.（2）（4）（6）四、板书设计。

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c c是任意常数
c
()
P x dx
c e⎰
c c
=,。

4)
c
c是任意的常数，整理后
10）
方程（2.9）如果（2.10）中允许
包含在（2.10）中
代回原来的变量，得到原方程的通解为
c c
1,
c c
=
c
c c 是任意的常数
()()dx P x dx P x dx
dx c ce e dx
-⎫
+⎪⎭⎰⎰+ 2.32)
这就是方程(2.28这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法。

实际上常数变易法也是一2.29）可将方程（）化为变量分离方程。

非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和1(1)x n x ++的通解
c
)c c是任意的常数
例2 求方程
解原方程改写为
c
-
c y
ln) c是任意的常数，另外也是方程的解.
特别的，初值问题
+
()
y Q x 的解为
0()x
x P d ce
ττ
⎰+）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程3）的非零解，而，其中c 为任意常数。