2003年第3期《不等式研究通讯》(对高中数学竞赛的专门研究)[原创]
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[几何不等式研究 ]
一道征解题的纯代数证明……………………………………………张晗方（ ） 也谈一道 ＩＭＯ 试题的推广……………………………………………杨志明（ ） 一个不等式猜想（ＬＢＱ１０８）的证明……………………………………陈胜利（ ） 一个不等式的证明……………………………………………………吴裕东（ ） 关于旁切圆半径和角平分线的两个不等式…………………………吴善和（ ） 一个不等式的分隔……………………………………………………刘保乾（ ） ＢＯＴ－７７（ａ）的加强、逆向及推广……………………………………杨志明（ ） BOT-77(b)的加强及其逆向…………………………………………杨志明（ ）
1/ r n ! V ( a ; r ,0 ) ⋅ r ≠ 0,−1,−2,L ,− n , n ∏ k =1 ( k + r ) V ( a;0,0) V ( a;0,1) 1 (1.16) S r (a ) = exp −∑ n r =0 k =1 , k V (a; 0,0) 1/ r n!⋅V ( a; r ,1) , r = −1,L ,−n (−1) r +1 ( −r − 1)!⋅( n + r )!⋅V ( a;0,0) V ( a, r ;0) r ⋅ r ≠ 0,−1, L, −n n + r V ( a, r − 1;0) , V (a ,0;0 ) , r=0 nV ( a,−1;1) (1.17) J r (a ) = r V ( a, r ;1) ⋅ , r = −1,L ,−( n − 1) n + r V ( a, r − 1;1) − nV ( a,0;1) , r = −n V ( a, −n − 1;0) 且 S 0 ( a) = I ( a ), S −1 ( a) = J 0 (a ) = L( a) . Stolarsky 平均 S r ( a 0 , a1 ) 和 Alzer 平均 Fr (a 0 , a1 ) 的统一推广是双参数平均(见[9]):
a 0 a1 和 A( a 0 , a1 ) =
a0 ≠ a1
,
a 0 ≠ a1
, a 0 ≠ a1 a 0 = a1
(1.7)
1 a1 − a 0
以 G ( a0 , a1 ) = 这对 a 0 ≠ a1 , 据[1]有 (1.8)
a 0 + a1 分别表示 a 0 , a1 的几何平均和算术平均, 2
２． 双参数平均的推广
n +1 定义 2.1. 设 a = ( a0 , a1 ,L , an ) ∈ R + , 且 a i ≠ a j (i ≠ j ), 则这 n + 1 个正数的双参数平
均 E p, q ( a) 定义为 (2.1)
5
不等式研究通讯 2003.3
n k + q V ( a; p ,0) 1( p −q ) n ∏ ( )⋅ , ( p − q ) [( k + p)( k + q)] ≠ 0 ∏ k =1 k + p V (a ; q ,0) k =1 1 ( p− q) (−1) q+1 (− q −1)!( q + n )! V ( a; p ,0) ⋅ , p ≠ q = −1, −2, L, − n n V (a ; q ,1) ( k + p) ∏ k =1 E p, q (a ) = 1 ( −1) q− p ( −q − 1)!( q + n)! V (a; p ,1) ( p −q ) ⋅ , p ≠ q; p, q = −1, −2,L , −n ( − p − 1)!( p + n )! V ( a ; q , 1) V ( a; p ,1) 1 exp −∑n , p = q ≠ −1, −2,L , −n k =1 k + p V ( a; p ,0) 1 exp V (a; p ,2) − n , p = q = −1, −2,L , −n ∑ k =1, k≠− p k + p 2V ( a; p ,1)
a0 a1 L an a0 a1 L an
2 a0 a12 L 2 an
n −1 L a0 ϕ ( a0 ) n −1 L a1 ϕ ( a1 ) L L L n −1 L an ϕ ( an )
(1.2)
1 1 V ( a; r , k ) = L 1
对 r = 0 , k = 0 , 我们便得著名的 Van der Monde 行列式: (1.3) 这里
(1.9) (1.12) (1.13)
G( a0 , a1 ) < L( a0 , a1 ) < I ( a0 , a1 ) < A(a 0 , a1 ) 张志华和萧振纲在文[2, 3] 研究了 ( n + 1) 个正数 a 0 , a1 , L, a n 的指数平均和对数平均:
G ( a ) < L (a ) < I ( a) < A( a ) G ( a) < l (a ) < I (a ) < A( a) 1/( n+1) 1 n n 这里 G( a ) = ∏ i= 0 ai 和 A( a) = 分别是 a 0 , a1 ,L , an ∈ R+ 的几何平 ∑ i = 0 ai n +1
( p + 1)( q +1)( p − q )( a0 − a1 ) ≠ 0 ( p + 1)(a0 − a1 ) ≠ 0, q = −1 ( p + 1)(a0 − a1) ≠ 0, ( a0 − a1 ) ≠ 0, p =q
p = q = −1
( p − q )( a0 − a1 ) = 0
有关两个正数的双参数平均近来有许多不同的研究(见[10-21]).
