苏教版数学高一必修4教案 3.2《二倍角的三角函数》(2)

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3.2 二倍角的三角函数错误!教学分析“二倍角的三角函数"是在研究了两角和与差的三角函数的基础上,进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化,又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具;通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律,通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想;因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受,还可清晰的知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师都要放心地让学生去做．因为《数学课程标准》提出:“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”．所谓体验，从教育的角度看，是一种亲历亲为的活动，是一种积极参与活动的学习方式．让学生亲历经验，不但有助于通过多种活动和探究获取数学知识，更重要的是学生在体验中能够逐步掌握数学学习的一般规律和方法．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角三角函数公式的推导及其应用．教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1。

二倍角的三角函数【学习目标】1掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、 恒等证明【学习重点】：二倍角公式的推导;二倍角公式的简单应用【学习难点】：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数【学习过程】一、问题的探究sin 2__________α=；)(2αScos 2____________α=；)(2αCtan 2_____________α=；)(2αT二、问题的应用例1：求下列各式的值： 1 )125cos 125)(sin 125cos 125(sinππππ-+=________________ 22sin 2cos 44αα-=___________________ 3ααtan 11tan 11+-- =____________________ 4θθ2cos cos 212-+=_________________ 例2：已知12sin ,,132πααπ=<<求sin 2,cos 2,tan 2ααα的值例3：已知)40(135)4sin(πθθπ<<=-， 求)4cos(,2cos θπθ+的值三、当堂练习 1．co 275°＋co 215°＋co 75°co 15°＝________2．错误!＝________3 已知in α=则co 2πα- =________．4 设in 2α＝－in α，α∈错误!，则tan 2α＝5 已知co 错误!＝错误!，则in 2＝____________6 已知,2)4tan(=+πx 则xx 2tan tan 的值为________． 7 已知α∈错误!，in α＝错误!1求in 错误!的值；2求co 错误!的值8 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin β=，求2αβ+。

3.2二倍角的三角函数1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．(难点)[基础·初探]教材整理倍角公式阅读教材P119～P120的全部内容，完成下列问题．(1)sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.1．若sin α＝15，则cos 2α＝________.【解析】∵cos 2α＝1－2sin2α，sin α＝1 5，∴cos 2α＝1－2×125＝23 25.【答案】23 252．若tan α＝3，则tan 2α＝________.【解析】 ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－9＝－34. 【答案】 －343．若sin 2α＝－sin α，且sin α≠0，则cos α＝________.【解析】 ∵sin 2α＝2sin αcos α，∴2sin αcos α＝－sin α，又sin α≠0，∴cos α＝－12.【答案】 －12[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问： 解惑：[小组合作型]直接应用二倍角公式求值已知sin 2α＝513，π4＜α＜π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值． 【精彩点拨】 先由α的范围求2α的范围，并求出cos 2α的值，进而求出sin 4α，cos 4α及tan 4α的值．【自主解答】 由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π. 又因为sin 2α＝513， cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫5132＝119169；tan 4α＝sin 4αcos 4α＝－120169119169＝－120119.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；…，又如α＝2·α2，α2＝2·α4，….[再练一题]1．已知sin α＋cos α＝13，0＜α＜π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.【导学号：06460078】【解】∵sin α＋cos α＝13，∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝19.∴sin 2α＝－89且sin αcos α＝－49＜0.∵0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＞0.∴sin α－cos α＝1－sin 2α＝173.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α) ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－173＝－179. ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.逆用二倍角公式化简求值化简：2cos 2 α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.【精彩点拨】 切化弦→逆用二倍角公式→化简，约分 【自主解答】 原式＝2cos 2 α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2 α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2 α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．[再练一题]2．求下列各式的值： (1)2sin π12cos π12； (2)1－2sin 2750°； (3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)cos π12cos 5π12.【解】 (1)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝sin π6＝12.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(60°＋4×360°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝cos π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12＝cos π12sin π12＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12cos π12＝12sin π6＝12×12＝14. [探究共研型]活用“倍角”关系巧解题探究1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的值，如何求sin 2x 的值？【提示】 可利用sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2π4－x －1求解．探究2 当题设条件中含有“π4±x ”及“2x ”这样的角时，如何快速解题？ 【提示】 可借助角的互余关系及诱导公式，实现倍角关系的转换．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．【精彩点拨】 先由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，再求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 即可．【自主解答】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513， 又0＜x ＜π4，∴π4＜x ＋π4＜π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213.∴cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2413.当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟．cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似这样的变换还有： (1)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋x ；(2)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1；(3)sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等．[再练一题]3．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x 的值．【解】 ∵sin 2x －2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x －2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x (cos x －sin x )cos x －sin x cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x又sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1－2×925＝725.[构建·体系]1．若sin α2＝33，则cos α＝________. 【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×13＝13. 【答案】 13 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝________.【解析】 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12得，tan α＝－3.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－61－9＝34.【答案】 343．cos 2π12－sin 2π12＝________.【解析】 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cosπ6＝32.【答案】 32 4.tan 7.5°1－tan 2 7.5°＝________. 【导学号：06460079】【解析】 原式＝12·2tan 7.5°1－tan 2 7.5°＝12×tan 15°＝12×tan(60°－45°) ＝12×3－11＋3＝12×(3－1)2(3＋1)(3－1)＝12×4－232＝2－32.【答案】2－325．已知cos 2θ＝725，π2＜θ＜π， (1)求tan θ；(2)求2cos 2θ2－sin θ2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.【解】 (1)由cos 2θ＝725，得1－2sin 2θ＝725，sin 2θ＝925， ∵π2＜θ＜π，∴sin θ＝35，cos θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34. (2)2cos 2θ2－sin θ2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ＋1－sin θsin θ＋cos θ＝2.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二十七) 二倍角的三角函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于________． 【解析】 ∵75°＋15°＝90°，∴cos 75°＝sin 15°， ∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30° ＝1＋12×12 ＝54 【答案】 542．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________. 【解析】 cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，∴cos(2x －2y )＝2cos 2(x －y )－1＝2×19－1＝－79. 【答案】 －793．已知sin 2α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α－sin α＝________.【解析】 ∵π4<α<π2，∴cos α－sin α<0， cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－sin 2α＝－34＝－32.【答案】 －324．(2016·南京高一检测)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝________.【解析】 由tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝4，得sin θcos θ＝14，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×14＝12.【答案】 125．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于________．【解析】 ∵sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14， ∴cos 2α＝14. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32. ∴tan α＝ 3. 【答案】36．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，则tan(α＋β)＝________.【导学号：06460080】【解析】 ∵tan α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α21－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2 ＝12－131＋12×13＝17，∴tan(α＋β)＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β21－tan 2α＋β2＝2×171－149＝724. 【答案】 7247．(2016·苏州高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝________. 【解析】 ∵sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1 ∴sin 2x ＝2×2100－1＝－2425.【答案】 －24258．若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝________. 【解析】 f (x )＝2tan x －－cos x 12sin x＝2sin x cos x ＋2cos x sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2 x ＋cos 2 x sin x cos x ＝2sin x cos x ＝42sin x cos x ＝4sin 2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π6＝8. 【答案】 8二、解答题9．若3π2<α<2π，化简：12＋1212＋12cos 2α. 【解】 ∵3π2<α<2π，∴3π4<α2<π. ∴原式＝12＋121＋cos 2α2＝12＋12cos 2 α ＝12＋12cos α＝1＋cos α2＝cos 2 α2＝－cos α2. 10．已知cos x ＝－255，x ∈(－π，0)．(1)求sin 2x 的值；(2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的值． 【解】 (1)∵cos x ＝－255，x ∈(－π，0)，∴sin x ＝－55.∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝45.(2)由(1)得tan x ＝12∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝43. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan 2x ＋tan π41－tan 2x tan π4＝43＋11－43＝－7.[能力提升]1．(2016·扬州高一检测)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．【解析】 y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1，设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋32， ∴当t ＝12时，函数取得最大值32.【答案】 322．(2016·无锡高一检测)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________. 【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13 ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1 ＝2×19－1＝－79.【答案】 －793．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.【解析】 由三角函数的定义可知tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35.【答案】 －354．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos 2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．【解】 (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13， 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1， 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上， 所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝⎛⎭⎪⎫－31010 ＝－1010.。

3.2 二倍角的三角函数一、 学习内容、要求及建议二、预习指导 1. 预习目标(1)推导二倍角公式的思想和方法；(2)二倍角公式以及余弦的二倍角公式的变形(升、降幂公式)的记忆和应用； (3)和差角公式、二倍角公式综合应用. 2. 预习提纲(1)阅读课本P105思考如何推导二倍角正弦、余弦、正切公式，并探究三倍角正弦、余弦、正切公式，并填空：sin 2=； cos 2===；tan 2=(所有tan 有意义)注意“倍角”的相对性.(2)阅读课本P107的降幂公式并学会运用降幂公式解题(如P106例3的解法1)，阅读课本P107的例4，学会公式灵活运用.(3)探究：求sin10sin30sin50sin 70的值. 3. 典型例题 (1) 熟悉公式 例1 已知1312cos -=α，)23,(ππα∈，求α2sin ，α2cos ，α2tan 的值. 分析：先利用同角三角函数的关系求出αsin ，再分别套用二倍角正弦、余弦公式，注意角的X 围.解：∵1312cos -=α，)23,(ππα∈∴135)1312(1sin 2-=---=α. ∴169120)1312()135(2cos sin 22sin =-⋅-⋅==ααα 1691191)1312(21cos 22cos 22=--=-=αα，1191202cos 2sin 2tan ==ααα (2) 应用二倍角公式进行化简、求值、证明等 例2 已知21)tan(=-βα，71tan -=β，),0(,πβα∈，求βα-2.分析：先求αtan ，再求α2tan ，最后求)2tan(βα-，注意βα-2的X 围.解：∵βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-，∴)71(tan 1)71(tan 21-⋅+--=αα，解得31tan =α ∴43)31(1312tan 1tan 22tan 22=-⋅=-=ααα ∴1)71(431)71(43tan 2tan 1tan 2tan )2tan(=-⋅+--=+-=-βαβαβα ∵),0(,πβα∈，031tan >=α，071tan <-=β，∴),2(),2,0(ππβπα∈∈∴)2,(ππβ--∈- 又∵0432tan >=α∴)2,0(2πα∈，∴)0,(2πβα-∈-∴432πβα-=-.例3 已知xxx x x tan 1sin 22sin ,4745,53)4cos(2-+<<=+求πππ的值．分析：(1)先降幂，再用和差角公式展开,(2)条件展开为关于“x x sin cos -”的条件，对需要求值的式子先化简，对“切”化成“弦”，对“x 2sin ”用二倍角公式，注意“x x sin cos -”、 “x x sin cos +” 、“x x cos sin 2”这三者的关系. 解：由53)4cos(=+πx 得523sin cos =-x x ，两边平方得：2518cos sin 21=-x x ，∴257cos sin 2=x x ，∵4745ππ<<x ∴2)cos (sin sin cos x x x x +-=+=5242571cos sin 21-=+-=+-x x ∴xx x tan 1sin 22sin 2-+=xx x x x cos sin 1sin 2cos sin 22-+=x x x x x x sin cos )sin (cos cos sin 2-+⋅=523)524(257-⋅=7528-. 例4 求值：(1)178cos 174cos 172cos17cosππππ； (2)sin 6sin 42sin 66sin 78；(3)tan 70cos103sin10tan 702cos 40+-.分析：(1)由这些角中后一角为前一角的两倍，联想到用正弦的二倍角公式；(2)这是4个正弦的积，且它们的角之间难以看出明显的关系.仿(1)将部分正弦化为余弦，用类似(1)的方法解题；(3)注意到20与40的关系，选择恰当的公式向“同角”方向努力.解：(1)原式=17sin 2178cos 174cos 172cos17cos17sin244ππππππ=17sin16178cos174cos 172cos 172sin 23πππππ =17sin 16178cos 174cos 174sin 22ππππ=17sin 16178cos 178sin 2πππ=16sin1171616sin17ππ= (2)原式=sin 6cos 48cos 24cos12=442cos 6sin 6cos12cos 24cos 482cos 6=32sin12cos12cos 24cos 4816cos 6=sin 9616cos 6=sin 84116sin 8416= (3)原式=tan 70(cos103sin10)2cos 40+-=cos 202sin 402cos 40sin 20⋅-=cos 204sin 20cos 202cos 40sin 20⋅-=224cos 202(2cos 201)2--=(3) 升幂、降幂公式的应用降幂公式22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=特点：降幂同时扩角，当遇到αα22cos ,sin 且不需要“平方”时，常考虑该公式.升幂公式αα2sin 22cos 1=-，αα2cos 22cos 1=+特点：升幂同时缩角，当遇到αcos 1±时，常考虑该公式.例5 化简：θθθθθcos 22)2cos 2)(sincos sin 1(+-++，(0,)∈分析：分母显然用升幂公式，分子中的“1”可与θsin 结合换成12cos 2sin22=+θθ同时对θsin 用二倍角公式；也可把“1”与θcos 结合用升幂公式同时对θsin 也用二倍角公式，公式选择的主要依据依然是“同角”.解：原式=2cos 4)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin2(22θθθθθθ-+=2cos )2cos 2(sin 2cos 22θθθθ-=2coscos 2cos θθθ⋅-∵),0(πθ∈∴)2,0(2πθ∈∴02cos >θ∴原式=θcos - 例6 (1)已知21sin sin =+βα，31cos cos =+βα，求2cos 2βα-的值；(2)求函数1)12(cos )12(sin 22--++=ππx x y 的最大值．分析：(1)∵2)cos(12cos 2βαβα-+=-∴只要求)cos(βα-，将已知两等式平方相加即可；(2)∵12π不是特殊角∴应先降幂扩角，再用和差角公式展开.解：(1)将21sin sin =+βα，31cos cos =+βα分别平方并相加得： 3613)cos cos sin (sin 22=++βαβα，即7259)cos(-=-βα. ∴144132725912)cos(12cos 2=-=-+=-βαβα.(2)1)12(cos )12(sin 22--++=ππx x y =12)62cos(12)62cos(1--+++-ππx x=)2sin 212cos 232sin 212cos 23(21x x x x +-+=x 2sin 21∴21max =y 4. 自我检测 (1)已知sin:sin8:52=，则cos 的值为______________．(2)等腰三角形的一个底角的正弦为53，则这个三角形的顶角的正切为_________． (3)不查表求值：=-125sin 1211sin 22ππ． (4)计算：13sin 50+=．(5)化简：sin 2sincos 2cos 1+++=__________．(6)求值：(1)24coscoscos 777πππ⋅⋅；(2))10tan 31(40cos+.(7)求证：函数222()cos cos ()cos ()33f x x x x =+++-是常数函数．三、 课后巩固练习A 组1．已知sin 26cos 5x x =，则cos2x 的值等于___________． 2．已知1sin 2x =，则sin 2()4x π-=．3．已知02x π-<<，4cos 5x =，则tan 2x 等于_________． 4．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________．5．已知的值等于则x x 2sin ,135)4sin(-=-π__________． 6．求值：(1)224cos 1533-+︒； (2) 44sin 67.5cos 67.5- ； (3) 111tan151tan15-+-.7．已知sin()sin()44ππαα-+=，且α为锐角，求sin 2α的值．8．已知sin cos 3αα+=，0απ<<，求cos 2α的值． 9. 若1tan 4tan θθ+=,则sin 2θ=.10. 若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2=8θ,则sin θ=.11(1sin cos )(sincos )αααα++-2παπ<<)．B 组121sin 20--为___________． 13．已知 ααα则角,532cos ,542sin-==是第____象限角. 14. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为．15. 已知1cos 21sin cos ααα-=，1tan()3βα-=-，则tan(2)βα-=．16．求值：（1）=080cos 40cos 20cos ； （2）=+++167sin 165sin 163sin 4sin4444ππππ． 17．已知sin14cos14a=+，2142b =-2c =，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为．18．函数sin cos 1sin cos 1x x y x x +=-的值域是____________________．19．函数1sin cos sin 22x x x +-的值域为．20．函数11()cos 22cos 22f x x x =-+在区间2[,]3πθ-上的最大值为1，则θ的最小值是．21．已知函数()2sin()cos f x x x π=-. (1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22．(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒(2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒(3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒(4)2sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒(5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 23．设函数2()cos(2)sin 3f x x x =++.(1) 求函数()f x 的最大值和最小正周期； (2) 设,,A B C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =，1()24c f =-，且C 为锐角，求sin A .24. 已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--,x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.25. 已知向量(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，函数()f x a b =⋅． （1）求()f x 的最大值及相应的x 的值；（2）若8()5f θ=，求cos 2(2)4πθ-的值． C 组26．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为．27．已知函数2()2cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 在[,]63ππ-上的值域； （2）在△ABC 中，若()2,2sin cos()cos()f C B A C A C ==--+，求tan A 的值. 28．设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+． (1)求()f x 的最小正周期；(2)若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．29．已知sin sin 1+=，cos cos 0+=，试求cos 2cos 2+的值．30．已知2244x y +=，求22441t x xy y =+-+的最大值和最小值．四、 学习心得五、 拓展视野课本112111=P 向我们介绍了正弦函数与余弦函数的叠加函数x B x A x f cos sin )(+=(A ，B 不全为0)，并指出该函数可以改写成)sin()(22θ++=x B A x f ，其中22cos BA A +=θ，22sin BA B +=θ，一般地，我们把公式xB x A cos sin +)sin(22θ++=x B A (22cos BA A +=θ，22sin BA B +=θ)称为辅助角公式.下面我们来看它的两个应用：例1 求函数)80sin(5)20sin(300+++=x x y 的最大值.解：23)20cos(521)20sin(5)20sin(300⋅++⋅+++=x x x y =)20cos(235)20sin(21100+++x x =)20sin()235()211(022θ+++x =)20sin(70θ++x (其中1411cos =θ，1435sin =θ)∴7max =y 例2 求函数xxy cos 2sin 3+=的值域.解：将xxy cos 2sin 3+=变形为y x y x 2cos sin 3=-，∴y x y 2)sin(32=++θ(其中233cos y+=θ，23sin yy +-=θ)即232)sin(yy x +=+θ，∵1sin(≤+θx ∴1322≤+yy ，解得11≤≤-y∴函数xxy cos 2sin 3+=的值域为[-1，1].。

第三章 三角恒等变换第七课时 二倍角的三角函数（2）教学目的： 1、理解倍角公式的升幂、降幂作用。

2、能灵活地运用倍角公式化简、求值、证明。

教学重点、难点：灵活地运用倍角公式化简、求值、证明。

教学过程：一、问题情境回顾二倍角公式及其结构特征。

如何灵活地运用倍角公式进行化简、求值、证明？二、学生活动试证明：ααα3sin 4sin 33sin -=试写出二倍角公式的一些变形公式。

三、数学建构变形1： αααcos sin 22sin = 变形2： 2)cos (sin 2sin 1ααα±=±变形3： ααα22sin 211cos 22cos -=-= （升幂 ）变形4：22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+= （降幂） 四、数学应用 例1、化简（1）απαπα222sin )6(sin )6(sin -++-（2）︒︒⋅︒︒144cos 72cos 36cos 18cos解题回顾：（1）降幂 （2）“1”技巧：乘上“︒⨯18sin 218sin 21”例2、已知21)4tan(=+απ，求ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值.解题回顾：弦化切例3、求证：1)10tan 31(50sin =︒+︒解题回顾：切化弦例4、在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？五、课堂练习：P122 练习六、课堂小结：巩固练习七班级 学号 姓名A1.=52cos5cos ππ A2.=+=θθθ44cos sin ,532cos 则 A3. 化简: ︒⋅︒⋅︒70sin 50sin 10sinA4化简: ︒︒⋅︒80cos 40cos 20cosB5 若2tan =θ，求θθ2cos 21sin 412+的值。

B6 若θθcos 2sin -=，求θθ2cos 22sin +的值。

B7 若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos 的值B8．化简：x x x x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++B9（选做）．求证： θθθθθθθθθsin 2cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-=+---+--+-。

3.2.3 二倍角的正弦、余弦、正切（3）一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（3）二、教学目标：1.复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练，培养综合运用公式的能力；2.能推导和了解半角公式、和差化积及积化和差公式。

三、教学重、难点：掌握三个公式的推导方法，使学生体会到α角的三角函数与2α的三角函数的内在联系，α，β角的三角函数与αβ±角的三角函数之间的内在联系；四、教学过程： （一）复习： 1．二倍角公式sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-222cos 112sin αα=-=-22tan tan 21tan ααα=- 【练习1】化简：（1）cos 20cos 40cos60cos80oooo；（2）sin10sin30sin50sin 70oooo． （（1）（2）两题答案：116）． 总结：一般地，11sin(2)cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα++⋅⋅⋅=．2．二倍角公式反映的是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值。

在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的，从而有降幂公式：21cos sin 22αα-=，21cos cos 22αα+=，21cos tan 21cos ααα-=+． （二）新课讲解：1．半角公式：sin2α=cos 2α=，tan 2α= 说明：（1）只要知道2α角终边所在象限，就可以确定符号；（2）公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切； （3）还有一个有用的公式：αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （下面给出证明）。

2．例题分析： 例1：求证：αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan． 证法一：sinsin2cossin 222tan 21cos cos cos 2cos 222ααααααααα⋅===+⋅ ． 证法二：221cos (1cos )(1cos )sin tan ()21cos (1cos )(1cos )1cos ααααααααα--+===++++∴sin |sin ||tan|||21cos 1cos ααααα==++． 又由2sin 2sin cos2tancos2222ααααα==知sin α与tan 2α同号，且1cos 0α+≥， ∴sin tan21cos ααα=+， 同理1cos tan 2sin ααα-=．【练习2】已知3sin 25θ=，且022πθ<<，求22cos sin 12)4θθπθ--+的值。

二倍角的三角函数教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.教学重点：二倍角公式的推导及简单应用.教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.教学过程：Ⅰ.课题导入前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα即：sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ当α＝β时cos(α＋β)＝cos2α＝cos2α－sin2α即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ当α＝β时，tan2α＝2tanα1－tan2αⅡ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可以变形为：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠π2 ＋kπ及α≠π4 ＋k π2 (k ∈Z )时才成立，否则不成立(因为当α＝π2 ＋kπ，k ∈Z 时，tan α的值不存在；当α＝π4 ＋k π2 ，k ∈Z 时tan2α的值不存在).当α＝π2 ＋kπ(k ∈Z )时,虽然tan α的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α＝tan2(π2 ＋kπ)＝tan(π＋2kπ)＝tan π＝0(2)在一般情况下，sin2α≠2sin α例如：sin π3 ＝32≠2sin π6 ＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k ∈Z )时，sin2α＝2sin α＝0成立］.同样在一般情况下cos2α≠2cos αtan2α≠2tan α(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为 α2 的2倍，将 α2 作为 α4 的2倍，将3α作为 3α2的2倍等等.下面，来看一些例子：［例1］已知sin α＝513 ，α∈(π2 ，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.解：∵sin α＝513 ，α∈(π2 ，π)∴cos α＝－1－sin 2α ＝－1－（513 ）2 ＝－1213∴sin2α＝2sin αcos α＝2×513 ×(－1213 )＝－120169 ，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(513 )2＝119169 ，tan2α＝sin2αcos2α ＝－120169 ×169119 ＝－120119 .练习题：1.已知cos α＝m ，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.解：∵cos α＝m ，α在第二象限.∴sin α＝1－cos 2α ＝1－m 2∴sin2α＝2sin αcos α＝21－m 2 ·m ＝2m 1－m 2cos2α＝2cos 2α－1＝2m 2－1tan2α＝sin2αcos2α ＝2m 1－m 2 2m 2－1或由tan α＝sin αcos α ＝1－m 2 mtan2α＝2tan α1－tan 2α ＝2m 1－m 2 2m 2－12.化简cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－32cos2θ分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.解：cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－32cos2θ＝1＋cos[2(θ＋15°)]2 ＋1＋cos[2(θ－15°)]2 －32cos2θ＝1＋12 ［cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)］－32cos2θ＝1＋12 ［cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°］－32cos2θ＝1＋12 ×2cos2θcos30°－32cos2θ ＝1＋32cos2θ－32cos2θ＝1评述：二倍角公式的等价变形：sin 2α＝1－cos2α2 ，cos 2α＝1＋cos2α2 ，可以进行“升(降)幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.［例2］若270°＜α＜360°，化简：12 ＋12 12 ＋12 cos2α解：∵cos2α＝2cos 2α－1，cos α＝2cos 2α2 －1 ∴12 ＋12 12 ＋12 cos2α＝12 ＋12 12 ＋12 （2cos 2α－1） ＝12 ＋12 cos 2α 又∵270°＜α＜360° 135°＜α2 ＜180°∴原式＝12 ＋12 cos α ＝12 ＋12 （2cos 2α2 －1） ＝cos 2α2 ＝－cos α2［例3］求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40°sin70°＝cos20°∴原式＝12 cos80°cos40°cos20°＝12 ×cos80°cos40°cos20°sin20°sin20° ＝12 ×cos80°cos40°sin40°×12 sin20°＝12 ×cos80°sin80°×12 ×12 sin20° ＝12 ×sin160°×12 ×12 ×12 sin20° ＝116［例4］求证：8cos 4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3证明：8cos 4θ＝8(cos 2θ)2＝8(1＋cos2θ2 )2＝2(cos 22θ＋2cos2θ＋1) ＝2(1＋cos4θ2)＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3 Ⅲ.课堂练习课本1、2、3、4.Ⅳ.课时小结理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.Ⅴ.课后作业课本习题 1、2、3、4。

第2课时二倍角的三角函数的应用(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能用倍角公式推导出半角公式．(2)能运用三角函数的公式进行简单的恒等变换．(3)会用三角函数解决一些简单的实际问题．2．过程与方法让学生由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法，通过做练习，巩固所学知识．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识的能力、逻辑推理能力和综合分析能力，提高逆用思维的能力．●重点难点重点：角的和、差、倍公式的综合应用．难点：运用所学公式解决简单的实际问题．(教师用书独具)●教学建议关于半角公式的教学教学时，建议教师从让学生回忆二倍角的三个余弦公式出发，提出问题“如何用角θ的三角函数值，表示角θ2的三角函数值”．在此基础上，让学生自主归纳探究，并总结出半角公式，然后结合半角公式的特点，师生共同总结出公式记忆方法，最后通过典型例题及题组训练熟悉并掌握半角公式．整个教学立足于体现一种“以思导学”的知识生成过程．●教学流程 创设问题情境，引导学生推导出降幂公式与半角公式，并总结公式的特点及作用.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用降幂公式进行三角函数式的化简与证明的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用和、差、倍角公式研究函数的性质的解题方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握解决三角函数实际应用问题的思路及方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.已知cos α的值，如何求sin α2的值？【提示】 由cos α＝1－2sin2α2得sin2α2＝1－cos α2，∴sin α2＝± 1－cos α2.(1)降幂公式①sin 2α2＝1－cos α2； ②cos 2α2＝1＋cos α2； ③tan 2α2＝sin2α2cos2α2＝1－cos α1＋cos α.(2)半角公式①sin α2＝± 1－cos α2；②cos α2＝±1＋cos α2； ③tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cosαsin α.化简cos 2(θ＋15°)＋cos 2(θ－15°)－32cos 2θ. 【思路探究】 此式中出现了θ＋15°，θ－15°与2θ，要达到角的统一，需将角θ＋15°，θ－15°向角2θ进行转化，因此，可考虑降幂公式．【自主解答】 cos 2(θ＋15°)＋cos 2(θ－15°)－32cos 2θ ＝1＋cos[2θ＋15°]2＋1＋cos[2θ－15°]2－32cos 2θ＝1＋12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－32cos 2θ＝1＋12(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°＋cos 2θcos 30°＋sin 2θsin 30°)－32cos 2θ ＝1＋12×2cos 2θcos 30°－32cos 2θ＝1＋32cos 2θ－32cos 2θ＝1.1．应用降幂公式可将“二次式”转化为“一次式”．2．三角函数式的化简，一般从减少角的种类、减少函数的种类、改变函数运算的结构入手，常采用化弦法、化切法、异角化同角、异次化同次、异名化同名等方法，达到化简的目的．如将本例改为“sin 2(θ＋15°)＋sin 2(θ－15°)＋32cos 2θ”，如何化简？ 【解】 原式＝1－cos 2θ＋30°2＋1－cos 2θ－30°2＋32cos 2θ＝1－12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]＋32cos 2θ＝1－12()2cos 2θ·cos 30°＋32cos 2θ＝1－3cos 2θ＋3cos 2θ＝1.利用和、差、倍角公式研究函数的性质求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈[π4，7π24]的最小值，并求其单调减区间．【思路探究】化简f x 的解析式→fx ＝A sin ωx ＋φ＋B →ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x＝33＋4(32cos 2x －12sin 2x )＝33＋4(sin π3cos 2x －cos π3sin 2x )＝33＋4sin(π3－2x )＝33－4sin(2x －π3)，∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4. ∴sin(2x －π3)∈[12，22]．∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin(2x －π3)在[π4，7π24]上单调递增，∴f (x )在[π4，7π24]上单调递减．1．研究函数性质的一般步骤： (1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质． 2．对三角函数式化简的常用方法： (1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba)，化同名函数．(2013·济宁高一检测)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在(0，π3]上的最小值与最大值．【解】 (1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3＝cos 2x ＋3sin 2x ＋4＝2sin(2x ＋π6)＋4.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵0＜x ≤π3，∴π6＜2x ＋π6≤5π6，当x ＝π3时，2x ＋π6＝5π6，函数f (x )取得最小值为5.当x ＝π时，2x ＋π＝π，函数f (x )取得最大值为6.点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过P 作圆的切线PT ，且PT ＝1，∠PAB ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？【思路探究】 首先根据题意画出图形，然后根据圆的几何性质和四边形面积的求法，将四边形的面积表示为三角函数的形式，最后利用三角函数的性质解决．【自主解答】 如图，∵AB 为直径，∴∠APB ＝90°， PA ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切圆于P 点， ∴∠TPB ＝∠PAB ＝α， ∴S四边形ABTP＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin2α＋1－cos 2α4＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin(2α－π4)＋14. ∵0＜α＜π2，∴－π4＜2α－π4＜3π4.∴当2α－π4＝π2，即当α＝3π8时，四边形ABTP 的面积最大，最大为1＋24.解决实际问题时，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数的关系式，再利用三角变换、三角函数的性质等进行求解．一般地，求最值的问题需利用三角函数的有界性来解决．某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积为________．【解析】 如图，连结 OC，设∠COB＝θ，则 0°＜θ＜45°，OC＝1，∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－BC＝cos θ－sin θ，∴S 矩形 ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)sin θ ＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ1 ＝2(sin2θ＋cos2θ)－12＝ 22cos(2θ－π4 )－12， 当 2θ－π4 ＝0， 即 θ＝π8 时，Smax＝ 22－1(m2)，∴割出的长方形桌面的最大面积为2－1 2m2.【答案】2－1 2m211三角函数式化简时忽视角的范围致误已知3π 2 ＜α＜2π，化简12＋1212＋21cos α.【错解】11 2＋211 2＋2cosα＝ 12＋121＋cos 2α＝12＋12cos2α211 α ＝ 2＋2cos 2 ＝α 1＋cos 22＝cos2α4 ＝cos α4 .【错因分析】 上述错解在于运用倍角公式从里到外去根号时，没有顾及角的范围而选 择正、负号，只是机械地套用公式．【防范措施】 应根据三角函数式的值的符号去掉绝对值，因此在去掉三角函数式的绝 对值符号时，要注意角的范围问题．12【正解】12＋1221＋12cos α11 ＝ 2＋21＋cos α 2＝12＋12cos2α2＝ 12＋12|cos α2 |.因为32π＜α＜2π，所以34π＜α2 ＜π，α 所以 cos 2 ＜0，所以原式＝12－21cosα 2＝1－cosα 22＝sin2α4 ＝|sinα 4 |.因为32π＜α＜2π，所以38π＜α4 ＜π2 ，αα所以 sin 4 ＞0，所以原式＝sin 4 .(1)二倍角余弦公式变形用来升幂降幂，应灵活掌握：sin2α＝1－co2s 2α，cos2α＝1＋cos 22α.(2)解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用．(3)对于三角函数在实际问题中的应用，其求解策略为引入恰当的辅助角，建立有关辅助角的三角函数表达式，并利用和、差、倍角公式进行化简整理．由于引入辅助角的恰当与13否直接影响该题的计算量，故求解时多注意分析题设，恰当引入．1．若 cosα＝13，且 α∈(0，π)，则 sinα 2 的值为________．【解析】 ∵α∈(0，π)，∴α2 ∈(0，π2 )，∴sin α2 ＝1－cos 2α＝13＝ 33.【答案】3 32．已知 cosα＝－35，且 π＜α＜32π，则 cosα 2 ＝________.【解析】 ∵π＜α＜32π，∴π2 ＜α2 ＜34π，α1＋cos α∴cos 2 ＝－2 ＝－31－552 ＝－ 5 .5 【答案】 － 53．已知 tanα 2 ＝3，则 cosα＝________.α 【解析】 由 tan 2 ＝1－cos 1＋cosα α＝3 可得：1－cos 1＋cosα α＝9，则 cosα＝－45.【答案】 －451＋sin θ＋cos θsinθ2 －cosθ 24．化简：2＋2cos θ(0＜θ＜π)．【解】 原式142sinθ 2 cosθ2 ＋2cos2θ2θθsin 2 －cos 2＝4cos2θ2cosθ 2＝sin2θ2 －cos2θ2 |cos θ2 |－cos θ2 cos θ ＝ |cos θ2 | .∵0＜θ＜π，∴0＜θ2 ＜π2 .θ ∴cos 2 ＞0.∴原式＝－cos θ.一、填空题 1．sinπ8 ＝________.【解析】 sinπ8 ＝1－cosπ4 2＝1－2 22＝2－ 22.【答案】2－ 2 22.－23＋43cos2 15°＝________.【解析】 原式＝－23＋43×1＋co2s 30°＝－23＋23＋23cos 30°＝ 33.【答案】3 33．5π<θ<6π，cosθ2 ＝a，则θ sin 4 ＝________.15【解析】 ∵5π<θ<6π，∴5π4 <θ4 <32π，∴sinθ4 <0.sin θ4 ＝－θ 1－cos 22 ＝－1－2 a.【答案】 －1－a 24．函数 f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)的最小正周期为________．【解析】 f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)＝2cos xsin x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝ 2sin(2x＋π4 )＋1.故最小正周期为 T＝2π 2 ＝π. 【答案】 π5. 2＋2cos 8＋2 1－sin 8的化简结果是________．【解析】 原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|.∵54π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4.∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4.【答案】 －2sin 46．在△ABC 中，角 A、B、C 满足 4sin2A＋2 C－cos 2B＝72，则角 B 的度数为________．【解析】在 △ ABC中 ， A ＋ B ＋ C ＝ 180° ， 由4sin2A＋C 2－cos2B＝7 2，得4·1－cos 2 A＋C －2cos2B＋1＝72，∴4cos2B－4cos B＋1＝0.∴cos B＝12，B＝60°.【答案】 60°7．(2013·四川高考)设 sin 2α＝－sin α，α∈(π2 ，π)，则 tan 2α 的值是________．【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈(π2 ，π)，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈(π2 ，π)，∴α＝23π，∴tan2α＝tan4π3π＝tan(π＋ 3 )＝tanπ 3＝3.【答案】 3 8．设 f(x)＝2s1i＋n cπo2s－2xx＋sin x＋a2sin(x＋π4 )的最大值为 2＋3，则常数 a＝________. 【解析】 f(x)＝1＋22ccooss2xx－1＋sin x＋a2sin(x＋π4 )＝cos x＋sin x＋a2sin(x＋π4 )16＝ 2sin(x＋π4 )＋a2sin(x＋π4 )＝( 2＋a2)sin(x＋π4 )．依题意有 2＋a2＝ 2＋3，∴a＝± 3.【答案】 ± 3 二、解答题 9．设 π＜θ＜2π，cos θ2 ＝a，求(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin2θ4 的值．【解】 (1)∵π＜θ＜2π，∴π2 ＜θ2 ＜π， 又 cos θ2 ＝a，θ ∴sin 2 ＝1－cos2θ2 ＝ 1－a2，∴sin θ＝2sin θ2 cos θ2 ＝2a 1－a2.(2)cos θ＝2cos2θ2 －1＝2a2－1.θ (3)sin2θ4 ＝1－c2os 2 ＝1－2 a.10．若 π＜α＜32π，化简1＋sin α＋1＋cos α－ 1－cos α1－sin α.1＋cos α＋ 1－cos α【解】 ∵π＜α＜3π 2 ，∴π2 ＜α2 ＜34π，αα∴cos 2 ＜0，sin 2 ＞0.sinα2 ＋cosα 22sinα2 －cosα 22∴原式＝αα＋αα2|cos 2 |－ 2|sin 2 | 2|cos 2 |＋ 2|sin 2 |sinα2 ＋cosα 22＝αα－ 2 sin 2 ＋cos 2sinα2 －cosα 22＋αα2 sin 2 －cos 2ααααsin 2 ＋cos 2 sin 2 －cos 2α＝－＋ 22＝－ 2cos 2 .11．(2013·山东高考)设函数 f(x)＝ 23－ 3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且 y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4 .(1)求 ω 的值； (2)求 f(x)在区间[π，32π]上的最大值和最小值．17【解】(1)f(x)＝3 2－3sin2ωx－sin ωxcos ωx3 ＝2－1－cos3·22ωx 1 －2sin2ωx＝3 2 cos2ωx－12sin2ωx＝－sin(2ωx－π3 )．π 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 4 ，又 ω＞0，所以22π ω＝4×π4 .因此 ω＝1.(2)由(1)知 f(x)＝－sin(2x－π3 )．当 π≤x≤3π 2 时，53π≤2x－π3 ≤8π3 .所以－ 23≤sin(2x－π3 )≤1.因此－1≤f(x)≤ 23.故 f(x)在区间[π，3π 2 ]上的最大值和最小值分别为 23，－1.(教师用书独具)18已知 sin θ＋cos θ＝2sin α，sin2β＝sin θcos θ，求证：2cos 2α＝cos 2β. 【思路探究】 观察问题的条件和结论，发现被证的等式中不含角 θ，因此从已知条 件中消去角 θ，问题即得证．【自主解答】 由题意，得2sin α＝sin θ＋cos θ，①sin2β＝sin θcos θ. ②①2－②×2，得 4sin2α－2sin2β＝1.变形为 1－2sin2β＝2－4sin2α，则有 cos 2β＝2cos 2α.对于给定条件的三角恒等式的证明，常用的方法有直推法和代入法．将条件角转化为 结论角后，由条件等式直接推到结论等式，就是直推法；有时从条件等式中解出关于某个角 的某个三角函数值，代入结论等式便消去某个角，从而将问题转化为三角恒等式的证明问题， 这就是代入法的基本思想方法．19已知 cos θ＝1c＋oscoαs ＋αccooss ββ，求证：tan2θ2 ＝tan2α2 tan2β2 .【证明】∵11－ ＋ccooss θθ＝22csoisn22θθ22 ＝tan2θ2 ，同理有11－ ＋ccooss αα＝tan2α2 ，1－cos 1＋cosββ＝tan2β2 ，cos α＋cos β∴tan2θ2 ＝11－＋ccoossθ 1－1＋cos αcos β θ＝ cos α＋cos β1＋1＋cos αcos β1＋cos αcos β－cos α－cos β ＝1＋cos αcos β＋cos α＋cos β＝1－cos α 1＋cos α1－cos β 1＋cos β＝tan2α2 tan2β2 .20。

第 6 课时：§3.2 二倍角的三角函数（一）【三维目标】：一、知识与技能1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。

2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力.4.结合三角函数值域求函数值域问题。

二、过程与方法1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。

三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.【教学重点与难点】：重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用；难点：二倍角的理解及其灵活运用（公式的逆向运用及变式训练）。

【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教法：本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式；（通过设置问题让学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的）对于二倍角公式的灵活运用，采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解,从而能灵活地运用二倍角公式解题。