不等式研究通讯
2003③
２００３ 年 ６ 月 １ 日
中 国 不 等 式 研 究 小 组 主 办
不等式研究通讯 2003.3
目
录
[解析不等式研究 ]
n 个正数的双参数平均……………………………………张志华、萧振纲（ ）
建立不等式的递推降维方法（Ⅰ）…………………………………文家金 （ ） 关于 Simpson 求积公式的误差估计……………………………………刘 证（ ） 两个不等式的加强……………………………………………………李康海（ ） 平均值不等式的一种加强形式及逆向………………………………陈胜利（ ） 对一道不等式问题的解答与探究……………………………………杨学枝（ ） n 元三次多項式不等式猜想的证明… … … … … … … … … … … … … 杨志明 ( )
[
]
均和算术平均. 1975 年, Stolarsky 在文[4]中得到了 r 阶广义对数平均:
(1.14)
这里 r ∈ R \ {−1,0} . Alzer 在文[5, 6]推广对数平均后得到了:
a r+1 − a r +1 1/r 1 0 , ( r + 1 )( a − a ) 1 0 S r (a 0 , a1 ) = a0 ,
不等式研究通讯 2003.3
设 a 0 , a1 是两个正实数, 则他们的对数平均 L( a0 , a1 ) 和指数平均 I ( a 0 , a1 ) 为:
(1.6)
a1 − a 0 , ln a1 − ln a 0 L( a0 , a1 ) = a0 ,
a a1 1 1 a0 I ( a0 , a1 ) = e a0 a , 0
(0 ≤ i ≤ n )
(1.5)
1 ln a 0 1 ln a1 V (ln a; r , k ) = L L 1 ln a n
ln 2 a 0 ln 2 a1 L ln 2 a 2 n
3
L ln n−1 a0 L ln n−1 a1 L L n −1 L ln a n
r a0 ln k a 0 a1r ln k a1 L r a n ln k a n
r a1r +1 − a0r+1 ⋅ , r + 1 a1r − a0r J r ( a0 , a1 ) = a0 ,
a 0 ≠ a1 a0 = a1
a 0 ≠ a1 a 0 = a1
(1.15)
这里 r ∈ R \ {−1,0} .
Stolarsky 在文 [4]Alzer 在文 [5, 6] 中分别证明了 :对 a 0 ≠ a1 , 平均函数 S r ( a 0 , a1 ) 和
1
a0
2 a0
1 a1 a12 L L L L L (1.4) Vi ( a) = 1 a i−1 ai2−1 L 1 a i+1 ai2+1 L L L L L 2 1 an an L 若记 ln a = (ln a 0 , ln a1 , L, ln an ) , 则得:
n −1 L a0
a1n−1 L 1 ain−− 1 ain+−11 L n −1 an
[问题与猜想 ] 九则…………………………………………………吴裕东等 （ ）
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不等式研究通讯 2003.3
［解析不等式研究］
n 个正数的双参数平均
张志华 （湖南省资兴市教研室， 湖南 郴州 ４２３４００） 萧振纲 （湖南省岳阳师范学院， 湖南 岳阳 ４１４００６） 摘要： 利用推广的 Van der Monde 行列式定义了 n 个正数的广义双参数平均, 同时得到
V ( a;0,1) 1 I ( a) = exp −∑n k =1 , k V (a; 0,0) V ( a;0,0) (1.10) L( a) = nV (a; −1,1) V (ln a;1,1) (1.11) l ( a ) = n!⋅ , V (ln a;1,0) 同时证明了对 a i ≠ a j ( 0 ≤ i ≠ j ≤ n ) , 有:
